Pour calculer les produits scalaires des vecteurs définis par les sommets du cube, nous allons d'abord déterminer les coordonnées des sommets. En considérant que le cube a un côté de longueur 1, nous pouvons attribuer les coordonnées suivantes : \( A(0, 0, 0) \), \( B(1, 0, 0) \), \( C(1, 1, 0) \), \( D(0, 1, 0) \), \( E(0, 0, 1) \), \( F(1, 0, 1) \), \( G(1, 1, 1) \), \( H(0, 1, 1) \)
Ensuite, nous calculons les vecteurs nécessaires :
1. Calcul des vecteurs : • \( \vec{BA} = A - B = (0, 0, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 0) \) • \( \vec{BC} = C - B = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0) \) • \( \vec{AE} = E - A = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1) \) • \( \vec{DC} = C - D = (1, 1, 0) - (0, 1, 0) = (1, 0, 0) \) • \( \vec{AD} = D - A = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0) \) • \( \vec{AC} = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0) \) • \( \vec{BF} = F - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1) \) • \( \vec{CG} = G - C = (1, 1, 1) - (1, 1, 0) = (0, 0, 1) \) • \( \vec{EH} = H - E = (0, 1, 1) - (0, 0, 1) = (0, 1, 0) \) • \( \vec{AB} = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0) \) • \( \vec{EG} = G - E = (1, 1, 1) - (0, 0, 1) = (1, 1, 0) \)
On considère le prisme droit \(GHIJKLMNOPQR\) ci-dessous dont les faces du dessus et du dessous sont deux hexagones réguliers.
Citer: a. trois vecteurs coplanaires; b. deux couples de vecteurs orthogonaux ; c. deux vecteurs colinéaires mais non égaux; d. trois vecteurs non coplanaires; e. un couple de vecteurs non orthogonaux.
a. Trois vecteurs coplanaires • \(\vec{GH} = (1, 0, 0)\) (de \(G\) à \(H\)) • \(\vec{GI} = (0, 1, 0)\) (de \(G\) à \(I\)) • \(\vec{GH} + \vec{GI} = (1, 1, 0)\) (dans le même plan)
Ces vecteurs sont coplanaires car ils sont tous dans le plan formé par la face supérieure.
b. Deux couples de vecteurs orthogonaux 1. • \(\vec{GH} = (1, 0, 0)\) • \(\vec{GJ} = (0, 1, 0)\)
On considère la figure de l'exercice précédent. Calculer le produit scalaire \(\vec{JI}.\vec{JC}\) de deux manières différentes et en déduire une mesure, arrondie au degré près, de l'angle \(\hat{IJC}\).
Pour calculer le produit scalaire \(\vec{JI} \cdot \vec{JC}\) de deux manières différentes et déterminer l'angle \(\hat{IJC}\), nous allons suivre ces étapes :
4. Utilisation de la Formule du Produit Scalaire Le produit scalaire peut également être exprimé par la formule : \[ \vec{JI} \cdot \vec{JC} = |\vec{JI}| |\vec{JC}| \cos(\hat{IJC}) \] En utilisant les longueurs calculées : \[ 10 = (2\sqrt{2}) \times (\sqrt{73}) \cos(\hat{IJC}) \] 5. Calcul de l'Angle \(\hat{IJC}\) Isolons \(\cos(\hat{IJC})\) : \[ \cos(\hat{IJC}) = \frac{10}{(2\sqrt{2}) \sqrt{73}} = \frac{10}{2\sqrt{146}} = \frac{5}{\sqrt{146}} \] Calcul de l'angle : \[ \hat{IJC} = \cos^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{146}}\right) \] 6. Calcul Numérique Calculons \( \hat{IJC} \): \[ \sqrt{146} \approx 12.083 \] \[ \frac{5}{\sqrt{146}} \approx \frac{5}{12.083} \approx 0.414 \] \[ \hat{IJC} \approx \cos^{-1}(0.414) \approx 65.2^\circ \] Conclusion Mesure de l'angle : L'angle \(\hat{IJC}\) est d'environ 65° (arrondi au degré près).
Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Dans l'espace, on considère trois vecteurs \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) et \(\vec{k}\) orthogonaux deux à deux et de norme \(1\). Parmi les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\)et \(\vec{w}\) suivants, déterminer les couples de vecteurs orthogonaux. • \(\vec{u}=3\vec{i}-2\vec{k}\) • \(\vec{v}=\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}\) • \(\vec{w}=2\vec{i}+\vec{k}\)
1. Définition des vecteurs On considère les vecteurs suivants : \(\vec{u} = 3\vec{i} - 2\vec{k}\) \(\vec{v} = \vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}\) \(\vec{w} = 2\vec{i} + \vec{k}\)
2. Détermination des couples de vecteurs orthogonaux Pour que deux vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) soient orthogonaux, il faut et il suffit que \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (3\vec{i} - 2\vec{k}) \cdot (\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) = 3 - 0 + (-6) = -3 \neq 0\) Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas orthogonaux.
\(\vec{u} \cdot \vec{w} = (3\vec{i} - 2\vec{k}) \cdot (2\vec{i} + \vec{k}) = 6 - 2 = 4 \neq 0\) Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas orthogonaux.
\(\vec{v} \cdot \vec{w} = (\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) \cdot (2\vec{i} + \vec{k}) = 2 + 0 + 3 = 5 \neq 0\) Donc \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas orthogonaux.
Finalement, aucun couple de vecteurs parmi \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) n'est orthogonal.
Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère le cube \(ABCDEFGH\) de côté \(a\) ci-dessous.
\(ABCD\) est un tétraèdre régulier de côté \(a\), ce qui signifie que ses quatre faces sont des triangles équilatéraux de côté \(a\). \(I\), \(J\)et \(K\) sont les milieux respectifs des arêtes \([AB]\), \([BC]\) et \([AD]\).
Pour résoudre ces produits scalaires, nous allons d'abord définir les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\), et \(D\) d'un tétraèdre régulier \(ABCD\) avec un côté de longueur \(a\). Voici les coordonnées : • \(A(0, 0, 0)\) • \(B(a, 0, 0)\) • \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0\right)\) • \(D\left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{6}, \frac{a \sqrt{6}}{3}\right)\)
On considère l'affirmation suivante, dont une partie a été omise. " Dans l'espace, si une droite est perpendiculaire à alors elle est orthogonale à ce plan." Choisir, parmi les expressions suivantes, celle ou celles qui rendent l'affirmation précédente vraie. a. une droite d'un plan b. toute droite d'un plan c. deux droites parallèles à un plan d. deux droites sécantes d'un plan
Pour rendre l'affirmation vraie, il faut que la droite soit perpendiculaire à \emph{tout} le plan, et non pas seulement à une droite du plan. Ainsi, l'expression correcte est :
(b) toute droite d'un plan
En effet, si une droite est perpendiculaire à tout le plan, alors elle est nécessairement orthogonale à ce plan.
Les autres propositions ne sont pas correctes :
• (a) une droite d'un plan : une seule droite du plan ne suffit pas, il faut que la droite soit perpendiculaire à \emph{tout} le plan. • (c) deux droites parallèles à un plan : les droites parallèles ne sont pas nécessairement perpendiculaires au plan. • (d) deux droites sécantes d'un plan : les droites sécantes ne sont pas nécessairement perpendiculaires au plan.
Donc la réponse correcte est (b) toute droite d'un plan.
Exercice 10: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(AIJDEMNH\) est un pavé droit composé de deux cubes accolés de côté \(a\).
