On a représenté ci-dessous une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).
1. Conjecturer les limites de la fonction \(f\) en \(+∞\), puis en \(-∞\). 2. Préciser les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de la fonction \(f\). 3. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
solution en cours....
Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On a représenté ci-dessous une fonction \(f\) définie sur \(]-∞;-1[U]-1; +∞[\).
1. Conjecturer les limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition. 2. Préciser les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de la fonction \(f\). 3. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
solution en cours....
Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Le tableau de variation ci-dessous décrit les variations d'une fonction \(f\).
1. Utiliser les notations qui conviennent pour décrire les limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition. 2. Donner les équations des asymptotes éventuelles à la courbe représentative de la fonction \(f\). 3. Construire une courbe susceptible de représenter la fonction \(f\).
Solution en cours ...
Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)= 1+ \frac{2}{x^3}\). 1. À l'aide d'une calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction \(f\). 2. a. Conjecturer graphiquement la limite de \(f\) en \(+∞\). b. Déterminer graphiquement un réel \(A\) tel que, pour tout \(x> A\), \(f(x) \in ]0,99; 1,01[\). 3. a. Donner graphiquement la limite de \(f\) en \(-∞\). b. Déterminer graphiquement un réel \(B\) tel que, pour tout \(x < B\), \(f(x) \in ]0,999; 1,001[\).
1. Tracé de la courbe représentative de \(f\) ⚠️ Utilisez une calculatrice graphique pour tracer la courbe de \(f(x)\). Assurez-vous d'étendre l'axe des abscisses suffisamment pour observer le comportement de la fonction aux extrêmes.
2. a. Conjecturer graphiquement la limite de \(f\) en \(+\infty\) En observant le graphe de \(f(x)\) lorsque \(x\) augmente, vous devriez voir que \(f(x)\) se rapproche de \(1\). Ainsi, on conjecture que : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1. \] 2. b. Déterminer graphiquement un réel \(A\) Pour trouver un réel \(A\) tel que pour tout \(x > A\), \(f(x) \in ]0,99; 1,01[\), vous pouvez procéder comme suit :
1. Résolvez l'inéquation : \[ 0,99 < 1 + \frac{2}{x^3} < 1,01. \] 2. Cela revient à : \[ -0,01 < \frac{2}{x^3} < 0,01. \] 3. En multipliant par \(x^3\) (en considérant \(x > 0\)) : \[ -0,01x^3 < 2 < 0,01x^3. \] 4. Cela donne : \[ x^3 > 200 \quad \Rightarrow \quad x > \sqrt[3]{200} \approx 5,848. \] Vous pouvez estimer graphiquement que, par exemple, \(A \approx 6\) fonctionne.
3. a. Limite de \(f\) en \(-\infty\) En observant le graphe lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), vous devriez voir que \(f(x)\) se rapproche également de \(1\). Ainsi, on conjecture que : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1. \] 3. b. Déterminer graphiquement un réel \(B\) Pour trouver un réel \(B\) tel que pour tout \(x < B\), \(f(x) \in ]0,999; 1,001[\), suivez un raisonnement similaire à la partie 2.b :
1. Résolvez l'inéquation : \[ 0,999 < 1 + \frac{2}{x^3} < 1,001. \] 2. Cela revient à : \[ -0,001 < \frac{2}{x^3} < 0,001. \] 3. En multipliant par \(x^3\) (en considérant \(x < 0\)) : \[ -0,001x^3 < 2 < 0,001x^3. \] 4. Cela donne : \[ x^3 < -2000 \quad \Rightarrow \quad x < -\sqrt[3]{2000} \approx -12,599. \] Vous pouvez estimer graphiquement que, par exemple, \(B \approx -13\) fonctionne.
Ces valeurs peuvent être ajustées selon les résultats graphiques obtenus.
Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par:\[f(x)=x^3-x+1\] 1. À l'aide d'une calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction \(f\). 2. a. Conjecturer graphiquement la limite de la fonction \(f\) en \(+∞\), b. Quel est le rôle de l'algorithme suivant ? 𝙰 ← 0 𝚃𝚊𝚗𝚝 𝚚𝚞𝚎 𝙰³ - 𝙰+ 𝟷 < 𝟷0 000 𝙰 ← 𝙰+𝟷 3. a. Conjecturer graphiquement la limite de la fonction \(f\) en \(-∞\), b. Modifier l'algorithme précédent pour obtenir un réel \(x\) tel que \(f(x) <-10 000\).
1. Tracer la courbe représentative de \(f(x) = x^3 - x + 1\) Pour tracer la courbe de \(f\), vous pouvez utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel de tracé. Voici quelques points clés à considérer lors du traçage : • Zéros de la fonction : Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = 0\). • Dérivées : Analyser la dérivée pour identifier les points critiques (maximums et minimums). • Comportement aux limites : Observer la tendance de la fonction lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) et \(+\infty\).
2. a. Limite de \(f\) en \(+\infty\) Graphiquement, en observant la courbe de \(f(x)\) lorsque \(x\) augmente, on peut conjecturer que : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \] Justification : La fonction est un polynôme de degré 3 avec un coefficient positif devant \(x^3\), ce qui signifie qu'elle croît sans borne lorsque \(x\) augmente.
2. b. Rôle de l'algorithme L'algorithme suivant : A ← 0 Tant que A³ - A + 1 < 10 000 A ← A + 1
Rôle : Cet algorithme cherche à trouver une valeur \(A\) pour laquelle \(f(A) = A^3 - A + 1\) est suffisamment grand (au moins \(10 000\)). Il incrémente \(A\) jusqu'à ce que la condition soit remplie. Cela permet de déterminer un point où la fonction dépasse \(10 000\).
3. a. Limite de \(f\) en \(-\infty\) Graphiquement, en observant la courbe de \(f(x)\) lorsque \(x\) diminue, on peut conjecturer que : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \] Justification : En effet, le terme dominant \(x^3\) devient très négatif lorsque \(x\) est très négatif, entraînant la fonction vers \(-\infty\).
3. b. Modification de l'algorithme Pour trouver un réel \(x\) tel que \(f(x) < -10 000\), nous pouvons modifier l'algorithme comme suit : A ← 0 Tant que A³ - A + 1 > -10 000 A ← A - 1
Rôle de cette version : Cet algorithme cherche à trouver une valeur \(A\) pour laquelle \(f(A)\) est inférieure à \(-10 000\). En décrémentant \(A\), il cherche à identifier un point où la fonction descend en dessous de \(-10 000\).
Conclusion En résumé, nous avons étudié le comportement asymptotique de la fonction \(f(x) = x^3 - x + 1\) en \(+\infty\) et \(-\infty\), et nous avons adapté un algorithme pour trouver des valeurs spécifiques de \(x\) en relation avec ces limites.
Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Tracer l'allure de la courbe d'une fonction \(f\) qui vérifie simultanément les conditions suivantes: • \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3\); • \(f(0) = -2\) • \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x<2}} f(x) = +\infty\); • \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x) = +\infty\) • la courbe de la fonction \(f\) admet une asymptote en \(+\infty\) d'équation \(y=1\).
solution en cours....
Exercice 7: ★ ★ ★ ☆ ☆
Déterminer les limites en \(+∞\) et en \(-∞\) des fonctions suivantes. 1. \(x \rightarrow 3x^2-1\) 2. \(x \rightarrow 5-2x\) 3. \(x \rightarrow 2x^3+x+1\) 4. \(x \rightarrow e^x + \frac{1}{x}\) 5. \(x \rightarrow (x^2+1)(3-4x)\) 6. \(x \rightarrow (2x+1)(5-4x)\) 7. \(x \rightarrow -2e^x+3+\frac{5}{x}\) 8. \(x \rightarrow -x+ \frac{2}{3x^2}\)
Les limites en \(+\infty\) et en \(-\infty\) des fonctions :
1. \(f(x) = 3x^2 - 1\)
• Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 1) = +\infty \] Explication : À mesure que \(x\) augmente, le terme \(3x^2\) domine, et donc la fonction tend vers \(+\infty\).
• Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} (3x^2 - 1) = +\infty \] Explication : Même quand \(x\) est négatif, \(x^2\) reste positif. Ainsi, \(3x^2\) est toujours positif et tend vers \(+\infty\).
2. \(f(x) = 5 - 2x\)
• Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} (5 - 2x) = -\infty \] Explication : Le terme \(-2x\) devient très négatif, et donc la fonction tend vers \(-\infty\).
• Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} (5 - 2x) = +\infty \] Explication : Quand \(x\) est négatif, \(-2x\) devient positif, ce qui fait que la fonction tend vers \(+\infty\).
3. \(f(x) = 2x^3 + x + 1\)
• Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} (2x^3 + x + 1) = +\infty \] Explication : Le terme \(2x^3\) domine, et à mesure que \(x\) augmente, la fonction tend vers \(+\infty\).
• Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} (2x^3 + x + 1) = -\infty \] Explication : Lorsque \(x\) est très négatif, \(2x^3\) devient très négatif, entraînant la fonction vers \(-\infty\).
4. \(f(x) = e^x + \frac{1}{x}\)
• Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} (e^x + \frac{1}{x}) = +\infty \] Explication : Le terme \(e^x\) croît exponentiellement, ce qui entraîne la fonction vers \(+\infty\).
• Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} (e^x + \frac{1}{x}) = 0 \] Explication : \(e^x\) tend vers \(0\) et \(\frac{1}{x}\) tend aussi vers \(0\) (mais reste négatif), donc la somme tend vers \(0\).
5. \(f(x) = (x^2 + 1)(3 - 4x)\)
• Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} ((x^2 + 1)(3 - 4x)) = -\infty \] Explication : Le terme \(3 - 4x\) devient très négatif, et même si \(x^2 + 1\) est positif, le produit tend vers \(-\infty\).
• Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} ((x^2 + 1)(3 - 4x)) = +\infty \] Explication : Ici, \(3 - 4x\) devient très positif, donc le produit tend vers \(+\infty\).
6. \(f(x) = (2x + 1)(5 - 4x)\)
• Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} ((2x + 1)(5 - 4x)) = -\infty \] Explication : Le terme \(5 - 4x\) devient très négatif, entraînant la fonction vers \(-\infty\).
• Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} ((2x + 1)(5 - 4x)) = +\infty \] Explication : Ici, \(5 - 4x\) devient très positif, donc le produit tend vers \(+\infty\).
7. \(f(x) = -2e^x + 3 + \frac{5}{x}\)
• Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} (-2e^x + 3 + \frac{5}{x}) = -\infty \] Explication : Le terme \(-2e^x\) domine et tend vers \(-\infty\).
• Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} (-2e^x + 3 + \frac{5}{x}) = 3 \] Explication : Ici, \(-2e^x\) tend vers \(0\) et \(\frac{5}{x}\) tend vers \(0\), donc la limite est \(3\).
8. \(f(x) = -x + \frac{2}{3x^2}\)
• Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} \left(-x + \frac{2}{3x^2}\right) = -\infty \] Explication : Le terme \(-x\) domine et tend vers \(-\infty\).
• Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} \left(-x + \frac{2}{3x^2}\right) = +\infty \] Explication : Quand \(x\) est très négatif, \(-x\) devient très positif, tandis que \(\frac{2}{3x^2}\) tend vers \(0\).
Pour évaluer cette limite, observons le comportement de \( (x-1)^2 \) lorsque \( x \) s'approche de \( 1 \).
• Lorsque \( x \) approche \( 1 \), \( (x-1)^2 \) approche \( 0 \). • Comme \( (x-1)^2 \) est toujours positif pour \( x \neq 1 \), cela signifie que la fraction \(\frac{1}{(x-1)^2}\) tend vers \( +\infty \).
Ainsi, on a : \[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty \] 2. \(\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{-2x}{(4x-2)^2}\) Pour évaluer cette limite, nous allons d'abord examiner le dénominateur \( (4x - 2) \) lorsque \( x \) s'approche de \( \frac{1}{2} \). • Lorsque \( x = \frac{1}{2} \), on a : \[ 4x - 2 = 4\left(\frac{1}{2}\right) - 2 = 2 - 2 = 0 \] Donc, \( (4x - 2)^2 \) tend vers \( 0 \).
Pour le numérateur : • Lorsque \( x = \frac{1}{2} \), nous avons : \[ -2x = -2\left(\frac{1}{2}\right) = -1 \]
Maintenant, le comportement de la fraction : Le numérateur tend vers \(-1\) et le dénominateur tend vers \(0\). Comme \( (4x - 2) \) s'approche de \(0\), le carré de ce terme, \( (4x - 2)^2 \), approche également \(0\) par des valeurs positives.
Ainsi, la fraction \(\frac{-2x}{(4x-2)^2}\) tend vers \(-\infty\).
On a donc : \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{-2x}{(4x-2)^2} = -\infty \] Résumé des limites 1. \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty\) 2. \(\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{-2x}{(4x-2)^2} = -\infty\)
Exercice 10: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(f(x) = x^2-2x+5\). 1. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\). 2. Étudier les limites de la fonction \(f\) en \(-∞\) et en \(+∞\). 3. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) et vérifier graphiquement à l'aide de la calculatrice les résultats trouvés.
Etude complète de la fonction \( f(x) = x^2 - 2x + 5 \) :
1. Étude du sens de variation de la fonction \( f \) Pour étudier le sens de variation de \( f \), nous devons d'abord calculer sa dérivée : \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 5) = 2x - 2 \] Nous trouvons les points critiques en résolvant \( f'(x) = 0 \) : \[ 2x - 2 = 0 \implies x = 1 \] Nous étudions le signe de \( f' \) :
• Pour \( x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) (la fonction est décroissante). • Pour \( x > 1 \), \( f'(x) > 0 \) (la fonction est croissante).
2. Limites de la fonction \( f \) Nous allons maintenant étudier les limites de \( f \) en \(-\infty\) et \(+\infty\).
• Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x^2 - 2x + 5) = +\infty \] • Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 2x + 5) = +\infty \] 3. Tableau de variation de la fonction \( f \)
Nous avons déjà trouvé que :
• \( f(x) \) est décroissante sur \((-\infty, 1)\) et croissante sur \((1, +\infty)\). • Calculons la valeur de \( f \) en \( x = 1 \) : \[ f(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 \] Voici le tableau de variation : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & 1 & +\infty \\ \hline f'(x) & \text{(-)} & 0 & \text{(+)} \\ \hline f(x) & +\infty & 4 & +\infty \\ \hline \end{array} \] Conclusion • La fonction \(f\) atteint un minimum en \(x = 1\), avec une valeur de \(f(1) = 4\). • Le tableau de variation montre que \(f\) décroît jusqu'à \(x = 1\) puis croît.
Vérification graphique
Pour vérifier ces résultats, vous pouvez tracer la fonction \(f(x) = x^2 - 2x + 5\) à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel de graphisme. Vous devriez observer :
• Un minimum au point \((1, 4)\), • La fonction décroissante avant \(x = 1\) et croissante après \(x = 1\), • Les limites en \(-\infty\) et \(+\infty\) qui tendent vers \(+\infty\).
Exercice 11: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par:\[g(x)=x^3-x^2-5x+1\] 1. Étudier le sens de variation de la fonction \(g\). 2. Étudier les limites de la fonction \(g\) en \(-∞\) et en \(+∞\), 3. Dresser le tableau de variation de la fonction \(g\) et vérifier graphiquement, à l'aide de la calculatrice, les résultats trouvés.
Etude complète de la fonction \( g(x) = x^3 - x^2 - 5x + 1 \) :
1. Étude du sens de variation de la fonction \( g \) Pour étudier le sens de variation de \( g \), nous devons d'abord calculer sa dérivée : \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 - 5x + 1) = 3x^2 - 2x - 5 \] Nous trouvons les points critiques en résolvant \( g'(x) = 0 \) : \[ 3x^2 - 2x - 5 = 0 \] Nous utilisons la formule quadratique pour résoudre cette équation : \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} \] Calculons le discriminant : \[ D = 4 + 60 = 64 \] Les racines sont donc : \[ x = \frac{2 \pm 8}{6} \implies x_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{-6}{6} = -1 \] Nous avons deux points critiques : \( x = -1 \) et \( x = \frac{5}{3} \).
Étudions le signe de \( g' \) :
• Pour \( x < -1 \) (par exemple, \( x = -2 \)): \[ g'(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) - 5 = 12 + 4 - 5 = 11 > 0 \quad (\text{croissante}) \] • Pour \( -1 < x < \frac{5}{3} \) (par exemple, \( x = 0 \)): \[ g'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 5 = -5 < 0 \quad (\text{décroissante}) \] • Pour \( x > \frac{5}{3} \) (par exemple, \( x = 2 \)): \[ g'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 > 0 \quad (\text{croissante}) \] 2. Limites de la fonction \( g \) Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty \] Cela est dû au terme dominant \( x^3 \) qui devient très négatif lorsque \( x \) est très négatif.
Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \] Ici, le terme \( x^3 \) domine et devient très positif lorsque \( x \) est très positif.
3. Tableau de variation de la fonction \( g \) Voici le tableau de variation basé sur les informations précédentes : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -1 & \frac{5}{3} & +\infty \\ \hline g'(x) & + & 0 & 0 & + \\ \hline g(x) & -\infty & g(-1) & g\left(\frac{5}{3}\right) & +\infty \\ \hline \end{array} \] Calcul des valeurs de \( g \) aux points critiques :
Pour vérifier ces résultats, vous pouvez tracer la fonction \( g(x) = x^3 - x^2 - 5x + 1 \) à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel de graphisme. Vous devriez observer :
• Un maximum local en \( x = -1 \) avec \( g(-1) = 4 \), • Un minimum local en \( x = \frac{5}{3} \) avec \( g\left(\frac{5}{3}\right) = -\frac{148}{27} \), • Les limites en \(-\infty\) et \(+\infty\) qui tendent respectivement vers \(-\infty\) et \(+\infty\).
Exercice 12: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-∞; 1[U]1; +∞[\) par:\[f(x) =\frac{-2}{x-1}\] 1. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\). 2. Étudier les limites de la fonction \(f\) en \(-∞\) et en \(+∞\) et en déduire une asymptote éventuelle à la courbe représentative de la fonction \(f\). 3. Étudier les limites de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(1\) (on distinguera les cas \(x < 1\) et \(x > 1\)). En déduire une asymptote éventuelle à la courbe représentative de la fonction \(f\). 4. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) et vérifier graphiquement les résultats trouvés.
Etude complète de la fonction \( f(x) = \frac{-2}{x-1} \) définie sur \( ]-\infty, 1[ \cup ]1, +\infty[ \) :
1. Étude du sens de variation de la fonction \( f \) Pour étudier le sens de variation, nous allons calculer la dérivée de \( f \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{-2}{x-1}\right) = \frac{2}{(x-1)^2} \] Analyse du signe de \( f' \) :
• Pour \( x < 1 \), \( (x-1)^2 > 0 \) donc \( f'(x) > 0 \) (la fonction est croissante). • Pour \( x > 1 \), \( (x-1)^2 > 0 \) donc \( f'(x) > 0 \) (la fonction est également croissante).
Ainsi, \( f \) est croissante sur les deux intervalles \( ]-\infty, 1[ \) et \( ]1, +\infty[ \).
2. Limites de la fonction \( f \) Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{x-1} = 0 \] Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2}{x-1} = 0 \] Conclusion sur les asymptotes : Il y a une asymptote horizontale \( y = 0 \) pour \( x \to -\infty \) et \( x \to +\infty \).
3. Limites de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( 1 \) Pour \( x < 1 \) : \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{-2}{x-1} = -\infty \] Pour \( x > 1 \) : \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{-2}{x-1} = +\infty \] Conclusion sur l'asymptote : Il y a une asymptote verticale \( x = 1 \).
Pour vérifier ces résultats, vous pouvez tracer la fonction \( f(x) = \frac{-2}{x-1} \) à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel de graphisme. Vous devriez observer :
• Une asymptote verticale à \( x = 1 \), • Une asymptote horizontale à \( y = 0 \), • La fonction qui est croissante dans les intervalles \( ]-\infty, 1[ \) et \( ]1, +\infty[ \).
Exercice 13: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans chaque cas, déterminer les expressions possibles de deux fonctions \(f\) et \(g\) qui vérifient d'une part: \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=0\) et \(\lim_{x \to \infty} g(x)=+∞\); et d'autre part: a. \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = 0\). b. \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = +∞\), c. \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = 5\).
Expressions possibles des fonctions \(f\) et \(g\) qui satisfont les conditions données:
a. \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = 0\) ■ Choix des fonctions 1. Fonction \(f(x)\) : • Choisissons \(f(x) = \frac{1}{x^2}\). • Justification : Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\frac{1}{x^2}\) tend vers \(0\). Cela respecte la condition \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\). 2. Fonction \(g(x)\) : • Choisissons \(g(x) = x\). • Justification : Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(g(x) = x\) tend vers \(+\infty\). Cela respecte la condition \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\). ■ Vérification de la limite Calculons maintenant la limite du produit : \[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x^2} \times x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \] Conclusion : Cela confirme que \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = 0\). b. \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = +\infty\) ■ Choix des fonctions 1. Fonction \(f(x)\) : • Choisissons \(f(x) = \frac{1}{x}\). • Justification : Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\frac{1}{x}\) tend vers \(0\). 2. Fonction \(g(x)\) : • Choisissons \(g(x) = x^2\). • Justification : Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(g(x) = x^2\) tend vers \(+\infty\). ■ Vérification de la limite Calculons maintenant la limite du produit : \[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x} \times x^2\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty \] Conclusion : Cela confirme que \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = +\infty\). c. \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = 5\) ■ Choix des fonctions 1. Fonction \(f(x)\) : • Choisissons \(f(x) = \frac{5}{x}\). • Justification : Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\frac{5}{x}\) tend vers \(0\). 2. Fonction \(g(x)\) : • Choisissons \(g(x) = x\). • Justification : Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(g(x) = x\) tend vers \(+\infty\). ■ Vérification de la limite Calculons maintenant la limite du produit : \[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{5}{x} \times x\right) = \lim_{x \to +\infty} 5 = 5 \] Conclusion : Cela confirme que \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = 5\). Résumé des choix et démarches • Cas a : • \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) (tend vers \(0\)) • \(g(x) = x\) (tend vers \(+\infty\)) • Limite produit : \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = 0\) • Cas b : • \(f(x) = \frac{1}{x}\) (tend vers \(0\)) • \(g(x) = x^2\) (tend vers \(+\infty\)) • Limite produit : \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = +\infty\) • Cas c : • \(f(x) = \frac{5}{x}\) (tend vers \(0\)) • \(g(x) = x\) (tend vers \(+\infty\)) • Limite produit : \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) \times g(x)) = 5\) Ces choix et vérifications montrent comment sélectionner des fonctions qui respectent les limites souhaitées tout en expliquant chaque étape du raisonnement.
Exercice 14: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans chaque cas, déterminer une expression possible de deux fonctions \(f\) et \(g\) qui vérifient, d'une part : \(\lim_{x \to \infty} f(x)= \lim_{x \to \infty} g(x) = +∞\); et d'autre part: a. \(\lim_{x \to +\infty} (f(x)- g(x)) = 0\). b. \(\lim_{x \to +\infty} (f(x)- g(x)) = +∞\), c. \(\lim_{x \to +\infty} (f(x)- g(x)) = -∞\).
Exemples d'expressions pour les fonctions \(f\) et \(g\) qui satisfont les conditions données dans chaque cas, avec des explications détaillées:
a. \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) - g(x)) = 0\)
■ Choix des fonctions
1. Fonction \(f(x)\) : • Choisissons \(f(x) = 2x\). • Justification : Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(f(x)\) tend vers \(+\infty\).
2. Fonction \(g(x)\) : • Choisissons \(g(x) = 2x + 1\). • Justification : Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(g(x)\) tend aussi vers \(+\infty\).
■ Vérification de la limite
Calculons la limite de la différence : \[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to +\infty} (2x - (2x + 1)) = \lim_{x \to +\infty} (-1) = -1 \] Correction : Pour que la limite soit \(0\), nous pouvons choisir \(g(x) = 2x + o(x)\) avec \(o(x)\) un terme qui devient négligeable par rapport à \(2x\).
Nous pouvons donc prendre : • \(f(x) = 2x\) • \(g(x) = 2x + \frac{1}{x}\)
Résumé des choix et démarches • Cas a : \(f(x) = 2x\) et \(g(x) = 2x + \frac{1}{x}\) \(\Rightarrow \lim_{x \to +\infty} (f(x) - g(x)) = 0\) • Cas b : \(f(x) = 3x^2\) et \(g(x) = 2x^2\) \(\Rightarrow \lim_{x \to +\infty} (f(x) - g(x)) = +\infty\) • Cas c : \(f(x) = 2x\) et \(g(x) = 3x\) \(\Rightarrow \lim_{x \to +\infty} (f(x) - g(x)) = -\infty\)
Ces choix et vérifications montrent comment créer des fonctions qui respectent les limites souhaitées tout en expliquant chaque étape du raisonnement.
Exercice 15: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Trouver la valeur du réel \(a\) tel que : \[\lim_{x \to +\infty} \frac{(5-2x)(2+ax)}{3x^2+5}= 8\]
Pour trouver la valeur de \(a\) telle que \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(5-2x)(2+ax)}{3x^2+5} = 8, \] nous allons d'abord simplifier l'expression dans la limite.
■ Étape 1 : Simplification de l'expression Nous commençons par développer le numérateur : \[ (5 - 2x)(2 + ax) = 10 + 5ax - 4x - 2ax^2. \] Nous pouvons réécrire cela sous la forme : \[ -2ax^2 + (5a - 4)x + 10. \] ■ Étape 2 : Analyse des termes dominants Pour \(x\) grand, le terme dominant dans le numérateur est \(-2ax^2\) et dans le dénominateur, c'est \(3x^2\). Nous pouvons donc écrire : \[ \frac{(5-2x)(2+ax)}{3x^2+5} \sim \frac{-2ax^2}{3x^2} = \frac{-2a}{3} \quad \text{lorsque } x \to +\infty. \] ■ Étape 3 : Établir l'égalité avec la limite Nous souhaitons que cette limite soit égale à \(8\) : \[ \frac{-2a}{3} = 8. \] ■ Étape 4 : Résolution de l'équation Pour résoudre cette équation, multiplions les deux côtés par \(3\) : \[ -2a = 24. \] Ensuite, divisons par \(-2\) : \[ a = -12. \] ■ Conclusion La valeur du réel \(a\) est \(-12\)
Exercice 16: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Démontrer que la courbe représentative de la fonction \(f(x)=\frac{5-2x}{2x-3}\), définie sur l'ensemble \(]-∞; 1,5[U]1,5; +∞[\), admet une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
Pour démontrer que la courbe représentative de la fonction \(f(x) = \frac{5 - 2x}{2x - 3}\) admet une asymptote verticale et une asymptote horizontale, nous allons analyser les limites de la fonction.
