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📔 Loi Binomiale

Exploration de la Loi Binomiale

La loi binomiale 🎲 est une distribution de probabilité discrète qui modélise le nombre de succès dans une série d'épreuves indépendantes et identiques, où chaque épreuve a deux résultats possibles : succès ou échec. Cette loi est largement utilisée en statistique et en probabilité pour modéliser une variété de phénomènes.

1. Introduction à la loi binomiale :

• La loi binomiale est utilisée pour modéliser des situations où l'on observe une succession d'épreuves indépendantes et identiques.
• Chaque épreuve possède deux résultats possibles : succès (S) ou échec (E).
• On s'intéresse au nombre de succès dans un certain nombre d'épreuves.

2. Les concepts clés :

• Épreuve indépendante : Le résultat d'une épreuve n'affecte pas les résultats des épreuves suivantes.
• Schéma de Bernoulli : Chaque épreuve suit une distribution de Bernoulli, avec une probabilité de succès \(p\) et une probabilité d'échec \(q = 1-p\).
• Nombre de succès : On s'intéresse au nombre de succès (X) dans un certain nombre d'épreuves \(n\).

3. Notation et formule de la loi binomiale :

• \(X \sim B(n, p)\) : \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) (nombre d'épreuves) et \(p\) (probabilité de succès).
• La formule de probabilité d'un nombre de succès donné \(k\) dans \(n\) épreuves est donnée par :

\[P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}\]où \(\binom{k}{n}\) est le coefficient binomial, égal à \(\frac{n!}{k! \times (n-k)!}\)

4. Propriétés de la loi binomiale :

• L'espérance mathématique (moyenne) de \(X\) est \(E(X) = n \cdot p\).
• La variance de \(X\) est \(Var(X) = n \cdot p \cdot q\).
• La somme de variables aléatoires indépendantes suivant une loi binomiale reste une loi binomiale.

Si \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi binomiale, alors la somme \( Y = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \) reste une variable aléatoire suivant une loi binomiale. Cela s'écrirait comme : \[ Y = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \quad \text{et} \quad Y \sim \text{Bin}(n,p) \] où \( n \) est le nombre de variables aléatoires et \( p \) est la probabilité de succès dans chaque variable aléatoire binomiale.

5. Utilisation de la loi binomiale :

• Calcul de probabilités :
On peut utiliser la formule de la loi binomiale pour calculer la probabilité d'obtenir un nombre précis de succès dans \(n\) épreuves.
• Approximation de la loi binomiale par la loi normale :
Pour un grand nombre d'épreuves \(n\) et une probabilité de succès proche de \(0,5\), la loi binomiale peut être approximée par la loi normale.

6. Exemple d'application :

Supposons que vous lanciez une pièce de monnaie équilibrée \(10\) fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 7 succès ?
• \(X\) suit une loi binomiale \(B(10, 0.5)\).
• \(P(X = 7) = \binom{10}{7} \times (0.5)^7 \times (0.5)^{10-7}\)\(= 120 \times 0,5^7 \times 0,5^3\)= \(120 \times 0,0078125 = 0,9375\)

7. Conclusion

En conclusion, la loi binomiale est une distribution de probabilité discrète utilisée pour modéliser le nombre de succès dans une série d'épreuves indépendantes et identiques. Elle est basée sur le schéma de Bernoulli, où chaque épreuve a deux résultats possibles : succès ou échec. La loi binomiale permet de calculer la probabilité d'obtenir un nombre spécifique de succès dans un certain nombre d'épreuves, en utilisant le coefficient binomial et la formule de probabilité.

Exercice 1:

Une urne contient dix boules blanches et deux boules rouges. On pioche successivement et au hasard trois boules avec remise.
1. À l'aide du produit cartésien, lister les issues possibles.
2. Déterminer la probabilité d'obtenir exactement deux boules blanches.

