Exercices corrigés sur les inégalités de concentration et loi des grands nombres
Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère une pièce de monnaie équilibrée que l'on lance \( n \) fois.
Pour tout entier \( i \) entre 1 et \( n \), on appelle \( X_i \) la variable aléatoire égale à 1 si le résultat du \( i \)-ème lancer est PILE et 0 sinon.
1. Déterminer \( E(X_i) \) et \( V(X_i) \) pour \( i \) entier entre 1 et \( n \). Donner une majoration de \( p(|M_n - 0,5| \geq \delta) \) pour \( \delta \) un réel positif fixé.
2. Soit \( M_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} \).
3. Soit \( \delta = 0,1 \). a) Déterminer un entier \( n_1 \) à partir duquel on a nécessairement \( p(|M_n - 0,5| \geq \delta) \leq 0,01 \). b) Déterminer un entier \( n_2 \) à partir duquel on a nécessairement \( p(|M_n - 0,5| \geq \delta) \leq 0,001 \). c) Montrer que \( \lim\limits_{n \to +\infty} p(|M_n - 0,5| \geq \delta) = 0 \). d) Que peut-on en déduire pour la valeur de \( M_n \) quand \( n \) devient grand ?
4. Reprendre la question 3.c) avec \( \delta \) un réel strictement positif quelconque fixé.
5. a) Concrètement, à quoi correspond la variable \( M_n \) pour l'échantillon associé aux \( n \) lancers de cette pièce de monnaie ? b) Quelle propriété vue en seconde vient-on d'illustrer dans le cas de cette pièce de monnaie ?
On considère une pièce de monnaie équilibrée que l'on lance \(n\) fois. Pour tout entier \(i\) entre 1 et \(n\), on appelle \(X_i\) la variable aléatoire égale à 1 si le résultat du \(i\)-ème lancer est PILE et 0 sinon.
1. Déterminer \(E(X_i)\) et \(V(X_i)\) pour \(i\) entier entre 1 et \(n\). - \(E(X_i) = P(X_i = 1) = \frac{1}{2}\) - \(V(X_i) = E[(X_i - E(X_i))^2] = E[X_i^2] - (E(X_i))^2 = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
Donner une majoration de \(p(|M_n - 0,5| \geq \delta)\) pour \(\delta\) un réel positif fixé.
3. Soit \(\delta = 0,1\). a) Pour \(p(|M_n - 0,5| \geq 0,1) \leq 0,01\), il faut \(n \geq 250\). b) Pour \(p(|M_n - 0,5| \geq 0,1) \leq 0,001\), il faut \(n \geq 2500\). c) \(\lim_{n \to +\infty} p(|M_n - 0,5| \geq \delta) = 0\) car \(\frac{1}{4n\delta^2} \to 0\) quand \(n \to +\infty\). d) Quand \(n\) devient grand, \(M_n\) converge vers \(0,5\).
4. Reprise de la question 3.c) avec \(\delta\) un réel strictement positif quelconque fixé. \(\lim_{n \to +\infty} p(|M_n - 0,5| \geq \delta) = 0\) car \(\frac{1}{4n\delta^2} \to 0\) quand \(n \to +\infty\).
5. a) \(M_n\) correspond à la proportion de piles obtenues sur les \(n\) lancers de la pièce de monnaie. b) On vient d'illustrer la loi des grands nombres, qui dit que la moyenne empirique (ici \(M_n\)) converge vers l'espérance mathématique (ici \(0,5\)) lorsque le nombre d'expériences (ici les lancers) devient grand.
Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Existe-t-il des conditions particulières pour utiliser la formule \( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \)?
Existe-il des conditions particulières pour utiliser la formule \(V(X + Y) = V(X) + V(Y)\) ?
\(X\) et \(Y\) étant deux variables aléatoires, exprimer \(E(2X + 3Y)\) en fonction de \(E(X)\) et \(E(Y)\).
\(X\) et \(Y\) étant deux variables aléatoires indépendantes telles que \(V(X) = 12,23\) et \(V(X + Y) = 15,26\), calculer \(V(Y)\).
Si \(E(X) = 3\) et \(E(X + Y) = 0,45\), calculer \(E(Y)\).
Conditions pour les formules d'espérance et de variance
1. Pour la formule \( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \) : Cette formule est valable pour toutes les variables aléatoires \( X \) et \( Y \), qu'elles soient indépendantes ou dépendantes. Il n'y a donc pas de condition particulière à respecter.
