Donner un encadrement, le plus précis possible, par deux nombres entiers de l'aire de la surface colorée ci-dessous, en unité d'aire du graphique.
Pour encadrer l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses (de 0 à 5) et la courbe de la fonction, nous allons utiliser la méthode des rectangles.
Découpage de l'intervalle [0, 5] en 5 sous-intervalles égaux : • Largeur de chaque sous-intervalle : \(\frac{5}{5} = 1\) • Hauteurs aux abscisses des points donnés : 0, 2, 3.223, 3.678, 3.843, 3.884
Borne inférieure : L'aire des rectangles inscrits est donnée par la somme des aires des rectangles de base 1 et de hauteur les valeurs de la fonction aux abscisses des points donnés. Aire des rectangles inscrits \(= 1 \times (0 + 2 + 3.223 + 3.678 + 3.843) = 12.744\)
Borne supérieure : L'aire des rectangles circonscrits est donnée par la somme des aires des rectangles de base 1 et de hauteur les valeurs de la fonction aux abscisses des points donnés. Aire des rectangles circonscrits \(= 1 \times (2 + 3.223 + 3.678 + 3.843 + 3.884) = 16.628\)
Donc, l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses (de 0 à 5) et la courbe de la fonction est encadrée par les nombres entiers 13 et 17.
Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Donner une estimation de l'aire de la surface colorée ci-dessous, en unité d'aire du graphique.
Solution en cours ...
Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆
La courbe d'une fonction \(f\), définie sur l'intervalle \([1;4]\), est représentée ci-dessous par un segment dans un repère orthonormé.
Calculer \(\int_{1}^4 f(t)dt\)
Pour calculer \(\int_{1}^4 f(t)dt\) nous allons utiliser l'expression de la fonction affine \(f\), nous procédons comme suit :
Étant donné que la courbe est un segment reliant les points \((1, 3)\) et \((4, 6)\), nous pouvons écrire l'équation de la fonction \(f(t)\) sous forme affine : \(f(t) = at + b\)
Nous pouvons déterminer les coefficients a et b à partir des coordonnées des points : • Pour le point (1, 3), on a : \(3 = a(1) + b\), donc \(b = 3 - a\) • Pour le point (4, 6), on a : \(6 = a(4) + b\), donc \(6 = 4a + 3 - a\), soit \(a = 1\) et \(b = 2\)
Donc l'équation de la fonction \(f(t)\) est : \(f(t) = t + 2\)
Maintenant, nous pouvons calculer l'intégrale \(\int_{1}^4 f(t)dt\) en utilisant la formule de l'intégrale d'une fonction affine : \(\int_{1}^4 f(t)dt = \int_{1}^4 (t + 2)dt = \left[\frac{t^2}{2} + 2t\right]_{1}^4 = \frac{4^2}{2} + 2(4) - \left(\frac{1^2}{2} + 2(1)\right) = 8 + 8 - (0.5 + 2) = 13.5\)
L'aire sous la courbe est donc de \(13,5\) unités carrées.
Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère la fonction \( g \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( g(x) = 5x \). Déterminer, par une méthode graphique :
a. \(\int_{0}^1 g(x)dx\)
b. \(\int_{1}^3 g(x)dx\)
a. Calcul de \(\int_{0}^1 g(x)dx\) La fonction \(g\) étant linéaire, on peut déterminer l'intégrale \(\int_{0}^1 g(x)dx\) graphiquement : • Tracer la droite d'équation \(y = 5x\) • L'aire sous la courbe entre \(x = 0\) et \(x = 1\) correspond à \(\int_{0}^1 g(x)dx\) • Cette aire est un triangle de base 1 et de hauteur 5 • Donc \(\int_{0}^1 g(x)dx = \frac{1 \times 5}{2} = 2.5\)
b. Calcul de \(\int_{1}^3 g(x)dx\) La fonction \(g\) étant linéaire, on peut déterminer l'intégrale \(\int_{1}^3 g(x)dx\) graphiquement : • Tracer la droite d'équation \(y = 5x\) • L'aire sous la courbe entre \(x = 1\) et \(x = 3\) correspond à \(\int_{1}^3 g(x)dx\) • Cette aire est un trapèze de base 2 et de hauteurs 5 et 15 • Donc \(\int_{1}^3 g(x)dx = \frac{(5 + 15) \times 2}{2} = 20\)
Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On a représenté ci-dessous la fonction \( g \), définie par \( g(x) = 0.5x^2 + \frac{1}{{x + 3}} \) sur l'intervalle \([0,2]\), dans un repère orthonormé.