1. Issues possibles :
Les issues possibles peuvent être listées à l'aide du produit cartésien. Avec 3 tirages et 12 boules dans l'urne (10 blanches et 2 rouges), il y a \(12^3 = 1728\) issues possibles.
Les issues possibles sont les suivantes :
(blanc, blanc, blanc), (blanc, blanc, rouge), (blanc, rouge, blanc), (blanc, rouge, rouge),
(rouge, blanc, blanc), (rouge, blanc, rouge), (rouge, rouge, blanc), (rouge, rouge, rouge)

2. Probabilité d'obtenir exactement deux boules blanches :
La probabilité d'obtenir exactement deux boules blanches parmi trois tirages est donnée par :
\(P(2 \ boules \ blanches) = \binom{10}{2} \times \binom{2}{1} \times \frac{10}{12} \times \frac{2}{12} \times \frac{10}{12} = \frac{900}{1728} = \frac{5}{9}\)

En effet, il y a \(\binom{10}{2}\) façons de choisir 2 boules blanches parmi les 10 blanches, \(\binom{2}{1}\) façons de choisir 1 boule rouge parmi les 2 rouges, et les probabilités de tirer une boule blanche, une boule rouge et une boule blanche sont respectivement \(\frac{10}{12}\), \(\frac{2}{12}\) et \(\frac{10}{12}\).

Exercice 2:

Un examen consiste à passer trois épreuves indépendantes.
   • Épreuve 1: on a 80 % de chances de réussir.
   • Épreuve 2: on a 60 % de chances de réussir.
   • Épreuve 3: on a 25 % de chances de réussir.
On est reçu à l'examen si l'on réussit au moins deux épreuves sur trois.
Quelle est la probabilité de réussir l'examen ?

Soit E l'événement "réussir l'examen" (au moins 2 épreuves sur 3).
Les probabilités de réussite pour chaque épreuve sont :
   • Épreuve 1 : P(réussite) = 0,80
   • Épreuve 2 : P(réussite) = 0,60
   • Épreuve 3 : P(réussite) = 0,25

Pour réussir l'examen, il faut réussir au moins 2 épreuves sur 3.
Les issues possibles sont donc :
   • Réussir les 3 épreuves : P(1) = 0,80 × 0,60 × 0,25 = 0,12
   • Réussir les épreuves 1 et 2 : P(2) = 0,80 × 0,60 × 0,75 = 0,36
   • Réussir les épreuves 1 et 3 : P(3) = 0,80 × 0,40 × 0,25 = 0,08
   • Réussir les épreuves 2 et 3 : P(4) = 0,20 × 0,60 × 0,25 = 0,03

Donc la probabilité de réussir l'examen est :
\(P(E) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0,12 + 0,36 + 0,08 + 0,03 = 0,59\)

Donc la probabilité de réussir l'examen est de 59 %.

Exercice 3:

Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire 4 boules sans remise.
1. Calculer la probabilité de tirer les boules 1, 2, 3 et 4 dans cet ordre.
2. Calculer la probabilité de tirer les boules dans n'importe quel ordre.

1. Probabilité de tirer les boules 1, 2, 3 et 4 dans cet ordre :
La probabilité de tirer la boule 1 est 1/10, puis la probabilité de tirer la boule 2 parmi les 9 boules restantes est 1/9, ensuite la probabilité de tirer la boule 3 parmi les 8 boules restantes est 1/8, et enfin la probabilité de tirer la boule 4 parmi les 7 boules restantes est 1/7.
Donc la probabilité totale est : \(\frac{1}{10} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{5040}\)

2. Probabilité de tirer les boules dans n'importe quel ordre :
Il y a 4! = 24 ordres possibles pour tirer 4 boules parmi 10. Chaque ordre a la même probabilité \(\frac{1}{5040}\).
Donc la probabilité totale est : \(24 \times \frac{1}{5040} = \frac{1}{210}\)

Exercice 4:

Dans une urne contenant cinq boules numérotées de 1 à 5, on tire au hasard une boule puis, sans la remettre, on tire une seconde boule. On note \(b\) le numéro porté par la première boule et \(c\) le numéro porté par la seconde.
\(x\) est la variable aléatoire qui, à un tirage, associe le nombre de solutions de l'équation du second degré : \(x^2 + bx + c = 0\).
Déterminer la loi de probabilité de \(x\).

Soit \(b\) le numéro de la première boule tirée et \(c\) le numéro de la seconde boule tirée.
La variable aléatoire \(x\) est le nombre de solutions de l'équation du second degré \(x^2 + bx + c = 0\).

1. Calcul des probabilités :
Il y a 5 boules dans l'urne, donc 5 choix possibles pour la première boule et 4 choix possibles pour la seconde boule (sans remise).
Les issues possibles sont donc au nombre de \(5 \times 4 = 20\).

