La loi binomiale 🎲 est une distribution de probabilité discrète fondamentale qui modélise le nombre de succès dans une série de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques. Elle joue un rôle central en statistique et probabilité avec des applications allant du contrôle qualité aux sciences sociales.
Conditions d'application
🔹 Épreuves indépendantes : Le résultat d'une épreuve n'influence pas les autres
🔹 Deux issues : Succès (probabilité p) ou échec (probabilité q = 1-p)
🔹 Probabilité constante :p reste identique pour toutes les épreuves
🔹 Nombre fixé d'épreuves :n est déterminé à l'avance
Notation mathématique
On note \( X \sim \mathcal{B}(n,p) \) où :
\( X \) : variable aléatoire comptant le nombre de succès
\( n \) : nombre d'épreuves de Bernoulli
\( p \) : probabilité de succès pour chaque épreuve
Figure 1 : Distribution binomiale symétrique (p=0.5)
2. Formule et coefficients binomiaux
Formule de probabilité
Pour \( X \sim \mathcal{B}(n,p) \), la probabilité d'obtenir exactement k succès est :
\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
où \( \binom{n}{k} \) est le coefficient binomial calculé par :
🔹 Vérifier toujours les 4 conditions d'application
🔹 Bien identifier n (nombre d'épreuves) et p (probabilité de succès)
🔹 Utiliser les propriétés pour vérifier la cohérence des résultats
🔹 Pour les calculs complexes, utiliser les tables ou logiciels
Pièges à éviter
🔹 Confondre P(X=k) et P(X≤k)
🔹 Oublier que les épreuves doivent être indépendantes
🔹 Négliger les conditions d'approximation par la normale
🔹 Mal calculer les coefficients binomiaux
"La loi binomiale est la pierre angulaire des modèles probabilistes discrets"
Sa maîtrise ouvre la porte à la compréhension de nombreuses autres distributions
Simulateur de Loi Binomiale
Ce simulateur illustre la loi binomiale à travers l'exemple du lancer de dé.
La variable aléatoire X représente le nombre de succès (obtenir un 6) sur n lancers indépendants.
Nombre de lancers (n)
Détermine le nombre d'expériences indépendantes (lancers de dé) à effectuer.
10
Probabilité d'obtenir 6 (p)
Probabilité de succès pour chaque lancer (1/6 pour un dé équilibré).
1/6 ≈ 0.167
Simulation
Effectue une série de lancers et compte le nombre de succès (6).
Résultat: -
Visualisation des lancers
Succès: Vert | Échec: Gris
Cliquez sur "Simuler les lancers" pour visualiser les résultats
Chaque dé représente le résultat d'un lancer. Les dés avec un 6 sont mis en évidence.
Distribution théorique B(n,p)
Probabilité pour chaque valeur de k
Ce graphique montre la distribution de probabilité théorique pour différentes valeurs de k (nombre de succès).
Statistiques théoriques
Espérance E(X)
1.67
Valeur moyenne attendue
Variance Var(X)
1.39
Mesure de la dispersion
Écart-type σ(X)
1.18
Dispersion autour de la moyenne
Formules de la loi binomiale
Probabilité de k succès :
P(X = k) = C(n,k) × pk × (1-p)(n-k)
C(n,k) est le coefficient binomial (combinaisons de k succès parmi n essais)
Paramètres statistiques :
E(X) = n×p
Var(X) = n×p×(1-p)
σ(X) = √Var(X)
Ces formules donnent les caractéristiques principales de la distribution
📚 Comprendre la loi binomiale
La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une série de n expériences indépendantes,
où chaque expérience a une probabilité p de succès.
Dans ce simulateur :
🔹 Chaque lancer de dé est une expérience de Bernoulli (succès = 6, échec = autre)
🔹 Les lancers sont indépendants (le résultat d'un lancer n'affecte pas les autres)
🔹 La probabilité de succès p est constante (1/6 pour un dé équilibré)
Le simulateur vous permet de visualiser à la fois la théorie (distribution, statistiques)
et la pratique (résultats de simulation).