2. Pour la formule \( V(X + Y) = V(X) + V(Y) \) : Cette formule est valable uniquement si \( X \) et \( Y \) sont indépendantes. Si \( X \) et \( Y \) ne sont pas indépendantes, il faut prendre en compte la covariance entre \( X \) et \( Y \) : \[ V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y) \] Expression de \( E(2X + 3Y) \) Pour exprimer \( E(2X + 3Y) \) en fonction de \( E(X) \) et \( E(Y) \), on utilise la linéarité de l'espérance : \[ E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) \] Calcul de \( V(Y) \) Étant donné que \( V(X) = 12,23 \) et \( V(X + Y) = 15,26 \), et sachant que \( X \) et \( Y \) sont indépendants, on peut utiliser la formule : \[ V(X + Y) = V(X) + V(Y) \] D'où : \[ 15,26 = 12,23 + V(Y) \] En isolant \( V(Y) \) : \[ V(Y) = 15,26 - 12,23 = 3,03 \] Calcul de \( E(Y) \) Étant donné que \( E(X) = 3 \) et \( E(X + Y) = 0,45 \), on utilise la linéarité de l'espérance : \[ E(X + Y) = E(X) + E(Y) \] D'où : \[ 0,45 = 3 + E(Y) \] En isolant \( E(Y) \) : \[ E(Y) = 0,45 - 3 = -2,55 \]
Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Si \(X\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(0,2\) et \(Y\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) et \(p = 0,1\) . Calculer \(E(X + Y)\)
Pour calculer l'espérance \(E(X + Y)\), nous utilisons la propriété de linéarité de l'espérance : \[ E(X + Y) = E(X) + E(Y) \] 1. Calcul de \(E(X)\)
Si \(X\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p = 0,2\), alors l'espérance est donnée par : \[ E(X) = p = 0,2 \] 2. Calcul de \(E(Y)\)
Si \(Y\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) et \(p = 0,1\), l'espérance est donnée par : \[ E(Y) = n \cdot p = 10 \cdot 0,1 = 1 \] 3. Calcul de \(E(X + Y)\)
\(X\) et \(Y\) étant deux variables aléatoires telles que \(V(X) = 0,4\)
et \(σ(Y) = 12,44\). Calculer \(V(X + Y)\)
Pour calculer la variance de la somme de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), nous utilisons la formule suivante : \[ V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y) \] Si \(X\) et \(Y\) sont indépendants, la covariance \(Cov(X, Y) = 0\), et nous avons alors : \[ V(X + Y) = V(X) + V(Y) \] Nous savons que :
Calculons \(V(Y)\) : \[ V(Y) = (12,44)^2 = 154.9136 \] Donc, si \(X\) et \(Y\) sont indépendants : \[ V(X + Y) = 0,4 + 154.9136 = 155.3136 \] Ainsi, la variance de la somme des deux variables aléatoires est : \[ V(X + Y) = 155,3136 \] Si les variables ne sont pas indépendantes, il faudrait connaître \(Cov(X, Y)\) pour un calcul exact.
Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆
\(X\) est une variable aléatoire d’espérance \(6,78\) et de variance \(1,25\).
Soit \((X_1 ; X_2 ; ... ; X_n )\) un échantillon de taille \(n\) de la loi suivie par \(X\) et \( M_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} \) . Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} V(|M_n|) \)
Pour déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty} V(|M_n|)\), nous devons d'abord examiner la variance de la moyenne échantillonnale \(M_n\).
La moyenne échantillonnale \(M_n\) est définie par : \[ M_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} \] La variance de la moyenne échantillonnale est donnée par la formule : \[ V(M_n) = \frac{V(X)}{n} \] où \(V(X)\) est la variance de la variable aléatoire \(X\). Dans ce cas, nous savons que : \[ V(X) = 1,25 \] Donc, la variance de \(M_n\) est : \[ V(M_n) = \frac{1,25}{n} \] Maintenant, considérons la limite lorsque \(n\) tend vers l'infini : \[ \lim\limits_{n \to +\infty} V(M_n) = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1,25}{n} = 0 \] Ensuite, nous devons considérer la variance de \(|M_n|\). Pour un grand \(n\), nous pouvons utiliser le fait que si \(M_n\) converge en distribution, alors \(|M_n|\) va également converger en distribution.
Ainsi, on peut conclure que : \[ \lim\limits_{n \to +\infty} V(|M_n|) = 0 \] En résumé : \[ \lim\limits_{n \to +\infty} V(|M_n|) = 0 \]
Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Choisir la (les) bonne(s) réponse(s).
Soit \((X_1 ; X_2 ; ... ; X_n )\) un échantillon de \(n\) variables aléatoires d’espérance \(μ\) et d’écart-type \(σ\).
Lorsque \(n\) est élevé, la variable aléatoire \( M_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} \) se rapproche de :
\(μ\)
\(σ\)
\(μ^2\)
\(σ^2\)
Lorsque \(n\) est élevé, la moyenne échantillonnale \(M_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}\) se rapproche de l'espérance \(μ\) en vertu de la loi des grands nombres.
Ainsi, la bonne réponse est : \(μ\)
Les autres options, \(σ\), \(μ^2\) et \(σ^2\), ne sont pas correctes dans ce contexte.
Exercice 7: ★ ★ ★ ☆ ☆
20 % des habitants d'un pays sont atteints par un virus \(C\).
1000 personnes rentrent dans une salle de spectacle.
La population du pays est suffisamment importante pour assimiler l'entrée de chaque personne à un tirage aléatoire avec remise.
Soit \(S\) la variable aléatoire comptant le nombre de personnes malades obtenus sur les \(1000\) personnes.
Montrer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que: : \(p(174﹤S﹤226)≥076\),
Calculer directement \(p(174﹤S﹤226)\) et vérifier le résultat précédent.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est-elle optimale ?
1. Application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit \(S\) la variable aléatoire comptant le nombre de personnes malades sur les 1000 personnes entrées dans la salle de spectacle. \(S\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(1000, 0.2)\), de moyenne \(\mu = 1000 \times 0.2 = 200\) et de variance \(\sigma^2 = 1000 \times 0.2 \times 0.8 = 160\). D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \(p(|S - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\) Avec \(\varepsilon = 26\), on a : \(p(174 \leq S \leq 226) = p(|S - 200| \leq 26) \geq 1 - \frac{160}{26^2} = 0.76\)
2. Calcul direct de \(p(174 \leq S \leq 226)\) En calculant directement la probabilité avec la loi binomiale, on obtient : \(p(174 \leq S \leq 226) = \sum_{k=174}^{226} \binom{1000}{k} (0.2)^k (0.8)^{1000-k} \approx 0.7804\) Ce résultat est très proche de celui obtenu avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
3. Optimalité de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'est pas optimale car elle donne une borne supérieure de la probabilité, alors que le calcul direct avec la loi binomiale donne une valeur plus précise. Cependant, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev a l'avantage d'être plus simple à utiliser et de donner une borne inférieure de la probabilité recherchée.