À l'aide du graphique, donner un encadrement de \( \int_{0}^2 g(x) \, dx \) sans calculer l'intégrale et en utilisant des rectangles.
Pour encadrer l'intégrale \( \int_{0}^2 g(x) \, dx \) en utilisant des rectangles, nous allons utiliser la méthode des rectangles à gauche et à droite. Cette méthode consiste à approximer l'aire sous la courbe en utilisant des rectangles dont la hauteur est déterminée par la valeur de la fonction aux extrémités de chaque sous-intervalle.
Étape 1 : Diviser l'intervalle \([0, 2]\) en sous-intervalles Supposons que nous divisons l'intervalle \([0, 2]\) en \(n\) sous-intervalles de largeur \(\Delta x = \frac{2 - 0}{n}\). Pour simplifier, prenons \(n = 2\) (c'est-à-dire deux rectangles). • Sous-intervalle 1 : \([0, 1]\) • Sous-intervalle 2 : \([1, 2]\)
Étape 2 : Calculer les valeurs de \(g(x)\) aux extrémités Calculons les valeurs de \(g(x)\) aux extrémités de chaque sous-intervalle :
Étape 3 : Calculer l'approximation par les rectangles à gauche Pour les rectangles à gauche, nous utilisons la valeur de \(g(x)\) à gauche de chaque sous-intervalle : • Aire du premier rectangle : \(g(0) \times \Delta x = 0.333 \times 1 = 0.333\) • Aire du deuxième rectangle : \(g(1) \times \Delta x = 0.75 \times 1 = 0.75\)
L'approximation par les rectangles à gauche est donc : \[ \text{Aire}_{\text{gauche}} = 0.333 + 0.75 = 1.083 \] Étape 4 : Calculer l'approximation par les rectangles à droite Pour les rectangles à droite, nous utilisons la valeur de \(g(x)\) à droite de chaque sous-intervalle : • Aire du premier rectangle : \(g(1) \times \Delta x = 0.75 \times 1 = 0.75\) • Aire du deuxième rectangle : \(g(2) \times \Delta x = 2.2 \times 1 = 2.2\) L'approximation par les rectangles à droite est donc : \[ \text{Aire}_{\text{droite}} = 0.75 + 2.2 = 2.95 \] Étape 5 : Encadrement de l'intégrale L'intégrale \( \int_{0}^2 g(x) \, dx \) est donc encadrée par les deux approximations : \[ 1.083 \leq \int_{0}^2 g(x) \, dx \leq 2.95 \] Conclusion En utilisant la méthode des rectangles à gauche et à droite, nous avons obtenu l'encadrement suivant pour l'intégrale \( \int_{0}^2 g(x) \, dx \) : \[ 1.083 \leq \int_{0}^2 g(x) \, dx \leq 2.95 \]
Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère la fonction \( f \), définie sur \([0; +∞[\) par \( f(x) = |x| \), et sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Calculer, en unité d'aire du repère, l'aire de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, les droites d'équations \(x = -3\) et \(x = 1\), et la courbe représentative de \(f\).
Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder en plusieurs étapes :
1. Représentation graphique de la fonction \(f\) : La fonction \(f\) est définie par \(f(x) = |x|\) sur l'intervalle \([0; +∞[ \). Sa courbe représentative est donc composée de deux demi-droites, l'une passant par le point \((0, 0)\) et de pente \(1\), l'autre passant par le point \((0, 0)\) et de pente \(-1\).
2. Calcul de l'aire de la région demandée : L'aire de la région comprise entre l'axe des abscisses, les droites d'équations \(x = -3\) et \(x = 1\), et la courbe représentative de \(f\) correspond à la somme de deux aires de triangles.