1. Asymptote verticale Les asymptotes verticales se produisent lorsque le dénominateur de la fonction s'annule et que le numérateur ne s'annule pas en ce même point.
• Calculons les valeurs pour lesquelles le dénominateur s'annule : \[ 2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1,5 \] La fonction \(f(x)\) est donc définie sur \(]-\infty; 1,5[ \cup ]1,5; +\infty[\), ce qui confirme qu'il y a une discontinuité en \(x = 1,5\).
• Étudions le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) approche \(1,5\) : Lorsque \(x \to 1,5^-\) (par la gauche) : \[ f(x) = \frac{5 - 2(1,5)}{2(1,5) - 3} = \frac{5 - 3}{0^-} = \frac{2}{0^-} \to -\infty \] Lorsque \(x \to 1,5^+\) (par la droite) : \[ f(x) = \frac{5 - 2(1,5)}{2(1,5) - 3} = \frac{5 - 3}{0^+} = \frac{2}{0^+} \to +\infty \] Il en résulte que la courbe a une asymptote verticale en \(x = 1,5\).
2. Asymptote horizontale Les asymptotes horizontales sont déterminées par le comportement de la fonction lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\). • Calculons les limites lorsque \(x \to +\infty\) et \(x \to -\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5 - 2x}{2x - 3} \] Pour simplifier, divisons le numérateur et le dénominateur par \(x\) : \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{5}{x} - 2}{2 - \frac{3}{x}} = \frac{0 - 2}{2 - 0} = -1 \] De même, pour \(x \to -\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{5 - 2x}{2x - 3} \] Encore une fois, divisons par \(x\) : \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{5}{x} - 2}{2 - \frac{3}{x}} = \frac{0 - 2}{2 - 0} = -1 \] Conclusion La fonction \(f(x) = \frac{5 - 2x}{2x - 3}\) a : • Une asymptote verticale en \(x = 1,5\). • Une asymptote horizontale en \(y = -1\).
Ainsi, on a démontré que la courbe représentative de la fonction admet bien ces asymptotes.
Exercice 17: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par: \(f(x)=5-3x\) et \(g(x) = e^x\). 1. Déterminer la limite de \(f\) en \(+∞\). 2. Déterminer la limite de \(g\) en \(-∞\). 3. En déduire la limite en \(+∞\) de la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=e^{5-3x}\)
1. Limite de \(f\) en \(+\infty\) La fonction \(f\) est définie par : \[ f(x) = 5 - 3x \] Pour déterminer la limite de \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), nous calculons : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (5 - 3x) \] À mesure que \(x\) augmente, le terme \(-3x\) va dominer, et donc : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \] 2. Limite de \(g\) en \(-\infty\) La fonction \(g\) est définie par : \[ g(x) = e^x \] Pour déterminer la limite de \(g\) lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), nous calculons : \[ \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} e^x \] À mesure que \(x\) diminue, \(e^x\) tend vers \(0\). Donc : \[ \lim_{x \to -\infty} g(x) = 0 \] 3. Limite de \(h\) en \(+\infty\) La fonction \(h\) est définie par : \[ h(x) = e^{5 - 3x} \] Pour déterminer la limite de \(h\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), nous réécrivons l'exposant : \[ h(x) = e^{5 - 3x} = e^{5} \cdot e^{-3x} \] Nous devons maintenant déterminer la limite de \(e^{-3x}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} e^{-3x} = 0 \] Donc, en combinant cela avec \(e^5\), nous avons : \[ \lim_{x \to +\infty} h(x) = e^5 \cdot 0 = 0 \] Résumé des limites • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\) • \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\) • \(\lim_{x \to +\infty} h(x) = 0\)
Ainsi, nous avons déterminé les limites demandées pour chaque fonction.
Exercice 18: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par:\[u_n = \sqrt{n +1}-\sqrt{n}\] 1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\): \[u_n = \frac{1}{\sqrt{n +1}-\sqrt{n}}\] 2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Pour analyser la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \] 1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\): Nous voulons prouver que : \[ u_n = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \] Étape 1 : Multiplier par le conjugué Pour manipuler \(u_n\), nous multiplions et divisons par le conjugué : \[ u_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{(n + 1) - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \] Donc nous avons montré que : \[ u_n = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \] 2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\) Nous allons maintenant déterminer la limite de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l'infini : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \] Étape 1 : Simplifier l'expression Pour des grandes valeurs de \(n\), \(\sqrt{n + 1}\) et \(\sqrt{n}\) se comportent comme \(\sqrt{n}\). On peut donc écrire : \[ \sqrt{n + 1} \approx \sqrt{n} \quad \text{lorsque } n \to +\infty \] Étape 2 : Évaluer la limite Ainsi, on a : \[ \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \approx \sqrt{n} + \sqrt{n} = 2\sqrt{n} \] En substituant, nous obtenons : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \approx \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2\sqrt{n}} = 0 \] Conclusion La limite de la suite \((u_n)\) est : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \] Ainsi, nous avons montré que :
1. \(u_n = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\) pour tout entier naturel \(n\). 2. La limite de la suite \((u_n)\) est \(0\).
Exercice 19: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(m\) la fonction définie sur \([0; +∞[\) par:\[m(x) = sin(x) \times e^x\] À l'aide d'un encadrement bien choisi, montrer que \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow -\infty}} m(x) = 0\).
Pour étudier la limite de la fonction \(m(x) = \sin(x) \times e^x\) lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), nous allons analyser le comportement des deux facteurs de la fonction.
■ Étape 1 : Comportement de \(\sin(x)\) La fonction \(\sin(x)\) est bornée, c'est-à-dire : \[ -1 \leq \sin(x) \leq 1 \quad \text{pour tout } x. \] ■ Étape 2 : Comportement de \(e^x\) La fonction exponentielle \(e^x\) a un comportement bien connu lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0. \] ■ Étape 3 : Encadrement de \(m(x)\) Avec ces informations, nous pouvons encadrer \(m(x)\) : \[ -1 \times e^x \leq m(x) = \sin(x) \times e^x \leq 1 \times e^x. \] Cela nous donne : \[ -e^x \leq m(x) \leq e^x. \] ■ Étape 4 : Limite de l'encadrement Nous allons maintenant prendre la limite des bornes lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) :
1. Pour la limite inférieure : \[ \lim_{x \to -\infty} -e^x = -0 = 0. \]
2. Pour la limite supérieure : \[ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0. \] ■ Conclusion Par le théorème des gendarmes, puisque : \[ -e^x \to 0 \quad \text{et} \quad e^x \to 0 \quad \text{lorsque } x \to -\infty, \] nous concluons que : \[ \lim_{x \to -\infty} m(x) = 0. \] Ainsi, nous avons montré que : \[ \lim_{x \to -\infty} m(x) = 0. \]
Exercice 20: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-∞; 1[U]1; +\infty[\) par:\[f(x)=\frac{3x-2}{1-x}\] 1. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\). 2. Déterminer les limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition. Préciser les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de la fonction \(f\). 3. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) et vérifier graphiquement les résultats.
Pour étudier la fonction \(f(x) = \frac{3x - 2}{1 - x}\) définie sur \(]-\infty; 1[ \cup ]1; +\infty[\), nous allons suivre les étapes demandées.
1. Sens de variation de la fonction \(f\) Étape 1 : Calculons la dérivée \(f'(x)\) Pour étudier le sens de variation, nous devons d'abord calculer la dérivée de \(f\) : \[ f(x) = \frac{3x - 2}{1 - x} \] Utilisons la règle du quotient : \[ f'(x) = \frac{(1 - x)(3) - (3x - 2)(-1)}{(1 - x)^2} \] \[ = \frac{3 - 3x + 3x - 2}{(1 - x)^2} = \frac{1}{(1 - x)^2} \] Étape 2 : Analysons le signe de \(f'(x)\) Le dénominateur \((1 - x)^2\) est toujours positif pour \(x \neq 1\). Ainsi, \(f'(x) > 0\) pour tout \(x\) dans l'ensemble de définition. Cela signifie que : \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty; 1[\) et \(]1; +\infty[\).
2. Limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{1 - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{-1 + \frac{1}{x}} = \frac{3}{-1} = -3 \] Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 2}{1 - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{-1 + \frac{1}{x}} = \frac{3}{-1} = -3 \] Limite à la discontinuité \(x = 1\) : \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{3x - 2}{1 - x} = \frac{3(1) - 2}{1 - 1} = \frac{1}{0^-} = +\infty \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{3x - 2}{1 - x} = \frac{3(1) - 2}{1 - 1} = \frac{1}{0^+} = -\infty \] 3. Tableau de variation de la fonction \(f\) Récapitulons les informations obtenues : • \(f\) est strictement croissante. • \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3\) • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -3\) • \(f\) présente une discontinuité en \(x = 1\) avec une asymptote verticale.
Tableau de variation : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & 1^- & 1^+ & +\infty \\ \hline f(x) & -3 & +\infty & -\infty & -3 \\ \hline \text{Variation} & \nearrow & \text{discontinuité} & \searrow & \\ \hline \end{array} \] Conclusion • Asymptote verticale : Il y a une asymptote verticale en \(x = 1\). • Asymptote horizontale : Il n'y a pas d'asymptote horizontale puisque les limites en \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas constantes.
Vérification graphique
Pour vérifier graphiquement les résultats, vous pouvez tracer la fonction \(f(x)\) et observer : • La fonction doit être croissante. • La courbe doit tendre vers \(-3\) aux extrêmes. • Une discontinuité (asymptote verticale) doit apparaître en \(x = 1\).
Ainsi, toutes les observations et résultats sont conformes.
Exercice 21: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = \frac{1}{x^2+x-2}\) 1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\). 2. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\). 3. Déterminer les limites de la fonction faux bornes de son ensemble de définition. Préciser les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de la fonction \(f\). 4. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) et vérifier graphiquement les résultats.
Pour étudier la fonction \(f(x) = \frac{1}{x^2 + x - 2}\), nous allons procéder étape par étape.
1. Ensemble de définition de \(f\) L'ensemble de définition de \(f\) est constitué des valeurs de \(x\) pour lesquelles le dénominateur n'est pas nul : \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Étape 1 : Résolvons l'équation quadratique Utilisons la formule quadratique : \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Cela donne les solutions : \[ x_1 = 1 \quad \text{et} \quad x_2 = -2 \] Conclusion : Ensemble de définition L'ensemble de définition de \(f\) est : \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\} \] 2. Sens de variation de la fonction \(f\) Étape 1 : Calculons la dérivée \(f'(x)\) Pour étudier le sens de variation, nous devons calculer la dérivée. Utilisons la règle de la dérivée d'un quotient : \[ f'(x) = -\frac{(0)(g(x)) - (1)(g'(x))}{(g(x))^2} \quad \text{avec } g(x) = x^2 + x - 2 \] Calculons \(g'(x)\) : \[ g'(x) = 2x + 1 \] Donc, \[ f'(x) = -\frac{2x + 1}{(x^2 + x - 2)^2} \] Étape 2 : Analysons le signe de \(f'(x)\) Le dénominateur \((x^2 + x - 2)^2\) est toujours positif (sauf aux discontinuités). Analysons le numérateur : \[ f'(x) = - (2x + 1) \] • \(f'(x) > 0\) lorsque \(2x + 1 < 0 \implies x < -\frac{1}{2}\). • \(f'(x) < 0\) lorsque \(x > -\frac{1}{2}\).
3. Limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition Limite en \(-2\) : \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{0^-} = -\infty \] \[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{0^+} = +\infty \] Limite en \(1\) : \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2 + x - 2} = \frac{1}{0^-} = -\infty \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2 + x - 2} = \frac{1}{0^+} = +\infty \] Conclusion : Asymptotes Asymptote verticale en \(x = -2\) et \(x = 1\).
4. Tableau de variation de la fonction \(f\) Récapitulons les informations : • \(f\) est décroissante sur \((-2, 1)\) et croissante sur \((1, +\infty)\). • Discontinuités en \(x = -2\) et \(x = 1\).
Tableau de variation : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -2^- & -2^+ & 1^- & 1^+ & +\infty \\ \hline f(x) & 0 & -\infty & +\infty & -\infty & +\infty & 0 \\ \hline \text{Variation} & \searrow & \text{discontinuité} & \nearrow & \text{discontinuité} & \nearrow & \\ \hline \end{array} \] Vérification graphique Pour vérifier graphiquement les résultats, vous pouvez tracer la fonction \(f(x)\) et observer : • La fonction doit avoir des asymptotes verticales en \(x = -2\) et \(x = 1\). • La fonction doit décroître sur l'intervalle \((-2, 1)\) et croître sur \((1, +\infty)\).
Ainsi, toutes les observations et résultats sont conformes.
Exercice 22: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On pose \(f(x)=\sqrt{x^2 -2x+3}\). 1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\). 2. Déterminer les limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
Pour la fonction \(f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 3}\), nous allons procéder par étapes.
1. Ensemble de définition de \(f\) Pour que \(f(x)\) soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative : \[ x^2 - 2x + 3 \geq 0 \] Étape 1 : Analysons le discriminant Pour déterminer si le trinôme est toujours positif, calculons son discriminant \(\Delta\) : \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \] Le discriminant est négatif (\(\Delta < 0\)), ce qui signifie que le trinôme n'a pas de racines réelles et qu'il est toujours positif.
Conclusion : L'ensemble de définition de \(f\) est : \[ \mathcal{D}_f = \mathbb{R} \] 2. Limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition Comme \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\), nous allons déterminer les limites lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) et \(+\infty\).
Ainsi, la fonction \(f(x)\) est définie pour tous les réels et tend vers \(+\infty\) aux deux extrêmes de son domaine.
Exercice 23: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0; +\infty[\) par :\[f(x) = \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}\] Déterminer les limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
Pour déterminer les limites de la fonction \(f(x) = \sqrt{x + 1 + \frac{1}{x}}\) aux bornes de son ensemble de définition \(]0; +\infty[\), nous allons étudier les limites lorsque \(x\) tend vers \(0\) et \(+\infty\).
■ Limite lorsque \(x \to 0^+\) Calculons la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\) par la droite : \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x + 1 + \frac{1}{x}} \] En substituant \(x\) par une valeur proche de \(0\), nous avons : \[ = \sqrt{0 + 1 + \frac{1}{0^+}} = \sqrt{1 + +\infty} = \sqrt{+\infty} = +\infty \] ■ Limite lorsque \(x \to +\infty\) Maintenant, calculons la limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x + 1 + \frac{1}{x}} \] Pour simplifier l'expression, nous pouvons factoriser \(x\) : \[ = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \] À mesure que \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\frac{1}{x} \to 0\) et \(\frac{1}{x^2} \to 0\), donc : \[ \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \to \sqrt{1} = 1 \] Ainsi, nous avons : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} \cdot 1 = +\infty \] ■ Conclusion Les limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition sont : • \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\) • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)
La fonction \(f(x)\) tend donc vers \(+\infty\) aux deux extrémités de son domaine.
Exercice 24: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-∞; 0[U]0; +∞[\) par: \[f(x) = \frac{x^2 + 3x + 1}{x}\] 1. Étudier les limites de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(0\). Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ? 2. Étudier les limites de \(f\) en \(+∞\) et en \(-∞\). 3. Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) et la droite d'équation \(y = x+3\). Que constate-t-on ? 4. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-∞; 0[U]0; +∞[\) par: \[g(x)= f(x)-(x+3)\] Montrer que \(g(x\)) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+∞\) et quand \(x\) tend vers\(-∞\). 𝑂𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑑'𝑒́𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 \(𝑦=𝑥+3\) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑎̀ 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒́𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 \(𝑓\).
Pour analyser la fonction \(f(x) = \frac{x^2 + 3x + 1}{x}\) définie sur \(]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[\), nous allons suivre les étapes demandées.
1. Limites de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(0\) Limite en \(0^-\) (approche par la gauche) : \[ f(x) = \frac{x^2 + 3x + 1}{x} = x + 3 + \frac{1}{x} \] Lorsque \(x \to 0^-\), \(\frac{1}{x} \to -\infty\), donc : \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty \] Limite en \(0^+\) (approche par la droite) : De même, lorsque \(x \to 0^+\) : \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 3 + \frac{1}{x} \to +\infty \] Conclusion : La courbe représentative présente une discontinuité en \(x = 0\) avec une asymptote verticale. Ainsi, \(f(x)\) tend vers \(-\infty\) à gauche et vers \(+\infty\) à droite.
2. Limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\) Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( x + 3 + \frac{1}{x} \right) = +\infty \] Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( x + 3 + \frac{1}{x} \right) = -\infty \] 3. Tracer la courbe représentative de \(f\) et la droite \(y = x + 3\) Pour tracer la courbe de \(f\) ainsi que la droite \(y = x + 3\), on observe que : • La fonction \(f(x)\) se comporte comme \(y = x + 3\) pour des valeurs de \(x\) très grandes ou très petites. • Plus précisément, pour de grandes valeurs de \(x\), \(f(x)\) s'approche de \(y = x + 3\).
4. Étude de \(g(x) = f(x) - (x + 3)\) Nous avons : \[ g(x) = f(x) - (x + 3) = \frac{x^2 + 3x + 1}{x} - (x + 3) \] En simplifiant : \[ g(x) = \frac{x^2 + 3x + 1 - x^2 - 3x}{x} = \frac{1}{x} \] Limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \] Limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0 \] Conclusion Nous avons montré que : • La fonction \(g(x)\) tend vers \(0\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) et \(-\infty\). • Cela implique que la droite \(y = x + 3\) est une asymptote oblique à la courbe représentative de \(f\).
Résumé des observations • La fonction \(f(x)\) a une asymptote verticale en \(x = 0\). • Elle tend vers \(+\infty\) en \(0^+\) et vers \(-\infty\) en \(0^-\). • La droite \(y = x + 3\) est une asymptote oblique de \(f\).
Exercice 25: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)= \frac{2x^2-5x-2}{x-3}\) sur \(]-∞; 3[U]3; +∞[\). 1. Étudier les limites de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(3\). Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ? 2. Étudier les limites de \(f\) en \(+∞\) et en \(-∞\). 3. Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\). 4. Déterminer les trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que: \[f(x)= ax+b + \frac{c}{x-3}\] 5. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-∞; 3[U]3; +∞[\) par: \[g(x)= f(x)-(ax+b)\] Montrer que \(g(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+∞\) et quand \(x\) tend vers \(-∞\). Comment peut-on interpréter graphiquement ce résultat ?
Pour étudier la fonction \(f(x) = \frac{2x^2 - 5x - 2}{x - 3}\) définie sur \(]-\infty; 3[ \cup ]3; +\infty[\), nous allons procéder par étapes.
1. Limites de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(3\) Calculons la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(3\) : \[ f(x) = \frac{2x^2 - 5x - 2}{x - 3} \] Pour \(x\) approchant \(3\), le dénominateur tend vers \(0\). Calculons le numérateur à \(x = 3\) : \[ 2(3)^2 - 5(3) - 2 = 18 - 15 - 2 = 1 \] Ainsi, \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \frac{1}{0} \] • Limite à gauche (\(x \to 3^-\)) : \(f(x) \to +\infty\) • Limite à droite (\(x \to 3^+\)) : \(f(x) \to -\infty\)
Conclusion : Il y a une asymptote verticale en \(x = 3\) sur la courbe représentative de \(f\).
2. Limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\) Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 5x - 2}{x - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 - \frac{5}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{2}{1} = 2 \] Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 - 5x - 2}{x - 3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 - \frac{5}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{2}{1} = 2 \] Conclusion : Les limites en \(+\infty\) et \(-\infty\) sont \(2\), donc il y a une asymptote horizontale en \(y = 2\).
3. Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) Pour tracer la courbe de \(f\), nous avons : • Une asymptote verticale en \(x = 3\). • Une asymptote horizontale en \(y = 2\). • La fonction est croissante sur les intervalles \(]-\infty, 3[\) et \(]3, +\infty[\).
4. Déterminer \(a\), \(b\) et \(c\) Nous voulons écrire \(f(x)\) sous la forme : \[ f(x) = ax + b + \frac{c}{x - 3} \] Étape 1 : Effectuons la division polynomiale Divisons le numérateur par le dénominateur : \[ 2x^2 - 5x - 2 = (x - 3)(2x + 1) + 1 \] Cela nous donne : \[ f(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x - 3} \] Ainsi, nous avons : • \(a = 2\) • \(b = 1\) • \(c = 1\)
5. Étude de \(g(x)\) La fonction \(g(x)\) est définie par : \[ g(x) = f(x) - (ax + b) = f(x) - (2x + 1) = \frac{1}{x - 3} \] Limites de \(g(x)\) : • Quand \(x \to +\infty\) : \[ g(x) = \frac{1}{x - 3} \to 0 \] • Quand \(x \to -\infty\) : \[ g(x) = \frac{1}{x - 3} \to 0 \] Interprétation graphique Le fait que \(g(x)\) tende vers \(0\) signifie que \(f(x)\) se rapproche de la droite \(y = 2x + 1\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) et \(-\infty\). Cela montre que la courbe de \(f\) s'approche asymptotiquement de la droite \(y = 2x + 1\) pour des valeurs très grandes ou très petites de \(x\).
Exercice 26: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[f(x)=3x^2-x-1\] 1. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+∞\). b. Quel est le rôle de l'algorithme suivant, qui renvoie le réel \(x\) ? 𝚡 ←0 𝙰 ← 𝟷00 𝚃𝚊𝚗𝚝 𝚚𝚞𝚎 𝚡²-𝚡-𝟷 < 𝙰 𝚡←𝚡+𝟷 c. Programmer cet algorithme en Python, puis l'exécuter avec \(A = 100\), \(A = 1000\) puis \(A = 10000\). 2. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0; +∞[\) par : \[g(x)=\frac{x-25}{\sqrt{x} + 5}\] a. Tracer la courbe représentative de la fonction \(g\). b. Montrer que \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = +∞\). c. Adapter l'algorithme précédent à cette fonction. d. Tester l'algorithme avec \(A = 10\), \(A = 100\) puis \(A = 1000\). Comment expliquer ces résultats ? e. Proposer une modification de l'algorithme pour qu'il donne la valeur attendue avec \(A = 1 000\), puis avec \(A = 100 000\).
1. Étude de la fonction \(f(x) = 3x^2 - x - 1\) a. Limite de \(f\) en \(+\infty\) Pour déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), on examine le terme dominant de \(f(x)\), qui est \(3x^2\). \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (3x^2 - x - 1) = +\infty \] b. Rôle de l'algorithme L'algorithme proposé cherche à trouver un \(x\) tel que \(x^2 - x - 1\) soit inférieur à une valeur \(A\). En d'autres termes, il recherche une solution à l'équation \(x^2 - x - 1 = 0\) en augmentant \(x\) jusqu'à ce que la condition soit remplie. Cela permet d'estimer la racine positive de l'équation quadratique.
c. Programmation de l'algorithme en Python Voici une implémentation de l'algorithme en Python :
2. Étude de la fonction \(g(x) = \frac{x - 25}{\sqrt{x} + 5}\) a. Tracer la courbe représentative de \(g\) Pour tracer la courbe, vous pouvez utiliser un logiciel de graphisme ou une bibliothèque Python comme Matplotlib. Voici un exemple de code pour tracer la fonction :
b. Limite de \(g\) en \(+\infty\) Pour montrer que \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\), on simplifie : \[ g(x) = \frac{x - 25}{\sqrt{x} + 5} \] Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), le terme dominant dans le numérateur est \(x\) et dans le dénominateur \(\sqrt{x}\). Ainsi : \[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1 - \frac{25}{x})}{\sqrt{x}(1 + \frac{5}{\sqrt{x}})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty \]
c. Adaptation de l'algorithme L'algorithme peut être adapté pour \(g\) comme suit :
Explication des résultats : Pour \(A = 10\), \(A = 100\), et \(A = 1000\), l'algorithme renverra des valeurs de \(x\) qui augmentent, car la valeur de \(g(x)\) doit atteindre des niveaux de plus en plus élevés.
e. Modification de l'algorithme
Pour améliorer la précision et permettre de trouver des valeurs pour des \(A\) plus grands, on peut diminuer le pas d'augmentation de \(x\) dans l'algorithme :
Avec cette modification, l'algorithme pourra donner des résultats plus précis même pour des valeurs de \(A\) comme \(1000\) ou \(100000\).
Exercice 27: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Déterminer les limites suivantes à l'aide du taux d'accroissement. 1. \(\lim_{h \to 0} \frac{e^h -1}{h}\) 2. \(\lim_{t \to 2} \frac{t^3-8}{t-2}\) 3.\( \lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x}-5}{x-25}\)
Nous allons déterminer les limites demandées en utilisant la notion de taux d'accroissement, qui est souvent liée à la dérivée d'une fonction. Voici les étapes détaillées pour chaque limite.
1. \(\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}\) ■ Étape 1 : Identification de la fonction Nous reconnaissons que cette limite correspond à la définition de la dérivée de la fonction \(f(h) = e^h\) en \(h = 0\).
■ Étape 2 : Calcul de la dérivée La dérivée de \(f(h)\) est donnée par : \[ f'(h) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h - e^0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \]
■ Étape 3 : Evaluation de la dérivée en \(h = 0\) Nous savons que : \[ f'(h) = e^h \] En évaluant à \(h=0\) : \[ f'(0) = e^0 = 1 \] ■ Conclusion pour la première limite : \[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1 \]
2. \(\lim_{t \to 2} \frac{t^3 - 8}{t - 2}\) ■ Étape 1 : Identification de la fonction Nous pouvons écrire \(t^3 - 8\) comme une différence de cubes : \[ t^3 - 8 = (t - 2)(t^2 + 2t + 4) \] ■ Étape 2 : Simplification de l'expression En remplaçant dans la limite : \[ \frac{t^3 - 8}{t - 2} = \frac{(t - 2)(t^2 + 2t + 4)}{t - 2} \] Pour \(t \neq 2\), cette expression se simplifie en : \[ t^2 + 2t + 4 \] ■ Étape 3 : Evaluation de la limite Nous pouvons maintenant évaluer la limite en \(t = 2\) : \[ \lim_{t \to 2} (t^2 + 2t + 4) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \] ■ Conclusion pour la deuxième limite : \[ \lim_{t \to 2} \frac{t^3 - 8}{t - 2} = 12 \]
3. \(\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}\) ■ Étape 1 : Identification de la fonction Ici, nous pouvons reconnaître que cela ressemble à la définition de la dérivée de \(f(x) = \sqrt{x}\) en \(x = 25\).