Exercice 8: ★ ★ ★ ☆ ☆
Une élection oppose deux candidats A et B. Soit \(p\) la proportion d'électeurs, dans la population totale, décidés à voter pour le candidat A. On souhaite estimer cette proportion \(p\) inconnue . On effectue unsondage auprès de \(n\) personnes. On suppose que chaque personne interrogée donne son intention réelle de vote. La population est suffisamment importante pour assimiler le choix de chaque personne à un tirage aléatoire avec remise. On note \(X_i\) la variable aléatoire qui vaut 1 si la i-ème personne interrogée vote pour A, et 0 sinon. Soit la moyenne: \( M_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} \).
1. Montrer que, pour tout \(p\) dans [0;1], on a: \(p(1-p)≤{1}/{4}\)
2. De quelle nature sont chacune des \(X_i\)? Donner leur espérance et leur variance.
3. Montrer à l'aide de l'inégalité de concentration que:
pour tout réel \(δ\) strictement positif, on a: \(p(M_n-δ ﹤ p ﹤M_n+δ)≥1-{1}/{4nδ^2}\)
Si \(f\) est la valeur prise par \(M_n\) lors du sondage, on dit alors que l'intervalle \(I =]f-δ;f+δ[\) est un intervalle de confiance pour \(p\) au niveau de confiance supérieur ou égal à \(1-{1}/{4nδ^2}\)
4. Le sondage auprès de \(n=1 000\) personnes donne une fréquence de votants pour A égale à \(55\%\).
Un intervalle de confiance pour \(p\) est alors \(]0,55-δ;0,55+δ[\).
On veut que cet intervalle de confiance se trouve à un niveau supérieur ou égal à \(0,95\).
Montrer qu'il suffit que \(δ≥a\) avec \(a≈0,0707\).
5. On prend \(δ=0,071\). Donner alors l'intervalle de confiance de \(p\) au niveau supérieur ou égal à \(0,95\).
Peut-on affirmer que \(p\) est strictement supérieur à \(50\%\) avec un niveau de confiance supérieur à 0,95?
6. Le candidat A souhaite que l'amplitude de l'intervalle de confiance au seuil de 0,95 soit de \(4\%\) maximum. Combien de personnes doit-on interroger au minimum ?
1. Montrer que, pour tout \(p\) dans [0;1], on a: \(p(1-p)≤{1}/{4}\) La fonction \(f(x) = x(1-x)\) est une fonction concave sur l'intervalle [0;1]. Son maximum est atteint en \(x=\frac{1}{2}\) et vaut \(\frac{1}{4}\). Donc, pour tout \(p\) dans [0;1], on a : \(p(1-p) \leq \frac{1}{4}\)
2. De quelle nature sont chacune des \(X_i\)? Donner leur espérance et leur variance. Les variables aléatoires \(X_i\) sont de type bernoulli de paramètre \(p\), car elles prennent la valeur 1 avec probabilité \(p\) et 0 avec probabilité \(1-p\). L'espérance de \(X_i\) est \(\mathbb{E}[X_i] = p\) et sa variance est \(\text{Var}[X_i] = p(1-p)\).
3. Montrer à l'aide de l'inégalité de concentration que: pour tout réel \(δ\) strictement positif, on a: \(p(M_n-δ ﹤ p ﹤M_n+δ)≥1-{1}/{4nδ^2}\) La moyenne \(M_n\) est la moyenne arithmétique des variables aléatoires \(X_i\). D'après le théorème de Bienaymé-Tchebychev, on a : \(p(|M_n - \mathbb{E}[M_n]| \geq \delta) \leq \frac{\text{Var}[M_n]}{\delta^2}\) Or, \(\mathbb{E}[M_n] = \mathbb{E}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i] = p\) et \(\text{Var}[M_n] = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \text{Var}[X_i] = \frac{p(1-p)}{n}\) Donc \(p(|M_n - p| \geq \delta) \leq \frac{p(1-p)}{n\delta^2} \leq \frac{1}{4n\delta^2}\) Ce qui donne le résultat souhaité.
4. Montrer qu'il suffit que \(δ≥a\) avec \(a≈0,0707\). Avec \(n=1000\) et un niveau de confiance de 0,95, on a : \(1 - \frac{1}{4n\delta^2} \geq 0,95\) \(\delta^2 \leq \frac{1}{4n \times 0,05} \approx 0,0049\) Donc \(\delta \approx 0,0707\).
5. Avec \(δ=0,071\), donner l'intervalle de confiance de \(p\) au niveau supérieur ou égal à \(0,95\). L'intervalle de confiance de \(p\) au niveau supérieur ou égal à 0,95 est : \(]0,55 - 0,071 ; 0,55 + 0,071[ = ]0,479 ; 0,621[\) On ne peut pas affirmer que \(p\) est strictement supérieur à 50\% avec un niveau de confiance supérieur à 0,95, car 0,5 appartient à cet intervalle de confiance.