2. Loi de probabilité de \(x\) :
   • \(x = 0\) : il n'y a pas de solution réelle à l'équation \(x^2 + bx + c = 0\) si \(b^2 - 4c < 0\).
Cela se produit dans 10 cas sur 20 (pour les couples (b, c) suivants : (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 5), (4, 1), (4, 2)).
Donc \(P(x = 0) = 10/20 = 1/2\).

   • \(x = 1\) : il y a une solution réelle à l'équation \(x^2 + bx + c = 0\) si \(b^2 - 4c = 0\).
Cela se produit dans 5 cas sur 20 (pour les couples (b, c) suivants : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)).
Donc \(P(x = 1) = 5/20 = 1/4\).

   • \(x = 2\) : il y a deux solutions réelles à l'équation \(x^2 + bx + c = 0\) si \(b^2 - 4c > 0\).
Cela se produit dans 5 cas sur 20 (pour les couples (b, c) suivants : (1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 4), (4, 5)).
Donc \(P(x = 2) = 5/20 = 1/4\).

Donc la loi de probabilité de \(x\) est :
\(P(x = 0) = 1/2\)
\(P(x = 1) = 1/4\)
\(P(x = 2) = 1/4\)

Exercice 5:

Une pièce est lancée 8 fois. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l'on obtient "pile".
   1. Donner la loi de probabilité de \(X\).
   2. Calculer \(P(X = 4)\).
   3. Calculer \(P(3 \leq X \leq 6)\).

1. Loi de probabilité de \(X\) :
La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 8\) (nombre de lancers) et \(p = 0,5\) (probabilité d'obtenir pile).

2. Probabilité \(P(X = 4)\) :
La probabilité de faire 4 piles en 8 lancers suit une loi binomiale de paramètres \(n = 8\) et \(p = 0,5\).
\(P(X = 4) = \binom{8}{4} \times 0,5^8 = 70 \times 0,00390625 = 0,273\)

3. Probabilité \(P(3 ≤ X ≤ 6)\) :
\(P(3 \leq X \leq 6) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)\)
En calculant chacun de ces termes, on obtient :
\(P(3 \leq X \leq 6) = 0,109 + 0,273 + 0,273 + 0,109 = 0,764\)

Exercice 6:

Un dé équilibré à 6 faces est lancé 15 fois. On note \(Y\) la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l'on obtient un "6".
   1. Donner la loi de probabilité de \(Y\).
   2. Calculer \(P(Y = 3)\).
   3. Calculer \(P(Y \geq 2)\).

1. Loi de probabilité de \(Y\) :
La variable aléatoire \(Y\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 15\) (nombre de lancers) et \(p = \frac{1}{6}\) (probabilité d'obtenir un 6).

2. Probabilité \(P(Y = 3)\) :
\(P(Y = 3) = \binom{15}{3} \times \left(\frac{1}{6}\right)^3 \times \left(\frac{5}{6}\right)^{12} = 455 \times 0,00462963 \approx 0,210\)

3. Probabilité \(P(Y ≥ 2)\) :
\(P(Y \geq 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4) + ... + P(Y = 15)\)
En calculant chacun de ces termes, on obtient :
\(P(Y \geq 2) \approx 0,705\)

Exercice 7:

Dans une entreprise, 20 % des salariés sont cadres. On choisit au hasard 8 salariés.
   1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire \(Z\) qui compte le nombre de cadres parmi les 8 salariés choisis ?
   2. Calculer \(P(Z = 2)\).
   3. Calculer \(P(Z \geq 4)\).

1. Loi de probabilité de \(Z\) :
La variable aléatoire \(Z\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 8\) (nombre de salariés choisis) et \(p = 0,2\) (probabilité qu'un salarié soit cadre).

2. Probabilité \(P(Z = 2)\) :
\(P(Z = 2) = \binom{8}{2} \times 0,2^2 \times 0,8^6 \approx 0,295\)

3. Probabilité \(P(Z ≥ 4)\) :
\(P(Z \geq 4) = P(Z = 4) + P(Z = 5) + P(Z = 6) + P(Z = 7) + P(Z = 8)\)
En calculant chacun de ces termes, on obtient :
\(P(Z \geq 4) \approx 0,120\)

Exercice 8:

Dans une usine, 80% des pièces fabriquées sont conformes. On choisit au hasard 10 pièces dans la production.
1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de pièces conformes parmi les 10 choisies ?
2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 8 pièces conformes.
3. Calculer l'espérance et la variance de \(X\).