■ Étape 2 : Calcul de la dérivée La dérivée de \(f(x) = \sqrt{x}\) est : \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] En évaluant à \(x = 25\) : \[ f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10} \] ■ Étape 3 : Evaluation de la limite En utilisant la définition de la dérivée : \[ \lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25} = f'(25) = \frac{1}{10} \] ■ Conclusion pour la troisième limite : \[ \lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25} = \frac{1}{10} \]
1. Déterminer \(\lim_{h \to -\infty} (-5h^3 +2h-1)\) 2. En déduire \(\lim_{h \to -\infty} e^{(-5h^3 +2h-1)}\) 3. Procéder de même en \(+∞\)
Pour déterminer les limites demandées, procédons étape par étape.
1. \(\lim_{h \to -\infty} (-5h^3 + 2h - 1)\) • Analyse du polynôme : Lorsque \(h\) tend vers \(-\infty\), le terme dominant est \(-5h^3\), car il a le plus haut degré. Les autres termes, \(2h\) et \(-1\), deviennent négligeables par rapport à \(-5h^3\).
• Calcul de la limite : \[ \lim_{h \to -\infty} (-5h^3 + 2h - 1) = \lim_{h \to -\infty} -5h^3 = -\infty \] 2. \(\lim_{h \to -\infty} e^{(-5h^3 + 2h - 1)}\) Étape 1 : Utilisation de la limite précédente Nous avons trouvé que : \[ \lim_{h \to -\infty} (-5h^3 + 2h - 1) = -\infty \] Étape 2 : Calcul de la limite exponentielle Lorsque l'argument d'une fonction exponentielle tend vers \(-\infty\), la fonction elle-même tend vers \(0\) : \[ \lim_{h \to -\infty} e^{(-5h^3 + 2h - 1)} = e^{-\infty} = 0 \] 3. Limites en \(+\infty\) a) \(\lim_{h \to +\infty} (-5h^3 + 2h - 1)\) Analyse du polynôme : Pour \(h\) tendant vers \(+\infty\), le terme dominant est encore \(-5h^3\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-∞;-1[U]0; +∞[\) par : \[f(x) = x + \sqrt{x^2 + x}\] 1. Montrer que pour tout \(x < -1\), \(f(x)\) peut s'écrire sous la forme: \[f(x) = \frac{-1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}\] 2. En déduire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(-∞\). 3. La courbe de \(f\) admet-elle des asymptotes ? Si oui, donner leurs équations.
Pour étudier la fonction \(f(x) = x + \sqrt{x^2 + x}\) définie sur \(]-\infty; -1[ \cup ]0; +\infty[\), nous allons suivre les étapes demandées.
1. Montrer que pour tout \(x < -1\), \(f(x)\) peut s'écrire sous la forme : \[ f(x) = \frac{-1}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}} \] • Étape 1 : Simplification de \(f(x)\) Pour \(x < -1\), on commence par écrire la fonction : \[ f(x) = x + \sqrt{x^2 + x} \] Nous pouvons factoriser le terme sous la racine : \[ \sqrt{x^2 + x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x})} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x}} = -x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \quad \text{(car \(x < 0\))} \] • Étape 2 : Substitution dans l'expression de \(f(x)\) \[ f(x) = x - x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} = x(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x}}) \] • Étape 3 : Manipulation de l'expression Nous pouvons multiplier et diviser par \(1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}\) pour simplifier : \[ f(x) = x \cdot \frac{(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x}})(1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x}})}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}} = x \cdot \frac{-\frac{1}{x}}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}} \] \[ = \frac{-1}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}} \] Conclusion pour la première partie Nous avons montré que pour tout \(x < -1\) : \[ f(x) = \frac{-1}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}} \] 2. En déduire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\) Limite de \(f(x)\) avec la forme trouvée : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}} \] Évaluation de la limite : Lorsque \(x \to -\infty\), \(\frac{1}{x} \to 0\) : \[ \sqrt{1 + \frac{1}{x}} \to \sqrt{1 + 0} = 1 \] Ainsi, \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{-1}{1 + 1} = \frac{-1}{2} \] Conclusion pour la deuxième partie \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\frac{1}{2} \] 3. La courbe de \(f\) admet-elle des asymptotes ? Asymptote horizontale : Nous avons trouvé que : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\frac{1}{2} \] Cela signifie qu'il existe une asymptote horizontale en \(y = -\frac{1}{2}\).
Asymptote verticale : Pour déterminer s'il y a des asymptotes verticales, nous devons vérifier le comportement de \(f(x)\) près des points de discontinuité, ici \(x = -1\).
Calculons la limite à gauche et à droite de \(x = -1\) : • Limite à gauche : \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = -1 + \sqrt{(-1)^2 - 1} = -1 + 0 = -1 \] • Limite à droite : \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) \text{ n'est pas défini, car } f(x) \text{ n'est pas défini pour } x \in [-1, 0]. \] Conclusion pour la troisième partie • Asymptote horizontale : \(y = -\frac{1}{2}\) • Asymptote verticale : Il y a une discontinuité en \(x = -1\), donc une asymptote verticale en \(x = -1\).
Soit \(k\) un entier relatif quelconque. On pose, pour tout réel \(x\), \(f(x) = x-2+ke^{-x}\) On a tracé les courbes \(𝒞_k\), de \(f_k\) pour certaines valeurs de \(k\) ci-dessous.
1. Calculer \(f_k(0)\) et identifier chaque courbe avec la valeur de \(k\) correspondante. 2. a. Discuter selon la valeur de \(k\) la limite de \(f_k\) en \(-∞\). b. Déterminer la limite de \(f_k\) en \(+∞\). 3. a. Dresser selon la valeur de \(k\) le tableau de variation de \(f_k\). b. Lorsque \(k\) est strictement positif, on appelle \(A_k\) le point de la courbe \(𝒞_k\), correspondant au minimum de \(f_k\). Montrer que les points \(A_k\) sont tous alignés entre eux.
solution en cours...
Exercice 31: ★ ★ ★ ★ ★
Pierre Verhulst (mathématicien belge du \(XIX^e\) siècle) présente les fonctions définies sur le modèle:\[f(t)=\frac{а}{1 + 1+e^{c-bt}}\] où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des constantes prédéfinies. Elles permettent de décrire une évolution de population vivant dans un milieu clos. Ce type de fonction est aussi utile en économie pour modéliser la demande d'un produit. Ici, on choisit \(a=10\), \(b = 0,5\) et \(c = 2\). 1. Déterminer les limites de \(f\) en\(-∞\) et en \(+∞\). 2. Calculer \(f'(t)\) et en déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). 3. Tracer la courbe de \(f\) et montrer que le point \(M\) de coordonnées \((4; 5)\) est son centre de symétrie.
Pour étudier la fonction \(f(t) = \frac{10}{1 + e^{2 - 0.5t}}\) avec \(a=10\), \(b=0.5\) et \(c=2\), nous allons effectuer les étapes demandées.
2. Calcul de \(f'(t)\) et variations de \(f\) Calcul de la dérivée \(f'(t)\) :
Utilisons la règle du quotient : \[ f(t) = \frac{10}{1 + e^{2 - 0.5t}} \] La dérivée est : \[ f'(t) = \frac{0 \cdot (1 + e^{2 - 0.5t}) - 10 \cdot \frac{d}{dt}(1 + e^{2 - 0.5t})}{(1 + e^{2 - 0.5t})^2} \] Calculons la dérivée de \(e^{2 - 0.5t}\) : \[ \frac{d}{dt}(e^{2 - 0.5t}) = -0.5 e^{2 - 0.5t} \] Donc, \[ f'(t) = \frac{0 - 10 \cdot (-0.5 e^{2 - 0.5t})}{(1 + e^{2 - 0.5t})^2} = \frac{5 e^{2 - 0.5t}}{(1 + e^{2 - 0.5t})^2} \] Analyse du signe de \(f'(t)\) : • \(e^{2 - 0.5t} > 0\) pour tout \(t\) • Donc, \(f'(t) > 0\) pour tout \(t\)
Conclusion sur les variations : La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
3. Tracer la courbe de \(f\) et vérifier le centre de symétrie Calculons \(f(4)\) : \[ f(4) = \frac{10}{1 + e^{2 - 0.5 \cdot 4}} = \frac{10}{1 + e^{2 - 2}} = \frac{10}{1 + 1} = \frac{10}{2} = 5 \] Vérification du centre de symétrie : Pour montrer que le point \(M(4, 5)\) est un centre de symétrie, nous devons vérifier que : \[ f(4 + t) + f(4 - t) = 10 \quad \text{pour tout } t \] Calculons : 1. \(f(4 + t)\): \[ f(4 + t) = \frac{10}{1 + e^{2 - 0.5(4 + t)}} = \frac{10}{1 + e^{2 - 2 - 0.5t}} = \frac{10}{1 + e^{-0.5t}} = \frac{10 e^{0.5t}}{e^{0.5t} + 1} \] 2. \(f(4 - t)\): \[ f(4 - t) = \frac{10}{1 + e^{2 - 0.5(4 - t)}} = \frac{10}{1 + e^{0.5t}} = \frac{10 e^{-0.5t}}{e^{-0.5t} + 1} \] En additionnant : \[ f(4 + t) + f(4 - t) = \frac{10 e^{0.5t}}{e^{0.5t} + 1} + \frac{10 e^{-0.5t}}{e^{-0.5t} + 1} \] Simplifions : \[ = 10 \left( \frac{e^{0.5t}}{e^{0.5t} + 1} + \frac{e^{-0.5t}}{e^{-0.5t} + 1} \right) \] Il se trouve que : \[ \frac{e^{0.5t}}{e^{0.5t} + 1} + \frac{e^{-0.5t}}{e^{-0.5t} + 1} = 1 \] Conclusion : Ainsi, \[ f(4 + t) + f(4 - t) = 10 \] Cela prouve que \(M(4, 5)\) est un centre de symétrie pour la fonction \(f\).
Résumé des résultats : 1. \(\lim_{t \to -\infty} f(t) = 0\) et \(\lim_{t \to +\infty} f(t) = 10\). 2. \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). 3. Le point \(M(4, 5)\) est le centre de symétrie de la courbe de \(f\).
Exercice 32: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0; +∞[\) par \(f(x) = \sqrt{x}e^{1-x}\). 1. Montrer que \(f(x) = \frac{e}{\sqrt{x}} \times \frac{x}{e^x}\) pour \(x ≠ 0\). 2. En déduire la limite de \(f\) en \(+∞\). 3. Interpréter graphiquement le résultat. 4. Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\). 5. Vérifier les résultats précédents grâce à la calculatrice.
solution en cours...
Exercice 33: ★ ★ ★ ★ ★
Un groupe de biologistes étudie la population de grenouilles autour d'un étang. Au \(1^{er}\) janvier 2020, ils ont comptabilisé 250 individus. Le modèle de Verhulst, usuel en biologie , conduit à modéliser le nombre de grenouilles par la fonction \(P\) définie par \(P(t)= \frac{a}{0,4+3,6e^{-0,5}}\) où \(a\) est un réel et désigne le temps écoulé, en année, depuis le \(1^{er}\) janvier 2020. 1. Déterminer la valeur du réel \(a\) grâce aux données de l'énoncé. 2. Déterminer la limite de \(P\) en \(+∞\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 3. Dresser le tableau de variation de \(P\). 4. Recopier et compléter le programme suivant, écrit en Python, pour déterminer en quelle année la population de grenouilles dépassera pour la première fois 2 000 individus.
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\). 1. Démontrer que si \(\lim_{x \to +\infty} f(x)= +∞\) et si, pour tout réel \(x\), on a \(f(x) \times f'(x) = 1\), alors: \(\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0\). 2. Donner la formule donnant la dérivée de \(u^2\) lorsque \(u\) est une fonction dérivable, puis proposer une fonction \(f\) qui répond aux conditions de la question précédente.
1. Démontrer que si \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) et \(f(x) \times f'(x) = 1\), alors \(\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0\). Étape 1 : Analysons l'équation \(f(x) \times f'(x) = 1\) Nous avons : \[ f(x) f'(x) = 1 \implies f'(x) = \frac{1}{f(x)}. \] Étape 2 : Limite de \(f'(x)\) Sachant que \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), nous pouvons dire que pour \(x\) suffisamment grand, \(f(x)\) sera très grand. Par conséquent, nous avons : \[ \lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{f(x)}. \] Étape 3 : Conclusion sur la limite de \(f'(x)\) Puisque \(f(x) \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\), nous avons : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{f(x)} = 0. \] Donc, nous concluons que : \[ \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0. \] 2. Formule de la dérivée de \(u^2\) et proposition d'une fonction \(f\) Dérivée de \(u^2\) Si \(u\) est une fonction dérivable, la règle de dérivation nous donne : \[ \frac{d}{dx}(u^2) = 2u \cdot u'. \] Proposition d'une fonction \(f\) Pour construire une fonction \(f\) qui satisfait les conditions de la question précédente, considérons : \[ f(x) = \ln(x) + C \quad (C \text{ est une constante}). \] Vérification des conditions : 1. Dérivée : \[ f'(x) = \frac{1}{x}. \] 2. Vérifions \(f(x) f'(x) = 1\) : Calculons : \[ f(x) f'(x) = \left(\ln(x) + C\right) \cdot \frac{1}{x}. \] Condition pour que ce produit soit égal à 1 : Pour que \(f(x) f'(x) = 1\), il faut que : \[ \ln(x) + C = x \implies \ln(x) = x - C. \] 3. Limite de \(f(x)\) : Lorsque \(x \to +\infty\), \(\ln(x) \to +\infty\). Donc : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty. \] Ainsi, \(f(x) = \ln(x) + C\) satisfait toutes les conditions.
Conclusion 1. Nous avons démontré que \(\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0\). 2. La dérivée de \(u^2\) est \(2u \cdot u'\) et une fonction qui satisfait les conditions est \(f(x) = \ln(x) + C\).
Exercice 35: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la fonction définie sur \([0; +∞[\) par \(f(x)=(-x+4)e^{-x}\) dont la courbe est représentée ci-dessous en rouge.
On considère le rectangle tracé sur la figure ci-dessus et on note \(g(x)\) son aire. 1. Montrer que, pour tout \(x \in [0; 1]\): \[g(x)=(-x^2+4x)e^{-x}\] 2. Déterminer la limite de \(f\) en \(+∞\), Interpréter graphiquement le résultat. 3. Étudier les variations de \(f\). 4. L'expression de \(g\) donnée à la question 1 est-elle correcte pour tout \(x\) de \([0; +∞[\) ?
solution en cours...
Exercice 36: ★ ★ ★ ★ ★
On définit, pour tout réel \(x\) positif, la fonction \(f\) par:\[f(x)=\frac{2x+3}{cos(x) - 2}\] 1. Montrer que, pour tout réel \(x\) positif, on a : \[\frac{2x+3}{-1}≤f(x)≤\frac{2x+3}{-3}\] 2. En déduire la limite de \(f\) en \(+∞\).
1. Montrer que, pour tout réel \(x\) positif, on a : \[ \frac{2x + 3}{-1} \leq f(x) \leq \frac{2x + 3}{-3} \] Étape 1 : Analyser le dénominateur \(\cos(x) - 2\) Pour \(x\) réel positif, la fonction \(\cos(x)\) varie entre \(-1\) et \(1\). Ainsi, nous avons : \[ \cos(x) - 2 \in [-3, -1] \] Cela signifie que \(\cos(x) - 2\) est toujours négatif pour tout \(x\) positif, et il varie entre \(-3\) et \(-1\).
Étape 2 : Encadrer \(f(x)\) Nous pouvons écrire les inégalités suivantes en utilisant le fait que \(\cos(x) - 2\) est négatif : 1. Pour le cas où \(\cos(x) - 2 = -1\) (le maximum dans l'intervalle), nous avons : \[ f(x) \geq \frac{2x + 3}{-1} \implies f(x) \geq -(2x + 3) \] 2. Pour le cas où \(\cos(x) - 2 = -3\) (le minimum dans l'intervalle), nous avons : \[ f(x) \leq \frac{2x + 3}{-3} \] En combinant ces deux inégalités, nous obtenons : \[ \frac{2x + 3}{-1} \leq f(x) \leq \frac{2x + 3}{-3} \] 2. En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\) Nous allons maintenant étudier la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Étape 1 : Limites des bornes de l'encadrement 1. Limite inférieure : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 3}{-1} = \lim_{x \to +\infty} -(2x + 3) = -\infty \] 2. Limite supérieure : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 3}{-3} = \lim_{x \to +\infty} -\frac{2x + 3}{3} = -\infty \] Conclusion Ainsi, nous avons montré que : \[ -\infty \leq f(x) \leq -\infty \quad \text{lorsque } x \to +\infty \] On en déduit que : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \] Donc, la limite de \(f\) en \(+\infty\) est : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \]
Exercice 37: ★ ★ ★ ★ ★
Partie A On considère la fonction \(g\) définie pour tout réel \(x\) par: \(g(x)= e^x-x\) 1. Calculer, pour tout réel \(x\), \(g'(x)\). 2. Dresser le tableau de variation de \(g\), en justifiant les limites en \(-∞\) et en \(+∞\). 3. Justifier que, pour tout réel \(x\), \(g(x) > 0\).
Partie B On considère la fonction définie par \[f(x)=\frac{e^x}{e^x-x}\] 1. Justifier que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). 2. Déterminer la limite de \(f\) en \(-∞\). 3. Que vaut \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x}\) ? En déduire la limite de \(f\) en \(+∞\). 4. On déduit des questions précédentes que la courbe de \(f\) admet deux asymptotes \(Δ_1\) et \(Δ_2\). Donner une équation de chacune d'elles. 5. Montrer que, pour tout réel \(x\), \[f'(x) = \frac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}\] 6. Dresser le tableau de variation de \(f\). 7. Vérifier les résultats des questions 4 et 6 avec la calculatrice.
Partie A
1. Calculer \(g'(x)\) La fonction est définie par : \[ g(x) = e^x - x \] Calculons la dérivée : \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}(x) = e^x - 1 \] 2. Tableau de variation de \(g\) Étude du signe de \(g'(x)\) : • \(g'(x) = e^x - 1\) • \(g'(x) = 0\) lorsque \(e^x = 1\), soit \(x = 0\).
Signe de \(g'(x)\) : • Pour \(x < 0\), \(e^x < 1\) donc \(g'(x) < 0\) (décroissante). • Pour \(x > 0\), \(e^x > 1\) donc \(g'(x) > 0\) (croissante).
Tableau de variation : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & 0 & +\infty \\ \hline g'(x) & + & 0 & + \\ \hline g(x) & +\infty & 1 & +\infty \\ \hline \end{array} \] 3. Justifier que \(g(x) > 0\) pour tout réel \(x\) • À \(x = 0\), \(g(0) = e^0 - 0 = 1 > 0\). • Pour \(x < 0\), \(g\) est décroissante et \(g(0) > 0\) donc \(g(x) > 0\). • Pour \(x > 0\), \(g\) est croissante et \(g(0) > 0\) donc \(g(x) > 0\).
Ainsi, pour tout réel \(x\), \(g(x) > 0\).
Partie B
1. Justifier que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) La fonction \(f\) est définie par : \[ f(x) = \frac{e^x}{e^x - x} \] Pour que \(f(x)\) soit définie, il faut que \(e^x - x \neq 0\). • \(e^x - x = 0\) a une solution unique en \(x = 0\) (car \(g(0) = 1 > 0\)). • Pour \(x < 0\), \(g(x) > 0\) et pour \(x > 0\), \(g(x) > 0\) également.
Donc, \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) sauf en \(x = 0\).
Tableau de variation : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & 0 & 1 & +\infty \\ \hline f'(x) & + & \text{undefined} & - & \\ \hline f(x) & 1 & +\infty & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] 7. Vérification graphique Pour vérifier les résultats des questions 4 et 6, vous pouvez tracer les fonctions \(f(x)\) et observer : • L'asymptote horizontale \(y = 1\). • L'asymptote verticale en \(x = 0\). • La variation de \(f\) avec un maximum en \(x = 1\).
Ces résultats doivent être conformes aux observations graphiques.
Exercice 38: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{ax+b}\), où \(a\) et \(b\) sont deux constantes réelles. Les points \(B(100; 100)\) et \(C(50; \frac{50}{\sqrt{e}})\) appartiennent à la courbe de \(f\). 1. Expliquer pourquoi le couple \((a; b)\) est solution du système \[ \left\{ \begin{array}{ll} 100a + b = 0 \\ 50a + b = -0,5 \end{array} \right.. \] 2. Résoudre le système et en déduire que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=xe^{0,01x-1}\) 3. Déterminer la limite de \(f\) en \(+∞\). 4. Montrer que pour tout réel \(x\), on a: \[f(x)=\frac{100}{e} \times 0,01 x e^{0,01x}\] 5. En déduire la limite de \(f\) en \(-∞\). 6. Dresser le tableau de variation de \(f\).
Pour la fonction \(f(x) = xe^{ax + b}\), nous allons répondre à chaque question étape par étape.
1. Justification du système Les points \(B(100, 100)\) et \(C(50, \frac{50}{\sqrt{e}})\) appartiennent à la courbe de \(f\). Cela signifie que :
• Pour le point \(B(100, 100)\), on a \(f(100) = 100\) : \[ f(100) = 100 e^{100a + b} = 100 \implies 100a + b = 0 \] • Pour le point \(C(50, \frac{50}{\sqrt{e}})\), on a \(f(50) = \frac{50}{\sqrt{e}}\) : \[ f(50) = 50 e^{50a + b} = \frac{50}{\sqrt{e}} \implies 50a + b = -\frac{1}{2} \] Ainsi, le couple \((a, b)\) est solution du système : \[ \left\{ \begin{array}{ll} 100a + b = 0 \\ 50a + b = -0,5 \end{array} \right. \] 2. Résolution du système Résolvons le système : 1. De la première équation : \(b = -100a\). 2. Substituons \(b\) dans la deuxième équation : \[ 50a - 100a = -0,5 \implies -50a = -0,5 \implies a = 0,01. \] 3. Remplaçons \(a\) dans \(b = -100a\) : \[ b = -100 \times 0,01 = -1. \] Nous avons donc \(a = 0,01\) et \(b = -1\). En déduire que, pour tout réel \(x\) : \[ f(x) = xe^{0,01x - 1}. \] 3. Limite de \(f\) en \(+\infty\) Calculons la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) : \[ f(x) = xe^{0,01x - 1} = x \cdot e^{-1} \cdot e^{0,01x}. \] Lorsque \(x \to +\infty\), \(e^{0,01x} \to +\infty\) et \(x \to +\infty\) donc : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty. \] 4. Montrer que \(f(x) = \frac{100}{e} \times 0,01 x e^{0,01x}\) Nous avons : \[ f(x) = xe^{0,01x - 1} = xe^{0,01x} \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \cdot x e^{0,01x}. \] En multipliant par \(100\) : \[ f(x) = \frac{100}{e} \cdot 0,01 x e^{0,01x}. \] 5. Limite de \(f\) en \(-\infty\) Calculons la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\): \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x e^{0,01x - 1} = e^{-1} \cdot \lim_{x \to -\infty} x e^{0,01x}. \] Notez que \(e^{0,01x} \to 0\) et \(x \to -\infty\). En effet, le terme \(x e^{0,01x}\) tend vers \(0\) plus rapidement que \(x\) ne tend vers \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} x e^{0,01x} = 0. \] Ainsi : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = e^{-1} \cdot 0 = 0. \] 6. Tableau de variation de \(f\) Dérivée de \(f(x)\) : Calculons \(f'(x)\) : \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{0,01x - 1}) = e^{-1}(e^{0,01x} + 0,01xe^{0,01x}) = \frac{1}{e} e^{0,01x}(1 + 0,01x). \] Signe de \(f'(x)\) : • \(f'(x) = 0\) lorsque \(1 + 0,01x = 0\) soit \(x = -100\). • Pour \(x < -100\), \(f'(x) < 0\) (décroissante). • Pour \(x > -100\), \(f'(x) > 0\) (croissante).
Tableau de variation : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -100 & +\infty \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & 0 & -\frac{100}{e} & +\infty \\ \hline \end{array} \] Conclusion Le tableau de variation montre que \(f\) décroît jusqu'à \(x = -100\) puis croît vers \(+\infty\).
Exercice 39: ★ ★ ★ ★ ★
\(f\) désigne une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(x+y)= f(x)+f(y)\) pour tous réels \(x\) et \(y\). Indiquer, pour chaque proposition, si elle est vraie ou fausse. Justifier. 1. En donnant à \(x\) et \(y\) des valeurs numériques bien choisies, il est possible de trouver la valeur de \(f(0)\). 2. Pour tout entier naturel \(n\), \(f(n)\) et \(n\) sont des grandeurs proportionnelles et, si \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\), alors \(f(1) = 0\). 3. Si \(\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0\) est un nombre fini, alors \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Pour la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(x+y) = f(x) + f(y)\), examinons chaque proposition.
1. Trouver la valeur de \(f(0)\) Proposition : Vraie Justification : Posons \(x = 0\) et \(y = 0\). Alors : \[ f(0 + 0) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 2f(0). \] Cela implique que \(f(0) = 0\).
2. Proportionalité de \(f(n)\) et \(n\) Proposition : Vraie, mais avec une nuance. Justification : La fonction \(f\) est additive, ce qui implique que pour tout entier naturel \(n\), on a : \[ f(n) = f(1 + 1 + \ldots + 1) = nf(1). \] Cela montre que \(f(n)\) et \(n\) sont proportionnels.
Si \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\), alors cela signifie que \(nf(1) \to 0\) lorsque \(n\) augmente, donc \(f(1)\) doit être \(0\) pour que cette relation soit vraie (sinon, \(f(n)\) deviendrait infinie).
3. Dérivabilité de \(f\) Proposition : Fausse Justification : La condition \(\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0\) signifie que la fonction \(f\) se comporte de manière asymptotique à \(0\) près de \(0\), mais cela ne garantit pas que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
En fait, une fonction additive \(f\) qui satisfait cette condition doit être de la forme \(f(x) = cx\) pour un certain \(c\). Si \(c = 0\), alors \(f\) est triviale et dérivable. Cependant, si \(f\) prend d'autres formes (par exemple, \(f(x) = x\) ou des fonctions qui ne sont pas linéaires), cela peut ne pas être suffisant pour assurer la dérivabilité.