6. Combien de personnes doit-on interroger au minimum ? Avec une amplitude de l'intervalle de confiance de 4\%, on a \(\delta = 0,02\). D'après l'inégalité de concentration, on doit avoir : \(\frac{1}{4n\delta^2} \leq 0,05\) Donc \(n \geq \frac{1}{4 \times 0,02^2 \times 0,05} = 625\) Il faut donc interroger au minimum 625 personnes.
Exercice 9: ★ ★ ★ ☆ ☆
Une variable aléatoire \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=500\) et \(p=0,7\)
1. Montrer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que: \(p(|X-350|\geq 21)\leq 0,24\)
2. Déterminer la valeur de \(p(|X-350|\geq 21)\) arrondie à 0,001 près.
3. Écrire en PYTHON une fonction \(Lbin()\) qui renvoie une liste de 0 et de 1 simulant une succession de 500 expériences de Bernoulli de paramètre \(p=0,7\). On notera que la fonction \(Lbin()\) renvoie donc un échantillon de taille 500 associé à la loi de Bernoulli de paramètre 0,7.
4. Compléter le programme précédent par une fonction \(simul(n)\) qui produit \(n\) échantillons de taille 500 associés à la loi de Bernoulli de paramètre 0,7.
Si \(x\) est le nombre de 1 dans l'échantillon courant, alors la fonction \(simul(n)\) doit retourner le pourcentage d'échantillons qui vérifient \(|x-350|\geq 21\).
5. Candide a obtenu l'affichage suivant: \(simul(10)=0.0\) \(simul(100)=0.05\) \(simul(1 000)=0.035 \)
\(simul(10 000)=0.0435\) \(simul(100 000)=0.04419 \) Quel résultat bien connu ces nombres semblent-ils confirmer? Soyez précis dans vos explications...
1. Application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit \(X\) la variable aléatoire suivant une loi binomiale \(\mathcal{B}(500, 0.7)\), de moyenne \(\mu = 500 \times 0.7 = 350\) et de variance \(\sigma^2 = 500 \times 0.7 \times 0.3 = 105\). D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \(p(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\) Avec \(\varepsilon = 21\), on a : \(p(|X - 350| \geq 21) \leq \frac{105}{21^2} = 0.2381 \approx 0.24\)
2. Calcul direct de \(p(|X - 350| \geq 21)\) En calculant directement la probabilité avec la loi binomiale, on obtient : \(p(|X - 350| \geq 21) = p(X \leq 329) + p(X \geq 371) = 0.1166 + 0.1166 = 0.2332\) Arrondi à 0.001 près, on a \(p(|X - 350| \geq 21) \approx 0.233\).
def simul(n):
compteur = 0
for _ in range(n):
echantillon = Lbin()
x = sum(echantillon)
if abs(x - 350) >= 21:
compteur += 1
return compteur / n
5. Interprétation des résultats Les résultats obtenus avec la fonction \(simul(n)\) semblent converger vers la probabilité \(p(|X - 350| \geq 21) \approx 0.233\) calculée directement à partir de la loi binomiale. Cela confirme la loi des grands nombres, qui stipule que lorsque la taille de l'échantillon augmente, la fréquence d'un événement converge vers sa probabilité théorique.
Exercice 10: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère une usine fabriquant des montres à aiguilles, sans trotteuse. Les deux aiguilles sont fabriquées indépendamment.
La variable aléatoire donnant la masse de l’aiguille en grammes est :
• H pour les heures, et a pour espérance 3 et pour écart-type 0,15 ;
• M pour les minutes, et a pour espérance 2 et pour écart-type 0,1.
1. Donner l’espérance et la variance de la variable aléatoire A donnant la masse totale des deux aiguilles.
2. Pour que la montre soit bien équilibrée, la masse des deux aiguilles doit être comprise entre 4,4 g et 5,6 g (exclus).
Que peut-on dire de la probabilité que ce soit le cas ?
1. Espérance et variance de la masse totale des deux aiguilles Soient \(H\) et \(M\) les variables aléatoires donnant respectivement la masse de l'aiguille des heures et des minutes. D'après les données de l'énoncé : \(\mathbb{E}[H] = 3\) g, \(\mathbb{V}[H] = 0.15^2 = 0.0225\) \(g^2\) \(\mathbb{E}[M] = 2\) g, \(\mathbb{V}[M] = 0.1^2 = 0.01\) \(g^2\) La variable aléatoire \(A\) donnant la masse totale des deux aiguilles est : \(A = H + M\) Donc : \(\mathbb{E}[A] = \mathbb{E}[H] + \mathbb{E}[M] = 3 + 2 = 5\) g \(\mathbb{V}[A] = \mathbb{V}[H] + \mathbb{V}[M] = 0.0225 + 0.01 = 0.0325\) \(g^2\)
2. Probabilité que la masse totale soit comprise entre 4,4 g et 5,6 g La masse totale des deux aiguilles doit être comprise entre 4,4 g et 5,6 g (exclus). En normalisant, on a : \(Z = \frac{A - 5}{0.18} \sim \mathcal{N}(0,1)\) \(p(4.4 < A < 5.6) = p(-3.33 < Z < 3.33) \approx 0.9986\) Donc la probabilité que la masse totale des deux aiguilles soit comprise entre 4,4 g et 5,6 g est très élevée, environ 99,86 %.
Exercice 11: ★ ★ ★ ☆ ☆
Nicolette est factrice et distribue le courrier de 2 500 logements.
Elle a constaté que le nombre de logements ayant du courrier lors d’une tournée suit la loi binomiale de paramètres \(n = 2 500\) et \(p = 0,6\).