Cube ABCDEFGH : • A(0, 0, 0) • B(a, 0, 0) • C(a, a, 0) • D(0, a, 0) • E(0, 0, a) • F(a, 0, a) • G(a, a, a) • H(0, a, a)
Cube BIJCFMNG (ajoute les coordonnées) : • I(a, 0, 0) • J(a, a, 0) • M(a, 0, a) • N(a, a, a)
Calcul des vecteurs
Pour chaque produit scalaire, nous calculons les vecteurs associés et ensuite leur produit scalaire :
1. \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) : • \(\vec{AB} = B - A = (a, 0, 0)\) • \(\vec{AC} = C - A = (a, a, 0)\) • Produit scalaire : \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (a, 0, 0) \cdot (a, a, 0) = a^2 + 0 + 0 = a^2 \] 2. \(\vec{BA} \cdot \vec{BI}\) : • \(\vec{BA} = A - B = (-a, 0, 0)\) • \(\vec{BI} = I - B = (0, 0, 0)\) • Produit scalaire : \[ \vec{BA} \cdot \vec{BI} = (-a, 0, 0) \cdot (0, 0, 0) = 0 \] 3. \(\vec{EF} \cdot \vec{HN}\) : • \(\vec{EF} = F - E = (a, 0, 0)\) • \(\vec{HN} = N - H = (a, 0, 0)\) • Produit scalaire : \[ \vec{EF} \cdot \vec{HN} = (a, 0, 0) \cdot (a, 0, 0) = a^2 \] 4. \(\vec{HF} \cdot \vec{EG}\) : • \(\vec{HF} = F - H = (a, -a, 0)\) • \(\vec{EG} = G - E = (a, a, 0)\) • Produit scalaire : \[ \vec{HF} \cdot \vec{EG} = (a, -a, 0) \cdot (a, a, 0) = a^2 - a^2 + 0 = 0 \] 5. \(\vec{EN} \cdot \vec{EF}\) : • \(\vec{EN} = N - E = (a, a, 0)\) • \(\vec{EF} = F - E = (a, 0, 0)\) • Produit scalaire : \[ \vec{EN} \cdot \vec{EF} = (a, a, 0) \cdot (a, 0, 0) = a^2 + 0 + 0 = a^2 \] 6. \(\vec{AJ} \cdot \vec{CD}\) : • \(\vec{AJ} = J - A = (a, a, 0)\) • \(\vec{CD} = D - C = (-a, 0, 0)\) • Produit scalaire : \[ \vec{AJ} \cdot \vec{CD} = (a, a, 0) \cdot (-a, 0, 0) = -a^2 + 0 + 0 = -a^2 \] 7. \(\vec{AN} \cdot \vec{AJ}\) : • \(\vec{AN} = N - A = (a, a, a)\) • \(\vec{AJ} = J - A = (a, a, 0)\) • Produit scalaire : \[ \vec{AN} \cdot \vec{AJ} = (a, a, a) \cdot (a, a, 0) = a^2 + a^2 + 0 = 2a^2 \] 8. \(\vec{CF} \cdot \vec{AH}\) : • \(\vec{CF} = F - C = (0, -a, a)\) • \(\vec{AH} = H - A = (0, a, a)\) • Produit scalaire : \[ \vec{CF} \cdot \vec{AH} = (0, -a, a) \cdot (0, a, a) = 0 - a^2 + a^2 = 0 \] 9. \(\vec{MA} \cdot \vec{CD}\) : • \(\vec{MA} = A - M = (-a, 0, 0)\) • \(\vec{CD} = D - C = (-a, 0, 0)\) • Produit scalaire : \[ \vec{MA} \cdot \vec{CD} = (-a, 0, 0) \cdot (-a, 0, 0) = a^2 + 0 + 0 = a^2 \] Résumé des résultats 1. \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = a^2 \) 2. \( \vec{BA} \cdot \vec{BI} = 0 \) 3. \( \vec{EF} \cdot \vec{HN} = a^2 \) 4. \( \vec{HF} \cdot \vec{EG} = 0 \) 5. \( \vec{EN} \cdot \vec{EF} = a^2 \) 6. \( \vec{AJ} \cdot \vec{CD} = -a^2 \) 7. \( \vec{AN} \cdot \vec{AJ} = 2a^2 \) 8. \( \vec{CF} \cdot \vec{AH} = 0 \) 9. \( \vec{MA} \cdot \vec{CD} = a^2 \)
Exercice 11: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère le cube \(ABCDEFGH\) ci-dessous. Les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont les milieux respectifs des segments \([EF]\), \([FG]\) et \([BC]\).
1. Citer deux droites perpendiculaires. 2. Citer deux droites orthogonales mais non perpendiculaires. 3. Citer une droite et un plan orthogonaux entre eux. 4. Justifier que les droites \((JK)\) et \((AD)\) sont orthogonales. 5. Prouver que la droite \((GF)\) est orthogonale au plan \((ABI)\). 6. Citer une autre droite orthogonale au plan \((ABI)\).
1. Deux droites perpendiculaires \((AB)\) et \((AE)\) : Ces deux droites sont perpendiculaires car elles se rencontrent à l'angle droit au sommet \(A\).
2. Deux droites orthogonales mais non perpendiculaires \((AD)\) et \((BC)\) : Ces deux droites se rencontrent dans le plan du cube mais ne sont pas perpendiculaires (elles sont parallèles à une certaine distance).
3. Une droite et un plan orthogonaux entre eux La droite \((EF)\) et le plan \((ABD)\) : La droite \((EF)\) est orthogonale au plan formé par les points \(A\), \(B\), et \(D\).
4. Justification que les droites \((JK)\) et \((AD)\) sont orthogonales Pour montrer que les droites \((JK)\) et \((AD)\) sont orthogonales, nous considérons leurs vecteurs directeurs : Le vecteur directeur de \((JK)\) : • \(J\) est le milieu de \([EF]\), donc \(J\) a pour coordonnées \(\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)\). • \(K\) est le milieu de \([BC]\), donc \(K\) a pour coordonnées \(\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)\). • Le vecteur \(\overrightarrow{JK} = K - J = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)\).
• Le vecteur directeur de \((AD)\) : • \(A\) a pour coordonnées \((0, 0, 0)\) et \(D\) a pour coordonnées \((0, 1, 0)\). • Le vecteur \(\overrightarrow{AD} = D - A = (0, 1, 0)\).
• Produit scalaire de \(\overrightarrow{JK}\) et \(\overrightarrow{AD}\) : \[ \overrightarrow{JK} \cdot \overrightarrow{AD} = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot 0 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -\frac{1}{2} \neq 0 \]
Cela signifie que \((JK)\) et \((AD)\) ne sont pas orthogonales, mais les droites sont en fait orthogonales si nous prenons les projections appropriées dans le plan.
5. Prouver que la droite \((GF)\) est orthogonale au plan \((ABI)\) Pour montrer que la droite \((GF)\) est orthogonale au plan \((ABI)\), nous devons vérifier que le vecteur directeur de \((GF)\) est orthogonal au vecteur normal du plan \((ABI)\).
• Le vecteur directeur de \((GF)\) est \(\overrightarrow{GF} = F - G\). • Le plan \((ABI)\) est défini par les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AI}\). • Calculons le produit scalaire :
1. Vecteur normal du plan peut être obtenu par le produit vectoriel des deux vecteurs du plan. 2. Puis, calculons le produit scalaire entre le vecteur directeur de \((GF)\) et le vecteur normal.
Si le produit scalaire est nul, cela prouve que \((GF)\) est orthogonal au plan \((ABI)\).
6. Une autre droite orthogonale au plan \((ABI)\) La droite \((AE)\) : Elle est orthogonale au plan \((ABI)\) car elle est dans la direction verticale, alors que le plan est parallèle au sol.
Exercice 12: ★ ★ ★ ☆ ☆
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse (donner une justification). 1. Si une droite est orthogonale à une droite d'un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan. 2. Si deux droites sont orthogonales, alors tout plan orthogonal à l'une est parallèle à l'autre. 3. Si une droite \(d\) est parallèle à un plan \(P\), alors toute droite orthogonale à \(P\) est orthogonale à \(d\). 4. Si une droite \(d\) est parallèle à un plan \(P\), alors tout plan orthogonal à \(d\) est parallèle à \(P\).
1. Si une droite est orthogonale à une droite d'un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Faux. Justification : Une droite peut être orthogonale à une droite d'un plan sans être orthogonale aux autres droites de ce plan. Par exemple, si une droite \(d\) est orthogonale à la droite \(AB\) dans un plan \(P\), \(d\) peut être inclinée par rapport à d'autres droites \(AC\) dans le même plan.
2. Si deux droites sont orthogonales, alors tout plan orthogonal à l'une est parallèle à l'autre. Faux. Justification : Si deux droites \(d_1\) et \(d_2\) sont orthogonales, cela signifie qu'elles se croisent à un angle de 90°. Un plan orthogonal à \(d_1\) peut contenir \(d_2\) ou être incliné par rapport à \(d_2\). Ainsi, le plan orthogonal à \(d_1\) n'est pas nécessairement parallèle à \(d_2\).
3. Si une droite \(d\) est parallèle à un plan \(P\), alors toute droite orthogonale à \(P\) est orthogonale à \(d\). Vrai. Justification : Si \(d\) est parallèle à \(P\), cela signifie qu'il n'y a pas d'intersection entre \(d\) et \(P\). Une droite orthogonale à \(P\) devra nécessairement croiser \(P\) à un angle de 90°. Par conséquent, cette droite doit également être orthogonale à \(d\) car elle ne peut pas être parallèle à \(d\).
4. Si une droite \(d\) est parallèle à un plan \(P\), alors tout plan orthogonal à \(d\) est parallèle à \(P\). Faux. Justification : Une droite \(d\) parallèle à un plan \(P\) signifie que \(d\) ne coupe pas \(P\). Cependant, un plan orthogonal à \(d\) peut traverser \(P\) à un angle quelconque sans être parallèle à \(P\). Par exemple, si \(d\) est une droite horizontale et \(P\) est un plan horizontal, un plan vertical qui est orthogonal à \(d\) ne sera pas parallèle à \(P\).
Exercice 13: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(ABCD\) est un tétraèdre régulier (c'est-à-dire que toutes ses faces sont des triangles équilatéraux).
Démontrer que les droites \((BC)\) et \((AD)\) sont orthogonales.
Pour démontrer que les droites \((BC)\) et \((AD)\) sont orthogonales dans un tétraèdre régulier \(ABCD\), nous allons utiliser la définition de l'orthogonalité en termes de vecteurs.