Donc, l'aire totale de la région demandée est : \(A = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5\) unités d'aire du repère.
Exercice 7: ★ ★ ★ ☆ ☆
La courbe d'une fonction \(h\), définie sur l'intervalle \([-3;7]\), est représentée par le demi-cercle ci-dessous dans un repère orthonormé.
Déterminer :
a. \(\int_{-3}^7 h(a)da\)
b. \(\int_{2}^7 h(v)dv\)
Question 1 : Calcul de \(\int_{-3}^7 h(x)dx\) Méthode 1 : Méthode géométrique La fonction \(h\) est définie par un demi-cercle de rayon \(5\) et de centre \(I(2; 0)\). L'intégrale \(\int_{-3}^7 h(x)dx\) représente l'aire sous la courbe de \(h\) entre \(x = -3\) et \(x = 7\).
a. Aire du demi-cercle : Le rayon \(r = 5\), donc l'aire du demi-cercle est : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (5)^2 = \frac{25\pi}{2}. \] b. Interprétation de l'intégrale : Comme la courbe de \(h\) est un demi-cercle au-dessus de l'axe des abscisses, l'intégrale \(\int_{-3}^7 h(x)dx\) est égale à l'aire du demi-cercle.
Réponse : \[ \int_{-3}^7 h(x)dx = \frac{25\pi}{2}. \] Méthode 2 : Méthode analytique avec trigonométrie a. Expression de \(h(x)\) : • Le demi-cercle a pour équation : \[ (x - 2)^2 + y^2 = 25. \] • Comme \(h(x)\) représente la partie supérieure du cercle, on a : \[ h(x) = \sqrt{25 - (x - 2)^2}. \] b. Calcul de l'intégrale : \[ \int_{-3}^7 h(x)dx = \int_{-3}^7 \sqrt{25 - (x - 2)^2} \, dx. \] c. Changement de variable : • Posons \(u = x - 2\). Alors \(du = dx\), et les bornes deviennent : • Pour \(x = -3\), \(u = -5\). • Pour \(x = 7\), \(u = 5\). • L'intégrale devient : \[ \int_{-5}^5 \sqrt{25 - u^2} \, du. \] d. Changement de variable trigonométrique : • Posons \(u = 5 \sin \theta\). Alors \(du = 5 \cos \theta \, d\theta\), et : \[ \sqrt{25 - u^2} = \sqrt{25 - 25 \sin^2 \theta} = 5 \cos \theta. \] • Les bornes deviennent : • Pour \(u = -5\), \(\theta = -\frac{\pi}{2}\). • Pour \(u = 5\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\).
e. Transformation de l'intégrale : \[ \int_{-5}^5 \sqrt{25 - u^2} \, du = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 5 \cos \theta \cdot 5 \cos \theta \, d\theta = 25 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta. \] f. Calcul de \(\int \cos^2 \theta \, d\theta\) : • On utilise l'identité trigonométrique : \[ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}. \] • Ainsi : \[ \int \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \left( \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + C. \] g. Évaluation de l'intégrale : \[ 25 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = 25 \left[ \frac{1}{2} \left( \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}. \] • En \(\theta = \frac{\pi}{2}\) : \[ \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2} \right) = \frac{\pi}{4}. \] • En \(\theta = -\frac{\pi}{2}\) : \[ \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\sin (-\pi)}{2} \right) = -\frac{\pi}{4}. \] • Donc : \[ 25 \left( \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) = 25 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{25\pi}{2}. \] Réponse : \[ \int_{-3}^7 h(x)dx = \frac{25\pi}{2}. \] Question 2 : Calcul de \(\int_{2}^7 h(x)dx\) Méthode 1 : Méthode géométrique L'intégrale \(\int_{2}^7 h(x)dx\) représente l'aire sous la courbe de \(h\) entre \(x = 2\) et \(x = 7\). Géométriquement, cela correspond à la moitié droite du demi-cercle.
a. Aire du demi-cercle : L'aire totale du demi-cercle est \(\frac{25\pi}{2}\).