Pour les besoins d’une enquête, Nicolette relève pendant 200 tournées supposées indépendantes le nombre de logements pour lesquels elle dépose du courrier.
1. Soit \(X_i\) le nombre de logements ayant du courrier lors de la tournée \(n° i\). Calculer \(E(X_i )\) et \(V(X_i )\) pour tout \(i\) entre 1 et 200.
2. a) Soit \( M_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_200}{200} \) . Majorer la probabilité que M ne soit pas dans \(]1 400 ; 1 600[\).
b) Interpréter concrètement cette majoration.
1. Calcul de l'espérance et de la variance de \(X_i\) • \(X_i\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(2500, 0.6)\) • Espérance de \(X_i\) : \(E(X_i) = n \times p = 2500 \times 0.6 = 1500\) • Variance de \(X_i\) : \(V(X_i) = n \times p \times (1-p) = 2500 \times 0.6 \times 0.4 = 600\)
2. Majoration de la probabilité que \(M_n\) ne soit pas dans \(]1400 ; 1600[\) a) \(M_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_{200}}{200}\) suit une loi normale \(\mathcal{N}(1500, \frac{600}{200})\) d'après le théorème central limite. Soit \(\varepsilon = 100\), on a : \(p(|M_n - 1500| \geq 100) = p(M_n \notin ]1400 ; 1600[) \leq \frac{V(M_n)}{\varepsilon^2} = \frac{600/200}{100^2} = 0.03\)
b) Interprétation : La majoration obtenue signifie que la probabilité que la moyenne du nombre de logements ayant du courrier sur 200 tournées ne soit pas dans l'intervalle \(]1400 ; 1600[\) est inférieure ou égale à 0.03, soit 3 %. Autrement dit, on peut être très confiant que la moyenne observée sur 200 tournées sera dans cet intervalle.
Exercice 12: ★ ★ ★ ☆ ☆
Lorsqu’il va à la piscine, la distance parcourue à la nage par Mathieu (en mètres) est donnée par une variable aléatoire D d’espérance 1 000 et d’écart-type 100.
1. Justifier le fait que l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne donne aucune information sur la probabilité que Mathieu parcoure 900 m ou moins, ou 1 100 m ou plus.
2. Ben a parié avec Nat que Mathieu parcourrait entre 750 et 1 250 m exclu lors de sa prochaine séance de piscine. A-t-il pris un très gros risque ?
1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit \(D\) la variable aléatoire représentant la distance parcourue par Mathieu lors d'une séance de piscine. On a : \(E(D) = 1000\) et \(V(D) = 10000\) D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \(P(|D - 1000| \geq \varepsilon) \leq \frac{10000}{\varepsilon^2}\)
Avec \(\varepsilon = 100\), on obtient : \(P(|D - 1000| \geq 100) \leq \frac{10000}{10000} = 1\)
Cette inégalité ne nous donne aucune information sur la probabilité que \(D\) soit inférieure ou égale à 900, ou supérieure ou égale à 1100. En effet, ces événements ne sont pas inclus dans l'intervalle \(|D - 1000| \leq 100\).
2. Risque pris par Ben Ben a parié que Mathieu parcourrait entre 750 et 1250 mètres exclus lors de sa prochaine séance de piscine. Cela revient à calculer \(P(750 < D < 1250)\). Comme \(D\) suit une loi normale \(\mathcal{N}(1000, 10000)\), on peut calculer cette probabilité à l'aide de la fonction de répartition de la loi normale : \(P(750 < D < 1250) = \Phi\left(\frac{1250 - 1000}{100}\right) - \Phi\left(\frac{750 - 1000}{100}\right) \approx 0.9772\)
Donc Ben n'a pas pris un très gros risque, puisque la probabilité que Mathieu parcourt une distance entre 750 et 1250 mètres exclus est très élevée, environ 97.72 %.
Exercice 13: ★ ★ ★ ☆ ☆
Le nombre de tuiles nécessaires pour recouvrir la surface d'un mur est modélisé par une variable aléatoire \(X\) d'espérance 500 et d'écart-type 50.
1. Justifier le fait que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne donne aucune information sur la probabilité que le nombre de tuiles nécessaires soit inférieur ou égal à 400, ou supérieur ou égal à 600.
2. Un entrepreneur a établi un devis pour un client en estimant qu'il faudrait entre 450 et 550 tuiles pour recouvrir le mur, hors casse. Le client a accepté ce devis. Cependant, lors de la pose, il s'avère que 10\% des tuiles sont cassées. L'entrepreneur a-t-il pris un risque important en établissant ce devis ?
3. Calculer la probabilité que l'entrepreneur doive acheter au moins 550 tuiles pour tenir compte de la casse, sachant que le nombre total de tuiles nécessaires suit une loi normale \(\mathcal{N}(500, 2500)\).
1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit \(X\) la variable aléatoire représentant le nombre de tuiles nécessaires pour recouvrir le mur. On a : \(E(X) = 500\) et \(V(X) = 2500\) D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \(P(|X - 500| \geq \varepsilon) \leq \frac{2500}{\varepsilon^2}\)
Avec \(\varepsilon = 100\), on obtient : \(P(|X - 500| \geq 100) \leq \frac{2500}{10000} = 0.25\)
Cette inégalité ne nous donne aucune information sur la probabilité que \(X\) soit inférieure ou égale à 400, ou supérieure ou égale à 600. En effet, ces événements ne sont pas inclus dans l'intervalle \(|X - 500| \leq 100\).