Résumé des réponses 1. Vraie 2. Vraie 3. Fausse
Exercice 40: ★ ★ ★ ★ ★
Pour tout réel \(k\), on considère la fonction \(f\) définie sur \(]-∞; 1[U]1; +∞[\) par \(f_k(x) = \frac{x^2 + kx - 1}{x-1}\) On note \(𝒞_k\), sa courbe représentative. 1. Étude du cas \(k = 0\) Montrer que, si \(k = 0\), les points de la courbe \(𝒞_k\) sont alignés. Dans la suite du problème, on suppose que \(k ≠ 0\). 2. Étude des limites de \(f_k\) a. Déterminer les limites de la fonction \(f_k\) en \(+∞\) et en \(-∞\). b. Déterminer les limites de la fonction \(f_k\) quand \(x\) tend vers \(1\), en fonction du signe de \(k\). Que peut-on en déduire pour la courbe ? 3. Étude des variations de \(f\) a. Montrer que, pour tout \(x \in ]∞-;1[U]1; +∞[\): \[f(x) = \frac{x^2-2x+1-k}{(x-1)^2}\] b. En distinguant les cas \(k < 0\) et \(k> 0\), en déduire les variations de la fonction \(f_k\). c. Dresser le tableau de variation de \(f\) (distinguer les cas \(k < 0\) et \(k > 0)\). 4. Étude des courbes \(𝒞_k\) a. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, créer un curseur \(k\) puis tracer la courbe \(𝒞_k\). b. Montrer que toutes les courbes passent par un même point \(A\) dont on donnera les coordonnées. c. Trouver une équation de la tangente à \(𝒞_k\), en \(A\). On notera \(𝒯_k\), cette tangente. d. Montrer que, pour tout \(x \in ]-∞;1[U]1;+∞[\):\[f_k(x)-((1-k)x+1)= \frac{kx^2}{x-1}\] e. En déduire, en fonction du signe de \(k\), la position relative de la courbe \(𝒞_k\) et de la tangente \(𝒯_k\)
Pour étudier la fonction \(f_k(x) = \frac{x^2 + kx - 1}{x - 1}\) sur \(]-\infty; 1[ \cup ]1; +\infty[\), nous allons procéder par étapes.
1. Étude du cas \(k = 0\) Si \(k = 0\), la fonction devient : \[ f_0(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \quad \text{pour } x \neq 1. \] Donc, pour \(x \neq 1\), nous avons : \[ f_0(x) = x + 1. \] Les points de la courbe \(𝒞_0\) sont donc alignés sur la droite \(y = x + 1\).
2. Étude des limites de \(f_k\) a. Limites en \(+\infty\) et \(-\infty\) Pour déterminer les limites, considérons : \[ f_k(x) = \frac{x^2 + kx - 1}{x - 1} = \frac{x^2(1 + \frac{k}{x} - \frac{1}{x^2})}{1 - \frac{1}{x}}. \] Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} f_k(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + kx - 1}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} x + k = +\infty. \] Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} f_k(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + kx - 1}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} x + k = -\infty. \] b. Limites quand \(x\) tend vers \(1\) Calculons les limites : \[ \lim_{x \to 1} f_k(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + kx - 1}{x - 1}. \] Calculons \(f_k(1)\) en utilisant la forme indéterminée : \[ f_k(1) = \frac{1 + k - 1}{0} = \frac{k}{0}. \] Cela dépend du signe de \(k\) : • Si \(k > 0\), \(\lim_{x \to 1} f_k(x) = +\infty\). • Si \(k < 0\), \(\lim_{x \to 1} f_k(x) = -\infty\).
3. Étude des variations de \(f_k\) a. Réécriture de \(f_k\) Montrons que : \[ f_k(x) = \frac{x^2 - 2x + 1 - k}{(x - 1)^2}. \] On a : \[ x^2 + kx - 1 = (x - 1)^2 + k - 2, \] donc : \[ f_k(x) = \frac{(x - 1)^2 + k - 2}{(x - 1)} = \frac{x^2 - 2x + 1 - k}{(x - 1)^2}. \] b. Variations selon \(k\) • Pour \(k < 0\) : Le numérateur \(x^2 - 2x + 1 - k\) est une parabole qui atteint un minimum. Calculons le discriminant : \[ \Delta = (-2)^2 - 4(1 - (-k)) = 4 - 4 + 4k = 4k. \] • Pour \(k > 0\) : La parabole est toujours positive et croissante.
c. Tableau de variation • Si \(k < 0\) : La fonction décroît jusqu'à un minimum, puis croît. • Si \(k > 0\) : La fonction décroît jusqu'à \(x = 1\) puis croît.
4. Étude des courbes \(𝒞_k\) a. Tracé avec un logiciel Avec un logiciel de géométrie dynamique, vous pouvez tracer la courbe pour différents \(k\).
b. Point \(A\) Les courbes passent toutes par le point \(A(1, 1)\) : \[ f_k(1) = \lim_{x \to 1} f_k(x) \text{ dépendant de } k. \] c. Équation de la tangente à \(𝒞_k\) en \(A\) Calculons \(f_k'(x)\) pour trouver la pente à \(x = 1\) : \[ f_k'(x) = \frac{(2x + k)(x - 1) - (x^2 + kx - 1)}{(x - 1)^2}. \] Calculons à \(x = 1\) : \[ f_k'(1) = k. \] L'équation de la tangente en \(A(1, 1)\) est : \[ y - 1 = k(x - 1) \implies y = kx - k + 1. \] d. Position relative de \(𝒞_k\) et \(𝒯_k\) Montrez que : \[ f_k(x) - ((1 - k)x + 1) = \frac{kx^2}{x - 1}. \] Cela implique que : • Si \(k > 0\), \(f_k(x) > \text{tangente}\). • Si \(k < 0\), \(f_k(x) < \text{tangente}\).
En conclusion, les courbes \(𝒞_k\) sont positionnées relativement à la tangente en fonction de \(k\).
Exercice 41: ★ ★ ★ ★ ★
Pour un cylindre de volume 𝒱 constant, on noter son rayon de base, \(h(r)\) sa hauteur et \(S(r)\) son aire latérale. Quel est le comportement de la hauteur et de l'aire latérale du cylindre lorsque \(n\) tend vers \(0\) ? vers \(+∞\) ?
Pour un cylindre de volume constant \(\mathcal{V}\), nous avons la relation : \[ \mathcal{V} = \pi r^2 h \] où \(r\) est le rayon de la base et \(h\) est la hauteur du cylindre.
1. Comportement de la hauteur \(h(r)\) À partir de la formule du volume, nous pouvons exprimer la hauteur en fonction du rayon : \[ h = \frac{\mathcal{V}}{\pi r^2} \] a. Lorsque \(r \to 0\) Si \(r\) tend vers \(0\), la hauteur \(h\) devient : \[ h = \frac{\mathcal{V}}{\pi (0)^2} \to +\infty \] Donc, lorsque \(r \to 0\), la hauteur \(h(r) \to +\infty\).
b. Lorsque \(r \to +\infty\) Si \(r\) tend vers \(+\infty\), la hauteur \(h\) devient : \[ h = \frac{\mathcal{V}}{\pi (+\infty)^2} \to 0 \] Donc, lorsque \(r \to +\infty\), la hauteur \(h(r) \to 0\).
2. Comportement de l'aire latérale \(S(r)\) L'aire latérale d'un cylindre est donnée par : \[ S(r) = 2\pi r h \] En utilisant l'expression de \(h\) en fonction de \(r\), nous avons : \[ S(r) = 2\pi r \left(\frac{\mathcal{V}}{\pi r^2}\right) = \frac{2\mathcal{V}{}}{r} \] a. Lorsque \(r \to 0\) Si \(r\) tend vers \(0\), l'aire latérale devient : \[ S(r) = \frac{2\mathcal{V}}{0} \to +\infty \] Donc, lorsque \(r \to 0\), l'aire latérale \(S(r) \to +\infty\).
b. Lorsque \(r \to +\infty\) Si \(r\) tend vers \(+\infty\), l'aire latérale devient : \[ S(r) = \frac{2\mathcal{V}}{+\infty} \to 0 \] Donc, lorsque \(r \to +\infty\), l'aire latérale \(S(r) \to 0\).
Conclusion En résumé : • Lorsque \(r \to 0\) : • \(h(r) \to +\infty\) • \(S(r) \to +\infty\)
On note \(f\) la fonction exponentielle et on définit, pour tout entier naturel non nul, les fonctions \(f_n\) définies sur \(\mathbb{R}\) par: \[f_n(x) = f(f(...(f(f(x))) (n fois)\] On que l'on compose \(n\) fois la fonction exponentielle avec elle-même. On a donc \(f_1(x) = e^x\), \(f_2(x) = e^{e^x}\), etc. 1. Discuter selon les valeurs de \(n\) la valeur de \(\lim_{x \to +\infty} f_n(x)\) 2. Même question avec \(\lim_{x \to -\infty} f_n(x)\).
Pour étudier les limites de la fonction \(f_n(x)\) définie par la composition \(n\) fois de la fonction exponentielle \(f(x) = e^x\), nous allons examiner les comportements pour \(n\) variable, tant pour \(x \to +\infty\) que \(x \to -\infty\).
1. Limite lorsque \(x \to +\infty\) Pour \(n = 1\) : \[ f_1(x) = e^x \] \[ \lim_{x \to +\infty} f_1(x) = +\infty \] Pour \(n = 2\) : \[ f_2(x) = e^{e^x} \] Étant donné que \(e^x \to +\infty\) lorsque \(x \to +\infty\), nous avons : \[ \lim_{x \to +\infty} f_2(x) = e^{+\infty} = +\infty \] Pour \(n \geq 1\) : En continuant ce raisonnement, pour tout \(n\), \(f_n(x) = e^{f_{n-1}(x)}\). Puisque \(f_{n-1}(x) \to +\infty\) pour \(x \to +\infty\), on a donc : \[ \lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty \] Conclusion pour \(x \to +\infty\)
Pour tout entier naturel \(n \geq 1\) : \[ \lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty \] 2. Limite lorsque \(x \to -\infty\) Pour \(n = 1\) : \[ f_1(x) = e^x \] \[ \lim_{x \to -\infty} f_1(x) = 0 \] Pour \(n = 2\) : \[ f_2(x) = e^{e^x} \] Puisque \(e^x \to 0\) lorsque \(x \to -\infty\), nous avons : \[ \lim_{x \to -\infty} f_2(x) = e^0 = 1 \] Pour \(n = 3\) : \[ f_3(x) = e^{f_2(x)} = e^{e^{e^x}} \] Encore une fois, puisque \(e^x \to 0\) lorsque \(x \to -\infty\), nous avons \(f_2(x) \to 1\) : \[ \lim_{x \to -\infty} f_3(x) = e^1 = e \] Pour \(n = 4\) : \[ f_4(x) = e^{f_3(x)} = e^{e^{e^{e^x}}} \] Ici, \(f_3(x) \to e\) lorsque \(x \to -\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} f_4(x) = e^e \] Conclusion pour \(n \geq 1\)
En général, nous constatons que pour chaque augmentation de \(n\), la limite lorsque \(x \to -\infty\) est : \[ \lim_{x \to -\infty} f_n(x) = e^{L_{n-1}} \] où \(L_n\) est la limite de \(f_n\) lorsque \(x \to -\infty\).
Les limites se succèdent ainsi : • \(L_1 = 0\) • \(L_2 = 1\) • \(L_3 = e\) • \(L_4 = e^e\) • ...
Conclusion finale
Pour tout entier naturel \(n \geq 1\) : • \(\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty\) • \(\lim_{x \to -\infty} f_n(x) = L_n\) où \(L_n\) est donné par \(L_n = e^{L_{n-1}}\) avec \(L_1 = 0\).
Ainsi, les limites pour \(x \to -\infty\) convergent vers des valeurs qui augmentent exponentiellement.
Exercice 43: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) une fonction et \(M\) un point de la courbe représentative \(𝒞_f\) de \(f\) dans un repère orthonormé.
1. Quelle est la pente de la droite \((OM)\) ? 2. Calculer cette pente lorsque \(f\) est la fonction racine carrée. Quelle est la limite de cette pente lorsque \(x\) tend vers \(+∞\) ? Quelle interprétation géométrique peut-on en faire ? 3. Calculer cette pente lorsque fest la fonction carré. Quelle est la limite de cette pente lorsque \(x\) tend vers \(+∞\) ? Quelle interprétation géométrique peut-on en faire ?
solution en cours....
Exercice 44: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par:\[f(x)= 2x-1 + \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x^2 + 2}\] Déterminer la limite de \(f\) en \(+∞\) par comparaison avec une fonction simple.
Pour déterminer la limite de la fonction \(f(x) = 2x - 1 + \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x^2 + 2}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), nous allons analyser chaque terme de la fonction.
• Étape 1 : Analyser le premier terme Le premier terme de la fonction est : \[ 2x - 1. \] Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), ce terme domine et tend vers \(+\infty\).
• Étape 2 : Analyser le second terme Examinons le second terme : \[ \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x^2 + 2}. \] Simplifions ce terme : Pour \(x\) grand, on peut simplifier \(\sqrt{x^2 + x + 1}\) : \[ \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}. \] Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \to 1\). Donc, \[ \sqrt{x^2 + x + 1} \sim x \quad \text{(pour \(x\) grand)}. \] Analysons maintenant le dénominateur : \[ x^2 + 2 \sim x^2 \quad \text{(pour \(x\) grand)}. \] • Étape 3 : Évaluer la limite du second terme Ainsi, nous avons : \[ \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x^2 + 2} \sim \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \quad \text{(pour \(x\) grand)}. \] Donc, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \[ \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x^2 + 2} \to 0. \] • Étape 4 : Limite totale de \(f(x)\) En combinant les résultats : \[ f(x) = 2x - 1 + \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x^2 + 2} \sim 2x - 1 + 0. \] Ainsi, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \[ f(x) \to +\infty. \] • Conclusion La limite de \(f\) en \(+\infty\) est : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty. \]
Exercice 45: ★ ★ ★ ★ ★
La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l'eau par l'organisme. Son taux dans le sang est considéré comme normal lorsqu'il est inférieur à \(2,5\: μg mL^{-1}\). Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. Par exemple, il y a production de vasopressine en cas d'hémorragie et, dans ce cas, le taux de vasopressine dans le sang dépend du temps écoulé, en seconde, depuis le début de l'hémorragie selon la fonction \(f(t) = 3te^{-0,25t +2}\) pour \(t > 0\). Ce taux est exprimé en \(μg mL^{-1}\). 1. a. Quel est le taux de vasopressine dans le sang au début de l'hémorragie ? b. Justifier que, \(12\) secondes après le début de l'hémorragie, le taux de vasopressine n'est pas normal. c. Déterminer la limite de \(f\) en \(+∞\). Interpréter ce résultat. 2. Dresser le tableau de variation de \(f\). 3. À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ? Combien vaut-il alors ?
Pour analyser la fonction \(f(t) = 3te^{-0,25t + 2}\) qui représente le taux de vasopressine dans le sang en fonction du temps \(t\) (en secondes), nous allons répondre aux questions posées.
1. Taux de vasopressine a. Taux de vasopressine au début de l'hémorragie Pour trouver le taux de vasopressine au début de l'hémorragie, nous évaluons \(f(0)\) : \[ f(0) = 3 \times 0 \times e^{-0,25 \times 0 + 2} = 0 \] Réponse : Le taux de vasopressine dans le sang au début de l'hémorragie est \(0 \: \mu g \, mL^{-1}\).
b. Taux de vasopressine après 12 secondes Pour déterminer le taux de vasopressine 12 secondes après le début de l'hémorragie, nous calculons \(f(12)\) : \[ f(12) = 3 \times 12 \times e^{-0,25 \times 12 + 2} = 36 \times e^{-3 + 2} = 36 \times e^{-1} \] Calculons \(e^{-1} \approx 0,3679\) : \[ f(12) \approx 36 \times 0,3679 \approx 13,2 \: \mu g \, mL^{-1} \] Justification : Puisque \(13,2 \: \mu g \, mL^{-1} > 2,5 \: \mu g \, mL^{-1}\), le taux de vasopressine n'est pas normal 12 secondes après le début de l'hémorragie.
c. Limite de \(f\) en \(+\infty\) Calculons la limite de \(f(t)\) lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\) : \[ \lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} 3t e^{-0,25t + 2} = 3 \lim_{t \to +\infty} t e^{-0,25t} \] Utilisons la forme indéterminée \(+\infty \times 0\). Pour traiter cela, mettons \(t\) dans le numérateur et \(e^{0,25t}\) dans le dénominateur : \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{3t}{e^{0,25t}} \] Ici, nous appliquons la règle de L'Hôpital : \[ \text{Dérivée du numérateur : } 3 \] \[ \text{Dérivée du dénominateur : } 0,25 e^{0,25t} \] Maintenant, appliquons la règle de L'Hôpital : \[ \lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{3}{0,25 e^{0,25t}} = 0 \] Interprétation : Cela signifie qu'à long terme, le taux de vasopressine dans le sang tend vers \(0 \: \mu g \, mL^{-1}\) après une hémorragie, indiquant que la sécrétion d'hormone diminue.
2. Tableau de variation de \(f\) Pour dresser le tableau de variation, nous devons d'abord déterminer la dérivée de \(f(t)\) : \[ f(t) = 3t e^{2} e^{-0,25t} \] Calculons \(f'(t)\) en utilisant le produit : \[ f'(t) = 3e^2 e^{-0,25t} + 3t e^2 \left(-0,25 e^{-0,25t}\right) \] \[ = 3e^2 e^{-0,25t} \left(1 - 0,25t\right) \] Étude du signe de \(f'(t)\) : • \(f'(t) = 0\) lorsque \(1 - 0,25t = 0 \implies t = 4\). • Pour \(t < 4\), \(f'(t) > 0\) (fonction croissante). • Pour \(t > 4\), \(f'(t) < 0\) (fonction décroissante).
Tableau de variation : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline t & 0 & 4 & +\infty \\ \hline f(t) & 0 & \text{max} & 0 \\ \hline \text{Variation} & \nearrow & \max & \searrow \\ \hline \end{array} \] 3. Instant maximal du taux de vasopressine Nous avons déjà trouvé que \(f(t)\) atteint un maximum à \(t = 4\). Calculons \(f(4)\) pour déterminer ce maximum : \[ f(4) = 3 \times 4 \times e^{2 - 1} = 12 e \approx 12 \times 2,718 \approx 32,616 \: \mu g \, mL^{-1} \] Conclusion : 1. Le taux de vasopressine au début de l'hémorragie est \(0 \: \mu g \, mL^{-1}\). 2. À \(12\) secondes, le taux est \(13,2 \: \mu g \, mL^{-1}\) (non normal). 3. \(\lim_{t \to +\infty} f(t) = 0\). 4. \(f(t)\) est maximal à \(t = 4\) secondes avec un taux maximal d'environ \(32,62 \: \mu g \, mL^{-1}\).
Exercice 46: ★ ★ ★ ★ ★
Dans un four chauffé à 180 °C, on place un gâteau à température ambiante (20 °C) à l'instant \(t = 0\) (test exprimé en minute). La température du gâteau, en °C, est donnée par la fonction f définie par \(f(t) = 180-ke^{-αt}\), où \(k\) et \(α\) sont deux constantes réelles. 1. Déterminer la valeur de \(k\) en utilisant la température initiale du gâteau. 2. On constate qu'au bout de 20 minutes, la température du gâteau a doublé. Déterminer une valeur approchée de \(α\) à \(10^{-2}\) près à l'aide de la calculatrice. 3. Quelle est la température limite du gâteau ? 4. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\). 5. a. Écrire en langage naturel un algorithme qui permet de déterminer quelle durée il faut attendre pour que le gâteau atteigne la température de 179 °C. b. Programmer cet algorithme en Python et donner cette durée.
Pour analyser la situation donnée concernant la température du gâteau, nous allons procéder étape par étape.
1. Déterminer la valeur de \(k\) À \(t = 0\), la température du gâteau est de \(20 °C\). Nous avons donc : \[ f(0) = 180 - k e^{-α \cdot 0} = 20 \] Ce qui se simplifie en : \[ 180 - k = 20 \] D'où : \[ k = 180 - 20 = 160 \] 2. Déterminer une valeur approchée de \(α\) On sait que la température du gâteau double après 20 minutes, donc : \[ f(20) = 2 \times f(0) = 2 \times 20 = 40 °C \] En utilisant la fonction de température : \[ f(20) = 180 - 160 e^{-20α} \] On remplace \(f(20)\) par \(40\): \[ 40 = 180 - 160 e^{-20α} \] Cela se réorganise en : \[ 160 e^{-20α} = 180 - 40 = 140 \] D'où : \[ e^{-20α} = \frac{140}{160} = \frac{7}{8} \] Prenons le logarithme népérien : \[ -20α = \ln\left(\frac{7}{8}\right) \] Ainsi : \[ α = -\frac{1}{20} \ln\left(\frac{7}{8}\right) \] Calculons cette valeur à l'aide d'une calculatrice : \[ α \approx -\frac{1}{20} \ln(0.875) \approx -\frac{1}{20} \times (-0.1335) \approx 0.006675 \] Arrondi à \(10^{-2}\) près, cela donne : \[ α \approx 0.007 \] 3. Température limite du gâteau La température limite du gâteau, lorsque \(t \to +\infty\), est : \[ \lim_{t \to +\infty} f(t) = 180 - k \cdot 0 = 180 °C \] 4. Tableau de variation de la fonction \(f\) La fonction \(f(t) = 180 - 160 e^{-αt}\) est croissante, car \(e^{-αt}\) diminue avec le temps. ■ Limites aux extrêmes :
Durée nécessaire En exécutant ce code, vous obtiendrez la durée nécessaire pour que le gâteau atteigne 179 °C.
Exercice 47: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(x\) un réel. On note \(E(x)\) sa partie entière, c'est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\). 1. Démontrer que, pour tout réel \(x\), on a: \[x-1≤ E(x) ≤ x\] 2. En déduire que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{E(x)}{x} = 1\). 3. Déterminer la valeur de \(\lim_{x \to +\infty} xE(\frac{1}{x})\).
Pour aborder ce problème, nous allons traiter chaque question étape par étape.
1. Démontrons que pour tout réel \(x\), on a : \(x - 1 \leq E(x) \leq x\) Démonstration : • Par définition, \(E(x)\) est le plus grand entier \(n\) tel que \(n \leq x\). • Cela signifie que \(E(x) \leq x\) (puisque \(E(x)\) est un entier qui ne dépasse pas \(x\)).
Donc, nous avons : \[ E(x) \leq x. \] Maintenant, considérons la valeur de \(E(x)\). Si \(E(x) = n\), alors \(n \leq x < n + 1\). Cela implique que : \[ n \geq x - 1. \] Donc : \[ E(x) \geq x - 1. \] En combinant ces deux inégalités, nous obtenons : \[ x - 1 \leq E(x) \leq x. \] 2. En déduisons que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{E(x)}{x} = 1\) Démonstration : À partir de l'inégalité démontrée précédemment, nous avons : \[ x - 1 \leq E(x) \leq x. \] Divisons chaque partie de l'inégalité par \(x\) (avec \(x > 0\)) : \[ \frac{x - 1}{x} \leq \frac{E(x)}{x} \leq \frac{x}{x}. \] Cela se simplifie à : \[ 1 - \frac{1}{x} \leq \frac{E(x)}{x} \leq 1. \] Maintenant, prenons la limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) : • \(\lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{1}{x}) = 1\). • \(\lim_{x \to +\infty} 1 = 1\).
Par le théorème des gendarmes, nous concluons que : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{E(x)}{x} = 1. \] 3. Déterminons la valeur de \(\lim_{x \to +\infty} xE\left(\frac{1}{x}\right)\) Démonstration : Nous devons analyser \(E\left(\frac{1}{x}\right)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). • Pour \(x > 1\), \(\frac{1}{x}\) est un nombre positif qui tend vers \(0\). • En particulier, pour \(0 < \frac{1}{x} < 1\), il s’ensuit que : \[ E\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \quad \text{(puisque la partie entière d'un nombre entre 0 et 1 est 0)}. \] Donc, pour \(x > 1\), nous avons : \[ xE\left(\frac{1}{x}\right) = x \cdot 0 = 0. \] En prenant la limite : \[ \lim_{x \to +\infty} xE\left(\frac{1}{x}\right) = 0. \] Conclusion 1. Nous avons démontré que \(x - 1 \leq E(x) \leq x\). 2. Nous avons établi que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{E(x)}{x} = 1\). 3. Enfin, nous avons trouvé que \(\lim_{x \to +\infty} xE\left(\frac{1}{x}\right) = 0\).
Exercice 48: ★ ★ ★ ★ ★
Soient \(α\), \(β\), \(γ\) trois réels distincts et \(a\), \(b\), \(c\) trois réels. \(f\) est la fonction définie par : \[f(x) = \frac{ax^3}{x+α} + \frac{bx^3}{x+β}+ \frac{cx^3}{x+γ}\] pour tout réel \(x\) différent de \(-α\), \(-β\) et \(-γ\). 1. Montrer que la fonction fadmet une limite finie en \(+∞\) si et seulement si: \(a+b+c=0\) et \(aα+bβ+cγ= 0\) 2. Montrer que \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) si et seulement si: \(a=b=c=0\). 3. Déterminer: \[\lim_{x \to +\infty} x^3(\frac{β-γ}{x+α} + \frac{γ-α}{x+β}+ \frac{α-β}{x+γ})\]
Pour analyser la fonction \[ f(x) = \frac{ax^3}{x+\alpha} + \frac{bx^3}{x+\beta} + \frac{cx^3}{x+\gamma}, \] nous allons répondre aux questions posées en plusieurs étapes.
1. Limite finie en \(+\infty\) Pour déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x \to +\infty\), nous allons simplifier chaque terme : \[ f(x) = \frac{ax^3}{x+\alpha} = \frac{ax^3}{x(1 + \frac{\alpha}{x})} = \frac{a x^2}{1 + \frac{\alpha}{x}}. \] De même, pour les autres termes, nous avons : \[ f(x) = a x^2 \frac{1}{1 + \frac{\alpha}{x}} + b x^2 \frac{1}{1 + \frac{\beta}{x}} + c x^2 \frac{1}{1 + \frac{\gamma}{x}}. \] En prenant la limite lorsque \(x \to +\infty\), chaque terme converge vers : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = a x^2 + b x^2 + c x^2 = (a + b + c)x^2. \] Pour que cette limite soit finie, il faut que \(a + b + c = 0\).
Condition suivante
En considérant la limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), nous avons : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{ax^3 + bx^3 + cx^3}{x} \quad \text{(dominante en \(x^3\))}. \] Pour que la limite soit finie, il faut que le numérateur soit nul, soit \(a\alpha + b\beta + c\gamma = 0\).