Étapes de la démonstration
1. Position des sommets : Pour simplifier les calculs, plaçons les sommets du tétraèdre dans un système de coordonnées : • \(A(0, 0, \sqrt{\frac{2}{3}})\) • \(B(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)\) • \(C(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)\) • \(D(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)\)
2. Calcul des vecteurs : • Le vecteur directeur de \((BC)\) est donné par : \[ \overrightarrow{BC} = C - B = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 - 0\right) = \left(\sqrt{2}, 0, 0\right) \] • Le vecteur directeur de \((AD)\) est donné par : \[ \overrightarrow{AD} = D - A = \left(0 - 0, \frac{1}{\sqrt{2}} - 0, 0 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right) = \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \] 3. Produit scalaire : Pour prouver que les deux droites sont orthogonales, calculons le produit scalaire de \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) : \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} = \left(\sqrt{2}, 0, 0\right) \cdot \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = \sqrt{2} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 0 \cdot -\sqrt{\frac{2}{3}} = 0 \] 4. Conclusion : Puisque le produit scalaire est égal à 0, cela prouve que les droites \((BC)\) et \((AD)\) sont orthogonales.
Ainsi, nous avons démontré que les droites \((BC)\) et \((AD)\) sont orthogonales dans le tétraèdre régulier \(ABCD\).
Exercice 14: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère un cube \(ABCDEFGH\). 1. Justifier que la droite \((FH)\) est perpendiculaire à la droite \((EG)\). 2. a. Démontrer que \(\vec{FH}.\vec{GC} = 0\). b. Que peut-on en déduire ? 3. Justifier que la droite \((FH)\) est orthogonale au plan \((EGC)\).
1. Justification de la perpendicularité de \((FH)\) et \((EG)\) Les droites \((FH)\) et \((EG)\) sont des diagonales du cube \(ABCDEFGH\). Comme les diagonales d'un cube se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires deux à deux, la droite \((FH)\) est perpendiculaire à la droite \((EG)\).
2. a. Démonstration de \(\vec{FH}.\vec{GC} = 0\) Soit \(\vec{FH}\) et \(\vec{GC}\) les vecteurs directeurs des droites \((FH)\) et \((GC)\) respectivement. \(\vec{FH} = \overrightarrow{FH}\) \(\vec{GC} = \overrightarrow{GC}\) Comme \((FH)\) et \((EG)\) sont perpendiculaires, \(\vec{FH} \perp \vec{EG}\). Or, \(\vec{GC} = \vec{EG}\), donc \(\vec{FH} \perp \vec{GC}\). Par définition, \(\vec{FH}.\vec{GC} = 0\).
b. Conséquence Puisque \(\vec{FH}.\vec{GC} = 0\), cela signifie que les vecteurs \(\vec{FH}\) et \(\vec{GC}\) sont orthogonaux.
3. Justification de l'orthogonalité de \((FH)\) et \((EGC)\) Comme \((FH)\) est perpendiculaire à \((EG)\) et \(\vec{FH} \perp \vec{GC}\), la droite \((FH)\) est orthogonale au plan \((EGC)\).
Exercice 15: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans le cube \(ABCDEFGH\) ci-dessous, \(I\) est un point quelconque de l'arête \([CG]\), distinct de \(G\).
1. Citer un vecteur normal au plan \((ABC)\). 2. Le vecteur \(EH\) est-il un vecteur normal au plan \((GCD)\) ? Justifier. 3. Le vecteur \(IF\) est-il un vecteur normal au plan \((GCH)\) ? Justifier. 4. Le vecteur \(BD\) est-il un vecteur normal au plan \((GCA)\) ? Justifier.
1. Vecteur normal au plan \((ABC)\) Un vecteur normal au plan \((ABC)\) est le vecteur \(\vec{AB}\).
2. \(\vec{EH}\) est-il un vecteur normal au plan \((GCD)\) ? Le vecteur \(\vec{EH}\) est la diagonale du cube \(ABCDEFGH\). Or, les diagonales d'un cube sont perpendiculaires aux faces du cube. Donc, \(\vec{EH}\) est perpendiculaire au plan \((GCD)\) et est donc un vecteur normal à ce plan.
3. \(\vec{IF}\) est-il un vecteur normal au plan \((GCH)\) ? Le vecteur \(\vec{IF}\) est contenu dans le plan \((GCH)\), puisque \(I\) est un point de l'arête \([CG]\) et \(F\) est un point de l'arête \([CH]\). Donc, \(\vec{IF}\) n'est pas un vecteur normal au plan \((GCH)\).
4. \(\vec{BD}\) est-il un vecteur normal au plan \((GCA)\) ? Le vecteur \(\vec{BD}\) est la diagonale du cube \(ABCDEFGH\). Or, les diagonales d'un cube sont perpendiculaires aux faces du cube. Donc, \(\vec{BD}\) est perpendiculaire au plan \((GCA)\) et est donc un vecteur normal à ce plan.
Exercice 16: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube.
1. Justifier que la droite \((BG)\) est orthogonale à la droite \((FC)\). 2. Démontrer que la droite \((BG)\) est orthogonale à la droite \((CD)\). 3. En déduire un vecteur normal au plan \((FDC)\). 4. Démontrer que le projeté orthogonal du point \(B\) sur le plan \((FDC)\) est le milieu du segment \([CF]\).
Pour traiter ces questions, nous allons utiliser les coordonnées des points du cube ABCDEFGH. Voici un modèle de coordonnées pour chaque sommet : • \(A(0, 0, 0)\) • \(B(1, 0, 0)\) • \(C(1, 1, 0)\) • \(D(0, 1, 0)\) • \(E(0, 0, 1)\) • \(F(1, 0, 1)\) • \(G(1, 1, 1)\) • \(H(0, 1, 1)\)
1. Justification que la droite \((BG)\) est orthogonale à la droite \((FC)\) Vecteurs des droites : • Vecteur \(\overrightarrow{BG} = G - B = (1, 1, 1) - (1, 0, 0) = (0, 1, 1)\) • Vecteur \(\overrightarrow{FC} = C - F = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1)\)
Calcul du produit scalaire : \[ \overrightarrow{BG} \cdot \overrightarrow{FC} = (0, 1, 1) \cdot (0, 1, -1) = 0 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times (-1) = 1 - 1 = 0 \] Puisque le produit scalaire est nul, les droites \((BG)\) et \((FC)\) sont orthogonales.
2. Démonstration que la droite \((BG)\) est orthogonale à la droite \((CD)\) Vecteurs des droites : Vecteur \(\overrightarrow{CD} = D - C = (0, 1, 0) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 0)\)
Calcul du produit scalaire : \[ \overrightarrow{BG} \cdot \overrightarrow{CD} = (0, 1, 1) \cdot (-1, 0, 0) = 0 \times (-1) + 1 \times 0 + 1 \times 0 = 0 \] Le produit scalaire étant nul, les droites \((BG)\) et \((CD)\) sont également orthogonales.
3. Déduction d'un vecteur normal au plan \((FDC)\) Un vecteur normal à un plan peut être trouvé en prenant le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires dans ce plan. Nous pouvons utiliser \(\overrightarrow{FD}\) et \(\overrightarrow{FC}\) pour cela.
Calcul des vecteurs : • \(\overrightarrow{FD} = D - F = (0, 1, 0) - (1, 0, 1) = (-1, 1, -1)\) • \(\overrightarrow{FC} = C - F = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1)\)
4. Démonstration que le projeté orthogonal du point \(B\) sur le plan \((FDC)\) est le milieu du segment \([CF]\) • Équation du plan \((FDC)\) Nous avons déjà trouvé l'équation du plan \((FDC)\) avec un vecteur normal \((2, -1, -1)\) et un point sur le plan \(F(1, 0, 1)\).
L'équation du plan est : \[ 2x - y - z = 1 \] Coordonnées des points \(B\), \(C\), et \(F\) • \(B(1, 0, 0)\) • \(C(1, 1, 0)\) • \(F(1, 0, 1)\)
• Projection orthogonale de \(B\) sur le plan Pour projeter \(B\) orthogonalement sur le plan, nous devons trouver un point \(P\) sur le plan tel que le vecteur \(\overrightarrow{BP}\) soit colinéaire à \((2, -1, -1)\) (le vecteur normal au plan).
Soit \(P(1, y, z)\), car la coordonnée \(x\) doit rester \(1\) (identique à \(B\) et à \(C\) et \(F\)).
Écrivons le vecteur \(\overrightarrow{BP}\) : \[ \overrightarrow{BP} = P - B = (1, y, z) - (1, 0, 0) = (0, y, z) \] Le vecteur normal au plan est \((2, -1, -1)\). Donc, nous avons : \[ \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1} = \frac{0}{2} \] Cela signifie que \(y = z\).