b. Aire entre \(x = 2\) et \(x = 7\) : Le demi-cercle est symétrique par rapport à la droite verticale passant par son centre \(I(2; 0)\). Ainsi, l'aire entre \(x = 2\) et \(x = 7\) est la moitié de l'aire totale du demi-cercle : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \frac{25\pi}{2} = \frac{25\pi}{4}. \] Réponse : \[ \int_{2}^7 h(x)dx = \frac{25\pi}{4}. \] Méthode 2 : Méthode analytique avec trigonométrie a. Expression de \(h(x)\) : Comme précédemment, \(h(x) = \sqrt{25 - (x - 2)^2}\).
b. Calcul de l'intégrale : \[ \int_{2}^7 h(x)dx = \int_{2}^7 \sqrt{25 - (x - 2)^2} \, dx. \] c. Changement de variable : • Posons \(u = x - 2\). Alors \(du = dx\), et les bornes deviennent : • Pour \(x = 2\), \(u = 0\). • Pour \(x = 7\), \(u = 5\). • L'intégrale devient : \[ \int_{0}^5 \sqrt{25 - u^2} \, du. \] d. Changement de variable trigonométrique : • Posons \(u = 5 \sin \theta\). Alors \(du = 5 \cos \theta \, d\theta\), et : \[ \sqrt{25 - u^2} = \sqrt{25 - 25 \sin^2 \theta} = 5 \cos \theta. \] • Les bornes deviennent : • Pour \(u = 0\), \(\theta = 0\). • Pour \(u = 5\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\).
On considère la fonction \(r\) définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(r(x) = \frac{1}{2}x + 4\). Déterminer, en unité d'aire du repère, l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction \(r\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = -2\) et \(x = 2\).
Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder en plusieurs étapes :
1. Représentation graphique de la fonction \(r\) : La fonction \(r\) est définie par \(r(x) = \frac{1}{2}x + 4\) sur \(\mathbb{R}\). Sa courbe représentative est donc une droite de pente \(\frac{1}{2}\) et passant par le point \((0, 4)\).
2. Calcul de l'aire de la région demandée : L'aire de la région comprise entre la courbe représentative de la fonction \(r\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = -2\) et \(x = 2\) correspond à l'aire d'un trapèze.
On note \(I\) l'intégrale \(\int_{0}^1 \frac{3x+4}{x+1}dx\) 1. Démontrer que, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \([0;1]\), \(\frac{3x+4}{x+1} = 1 + \frac{3}{x+1}\). 2. En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième de \(I\).
1. Démonstration de l'égalité \(\frac{3x+4}{x+1} = 1 + \frac{3}{x+1}\) pour tout \(x\) dans \([0;1]\) : • Développer le numérateur : \(3x + 4 = 3x + 3 + 1 = 3(x + 1) + 1\) • Donc \(\frac{3x+4}{x+1} = \frac{3(x+1)+1}{x+1} = 3 + \frac{1}{x+1} = 1 + \frac{3}{x+1}\)
2. Calcul de la valeur exacte puis approchée de \(I = \int_{0}^1 \frac{3x+4}{x+1}dx\) : • D'après l'égalité démontrée, \(I = \int_{0}^1 (1 + \frac{3}{x+1})dx\) • Intégrer chaque terme séparément : • \(\int_{0}^1 1 dx = 1\) • \(\int_{0}^1 \frac{3}{x+1}dx = 3\ln(2)\) • Donc \(I = 1 + 3\ln(2) = 3\ln(2) + 1\)
1. Soit \(x\) un réel supérieur ou égal à \(1\). Calculer en fonction de \(x\) l'intégrale \(\int_{1}^x (2-t)dt\). 2. Démontrer que, pour tout réel \(t\) appartenant à l'intervalle \([1; +∞[\), \(2-t ≤ \frac{1}{t}\). 3. Déduire de ce qui précède que, pour tout réel \(x\) supérieur ou égal à \(1\), \(ln(x) ≥ − \frac{1}{2}x^2 + 2x − \frac{3}{2}\).