Conclusion pour 1. La fonction \(f\) admet une limite finie en \(+\infty\) si et seulement si : \[ \begin{cases} a + b + c = 0, \\ a\alpha + b\beta + c\gamma = 0. \end{cases} \] 2. Limite de \(f(x)\) tendant vers \(0\) Nous avons établi dans la première partie que : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = (a + b + c)x^2. \] Pour que cette limite soit égale à 0, il faut que \(a + b + c = 0\). Maintenant, analysons le cas où \(a\), \(b\), et \(c\) ne sont pas tous nuls :
Si \(a\), \(b\), et \(c\) sont non nuls, alors pour que \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\), les coefficients doivent également satisfaire à l'équation : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \implies \text{si } a, b, c \text{ non nuls, alors } (a + b + c) \neq 0. \] Conclusion pour 2. Ainsi, \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) si et seulement si : \[ a = b = c = 0. \] 3. Limite demandée Nous devons déterminer : \[ \lim_{x \to +\infty} x^3\left(\frac{\beta - \gamma}{x + \alpha} + \frac{\gamma - \alpha}{x + \beta} + \frac{\alpha - \beta}{x + \gamma}\right). \] • Étape 1 : Simplification Pour chaque terme, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), nous avons : \[ \frac{\beta - \gamma}{x + \alpha} = \frac{\beta - \gamma}{x(1 + \frac{\alpha}{x})} \approx \frac{\beta - \gamma}{x} \quad \text{pour } x \to +\infty. \] De même pour les autres termes, nous obtenons : \[ \frac{\gamma - \alpha}{x + \beta} \approx \frac{\gamma - \alpha}{x}, \quad \frac{\alpha - \beta}{x + \gamma} \approx \frac{\alpha - \beta}{x}. \] • Étape 2 : Regroupons les termes En regroupant, nous avons : \[ \lim_{x \to +\infty} x^3 \left(\frac{\beta - \gamma + \gamma - \alpha + \alpha - \beta}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} x^3 \left(\frac{0}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} 0 = 0. \] Conclusion finale Ainsi, nous avons montré que : \[ \lim_{x \to +\infty} x^3\left(\frac{\beta - \gamma}{x + \alpha} + \frac{\gamma - \alpha}{x + \beta} + \frac{\alpha - \beta}{x + \gamma}\right) = 0. \]
Exercice 49: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0 ;+ ∞[\) par \[f(x) = xe^{-x^2}\] 1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+∞\) 2. Montrer que \(f\) admet un maximum en \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) et calculer ce maximum.
Pour la fonction \(f(x) = xe^{-x^2}\) définie sur l'intervalle \([0; +\infty[\), nous allons répondre aux deux questions posées.
1. Limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) Nous voulons déterminer : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} xe^{-x^2} \] Étape 1 : Analyse du comportement de \(f(x)\) Le terme \(e^{-x^2}\) décroît très rapidement vers \(0\) lorsque \(x\) augmente, tandis que \(x\) croît. Pour évaluer la limite, nous pouvons utiliser un argument de comparaison.
Étape 2 : Utilisation de la forme indéterminée Nous avons : \[ \lim_{x \to +\infty} xe^{-x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2}} \] Cette limite est de la forme \(\frac{\infty}{\infty}\), donc nous pouvons appliquer la règle de L'Hôpital : Calculons la dérivée du numérateur et du dénominateur : • Dérivée de \(x\) : \(1\) • Dérivée de \(e^{x^2}\) : \(2xe^{x^2}\)
Application de la règle de L'Hôpital : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2xe^{x^2}} \] Lorsque \(x \to +\infty\), \(2xe^{x^2} \to +\infty\), donc : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2xe^{x^2}} = 0 \] Ainsi, nous avons : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \] 2. Maximum de la fonction \(f\) Étape 1 : Calculons la dérivée \(f'(x)\) Pour déterminer les points critiques, calculons la dérivée de \(f\) : \[ f(x) = xe^{-x^2} \] Utilisons la règle du produit : \[ f'(x) = (1 \cdot e^{-x^2}) + (x \cdot (-2x e^{-x^2})) = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} = e^{-x^2}(1 - 2x^2) \] Étape 2 : Résolvons \(f'(x) = 0\) Pour trouver les extrema, on résout : \[ e^{-x^2}(1 - 2x^2) = 0 \] Étant donné que \(e^{-x^2} \neq 0\), nous avons : \[ 1 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Étape 3 : Vérification du maximum Pour vérifier que c'est un maximum, étudions le signe de \(f'(x)\) autour de \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\): • Pour \(x < \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(1 - 2x^2 > 0 \Rightarrow f'(x) > 0\) (croissante). • Pour \(x > \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(1 - 2x^2 < 0 \Rightarrow f'(x) < 0\) (décroissante).
Ainsi, \(f\) atteint un maximum en \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Étape 4 : Calculons le maximum Calculons \(f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) : \[ f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{1}{2}} \] Conclusion 1. La limite de \(f\) en \(+\infty\) est : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0. \] 2. La fonction \(f\) admet un maximum en \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) et la valeur de ce maximum est : \[ f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}. \]
Exercice 50: ★ ★ ★ ★ ★
1. Faire une présentation sur la règle de l’Hôpital en précisant les conditions d’utilisation. 2. Donner des exemples résolus avec et sans cette règle.
■ Présentation sur la Règle de l'Hôpital :
• Introduction La règle de l'Hôpital est un outil puissant en analyse mathématique, utilisé pour évaluer certaines limites indéterminées. Son utilisation est particulièrement fréquente dans le cadre des limites de fonctions rationnelles, exponentielles, logarithmiques, et trigonométriques.
• Conditions d'utilisation Pour appliquer la règle de l'Hôpital, les conditions suivantes doivent être remplies : 1. Indétermination : La forme de la limite doit être indéterminée. Les formes les plus courantes sont : • \( \frac{0}{0} \) • \( \frac{\infty}{\infty} \)
2. Dérivabilité : Les fonctions au numérateur et au dénominateur doivent être dérivables dans un voisinage de la limite (sauf possiblement au point de la limite elle-même).
3. Limite du quotient des dérivées : Si les conditions ci-dessus sont remplies, alors : \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \] si cette dernière limite existe (ou est infinie).
• Remarques • Si l'application de la règle de l'Hôpital aboutit à une autre forme indéterminée, la règle peut être appliquée de nouveau. • La règle ne s'applique pas si les limites ne sont pas sous forme indéterminée.
■ Exemples Résolus • Exemple 1 : Utilisation de la règle de l'Hôpital Problème : Calculer la limite suivante : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \] Étape 1 : Identifier la forme indéterminée \[ \lim_{x \to 0} \sin(x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} x = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{0}{0} \] Étape 2 : Appliquer la règle de l'Hôpital Calculons les dérivées : • \( f(x) = \sin(x) \) donc \( f'(x) = \cos(x) \) • \( g(x) = x \) donc \( g'(x) = 1 \)
Appliquons la règle : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1 \] • Exemple 2 : Sans utiliser la règle de l'Hôpital Problème : Calculer la limite suivante : \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \] Étape 1 : Identifier la forme indéterminée \[ \lim_{x \to 0} e^x = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} x = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{0}{0} \] Étape 2 : Utiliser le développement limité Utilisons le développement de Taylor pour \(e^x\) autour de \(x = 0\) : \[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \] Ainsi, \[ e^x - 1 \approx x \Rightarrow \frac{e^x - 1}{x} \approx \frac{x}{x} = 1 \] Étape 3 : Calculer la limite \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \] • Conclusion La règle de l'Hôpital est un outil très utile pour évaluer les limites indéterminées. Cependant, il existe également d'autres méthodes, comme les développements limités, qui peuvent être appliquées selon le contexte.
𝒟𝑒́𝓇𝒾𝓋𝒶𝓉𝒾𝑜𝓃, 𝒸𝑜𝓃𝓋𝑒𝓍𝒾𝓉𝑒́ - 𝒸𝑜𝓃𝓉𝒾𝓃𝓊𝒾𝓉𝑒́
Exercice 51: ★ ★ ★ ★ ★
Dans chacun des cas suivants, déterminer \(u \circ v\) puis \(v \circ u\) en précisant à chaque fois l'ensemble de définition. 1. \(u: x → 5x+3\) et \(v: x → \sqrt{x}\) 2. \(u: x → x^2+x+1\) et \(v: x → e^x\) 3. \(u: x → x^3-1\) et \(v: x → \frac{1}{x}\) 4. \(u: x → \sqrt{x}\) et \(v: x → e^x\)
Pour chaque cas, nous allons déterminer les compositions \(u \circ v\) et \(v \circ u\) en précisant les ensembles de définition.
1. \(u(x) = 5x + 3\) et \(v(x) = \sqrt{x}\) Composition \(u \circ v\) \[ u \circ v(x) = u(v(x)) = u(\sqrt{x}) = 5\sqrt{x} + 3 \] Ensemble de définition : \(v(x) = \sqrt{x}\) est défini pour \(x \geq 0\). Donc \(u \circ v\) est défini pour \(x \geq 0\).
Composition \(v \circ u\) \[ v \circ u(x) = v(u(x)) = v(5x + 3) = \sqrt{5x + 3} \] Ensemble de définition : \(v(x) = \sqrt{x}\) est défini quand \(5x + 3 \geq 0\), soit \(x \geq -\frac{3}{5}\). Donc \(v \circ u\) est défini pour \(x \geq -\frac{3}{5}\).
2. \(u(x) = x^2 + x + 1\) et \(v(x) = e^x\) Composition \(u \circ v\) \[ u \circ v(x) = u(v(x)) = u(e^x) = (e^x)^2 + e^x + 1 = e^{2x} + e^x + 1 \] Ensemble de définition : \(v(x) = e^x\) est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Donc \(u \circ v\) est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Composition \(v \circ u\) \[ v \circ u(x) = v(u(x)) = v(x^2 + x + 1) = e^{x^2 + x + 1} \] Ensemble de définition : \(v(x) = e^x\) est aussi défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Donc \(v \circ u\) est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
3. \(u(x) = x^3 - 1\) et \(v(x) = \frac{1}{x}\) Composition \(u \circ v\) \[ u \circ v(x) = u(v(x)) = u\left(\frac{1}{x}\right) = \left(\frac{1}{x}\right)^3 - 1 = \frac{1}{x^3} - 1 \] Ensemble de définition : \(v(x) = \frac{1}{x}\) est défini pour \(x \neq 0\). Donc \(u \circ v\) est défini pour \(x \neq 0\).
Composition \(v \circ u\) \[ v \circ u(x) = v(u(x)) = v(x^3 - 1) = \frac{1}{x^3 - 1} \] Ensemble de définition : \(v(x) = \frac{1}{x}\) est défini lorsque \(x^3 - 1 \neq 0\), soit \(x \neq 1\). Donc \(v \circ u\) est défini pour \(x \neq 1\).
4. \(u(x) = \sqrt{x}\) et \(v(x) = e^x\) Composition \(u \circ v\) \[ u \circ v(x) = u(v(x)) = u(e^x) = \sqrt{e^x} \] Ensemble de définition : \(u(x) = \sqrt{x}\) est défini pour tout \(x \geq 0\). Comme \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), alors \(u \circ v\) est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Composition \(v \circ u\) \[ v \circ u(x) = v(u(x)) = v(\sqrt{x}) = e^{\sqrt{x}} \] Ensemble de définition : \(u(x) = \sqrt{x}\) est défini pour \(x \geq 0\), donc \(v \circ u\) est défini pour \(x \geq 0\).
Résumé des compositions 1. \(u \circ v\) : \(5\sqrt{x} + 3\) sur \([0; +\infty[\) \(v \circ u\) : \(\sqrt{5x + 3}\) sur \([-3/5; +\infty[\) 2. \(u \circ v\) : \(e^{2x} + e^x + 1\) sur \(\mathbb{R}\) \(v \circ u\) : \(e^{x^2 + x + 1}\) sur \(\mathbb{R}\) 3. \(u \circ v\) : \(\frac{1}{x^3} - 1\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) \(v \circ u\) : \(\frac{1}{x^3 - 1}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) 4. \(u \circ v\) : \(\sqrt{e^x}\) sur \(\mathbb{R}\) \(v \circ u\) : \(e^{\sqrt{x}}\) sur \([0; +\infty[\)
Exercice 52: ★ ★ ★ ★ ★
Dans chacun des cas suivants, calculer \((u \circ u)(x)\) après avoir déterminé l'ensemble de définition de \(u \circ u\). 1. \(u: x → x^2\) 2. \(u: x → \frac{1}{x}\) 3. \(u: x → 3x-2\)
Pour chaque cas, nous allons déterminer l'ensemble de définition de \(u \circ u\) et ensuite calculer \((u \circ u)(x)\).
1. \(u(x) = x^2\) • Étape 1 : Calcul de \(u \circ u\) \[ u \circ u(x) = u(u(x)) = u(x^2) = (x^2)^2 = x^4 \] • Étape 2 : Ensemble de définition L'ensemble de définition de \(u(x) = x^2\) est tout \(\mathbb{R}\). Donc, l'ensemble de définition de \(u \circ u\) est également tout \(\mathbb{R}\).
Résultat pour le cas 1 \[ (u \circ u)(x) = x^4 \quad \text{avec } D(u \circ u) = \mathbb{R} \] 2. \(u(x) = \frac{1}{x}\) • Étape 1 : Calcul de \(u \circ u\) \[ u \circ u(x) = u(u(x)) = u\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x \] • Étape 2 : Ensemble de définition L'ensemble de définition de \(u(x) = \frac{1}{x}\) est \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\). Comme \(u(x)\) est défini pour \(x \neq 0\), on doit s'assurer que \(\frac{1}{x} \neq 0\), ce qui est également vrai pour \(x \neq 0\).
Résultat pour le cas 2 \[ (u \circ u)(x) = x \quad \text{avec } D(u \circ u) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \] 3. \(u(x) = 3x - 2\) • Étape 1 : Calcul de \(u \circ u\) \[ u \circ u(x) = u(u(x)) = u(3x - 2) = 3(3x - 2) - 2 = 9x - 6 - 2 = 9x - 8 \] • Étape 2 : Ensemble de définition L'ensemble de définition de \(u(x) = 3x - 2\) est tout \(\mathbb{R}\). Donc, l'ensemble de définition de \(u \circ u\) est également tout \(\mathbb{R}\).
Résultat pour le cas 3 \[ (u \circ u)(x) = 9x - 8 \quad \text{avec } D(u \circ u) = \mathbb{R} \] Résumé des résultats 1. \((u \circ u)(x) = x^4\) avec \(D(u \circ u) = \mathbb{R}\) 2. \((u \circ u)(x) = x\) avec \(D(u \circ u) = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) 3. \((u \circ u)(x) = 9x - 8\) avec \(D(u \circ u) = \mathbb{R}\)
Exercice 53: ★ ★ ★ ★ ★
Décomposer chacune des fonctions suivantes sous la forme \(v \circ u\), où \(u\) et \(v\) sont deux fonctions de référence. 1. \(f:x → \sqrt{2x-6}\), définie sur \([3; +∞[\). 2. \(g: x → \frac{1}{x-7}\), définie sur \(]-∞ ; 7[U]7; +∞[\). 3. \(h: x → e^{3x-5}\), définie sur \(\mathbb{R}\). 4. \(k: x → 3e^x-5\), définie sur \(\mathbb{R}\).
Pour chacune des fonctions données, nous allons décomposer la fonction sous la forme \(v \circ u\), où \(u\) et \(v\) sont des fonctions de référence.
1. \(f(x) = \sqrt{2x - 6}\), définie sur \([3; +\infty[\) Décomposition : • Choisissons \(u(x) = 2x - 6\), qui est défini sur \([3; +\infty[\). • Ensuite, choisissons \(v(x) = \sqrt{x}\), qui est définie sur \([0; +\infty[\). Écriture : \[ f(x) = v(u(x)) = \sqrt{2x - 6} \] Résultat pour le cas 1 \[ u(x) = 2x - 6, \quad v(x) = \sqrt{x} \] 2. \(g(x) = \frac{1}{x - 7}\), définie sur \(]-\infty; 7[ \cup ]7; +\infty[\) Décomposition : • Choisissons \(u(x) = x - 7\), qui est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\) sauf \(x = 7\). • Ensuite, choisissons \(v(x) = \frac{1}{x}\), qui est définie pour \(x \neq 0\). Écriture : \[ g(x) = v(u(x)) = \frac{1}{x - 7} \] Résultat pour le cas 2 \[ u(x) = x - 7, \quad v(x) = \frac{1}{x} \] 3. \(h(x) = e^{3x - 5}\), définie sur \(\mathbb{R}\) Décomposition : • Choisissons \(u(x) = 3x - 5\), qui est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\). • Ensuite, choisissons \(v(x) = e^x\), qui est également définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Écriture : \[ h(x) = v(u(x)) = e^{3x - 5} \] Résultat pour le cas 3 \[ u(x) = 3x - 5, \quad v(x) = e^x \] 4. \(k(x) = 3e^x - 5\), définie sur \(\mathbb{R}\) Décomposition : • Choisissons \(u(x) = e^x\), qui est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\). • Ensuite, choisissons \(v(x) = 3x - 5\), qui est également définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Écriture : \[ k(x) = v(u(x)) = 3e^x - 5 \] Résultat pour le cas 4 \[ u(x) = e^x, \quad v(x) = 3x - 5 \] Résumé des décompositions 1. \(f(x) = \sqrt{2x - 6}\) avec \(u(x) = 2x - 6\) et \(v(x) = \sqrt{x}\) 2. \(g(x) = \frac{1}{x - 7}\) avec \(u(x) = x - 7\) et \(v(x) = \frac{1}{x}\) 3. \(h(x) = e^{3x - 5}\) avec \(u(x) = 3x - 5\) et \(v(x) = e^x\) 4. \(k(x) = 3e^x - 5\) avec \(u(x) = e^x\) et \(v(x) = 3x - 5\)
Exercice 54: ★ ★ ★ ★ ★
Donner les fonctions dérivées des fonctions suivantes. On ne demande pas de préciser les intervalles sur lesquels elles sont définies ou dérivables. 1. \(f: x → e^{3x}\) 2. \(g: x → e^{x-4}\) 3. \(h: x → e^{\frac{1}{x}}\) 4. \(k: x → e^{\sqrt{x}}\)
solution en cours...
Exercice 55: ★ ★ ★ ★ ★
Soit fune fonction définie sur l'intervalle \([-2; 7]\) dont la représentation graphique \(𝒞_f\), dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.
Déterminer graphiquement la convexité de \(f\) et préciser les points d'inflexion éventuels de \(𝒞_f\).
solution en cours...
Exercice 56: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) une fonction affine définie par morceaux sur l'intervalle \([-2; 6]\) dont la représentation graphique, dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.
1. Donner l'expression de \(f(x)\) en fonction de \(x\). 2. Déterminer graphiquement la convexité de \(f\) sur l'intervalle \([-2; 4]\), puis sur l'intervalle \([2; 6]\).
solution en cours...
Exercice 57: ★ ★ ★ ★ ★
Donner un exemple de fonction qui est à la fois convexe et concave sur \(\mathbb{R}\).
Un exemple de fonction qui est à la fois convexe et concave sur \(\mathbb{R}\) est la fonction constante.
■ Exemple : Considérons la fonction \(f(x) = c\), où \(c\) est une constante réelle (par exemple, \(c = 5\)).
■ Propriétés : 1. Convexité : Une fonction est convexe si, pour tous \(x_1\) et \(x_2\) dans son domaine et pour tout \(\lambda \in [0, 1]\), on a : \[ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2). \] Pour une fonction constante, cette inégalité est toujours vérifiée car \(f(x_1) = f(x_2) = c\).
2. Concavité : Une fonction est concave si, pour tous \(x_1\) et \(x_2\) dans son domaine et pour tout \(\lambda \in [0, 1]\), on a : \[ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2). \] Pour une fonction constante, cette inégalité est également toujours vérifiée.
■ Conclusion : Ainsi, la fonction constante \(f(x) = c\) est à la fois convexe et concave sur \(\mathbb{R}\).
Un autre exemple de fonction qui est à la fois convexe et concave sur \(\mathbb{R}\) est la fonction affine de la forme : \[ f(x) = ax + b \] où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles.
■ Propriétés : 1. Convexité : Une fonction affine est convexe car sa dérivée \(f'(x) = a\) est constante. Pour une fonction convexe, la dérivée doit être croissante ou constante. Étant donné que la dérivée est constante, la fonction est convexe.
2. Concavité : De même, une fonction affine est concave car sa dérivée \(f'(x) = a\) ne diminue pas. Ainsi, la fonction est également concave.
■ Conclusion : Donc, toute fonction affine de la forme \(f(x) = ax + b\) est à la fois convexe et concave sur \(\mathbb{R}\). Par exemple, la fonction \(f(x) = 2x + 3\) est une fonction qui satisfait ces conditions.
Exercice 58: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la représentation graphique \(𝒞_f\), d'une fonction \(f\), définie sur l'intervalle \([1 750; 2 010]\), qui modélise les émissions globales de dioxyde de carbone (en gigatonne) en fonction de l'année, entre \(1750\) et \(2010\).
1. Déterminer graphiquement le sens de variation et la convexité de \(f\). 2. En quoi ce modèle est-il inquiétant pour notre avenir ?
solution en cours...
Exercice 59: ★ ★ ★ ★ ★
Étudier la convexité de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par: • \(f(x) = x^{10}\) • \(f(x)=x^3-x^2+x+1\) Préciser les éventuels points d'inflexion de sa courbe représentative.
Pour étudier la convexité des fonctions \(f(x) = x^{10}\) et \(f(x) = x^3 - x^2 + x + 1\), nous allons analyser leurs dérivées secondes.
1. Étude de la fonction \(f(x) = x^{10}\) • Étape 1 : Calculons la dérivée seconde Calculons la première dérivée : \[ f'(x) = 10x^9 \]
Calculons ensuite la dérivée seconde : \[ f''(x) = 90x^8 \] • Étape 2 : Analyse du signe de \(f''(x)\) La dérivée seconde \(f''(x) = 90x^8\) est toujours positive pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (puisque \(x^8 \geq 0\)).
• Conclusion : \(f(x) = x^{10}\) est une fonction convexe sur \(\mathbb{R}\) et n'a pas de points d'inflexion.
2. Étude de la fonction \(f(x) = x^3 - x^2 + x + 1\) • Étape 1 : Calculons la dérivée seconde Calculons la première dérivée : \[ f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 \] Calculons ensuite la dérivée seconde : \[ f''(x) = 6x - 2 \] • Étape 2 : Résolvons \(f''(x) = 0\) pour trouver les points d'inflexion Pour déterminer les points d'inflexion, résolvons : \[ 6x - 2 = 0 \implies 6x = 2 \implies x = \frac{1}{3} \] • Étape 3 : Analyse du signe de \(f''(x)\) • Pour \(x < \frac{1}{3}\) : \(f''(x) < 0\) (la fonction est concave). • Pour \(x > \frac{1}{3}\) : \(f''(x) > 0\) (la fonction est convexe).
• Conclusion : La fonction \(f(x) = x^3 - x^2 + x + 1\) a un point d'inflexion en \(x = \frac{1}{3}\), où la concavité change.
Résumé • Pour \(f(x) = x^{10}\) : Convexe sur \(\mathbb{R}\), pas de points d'inflexion. • Pour \(f(x) = x^3 - x^2 + x + 1\) : Concave pour \(x < \frac{1}{3}\), convexe pour \(x > \frac{1}{3}\), avec un point d'inflexion en \(x = \frac{1}{3}\).
Exercice 60: ★ ★ ★ ★ ★
1. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse \(0\). 2. Tracer la courbe représentative de la fonction exponentielle ainsi que sa tangente au point d'abscisse \(0\) sur une calculatrice. 3. Montrer que la fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\). 4. Justifier que, pour tout réel \(x\), \(e^x ≥ x+1\).
1. Équation réduite de la tangente à la courbe de \(f(x) = e^x\) au point d'abscisse \(0\) • Étape 1 : Calculer \(f(0)\) \[ f(0) = e^0 = 1. \] • Étape 2 : Calculer la dérivée \(f'(x)\) La dérivée de la fonction exponentielle est : \[ f'(x) = e^x. \] • Étape 3 : Calculer \(f'(0)\) \[ f'(0) = e^0 = 1. \] • Étape 4 : Équation de la tangente L'équation de la tangente au point \(A(0, f(0))\) est donnée par : \[ y - f(0) = f'(0)(x - 0). \] En substituant les valeurs : \[ y - 1 = 1 \cdot (x - 0) \implies y = x + 1. \] • Conclusion : L'équation réduite de la tangente à la courbe en \(x = 0\) est : \[ y = x + 1. \] 2. Tracer la courbe représentative de \(f(x) = e^x\) et sa tangente Pour tracer la courbe, utilisez une calculatrice ou un logiciel de graphisme et tracez les deux fonctions suivantes : • \(f(x) = e^x\) • \(g(x) = x + 1\) (la tangente) Vous devriez observer que la tangente touche la courbe de \(f(x)\) au point \(A(0, 1)\).
3. Montrer que la fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\) • Étape 1 : Calculer la dérivée seconde de \(f(x) = e^x\) La première dérivée de \(f\) est : \[ f'(x) = e^x. \] La deuxième dérivée est : \[ f''(x) = e^x. \] • Étape 2 : Analyser le signe de \(f''(x)\) Comme \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), alors \(f''(x) > 0\).
• Conclusion : La fonction \(f(x) = e^x\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) car sa dérivée seconde est positive.
4. Justifier que, pour tout réel \(x\), \(e^x \geq x + 1\) Pour montrer cela, nous allons considérer la fonction : \[ h(x) = e^x - (x + 1). \] • Étape 1 : Calculer \(h(0)\) \[ h(0) = e^0 - (0 + 1) = 1 - 1 = 0. \] • Étape 2 : Calculer la dérivée de \(h\) \[h'(x) = e^x - 1\] • Étape 3 : Analyser le signe de \(h'(x)\) • Pour \(x < 0\), \(e^x < 1 \implies h'(x) < 0\) (fonction décroissante). • Pour \(x = 0\), \(h'(0) = 0\). • Pour \(x > 0\), \(e^x > 1 \implies h'(x) > 0\) (fonction croissante).
• Étape 4 : Conclusion sur \(h(x)\) La fonction \(h(x)\) atteint un minimum en \(x = 0\) avec \(h(0) = 0\). Ainsi, pour tout \(x\) : \[ h(x) \geq h(0) = 0 \implies e^x - (x + 1) \geq 0 \implies e^x \geq x + 1. \] Résumé 1. L'équation de la tangente à la courbe de \(e^x\) au point \(0\) est \(y = x + 1\). 2. Pour tracer la courbe et la tangente, utilisez une calculatrice. 3. La fonction exponentielle \(e^x\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). 4. Pour tout \(x\), \(e^x \geq x + 1\).
Exercice 61: ★ ★ ★ ★ ★
Esquisser l'allure de la courbe représentative d'une fonction \(f\) à partir de la donnée des tableaux de variation de \(f\) et de \(f'\).
solution en cours...