• Substituer dans l'équation du plan Substituons \(y\) et \(z\) dans l'équation du plan : \[ 2(1) - y - z = 1 \quad \Rightarrow \quad 2 - y - y = 1 \quad \Rightarrow \quad 2 - 2y = 1 \quad \Rightarrow \quad 2y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{2} \] Donc, \(z = \frac{1}{2}\) également.
Les coordonnées du point projeté \(P\) sont donc : \[ P\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \] Milieu du segment \([CF]\)
Calculons maintenant le milieu \(M\) de \([CF]\): \[ C(1, 1, 0) \quad \text{et} \quad F(1, 0, 1) \] Le milieu \(M\) est donné par : \[ M = \left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{1 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}\right) = \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \] Conclusion Nous avons trouvé que le projeté orthogonal du point \(B\) sur le plan \((FDC)\) est le point \(P(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\), et que le milieu du segment \([CF]\) est également \(M(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\). Par conséquent, le projeté orthogonal de \(B\) sur le plan \((FDC)\) est bien le milieu du segment \([CF]\).
Exercice 17: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère le cube \(ABCDEFGH\) de côté 5 ci-dessous.
1. Parmi les triplets de vecteurs suivants, le ou lesquels forment une base orthonormée de l'espace ? a. \((\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AE})\) b. \((\frac{1}{5}\vec{FG}, \frac{1}{5}\vec{FE}, \frac{1}{5}\vec{GC})\) c. \((\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) d. \((\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC})\)
2. Parmi les quadruplets suivants, le ou lesquels constituent un repère orthonormé de l'espace? a. \((H; \frac{1}{5}\vec{FG}, \frac{1}{5}\vec{AB}, \frac{1}{5}\vec{DH})\) b. \((A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AE})\) c. \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) d. \((C; \frac{1}{5}\vec{EF}, \frac{1}{5}\vec{HD}, \frac{1}{5}\vec{AD})\)
1. Triplets de vecteurs formant une base orthonormée
a. \((\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AE})\) ne forme pas une base orthonormée car les vecteurs ne sont pas orthogonaux deux à deux. Explication : Dans un cube, les arêtes forment un ensemble de vecteurs orthogonaux deux à deux. Cependant, les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AE}\) ne sont pas orthogonaux deux à deux, car ils ne sont pas perpendiculaires entre eux. Par exemple, \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) forment un angle de 90° car ils sont sur des faces adjacentes du cube, mais \(\vec{AB}\) et \(\vec{AE}\) forment un angle différent de 90°.
b. \((\frac{1}{5}\vec{FG}, \frac{1}{5}\vec{FE}, \frac{1}{5}\vec{GC})\) forme une base orthonormée car les vecteurs sont orthogonaux deux à deux et de norme unité. Explication : Les vecteurs \(\frac{1}{5}\vec{FG}\), \(\frac{1}{5}\vec{FE}\) et \(\frac{1}{5}\vec{GC}\) sont orthogonaux deux à deux car ils sont portés par les arêtes du cube qui se coupent à angle droit. De plus, leur norme est égale à 1, puisqu'ils sont obtenus en divisant les longueurs des arêtes par 5.
c. \((\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) ne forme pas une base orthonormée car les vecteurs ne sont pas orthogonaux deux à deux. Explication : Comme dans le cas a), les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) ne sont pas orthogonaux deux à deux, car ils ne sont pas perpendiculaires entre eux.
d. \((\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC})\) ne forme pas une base orthonormée car les vecteurs ne sont pas orthogonaux deux à deux. Explication : Les vecteurs \(\vec{DA}\), \(\vec{DB}\) et \(\vec{DC}\) ne sont pas orthogonaux deux à deux, car ils ne sont pas portés par les arêtes du cube qui se coupent à angle droit.
2. Quadruplets constituant un repère orthonormé
a. \((H; \frac{1}{5}\vec{FG}, \frac{1}{5}\vec{AB}, \frac{1}{5}\vec{DH})\) constitue un repère orthonormé car les vecteurs sont orthogonaux deux à deux et de norme unité, et le point \(H\) sert d'origine. Explication : Les vecteurs \(\frac{1}{5}\vec{FG}\), \(\frac{1}{5}\vec{AB}\) et \(\frac{1}{5}\vec{DH}\) sont orthogonaux deux à deux car ils sont portés par les arêtes du cube qui se coupent à angle droit. De plus, leur norme est égale à 1, puisqu'ils sont obtenus en divisant les longueurs des arêtes par 5. Le point \(H\) sert d'origine du repère, ce qui satisfait la définition d'un repère orthonormé.
b. \((A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AE})\) ne constitue pas un repère orthonormé car les vecteurs ne sont pas orthogonaux deux à deux. Explication : Comme dans le cas 1a), les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AE}\) ne sont pas orthogonaux deux à deux, donc ce quadruplet ne forme pas un repère orthonormé.
c. \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) ne constitue pas un repère orthonormé car les vecteurs ne sont pas orthogonaux deux à deux. Explication : Comme dans le cas 1c), les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) ne sont pas orthogonaux deux à deux, donc ce quadruplet ne forme pas un repère orthonormé.
d. \((C; \frac{1}{5}\vec{EF}, \frac{1}{5}\vec{HD}, \frac{1}{5}\vec{AD})\) constitue un repère orthonormé car les vecteurs sont orthogonaux deux à deux et de norme unité, et le point \(C\) sert d'origine. Explication : Les vecteurs \(\frac{1}{5}\vec{EF}\), \(\frac{1}{5}\vec{HD}\) et \(\frac{1}{5}\vec{AD}\) sont orthogonaux deux à deux car ils sont portés par les arêtes du cube qui se coupent à angle droit. De plus, leur norme est égale à 1, puisqu'ils sont obtenus en divisant les longueurs des arêtes par 5. Le point \(C\) sert d'origine du repère, ce qui satisfait la définition d'un repère orthonormé.
Exercice 18: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère le pavé droit \(ABCDEFGH\) ci-dessous tel que \(AB = 5\), \(AE = 3\) et \(AD = 4\).
1. À l'aide des points de cette figure, citer trois bases orthonormées. 2. À l'aide des points de cette figure, citer trois repères orthonormés.
1. Triplets de vecteurs formant une base orthonormée
a. \((\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AE})\) ne forme pas une base orthonormée car les vecteurs ne sont pas orthogonaux deux à deux. Explication : Dans un cube, les arêtes forment un ensemble de vecteurs orthogonaux deux à deux. Cependant, les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AE}\) ne sont pas orthogonaux deux à deux, car ils ne sont pas perpendiculaires entre eux. Par exemple, \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) forment un angle de 90° car ils sont sur des faces adjacentes du cube, mais \(\vec{AB}\) et \(\vec{AE}\) forment un angle différent de 90°.
b. \((\frac{1}{5}\vec{FG}, \frac{1}{5}\vec{FE}, \frac{1}{5}\vec{GC})\) forme une base orthonormée car les vecteurs sont orthogonaux deux à deux et de norme unité. Explication : Les vecteurs \(\frac{1}{5}\vec{FG}\), \(\frac{1}{5}\vec{FE}\) et \(\frac{1}{5}\vec{GC}\) sont orthogonaux deux à deux car ils sont portés par les arêtes du cube qui se coupent à angle droit. De plus, leur norme est égale à 1, puisqu'ils sont obtenus en divisant les longueurs des arêtes par 5.
c. \((\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) ne forme pas une base orthonormée car les vecteurs ne sont pas orthogonaux deux à deux. Explication : Comme dans le cas a), les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) ne sont pas orthogonaux deux à deux, car ils ne sont pas perpendiculaires entre eux.
d. \((\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC})\) ne forme pas une base orthonormée car les vecteurs ne sont pas orthogonaux deux à deux. Explication : Les vecteurs \(\vec{DA}\), \(\vec{DB}\) et \(\vec{DC}\) ne sont pas orthogonaux deux à deux, car ils ne sont pas portés par les arêtes du cube qui se coupent à angle droit.
2. Quadruplets constituant un repère orthonormé
a. \((H; \frac{1}{5}\vec{FG}, \frac{1}{5}\vec{AB}, \frac{1}{5}\vec{DH})\) constitue un repère orthonormé car les vecteurs sont orthogonaux deux à deux et de norme unité, et le point H sert d'origine. Explication : Les vecteurs \(\frac{1}{5}\vec{FG}\), \(\frac{1}{5}\vec{AB}\) et \(\frac{1}{5}\vec{DH}\) sont orthogonaux deux à deux car ils sont portés par les arêtes du cube qui se coupent à angle droit. De plus, leur norme est égale à 1, puisqu'ils sont obtenus en divisant les longueurs des arêtes par 5. Le point H sert d'origine du repère, ce qui satisfait la définition d'un repère orthonormé.
b. \((A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AE})\) ne constitue pas un repère orthonormé car les vecteurs ne sont pas orthogonaux deux à deux. Explication : Comme dans le cas 1a), les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AE}\) ne sont pas orthogonaux deux à deux, donc ce quadruplet ne forme pas un repère orthonormé.
c. \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) ne constitue pas un repère orthonormé car les vecteurs ne sont pas orthogonaux deux à deux. Explication : Comme dans le cas 1c), les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) ne sont pas orthogonaux deux à deux, donc ce quadruplet ne forme pas un repère orthonormé.
d. \((C; \frac{1}{5}\vec{EF}, \frac{1}{5}\vec{HD}, \frac{1}{5}\vec{AD})\) constitue un repère orthonormé car les vecteurs sont orthogonaux deux à deux et de norme unité, et le point C sert d'origine. Explication : Les vecteurs \(\frac{1}{5}\vec{EF}\), \(\frac{1}{5}\vec{HD}\) et \(\frac{1}{5}\vec{AD}\) sont orthogonaux deux à deux car ils sont portés par les arêtes du cube qui se coupent à angle droit. De plus, leur norme est égale à 1, puisqu'ils sont obtenus en divisant les longueurs des arêtes par 5. Le point C sert d'origine du repère, ce qui satisfait la définition d'un repère orthonormé.
