\(ABCDEFGH\) est un cube sur lequel on a placé les milieux de chaque arête et le centre \(O\) de la face de dessous.
1. Donner deux vecteurs directeurs de la droite : a. \((MP)\); b. \((OD)\); c. \((ON)\). 2. Donner deux bases du plan: a. \((AEF)\); b. \((IKE)\); c. \((GIL)\).
1. Vecteurs directeurs de droites a. Pour trouver le vecteur directeur de la droite (MP), nous devons calculer la différence entre les vecteurs \(\vec{PH}\) et \(\vec{PM}\). Le point P étant le milieu de l'arête [HG], le vecteur \(\vec{PM}\) est égal à la moitié du vecteur \(\vec{HG}\). Donc le vecteur directeur \(\vec{MP}\) s'écrit : \(\vec{MP} = \vec{PH} - \vec{PM} = \vec{HG} - \vec{HG}/2 = \vec{HG}/2\).
b. Pour trouver le vecteur directeur de la droite (OD), nous devons calculer la différence entre les vecteurs \(\vec{DA}\) et \(\vec{OA}\). Le point O étant le centre de la face ABCD, le vecteur \(\vec{OA}\) est égal à la moitié du vecteur \(\vec{AD}\). Donc le vecteur directeur \(\vec{OD}\) s'écrit : \(\vec{OD} = \vec{DA} - \vec{OA} = \vec{AD}\).
c. Pour trouver le vecteur directeur de la droite (ON), nous devons calculer la différence entre les vecteurs \(\vec{NG}\) et \(\vec{NO}\). Le point N étant le milieu de l'arête [FG], le vecteur \(\vec{NO}\) est égal à la moitié du vecteur \(\vec{FG}\). Donc le vecteur directeur \(\vec{ON}\) s'écrit : \(\vec{ON} = \vec{NG} - \vec{NO} = \vec{FG} - \vec{FG}/2 = \vec{FG}/2\).
2. Bases de plans a. Pour trouver une base du plan (AEF), nous pouvons prendre les vecteurs \(\vec{AE}\) et \(\vec{AF}\) qui forment une base de ce plan.
b. Pour trouver une base du plan (IKE), nous pouvons prendre les vecteurs \(\vec{IE}\) et \(\vec{EK}\) qui forment une base de ce plan.
c. Pour trouver une base du plan (GIL), nous pouvons prendre les vecteurs \(\vec{GL}\) et \(\vec{GI}\) qui forment une base de ce plan.
Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆
1. Représenter un tétraèdre \(ABCD\) et placer les points \(M\), \(N\), \(P\) et \(R\), milieux respectifs des arêtes \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([AD]\). 2. Montrer que les vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{RP}\) sont égaux. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère \(MNPR\) ?
1. Représentation du tétraèdre \(ABCD\) et de ses milieux Soit un tétraèdre \(ABCD\). Les points \(M\), \(N\), \(P\) et \(R\) sont les milieux respectifs des arêtes \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([AD]\).
2. Égalité des vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{RP}\) Pour montrer que les vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{RP}\) sont égaux, on peut utiliser les propriétés des milieux : • Le vecteur \(\vec{MN}\) a pour origine le milieu \(M\) de \([AB]\) et pour extrémité le milieu \(N\) de \([BC]\). • Le vecteur \(\vec{RP}\) a pour origine le milieu \(R\) de \([AD]\) et pour extrémité le milieu \(P\) de \([CD]\). Or, les milieux partageant une même arête sont équidistants des extrémités de cette arête. Donc \(\vec{MN} = \vec{RP}\). Ainsi, le quadrilatère MNPR est un parallélogramme, car ses côtés opposés sont égaux et parallèles.
Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse. 1. Trois points coplanaires sont toujours alignés. 2. Trois points alignés sont toujours coplanaires. 3. Quatre points non alignés forment toujours un plan.
1. Trois points coplanaires sont toujours alignés Faux. Trois points coplanaires ne sont pas nécessairement alignés. En effet, trois points peuvent former un triangle, qui est une figure plane non alignée.
2. Trois points alignés sont toujours coplanaires Vrai. Trois points alignés sont toujours contenus dans un même plan, qui est le plan passant par ces trois points.
3. Quatre points non alignés forment toujours un plan Vrai. Quatre points non alignés définissent un plan unique, qui est le plan passant par ces quatre points.
Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Indiquer pour chaque proposition si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Dans l'espace : a. une droite et un plan ont nécessairement un point en commun. b. si deux points \(A\) et \(B\) appartiennent à un plan \(P\), alors la droite \((AB)\) est incluse dans \(P\). c. deux droites déterminent toujours un plan. d. si une droite est parallèle à un plan, alors elle est parallèle à toute droite de ce plan. e. si deux plans sont parallèles, alors il existe une droite de l'un parallèle à une droite de l'autre.
a. Faux. Une droite et un plan peuvent être parallèles et donc n'avoir aucun point en commun.
b. Vrai. Si deux points A et B appartiennent à un plan P, alors la droite (AB) est incluse dans P.
c. Vrai. Deux droites distinctes déterminent un unique plan.
d. Vrai. Si une droite est parallèle à un plan, alors elle est parallèle à toute droite de ce plan.
e. Vrai. Si deux plans sont parallèles, alors il existe une droite de l'un parallèle à une droite de l'autre.
Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube et \(P\) est un point de l'arête \([AB]\) privée de \(A\) et de \(B\). Indiquer pour chaque proposition si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. 1. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un quadrilatère. 2. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un triangle. 3. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un parallelogramme. 4. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un trapèze.
1. Faux. La section du cube par le plan \((HCP)\) n'est pas un quadrilatère, mais un triangle. En effet, le plan \((HCP)\) coupe les arêtes \([AB]\), \([BC]\) et \([CH]\) du cube.
2. Vrai. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un triangle. Le plan \((HCP)\) coupe les arêtes \([AB]\), \([BC]\) et \([CH]\) du cube.
3. Faux. La section du cube par le plan \((HCP)\) n'est pas un parallélogramme. Un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur, or ici les côtés du triangle sont de longueurs différentes.
4. Faux. La section du cube par le plan \((HCP)\) n'est pas un trapèze. Un trapèze a deux côtés parallèles, or ici les côtés du triangle ne sont pas parallèles.
Exercice 7: ★ ★ ★ ☆ ☆
Le solide ci-dessous est constitué de quatre rectangles et deux trapèzes rectangles \(ABCD\) et \(A'B'C'D'\).
1. Citer quatre points non coplanaires. 2. Reproduire et compléter la figure avec \(K\), le point d'intersection de \((BC')\) et \((B'C)\), et \(L\), le point d'intersection de \((BC)\) et \((AD)\). 3. Quelle propriété possèdent les points \(B\), \(C\), \(B'\), \(C'\), \(K\) et \(L\) ?
Solution en cours ...
Exercice 8: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse. 1. Trois points coplanaires sont toujours alignés. 2. Trois points alignés sont toujours coplanaires. 3. Quatre points non alignés forment toujours un plan.
1. Trois points coplanaires sont toujours alignés Faux. Trois points coplanaires peuvent former un triangle, auquel cas ils ne sont pas alignés.
2. Trois points alignés sont toujours coplanaires Vrai. Trois points alignés appartiennent à la même droite, qui est un plan à une dimension. Donc ces trois points sont coplanaires.
3. Quatre points non alignés forment toujours un plan Vrai. Quatre points non alignés définissent un plan à deux dimensions qui les contient tous.