Exercice 1:
Une urne contient dix boules blanches et deux boules rouges. On pioche successivement et au hasard trois boules avec remise. 1. À l'aide du produit cartésien, lister les issues possibles. 2. Déterminer la probabilité d'obtenir exactement deux boules blanches.
1. Issues possibles : Les issues possibles peuvent être listées à l'aide du produit cartésien. Avec 3 tirages et 12 boules dans l'urne (10 blanches et 2 rouges), il y a \(12^3 = 1728\) issues possibles. Les issues possibles sont les suivantes : (blanc, blanc, blanc), (blanc, blanc, rouge), (blanc, rouge, blanc), (blanc, rouge, rouge), (rouge, blanc, blanc), (rouge, blanc, rouge), (rouge, rouge, blanc), (rouge, rouge, rouge)
2. Probabilité d'obtenir exactement deux boules blanches : La probabilité d'obtenir exactement deux boules blanches parmi trois tirages est donnée par : \(P(2 \ boules \ blanches) = \binom{10}{2} \times \binom{2}{1} \times \frac{10}{12} \times \frac{2}{12} \times \frac{10}{12} = \frac{900}{1728} = \frac{5}{9}\)
En effet, il y a \(\binom{10}{2}\) façons de choisir 2 boules blanches parmi les 10 blanches, \(\binom{2}{1}\) façons de choisir 1 boule rouge parmi les 2 rouges, et les probabilités de tirer une boule blanche, une boule rouge et une boule blanche sont respectivement \(\frac{10}{12}\), \(\frac{2}{12}\) et \(\frac{10}{12}\).
Exercice 2:
Un examen consiste à passer trois épreuves indépendantes. • Épreuve 1: on a 80 % de chances de réussir. • Épreuve 2: on a 60 % de chances de réussir. • Épreuve 3: on a 25 % de chances de réussir. On est reçu à l'examen si l'on réussit au moins deux épreuves sur trois. Quelle est la probabilité de réussir l'examen ?
Soit E l'événement "réussir l'examen" (au moins 2 épreuves sur 3). Les probabilités de réussite pour chaque épreuve sont : • Épreuve 1 : P(réussite) = 0,80 • Épreuve 2 : P(réussite) = 0,60 • Épreuve 3 : P(réussite) = 0,25
Pour réussir l'examen, il faut réussir au moins 2 épreuves sur 3. Les issues possibles sont donc : • Réussir les 3 épreuves : P(1) = 0,80 × 0,60 × 0,25 = 0,12 • Réussir les épreuves 1 et 2 : P(2) = 0,80 × 0,60 × 0,75 = 0,36 • Réussir les épreuves 1 et 3 : P(3) = 0,80 × 0,40 × 0,25 = 0,08 • Réussir les épreuves 2 et 3 : P(4) = 0,20 × 0,60 × 0,25 = 0,03
Donc la probabilité de réussir l'examen est : \(P(E) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0,12 + 0,36 + 0,08 + 0,03 = 0,59\)
Donc la probabilité de réussir l'examen est de 59 %.
Exercice 3:
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire 4 boules sans remise. 1. Calculer la probabilité de tirer les boules 1, 2, 3 et 4 dans cet ordre. 2. Calculer la probabilité de tirer les boules dans n'importe quel ordre.