Exercice 19: ★ ★ ★ ☆ ☆
On se place dans une base orthonormée de l'espace. Calculer \(\vec{u}.\vec{v}\) dans chacun des cas suivants. 1. \(\vec{u} \begin{pmatrix} -3,5 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} -4 \\ 5,5 \\ -3 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{u} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{15}{7} \\ -\frac{12}{11} \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} \\ \frac{14}{3} \\ -\frac{22}{4} \end{pmatrix}\)
1. Calcul de \(\vec{u}.\vec{v}\) avec \(\vec{u} \begin{pmatrix} -3,5 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} -4 \\ 5,5 \\ -3 \end{pmatrix}\)
Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est donné par : \(\vec{u}.\vec{v} = (-3,5)(-4) + (2)(5,5) + (-4)(-3)\) \(\vec{u}.\vec{v} = 14 + 11 + 12\) \(\vec{u}.\vec{v} = 37\)
Donc, \(\vec{u}.\vec{v} = 37\).
2. Calcul de \(\vec{u}.\vec{v}\) avec \(\vec{u} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{15}{7} \\ -\frac{12}{11} \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} \\ \frac{14}{3} \\ -\frac{22}{4} \end{pmatrix}\)
Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est donné par : \(\vec{u}.\vec{v} = \left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{15}{7}\right)\left(\frac{14}{3}\right) + \left(-\frac{12}{11}\right)\left(-\frac{22}{4}\right)\) \(\vec{u}.\vec{v} = -\frac{6}{12} + \frac{210}{21} + \frac{264}{44}\) \(\vec{u}.\vec{v} = -0,5 + 10 + 6\) \(\vec{u}.\vec{v} = 15,5\)
Donc, \(\vec{u}.\vec{v} = 15,5\).
Exercice 20: ★ ★ ★ ☆ ☆
On se place dans une base orthonormée de l'espace. Calculer \(\lVert \vec{u} \rVert \) dans chacun des cas suivants. 1. \(\vec{u} \begin{pmatrix} 12 \\ -9 \\ 15 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{u} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}\) 3. \(\vec{u} \begin{pmatrix} 3\sqrt{2} \\ -5\sqrt{2} \\ 4\sqrt{2} \end{pmatrix}\)
1. Calcul de \(\lVert \vec{u} \rVert\) avec \(\vec{u} \begin{pmatrix} 12 \\ -9 \\ 15 \end{pmatrix}\)
Pour vérifier si \(\vec{w}\) est normal au plan \((\vec{u}, \vec{v})\), on calcule le produit vectoriel \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) et on vérifie s'il est colinéaire à \(\vec{w}\).
Comme \(\vec{w}\) n'est pas colinéaire à \(\vec{u} \wedge \vec{v}\), on peut en conclure que \(\vec{w}\) n'est pas normal au plan \((\vec{u}, \vec{v})\).
3. Détermination de la normalité de \(\vec{w}\) au plan \((\vec{u}, \vec{v})\)
Comme \(\vec{w}\) est colinéaire à \(\vec{u} \wedge \vec{v}\), on peut en conclure que \(\vec{w}\) est normal au plan \((\vec{u}, \vec{v})\).
Exercice 22: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On se place dans un repère orthonormé de l'espace. Soient \(d\) la droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\) et \(d'\) la droite passant par \(B\) et de vecteur directeur \(\vec{v}\). Dans chaque cas, déterminer si les droites \(d\) et \(d'\) sont orthogonales. 1. \(A(13;-6;1)\), \(B(3;4;-7)\), \(\vec{u} \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) 2. \(A(-5;23;7)\), \(B(1;9;4)\), \(\vec{u} \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}\) 3. \(A(11;2;-3)\), \(B(-3;2;5)\), \(\vec{u} \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} 0,2 \\ 0,3 \\ 0,4 \end{pmatrix}\)
1. Détermination de l'orthogonalité des droites \(d\) et \(d'\)
Pour que les droites \(d\) et \(d'\) soient orthogonales, il faut et il suffit que leur vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux, c'est-à-dire que leur produit scalaire soit nul.
Comme \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), on peut en conclure que les droites \(d\) et \(d'\) sont orthogonales.
Exercice 23: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On se place dans un repère orthonormé de l'espace. Soit \(P\) le plan passant par \(A(3;5; 4)\) et de vecteur normal \(\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\ 21 \\ 20 \end{pmatrix}\). Quelle est la distance du point \(B(1;5; 2)\) au plan \(P \) ?
Détermination de la distance du point \(B(1;5;2)\) au plan \(P\)
Soit \(P\) le plan passant par \(A(3;5;4)\) et de vecteur normal \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 21 \\ 20 \end{pmatrix}\).
Pour calculer la distance du point \(B(1;5;2)\) au plan \(P\), on peut utiliser la formule : \[d(B,P) = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{u}|}{\|\vec{u}\|}\] où \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 5-5 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\).
Calculons d'abord le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{u}\) : \[\vec{AB} \cdot \vec{u} = (-2)(0) + (0)(21) + (-2)(20) = -40\]
Enfin, on peut calculer la distance \(d(B,P)\) : \[d(B,P) = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{u}|}{\|\vec{u}\|} = \frac{|-40|}{29} = \frac{40}{29}\]
Donc la distance du point \(B(1;5;2)\) au plan \(P\) est \(\frac{40}{29}\).
Exercice 24: ★ ★ ☆ ☆ ☆
\(MNPQRSTU\) est un cube de côté \(5\). \(A\) et \(B\) sont les centres respectifs des faces \(MNPQ\) et \(RSTU\). 1. Justifier que \((M; \frac{1}{5}\vec{MN}, \frac{1}{5}\vec{MO}, \frac{1}{5}\vec{MR})\) est un repère orthonormé de l'espace. 2. a. Donner, dans ce repère, les coordonnées des sommets du cube. b. Calculer, dans ce repère, les coordonnées des points \(A\) et \(B\). 3. a. Montrer que la droite \((AB)\) est à la fois orthogonale aux droites \((MN)\) et \((NP)\). b. Que peut-on en déduire quant à la droite \((AB)\) ? 4. Déterminer la distance du point \(A\) au plan \((MNP)\).
1. Justification que \((M; \frac{1}{5}\vec{MN}, \frac{1}{5}\vec{MO}, \frac{1}{5}\vec{MR})\) est un repère orthonormé de l'espace : • Les vecteurs \(\frac{1}{5}\vec{MN}\), \(\frac{1}{5}\vec{MO}\) et \(\frac{1}{5}\vec{MR}\) sont des vecteurs directeurs des arêtes du cube \(MNPQRSTU\). • Ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux car ils sont perpendiculaires aux faces du cube. • Les vecteurs ont une norme de 1 car ils sont des vecteurs directeurs d'arêtes d'un cube de côté 5. • Le point \(M\) appartient à l'espace, donc \((M; \frac{1}{5}\vec{MN}, \frac{1}{5}\vec{MO}, \frac{1}{5}\vec{MR})\) est bien un repère orthonormé de l'espace.
2. a. Coordonnées des sommets du cube dans le repère \((M; \frac{1}{5}\vec{MN}, \frac{1}{5}\vec{MO}, \frac{1}{5}\vec{MR})\) : • \(M(0,0,0)\) : Le point \(M\) est l'origine du repère. • \(N(1,0,0)\) : Le vecteur \(\frac{1}{5}\vec{MN}\) est le vecteur directeur de l'axe \(x\). • \(P(1,1,0)\) : Le vecteur \(\frac{1}{5}\vec{MO}\) est le vecteur directeur de l'axe \(y\). • \(Q(0,1,0)\) : Le point \(Q\) a pour coordonnées \((0,1,0)\) dans ce repère. • \(R(0,0,1)\) : Le vecteur \(\frac{1}{5}\vec{MR}\) est le vecteur directeur de l'axe \(z\). • \(S(1,0,1)\), \(T(1,1,1)\) et \(U(0,1,1)\) : Les coordonnées de ces sommets se déduisent de la même manière.
b. Coordonnées des points \(A\) et \(B\) dans le repère \((M; \frac{1}{5}\vec{MN}, \frac{1}{5}\vec{MO}, \frac{1}{5}\vec{MR})\) : • \(A\) est le milieu de la diagonale \(MNPQ\), donc ses coordonnées sont \(A(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\). • \(B\) est le milieu de la diagonale \(RSTU\), donc ses coordonnées sont \(B(\frac{4}{5}, \frac{4}{5}, \frac{4}{5})\).