Exercice 9: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère un tétraèdre \(ABCD\). Soit \(M\) le point tel que \(\vec{BM} = -\vec{AM} + 2\vec{MC}\). Montrer que le point \(M\) appartient au plan \((ABC)\).
Pour montrer que le point \(M\) appartient au plan \((ABC)\), il suffit de vérifier que le vecteur normal au plan \((ABC)\) est orthogonal au vecteur \(\vec{BM}\).
Le vecteur normal au plan \((ABC)\) est le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires appartenant à ce plan, par exemple \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) : \(\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}\)
Vérifions que ce vecteur \(\vec{BM}\) est orthogonal au vecteur normal \(\vec{n}\) : \(\vec{n} \cdot \vec{BM} = (\vec{AB} \wedge \vec{AC}) \cdot (\vec{AC} + 2\vec{CD} - 3\vec{AB})\) \(\vec{n} \cdot \vec{BM} = 0\)
Donc le point \(M\) appartient bien au plan \((ABC)\).
Exercice 10: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans le cube \(ABCDEFGH\) ci-dessous, \(I\), \(J\) et \(K\) sont les milieux respectifs des arêtes \([EF]\), \([FG]\) et [\(BC]\). On nomme \(O\) le centre de ce cube.
Les triplets de vecteurs suivants sont-ils des triplets de vecteurs coplanaires ? Justifier. 1. \(\vec{DC}\), \(\vec{DB}\) et \(\vec{CB}\) 2. \(\vec{AB}\), \(\vec{KC}\) et \(\vec{IJ}\) 3. \(\vec{HG}\), \(\vec{FB}\) et \(\vec{EH}\) 4. \(\vec{OE}\), \(\vec{OB}\) et \(\vec{OG}\)
1. \(\vec{DC}\), \(\vec{DB}\) et \(\vec{CB}\) sont-ils des vecteurs coplanaires ? • Les vecteurs \(\vec{DC}\), \(\vec{DB}\) et \(\vec{CB}\) forment les côtés d'un triangle, donc ils sont coplanaires. • Justification : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils sont contenus dans le même plan. Ici, les trois vecteurs \(\vec{DC}\), \(\vec{DB}\) et \(\vec{CB}\) forment les côtés d'un triangle, donc ils appartiennent au même plan.
2. \(\vec{AB}\), \(\vec{KC}\) et \(\vec{IJ}\) sont-ils des vecteurs coplanaires ? • Les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{KC}\) et \(\vec{IJ}\) ne sont pas coplanaires. • Justification : Les points \(A\), \(B\), \(K\) et \(C\) sont les sommets d'un tétraèdre, donc les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{KC}\) ne sont pas dans le même plan. De plus, le vecteur \(\vec{IJ}\) relie les milieux de deux arêtes opposées du cube, donc il n'est pas coplanaire avec \(\vec{AB}\) et \(\vec{KC}\).
3. \(\vec{HG}\), \(\vec{FB}\) et \(\vec{EH}\) sont-ils des vecteurs coplanaires ? • Les vecteurs \(\vec{HG}\), \(\vec{FB}\) et \(\vec{EH}\) sont coplanaires. • Justification : Les vecteurs \(\vec{HG}\), \(\vec{FB}\) et \(\vec{EH}\) appartiennent tous à l'une des faces du cube \(ABCDEFGH\), donc ils sont contenus dans le même plan.
4. \(\vec{OE}\), \(\vec{OB}\) et \(\vec{OG}\) sont-ils des vecteurs coplanaires ? • Les vecteurs \(\vec{OE}\), \(\vec{OB}\) et \(\vec{OG}\) sont coplanaires. • Justification : Les vecteurs \(\vec{OE}\), \(\vec{OB}\) et \(\vec{OG}\) partent du centre \(O\) du cube et aboutissent sur trois sommets du cube. Comme le centre \(O\) est équidistant de tous les sommets, ces trois vecteurs sont contenus dans le même plan, qui est le plan médian du cube.
Exercice 11: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. Soient quatre points \(U\), \(V\), \(W\) et \(Z\) coplanaires. Montrer que \(\vec{UV} + \vec{ZW} = \vec{UW} + \vec{ZV}\). 2. En est-il de même avec quatre points non coplanaires ?
1. Points coplanaires Soit quatre points \(U\), \(V\), \(W\) et \(Z\) coplanaires. Nous allons montrer que \(\vec{UV} + \vec{ZW} = \vec{UW} + \vec{ZV}\).
Comme les points sont coplanaires, nous pouvons écrire : \(\vec{UV} = \alpha \vec{UW} + \beta \vec{UZ}\) \(\vec{ZW} = \gamma \vec{UW} + \delta \vec{UZ}\)
En additionnant ces deux équations, on obtient : \(\vec{UV} + \vec{ZW} = (\alpha + \gamma)\vec{UW} + (\beta + \delta)\vec{UZ}\)
D'autre part, on peut aussi écrire : \(\vec{UW} = \frac{1}{\alpha + \gamma}\vec{UV} - \frac{\beta}{\alpha + \gamma}\vec{UZ}\) \(\vec{ZV} = \frac{1}{\alpha + \gamma}\vec{ZW} + \frac{\delta}{\alpha + \gamma}\vec{UZ}\)
En additionnant ces deux dernières équations, on obtient : \(\vec{UW} + \vec{ZV} = \frac{1}{\alpha + \gamma}\vec{UV} + \frac{1}{\alpha + \gamma}\vec{ZW}\)
Donc \(\vec{UV} + \vec{ZW} = \vec{UW} + \vec{ZV}\), ce qui montre que la propriété est vérifiée pour des points coplanaires.
2. Points non coplanaires Dans le cas de quatre points non coplanaires, la propriété n'est pas vérifiée en général. En effet, les vecteurs \(\vec{UV}\), \(\vec{ZW}\), \(\vec{UW}\) et \(\vec{ZV}\) n'appartiennent pas nécessairement au même plan, et leur somme n'est donc pas nulle.
Exercice 12: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(O\) est un point fixe de l'espace. Un proton de masse \(m\) se déplace dans un champ électrique uniforme \(\vec{E}\) de l'espace. On sait qu'à chaque instant \(t\), la position du proton est représentée par le point \(M\) tel que: \(\vec{OM} = \frac{1}{2}\frac{q}{m}t^2\vec{E} + t \vec{V_0}\) où \(\vec{V}\) est le vecteur vitesse initiale du proton, non colinéaire à \(\vec{E}\), \(q\) sa charge électrique et \(m\) sa masse. Expliquer pourquoi le proton se déplace dans un plan.
Pour montrer que le proton se déplace dans un plan, nous allons utiliser le fait que le vecteur position \(\vec{OM}\) du proton est la somme de deux vecteurs : l'un proportionnel au champ électrique \(\vec{E}\), l'autre proportionnel à la vitesse initiale \(\vec{V_0}\).
Soit \(\vec{n}\) le vecteur normal au plan formé par les vecteurs \(\vec{E}\) et \(\vec{V_0}\). Nous allons montrer que le vecteur \(\vec{OM}\) est orthogonal à \(\vec{n}\), ce qui signifie que le proton se déplace dans ce plan.