1. Probabilité de tirer les boules 1, 2, 3 et 4 dans cet ordre : La probabilité de tirer la boule 1 est 1/10, puis la probabilité de tirer la boule 2 parmi les 9 boules restantes est 1/9, ensuite la probabilité de tirer la boule 3 parmi les 8 boules restantes est 1/8, et enfin la probabilité de tirer la boule 4 parmi les 7 boules restantes est 1/7. Donc la probabilité totale est : \(\frac{1}{10} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{5040}\)
2. Probabilité de tirer les boules dans n'importe quel ordre : Il y a 4! = 24 ordres possibles pour tirer 4 boules parmi 10. Chaque ordre a la même probabilité \(\frac{1}{5040}\). Donc la probabilité totale est : \(24 \times \frac{1}{5040} = \frac{1}{210}\)
Exercice 4:
Dans une urne contenant cinq boules numérotées de 1 à 5, on tire au hasard une boule puis, sans la remettre, on tire une seconde boule. On note \(b\) le numéro porté par la première boule et \(c\) le numéro porté par la seconde. \(x\) est la variable aléatoire qui, à un tirage, associe le nombre de solutions de l'équation du second degré : \(x^2 + bx + c = 0\). Déterminer la loi de probabilité de \(x\).
Soit \(b\) le numéro de la première boule tirée et \(c\) le numéro de la seconde boule tirée. La variable aléatoire \(x\) est le nombre de solutions de l'équation du second degré \(x^2 + bx + c = 0\).
1. Calcul des probabilités : Il y a 5 boules dans l'urne, donc 5 choix possibles pour la première boule et 4 choix possibles pour la seconde boule (sans remise). Les issues possibles sont donc au nombre de \(5 \times 4 = 20\).
2. Loi de probabilité de \(x\) : • \(x = 0\) : il n'y a pas de solution réelle à l'équation \(x^2 + bx + c = 0\) si \(b^2 - 4c < 0\). Cela se produit dans 10 cas sur 20 (pour les couples (b, c) suivants : (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 5), (4, 1), (4, 2)). Donc \(P(x = 0) = 10/20 = 1/2\).
• \(x = 1\) : il y a une solution réelle à l'équation \(x^2 + bx + c = 0\) si \(b^2 - 4c = 0\). Cela se produit dans 5 cas sur 20 (pour les couples (b, c) suivants : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)). Donc \(P(x = 1) = 5/20 = 1/4\).
• \(x = 2\) : il y a deux solutions réelles à l'équation \(x^2 + bx + c = 0\) si \(b^2 - 4c > 0\). Cela se produit dans 5 cas sur 20 (pour les couples (b, c) suivants : (1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 4), (4, 5)). Donc \(P(x = 2) = 5/20 = 1/4\).
Donc la loi de probabilité de \(x\) est : \(P(x = 0) = 1/2\) \(P(x = 1) = 1/4\) \(P(x = 2) = 1/4\)
Exercice 5:
Une pièce est lancée 8 fois. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l'on obtient "pile". 1. Donner la loi de probabilité de \(X\). 2. Calculer \(P(X = 4)\). 3. Calculer \(P(3 \leq X \leq 6)\).
1. Loi de probabilité de \(X\) : La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 8\) (nombre de lancers) et \(p = 0,5\) (probabilité d'obtenir pile).
2. Probabilité \(P(X = 4)\) : La probabilité de faire 4 piles en 8 lancers suit une loi binomiale de paramètres \(n = 8\) et \(p = 0,5\). \(P(X = 4) = \binom{8}{4} \times 0,5^8 = 70 \times 0,00390625 = 0,273\)
3. Probabilité \(P(3 ≤ X ≤ 6)\) : \(P(3 \leq X \leq 6) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)\) En calculant chacun de ces termes, on obtient : \(P(3 \leq X \leq 6) = 0,109 + 0,273 + 0,273 + 0,109 = 0,764\)
Exercice 6:
Un dé équilibré à 6 faces est lancé 15 fois. On note \(Y\) la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l'on obtient un "6". 1. Donner la loi de probabilité de \(Y\). 2. Calculer \(P(Y = 3)\). 3. Calculer \(P(Y \geq 2)\).
1. Loi de probabilité de \(Y\) : La variable aléatoire \(Y\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 15\) (nombre de lancers) et \(p = \frac{1}{6}\) (probabilité d'obtenir un 6).