1. Calcul de l'intégrale \(\int_{1}^x (2-t)dt\) : • Primitive de \(2-t\) est \(2t-\frac{t^2}{2}+C\) • \(\int_{1}^x (2-t)dt = \left[2t-\frac{t^2}{2}\right]_{1}^{x} = (2x-\frac{x^2}{2}) - (2-\frac{1}{2}) = 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}\)
2. Démonstration de l'inégalité \(2-t \leq \frac{1}{t}\) pour tout \(t\) dans \([1;+\infty[\) : • Pour tout \(t\) dans \([1;+\infty[\), on a \(t \geq 1\), donc \(\frac{1}{t} \leq 1\) • Or, \(2-t \leq 1\) pour tout \(t\) dans \([1;+\infty[\) • Donc \(2-t \leq \frac{1}{t}\) pour tout \(t\) dans \([1;+\infty[\)
3. Déduction de l'inégalité \(\ln(x) \geq -\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{3}{2}\) pour tout \(x\) supérieur ou égal à \(1\) : • D'après le résultat du 1., on a \(\int_{1}^x (2-t)dt = 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}\) • D'après le résultat du 2., on a \(2-t \leq \frac{1}{t}\) pour tout \(t\) dans \([1;+\infty[\) • Donc \(\int_{1}^x (2-t)dt \geq \int_{1}^x \frac{1}{t}dt = \ln(x)\) • Finalement, on obtient \(\ln(x) \geq 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}\)
Exercice 12: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. Justifier que, pour tout \(x\) appartenant à \([0; 1]\): \(ln(1+x^2) ≥ 0\). 2. a. Déterminer le tableau de variation de la fonction \(g\) définie sur \([0;1]\) par: \(g(x)=ln(1+x^2)-x^2\). b. En déduire le signe de \(g\) sur \([0;1]\). 3. Déterminer alors un encadrement de : \(I = \int_{0}^1 ln(1+x^2)dx\)
1. Justification de l'inégalité \(\ln(1+x^2) \geq 0\) pour tout \(x\) dans \([0;1]\) : • Pour tout \(x\) réel, \(1+x^2 \geq 1\) • Or, la fonction logarithme népérien \(\ln\) est croissante sur \(\mathbb{R}^+\) • Donc, pour tout \(x\) dans \([0;1]\), \(\ln(1+x^2) \geq \ln(1) = 0\)
2. a. Tableau de variation de la fonction \(g\) définie par \(g(x) = \ln(1+x^2) - x^2\) sur \([0;1]\) : • \(g'(x) = \frac{2x}{1+x^2} - 2x\) • \(g'(x) = 0\) équivaut à \(x = 0\) ou \(x = \frac{1}{\sqrt{3}}\) • \(g'(x) > 0\) sur \(]0;\frac{1}{\sqrt{3}}[\) • \(g'(x) < 0\) sur \(]\frac{1}{\sqrt{3}};1]\) • Donc \(g\) est croissante sur \([0;\frac{1}{\sqrt{3}}]\) et décroissante sur \([\frac{1}{\sqrt{3}};1]\)
b. Signe de \(g\) sur \([0;1]\) : • \(g(0) = \ln(1) - 0 = 0\) • \(g(1) = \ln(2) - 1 < 0\) • Donc \(g\) est positive sur \([0;\frac{1}{\sqrt{3}}]\) et négative sur \([\frac{1}{\sqrt{3}};1]\)
3. Encadrement de \(I = \int_{0}^1 \ln(1+x^2)dx\) : • D'après le point 1., \(\ln(1+x^2) \geq 0\) pour tout \(x\) dans \([0;1]\) • Donc \(0 \leq I = \int_{0}^1 \ln(1+x^2)dx\) • D'après le point 2.b., \(\ln(1+x^2) - x^2 \leq 0\) pour tout \(x\) dans \([0;1]\) • Donc \(\int_{0}^1 \ln(1+x^2)dx \leq \int_{0}^1 x^2dx = \frac{1}{3}\) • Finalement, \(0 \leq I \leq \frac{1}{3}\)
Exercice 13: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. Montrer que la fonction \(x ↦ (x^2+x)ln(x)\) est une primitive de la fonction sur \([1;2]\). \(g:x ↦ x+1 + (2x+1)ln(x)\) 2. En déduire la valeur de \(\int_{1}^2 g(x)dx\).