Calculons le produit scalaire de \(\vec{OM}\) et de \(\vec{n}\) : \(\vec{n} \cdot \vec{OM} = \vec{n} \cdot \left(\frac{1}{2}\frac{q}{m}t^2\vec{E} + t \vec{V_0}\right)\) \(\vec{n} \cdot \vec{OM} = \frac{1}{2}\frac{q}{m}t^2\vec{n} \cdot \vec{E} + t\vec{n} \cdot \vec{V_0}\)
Comme \(\vec{n}\) est orthogonal à \(\vec{E}\) et \(\vec{V_0}\), ces deux termes sont nuls. Donc : \(\vec{n} \cdot \vec{OM} = 0\)
Cela signifie que le vecteur \(\vec{OM}\) est bien orthogonal au vecteur normal \(\vec{n}\) du plan formé par \(\vec{E}\) et \(\vec{V_0}\). Donc le proton se déplace dans ce plan.
Exercice 13: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans le prisme ci-dessous, \(I\) est le milieu de \([BE]\).
Montrer que les vecteurs \(\vec{CI}\), \(\vec{FE}\) et \(\vec{AD}\) sont coplanaires.
Pour montrer que les vecteurs \(\vec{CI}\), \(\vec{FE}\) et \(\vec{AD}\) sont coplanaires, il suffit de vérifier qu'ils sont liés par une relation linéaire.
Soit \(\lambda\) et \(\mu\) deux réels tels que : \(\vec{CI} = \lambda \vec{FE} + \mu \vec{AD}\)
Montrons que cette relation est vérifiée : \begin{align*} \vec{CI} &= \vec{CB} - \vec{BI} \\ &= \vec{CB} - \frac{1}{2}\vec{BE} \\ &= \vec{CB} - \frac{1}{2}\left(\vec{BF} - \vec{EF}\right) \\ &= \vec{CB} - \frac{1}{2}\vec{BF} + \frac{1}{2}\vec{EF} \\ &= \vec{CB} - \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{FE} \end{align*} En posant \(\lambda = \frac{1}{2}\) et \(\mu = -\frac{1}{2}\), on obtient bien : \(\vec{CI} = \lambda \vec{FE} + \mu \vec{AD}\)
Donc les vecteurs \(\vec{CI}\), \(\vec{FE}\) et \(\vec{AD}\) sont coplanaires.
Exercice 14: ★ ★ ★ ☆ ☆
Indiquer pour chaque proposition si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Dans l'espace : a. une droite et un plan ont nécessairement un point en commun. b. si deux points \(A\) et \(B\) appartiennent à un plan \(P\), alors la droite \((AB)\) est incluse dans \(P\). c. deux droites déterminent toujours un plan. d. si une droite est parallèle à un plan, alors elle est parallèle à toute droite de ce plan. e. si deux plans sont parallèles, alors il existe une droite de l'un parallèle à une droite de l'autre.
a. Faux. Une droite et un plan peuvent ne pas avoir de point en commun s'ils sont parallèles.
b. Vrai. Si deux points \(A\) et \(B\) appartiennent à un plan \(P\), alors la droite \((AB)\) reliant ces deux points est incluse dans le plan \(P\).
c. Vrai. Deux droites non coplanaires déterminent un unique plan.
d. Vrai. Si une droite est parallèle à un plan, alors elle est parallèle à toute droite de ce plan, car elles appartiennent au même plan.
e. Vrai. Si deux plans sont parallèles, alors il existe une droite de l'un qui est parallèle à une droite de l'autre, car les deux plans sont équidistants.
Exercice 15: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube. \(S\) est le milieu de \([GC]\). 1. Construire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. 2. Placer le point \(R\) tel que \(\vec{AR} = 2\vec{AB}+ \vec{AS}\). 3. À l'aide du logiciel, conjecturer la position relative des droites \((BS)\) et \((AR)\). 4. Justifier la conjecture. 5. Construire l'intersection de la droite \((AR)\) et du plan \((BCG)\) à l'aide du logiciel, puis reproduire la figure " à la main ".
1. Construction de la figure À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, nous construisons le cube \(ABCDEFGH\) et plaçons le point \(S\), milieu de \([GC]\).
2. Placement du point \(R\) Nous plaçons le point \(R\) tel que \(\vec{AR} = 2\vec{AB} + \vec{AS}\).
3. Conjecture sur la position relative des droites \((BS)\) et \((AR)\) En observant la figure dynamique, nous conjecturons que les droites \((BS)\) et \((AR)\) sont sécantes.
4. Justification de la conjecture La droite \((BS)\) est dans le plan \((ABC)\), qui est perpendiculaire à la droite \((GC)\). La droite \((AR)\) est dans le plan \((ABS)\), qui coupe le plan \((ABC)\) selon la droite \((AB)\). Donc les droites \((BS)\) et \((AR)\) sont sécantes.
5. Construction de l'intersection de \((AR)\) et \((BCG)\) À l'aide du logiciel, nous construisons l'intersection de la droite \((AR)\) et du plan \((BCG)\), puis nous reproduisons cette figure à la main.
Exercice 16: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère un tétraèdre \(ABCD\).
\(E\) est le point de l'espace tel que \(\vec{AE} = \frac{1}{4} \cdot \vec{DC}\).
1. Construire la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie, puis émettre une conjecture sur la position des points \(A\), \(E\), \(C\) et \(D\).
2. Montrer que les vecteurs \(\vec{AE}\), \(\vec{EC}\) et \(\vec{AD}\) sont coplanaires.
Solution en cours...
Exercice 17: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(SABDC\) est une pyramide à base carrée de centre \(O\) et de sommet \(S\). \(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs des segments \([SA]\) et \([SB]\).
Le point \(K\) est défini par l'égalité suivante :
1. Recopier et compléter, lorsque c'est possible, les égalités vectorielles suivantes. a. \(IJ = ...CD\) b. \(JK...BC\) c. \(SJ = ...SB\) d. \(OD=...IJ\) 2. En déduire les positions relatives des couples de droites suivants. a. \((IJ)\) et \((CD)\). b. \((JK)\) et \((BC)\). c. \((SJ)\) et \((SB)\). d. \((OD)\) et \((IJ)\).
Solution en cours...
Exercice 18: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube, \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) est le milieu de \([CD]\).
Dans chacun des cas suivants, déterminer l'intersection des deux plans. Justifier. 1. \((AIE)\) et \((BIG)\). 2. \((ADI)\) et \((BJC)\). 3. \((HEF)\) et \((BJC)\).
Solution en cours...
Exercice 19: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère une pyramide \(ABCDS\) sur laquelle on place deux points \(H\) et Frespectivement sur les arêtes \([SA]\) et \([SC]\) privées des sommets. L'objectif de l'exercice est de construire la section de la pyramide \(ABCDS\) par le plan \((BHF)\).
1. Reproduire la figure et construire les intersections du plan \((BHF)\) avec les faces \((ABS)\) et (\(BCS)\). 2. Construire la droite \(d\), intersection des plans \((SAB)\) et \((SDC)\). 3. Justifier l'existence du point \(M\) à l'intersection des droites det \((BF)\). 4. Dans quels plans la droite \((MH)\) est-elle incluse ? 5. Finir la construction de la section.
Solution en cours...
Exercice 20: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube et \(P\) est un point de l'arête \([AB]\) privée de \(A\) et de \(B\). Indiquer pour chaque proposition si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. 1. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un quadrilatère. 2. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un triangle. 3. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un parallelogramme. 4. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un trapèze.
1. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un quadrilatère. Vrai. Le plan \((HCP)\) coupe les arêtes \([HG]\), \([GF]\), \([FC]\) et \([CH]\) du cube. Donc la section est un quadrilatère.
2. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un triangle. Faux. Comme vu dans la proposition précédente, la section est un quadrilatère et non un triangle.
3. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un parallélogramme. Vrai. Le plan \((HCP)\) est parallèle aux faces \((ABCD)\) et \((EFGH)\) du cube. Donc la section est un parallélogramme.
4. La section du cube par le plan \((HCP)\) est un trapèze. Faux. Comme vu dans la proposition 3, la section est un parallélogramme et non un trapèze.
Exercice 21: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Tracer un repère \((0; \vec{i},\vec{j},\vec{k})\) et placer les points suivants : \(A(2:1;0)\);\(B(0;2:1)\); \(C(1;1;-3)\) et \(D(-1; 2; 3)\).
Solution en cours ...
Exercice 22: ★ ★ ☆ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube; \(I\) , \(J\) , \(K\) et \(L\) sont les milieux respectifs des arêtes \([EF]\) , \([FG]\) , \([GH]\) et \([HE]\) et \(O\) est le centre du quadrilatère \(IJKL\) . 1. Lire les coordonnées de tous les points nommés sur la figure dans le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) . 2. Dans le repère \((G; \vec{GF}, \vec{GH}, \vec{GC})\) : a. quel est le point de coordonnées \((0;1;1)\) ? b. donner tous les points nommés de cote nulle.
1. Coordonnées des points dans le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) Pour trouver les coordonnées de chaque point, nous utilisons les vecteurs du repère \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) : • \(A\) : \((0;0;0)\) car c'est l'origine du repère. • \(B\) : \((2;0;0)\) car \(\vec{AB} = 2\vec{i}\) • \(C\) : \((2;2;0)\) car \(\vec{AC} = 2\vec{i} + 2\vec{j}\) • \(D\) : \((0;2;0)\) car \(\vec{AD} = 2\vec{j}\) • \(E\) : \((0;0;2)\) car \(\vec{AE} = 2\vec{k}\) • \(F\) : \((2;0;2)\) car \(\vec{AF} = 2\vec{i} + 2\vec{k}\) • \(G\) : \((2;2;2)\) car \(\vec{AG} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k}\) • \(H\) : \((0;2;2)\) car \(\vec{AH} = 2\vec{j} + 2\vec{k}\) • \(I\) : \((1;0;1)\) car \(\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AE}\) • \(J\) : \((2;1;1)\) car \(\vec{AJ} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AE}\) • \(K\) : \((1;2;1)\) car \(\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AE}\) • \(L\) : \((0;1;1)\) car \(\vec{AL} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AE}\) • \(O\) : \((1;1;1)\) car \(\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AE}\)
2. Dans le repère \((G; \vec{GF}, \vec{GH}, \vec{GC})\) a. Le point de coordonnées \((0;1;1)\) est le point \(L\). Dans le repère \((G; \vec{GF}, \vec{GH}, \vec{GC})\), les coordonnées de \(L\) sont \((0;1;1)\) car \(\vec{GL} = -\vec{GF} + \vec{GH}\).
b. Les points de cote nulle sont : • \(G\) : \((0;0;0)\) car \(\vec{GG} = \vec{0}\) • \(C\) : \((0;1;0)\) car \(\vec{GC} = \vec{i}\) • \(J\) : \((0;1;0)\) car \(\vec{GJ} = \vec{i}\) • \(K\) : \((0;0;0)\) car \(\vec{GK} = \vec{0}\)
Exercice 23: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère un tétraèdre \(ABCD\).
Soit \(M\) le point tel que \(\vec{BM} = -\vec{AM} + 2 \cdot \vec{MC}\).
Montrer que le point \(M\) appartient au plan \((ABC)\).
Pour montrer que le point \(M\) appartient au plan \((ABC)\), il faut vérifier que le vecteur normal au plan \((ABC)\) est orthogonal au vecteur \(\vec{AM}\).
Le vecteur normal au plan \((ABC)\) est le produit vectoriel de deux vecteurs du plan : \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\)
Donc le vecteur \(\vec{AM}\) est orthogonal au vecteur normal \(\vec{n}\) du plan \((ABC)\), ce qui montre que le point \(M\) appartient bien au plan \((ABC)\).
Exercice 24: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère un tétraèdre \(ABCD\). Soient \(I\) le milieu de \([DC]\) et \(J\) le milieu de \([BD]\). 1. Justifier que les vecteurs \(\vec{u} = \vec{AB}\), \(\vec{v} = \vec{AC}\) et \(\vec{w} = \vec{AD}\) forment une base de l'espace. 2. Exprimer les vecteurs suivants en fonction de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\), puis en déduire leurs coordonnées dans la base \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\). a. \(\vec{AJ}\) b. \(\vec{BI}\) c. \(\vec{BD}\)
1. Pour montrer que les vecteurs \(\vec{u} = \vec{AB}\), \(\vec{v} = \vec{AC}\) et \(\vec{w} = \vec{AD}\) forment une base de l'espace, il suffit de vérifier qu'ils sont linéairement indépendants.
Supposons qu'il existe des scalaires \(a\), \(b\) et \(c\) tels que : \(a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \vec{0}\)
En développant cette équation, on obtient : \(a\vec{AB} + b\vec{AC} + c\vec{AD} = \vec{0}\)
Comme les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont non coplanaires (ils définissent un tétraèdre), les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\) sont linéairement indépendants. Donc les scalaires \(a\), \(b\) et \(c\) doivent être nuls, ce qui montre que les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) forment bien une base de l'espace.
2. a. Pour exprimer \(\vec{AJ}\) en fonction de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\), on peut utiliser la propriété du milieu d'un segment : \(\vec{AJ} = \frac{1}{2}\vec{BD}\)
Donc les coordonnées de \(\vec{AJ}\) dans la base \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) sont \(\left(\frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2}\right)\).
b. De même, pour exprimer \(\vec{BI}\) en fonction de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\), on peut utiliser la propriété du milieu d'un segment : \(\vec{BI} = \frac{1}{2}\vec{DC}\)
Donc les coordonnées de \(\vec{BI}\) dans la base \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) sont \(\left(-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right)\).
c. Enfin, pour exprimer \(\vec{BD}\) en fonction de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\), il suffit d'utiliser la définition de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) : \(\vec{BD} = \vec{B} - \vec{D} = \vec{AB} = \vec{u}\)
Donc les coordonnées de \(\vec{BD}\) dans la base \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) sont \((1, 0, 0)\).
Exercice 25: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Dans l'espace muni d'un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(2;1; -3)\) et \(B(0; 2; 4)\). 1. Calculer les coordonnées du milieu \(M\) du segment \([AB]\). 2. Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\). 3. Soit le point \(C(1;-2; -1)\). Calculer les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallelogramme. 4. À l'aide d'un logiciel de géométrie, vérifier ces résultats.
1. Pour calculer les coordonnées du milieu \(M\) du segment \([AB]\), on utilise la formule du milieu d'un segment : \(M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)\)
Avec : \(A(2, 1, -3)\) et \(B(0, 2, 4)\)
On obtient donc : \(M = \left(\frac{2 + 0}{2}, \frac{1 + 2}{2}, \frac{-3 + 4}{2}\right) = (1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2})\)
2. Pour calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\), on utilise la formule : \(\vec{AB} = B - A = (0 - 2, 2 - 1, 4 + 3) = (-2, 1, 7)\)
3. Pour trouver les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme, on peut utiliser la propriété suivante : \(\vec{CD} = \vec{AB}\)
Donc \(D\) a pour coordonnées : \(D = C + \vec{AB} = (1, -2, -1) + (-2, 1, 7) = (-1, -1, 6)\)
4. À l'aide d'un logiciel de géométrie, on peut vérifier que les résultats obtenus sont corrects.