Dans une entreprise, 20 % des salariés sont cadres. On choisit au hasard 8 salariés. 1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire \(Z\) qui compte le nombre de cadres parmi les 8 salariés choisis ? 2. Calculer \(P(Z = 2)\). 3. Calculer \(P(Z \geq 4)\).
1. Loi de probabilité de \(Z\) : La variable aléatoire \(Z\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 8\) (nombre de salariés choisis) et \(p = 0,2\) (probabilité qu'un salarié soit cadre).
Dans une usine, 80% des pièces fabriquées sont conformes. On choisit au hasard 10 pièces dans la production. 1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de pièces conformes parmi les 10 choisies ? 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 8 pièces conformes. 3. Calculer l'espérance et la variance de \(X\).
1. Loi de probabilité de \(X\) : La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) (nombre de pièces choisies) et \(p = 0,8\) (probabilité qu'une pièce soit conforme).
3. Espérance et variance de \(X\) : L'espérance d'une loi binomiale \(B(n, p)\) est donnée par : \(E(X) = n \times p\) Donc \(E(X) = 10 \times 0,8 = 8\)
La variance d'une loi binomiale \(B(n, p)\) est donnée par : \(Var(X) = n \times p \times (1 - p)\) Donc \(Var(X) = 10 \times 0,8 \times (1 - 0,8) = 1,6\)
Exercice 9:
Dans un centre de tri, 30% des colis sont destinés à l'international. On choisit au hasard 12 colis. 1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire \(Y\) qui compte le nombre de colis destinés à l'international parmi les 12 choisis ? 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 3 colis destinés à l'international. 3. Calculer l'espérance et l'écart-type de \(Y\).
1. Loi de probabilité de \(Y\) : La variable aléatoire \(Y\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 12\) (nombre de colis choisis) et \(p = 0,3\) (probabilité qu'un colis soit destiné à l'international).
3. Espérance et écart-type de \(Y\) : L'espérance d'une loi binomiale \(B(n, p)\) est donnée par : \(E(Y) = n \times p\) Donc \(E(Y) = 12 \times 0,3 = 3,6\)
La variance d'une loi binomiale \(B(n, p)\) est donnée par : \(Var(Y) = n \times p \times (1 - p)\) Donc \(Var(Y) = 12 \times 0,3 \times (1 - 0,3) = 2,52\) L'écart-type est la racine carrée de la variance, soit \(\sqrt{2,52} ≈ 1,59\)
Exercice 10:
Dans une salle d'examen, 15% des élèves ont triché. On choisit au hasard 6 élèves pour les interroger. 1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire \(Z\) qui compte le nombre d'élèves ayant triché parmi les 6 choisis ? 2. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 2 élèves ayant triché. 3. Calculer la probabilité qu'au moins un élève ait triché.
1. Loi de probabilité de \(Z\) : La variable aléatoire \(Z\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 6\) (nombre d'élèves choisis) et \(p = 0,15\) (probabilité qu'un élève ait triché).
2. Probabilité \(P(Z = 2)\) : Pour calculer la probabilité qu'il y ait exactement 2 élèves ayant triché, on utilise la formule : \(P(Z = 2) = \binom{6}{2} × 0,15^2 × (1 - 0,15)^4\) \(P(Z = 2) = \binom{6}{2} \times 0,15^2 \times 0,85^4 \approx 0,272\)
3. Probabilité \(P(Z ≥ 1)\) : Pour calculer la probabilité qu'au moins un élève ait triché, on utilise la formule : \(P(Z \geq 1) = P(Z = 1) + P(Z = 2) + P(Z = 3) + P(Z = 4) + P(Z = 5) + P(Z = 6)\) En calculant chacun de ces termes, on obtient : \(P(Z \geq 1) = 0,451 + 0,272 + 0,086 + 0,014 + 0,001 + 0,000 \approx 0,824\)
Éducation