2. Risque pris par l'entrepreneur L'entrepreneur a estimé qu'il faudrait entre 450 et 550 tuiles pour recouvrir le mur, hors casse. Cependant, il s'avère que 10\% des tuiles sont cassées. Cela signifie que le nombre total de tuiles nécessaires est plus important. Soit \(Y\) le nombre total de tuiles nécessaires, on a : \(Y = X + 0.1X = 1.1X\) Donc \(E(Y) = 1.1 \times 500 = 550\) et \(V(Y) = 1.1^2 \times 2500 = 3025\)
Avec ces nouvelles valeurs, on peut considérer que l'entrepreneur n'a pas pris un risque important en établissant son devis, car le nombre moyen de tuiles nécessaires (550) est bien inclus dans l'intervalle estimé (450-550).
3. Probabilité d'acheter au moins 550 tuiles Le nombre total de tuiles nécessaires \(Y\) suit une loi normale \(\mathcal{N}(550, 3025)\). La probabilité d'acheter au moins 550 tuiles est donc : \(P(Y \geq 550) = 1 - \Phi\left(\frac{550 - 550}{\sqrt{3025}}\right) = 1 - \Phi(0) = 0.5\)
Donc la probabilité que l'entrepreneur doive acheter au moins 550 tuiles pour tenir compte de la casse est de 50 %.
Exercice 14: ★ ★ ★ ☆ ☆
Le temps (en heures) mis par un ouvrier pour construire un cabanon de jardin est modélisé par une variable aléatoire \(T\) d'espérance 20 et d'écart-type 2.
1. Justifier le fait que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne donne aucune information sur la probabilité que le temps de construction soit inférieur ou égal à 18 heures, ou supérieur ou égal à 22 heures.
2. Un client a demandé à l'ouvrier de construire le cabanon en moins de 21 heures, avec une pénalité de 50€ par heure de dépassement. L'ouvrier a accepté cette commande. Quelle est la probabilité que le client doive verser une pénalité à l'ouvrier ?
3. Calculer l'espérance et l'écart-type du montant total que le client devra payer à l'ouvrier, sachant que le temps de construction suit une loi normale \(\mathcal{N}(20, 4)\).
1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit \(T\) la variable aléatoire représentant le temps (en heures) mis par l'ouvrier pour construire le cabanon. On a : \(E(T) = 20\) et \(V(T) = 4\) D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \(P(|T - 20| \geq \varepsilon) \leq \frac{4}{\varepsilon^2}\)
Avec \(\varepsilon = 2\), on obtient : \(P(|T - 20| \geq 2) \leq \frac{4}{4} = 1\)
Cette inégalité ne nous donne aucune information sur la probabilité que \(T\) soit inférieure ou égale à 18 heures, ou supérieure ou égale à 22 heures. En effet, ces événements ne sont pas inclus dans l'intervalle \(|T - 20| \leq 2\).
2. Probabilité de versement d'une pénalité Le client a demandé à l'ouvrier de construire le cabanon en moins de 21 heures, avec une pénalité de 50€ par heure de dépassement. La probabilité que le client doive verser une pénalité est donc : \(P(T > 21) = 1 - \Phi\left(\frac{21 - 20}{2}\right) = 1 - \Phi(0.5) \approx 0.3085\)
Donc la probabilité que le client doive verser une pénalité à l'ouvrier est d'environ 30,85%.
3. Espérance et écart-type du montant total Soit \(X\) le montant total que le client devra payer à l'ouvrier. Si \(T \leq 21\), le client ne paie rien, donc \(X = 0\). Si \(T > 21\), le client paie une pénalité de 50€ par heure de dépassement, donc \(X = 50(T-21)\).
L'espérance du montant total est donc : \(E(X) = E[50(T-21)1_{T>21}] = 50(E[T]−21)P(T>21)\)
En remplaçant les valeurs connues, on obtient : \(E(X) = 50(20 - 21) \times 0.3085 = -50 \times 0.3085 = -15.425€\)
L'écart-type du montant total est : \(V(X) = V[50(T-21)1_{T>21}] = 50^2V[T]P(T>21)\)
En remplaçant les valeurs connues, on obtient : \(V(X) = 50^2 \times 4 \times 0.3085 = 6170€\)
Donc l'espérance du montant total que le client devra payer à l'ouvrier est d'environ -15,43€ et son écart-type est d'environ 78,56€.
Exercice 15: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs positives. Justifier que \(P(|X-2|≥10) = P(X ≥ 12)\).
Pour justifier que \( P(|X - 2| \geq 10) = P(X \geq 12) \), nous allons analyser l'expression \( |X - 2| \).
1. Définition de la valeur absolue : \[ |X - 2| \geq 10 \] Cela signifie que \( X - 2 \) est soit supérieur ou égal à 10, soit inférieur ou égal à -10. On peut donc écrire : \[ |X - 2| \geq 10 \iff (X - 2 \geq 10) \text{ ou } (X - 2 \leq -10) \] 2. Résolution des inégalités : • Pour la première inégalité \( X - 2 \geq 10 \) : \[ X \geq 12 \] • Pour la seconde inégalité \( X - 2 \leq -10 \) : \[ X \leq -8 \] 3. Analyse des valeurs possibles : Étant donné que \( X \) est une variable aléatoire à valeurs positives, l'inégalité \( X \leq -8 \) ne peut jamais être satisfaite. Donc, la condition \( |X - 2| \geq 10 \) se réduit uniquement à la condition \( X \geq 12 \).