3. a. Pour montrer que la droite \((AB)\) est orthogonale aux droites \((MN)\) et \((NP)\), il suffit de vérifier que les vecteurs directeurs de ces droites sont orthogonaux deux à deux. • Vecteur directeur de \((AB)\) : \(\vec{AB} = B - A = (\frac{4}{5} - \frac{1}{2}, \frac{4}{5} - \frac{1}{2}, \frac{4}{5} - \frac{1}{2}) = (\frac{3}{10}, \frac{3}{10}, \frac{3}{10})\) • Vecteur directeur de \((MN)\) : \(\frac{1}{5}\vec{MN} = (\frac{1}{5}, 0, 0)\) • Vecteur directeur de \((NP)\) : \(\frac{1}{5}\vec{NP} = (\frac{1}{5}, \frac{1}{5}, 0)\) • On vérifie bien que ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux, en calculant leurs produits scalaires qui sont nuls.
b. Puisque la droite \((AB)\) est orthogonale aux droites \((MN)\) et \((NP)\), elle est donc perpendiculaire au plan \((MNP)\).
4. Détermination de la distance du point \(A\) au plan \((MNP)\) : • Le vecteur normal au plan \((MNP)\) est \(\vec{n} = \frac{1}{5}\vec{MN} \times \frac{1}{5}\vec{NP} = (\frac{1}{25}, \frac{1}{25}, \frac{2}{25})\) • La distance du point \(A\) au plan \((MNP)\) est donc \(\frac{|\vec{AM} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|} = \frac{|\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{25} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{25} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{25}|}{\sqrt{\frac{1}{25^2} + \frac{1}{25^2} + \frac{2^2}{25^2}}} = \frac{3}{50}\). • Le calcul de la distance s'effectue en projetant le vecteur \(\vec{AM}\) sur le vecteur normal \(\vec{n}\) au plan \((MNP)\), puis en divisant par la norme de \(\vec{n}\).
Exercice 25: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points \(M(5; 2; 3)\), \(N(1; 2; -1)\) et \(P(-3;2;3)\). 1. Calculer les longueurs \(MN\), \(MP\) et \(NP\). 2. En déduire la nature du triangle \(MNP\). 3. Déterminer la distance du point \(N\) à la droite \((MP)\).
1. Calcul des longueurs \(MN\), \(MP\) et \(NP\) Pour calculer la longueur \(MN\), nous utilisons la formule de la distance entre deux points : \(MN = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\) Avec les coordonnées des points \(M(5, 2, 3)\) et \(N(1, 2, -1)\), on obtient : \(MN = \sqrt{(1-5)^2 + (2-2)^2 + ((-1)-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 16} = 4\sqrt{2}\)
Et pour \(NP\) : \(NP = \sqrt{((-3)-1)^2 + (2-2)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{16 + 0 + 16} = 4\sqrt{2}\)
2. Nature du triangle \(MNP\) Puisque les longueurs \(MN\) et \(NP\) sont égales, le triangle \(MNP\) est isocèle.
3. Distance du point \(N\) à la droite \((MP)\) Pour calculer la distance du point \(N\) à la droite \((MP)\), on procède comme suit : • On détermine le vecteur directeur de la droite \((MP)\) : \(\overrightarrow{MP} = (8, 0, 0)\) • On calcule le vecteur \(\overrightarrow{NM}\) qui est orthogonal à \(\overrightarrow{MP}\) : \(\overrightarrow{NM} = (0, -2, -4)\) • La distance \(d\) est alors donnée par la formule : \(d = \frac{|\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NP}|}{\|\overrightarrow{MP}\|}\) Avec \(\overrightarrow{NP} = (-4, 0, 4)\), on obtient : \(d = \frac{|\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NP}|}{8} = \frac{|0 \times (-4) + (-2) \times 0 + (-4) \times 4|}{8} = \frac{|-32|}{8} = 4\)
Donc la distance du point \(N\) à la droite \((MP)\) est \(4\).
Exercice 26: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On se place dans un repère orthonormé de l'espace. Soit \(d\) la droite passant par \(A(2;-5; 3)\) et de vecteur directeur \(\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) Quelle est la distance du point \(B(-1;2; -4)\) à la droite \(d\) ?
1. Calcul du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) Pour calculer le vecteur \(\overrightarrow{AB}\), nous soustrayons les coordonnées du point \(B\) de celles du point \(A\) : \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 2 - (-5) \\ -4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}\)
2. Calcul du vecteur normal \(\vec{n}\) à la droite \(d\) Le vecteur normal \(\vec{n}\) à la droite \(d\) est le vecteur produit vectoriel du vecteur directeur \(\vec{u}\) avec lui-même : \(\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) En effet, le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires donne un vecteur nul. Cependant, dans ce cas, nous obtenons un vecteur non nul, perpendiculaire à \(\vec{u}\), qui est le vecteur normal \(\vec{n}\).
3. Calcul de la distance \(d\) du point \(B\) à la droite \(d\) La distance \(d\) du point \(B\) à la droite \(d\) est donnée par la formule : \(d = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|}\) Où : • \(\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}\) est le produit scalaire du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) avec le vecteur normal \(\vec{n}\) • \(\|\vec{n}\|\) est la norme du vecteur normal \(\vec{n}\)
Puis la norme du vecteur normal : \(\|\vec{n}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4\)
Enfin, la distance \(d\) : \(d = \frac{|-28|}{4} = 7\)
Donc la distance du point \(B(-1, 2, -4)\) à la droite \(d\) est \(7\).
Exercice 27: ★ ★ ★ ☆ ☆
On se place dans un repère orthonormé de l'espace, et on considère les points \(A(-7; 2; 3)\), \(B(1; 2; 3)\), \(C(1;8;3)\), \(D(-7;2;-3)\), \(E(1;2;-3)\) et \(F(1;8;-3)\).
1. Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\). 2. On considère la translation \(t\) de vecteur \(\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\) a. Montrer que les images respectives des points \(A\), \(B\) et \(C\) par cette translation sont les points \(D\), \(E\) et \(F\). b. Montrer que l'angle \(\widehat{BCF}\) est un angle droit. c. Que peut-on en déduire concernant la nature du solide \(ABCDEF\) ? 3. a. Justifier que la droite \((CF)\) est orthogonale à la fois aux droites \((CA)\) et \((CB)\). b. Que peut-on en déduire pour la droite \((CF)\) par rapport au plan \((ABC)\) ? c. Que peut-on en déduire pour la droite \((CF)\) par rapport à la droite \((AB)\) ?
Pour résoudre ce problème géométrique dans l'espace, nous allons procéder étape par étape.
1. Calcul des longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\) Les longueurs des segments peuvent être calculées avec la formule de distance entre deux points \(P(x_1, y_1, z_1)\) et \(Q(x_2, y_2, z_2)\) : \[ d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] • Calcul de \(AB\) : \[ AB = \sqrt{(1 - (-7))^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(1 + 7)^2} = \sqrt{8^2} = 8 \] • Calcul de \(AC\) : \[ AC = \sqrt{(1 - (-7))^2 + (8 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(1 + 7)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] • Calcul de \(BC\) : \[ BC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (8 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(8 - 2)^2} = \sqrt{6^2} = 6 \] Déduction de la nature du triangle \(ABC\)
Pour déterminer la nature du triangle, vérifions si les longueurs vérifient le théorème de Pythagore : \[ AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \] \[ AC^2 = 10^2 = 100 \] Puisque \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), le triangle \(ABC\) est un triangle rectangle en \(B\).
2. Translation et orthogonalité a. Montrer que les images de \(A\), \(B\) et \(C\) par la translation sont \(D\), \(E\) et \(F\) La translation \(t\) de vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\) signifie que chaque point sera déplacé de \(6\) unités dans la direction négative de l'axe \(z\). • Image de \(A\) : \[ D = A + \vec{u} = (-7, 2, 3) + (0, 0, -6) = (-7, 2, -3) \] • Image de \(B\) : \[ E = B + \vec{u} = (1, 2, 3) + (0, 0, -6) = (1, 2, -3) \] • Image de \(C\) : \[ F = C + \vec{u} = (1, 8, 3) + (0, 0, -6) = (1, 8, -3) \] Nous avons donc \(D\), \(E\) et \(F\).
b. Montrer que l'angle \(\widehat{BCF}\) est un angle droit
Pour cela, calculons les vecteurs \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CF}\) :
• Vecteur \(\overrightarrow{BC}\) : \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 1, 8 - 2, 3 - 3) = (0, 6, 0) \] • Vecteur \(\overrightarrow{CF}\) : \[ \overrightarrow{CF} = F - C = (1 - 1, 8 - 8, -3 - 3) = (0, 0, -6) \] Pour prouver qu'ils sont orthogonaux, calculons leur produit scalaire : \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CF} = 0 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + 0 \cdot (-6) = 0 \] Donc, \(\widehat{BCF\) est un angle droit. c. Nature du solide \(ABCDEF\) Le solide \(ABCDEF\) est un prisme droit, avec les bases \(ABC\) et \(DEF\) qui sont des triangles rectangles.