Exercice 62: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(g\) une fonction définie et deux fois dérivable sur l'intervalle \([-3; 3]\) dont la représentation graphique \(𝒞_g\) dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous. \(A\) et \(B\) sont les points de \(𝒞_g\) de coordonnées respectives \((-0,3; 0)\) et \((1; 2)\).
1. Déterminer graphiquement la convexité de \(g\) préciser les éventuels points d'inflexion de \(𝒞_g\). 2. Établir, à partir du graphique, les tableaux de variation complets de \(g\) et de \(g'\), ainsi que le tableau de signes de \(g"\).
solution en cours...
Exercice 63: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) une fonction définie et deux fois dérivable sur l'intervalle \([0; 6]\) telle que \(f(0) = 1\), \(f(2) = 2\) et \(f(6) = 8\). Dans chacun des cas suivants, tracer une représentation graphique possible de cette fonction dans un repère orthonormé.
• Cas 1
\(x\)
0
6
\(f''(x)\)
+
• Cas 2
\(x\)
0
2
6
\(f''(x)\)
+
0
-
solution en cours...
Exercice 64: ★ ★ ★ ★ ★
\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :\[f(x)=5x^2e^x\] On admet que fest deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). 1. Calculer \(f'(x)\) et \(f"(x)\). 2. Étudier le sens de variation de \(f\) et dresser son tableau de variation complet. 3. Étudier la convexité de la fonction \(f\). 4. Préciser les éventuels points d'inflexion de sa courbe représentative. 5. Vérifier en traçant cette courbe sur la calculatrice ou avec un logiciel de géométrie.
Pour étudier la fonction \(f(x) = 5x^2 e^x\), nous allons suivre les étapes demandées.
1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\) Calcul de \(f'(x)\) : Pour dériver \(f(x) = 5x^2 e^x\), nous utilisons la règle du produit : \[ f'(x) = 5 \left(2x e^x + x^2 e^x\right) = 5 e^x (2x + x^2) = 5 e^x x(x + 2) \] Calcul de \(f''(x)\) : Pour dériver \(f'(x)\), nous allons utiliser à nouveau la règle du produit : \[ f''(x) = 5 \left( (e^x x(x + 2))' \right) \] En appliquant la règle du produit : \[ = 5 \left( e^x x(x + 2) + e^x (x^2 + 2x) \right) \] \[ = 5 e^x \left( x(x + 2) + x^2 + 2x \right) = 5 e^x (x^2 + 2x + x^2 + 2x) = 5 e^x (2x^2 + 4x) \] \[ = 10 e^x x(x + 2) \] 2. Étudier le sens de variation de \(f\) Étude du signe de \(f'(x)\) : Nous avons : \[ f'(x) = 5 e^x x(x + 2) \] • \(e^x > 0\) pour tout \(x\). • Le signe de \(f'(x)\) dépend de \(x(x + 2)\).
Résolvons : • \(x(x + 2) = 0\) donne les racines \(x = 0\) et \(x = -2\). • \(f'(x) > 0\) pour \(x < -2\) et \(x > 0\). • \(f'(x) < 0\) pour \(-2 < x < 0\).
Tableau de variation de \(f\) : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -2 & 0 & +\infty \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{max} & \searrow & \text{min} & \nearrow \\ \hline \end{array} \] 3. Étudier la convexité de la fonction \(f\) Étude du signe de \(f''(x)\) : Nous avons : \[ f''(x) = 10 e^x x(x + 2) \] • Comme \(e^x > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(f''(x)\) dépend aussi de \(x(x + 2)\).
Résolvons : • Les racines de \(f''(x)\) sont également \(x = 0\) et \(x = -2\). • \(f''(x) > 0\) pour \(x < -2\) et \(x > 0\) (convexe). • \(f''(x) < 0\) pour \(-2 < x < 0\) (concave).
4. Points d'inflexion Les points d'inflexion se trouvent là où \(f''(x) = 0\), soit aux points \(x = -2\) et \(x = 0\). Résumé des résultats • Intervalle \(]-\infty, -2[\) : \(f\) est croissante et convexe. • Intervalle \([-2, 0[\) : \(f\) est décroissante et concave. • Intervalle \(]0, +\infty[\) : \(f\) est croissante et convexe. • Points d'inflexion : \(x = -2\) et \(x = 0\).
5. Vérification graphique Pour vérifier les résultats, vous pouvez tracer la courbe de \(f(x) = 5x^2 e^x\) sur une calculatrice graphique ou un logiciel de géométrie. Vous devriez observer : • Un maximum local en \(x = -2\). • Un minimum local en \(x = 0\). • Une courbe qui est convexe pour \(x < -2\) et \(x > 0\) et concave pour \(-2 < x < 0\).
Ces observations devraient confirmer les résultats obtenus analytiquement.
Exercice 65: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) une fonction définie et deux fois dérivable sur l'intervalle \([-4; 6]\). La représentation graphique \(𝒞_f\), de sa dérivée seconde \(f"\) est donnée ci-dessous.
1. En justifiant, déterminer, avec la précision permise par le graphique, la convexité de \(f\) sur \([-4; 6]\). 2. Sachant que \(f(-3)=2\), \(f(2) = 4\) et \(f(5)=6\), construire une courbe qui pourrait être celle de \(f\).
solution en cours...
Exercice 66: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) la fonction définie sur R par: \[ f(x) = \left \{ \begin{array}{c @{=} c} 3+x = 8\:si\:x\:<\:-1 \\ x^2+x \:si\:x\:>\:-1 \end{array} \right. \] 1. Représenter graphiquement la fonction f. 2. \(f\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ? Comment le justifier ?
solution en cours...
Exercice 67: ★ ★ ★ ★ ★
On donne ci-dessous les tarifs 2020 pour l'affranchissement d'un envoi au tarif « lettre verte ».
Masse jusqu'à
Tarif
20 g
0,97 €
100 g
1,94 €
250 g
3,88 €
500 g
5,82 €
On note \(C(x)\) le coût, en euro, d'une lettre « verte» en fonction de sa massex (en gramme). 1. Représenter graphiquement la fonction \(C\) sur l'intervalle \([0; 500]\). 2. La fonction \(C\) est-elle continue ?
solution en cours...
Exercice 68: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\) définie par son premier terme \(u_0 = 2\) et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f\) est la fonction définie sur \(]-∞; 12]\) par \(f(x)=\sqrt{12-x}\). On admet que \((u_n)\) converge et que \(f\) est continue sur \(]-∞; 12]\). On note \(l\) la limite de \((u_n)\). 1. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, conjecturer la valeur de \(l\). 2. Démontrer qu'il existe un unique réel \(α\) tel que \(f(α) = α\). 3. Démontrer la conjecture en utilisant la continuité de \(f\).
Pour étudier la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f(x) = \sqrt{12 - x}\), nous allons suivre les étapes demandées.
1. Conjecture de la valeur de \(l\) Pour conjecturer la valeur de \(l\), nous pouvons calculer les premiers termes de la suite : • \(u_0 = 2\) • \(u_1 = f(u_0) = f(2) = \sqrt{12 - 2} = \sqrt{10} \approx 3.16\) • \(u_2 = f(u_1) = f(\sqrt{10}) = \sqrt{12 - \sqrt{10}} \approx 3.46\) • \(u_3 = f(u_2) = f(3.46) = \sqrt{12 - 3.46} \approx 3.64\) • \(u_4 = f(u_3) = f(3.64) = \sqrt{12 - 3.64} \approx 3.74\)
En continuant ce processus, nous constatons que les valeurs semblent converger vers \(l \approx 4\).
2. Démonstration de l'existence d'un unique réel \(\alpha\) tel que \(f(\alpha) = \alpha\) Pour trouver \(\alpha\) tel que \(f(\alpha) = \alpha\), posons l'équation : \[ \sqrt{12 - \alpha} = \alpha. \] Étape 1 : Élever au carré des deux côtés : \[ 12 - \alpha = \alpha^2. \] Étape 2 : Réarranger l'équation : \[ \alpha^2 + \alpha - 12 = 0. \] Étape 3 : Utiliser la formule quadratique : Les solutions de cette équation quadratique sont : \[ \alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}. \] Ce qui donne : \[ \alpha_1 = 3 \quad \text{et} \quad \alpha_2 = -4. \] Étape 4 : Vérifier la validité des solutions : La fonction \(f\) est définie sur \(]-\infty; 12]\), ce qui signifie que \(\alpha\) doit être dans cet intervalle. La solution \(\alpha = 3\) est valide, tandis que \(\alpha = -4\) ne peut pas être une solution puisque \(-4 < 0\) et \(f\) ne prend pas de valeurs inférieures à 0.
Donc, il existe un unique réel \(\alpha = 3\) tel que \(f(\alpha) = \alpha\).
3. Démontrer la conjecture en utilisant la continuité de \(f\) Étape 1 : Vérifier que \(u_n\) est une suite bornée et monotone Nous devons prouver que si \((u_n)\) converge vers \(l\), alors \(l = 3\). 1. Monotonie : Nous avons calculé que \(f(x)\) est une fonction décroissante sur \(] -\infty; 12] \) puisque \(f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{12 - x}} < 0\). 2. Bornes : En partant de \(u_0 = 2\), et comme \(f(x)\) est définie pour \(x \leq 12\), il est raisonnable de conjecturer que la suite reste dans cet intervalle et ne dépasse pas 12. Étape 2 : Conclusion par la continuité Puisque \(f\) est continue et que \((u_n)\) converge, nous avons : \[ l = f(l). \] En utilisant la continuité de \(f\) : \[ l = f(l) \implies l = 3. \] Conclusion Nous avons donc montré que : 1. La valeur conjecturée de \(l\) est \(4\). 2. Il existe un unique réel \(\alpha = 3\) tel que \(f(\alpha) = \alpha\). 3. En utilisant la continuité de \(f\), nous avons vérifié que la limite de la suite \((u_n)\) est bien \(l = 3\).
Exercice 69: ★ ★ ★ ★ ★
Reprendre les questions de l'exercice précédent avec \((u_n)\), définie par \(u_0=-10\) et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^x -1\).
Pour étudier la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = -10\) et par la relation de récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f(x) = e^x - 1\), nous allons suivre les étapes demandées.
1. Conjecture de la valeur de \(l\) Pour conjecturer la valeur de \(l\), calculons les premiers termes de la suite : • \(u_0 = -10\) • \(u_1 = f(u_0) = e^{-10} - 1 \approx 0 - 1 = -1\) (puisque \(e^{-10}\) est très proche de 0) • \(u_2 = f(u_1) = e^{-1} - 1 \approx 0.3679 - 1 \approx -0.6321\) • \(u_3 = f(u_2) = e^{-0.6321} - 1 \approx 0.5305 - 1 \approx -0.4695\) • \(u_4 = f(u_3) = e^{-0.4695} - 1 \approx 0.6245 - 1 \approx -0.3755\)
On peut observer que les valeurs de \(u_n\) semblent converger vers 0. Conjecturons que \(l = 0\).
2. Démonstration de l'existence d'un unique réel \(\alpha\) tel que \(f(\alpha) = \alpha\) Pour trouver \(\alpha\) tel que \(f(\alpha) = \alpha\), posons l'équation : \[ e^\alpha - 1 = \alpha. \] Étape 1 : Réarranger l'équation : \[ e^\alpha = \alpha + 1. \] Étape 2 : Étudier la fonction \(g(x) = e^x - x - 1\) On cherche à prouver que \(g(x) = 0\) a une unique solution. • \(g(x)\) est continue pour tout \(x \in \mathbb{R}\). • Calculons la dérivée : \[ g'(x) = e^x - 1. \] • \(g'(x) > 0\) pour \(x > 0\) et \(g'(x) < 0\) pour \(x < 0\). • Cela signifie que \(g(x)\) est décroissante pour \(x < 0\) et croissante pour \(x > 0\).
Étape 3 : Étudier les limites : • Lorsque \(x \to -\infty\) : \[ g(x) \to 0 - (-\infty) - 1 = +\infty. \] • Lorsque \(x = 0\) : \[ g(0) = e^0 - 0 - 1 = 0. \] • Lorsque \(x \to +\infty\) : \[ g(x) \to +\infty. \] Ainsi, \(g(x)\) change de signe autour de \(x = 0\), et puisque \(g(x)\) est strictement monotone, il existe une unique solution \(\alpha = 0\) telle que \(f(\alpha) = \alpha\).
3. Démontrer la conjecture en utilisant la continuité de \(f\) Étape 1 : Vérifier que \(u_n\) est une suite croissante et bornée Nous devons prouver que si \((u_n)\) converge vers \(l\), alors \(l = 0\). 1. Monotonie : Pour \(x < 0\), \(f(x) = e^x - 1 < 0\). Nous montrons que \(u_n\) est croissante. En effet, pour \(u_n < 0\): \[ u_{n+1} = f(u_n) = e^{u_n} - 1 > u_n \iff e^{u_n} > u_n + 1. \] Cette inégalité est vraie pour \(u_n < 0\).
2. Bornes : Nous savons que \(u_n\) reste dans l'intervalle \((-\infty, 0)\). Étape 2 : Conclusion par la continuité Puisque \(f\) est continue et que \((u_n)\) converge, nous avons : \[ l = f(l). \] En utilisant la continuité de \(f\) : \[ l = f(l) \implies l = 0. \] Conclusion 1. La valeur conjecturée de \(l\) est \(0\). 2. Il existe un unique réel \(\alpha = 0\) tel que \(f(\alpha) = \alpha\). 3. En utilisant la continuité de \(f\), nous avons vérifié que la limite de la suite \((u_n)\) est bien \(l = 0\).
Exercice 70: ★ ★ ★ ★ ★
On désigne par \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([-10; 8]\), dont le tableau de variation est le suivant.
Déterminer le nombre de solutions sur \([-10; 8]\) de chacune des équations suivantes. 1. \(f(x)=0\) 2. \(f(x)=11\) 3. \(f(x)=-7\)
solution en cours...
Exercice 71: ★ ★ ★ ★ ★
1. À l'aide d'une calculatrice, conjecturer le nombre de solutions de l'équation:\[x^3-6x+2=0\] 2. Montrer que l'intervalle \([-1; 2]\) contient une des solutions précédentes.
Pour répondre aux questions concernant l'équation \(x^3 - 6x + 2 = 0\), nous allons procéder comme suit.
1. Conjecturer le nombre de solutions Pour conjecturer le nombre de solutions de l'équation \(x^3 - 6x + 2 = 0\), nous pouvons utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel de traçage de courbes.
• Étape 1 : Tracer la fonction Considérons la fonction \(f(x) = x^3 - 6x + 2\). En traçant cette fonction sur un intervalle, par exemple \([-3, 3]\), nous observons le comportement de la courbe.
• Étape 2 : Analyser le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses En observant le graphique, nous cherchons les points où \(f(x) = 0\).
En général, en traçant cette fonction, on peut conjecturer qu'il y a trois solutions, car la fonction cubique a au maximum trois racines réelles, et le graphique montre qu'elle traverse l'axe des abscisses à trois endroits.
2. Montrer que l'intervalle \([-1; 2]\) contient une des solutions Pour montrer que l'intervalle \([-1, 2]\) contient une solution, nous allons utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Nous avons : \[ f(-1) = 7 \quad \text{et} \quad f(2) = -2 \] Étape 3 : Conclusion avec le théorème des valeurs intermédiaires Puisque \(f(-1) > 0\) et \(f(2) < 0\), et que \(f(x)\) est continue (car il s'agit d'un polynôme), le théorème des valeurs intermédiaires nous assure qu'il existe au moins une valeur \(c\) dans l'intervalle \([-1, 2]\) telle que \(f(c) = 0\).
Conclusion 1. En conjecturant le nombre de solutions, nous avons déterminé qu'il y a probablement trois solutions pour l'équation \(x^3 - 6x + 2 = 0\). 2. Nous avons montré que l'intervalle \([-1, 2]\) contient au moins une solution de l'équation.
Exercice 72: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par:\[f(x)=x^5+x^3\] 1. Déterminer les limites de \(f\) en \(+∞\) et en \(-∞\). 2. Étudier les variations de \(f\). 3. Démontrer que l'équation \(f(x) = 1\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\). 4. Donner un encadrement d'amplitude \(0,001\) de cette solution.
Pour étudier la fonction \(f(x) = x^5 + x^3\), nous allons suivre les étapes demandées.
1. Limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\) • Limite en \(+\infty\) : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^5 + x^3) = +\infty \] La limite tend vers \(+\infty\) car le terme \(x^5\) domine lorsque \(x\) est grand.
• Limite en \(-\infty\) : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x^5 + x^3) = -\infty \] La limite tend vers \(-\infty\) car le terme \(x^5\) domine, et il est négatif lorsque \(x\) est très grand négativement.
2. Étudier les variations de \(f\) • Étape 1 : Calcul de la dérivée \(f'(x)\) \[ f'(x) = 5x^4 + 3x^2 \] • Étape 2 : Analyser le signe de \(f'(x)\)
Les deux termes \(5x^4\) et \(3x^2\) sont toujours positifs pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Ainsi, \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Cela signifie que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que l'équation \(f(x) = 1\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\) • Comportement aux limites : • \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)
• Théorème des valeurs intermédiaires : Puisque \(f\) est continue et strictement croissante, et que \(f(x)\) passe de \(-\infty\) à \(+\infty\), il existe au moins une solution à \(f(x) = 1\).
• Unicité : Comme \(f\) est strictement croissante, l'équation \(f(x) = 1\) ne peut avoir qu'une seule solution.
4. Encadrement de la solution d'amplitude \(0,001\) Pour trouver une solution à l'équation \(f(x) = 1\), nous devons d'abord déterminer des valeurs de \(x\) qui encadrent cette solution.
• Étape 1 : Tester quelques valeurs Calculons \(f(0)\) et \(f(1)\) : \[ f(0) = 0^5 + 0^3 = 0 \] \[ f(1) = 1^5 + 1^3 = 1 + 1 = 2 \] Nous avons donc \(f(0) < 1 < f(1)\), ce qui implique qu'il y a une solution dans l'intervalle \((0, 1)\).
Nous avons \(0.8 < x < 0.9\). Pour un encadrement d'amplitude \(0.001\), nous pouvons essayer des valeurs plus précises :
Vérifions \(f(0.85)\) : \[ f(0.85) = (0.85)^5 + (0.85)^3 \approx 0.4437 + 0.614125 = 1.057825 \] Testons \(f(0.84)\) : \[ f(0.84) = (0.84)^5 + (0.84)^3 \approx 0.418211 + 0.592704 = 1.010915 \] En résumé, nous avons : \[ 0.84 < x < 0.85 \] Ainsi, un encadrement d'amplitude \(0.001\) de la solution de \(f(x) = 1\) est : \[ [0.84, 0.841] \] Avec cela, nous avons terminé l'analyse de la fonction \(f\).
Exercice 73: ★ ★ ★ ★ ★
1. Démontrer que l'équation \(x^2e^2 = 1\) admet une unique solution et que cette solution appartient à l'intervalle \([0; 1]\). 2. On donne la fonction 𝚊𝚕𝚙𝚑𝚊 ci-dessous écrite en Python.
a. Quelles seront les valeurs retournées par l'instruction 𝚊𝚕𝚙𝚑𝚊(0,𝟷) ? b. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
1. Unicité de la solution de l’équation \(x^2 e^2 = 1\) Pour démontrer que l'équation \(x^2 e^2 = 1\) admet une unique solution, nous allons reformuler l'équation : \[x^2 = \frac{1}{e^2}\] • Étape 1 : Déterminer les solutions Nous avons : \[x = \pm \frac{1}{e}\] Cependant, puisque nous cherchons des solutions dans l'intervalle \([0; 1]\), seules les solutions positives nous intéressent : \[x = \frac{1}{e} \approx 0.3679\] • Étape 2 : Vérifier que la solution est dans l'intervalle \([0; 1]\) Puisque \(0 < \frac{1}{e} < 1\), nous confirmons que la solution \(x = \frac{1}{e}\) appartient bien à l'intervalle \([0; 1]\).
• Étape 3 : Unicité Pour établir l'unicité, considérons la fonction : \[f(x) = x^2 e^2 - 1\] Calculons la dérivée : \[f'(x) = 2x e^2\] Pour \(x \geq 0\), nous avons \(f'(x) > 0\). Cela signifie que \(f(x)\) est strictement croissante sur \([0; +\infty[\). Ainsi, \(f(x) = 0\) ne peut avoir qu'une seule solution.
Conclusion Nous avons donc montré que l'équation \(x^2 e^2 = 1\) admet une unique solution \(x = \frac{1}{e}\) qui appartient à l'intervalle \([0; 1]\).
2. Analyse de la fonction `alpha` La fonction `alpha` donnée en Python semble être une méthode pour trouver un encadrement d'une valeur telle que \(x^2 e^2 = 1\) à une précision donnée.
a. Valeurs retournées par `alpha(0, 1)` 1. Initialisation : • \(a = 0\) • \(b = 1\)
2. Boucle while : La boucle continue tant que \(b - a > \text{précision}\).
3. Calcul de \(c\) : À chaque itération, \(c = \frac{a + b}{2}\) est calculé.
4. Calcul de \(f\) : \[ f = c^2 e^2 \]
5. Condition : • Si \(f \leq 1\), alors \(a = c\). • Sinon, \(b = c\).
La fonction `alpha(0, 1)` va donc affiner les valeurs de \(a\) et \(b\) jusqu'à ce que la différence entre \(b\) et \(a\) soit inférieure à la précision spécifiée.
b. Interprétation du résultat dans le contexte Le résultat de `alpha(0, 1)` fournira un encadrement de la valeur \(x = \frac{1}{e}\) qui est la solution de \(x^2 e^2 = 1\). Par exemple, si la précision est de \(0.001\), la fonction retournera des valeurs \(a\) et \(b\) telles que : \[\frac{1}{e} \in [a, b]\] Cela signifie que l'algorithme permet de trouver une approximation de la solution dans un intervalle très étroit, rendant le calcul précis et efficace pour des applications qui nécessitent une telle précision.
Exercice 74: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-2; +∞[\) par: \(f(x)=\sqrt{3x+6}\). 1. Décomposer \(f\) sous la forme \(u \circ v\), où \(u\) et \(v\) sont deux fonctions que l'on précisera. 2. En déduire le sens de variation de \(f\), sans chercher à la dériver.
Pour la fonction \(f(x) = \sqrt{3x + 6}\), nous allons répondre aux deux questions posées.
1. Décomposition de \(f\) sous la forme \(u \circ v\) Nous pouvons décomposer \(f\) en deux fonctions \(u\) et \(v\) de la manière suivante : • Définissons \(v\) : \[ v(x) = 3x + 6 \] Cette fonction est une fonction affine qui transforme \(x\) en \(3x + 6\).
• Définissons \(u\) : \[ u(y) = \sqrt{y} \] Cette fonction prend une valeur \(y\) et retourne sa racine carrée.
Ainsi, nous avons : \[ f(x) = u(v(x)) = u(3x + 6) = \sqrt{3x + 6}. \] 2. Sens de variation de \(f\) Pour déterminer le sens de variation de \(f\), nous allons examiner les fonctions \(u\) et \(v\). • Étude de \(v(x) = 3x + 6\) : • Cette fonction est strictement croissante, car le coefficient de \(x\) est positif (3). • Son domaine de définition est \([-2; +\infty[\), et pour \(x = -2\), \(v(-2) = 3(-2) + 6 = 0\). • Ainsi, \(v(x)\) prend toutes les valeurs à partir de 0 lorsque \(x \to -2\) jusqu'à \(+\infty\) lorsque \(x \to +\infty\).
• Étude de \(u(y) = \sqrt{y}\) : Cette fonction est également strictement croissante pour \(y \geq 0\) (car la racine carrée est définie et croissante dans cet intervalle).
Conclusion sur le sens de variation de \(f\) Puisque \(v\) est strictement croissante et que \(u\) est strictement croissante, leur composition \(f(x) = u(v(x))\) est également strictement croissante sur son domaine de définition \([-2; +\infty[\).
Ainsi, nous concluons que la fonction \(f(x) = \sqrt{3x + 6}\) est strictement croissante sur \([-2; +\infty[\).
Exercice 75: ★ ★ ★ ★ ★
On considère les fonctions \(u\) et \(v\), définies par \(u(x) = \sqrt{x}\) et \(v(x) = x^2+1\). On pose \(f = v \circ u\). 1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\), puis calculer explicitement \(f(x)\). 2. On considère la fonction \(g\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x+1\). Les fonctions \(f\) et \(g\) sont-elles égales ? Justifier.
Pour étudier les fonctions \(u(x) = \sqrt{x}\) et \(v(x) = x^2 + 1\), ainsi que la fonction composée \(f = v \circ u\), procédons étape par étape.
1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\) et calculer \(f(x)\) Étape 1 : Ensemble de définition de \(u\) La fonction \(u(x) = \sqrt{x}\) est définie pour \(x \geq 0\), donc son ensemble de définition est : \[ D_u = [0, +\infty[. \] Étape 2 : Ensemble de définition de \(v\) La fonction \(v(x) = x^2 + 1\) est définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\), donc son ensemble de définition est : \[ D_v = \mathbb{R}. \] Étape 3 : Ensemble de définition de \(f\) La fonction composée \(f = v \circ u\) est définie pour \(x\) appartenant à l'ensemble de définition de \(u\). Ainsi, l'ensemble de définition de \(f\) est : \[ D_f = D_u = [0, +\infty[. \] Étape 4 : Calcul de \(f(x)\) Calculons explicitement \(f(x)\) : 1. Appliquons \(u\) : \(u(x) = \sqrt{x}\). 2. Maintenant appliquons \(v\) à \(u(x)\) : \[ f(x) = v(u(x)) = v(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 + 1 = x + 1. \] Donc, on a : \[ f(x) = x + 1 \quad \text{pour } x \in [0, +\infty[. \] 2. Comparaison des fonctions \(f\) et \(g\) On considère maintenant la fonction \(g(x) = x + 1\), définie sur \(\mathbb{R}\). Étape 1 : Vérification de l'égalité des fonctions Pour vérifier si \(f\) et \(g\) sont égales, nous devons examiner leurs définitions et ensembles de définition : • \(f(x) = x + 1\) pour \(x \in [0, +\infty[\). • \(g(x) = x + 1\) pour \(x \in \mathbb{R}\). Étape 2 : Conclusion sur l'égalité Les deux fonctions \(f\) et \(g\) ont la même expression \(x + 1\), mais elles ont des ensembles de définition différents : • \(f\) est définie uniquement sur \([0, +\infty[\). • \(g\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
Ainsi, même si elles prennent des valeurs identiques sur l'intervalle \([0, +\infty[\), \(f\) et \(g\) ne sont pas égales car elles n'ont pas le même domaine de définition.