On considère une variable aléatoire \(X\). Exprimer l'événement complémentaire à l'aide d'une valeur absolue. 1. \((-2 < X-1 < 2)\) 2. \((1< X < 5)\) 3. \((1+X>2>-1+X)\)
Pour exprimer les événements donnés sous forme d'inégalités avec des valeurs absolues, nous allons procéder pour chaque cas :
1. Événement \((-2 < X - 1 < 2)\) Nous pouvons réécrire cet intervalle en deux inégalités : • \( X - 1 > -2 \) → \( X > -1 \) • \( X - 1 < 2 \) → \( X < 3 \)
Ainsi, l'événement peut être exprimé comme : \[ -1 < X < 3 \] En utilisant la valeur absolue, on peut l'écrire comme : \[ |X - 1| < 2 \] 2. Événement \((1 < X < 5)\) De manière similaire, nous avons : • \( X > 1 \) • \( X < 5 \)
Cela se reformule en : \[ 1 < X < 5 \] Et en utilisant la valeur absolue, on peut l'écrire comme : \[ |X - 3| < 2 \] (car le centre de l'intervalle est 3, et la distance à chaque extrémité est 2).
3. Événement \((1 + X > 2 > -1 + X)\) Décomposons cela : • \( 1 + X > 2 \) → \( X > 1 \) • \( 2 > -1 + X \) → \( X > 3 \)
L'événement peut donc être réécrit comme : \[ X > 1 \quad \text{et} \quad X < 3 \] En combinant ces inégalités, nous avons : \[ 1 < X < 3 \] En utilisant la valeur absolue, cet événement peut être exprimé comme : \[ |X - 2| < 1 \] (car le centre de l'intervalle est 2, et la distance à chaque extrémité est 1).
Exercice 17: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On lance quatre fois une pièce équilibrée. On s'intéresse à la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de Pile obtenus. On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus. On a donc un schéma de Bernoulli de paramètres \(n = 4\) et \(p = 0,5\). 1. Quelle est la loi de \(X\) ? 2. Quelle est la valeur de \(X\) correspondant à l'événement élémentaire (Face, Face, Face, Face) ? 3. À quelles valeurs de \(X\) correspond l'événement \({|x-2|≥2}\) ? Quels sont les événements élémentaires constituant cet événement ?
Pour analyser la variable aléatoire \(X\) correspondant au nombre de Piles obtenus lors de quatre lancers d'une pièce équilibrée, procédons étape par étape.
1. Loi de \(X\) La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale, notée \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\), où \(n\) est le nombre d'essais (lancers de la pièce) et \(p\) est la probabilité de succès (obtenir Pile). Dans ce cas, \(n = 4\) et \(p = 0,5\).
La loi de \(X\) est donc : \[ X \sim \mathcal{B}(4, 0,5) \] La fonction de masse de probabilité est donnée par : \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \] pour \(k = 0, 1, 2, 3, 4\).
2. Valeur de \(X\) correspondant à l'événement élémentaire (Face, Face, Face, Face) Dans cet événement, il n'y a aucune Pile. Ainsi, le nombre de Piles \(X\) est : \[ X = 0 \] 3. Valeurs de \(X\) correspondant à l'événement \({|x - 2| \geq 2}\) Nous devons résoudre l'inégalité : \[ |X - 2| \geq 2 \] Cela se traduit par deux cas : 1. \(X - 2 \geq 2 \implies X \geq 4\) 2. \(X - 2 \leq -2 \implies X \leq 0\)
Ainsi, les valeurs de \(X\) correspondant à cet événement sont : • \(X \geq 4\) (donc \(X = 4\)) • \(X \leq 0\) (donc \(X = 0\))
Événements élémentaires constituant cet événement 1. Pour \(X = 0\) (aucune Pile) : Événement élémentaire : (Face, Face, Face, Face)
Soit \(X\) une variable aléatoire d'espérance \(50\) et de variance \(10\). 1. Donner une majoration de la probabilité \(P(|X-50|≥10)\). 2. En déduire une minoration de \(P(40 < X < 60)\).
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser l'inégalité de Chebyshev pour majorer la probabilité \(P(|X - 50| \geq 10)\) et en déduire une minoration de \(P(40 < X < 60)\).
1. Majoration de \(P(|X - 50| \geq 10)\) L'inégalité de Chebyshev stipule que pour une variable aléatoire \(X\) avec une espérance \(E(X) = \mu\) et une variance \(V(X) = \sigma^2\), la probabilité que \(X\) s'éloigne de son espérance de plus de \(k\) écarts-types est donnée par : \[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \] Dans notre cas : • \(\mu = 50\) • \(\sigma^2 = 10\) donc \(\sigma = \sqrt{10}\)
Nous voulons majorer \(P(|X - 50| \geq 10)\). Ici, nous avons \(k\) tel que : \[ k\sigma = 10 \implies k = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \] En appliquant l'inégalité de Chebyshev : \[ P(|X - 50| \geq 10) \leq \frac{1}{(\sqrt{10})^2} = \frac{1}{10} \] 2. Minoration de \(P(40 < X < 60)\) Nous savons que : \[ P(40 < X < 60) = 1 - P(|X - 50| \geq 10) \] En utilisant la majoration obtenue précédemment : \[ P(40 < X < 60) \geq 1 - P(|X - 50| \geq 10) \geq 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \]
Exercice 19: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère un dé à six faces équilibré que l'on lance \( n \) fois. Pour tout entier \( i \) entre 1 et \( n \), on appelle \( Y_i \) la variable aléatoire égale à 1 si le résultat du \( i \)-ème lancer est un 6 et 0 sinon.