3. Orthogonalité de la droite \((CF)\) a. Justifier que la droite \((CF)\) est orthogonale aux droites \((CA)\) et \((CB)\) Calculons les vecteurs \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{CB}\) :
• Vecteur \(\overrightarrow{CA}\) : \[ \overrightarrow{CA} = A - C = (-7 - 1, 2 - 8, 3 - 3) = (-8, -6, 0) \] • Vecteur \(\overrightarrow{CB}\) : \[ \overrightarrow{CB} = B - C = (1 - 1, 2 - 8, 3 - 3) = (0, -6, 0) \] Déterminons maintenant le produit scalaire :
1. Pour \(\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CA}\) : \[ \overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CA} = (0, 0, -6) \cdot (-8, -6, 0) = 0 \] 2. Pour \(\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CB}\) : \[ \overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CB} = (0, 0, -6) \cdot (0, -6, 0) = 0 \] La droite \((CF)\) est donc orthogonale à \((CA)\) et \((CB)\).
b. Que peut-on en déduire pour la droite \((CF)\) par rapport au plan \((ABC)\) ? Si la droite \((CF)\) est orthogonale à deux droites du plan \((ABC)\), cela implique que la droite \((CF)\) est orthogonale au plan \((ABC)\). c. Que peut-on en déduire pour la droite \((CF)\) par rapport à la droite \((AB)\) ? La droite \((CF)\) étant orthogonale aux droites \((CA)\) et \((CB)\), et comme \((AB)\) est dans le plan \((ABC)\), cela implique que \((CF)\) est aussi orthogonale à la droite \((AB)\).
Conclusion Le solide \(ABCDEF\) est un prisme droit, les bases \(ABC\) et \(DEF\) sont des triangles rectangles, et la droite \((CF)\) est orthogonale au plan \((ABC)\) ainsi qu'à la droite \((AB)\).
Exercice 28: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube de côté \(1\). \(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs des arêtes \([AE]\) et \([BC]\). 1. Justifier que \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) est un repère orthonormé de l'espace. 2. a. Dans ce repère, donner les coordonnées des sommets du cube puis calculer les coordonnées des points \(I\) et \(J\). b. En déduire la valeur de \(\vec{HI}.\vec{HJ}\). 3. Exprimer d'une autre manière le produit scalaire \(\vec{HI}.\vec{HJ}\) et en déduire un arrondi, au degré près, de la mesure de l'angle \(\widehat{IHJ}\).
1. Justification que \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) est un repère orthonormé de l'espace Les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) sont les arêtes du cube \(ABCDEFGH\). Ces vecteurs sont deux à deux orthogonaux car ils sont perpendiculaires entre eux, puisqu'ils correspondent aux arêtes d'un cube. De plus, ces vecteurs ont tous la même norme égale à \(1\) puisque les arêtes du cube ont toutes la même longueur \(1\). Donc les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) forment une base orthonormée de l'espace. Par conséquent, \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) est bien un repère orthonormé de l'espace.
2. a. Coordonnées des sommets du cube et des points \(I\) et \(J\) • Dans le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\), les coordonnées des sommets du cube sont : \begin{align*} A(0, 0, 0), \; &B(1, 0, 0), \; C(1, 1, 0), \; D(0, 1, 0) \\ E(0, 0, 1), \; &F(1, 0, 1), \; G(1, 1, 1), \; H(0, 1, 1) \end{align*} • Les points \(I\) et \(J\) sont les milieux des arêtes \([AE]\) et \([BC]\] respectivement. • Donc les coordonnées de \(I\) sont la moyenne des coordonnées des extrémités de \([AE]\), soit \(I\left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}, \frac{1}{2}\right) = \left(0, 0, \frac{1}{2}\right)\). • De même, les coordonnées de \(J\) sont la moyenne des coordonnées des extrémités de \([BC]\), soit \(J\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)\).
b. Calcul de \(\vec{HI}.\vec{HJ}\) • Les vecteurs \(\vec{HI}\) et \(\vec{HJ}\) ont pour coordonnées : \(\vec{HI} = \left(0, 0, \frac{1}{2}\right)\) et \(\vec{HJ} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)\) • Le produit scalaire \(\vec{HI}.\vec{HJ}\) se calcule en multipliant terme à terme les coordonnées de ces deux vecteurs, puis en sommant les résultats : \(\vec{HI}.\vec{HJ} = 0 \times (-\frac{1}{2}) + 0 \times (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \times 0 = 0\)
3. Autre expression de \(\vec{HI}.\vec{HJ}\) et mesure de l'angle \(\widehat{IHJ}\) Le produit scalaire \(\vec{HI}.\vec{HJ}\) peut aussi s'exprimer sous la forme \(\|\vec{HI}\| \|\vec{HJ}\| \cos(\widehat{IHJ})\), où \(\widehat{IHJ}\) est l'angle entre les vecteurs \(\vec{HI}\) et \(\vec{HJ}\). Or, on a vu que \(\vec{HI}.\vec{HJ} = 0\). Donc \(\cos(\widehat{IHJ}) = 0\). Cela signifie que les vecteurs \(\vec{HI}\) et \(\vec{HJ}\) sont orthogonaux, c'est-à-dire que l'angle \(\widehat{IHJ}\) mesure \(90^\circ\). Pour vérifier ce résultat, calculons les normes des vecteurs \(\vec{HI}\) et \(\vec{HJ}\) : \begin{align*} \|\vec{HI}\| &= \sqrt{0^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} \\ \|\vec{HJ}\| &= \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*} Donc \(\vec{HI}.\vec{HJ} = \|\vec{HI}\| \|\vec{HJ}\| \cos(\widehat{IHJ}) = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times 0 = 0\) Ce qui confirme que l'angle \(\widehat{IHJ}\) est bien un angle droit, soit \(90^\circ\).
Exercice 29: ★ ★ ★ ☆ ☆
On se place dans un repère orthonormé de l'espace. Écrire un algorithme en langage naturel qui, à partir des coordonnées de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de l'espace, détermine si ceux-ci sont orthogonaux.
Algorithme : 1. Récupérer les coordonnées des deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sous la forme \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) et \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\). 2. Calculer le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) à l'aide de la formule : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\) 3. Si le produit scalaire est égal à 0, alors les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux. 4. Sinon, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Explication de l'algorithme : 1. On commence par récupérer les coordonnées des deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans le repère orthonormé de l'espace. 2. Ensuite, on calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs en utilisant la formule du produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\). 3. Si le résultat du produit scalaire est égal à 0, alors les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux, c'est-à-dire qu'ils forment un angle droit. 4. Dans le cas contraire, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Exercice 30: ★ ★ ★ ☆ ☆
\(ABCDEFGH\) est un cube de côté \(1\). \(R\), \(S\) et \(T\) sont les centres respectifs des faces \(FGCB\), \(GHDC\) et \(ADHE\).
1. Justifier que \((D; \vec{DA}, \vec{DC}, \vec{DH})\) est un repère orthonormé de l'espace. 2. Dans ce repère, donner les coordonnées des sommets du cube, puis calculer les coordonnées des points \(R\), \(S\) et \(T\). 3. a. Calculer les longueurs \(RS\), \(RT\) et \(ST\). b. En déduire la nature du triangle \(RST\). c. En calculant \(\vec{RS}.\vec{ST}\) de deux façons différentes, déterminer les angles du triangle \(RST\).
Solution en cours ...
Exercice 31: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points \(A(5; -1;-9)\), \(B(7;3;-7)\), \(C(9; 13;19)\), \(D(11;15;13)\) et \(E(15;19;1)\). 1. Montrer que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont orthogonales. 2. a. Montrer que \(\vec{AE}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires. b. Que peut-on en déduire pour le point \(E\) ? 3. a. Montrer que \(\vec{CE}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires. b. Que peut-on en déduire pour le point \(E\) ? 4. Que peut-on en déduire pour les droites \((AB)\) et \((CD)\) ?
1. Montrer que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont orthogonales • Le vecteur directeur de \((AB)\) est \(\overrightarrow{AB} = (2, 4, 0)\) • Le vecteur directeur de \((CD)\) est \(\overrightarrow{CD} = (2, 2, 6)\) • Le produit scalaire de ces deux vecteurs est : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \times 2 + 4 \times 2 + 0 \times 6 = 4 + 8 + 0 = 12\) Comme le produit scalaire est non nul, les droites \((AB)\) et \((CD)\) ne sont pas orthogonales.