1. Montrons que la fonction \(x \mapsto (x^2+x)\ln(x)\) est une primitive de \(g:x \mapsto x+1 + (2x+1)\ln(x)\) sur \([1;2]\) : • \(g(x) = x+1 + (2x+1)\ln(x)\) • Dérivons \(x \mapsto (x^2+x)\ln(x)\) : \[(x^2+x)\ln(x)' = (2x+1)\ln(x) + (x^2+x)\frac{1}{x} = (2x+1)\ln(x) + x+1 = g(x)\] • Donc \(x \mapsto (x^2+x)\ln(x)\) est bien une primitive de \(g\) sur \([1;2]\).
2. Calcul de \(\int_{1}^2 g(x)dx\) : • \(\int_{1}^2 g(x)dx = \int_{1}^2 (x+1 + (2x+1)\ln(x))dx\) • Primitive de \(x+1\) est \(\frac{x^2}{2}+x+C\) • Primitive de \((2x+1)\ln(x)\) est \((x^2+x)\ln(x) - \frac{x^2}{2}\) • Donc \(\int_{1}^2 g(x)dx = \left[\frac{x^2}{2}+x + (x^2+x)\ln(x) - \frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2}\) • Soit \(\int_{1}^2 g(x)dx = \left(\frac{4}{2}+2 + (4+2)\ln(2) - \frac{4}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}+1 + (1+1)\ln(1) - \frac{1}{2}\right)\) • Donc \(\int_{1}^2 g(x)dx = 2 + 2\ln(2) - 1 - 0 = 1 + 2\ln(2)\).
Exercice 14: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. Montrer que la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = sin(2x)\), est impaire. 2. À l'aide de la calculatrice 🖩 , conjecturer une périodicité de la fonction, puis valider cette conjecture par le calcul. 3. a. Comparer \(\int_{0}^\frac{\pi}{2} f(x)dx\) et \(\int_{0}^\frac{3\pi}{2} f(x)dx\) b. Comparer \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 f(x)dx\) et \(\int_{\pi}^\frac{3\pi}{2} f(x)dx\)
1. Montrons que la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \sin(2x)\) est impaire : • Pour tout \(x\) dans \(\mathbb{R}\), \(f(-x) = \sin(2(-x)) = \sin(-2x) = -\sin(2x) = -f(x)\) • Donc \(f\) est une fonction impaire.
2. Étude de la périodicité de la fonction \(f\) : • À l'aide de la calculatrice, on constate que la fonction semble être périodique de période \(\pi\). • Pour le vérifier, on calcule : \[f(x + \pi) = \sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = f(x)\] • Donc la fonction \(f\) est bien périodique de période \(\pi\).
3. a. Comparaison des intégrales sur \([0;\frac{\pi}{2}]\) et \([0;\frac{3\pi}{2}]\) : • \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}(-1 • 1) = \frac{1}{2}\) • \(\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin(2x)dx + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \sin(2x)dx\) • \(\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)dx = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1\) • Donc \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx = \frac{1}{2}\) et \(\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)dx = 1\).
b. Comparaison des intégrales sur \([-\frac{\pi}{2};0]\) et \([\pi;\frac{3\pi}{2}]\) : • \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 f(x)dx = -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(-x)dx = -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\sin(2x)dx = \frac{1}{2}\) • \(\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)dx = \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \sin(2x)dx = 0\) • Donc \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 f(x)dx = \frac{1}{2}\) et \(\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)dx = 0\).