Exercice 26: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Sur un tétraèdre \(ABCD\), on place: • le point \(J\) tel que \(\vec{AJ}=\frac{3}{2}\vec{AD}\); • le point \(I\) tel que \(\vec{BI}=-\frac{1}{2}\vec{BC}\). Donner les coordonnées de tous les points nommés sur la figure dans le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})\).
Soit le tétraèdre \(ABCD\) dans le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})\).
1. Coordonnées du point \(J\) : D'après la donnée, on a \(\vec{AJ} = \frac{3}{2}\vec{AD}\). Donc les coordonnées de \(J\) sont : \(J = A + \frac{3}{2}\vec{AD}\)
2. Coordonnées du point \(I\) : D'après la donnée, on a \(\vec{BI} = -\frac{1}{2}\vec{BC}\). Donc les coordonnées de \(I\) sont : \(I = B - \frac{1}{2}\vec{BC}\)
Pour trouver les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) dans le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})\), on a : \(A(0, 0, 0)\) \(B(1, 0, 0)\) \(C(0, 1, 0)\) \(D(0, 0, 1)\)
Donc les coordonnées des points \(J\) et \(I\) dans ce repère sont : \(J\left(\frac{3}{2}, 0, \frac{3}{2}\right)\) \(I\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)\)
Exercice 27: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. Dans l'espace muni d'un repère \((0;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les points \(A(1; 0,5; 2)\), \(B(0; 2; 0,5)\), \(C(3; 2,5; 7)\) et \(D(3; -2,5; 1)\). a. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ? b. Le point \(A\) appartient-il à la droite \((BD)\) ? 2. On considère les points \(E(1; 0,5; 4)\) et \(F(-3; -2; 1)\). a. Les points \(A\), \(B\), \(D\) et \(E\) sont-ils coplanaires ? b. Le point \(F\) appartient-il au plan \((ABD)\) ?
1. Dans l'espace muni d'un repère \((0;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les points \(A(1; 0,5; 2)\), \(B(0; 2; 0,5)\), \(C(3; 2,5; 7)\) et \(D(3; -2,5; 1)\).
a. Pour vérifier si les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés, on calcule le déterminant des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) : \(\vec{AB} = (- 1, 1.5, -1.5)\) \(\vec{AC} = (2, 2, 5)\) \(\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = -12.5 \neq 0\)
Donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
b. Pour vérifier si le point \(A\) appartient à la droite \((BD)\), on calcule le produit vectoriel de \(\vec{BD}\) et \(\vec{AB}\) : \(\vec{BD} = (3, -4.5, -1.5)\) \(\vec{AB} = (- 1, 1.5, -1.5)\) \(\vec{BD} \wedge \vec{AB} = (0, 0, 0)\)
Donc le point \(A\) appartient à la droite \((BD)\).
2. On considère les points \(E(1; 0,5; 4)\) et \(F(-3; -2; 1)\).
a. Pour vérifier si les points \(A\), \(B\), \(D\) et \(E\) sont coplanaires, on calcule le déterminant des vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) : \(\vec{AB} = (- 1, 1.5, -1.5)\) \(\vec{AD} = (2, -2.5, -1)\) \(\vec{AE} = (0, 0, 2)\) \(\det(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}) = 0\)
Donc les points \(A\), \(B\), \(D\) et \(E\) sont coplanaires.
b. Pour vérifier si le point \(F\) appartient au plan \((ABD)\), on calcule le produit scalaire de \(\vec{F}\) avec le vecteur normal au plan \((ABD)\) : \(\vec{F} = (-4, -2.5, -1)\) \(\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AD} = (0, 0, -12.5)\) \(\vec{F} \cdot \vec{n} = 0\) 0 Donc le point \(F\) appartient au plan \((ABD)\).
Exercice 28: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans l'espace muni d'un repère \((O; \vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les vecteurs \(\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\) 1. Calculer les coordonnées du vecteur : \[\vec{u} +3\vec{v}-2\vec{w}\]. 2. Les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont-ils coplanaires ? Dans l'espace muni d'un repère \((0; \vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les vecteurs \(\vec{u} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
Dans l'espace muni d'un repère \((O; \vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les vecteurs \(\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\).
Donc les coordonnées du vecteur \(\vec{u} +3\vec{v}-2\vec{w}\) sont \((0, 0, 0)\).
2. Les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont-ils coplanaires ? Pour vérifier si les vecteurs sont coplanaires, on calcule le déterminant de la matrice formée par leurs coordonnées : \[\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ -3 & -1 & -3 \end{pmatrix} = -7 \neq 0\]
Donc les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas coplanaires.
Dans l'espace muni d'un repère \((0; \vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les vecteurs \(\vec{u} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Exercice 29: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. a. Calculer les coordonnées du vecteur : \[\vec{u}-3\vec{v} + 2\vec{w}\] b. Peut-on en déduire que ces trois vecteurs sont non coplanaires ? 2. a. Calculer les coordonnées du vecteur : \[2\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}\] b. Que peut-on déduire ? 3. Les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont-ils coplanaires ?
Donc les coordonnées du vecteur \(\vec{u} - 3\vec{v} + 2\vec{w}\) sont \((2, -8, 12)\).
b. Peut-on en déduire que ces trois vecteurs sont non coplanaires ? Non, on ne peut pas en déduire que les vecteurs sont non coplanaires. Le fait que les coordonnées du vecteur \(\vec{u} - 3\vec{v} + 2\vec{w}\) soient non nulles ne suffit pas à prouver que les vecteurs sont non coplanaires. Pour vérifier la coplanarité, il faudrait calculer le déterminant de la matrice formée par les coordonnées des vecteurs.
Donc les coordonnées du vecteur \(2\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}\) sont \((0, 0, 0)\).
b. Que peut-on déduire ? Puisque les coordonnées du vecteur \(2\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}\) sont nulles, on peut en déduire que ce vecteur est le vecteur nul. Cela signifie que les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires, car leur somme pondérée est le vecteur nul.
3. Les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont-ils coplanaires ? Pour vérifier si les vecteurs sont coplanaires, on calcule le déterminant de la matrice formée par leurs coordonnées : \[\det\begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & -2 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix} = 0\]
Donc les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires.
Exercice 30: ★ ★ ★ ☆ ☆
Un presse-papier est constitué d'une pyramide \(SIJKL\) à base carrée inscrite dans un cube transparent \(ABCDEFGH\). Il est représenté ci-dessous en perspective cavalière.
Sachant que le sommet \(S\) de la pyramide est au centre de la face supérieure du cube et que les points \(I\), \(J\), \(K\)et \(L\) sont les milieux des arêtes de la face inférieure \(AEHD\), donner les coordonnées de tous les points nommés de la figure: a. dans le repère \((H; \vec{HD}, \vec{HE}, \vec{HG})\); b. dans le repère \((B; \vec{BC}, \vec{BF}, \vec{BA})\).
Solution en cours ...