Conclusion 1. L'ensemble de définition de \(f\) est \([0, +\infty[\) et \(f(x) = x + 1\). 2. Les fonctions \(f\) et \(g\) ne sont pas égales en raison de leurs ensembles de définition différents.
Exercice 76: ★ ★ ★ ★ ★
On considère les fonctions \(u\) et \(v\), définies sur \(\mathbb{R}\) par : \(u(x)=2x^2-1\) et \(v(x) = 4x^3-3x\). Démontrer que \(u \circ v=v \circ u\).
Pour démontrer que \(u \circ v = v \circ u\), nous devons calculer les deux compositions \(u(v(x))\) et \(v(u(x))\) et montrer qu'elles sont égales.
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\). Indiquer, pour chaque proposition, si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. Si \(f\) est paire, alors \(g \circ f\) est paire. 2. Si \(f\) est impaire, alors \(g \circ f\) est impaire. 3. Si \(f\) est impaire, alors \(f \circ f\) est paire. 4. Si \(g\) est paire, alors \(g \circ f\) est paire.
Analysons chaque proposition concernant les fonctions \(f\) et \(g\).
1. Si \(f\) est paire, alors \(g \circ f\) est paire. Faux. Justification : Une fonction \(f\) est dite paire si \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\). Cependant, cela ne garantit pas que \(g(f(x))\) soit paire. La fonction \(g\) peut ne pas être paire. Contre-exemple : Soit \(f(x) = x^2\) (qui est paire) et \(g(x) = x + 1\) (qui n'est pas paire) : \[ g(f(-x)) = g((-x)^2) = g(x^2) = x^2 + 1 \quad \text{et} \quad g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1. \] Dans ce cas, \(g \circ f\) est paire. Mais si on choisit \(g(x) = x\), alors: \[ g(f(x)) = f(x) = x^2 \quad \text{et} \quad g(f(-x)) = f(-x) = x^2, \] ce qui est vrai. Mais si on choisit \(g(x) = x + 1\), cela ne fonctionne pas.
2. Si \(f\) est impaire, alors \(g \circ f\) est impaire. Faux. Justification : Une fonction \(f\) est impaire si \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x\). Cela ne garantit pas que \(g(f(x))\) soit impaire, car \(g\) peut ne pas respecter cette propriété. Contre-exemple : Prenons \(f(x) = x\) (qui est impaire) et \(g(x) = x^2\) (qui est paire). Alors : \[ g(f(-x)) = g(-x) = (-x)^2 = x^2 \quad \text{et} \quad g(f(x)) = g(x) = x^2. \] Ici, \(g \circ f\) est paire, donc ce n'est pas vrai que \(g \circ f\) est impaire.
3. Si \(f\) est impaire, alors \(f \circ f\) est paire. Vrai. Justification : Si \(f\) est impaire, alors \(f(-x) = -f(x)\). Pour \(f \circ f\), nous avons : \[ (f \circ f)(-x) = f(f(-x)) = f(-f(x)) = -f(f(x)) = -(f \circ f)(x). \] Cela montre que \(f \circ f\) est impaire.
4. Si \(g\) est paire, alors \(g \circ f\) est paire. Faux. Justification : Une fonction \(g\) est paire si \(g(-x) = g(x)\) pour tout \(x\). Cependant, cela ne garantit pas que \(g(f(x))\) soit paire, car \(f\) peut ne pas être elle-même paire. Contre-exemple : Prenons \(g(x) = x^2\) (qui est paire) et \(f(x) = x\) (qui est impaire). Alors : \[ g(f(-x)) = g(-x) = (-x)^2 = x^2 \quad \text{et} \quad g(f(x)) = g(x) = x^2. \] Ici, \(g \circ f\) est paire. Cependant, si \(f(x) = x + 1\) (qui n'est pas paire), alors \(g(f(-x))\) et \(g(f(x))\) ne donneront pas nécessairement les mêmes résultats.
Exercice 78: ★ ★ ★ ★ ★
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\). Indiquer, pour chaque proposition, si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. Si \(f\) est décroissante et si \(g\) est décroissante, alors \(f \circ g\) est décroissante. 2. Si \(f\) est décroissante et si \(g\) est croissante, alors \(f \circ g\) est décroissante. 3. Si \(f\) est décroissante, alors \(f \circ f\) est croissante.
Analysons chaque proposition en déterminant si elle est vraie ou fausse, en justifiant les réponses.
1. Si \(f\) est décroissante et si \(g\) est décroissante, alors \(f \circ g\) est décroissante. Réponse : Vraie. Justification : • Si \(f\) est décroissante, cela signifie que pour \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) \geq f(x_2)\). • Si \(g\) est décroissante, alors pour \(y_1 < y_2\), \(g(y_1) \geq g(y_2)\). Prenons \(x_1 < x_2\). Comme \(g\) est décroissante, cela implique \(g(x_1) \geq g(x_2)\). Ensuite, puisque \(f\) est décroissante, nous avons : \[ f(g(x_1)) \geq f(g(x_2)). \] Ainsi, \(f \circ g\) est décroissante.
2. Si \(f\) est décroissante et si \(g\) est croissante, alors \(f \circ g\) est décroissante. Réponse : Vraie. Justification : • Si \(f\) est décroissante, pour \(x_1 < x_2\), \(f(x_1) \geq f(x_2)\). • Si \(g\) est croissante, alors pour \(x_1 < x_2\), on a \(g(x_1) \leq g(x_2)\). Prenons \(x_1 < x_2\). Cela implique que \(g(x_1) \leq g(x_2)\). Comme \(f\) est décroissante, nous avons : \[ f(g(x_1)) \geq f(g(x_2)). \] Ainsi, \(f \circ g\) est décroissante.
3. Si \(f\) est décroissante, alors \(f \circ f\) est croissante. Réponse : Fausse. Justification : • Soit \(f\) une fonction décroissante. Cela signifie que pour \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) \geq f(x_2)\). • Pour étudier \(f \circ f\), considérons \(x_1 < x_2\). Nous avons \(f(x_1) \geq f(x_2)\).
Si \(f(x_1) \geq f(x_2)\), il n'est pas garanti que : \[ f(f(x_1)) \leq f(f(x_2)). \] En effet, si \(f(x_1) \geq f(x_2)\), cela peut entraîner \(f(f(x_1))\) étant plus grand que \(f(f(x_2))\), ce qui signifie que \(f \circ f\) pourrait être décroissante.
Contre-exemple : Prenons \(f(x) = -x\), qui est décroissante.
Calculons \(f \circ f\) : \[ f(f(x)) = f(-x) = -(-x) = x, \] qui est croissante. Mais si \(f(x) = -x^2\), alors \(f\) est décroissante et \(f \circ f\) est décroissante, car : \[ f(f(x)) = f(-x^2) = -(-x^2)^2 = -x^4, \] qui est décroissante. Ainsi, ce montre que la proposition n'est pas nécessairement vraie.
Exercice 79: ★ ★ ★ ★ ★
Étudier les variations de chacune des fonctions suivantes. 1. \(f(x)=x-5\sqrt{x}\), définie sur \(]0; +∞[\). 2. \(f(x)=\frac{3x^2-x-1}{x+1}\), définie sur \(\mathbb{R}\) \{-𝟙}. 3. \(f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\), définie sur \(]1; +∞[\). 4. \(f(x)=\frac{1}{(x^3-x+2)^3}\) définie sur \([-1; +∞[\).
1. \(f(x) = x - 5\sqrt{x}\), définie sur \(]0; +\infty[\) ■ Étape 1 : Calculer la dérivée \[ f'(x) = 1 - \frac{5}{2\sqrt{x}} \] ■ Étape 2 : Analyser le signe de \(f'(x)\) Pour trouver les points critiques, on résout : \[ 1 - \frac{5}{2\sqrt{x}} = 0 \implies \frac{5}{2\sqrt{x}} = 1 \implies 2\sqrt{x} = 5 \implies \sqrt{x} = \frac{5}{2} \implies x = \frac{25}{4} = 6.25 \] ■ Étape 3 : Déterminer le signe de \(f'(x)\) • Pour \(0 < x < 6.25\), \(f'(x) < 0\) (décroissante). • Pour \(x > 6.25\), \(f'(x) > 0\) (croissante).
Conclusion sur les variations \(f\) décroît sur \(]0, 6.25[\) et croît sur \(]6.25, +\infty[\).
2. \(f(x) = \frac{3x^2 - x - 1}{x + 1}\), définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) ■ Étape 1 : Calculer la dérivée
Signe de \(f'(x)\) : • Pour \(x < -2\), \(f'(x) > 0\) (croissante). • Pour \(-2 < x < 0\), \(f'(x) < 0\) (décroissante). • Pour \(x > 0\), \(f'(x) > 0\) (croissante).
Conclusion sur les variations \(f\) est croissante sur \(]-\infty, -2[\), décroissante sur \([-2, 0[\), et croissante sur \(]0, +\infty[\).
3. \(f(x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}\), définie sur \(]1; +\infty[\) ■ Étape 1 : Calculer la dérivée \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} \] ■ Étape 2 : Analyser le signe de \(f'(x)\) Pour déterminer le signe de \(f'(x)\), nous mettons au même dénominateur : \[ f'(x) = \frac{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}{2\sqrt{x + 1}\sqrt{x - 1}} \] Le numérateur \(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}\) est négatif pour \(x > 1\).
Donc, \(f'(x) < 0\) pour \(x > 1\).
Conclusion sur les variations \(f\) est décroissante sur \(]1; +\infty[\).
4. \(f(x) = \frac{1}{(x^3 - x + 2)^3}\), définie sur \([-1; +\infty[\) ■ Étape 1 : Calculer la dérivée Utilisons la règle du quotient : \[ f'(x) = -\frac{3(x^3 - x + 2)^2(3x^2 - 1)}{(x^3 - x + 2)^6} = -\frac{3(3x^2 - 1)}{(x^3 - x + 2)^4} \] ■ Étape 2 : Analyser le signe de \(f'(x)\) \(f'(x) = 0\) pour \(3x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Signe de \(f'(x)\) : • Pour \(x < -\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(f'(x) > 0\) (croissante). • Pour \(-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}\), \(f'(x) < 0\) (décroissante). • Pour \(x > \frac{1}{\sqrt{3}}\), \(f'(x) > 0\) (croissante).
Conclusion sur les variations \(f\) est croissante sur \([-1, -\frac{1}{\sqrt{3}}[\), décroissante sur \([- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}[\), et croissante sur \(]\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty[\).
Résumé des variations 1. Pour \(f(x) = x - 5\sqrt{x}\) : Décroissante sur \(]0, 6.25[\), croissante sur \(]6.25, +\infty[\).
2. Pour \(f(x) = \frac{3x^2 - x - 1}{x + 1}\) : Croissante sur \(]-\infty, -2[\), décroissante sur \([-2, 0[\), croissante sur \(]0, +\infty[\).
3. Pour \(f(x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}\) : Décroissante sur \(]1, +\infty[\).
4. Pour \(f(x) = \frac{1}{(x^3 - x + 2)^3}\) : Croissante sur \([-1, -\frac{1}{\sqrt{3}}[\), décroissante sur \([- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}[\), croissante sur \(]\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty[\).
Exercice 80: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[f(x)=\sqrt{x^2+4}\] On note 𝒞 sa courbe représentative. 1. Soit \(a\) un réel. Déterminer une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse \(a\). 2. Existe-t-il une tangente à la courbe 𝒞 parallèle à la droite d'équation \(y=-\frac{1}{2}x\) ? 3. Existe-t-il une tangente à la courbe 𝒞 passant par l'origine du repère ?
1. Équation de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(a\)
• Étape 1 : Calcul de la dérivée \(f'(x)\) Pour trouver l'équation de la tangente, nous devons d'abord calculer la dérivée de \(f\): \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \] Utilisons la règle de dérivation pour les racines : \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \] • Étape 2 : Équation de la tangente La tangente au point d'abscisse \(a\) a pour équation : \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \] Calculons \(f(a)\) et \(f'(a)\) : \[ f(a) = \sqrt{a^2 + 4} \] \[ f'(a) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4}} \] Donc, l'équation de la tangente est : \[ y - \sqrt{a^2 + 4} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4}}(x - a) \] En réarrangeant, nous avons : \[ y = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4}}(x - a) + \sqrt{a^2 + 4} \] 2. Tangente parallèle à la droite d'équation \(y = -\frac{1}{2}x\) Pour qu'une tangente soit parallèle à cette droite, sa pente doit être égale à \(-\frac{1}{2}\). Cela signifie que nous devons résoudre : \[ f'(a) = -\frac{1}{2} \] Donc, nous avons : \[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4}} = -\frac{1}{2} \] • Étape 1 : Élever les deux côtés au carré : \[ a^2 = \frac{1}{4}(a^2 + 4) \] • Étape 2 : Résoudre l'équation : \[ 4a^2 = a^2 + 4 \] \[ 3a^2 = 4 \implies a^2 = \frac{4}{3} \implies a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \] 3. Tangente passant par l'origine du repère Nous voulons savoir si une tangente à la courbe passe par l'origine \((0, 0)\). Pour cela, l'équation de la tangente au point d'abscisse \(a\) doit valoir \(0\) lorsque \(x = 0\): \[ 0 = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4}}(0 - a) + \sqrt{a^2 + 4} \] Cela nous donne : \[ 0 = -\frac{a^2}{\sqrt{a^2 + 4}} + \sqrt{a^2 + 4} \] En réarrangeant, nous avons : \[ \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + 4}} = \sqrt{a^2 + 4} \] • Étape 1 : Élever au carré : \[ a^4 = a^2 + 4 \] • Étape 2 : Réorganiser : \[ a^4 - a^2 - 4 = 0 \] Posons \(u = a^2\), alors nous avons : \[ u^2 - u - 4 = 0 \] • Étape 3 : Résoudre avec la formule quadratique : \[ u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} \] • Étape 4 : Calculer \(a\) Les valeurs de \(u\) sont positives, donc : \[ a^2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \quad \text{ou} \quad a^2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \text{ (non valide car négatif)} \] Donc : \[ a = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{17}}{2}} \] Résumé des réponses 1. L'équation de la tangente au point \(a\) est : \[ y = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4}}(x - a) + \sqrt{a^2 + 4} \] 2. Il existe des tangentes parallèles à \(y = -\frac{1}{2}x\) aux points \(a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}\). 3. Il existe des tangentes passant par l'origine, avec \(a = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{17}}{2}}\).
Exercice 81: ★ ★ ★ ★ ★
Dans chaque cas, calculer \(f'(x)\) sans se soucier des intervalles sur lesquels \(f\) est dérivable. 1. \(f(x) = x\sqrt{3x+7}\) 2. \(f(x) = -2x^2 \sqrt{5x}\) 3. \(f(x)=\frac{5x}{(x-1)^2}\) 4. \(f(x)=(2x+1)^3 e^x\)
Montrer que les courbes représentatives des fonctions suivantes admettent la même tangente au point d'abscisse \(1\). 1. \(f: x ↦ -x^2+x+3\) 2. \(g: x ↦ 2 + \frac{1}{x}\) 3. \(h: x ↦ -5x+8\sqrt{x}\) 4. \(k: x ↦ -x+4\)
Pour montrer que les courbes représentatives des fonctions \(f\), \(g\), \(h\) et \(k\) admettent la même tangente au point d'abscisse \(1\), nous devons déterminer la valeur des fonctions et leurs dérivées en ce point.
1. Fonction \(f(x) = -x^2 + x + 3\) • Calculons \(f(1)\) : \[ f(1) = -1^2 + 1 + 3 = -1 + 1 + 3 = 3 \] • Calculons \(f'(x)\) : \[ f'(x) = -2x + 1 \] • Calculons \(f'(1)\) : \[ f'(1) = -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1 \] Tangente à \(f\) au point \(1\) : L'équation de la tangente est : \[ y - f(1) = f'(1)(x - 1) \implies y - 3 = -1(x - 1) \implies y = -x + 4 \] 2. Fonction \(g(x) = 2 + \frac{1}{x}\) • Calculons \(g(1)\) : \[ g(1) = 2 + \frac{1}{1} = 2 + 1 = 3 \] • Calculons \(g'(x)\) : \[ g'(x) = -\frac{1}{x^2} \] • Calculons \(g'(1)\) : \[ g'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1 \] Tangente à \(g\) au point \(1\) : L'équation de la tangente est : \[ y - g(1) = g'(1)(x - 1) \implies y - 3 = -1(x - 1) \implies y = -x + 4 \] 3. Fonction \(h(x) = -5x + 8\sqrt{x}\) • Calculons \(h(1)\) : \[ h(1) = -5(1) + 8\sqrt{1} = -5 + 8 = 3 \] • Calculons \(h'(x)\) : \[ h'(x) = -5 + \frac{8}{2\sqrt{x}} = -5 + \frac{4}{\sqrt{x}} \] • Calculons \(h'(1)\) : \[ h'(1) = -5 + 4 = -1 \] Tangente à \(h\) au point \(1\) : L'équation de la tangente est : \[ y - h(1) = h'(1)(x - 1) \implies y - 3 = -1(x - 1) \implies y = -x + 4 \] 4. Fonction \(k(x) = -x + 4\) • Calculons \(k(1)\) : \[ k(1) = -1 + 4 = 3 \] • Calculons \(k'(x)\) : \[ k'(x) = -1 \] • Calculons \(k'(1)\) : \[ k'(1) = -1 \] Tangente à \(k\) au point \(1\) : L'équation de la tangente est : \[ y - k(1) = k'(1)(x - 1) \implies y - 3 = -1(x - 1) \implies y = -x + 4 \] Conclusion Les tangentes aux courbes des fonctions \(f\), \(g\), \(h\) et \(k\) au point d'abscisse \(1\) sont toutes données par l'équation : \[ y = -x + 4 \] Ainsi, les courbes représentatives des fonctions admettent la même tangente au point d'abscisse \(1\).
Exercice 83: ★ ★ ★ ★ ★
Indiquer, pour chaque proposition, si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. La somme de deux fonctions deux fois dérivables et convexes est une fonction convexe. 2. Une fonction convexe sur l'intervalle \([1;3]\) ne peut pas être concave sur \([2; 3]\). 3. Une fonction croissante et concave sur \(\mathbb{R}\) admet une limite finie en \(+∞\). 4. Si une fonction \(f\) change de convexité en \(a\), alors sa courbe représentative admet un point d'inflexion au point d'abscisse \(a\).
Voici l'analyse des propositions :
1. La somme de deux fonctions deux fois dérivables et convexes est une fonction convexe. Vrai. Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions convexes, alors pour tout \(x_1, x_2\) dans leur domaine et pour tout \(\lambda \in [0, 1]\) : \[ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2) \] et \[ g(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leq \lambda g(x_1) + (1 - \lambda) g(x_2). \] En ajoutant ces inégalités, on obtient : \[ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) + g(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leq \lambda (f(x_1) + g(x_1)) + (1 - \lambda)(f(x_2) + g(x_2)). \] Ainsi, la somme \(h(x) = f(x) + g(x)\) est également convexe.
2. Une fonction convexe sur l'intervalle \([1;3]\) ne peut pas être concave sur \([2; 3]\). Vrai. Une fonction convexe sur un intervalle ne peut pas présenter de concavité sur un sous-intervalle de cet intervalle. La convexité implique que la dérivée est croissante, tandis que la concavité implique que la dérivée est décroissante. Si la fonction est convexe sur \([1; 3]\), elle ne peut pas être concave sur \([2; 3]\) car cela violerait la définition de la convexité sur l’intervalle \([1; 3]\).
3. Une fonction croissante et concave sur \(\mathbb{R}\) admet une limite finie en \(+\infty\). Faux. Une fonction croissante et concave peut diverger vers \(+\infty\). Par exemple, la fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) est croissante et concave sur \(\mathbb{R}^+\) et tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Ainsi, une fonction croissante et concave n'est pas contrainte d'admettre une limite finie.
4. Si une fonction \(f\) change de convexité en \(a\), alors sa courbe représentative admet un point d'inflexion au point d'abscisse \(a\). Faux. Le changement de convexité en un point \(a\) n'implique pas nécessairement qu'il s'agit d'un point d'inflexion. Un point d'inflexion est défini par le fait que la dérivée seconde \(f''(x)\) change de signe. Toutefois, si \(f\) change de convexité, cela ne garantit pas que \(f''(a) = 0\) ou que la dérivée seconde soit définie en \(a\). Par exemple, la fonction \(f(x) = x^4\) est convexe pour tout \(x\) et n'a pas de point d'inflexion, mais elle change de convexité dans le sens des dérivées.
Exercice 84: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(n\) un nombre entier naturel non nul et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^n\). Étudier la convexité de la fonction \(f\) selon les valeurs de l'entier naturel \(n\).
Pour étudier la convexité de la fonction \(f(x) = x^n\) sur \(\mathbb{R}\), nous allons examiner la dérivée seconde de \(f\).
1. Calcul de la première et de la seconde dérivée Première dérivée : La première dérivée de \(f\) est : \[ f'(x) = nx^{n-1}. \] Seconde dérivée : La seconde dérivée de \(f\) est : \[ f''(x) = n(n-1)x^{n-2}. \] 2. Analyser la convexité selon la valeur de \(n\) La convexité d'une fonction est déterminée par le signe de sa seconde dérivée : • La fonction \(f\) est convexe sur un intervalle si \(f''(x) \geq 0\) pour tout \(x\) dans cet intervalle. • La fonction \(f\) est concave si \(f''(x) \leq 0\).
Cas selon la valeur de \(n\)
1. Pour \(n = 1\) : • \(f(x) = x\) • \(f''(x) = 0\) • La fonction est affine (ni convexe ni concave).
2. Pour \(n = 2\) : • \(f(x) = x^2\) • \(f''(x) = 2 > 0\) • La fonction est convexe sur \(\mathbb{R}\).
3. Pour \(n > 2\) (entier naturel) : • \(f(x) = x^n\) • \(f''(x) = n(n-1)x^{n-2}\) • Si \(n\) est pair (\(n \geq 2\)), alors \(f''(x) \geq 0\) pour \(x > 0\) et \(f\) est convexe sur \([0, +\infty[\). À \(x < 0\), \(f''(x) > 0\) car \(n(n-1) > 0\), donc la fonction est également convexe sur \(\mathbb{R}\).
4. Pour \(n\) impair : • Si \(n\) est impair (\(n = 3, 5, \ldots\)), alors : • \(f''(x) = n(n-1)x^{n-2}\) • Pour \(x > 0\), \(f''(x) > 0\) et pour \(x < 0\), \(f''(x) < 0\). Dans ce cas, la fonction est convexe sur \(]0, +\infty[\) et concave sur \(]-\infty, 0[\).
Conclusion • Si \(n = 1\) : la fonction est affine, donc ni convexe ni concave. • Si \(n = 2\) : la fonction est convexe sur \(\mathbb{R}\). • Si \(n > 2\) et pair : la fonction est convexe sur \(\mathbb{R}\). • Si \(n > 2\) et impair : la fonction est convexe sur \(]0, +\infty[\) et concave sur \(]-\infty, 0[\).
Ainsi, la convexité de \(f(x) = x^n\) dépend de la parité et de la valeur de \(n\).
Exercice 85: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-1; +∞[\) par:\[f(x) = \sqrt{1+x}\] On note \(𝒞_f\), sa courbe représentative. 1. Démontrer que \(f\) est concave. 2. Tracer sur l'écran d'une calculatrice \(𝒞_f\), et la droite d'équation \(y = \frac{1}{2}x+1\). 3. Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]-1; +∞[\), \(\sqrt{1+x} ≤ 1+\frac{x}{2}\).
Pour étudier la fonction \(f(x) = \sqrt{1+x}\) définie sur \(]-1; +\infty[\), nous allons procéder étape par étape.
1. Démontrer que \(f\) est concave Pour montrer que la fonction \(f\) est concave, nous allons utiliser la dérivée seconde. • Étape 1 : Calculons la première dérivée \(f'(x)\) \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{1+x}) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \] • Étape 2 : Calculons la deuxième dérivée \(f''(x)\) Utilisons la règle de dérivation pour la fonction \(f'(x)\): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\right) = -\frac{1}{4(1+x)^{3/2}} \] • Étape 3 : Analysons le signe de \(f''(x)\) La deuxième dérivée \(f''(x)\) est négative pour tout \(x > -1\) car \(1+x > 0\).
Ainsi, \(f''(x) < 0\) pour tout \(x \in ]-1; +\infty[\), ce qui signifie que la fonction \(f\) est concave sur cet intervalle.
2. Tracer \(𝒞_f\) et la droite \(y = \frac{1}{2}x + 1\) Pour tracer la courbe de la fonction \(f(x) = \sqrt{1+x}\) et la droite \(y = \frac{1}{2}x + 1\), on peut utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel de traçage de fonctions. 1. Courbe \(𝒞_f\) : • Pour \(x = -1\), \(f(-1) = 0\). • Pour \(x = 0\), \(f(0) = 1\). • Pour \(x = 3\), \(f(3) = 2\).
Ensuite, vous pouvez tracer ces deux courbes sur un même graphique.
3. Démontrer que \(\sqrt{1+x} \leq 1 + \frac{x}{2}\) Pour démontrer cette inégalité, nous allons montrer que \(g(x) = 1 + \frac{x}{2} - \sqrt{1+x} \geq 0\) pour tout \(x > -1\). • Étape 1 : Analysons \(g(x)\) Calculons \(g'(x)\) pour étudier le signe de \(g(x)\): \[ g'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \] • Étape 2 : Établissons le signe de \(g'(x)\) Pour \(g'(x) \geq 0\), nous avons : \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \geq 0 \implies \sqrt{1+x} \leq 1 \] Cette inégalité est vraie pour \(x \in ]-1, 0]\).
• Étape 3 : Étudions \(g(x)\) à la limite Calculons \(g(-1)\) : \[ g(-1) = 1 + \frac{-1}{2} - \sqrt{1-1} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \geq 0. \] • Étape 4 : Étudions \(g(x)\) pour \(x > 0\) Pour \(x = 0\), nous avons : \[ g(0) = 1 + 0 - 1 = 0. \] Pour \(x > 0\), \(g'(x)\) est positif car \(\sqrt{1+x} < 1 + \frac{x}{2}\) pour tout \(x > 0\).
Conclusion Ainsi, nous avons démontré que pour tout \(x \in ]-1; +\infty[\) : \[ \sqrt{1+x} \leq 1 + \frac{x}{2}. \]
Exercice 86: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[f(x)=xe^x +1\] et \(𝒞_f\), sa courbe représentative dans un repère. 1. Déterminer la convexité de \(f\). 2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à \(𝒞_f\), au point d'abscisse \(0\). 3. En déduire que, pour tout réel \(x\) appartenant à \([-2; +∞[\), \(f(x) = x+1\). 4. Retrouver le résultat précédent en résolvant algébriquement l'inéquation \(f(x) ≥ x+1\).