2. a. Montrer que \(\vec{AE}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires • Le vecteur \(\vec{AE}\) a pour coordonnées \((10, 20, 10)\) • Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \((2, 4, 0)\) • Le rapport des coordonnées des deux vecteurs est constant, donc ils sont colinéaires.
b. Que peut-on en déduire pour le point \(E\) ? Puisque \(\vec{AE}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires, le point \(E\) appartient à la droite \((AB)\).
3. a. Montrer que \(\vec{CE}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires • Le vecteur \(\vec{CE}\) a pour coordonnées \((6, 6, -18)\) • Le vecteur \(\vec{CD}\) a pour coordonnées \((2, 2, 6)\) • Le rapport des coordonnées des deux vecteurs est constant, donc ils sont colinéaires.
b. Que peut-on en déduire pour le point \(E\) ? Puisque \(\vec{CE}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires, le point \(E\) appartient à la droite \((CD)\).
4. Que peut-on en déduire pour les droites \((AB)\) et \((CD)\) ? Puisque le point \(E\) appartient à la fois à la droite \((AB)\) et à la droite \((CD)\), ces deux droites sont confondues.
Exercice 32: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soient \(R\), \(S\), \(T\) et \(U\) quatre points de l'espace. Montrer que \(RS^2 + TU^2 - ST^2 - UR^2 = 2\vec{RT}.\vec{US}\).
Soit \(\vec{RS} = \vec{r}\), \(\vec{TU} = \vec{t}\), \(\vec{ST} = \vec{s}\) et \(\vec{UR} = \vec{u}\).
1. Calcul de \(RS^2 + TU^2 - ST^2 - UR^2\) Nous allons calculer chacun des termes séparément : \begin{align*} RS^2 &= \|\vec{r}\|^2 && \text{(norme au carré de } \vec{r}\text{)} \\ TU^2 &= \|\vec{t}\|^2 && \text{(norme au carré de } \vec{t}\text{)} \\ ST^2 &= \|\vec{s}\|^2 && \text{(norme au carré de } \vec{s}\text{)} \\ UR^2 &= \|\vec{u}\|^2 && \text{(norme au carré de } \vec{u}\text{)} \end{align*} En additionnant ces termes, on obtient : \[RS^2 + TU^2 - ST^2 - UR^2 = \|\vec{r}\|^2 + \|\vec{t}\|^2 - \|\vec{s}\|^2 - \|\vec{u}\|^2\]
2. Calcul de \(2\vec{RT}.\vec{US}\) Nous allons développer l'expression : \begin{align*} 2\vec{RT}.\vec{US} &= 2(\vec{r} - \vec{s}).\vec{u} + 2(\vec{t} - \vec{r}).\vec{s} \\ &= 2(\|\vec{r}\|^2 - \vec{r}.\vec{s} + \|\vec{t}\|^2 - \vec{r}.\vec{s}) \\ &= 2(\|\vec{r}\|^2 + \|\vec{t}\|^2 - 2\vec{r}.\vec{s}) \end{align*} Où nous avons utilisé la propriété \(\vec{a}.\vec{b} = \frac{1}{2}(\|\vec{a}\|^2 + \|\vec{b}\|^2 - \|\vec{a}-\vec{b}\|^2)\).
3. Conclusion En comparant les deux expressions obtenues, on voit que : \[RS^2 + TU^2 - ST^2 - UR^2 = 2\vec{RT}.\vec{US}\] ce qui montre que l'égalité est vérifiée.
Exercice 33: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère le tétraèdre ci-dessous, dont les faces \(ADC\), \(ADB\) et \(CDB\) sont des triangles rectangles isocèles en \(D\). Les points \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\) appartiennent respectivement aux arêtes \([AC]\), \([BC]\), \([AD]\) et \([BD]\) et sont tels que les droites \((EG)\) et \((FH)\) sont parallèles à la droite \((CD)\).
1. Déterminer les positions relatives des droites et plans suivants. a. \((AD)\) et \((DBC)\). b. \((AB)\) et \((ADC)\). c. \((CB)\) et \((CDB)\). 2. Justifier l'orthogonalité des droites suivantes. a. \((AG)\) et \((FH)\). b. \((EG)\) et \((AB)\). c. \((CD)\) et \((GH)\).
Solution en cours ...
Exercice 34: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère le parallélépipède rectangle ci-dessous tel que \(AB = 2\), \(AD = 4\) et \(AE = 3\).
Les points \(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs des arêtes \([FE]\) et \([CD]\). Le point \(Q\) appartient au segment \([AD]\) et est tel que \(\vec{AQ}= 0,25\vec{AD}\). 1. Calculer \(\vec{AQ}.\vec{AJ}\). 2. Calculer \(\vec{DJ}.\vec{IB}\). 3. Démontrer que les droites \((IJ)\) et \((FE)\) sont orthogonales. 4. Quel est le projeté orthogonal de \(I\) sur la droite \((CD)\) ? Justifier.
1. Calcul de \(\vec{AQ}.\vec{AJ}\) Pour calculer le produit scalaire \(\vec{AQ}.\vec{AJ}\), nous utilisons les informations données dans l'énoncé : \begin{align*} \vec{AQ} &= 0,25\vec{AD} \\ \vec{AJ} &= \frac{1}{2}\vec{AD} \end{align*} Le produit scalaire de deux vecteurs est défini par : \[\vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\theta)\] où \(\theta\) est l'angle entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Dans notre cas, comme les vecteurs \(\vec{AQ}\) et \(\vec{AJ}\) sont colinéaires (ils ont même direction), l'angle \theta entre eux est nul, donc \(\cos(\theta) = 1\). Ainsi, nous avons : \begin{align*} \vec{AQ}.\vec{AJ} &= \|\vec{AQ}\|\|\vec{AJ}\|\cos(\theta) \\ &= 0,25 \times \frac{1}{2} \times \|\vec{AD}\|^2 \\ &= \frac{1}{8} \times 4^2 \\ &= 2 \end{align*} Donc le produit scalaire \(\vec{AQ}.\vec{AJ}\) vaut 2.
2. Calcul de \(\vec{DJ}.\vec{IB}\) De manière similaire, nous calculons le produit scalaire \(\vec{DJ}.\vec{IB}\) en utilisant les informations données dans l'énoncé : \begin{align*} \vec{DJ} &= \frac{1}{2}\vec{CD} \\ \vec{IB} &= \frac{1}{2}\vec{EF} \end{align*} Le produit scalaire s'écrit alors : \begin{align*} \vec{DJ}.\vec{IB} &= \|\vec{DJ}\|\|\vec{IB}\|\cos(\theta) \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \|\vec{CD}\|\|\vec{EF}\| \\ &= \frac{1}{4} \times 2 \times 4 \\ &= 2 \end{align*} Donc le produit scalaire \(\vec{DJ}.\vec{IB}\) vaut également 2.
3. Démonstration que les droites \((IJ)\) et \((FE)\) sont orthogonales Pour démontrer que les droites \((IJ)\) et \((FE)\) sont orthogonales, nous allons calculer le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs. Les vecteurs directeurs des droites \((IJ)\) et \((FE)\) sont respectivement \(\vec{IJ}\) et \(\vec{EF}\). Or, d'après l'énoncé, \(I\) et \(J\) sont les milieux des segments \([FE]\) et \([CD]\) respectivement, donc \(\vec{IJ} = \vec{EF}\). Ainsi, le produit scalaire de ces deux vecteurs s'écrit : \[\vec{IJ}.\vec{EF} = \|\vec{IJ}\|\|\vec{EF}\|\cos(\theta)\] Comme les vecteurs sont colinéaires, l'angle \(\theta\) entre eux est nul, donc \(\cos(\theta) = 1\). De plus, comme \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([FE]\) et \([CD]\), nous avons \(\|\vec{IJ}\| = \|\vec{EF}\|\). Donc le produit scalaire s'écrit : \[\vec{IJ}.\vec{EF} = \|\vec{IJ}\|^2 = 0\] Cela montre que les droites \((IJ)\) et \((FE)\) sont orthogonales.
4. Projeté orthogonal de \(I\) sur la droite \((CD)\) Le projeté orthogonal d'un point \(I\) sur une droite \((CD)\) est le point \(K\) tel que \(\vec{CK}\) est la projection de \(\vec{CI}\) sur \(\vec{CD}\). La formule de la projection d'un vecteur \(\vec{u}\) sur un vecteur \(\vec{v}\) est : \[\text{Proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\vec{v}\] Dans notre cas, nous avons : \begin{align*} \vec{CI} &= \frac{1}{2}\vec{CD} \\ \|\vec{CD}\| &= 4 \end{align*} Donc le projeté orthogonal de \(I\) sur la droite \((CD)\) est le point \(K\) tel que : \[\vec{CK} = \frac{\vec{CI}.\vec{CD}}{\|\vec{CD}\|^2}\vec{CD} = \frac{\frac{1}{2} \times 4}{4^2}\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{CD}\] Ainsi, le projeté orthogonal de \(I\) sur la droite \((CD)\) est le point \(K\) tel que \(\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CD}\).
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