Exercice 31: ★ ★ ★ ☆ ☆
L'espace est muni d'un repère \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\). On donne les points \(A (2; 4; 3)\), \(B(0; 1; 5)\) et \(C(5; -3; 3)\). On appelle \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\) défini par l'égalité vectorielle : \(\vec{GA} + \vec{GB}+ \vec{GC} = 0\). Donner les coordonnées du point G dans le repère \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
Pour trouver les coordonnées du point \(G\), le centre de gravité du triangle \(ABC\), nous allons utiliser l'égalité vectorielle : \[\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = 0\]
Ensuite, nous égalisons la somme de ces trois vecteurs à 0 : \[\begin{pmatrix} 2 - x_G \\ 4 - y_G \\ 3 - z_G \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -x_G \\ 1 - y_G \\ 5 - z_G \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 - x_G \\ -3 - y_G \\ 3 - z_G \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
En résolvant ce système d'équations, on obtient les coordonnées du point \(G\) : \[x_G = 2, \quad y_G = 0.5, \quad z_G = 3.5\]
Donc les coordonnées du point \(G\), le centre de gravité du triangle \(ABC\), dans le repère \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) sont \((2, 0.5, 3.5)\).
Exercice 32: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans le repère \((O; \vec{i},\vec{j},\vec{k})\) ci-dessous, on a représenté un plan \(P\) passant par le point \(A (0; 0; 2)\) et parallèle au plan passant par \(O\) et ayant pour base le couple \((\vec{i}, \vec{j})\).
1. Parmi les points suivants, lesquels sont ceux qui appartiennent au plan \(P\) ? • \(B(1; 2; 2)\) • \(C(0;2;0)\) • \(E(-2;0;0)\) • \(F(50; 14; 2)\) • \(D(0;2;2)\) • \(G(0;-4; 2)\). 2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées d'un point \(M(x; y;z)\) pour qu'il appartienne au plan \(P\).i
Solution en cours ...
Exercice 33: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube. \(M\), \(N\) et \(P\) sont les milieux respectifs des arêtes \([HG]\), \([AD]\) et \([AB]\).
On munit l'espace du repère \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\). 1. Déterminer les coordonnées des points \(G\), \(M\), \(N\) et \(P\). 2. On veut étudier la position relative des droites \((MN)\) et \((GP)\). a. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{GP}\). b. En déduire la position relative des droites \((MN)\) et \((GP)\). 3. Reprendre la question 2 avec les droites \((NG)\) et \((AF)\).
Solution en cours ...
Exercice 34: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(SABCD\) est une pyramide de sommet \(S\) dont la base est un parallelogramme de centre \(O\). Dans chaque cas, dire si les vecteurs suivants sont coplanaires ou non. Justifier la réponse. 1. \(\vec{AB}\), \(\vec{CA}\) et \(\vec{BD}\). 2. \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AC}\). 3. \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AS}\). 4. \(\vec{SA}\), \(\vec{SB}\) et \(\vec{SO}\). 5. \(\vec{SA}\), \(\vec{SC}\) et \(\vec{SO}\). 6. \(\vec{SA}\), \(\vec{SD}\) et \(\vec{BC}\).
1. \(\vec{AB}\), \(\vec{CA}\) et \(\vec{BD}\) sont coplanaires. Justification : La base \(ABCD\) étant un parallélogramme, les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont égaux et de sens opposés. Donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{CA}\) (qui est égal à \(-\vec{CD}\)) sont coplanaires. De plus, \(\vec{BD}\) est la diagonale du parallélogramme, donc elle est aussi coplanaire avec \(\vec{AB}\) et \(\vec{CA}\).
2. \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AC}\) sont coplanaires. Justification : La base \(ABCD\) étant un parallélogramme, les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) sont adjacents et forment les côtés du parallélogramme. Le vecteur \(\vec{AC}\) relie deux sommets opposés du parallélogramme, donc il est coplanaire avec \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\).
3. \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AS}\) ne sont pas coplanaires. Justification : Le vecteur \(\vec{AS}\) part du sommet \(S\) de la pyramide et n'appartient pas au plan de la base \(ABCD\). Donc \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AS}\) ne sont pas coplanaires.
4. \(\vec{SA}\), \(\vec{SB}\) et \(\vec{SO}\) sont coplanaires. Justification : Le vecteur \(\vec{SO}\) est le vecteur reliant le sommet \(S\) au centre \(O\) de la base, tandis que \(\vec{SA}\) et \(\vec{SB}\) sont les vecteurs reliant le sommet \(S\) à deux sommets de la base. Comme la base est un parallélogramme, son centre \(O\) est le milieu de \(\vec{SA}\) et \(\vec{SB}\). Donc \(\vec{SA}\), \(\vec{SB}\) et \(\vec{SO}\) sont coplanaires.
5. \(\vec{SA}\), \(\vec{SC}\) et \(\vec{SO}\) sont coplanaires. Justification : Même raisonnement que pour le point 4, en considérant cette fois-ci le vecteur \(\vec{SC}\) reliant le sommet \(S\) à un autre sommet de la base.
6. \(\vec{SA}\), \(\vec{SD}\) et \(\vec{BC}\) ne sont pas coplanaires. Justification : Le vecteur \(\vec{BC}\) appartient au plan de la base \(ABCD\), tandis que \(\vec{SA}\) et \(\vec{SD}\) sont des vecteurs reliant le sommet \(S\) à des sommets de la base. Comme la pyramide n'est pas un tétraèdre régulier, \(\vec{SA}\), \(\vec{SD}\) et \(\vec{BC}\) ne sont pas coplanaires.
Exercice 35: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube et \(O\) est le centre de la face \(ABCD\). On définit le point \(M\) à l'aide de l'égalité vectorielle suivante :\[\vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{AE}\]
1. Écrire le vecteur \(\vec{CM}\) à l'aide des vecteurs \(\vec{CB}\), \(\vec{CD}\) et \(\vec{CG}\). 2. Donner les coordonnées des points \(M\), \(A\) et \(G\) dans le repère \((C; \vec{CB}, \vec{CD}, \vec{CG})\). 3. Montrer que les points \(A\), \(M\) et \(G\) sont alignés.
Solution en cours ...
Exercice 36: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(SABCD\) est une pyramide à base carrée de sommet \(S\). \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\) sont les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([DA]\). \(M\) est le point tel que \(\vec{SM}=\vec{SD}+3\vec{CJ}\). On veut montrer que les points \(M\), \(I\) et \(J\) sont alignés. 1. Faire une figure. 2. Montrer que : a. \(\vec{DM}+3\vec{Cj}\); b. \(\vec{DM}=\vec{CB}+ \vec{CJ}\). 3. En déduire que \(\vec{JM} = 2\vec{IJ}\). 4. Conclure.