Pour étudier la fonction \(f(x) = xe^x + 1\), nous allons répondre aux questions posées étape par étape.
1. Déterminer la convexité de \(f\) Étape 1 : Calculons la dérivée \(f'(x)\) \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(xe^x + 1) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x \] Étape 2 : Calculons la dérivée seconde \(f''(x)\) \[ f''(x) = \frac{d}{dx}((1 + x)e^x) = (1 + x)e^x + e^x = (2 + x)e^x \] Étape 3 : Étudions le signe de \(f''(x)\) • L'expression \(e^x > 0\) pour tout \(x\). • Donc, le signe de \(f''(x)\) dépend du terme \((2 + x)\).
Conclusion sur la convexité : • \(f''(x) > 0\) lorsque \(x > -2\) (la fonction est convexe). • \(f''(x) < 0\) lorsque \(x < -2\) (la fonction est concave).
Ainsi, la fonction \(f\) est : • Concave sur \((-∞, -2)\) • Convexe sur \([-2, +∞)\)
2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à \(𝒞_f\) au point d'abscisse \(0\) Étape 1 : Calculons \(f(0)\) et \(f'(0)\) \[ f(0) = 0 \cdot e^0 + 1 = 1 \] \[ f'(0) = (1 + 0)e^0 = 1 \] Étape 2 : Équation de la tangente L'équation de la tangente à la courbe au point \((0, 1)\) est donnée par : \[ y - f(0) = f'(0)(x - 0) \] \[ y - 1 = 1 \cdot x \implies y = x + 1 \] 3. En déduire que, pour tout réel \(x\) appartenant à \([-2; +∞[\), \(f(x) = x + 1\) Étape 1 : Étudier la fonction sur \([-2, +\infty[\) • Pour \(x = -2\) : \[ f(-2) = -2e^{-2} + 1 \quad \text{(valeur à évaluer, mais on sait que c'est inférieure à } -1) \] • Pour \(x > -2\), \(f(x)\) est convexe, et \(f(0) = 1\) est la tangente en ce point.
Étape 2 : Comparer avec la tangente Puisque la fonction est convexe pour \(x \ge -2\) et que la tangente \(y = x + 1\) est également croissante et passe par \((0, 1)\), et que \(f(x)\) est en dessous de la tangente pour \(x < 0\), cela implique que : \[ f(x) = x + 1 \quad \text{pour } x \ge -2. \] 4. Retrouver le résultat précédent en résolvant algébriquement l'inéquation \(f(x) \ge x + 1\) Étape 1 : Écrivons l'inéquation \[ xe^x + 1 \ge x + 1 \] Étape 2 : Simplifions l'inéquation \[ xe^x \ge x \] Étape 3 : Factorisons l'inéquation \[ x(e^x - 1) \ge 0 \] Étape 4 : Analysons le signe de \(x(e^x - 1)\) • Pour \(x = 0\) : \(e^0 - 1 = 0\) ⇒ nul. • Pour \(x < 0\) : \(e^x < 1\) ⇒ \(e^x - 1 < 0\) ⇒ \(x(e^x - 1) < 0\). • Pour \(x > 0\) : \(e^x - 1 > 0\) ⇒ \(x(e^x - 1) > 0\). • Pour \(x = -2\) : \(e^{-2} - 1 < 0\).
Conclusion : L'inéquation est vérifiée pour \(x \in [-2, +\infty[\). Ainsi, nous avons bien montré que pour tout \(x \ge -2\), \(f(x) = x + 1\) et que l'inéquation \(f(x) \ge x + 1\) est vérifiée sur cet intervalle.
Exercice 87: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) une fonction convexe dérivable et définie sur un intervalle \(I\). Démontrer que, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), on a :\[f(b)-f(a) ≥ f'(a) (b-a)\]
Pour démontrer l'inégalité \(f(b) - f(a) \geq f'(a)(b - a)\) pour une fonction convexe \(f\), nous allons utiliser les propriétés de la convexité et la définition de la fonction dérivée.
Démonstration
1. Définition de la convexité : Une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle \(I\) si, pour tous \(x_1, x_2 \in I\) et pour tout \(\lambda \in [0, 1]\), on a : \[ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2). \] 2. Application de la définition de la convexité : Choisissons \(x_1 = a\) et \(x_2 = b\). Pour \(\lambda = t\) où \(t \in [0, 1]\), nous avons : \[ f(ta + (1 - t)b) \leq tf(a) + (1 - t)f(b). \] 3. Choix de \(t\) : Posons \(t = \frac{a - b}{a - b} = 0\) et \(1 - t = \frac{b - a}{b - a} = 1\). Nous pouvons aussi écrire : \[ f((1 - t)a + tb) \quad \text{avec } t = \frac{a - b}{b - a} \text{ pour } 0 < t < 1. \] 4. Utilisation du théorème de la moyenne : Puisque \(f\) est dérivable et convexe, il existe un \(c \in (a, b)\) tel que : \[ f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). \] 5. Lien entre la dérivée et la convexité : Par définition de la dérivée, on a : \[ f'(c) \geq f'(a) \quad \text{(car \(f\) est convexe)}. \] Ainsi, en multipliant cette inégalité par \(b - a\) (qui est positif si \(b > a\)), nous obtenons : \[ f'(c)(b - a) \geq f'(a)(b - a). \] 6. Conclusion : En combinant ces résultats, nous avons : \[ f(b) - f(a) \geq f'(a)(b - a). \] Cela prouve l'inégalité souhaitée. Ainsi, pour tous réels \(a\) et \(b\) dans \(I\), on a : \[ f(b) - f(a) \geq f'(a)(b - a). \]
Exercice 88: ★ ★ ★ ★ ★
On donne ci-dessous le barème de l'impôt 2020.
Part du revenu imposable
Taux
Jusqu'à 10 064 €
0%
De 10 065 € à 25 659 €
11%
De 25 660 € à 73 369 €
30%
De 73 370 € à 157 806 €
41%
Plus de 157 807 €
45%
Par exemple, une personne célibataire vivant seule et ayant un revenu imposable de 30 000 € par an devra payer 3 017,34 € d'impôts sur le revenu : \(0,3(30 000 25 660) +0,11(25 659-10 065)=3017,34\). On note \(r(x)\) le montant (en euro) de l'impôt 2020, pour une personne célibataire vivant seule, en fonction de son revenu imposable \(x\) (en euro). 1. Calculer \(r(9 000)\) et \(r(100 000)\). 2. Écrire une fonction en langage Python qui prend comme argument la part du revenu imposable et qui retourne le montant de l'impôt correspondant. 3. La fonction rest-elle continue ? Justifier. 4. Déterminer la convexité de \(r\). Justifier brièvement. 5. À tout réel strictement positif \(x\), on associe le réel \(\frac{r(x)}{x}\), Que représente cette fonction ?
solution en cours...
Exercice 89: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la fonction \(f\) définie sur R par: \[f(x) = \left \{ \begin{array}{c @{=} c} 2x+4\: si\:x<3 \\ e^x+x+k\: où\: k\: est\: un\: réel. \end{array} \right. \] 1. Après avoir créé un curseur pour le réel \(k\), représenter graphiquement la fonction \(f\) à l'aide d'un logiciel de géométrie. 2. Conjecturer une valeur approchée à \(10^{-1}\) de \(k\) pour laquelle \(f\) est continue, puis calculer sa valeur exacte.
solution en cours...
Exercice 90: ★ ★ ★ ★ ★
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[f(x) = \left \{ \begin{array}{c @{=} c} -x+3\: si\:x<-3 \\ 3-x\:si\: x≥-3 \end{array} \right. \] 1. La fonction \(f\) est-elle continue en \(-3\) ? 2. La fonction \(f\) est-elle dérivable en \(-3\) ? On reviendra à la définition de la dérivabilité pour la justification. 3. Interpréter graphiquement les résultats précédents.
solution en cours...
Exercice 91: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(u\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (u(x))^n\), \(n\) étant un entier naturel impair non nul. Comparer le sens de variation de \(f\) à celui de \(u\).
solution en cours...
Exercice 92: ★ ★ ★ ★ ★
En utilisant un taux de variation d'une fonction, déterminer les limites suivantes. 1. \(\lim_{x \to 0} \frac{(3-x)^4 -81}{x}\) 2. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2x+7} - \sqrt{7}}{x}\)
solution en cours...
Exercice 93: ★ ★ ★ ★ ★
1. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction racine carrée au point d'abscisse 4. 2. Tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée ainsi que sa tangente au point d'abscisse 4 sur une calculatrice. 3. Justifier que, pour tout réel \(x ≥ 0\), \(\sqrt{x}≤\frac{1}{4}x+1\).
solution en cours...
Exercice 94: ★ ★ ★ ★ ★
En utilisant un taux de variation d'une fonction, déterminer les limites suivantes. 1. \(\lim_{x \to 0} \frac{(3-x)^4 -81}{x}\) 2. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2x+7} - \sqrt{7}}{x}\)
solution en cours...
Exercice 95: ★ ★ ★ ★ ★
1. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction racine carrée au point d'abscisse 4. 2. Tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée ainsi que sa tangente au point d'abscisse 4 sur une calculatrice. 3. Justifier que, pour tout réel \(x ≥ 0\), \(\sqrt{x}≤\frac{1}{4}x+1\).
solution en cours...
Exercice 96: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=\sqrt{x^2 +9}\] On admet que \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). 1. Montrer que la fonction \(f\)est paire. 2. Étudier le sens de variation de \(f\) sur \([0; +∞[\). 3. Étudier la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+∞\). 4. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). 5. Déterminer l'équation de la tangente \(∆\) à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse \(3\). 6. a. Vérifier que, pour tout réel \(x\): \[f"(x)=\frac{9}{(x^2+9)(\sqrt{x^2 +9})}\] b. En déduire les positions relatives de \(𝒞\) et de \(∆\).
solution en cours...
Exercice 97: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[f(x)=-x^4+2x^3+3x+1\] 1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\). 2. a. Étudier les variations de \(f'\). b. Justifier que l'équation \(f'(x) = 0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\), que l'on notera \(α\). Donner un encadrement de \(α\) entre deux entiers consécutifs. c. En déduire le tableau de signes de \(f'\). 3. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
solution en cours...
Exercice 98: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(E\) la fonction partie entière. \(E(x)\) est l'unique entier relatif tel que: \[E(x) ≤ x <E(x)+1\] Prouver que la fonction partie entière n'est pas dérivable en \(0\).
solution en cours...
Exercice 99: ★ ★ ★ ★ ★
1. On considère la fonction \(g\), définie sur \(\mathbb{R}\) par:\[g(x)=x^3-3x-3\] a. Étudier le sens de variation et les limites de \(g\), puis dresser son tableau de variation. b. Calculer \(g(3)\). c. Démontrer que l'équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\), que l'on notera \(α\). d. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de α d'amplitude \(10^{-3}\). e. À l'aide des résultats précédents, établir le tableau de signe de \(g(x)\). 2. \(f\) est la fonction définie, pour tout réel \(x\) différent de \(-1\) et de \(1\), par \(f(x)=\frac{2x^3 +3}{(x^2-1)^2}\) a. Démontrer que, pour tout réel \(x\) différent de \(-1\) et de \(1\): \[f'(x)= \frac{2xg(x)}{(x^2-1)^2}\] b. Étudier le sens de variation de \(f\) puis dresser son tableau de variation. c. On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction \(f\).
Démontrer que le point \(A\) de \(𝒞\) d'abscisse \(α\) pour ordonnée \(\frac{3(2α+3)}{α^2-1}\)
solution en cours...
Exercice 100: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+∞[\) par : \[f(x)=\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2x}\] 1. a. Étudier le sens de variation de \(f\) sur \(]0; +∞[\). b. Montrer que la courbe représentative de \(f\) admet une asymptote verticale. c. Dresser le tableau de variation complet de \(f\). 2. Soit \(m\) un réel. Discuter, suivant les valeurs de \(m\), le nombre de solutions de l'équation \(f(x) = m\). 3. On suppose \(m >\sqrt{2}\). a. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, tracer la courbe\( 𝒞\) représentative de \(f\) et la droite \(d\) d'équation \(y = m\). b. Appeler \(A\) et \(B\) les points d'intersection de \(d\) avec sur \(]0; +∞[\) et \(M\) le milieu de \([AB]\). c. Activer la trace de \(M\) et conjecturer le lieu du point \(M\) lorsque m décrit l'intervalle \(]\sqrt{2}; +∞[\) 4. Afin de démontrer la conjecture faite à la question précédente: a. exprimer les coordonnées des points \(A\) et \(B\) en fonction de \(m\); b. en déduire alors les coordonnées du point \(M\), puis conclure.
solution en cours...
Exercice 101: ★ ★ ★ ★ ★
1. Montrer que l'équation \(2x^3-3x^2-1= 0\) admet une unique solution, notée \(α\), et que cette solution est comprise entre \(1,6\) et \(1,7\). 2. On considère la fonction \(f\), définie sur \(-]∞-1[U]-1; +∞[\) par:\[f(x)=\frac{1-x}{1+x^3}\] a. Étudier les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition. b. Étudier le sens de variation de \(f\) et dresser son tableau de variation. c. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse \(0\) et étudier la position de la courbe par rapport à cette tangente. d. Représenter graphiquement la fonction \(f\) et la tangente.
solution en cours...
Exercice 102: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\), définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\): \[u_{n+1} = \sqrt{u_n+3}\] On note \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x ≥ 0\) par: \[f(x) = \sqrt{x+3}\] On a alors, pour tout entier naturel, \(u_{n+1} = f(u_n)\). 1. a. Démontrer par récurrence que \((u_n)\) est croissante et majorée par \(3\). b. En déduire que \((u_n)\) est convergente vers un réel que l'on notera \(l\). 2. a. Expliquer pourquoi \(f\) est continue sur \([0; +∞[\). b. Démontrer que l vérifie \(l = f(l)\). c. En déduire la valeur de \(l\).
solution en cours...
Exercice 103: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\), définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\): \[u_{n+1} = \frac{1}{4}u_n + 12\] On note \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x ≥ 0\) par: \[f(x) = \frac{1}{4}x + 12\] On a alors, pour tout entier naturel, \(u_{n+1}=f(u)\). 1. a. Démontrer par récurrence que \((u_n)\) est majorée par \(16\). b. Démontrer par récurrence que \((u,)\) est croissante. c. En déduire que \((u_n)\) est convergente. 2. On note \(l = \lim_{x \to +\infty} u_n\) a. Justifier que \(f\) est continue sur \([0; +\infty[\). b. Démontrer que \(l vérifie \(l = f(l)\). c. En déduire la valeur de \(l\).
solution en cours...
Exercice 104: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e\] avec \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(e\) des réels tels que \(a \neq 0\). Existe-t-il des réels \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(e\) tels que la courbe représentative \(𝒞_f\), de \(f\) dans un repère admette un unique point d'inflexion ?
solution en cours...
Exercice 105: ★ ★ ★ ★ ★
Soit une fonction \(f\) convexe sur un intervalle \(I\) et \(𝒞_f\), sa représentation graphique dans un repère. On souhaite traduire algébriquement la définition de la convexité. On considère \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\) tels que \(a< b\), \(A\) et \(B\) les points de \(𝒞_f\), d'abcisses respectives \(a\) et \(b\). 1. Établir l'équation réduite de la sécante \((AB)\). 2. On admet qu'un nombre \(x\) de l'intervalle \([a; b]\) peut s'écrire : \[x = ta + (1-1)b,\: avec\: t \in [0; 1]\] a. Déterminer l'ordonnée du point \(M\) de \(𝒞_f\), d'abscisse \(x = ta + (1-t)b\), avec \(t \in [0;1]\). b. Déterminer l'ordonnée du point \(N\) de la droite \((AB)\) d'abscisse \(x = ta +(1-t)b\), avec \(t \in [0; 1]\). 3. Montrer que la convexité de \(f\) sur \(I\) se traduit par l'inégalité : \[f(ta+(1-t)b) t.f (a) + (1-t)f(b)\] pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a < b\) et \(t = [0; 1]\).
solution en cours...
𝒱𝑒𝓇𝓈 𝓁𝑒 𝒷𝒶𝒸 🎓
Exercice 1: ★ ★ ★ ★ ★
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n +3 \times 0,5^n\). 1. a. À l'aide de la calculatrice, recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les valeurs de \(u_n\), à \(10^{-2}\)).
\(n\)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
\(u_n\)
b. Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\). 2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(u_n ≥ \frac{15}{4} \times 0,5^n\). b. Étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\) pour tout entier naturel \(n\) non nul et en déduire une démonstration de la conjecture faite à la question 1.b.
solution en cours...
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ★
1. On considère le programme suivant, écrit en Python.
Recopier et compléter le tableau ci-dessous afin de déterminer ce qu'affiche l'instruction 𝚎𝚡𝚋𝚊𝚌(𝟺,𝟿,𝟸), saisie dans la console.
\(n\)
\(a\)
\(b\)
\(u\)
\(v\)
0
1
2
Les valeurs de \(u\) et \(v\) seront arrondies au millième.
2. Dans cette question et la suivante, \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(0 < a < b\) et on considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par \(u_0= a\), \(v_0= b\) et, pour tout entier naturel \(n\): \(u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}\) et \(v_{n+1} = \sqrt{\frac{u_n^2+v_n^2}{2}}\). a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n >0\) et \(v_n > 0\). b. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\): \(v_{n+1}^2+u_{n+1}^2 = (\frac{u_n-v_n}{2})^2\) En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n ≤ v_n\)
3. a. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante. b. Comparer \(v_{n+1}^2\) et \(v_n^2\). En déduire le sens de variation de la suite \((v_n)\).
solution en cours...
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=3u_n -2n +3\). 1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n ≥ n\). 3. En déduire que la suite \((u_n)\) est croissante. 4. Soit la suite \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n = u_n-n+1\). a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(3\). b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\): \[u_n=3^n+n-1\] c. Calculer \(\sum_{k=0}^{100} u_k = u_0+ u_1+...+u_100\)
On rappelle que, pour tout entier naturel \(n\): \(1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\) et, pour \(q ≠ 1\): \[1+q+q^2+...+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\] d. Écrire un algorithme en langage naturel qui calcule la somme ci-dessus.
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Exercice 4: ★ ★ ★ ★ ★
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs et tels que \(a> b\). Le nombre d'or est défini comme l'unique rapport des deux longueurs \(a\) et \(b\) tel que \(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\) On note ce nombre d'or \(\phi\).
Partie A. Quelques propriétés algébriques 1. a. Démontrer que \(\phi\) est la solution positive de l'équation \(x^2-x-1=0\). b. En déduire la valeur exacte de \(\phi\), puis une valeur approchée de \(\phi\) à \(10^{-2}\) près. 2. Vérifier que:\[\phi = 1+ \frac{1}{\phi} \:et\: \phi = \sqrt{1+\phi}\] Partie B. Une première suite On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et : \(u_{n+1}= \sqrt{1+u_n}\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 1. Démontrer que cette suite est croissante et majorée. 2. Que peut-on en déduire ? 3. On admet que la suite \((u_n)\) converge vers \phi\). Écrire un algorithme qui affiche la plus petite valeur de \(n\) pour laquelle \(|u_n-\phi|< 10^{-7}\). Programmer cet algorithme sur Python, puis indiquer la valeur trouvée. 4. Combien de décimales du nombre d'or obtient-on ?
Partie C. Une seconde suite On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_0 = 1\) et: \(v_{n+1}=1+ \frac{1}{v_n} \)pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 1. Prouver que \(v_n >1\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 2. Justifier que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\): \(|v_{n+1}-\phi| ≤ \frac{1}{\phi}|v_n - \phi|\) 3. En déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\): \(|v_n-\phi| ≤ (\frac{1}{\phi})^n|v_0 - \phi|\) 4. Que peut-on dire de la suite \((v_n)\) lorsque \(n\) tend vers l'infini ? 5. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que:\[|v_n-\phi| < 10^{-7}\] 6. Combien de décimales du nombre d'or obtient-on ?
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Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ★
On s'intéresse à une suite de rectangles \((R_n)\). On note \(L_n\), la longueur du rectangle \(R_n\) et \(l_n\) sa largeur. On pose \(L_0 = 2020\) et \(l_0 = 1\). Tous les rectangles \(R_n\), ont la même aire et l'une des dimensions de \(R_{n+1}\) est la moyenne arithmétique des dimensions du rectangle \(R_n\).
1. Justifier que pour tout entier naturel \(n\) : \(L_{n+1} = \frac{L_n + l_n}{2}\) et \(l_{n+1} = \frac{4040}{L_n + l_n}\)
On justifiera en particulier que c'est la longueur du rectangle \(R_{n+1}\) qui est égale à la moyenne arithmétique des dimensions du rectangle \(R_n\) 2. Montrer que, pour tout entier naturel : \[l_n ≤ \sqrt{2 020} ≤ L_n\] 3. Justifier que la suite \((L_n)\) est décroissante. En déduire son comportement lorsque \(n\) tend vers \(+∞\). 4. Justifier que la suite \((l_n)\) est croissante. En déduire son comportement lorsque \(n\) tend vers \(+∞\). 5. a. En utilisant le fait que \(L_{n+1} = \frac{L_n + l_n}{2}\) pour tout entier naturel, montrer que les suites \((L_n)\) et \((l_n)\) convergent vers la même limite. b. Que vaut cette limite commune ? Justifier. 6. Interpréter géométriquement le résultat de la question précédente.
Cette méthode d'extraction d'une racine carrée d'un nombre porte le nom de Héron d'Alexandrie, mathé- maticien grec du le siècle après J.-C.
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𝒱𝑒𝓇𝓈 𝓁𝑒 𝒷𝒶𝒸 🎓
Exercice 6: ★ ★ ★ ★ ★
Une biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve. Cette population est estimée à 12 000 individus en 2020. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60 000 individus.
Partie A. Un premier modèle Dans une première approche, la biologiste estime que la population croît de 5 % par an. L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite \((v_n)\), où \(v_n\) représente le nombre d'individus, exprimé en millier, l'année \((2020+ n)\). On a donc \(v_0 = 12\). 1. Déterminer la nature de la suite \((v_n)\) et donner l'expression de \(v_n\) en fonction de \(n\). 2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
Partie B. Un second modèle La biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 12\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(\frac{-1,1}{605}u_n^2+1,1u_n\) 1. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x)=\frac{-1,1}{605}x^2+1,1x\). On a ainsi : \(u_{n+1} = g(u_n)\).
a. Justifier que \(g\) est croissante sur \([0; 60]\). b. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(g(x) = x\). 2. a. Calculer la valeur arrondie à \(10^{-3}\) de \(u_1\). Interpréter. b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0 ≤ u_n ≤ 55\). c. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante. d. En déduire la convergence de la suite \((u_n)\). e. On admet que la limite de la suite \((u_n)\) vérifie \(g(l)=l\) . En déduire sa valeur et l'interpréter dans le contexte de l'exercice. 3. La biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les 50 000 individus avec ce second modèle. Recopier puis compléter l'algorithme ci-dessous afin que la variable n contienne la réponse au problème donné en fin d'exécution. 𝚗 ← 0 𝚞 ← 𝟷𝟸 𝚃𝚊𝚗𝚝 𝚚𝚞𝚎... 𝚞 ← ... 𝚗 ← ...
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Exercice 7: ★ ★ ★ ★ ★
Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à 10 000 le nombre de ses abeilles. Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20% des abeilles de l'année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera \(c\) ce nombre, exprimé en dizaine de milliers. On note \(u_0\) le nombre d'abeilles, en dizaine de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(u_n\) désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la n-ième année. Ainsi, on a :
• \(u_0=1\); • pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0,8u_n +c\).
Partie A On suppose, dans cette partie seulement, que \(c = 1\). 1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite \((u_n)\). 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\): \[u_n =5-4 \times 0,8^n\] 3. En justifiant la réponse, vérifier les deux conjectures établies à la question 1. Interpréter ces deux résultats.
Partie B L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers 100 000. On cherche à déterminer la valeur de \(c\) qui permet d'atteindre cet objectif. On définit la suite \((v_n)\), pour tout entier naturel \(n\), par: \[v_n = u_n-5c\] 1. Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 2. En déduire une expression du terme général de la suite \((v_n)\) en fonction de \(n\). 3. Déterminer la valeur de \(c\) pour que l'apiculteur atteigne son objectif. 4. On pose \(c = 2\). Déterminer le nombre minimal d'années à partir duquel la population atteindra le seuil de 75 000 abeilles.
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Exercice 8: ★ ★ ★ ★ ★
On considère une suite \((u_n)\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 2u_n - 4\) et \(u_0 = 9\).
Partie A 1. Prouver que cette suite est minorée par \(9\). 2. En déduire son sens de variation. 3. Peut-on conclure sur le comportement de cette suite en + avec les informations obtenues aux questions précédentes ? 4. Conjecturer ce comportement à l'aide de la calculatrice.
Partie B On pose \(v_n= u_n -4\). 1. Prouver que la suite \((v_n)\) est géométrique. En donner le premier terme et la raison. 2. Prouver que \(u_n = 5 \times 2^n + 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 3. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
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Exercice 9: ★ ★ ★ ★ ★
On considère le nombre \(X\), dont l'écriture décimale est \(4,969696\)... On admettra que ce nombre appartient à l'ensemble des nombres rationnels. Les points de suspension après le \(6\) indiquent que la séquence des chiffres « \(96\) » se répète à l'infini dans cette même écriture décimale. L'objectif de cet exercice est de déterminer l'écriture de \(X\) sous la forme d'une fraction irréductible. On pose, pour tout \(n \in \mathbb{N}\): \[u_n = 4+ \frac{96}{100}+ \frac{96}{100^2} +...+ \frac{96}{100^n}\] 1. Quel est le lien entre \(X\) et la suite \((u_n)\) ? 2. Exprimer la somme suivante en fonction de \(n\). \[S_n = \frac{1}{100}+\frac{1}{100^2}+...+\frac{1}{100^n}\] 3. En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 4. a. Calculer la limite de la suite \((u_n)\). b. En déduire l'écriture fractionnaire et irréductible du nombre \(X\).
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Exercice 10: ★ ★ ★ ★ ★
En mars 2020, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants. Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante. 1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2021 avant que Max ne la taille ? 2. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(h_n\) la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année \((2020 + n)\). Ainsi, \(h_0 = 80\). a. Donner l'expression de \(h_{n+1}\) en fonction de \(h_n\). b. Démontrer par récurrence que la suite \((h_n)\) est croissante.
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