1. Loi de probabilité de \(X\) :
La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) (nombre de pièces choisies) et \(p = 0,8\) (probabilité qu'une pièce soit conforme).

2. Probabilité \(P(X ≥ 8)\) :
\(P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)\)
En calculant chacun de ces termes, on obtient :
\(P(X \geq 8) = 0,268 + 0,089 + 0,012 = 0,369\)

3. Espérance et variance de \(X\) :
L'espérance d'une loi binomiale \(B(n, p)\) est donnée par : \(E(X) = n \times p\)
Donc \(E(X) = 10 \times 0,8 = 8\)

La variance d'une loi binomiale \(B(n, p)\) est donnée par : \(Var(X) = n \times p \times (1 - p)\)
Donc \(Var(X) = 10 \times 0,8 \times (1 - 0,8) = 1,6\)

Exercice 9:

Dans un centre de tri, 30% des colis sont destinés à l'international. On choisit au hasard 12 colis.
1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire \(Y\) qui compte le nombre de colis destinés à l'international parmi les 12 choisis ?
2. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 3 colis destinés à l'international.
3. Calculer l'espérance et l'écart-type de \(Y\).

1. Loi de probabilité de \(Y\) :
La variable aléatoire \(Y\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 12\) (nombre de colis choisis) et \(p = 0,3\) (probabilité qu'un colis soit destiné à l'international).

2. Probabilité \(P(Y ≤ 3)\) :
\(P(Y \leq 3) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3)\)
En calculant chacun de ces termes, on obtient :
\(P(Y \leq 3) = 0,168 + 0,360 + 0,324 + 0,145 = 0,997\)

3. Espérance et écart-type de \(Y\) :
L'espérance d'une loi binomiale \(B(n, p)\) est donnée par : \(E(Y) = n \times p\)
Donc \(E(Y) = 12 \times 0,3 = 3,6\)

La variance d'une loi binomiale \(B(n, p)\) est donnée par : \(Var(Y) = n \times p \times (1 - p)\)
Donc \(Var(Y) = 12 \times 0,3 \times (1 - 0,3) = 2,52\)
L'écart-type est la racine carrée de la variance, soit \(\sqrt{2,52} ≈ 1,59\)

Exercice 10:

Dans une salle d'examen, 15% des élèves ont triché. On choisit au hasard 6 élèves pour les interroger.
1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire \(Z\) qui compte le nombre d'élèves ayant triché parmi les 6 choisis ?
2. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 2 élèves ayant triché.
3. Calculer la probabilité qu'au moins un élève ait triché.

1. Loi de probabilité de \(Z\) :
   La variable aléatoire \(Z\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 6\) (nombre d'élèves choisis) et \(p = 0,15\) (probabilité qu'un élève ait triché).

2. Probabilité \(P(Z = 2)\) :
   Pour calculer la probabilité qu'il y ait exactement 2 élèves ayant triché, on utilise la formule :
   \(P(Z = 2) = \binom{6}{2} × 0,15^2 × (1 - 0,15)^4\)
   \(P(Z = 2) = \binom{6}{2} \times 0,15^2 \times 0,85^4 \approx 0,272\)

3. Probabilité \(P(Z ≥ 1)\) :
   Pour calculer la probabilité qu'au moins un élève ait triché, on utilise la formule :
   \(P(Z \geq 1) = P(Z = 1) + P(Z = 2) + P(Z = 3) + P(Z = 4) + P(Z = 5) + P(Z = 6)\)
   En calculant chacun de ces termes, on obtient :
   \(P(Z \geq 1) = 0,451 + 0,272 + 0,086 + 0,014 + 0,001 + 0,000 \approx 0,824\)

Forum(s) associé(s)

Dec 21 2015

📔 Loi Binomiale

1. Introduction à la loi binomiale :

2. Les concepts clés :

3. Notation et formule de la loi binomiale :

4. Propriétés de la loi binomiale :

5. Utilisation de la loi binomiale :

6. Exemple d'application :

7. Conclusion

Exercice 1:

Exercice 2:

Exercice 3:

Exercice 4:

Exercice 5:

Exercice 6:

Exercice 7:

Exercice 8:

Exercice 9:

Exercice 10:

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