1. Voici une figure en ASCII art représentant la pyramide \(SABCD\) et les points \(I\), \(J\), \(K\), \(L\) et \(M\) :
2. a. Montrons que \(\vec{DM} = \vec{SD} + 3\vec{CJ}\) : \(\vec{DM} = \vec{SM} = \vec{SD} + 3\vec{CJ}\) (par définition de \(M\))
b. Montrons que \(\vec{DM} = \vec{CB} + \vec{CJ}\) : \(\vec{DM} = \vec{DC} + \vec{CM}\) Or, \(\vec{CM} = \vec{CJ} + \vec{JM}\) car \(J\) est le milieu de \([BC]\) Donc \(\vec{DM} = \vec{DC} + \vec{CJ} + \vec{JM} = \vec{CB} + \vec{CJ}\)
3. En combinant a. et b., on obtient : \(\vec{SD} + 3\vec{CJ} = \vec{CB} + \vec{CJ}\) \(\vec{JM} = \vec{CB} - \vec{SD} = 2\vec{CJ} = 2\vec{IJ}\)
4. Conclusion : les points \(M\), \(I\) et \(J\) sont alignés car \(\vec{JM} = 2\vec{IJ}\).
Exercice 37: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans l'espace muni d'un repère \((O; \vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les vecteurs: \(\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\)
1. Justifier que le vecteur \(\vec{w}\) n'est pas colinéaire au vecteur \(\vec{v}-\vec{u}\). 2. Donner un vecteur colinéaire au vecteur \(\vec{w}\). 3. Calculer les coordonnées du vecteur: \(3\vec{u}-3\vec{v}+2\vec{w}\). Que peut-on en déduire pour ces trois vecteurs ? 4. Déterminer les coordonnées d'un vecteur \(\vec{t}\) non colinéaire à \(\vec{v}\) et coplanaire à \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\). 5. Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec{h}\) de cote nulle et coplanaire à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). 6. Justifier que les vecteurs \(\vec{h}\) et \(\vec{i}\) sont colinéaires.
1. Pour montrer que le vecteur \(\vec{w}\) n'est pas colinéaire au vecteur \(\vec{v}-\vec{u}\), il suffit de calculer le produit vectoriel de ces deux vecteurs : \(\vec{w} \times (\vec{v}-\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \neq \vec{0}\) Donc \(\vec{w}\) n'est pas colinéaire à \(\vec{v}-\vec{u}\).
2. Un vecteur colinéaire à \(\vec{w}\) est par exemple \(\vec{k}\), car \(\vec{w} = 3\vec{k}\).
3. Calculons les coordonnées de \(3\vec{u}-3\vec{v}+2\vec{w}\) : \(3\vec{u}-3\vec{v}+2\vec{w} = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) Cela signifie que les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont liés, c'est-à-dire qu'ils sont coplanaires.
4. Pour trouver un vecteur \(\vec{t}\) non colinéaire à \(\vec{v}\) et coplanaire à \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\), on peut prendre le produit vectoriel de \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) : \(\vec{t} = \vec{u} \times \vec{w} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix}\)
5. Pour trouver les coordonnées du vecteur \(\vec{h}\) de cote nulle et coplanaire à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on peut prendre le produit vectoriel de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : \(\vec{h} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\)
6. Les vecteurs \(\vec{h}\) et \(\vec{i}\) sont colinéaires car leurs coordonnées sont proportionnelles (\(\vec{h} = -3\vec{i}\)).
Exercice 38: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube de centre \(O\). Le point \(J\) est le milieu du segment \([AC]\) et le point \(K\) est défini par \(\vec{BK} = \frac{1}{4}\vec{BC}\).
1. Démontrer que les droites \((AB)\) et \((JK)\) sont sécantes. 2. Dans le repère \((D; \vec{DA}, \vec{DC}, \vec{DH})\), donner les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(J\) et \(K\). 3. On donne le point \(P\) de coordonnées \((1;\frac{3}{2}; 0)\). Justifier que le point \(P\) est le point d'intersection des droites \((AB)\) et \((JK)\).
1. Pour montrer que les droites \((AB)\) et \((JK)\) sont sécantes, il suffit de vérifier que le vecteur \(\vec{AB}\) et le vecteur \(\vec{JK}\) ne sont pas colinéaires. \(\vec{AB} = \vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\vec{JK} = \frac{1}{4}\vec{BC} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites \((AB)\) et \((JK)\) sont sécantes.
2. Dans le repère \((D; \vec{DA}, \vec{DC}, \vec{DH})\), les coordonnées des points sont : \(A = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(J = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}\) \(K = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
3. Pour vérifier que le point \(P\) de coordonnées \((1; \frac{3}{2}; 0)\) est le point d'intersection des droites \((AB)\) et \((JK)\), il suffit de montrer que \(P\) appartient aux deux droites. Sur la droite \((AB)\), le point \(P\) a pour coordonnées \((t; 0; 0)\) avec \(t = 1\). Sur la droite \((JK)\), le point \(P\) a pour coordonnées \((\frac{1}{4}; \frac{3}{2}; 0)\). Donc le point \(P\) appartient bien aux deux droites, et est donc leur point d'intersection.
Exercice 39: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère un tétraèdre \(ABCD\).
1. Faire une figure et : a. construire le milieu \(I\) de \([BC]\); b. construire le point \(G\) tel que : \[\vec{BG}+\vec{CG}+\vec{DG}= \vec{0}\] c. construire le point \(M\) tel que \(\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AD}\). 2. Démontrer que les vecteurs \(\vec{AI}\) et \(\vec{MG}\) sont colinéaires.
Solution en cours ...
Exercice 40: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(ABCD\) un tétraèdre. \(I\) est le milieu de \([AB]\) et Jest le milieu de \([AC]\). 1. Faire une figure de telle sorte que les points \(I\) et \(J\) ne soient pas sur une face « cachée ». On pose \(\vec{a} = \vec{IJ}\),\(\vec{b}= \vec{BD}\) et \(\vec{c} = \vec{AD}\). 2. Déterminer, en fonction de \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) et \(\vec{c}\), un vecteur directeur de chacune des droites \((CB)\), \((AB)\), \((CD)\) et \((AC)\). 3. Déterminer, en fonction de \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) et \(\vec{c}\), une base de chacun des plans \((BCD)\), \((ABC)\), \((ABD)\) et \((ADC)\).
1. Pour représenter le tétraèdre ABCD avec les points I et J qui ne sont pas sur une face « cachée », on peut utiliser la figure suivante :
Dans cette figure, les points I et J sont visibles car ils se trouvent sur les arêtes du tétraèdre.
2. Déterminons les vecteurs directeurs des droites demandées :
• Pour la droite (CB) : Le vecteur directeur de la droite (CB) est le vecteur \(\vec{b} = \vec{BD}\).
• Pour la droite (AB) : Le vecteur directeur de la droite (AB) est le vecteur \(\vec{a} = \vec{IJ}\).
• Pour la droite (CD) : Le vecteur directeur de la droite (CD) est le vecteur \(\vec{c} = \vec{AD}\).
• Pour la droite (AC) : Le vecteur directeur de la droite (AC) est la somme des vecteurs \(\vec{a} = \vec{IJ}\) et \(\vec{c} = \vec{AD}\), soit \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{IJ} + \vec{AD}\).
3. Déterminons les bases des plans demandés :
• Pour le plan (BCD) : Une base de ce plan est formée par les vecteurs \(\vec{b} = \vec{BD}\) et \(\vec{c} = \vec{AD}\).
• Pour le plan (ABC) : Une base de ce plan est formée par les vecteurs \(\vec{a} = \vec{IJ}\) et \(\vec{b} = \vec{BD}\).
• Pour le plan (ABD) : Une base de ce plan est formée par les vecteurs \(\vec{a} = \vec{IJ}\) et \(\vec{b} = \vec{BD}\).
• Pour le plan (ADC) : Une base de ce plan est formée par les vecteurs \(\vec{a} = \vec{IJ}\) et \(\vec{c} = \vec{AD}\).
En résumé, les vecteurs directeurs et les bases des plans ont été déterminés en utilisant les données fournies dans l'énoncé, à savoir les vecteurs \(\vec{a} = \vec{IJ}\), \(\vec{b} = \vec{BD}\) et \(\vec{c} = \vec{AD}\).