Exercice 15: ★ ★ ★ ☆ ☆
En utilisant une intgration par parties, calculer: a. \(I = \int_{0}^\pi xsinx dx\) b. \(J = \int_{0}^1 xe^x dx\) c. \(K = \int_{1}^e xln(x) dx\) d. \(L = \int_{0}^1 xe^{-2x} dx\)
a. Calcul de \(I = \int_{0}^\pi xsin(x)dx\) par intégration par parties : • Posons \(u = x\) et \(dv = sin(x)dx\) • Alors \(du = dx\) et \(v = -cos(x)\) • \(I = \int_{0}^\pi xsin(x)dx = \left[-xcos(x)\right]_{0}^\pi - \int_{0}^\pi -cos(x)dx\) • \(I = \left[-\pi cos(\pi) - 0 cos(0)\right] - \left[sin(x)\right]_{0}^\pi\) • \(I = \pi + 2\)
b. Calcul de \(J = \int_{0}^1 xe^xdx\) par intégration par parties : • Posons \(u = x\) et \(dv = e^xdx\) • Alors \(du = dx\) et \(v = e^x\) • \(J = \int_{0}^1 xe^xdx = \left[xe^x\right]_{0}^1 - \int_{0}^1 e^xdx\) • \(J = 1e^1 - 0e^0 - \left[e^x\right]_{0}^1\) • \(J = 1 - (e - 1) = 2 - e\)
c. Calcul de \(K = \int_{1}^e xln(x)dx\) par intégration par parties : • Posons \(u = ln(x)\) et \(dv = xdx\) • Alors \(du = \frac{1}{x}dx\) et \(v = \frac{x^2}{2}\) • \(K = \int_{1}^e xln(x)dx = \left[\frac{x^2}{2}ln(x)\right]_{1}^e - \int_{1}^e \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx\) • \(K = \frac{e^2}{2}ln(e) - \frac{1}{2} - \frac{e^2}{2}ln(1) + \frac{1}{2}\) • \(K = \frac{e^2}{2}ln(e) - \frac{e^2}{2}\)
d. Calcul de \(L = \int_{0}^1 xe^{-2x}dx\) par intégration par parties : • Posons \(u = x\) et \(dv = e^{-2x}dx\) • Alors \(du = dx\) et \(v = -\frac{1}{2}e^{-2x}\) • \(L = \int_{0}^1 xe^{-2x}dx = \left[-\frac{x}{2}e^{-2x}\right]_{0}^1 + \int_{0}^1 \frac{1}{2}e^{-2x}dx\) • \(L = -\frac{1}{2}e^{-2} + \frac{1}{4}(1 - e^{-2})\) • \(L = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}e^{-2}\)
Exercice 16: ★ ★ ★ ☆ ☆
Pour tout réel \(x\) strictement positif, on pose: \(I(x) =\int_{1}^x ln(t)dt\). 1. En posant, pour \(t\) strictement positif, \(u'(t) = 1\) et \(v(t) = ln(t)\) et en utilisant une intégration par parties, calculer \(I(x)\). 2. En déduire la primitive de la fonction \(ln\) sur \(]0;+∞[\) qui s'annule en \(1\).
1. Calcul de \(I(x) = \int_{1}^x ln(t)dt\) par intégration par parties : • Posons \(u'(t) = 1\) et \(v(t) = ln(t)\) • Alors \(u(t) = t\) et \(v'(t) = \frac{1}{t}\) • \(I(x) = \int_{1}^x ln(t)dt = \left[tln(t)\right]_{1}^x - \int_{1}^x \frac{t}{t}dt\) • \(I(x) = xln(x) - x + 1\)
2. La primitive de la fonction \(ln\) sur \(]0;+∞[\) qui s'annule en \(1\) est donc : \(F(x) = xln(x) - x + 1\)
Exercice 17: ★ ★ ★ ☆ ☆
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1. Soient \(a\) et \(b\) deux réels et \(f\) une fonction continue et positive sur \(\mathbb{R}\). Alors \(\int_{a}^b f(x)dx\) est égal, dans un repère orthonormé, à l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de \(f\) et les droites d'équations \(y = 0\), \(x = a\) et \(x = b\), en unité d'aire du repère. 2. Si \(f\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\), continue et impaire, alors pour tout réel \(a\), \(\int_{-a}^a f(x)dx = 0\). 3. Si \(f\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\), continue et paire, alors pour tout réel \(a\), \(\int_{-a}^a f(x)dx = 0\).
1. Affirmation vraie. • Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \(\mathbb{R}\). • L'intégrale \(\int_{a}^b f(x)dx\) représente l'aire sous la courbe de \(f\) entre \(x = a\) et \(x = b\). • Dans un repère orthonormé, cette aire correspond au domaine délimité par la courbe représentative de \(f\) et les droites d'équations \(y = 0\), \(x = a\) et \(x = b\).
2. Affirmation vraie. • Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\), continue et impaire. • Par définition, une fonction impaire satisfait \(f(-x) = -f(x)\) pour tout réel \(x\). • Alors \(\int_{-a}^a f(x)dx = \int_{-a}^0 f(x)dx + \int_{0}^a f(x)dx\) • En effectuant le changement de variable \(u = -x\) sur le premier terme, on obtient : • \(\int_{-a}^a f(x)dx = \int_{0}^a -f(-x)dx + \int_{0}^a f(x)dx = 0\)
3. Affirmation fausse. • Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\), continue et paire. • Par définition, une fonction paire satisfait \(f(-x) = f(x)\) pour tout réel \(x\). • Alors \(\int_{-a}^a f(x)dx = \int_{-a}^0 f(x)dx + \int_{0}^a f(x)dx\) • En effectuant le changement de variable \(u = -x\) sur le premier terme, on obtient : • \(\int_{-a}^a f(x)dx = \int_{0}^a f(-x)dx + \int_{0}^a f(x)dx = 2\int_{0}^a f(x)dx\) • Donc \(\int_{-a}^a f(x)dx \neq 0\) en général.
Exercice 18: ★ ★ ★ ☆ ☆
La courbe ci-dessous est celle de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x-\pi)cos(x)\).
1. Justifier que \(f\) est négative sur \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\). 2. Calculer, en unité d'aire du domaine coloré à l'aide d'une intégration par parties.
1. Justification que \(f\) est négative sur \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\) : Sur l'intervalle \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\), le cosinus est positif. Donc le signe de \(f\) est déterminé par le signe de \((x-\pi)\). \(x-\pi < 0\) sur \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\), donc \(f\) est négative sur cet intervalle.
2. Calcul de l'aire du domaine entre \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\) : On a \(f(x) = (x-\pi)\cos(x)\). En utilisant l'intégration par parties avec \(u = x-\pi\) et \(dv = \cos(x)dx\), on obtient : \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x-\pi)\cos(x)dx\) \(= \left[(x-\pi)\sin(x)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)dx\) \(= \left[(\frac{\pi}{2}-\pi)\sin(\frac{\pi}{2}) - (-\frac{\pi}{2}-\pi)\sin(-\frac{\pi}{2})\right] - 0\) \(= (\frac{\pi}{2}-\pi) - (-\frac{\pi}{2}-\pi) = \pi\)
Donc l'aire du domaine entre \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\) vaut \(\pi\) unités.
Exercice 19: ★ ★ ★ ☆ ☆
On pose \(A = \int_{1}^e \frac{1}{x}dx\). Donner une interprétation graphique de \(A\) et calculer sa valeur.
1. Interprétation graphique de \(A = \int_{1}^e \frac{1}{x}dx\) : • La fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) est la fonction inverse, donc sa courbe représentative est une hyperbole équilatère. • L'intégrale \(A\) représente l'aire de la région délimitée par la courbe de \(f\), l'axe des \(x\) et les droites \(x = 1\) et \(x = e\) dans un repère orthonormé.
2. Calcul de la valeur de \(A\) : • \(A = \int_{1}^e \frac{1}{x}dx\) • En utilisant la primitive de \(\frac{1}{x}\), on a : • \(A = \left[ln(x)\right]_{1}^e = ln(e) - ln(1) = 1\)
Donc \(A = 1\).
Exercice 20: ★ ★ ★ ☆ ☆
On a représenté ci-dessous la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=sin(2x+4)\).
\(\int_{2}^7 f(x)dx\) semble-t-elle positive ou négative ? Argumenter.
Pour déterminer si l'intégrale \(\int_{2}^7 f(x)dx\) est positive ou négative, il faut étudier le signe de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([2,7]\).
La fonction \(f\) est définie par \(f(x)=sin(2x+4)\).
Sur l'intervalle \([2,7]\), on a : \(2x+4 \in [10,18]\) Or, la fonction sinus est positive sur l'intervalle \([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\). Donc \(f(x)=sin(2x+4)\) est positive sur \([2,7]\).
Par conséquent, l'intégrale \(\int_{2}^7 f(x)dx\) est positive.
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