Exercice 41: ★ ★ ☆ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube sur lequel on a placé les milieux de chaque arête et le centre \(O\) de la face de dessous.
1. Reproduire la figure et construire les points: a. \(Z\) tel que \(\vec{AZ} = \vec{AE} + \frac{1}{2}\vec{CD}\); b. \(Y\) tel que \(\vec{BY} = \vec{BD} + \vec{CS} + \frac{1}{2}\vec{BE}\). 2. Que peut-on dire des points \(I\), \(U\) et \(Z\) ? Justifier en exprimant \(\vec{IZ}\) puis \(\vec{IU}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et de \(\vec{AE}\). 3. Montrer que \(\vec{ZY} = \vec{BC}\). Quelle est la nature du quadrilatère \(ZBCY\) ?
solution en cours...
Exercice 42: ★ ★ ☆ ☆ ☆
\(SABC\) est un tétraèdre. Au plan de quelle face le point \(M\) tel que \(\vec{AM}+3\vec{MB} +\vec{AC}=\vec{O}\) appartient-il ? Le démontrer.
Soit le tétraèdre \(SABC\). Nous souhaitons déterminer le plan de la face auquel appartient le point \(M\) tel que \(\vec{AM}+3\vec{MB}+\vec{AC}=\vec{O}\).
1. Calcul de \(\vec{AM}\) : \(\vec{AM} = -3\vec{MB} - \vec{AC}\) En effet, d'après la condition donnée, \(\vec{AM}+3\vec{MB}+\vec{AC}=\vec{O}\), donc \(\vec{AM} = -3\vec{MB}-\vec{AC}\).
2. Calcul du vecteur normal au plan de la face \(ABC\) : \(\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC}\) Le vecteur normal au plan de la face \(ABC\) est le produit vectoriel de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
3. Vérification de l'appartenance de \(M\) au plan de la face \(ABC\) : \(\vec{n}\cdot\vec{AM} = \vec{n}\cdot(-3\vec{MB}-\vec{AC}) = -3\vec{n}\cdot\vec{MB} - \vec{n}\cdot\vec{AC}\) Or, \(\vec{n}\cdot\vec{MB} = 0\) car \(\vec{MB}\) est parallèle au plan \(ABC\), et \(\vec{n}\cdot\vec{AC} = 0\) car \(\vec{AC}\) appartient au plan \(ABC\). Donc \(\vec{n}\cdot\vec{AM} = 0\), ce qui signifie que le point \(M\) appartient au plan de la face \(ABC\) du tétraèdre \(SABC\).
En conclusion, le point \(M\) tel que \(\vec{AM}+3\vec{MB}+\vec{AC}=\vec{O}\) appartient au plan de la face \(ABC\) du tétraèdre \(SABC\).
Exercice 43: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points de l'espace non alignés. On considère les points \(M\) et \(N\) tels que: \(\vec{AM} = 2\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}\) et \(\vec{BN} = 3\vec{AB}\). 1. Faire une figure. 2. Montrer que le point \(C\) appartient à la droite \((MN)\).
1. Construction de la figure Pour construire la figure, nous représentons les points \(A\), \(B\), \(C\), \(M\) et \(N\) dans l'espace, en tenant compte des données de l'énoncé.
2. Démonstration que le point \(C\) appartient à la droite \((MN)\) D'après les données de l'énoncé, nous avons : \(\vec{AM} = 2\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}\) \(\vec{BN} = 3\vec{AB}\) Nous souhaitons montrer que le vecteur \(\vec{AC}\) est colinéaire à \(\vec{MN}\). \(\vec{MN} = \vec{BN} - \vec{AM} = 3\vec{AB} - 2\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AC}\) Donc \(\vec{AC}\) est bien colinéaire à \(\vec{MN}\), ce qui signifie que le point \(C\) appartient à la droite \((MN)\).
Exercice 44: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère le pavé droit \(ABCDEFGH\) de centre \(O\). Montrer que les vecteurs \(\vec{OA}\), \(\vec{GE}\) et \(\vec{DH}\) sont coplanaires.
L'objectif est de montrer que les vecteurs \(\vec{OA}\), \(\vec{GE}\) et \(\vec{DH}\) sont coplanaires, c'est-à-dire qu'ils appartiennent au même plan.
Pour cela, nous allons procéder en plusieurs étapes :
1. Calcul de \(\vec{OA}\) : \(\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{AB}\) En effet, \(\vec{OA}\) est le vecteur qui relie le centre \(O\) au sommet \(A\). Or, \(A\) appartient à l'arête \(AB\) du pavé droit, donc \(\vec{OA}\) peut s'écrire comme la moitié de \(\vec{AB}\), vecteur reliant \(A\) à \(B\).
2. Calcul de \(\vec{GE}\) : \(\vec{GE} = \vec{GH} + \vec{HE}\) \(\vec{GH} = \vec{AB}\) (donnée de l'énoncé) \(\vec{HE} = -\vec{AB}\) (symétrie par rapport au centre \(O\)) Donc \(\vec{GE} = \vec{GH} + \vec{HE} = \vec{AB} - \vec{AB} = \vec{0}\)
3. Calcul de \(\vec{DH}\) : \(\vec{DH} = \vec{DC} + \vec{CH}\) \(\vec{DC} = \vec{AB}\) (donnée de l'énoncé) \(\vec{CH} = -\vec{AB}\) (symétrie par rapport au centre \(O\)) Donc \(\vec{DH} = \vec{DC} + \vec{CH} = \vec{AB} - \vec{AB} = \vec{0}\)
4. Vérification de la relation linéaire : Posons \(a = 1\), \(b = 0\) et \(c = 0\). Alors : \(a\vec{OA} + b\vec{GE} + c\vec{DH} = \vec{OA} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{OA}\) Or, \(\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{AB}\), \(\vec{GE} = \vec{0}\) et \(\vec{DH} = \vec{0}\) Donc \(a\vec{OA} + b\vec{GE} + c\vec{DH} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{0} + \vec{0} = \frac{1}{2}\vec{AB}\)
Les vecteurs \(\vec{OA}\), \(\vec{GE}\) et \(\vec{DH}\) sont donc bien liés par une relation linéaire, ce qui signifie qu'ils sont coplanaires.
Exercice 45: ★ ★ ☆ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube. \(U\) et \(V\) sont les points tels que: \(\vec{UF}=\frac{1}{4}\vec{GF}\) et \(\vec{BV}=\frac{1}{4}\vec{BA}\). Montrer que les vecteurs \(\vec{FB}\), \(\vec{UV}\) et \(\vec{GA}\) sont coplanaires.
L'objectif est de montrer que les vecteurs \(\vec{FB}\), \(\vec{UV}\) et \(\vec{GA}\) sont coplanaires, c'est-à-dire qu'ils appartiennent au même plan.
Pour cela, nous allons procéder en plusieurs étapes :
1. Calcul de \(\vec{FB}\) : \(\vec{FB} = \vec{FG} + \vec{GB}\) En effet, \(\vec{FB}\) est le vecteur qui relie le point \(F\) au point \(B\). Or, \(B\) appartient à la face \(ABCD\) du cube, donc \(\vec{FB}\) peut s'écrire comme la somme de \(\vec{FG}\), vecteur reliant \(F\) à \(G\), et de \(\vec{GB}\), vecteur reliant \(G\) à \(B\).
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