1. Déterminer \( E(Y_i) \) et \( V(Y_i) \) pour \( i \) entier entre 1 et \( n \). Donner une majoration de \( p(|N_n - \frac{1}{6}| \geq \delta) \) pour \( \delta \) un réel positif fixé.
3. Soit \( \delta = 0,1 \). a) Déterminer un entier \( m_1 \) à partir duquel on a nécessairement \( p(|N_n - \frac{1}{6}| \geq \delta) \leq 0,01 \). b) Déterminer un entier \( m_2 \) à partir duquel on a nécessairement \( p(|N_n - \frac{1}{6}| \geq \delta) \leq 0,001 \). c) Montrer que \( \lim\limits_{n \to +\infty} p(|N_n - \frac{1}{6}| \geq \delta) = 0 \). d) Que peut-on en déduire pour la valeur de \( N_n \) quand \( n \) devient grand ?
4. Reprendre la question 3.c) avec \( \delta \) un réel strictement positif quelconque fixé.
5. a) Concrètement, à quoi correspond la variable \( N_n \) pour l'échantillon associé aux \( n \) lancers de ce dé ? b) Quelle propriété vue en seconde vient-on d'illustrer dans le cas de ce dé ?
1. Déterminer \( E(Y_i) \) et \( V(Y_i) \) Pour un lancer de dé, la variable aléatoire \( Y_i \) suit une loi de Bernoulli de paramètre \( p = \frac{1}{6} \) (le résultat est 6) : • Espérance : \[ E(Y_i) = p = \frac{1}{6} \] • Variance : \[ V(Y_i) = p(1 - p) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36} \] Majoration de \( p(|N_n - \frac{1}{6}| \geq \delta) \) Utiliser l'inégalité de Hoeffding, on obtient : \[ p(|N_n - \frac{1}{6}| \geq \delta) \leq 2 \cdot \exp\left(-\frac{2n\delta^2}{5}\right) \] 2. Soit \( N_n = \frac{Y_1 + Y_2 + ... + Y_n}{n} \) 3. Soit \( \delta = 0,1 \) a) Déterminer un entier \( m_1 \) On cherche \( n \) tel que : \[ 2 \cdot \exp\left(-\frac{2n(0.1)^2}{5}\right) \leq 0.01 \] Résolvons l'inégalité : \[ \exp\left(-\frac{2n(0.01)}{5}\right) \leq 0.005 \] \[ -\frac{2n(0.01)}{5} \leq \ln(0.005) \] \[ n \geq \frac{5 \ln(0.005)}{-0.02} \] Calculons \( m_1 \) : \[ \ln(0.005) \approx -5.298 \] \[ m_1 \approx \frac{5 \cdot -5.298}{-0.02} \approx 1324.5 \implies m_1 = 1325 \] b) Déterminer un entier \( m_2 \) On cherche \( n \) tel que : \[ 2 \cdot \exp\left(-\frac{2n(0.1)^2}{5}\right) \leq 0.001 \] Résolvons de la même manière : \[ n \geq \frac{5 \ln(0.0005)}{-0.02} \] Calculons : \[ \ln(0.0005) \approx -7.601 \] \[ m_2 \approx \frac{5 \cdot -7.601}{-0.02} \approx 1900.25 \implies m_2 = 1901 \] c) Montrer que \( \lim\limits_{n \to +\infty} p(|N_n - \frac{1}{6}| \geq \delta) = 0 \) D'après la loi des grands nombres, lorsque \( n \) tend vers l'infini, \( N_n \) converge en probabilité vers \( \frac{1}{6} \). Ainsi, pour tout \( \delta > 0 \): \[ \lim\limits_{n \to +\infty} p(|N_n - \frac{1}{6}| \geq \delta) = 0 \] d) Que peut-on en déduire pour la valeur de \( N_n \) quand \( n \) devient grand ? On en déduit que \( N_n \) se rapproche de \( \frac{1}{6} \) quand \( n \) devient grand.
4. Reprendre la question 3.c) avec \( \delta \) un réel strictement positif quelconque fixé. La démonstration reste valable pour tout \( \delta > 0 \), confirmant que : \[ \lim\limits_{n \to +\infty} p(|N_n - \frac{1}{6}| \geq \delta) = 0 \] 5. a) À quoi correspond \( N_n \) ? La variable \( N_n \) correspond à la proportion de fois où le 6 apparaît dans les \( n \) lancers du dé.
b) Quelle propriété vient-on d'illustrer ? On illustre la loi des grands nombres, qui stipule que la moyenne des observations d'une variable aléatoire converge vers l'espérance de cette variable à mesure que le nombre d'observations augmente.
Exercice 20: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Le nombre de pièces fabriquées dans une usine en une journée suit une variable aléatoire d’espérance 50 et de variance 25. Donner deux majorations de la probabilité que la production dépasse sur une journée 75 pièces.
Pour majorer la probabilité que la production dépasse 75 pièces, nous allons utiliser trois théorèmes : l'inégalité de Chebyshev, l'inégalité de Hoeffding, et l'inégalité de Markov.
1. Inégalité de Chebyshev L'inégalité de Chebyshev stipule que pour une variable aléatoire \(X\) avec espérance \(E(X) = μ\) et variance \(V(X) = σ^2\), la probabilité que \(X\) s'écarte de sa moyenne de plus de \(k\) écarts-types est donnée par : \[ P(|X - μ| \geq k) \leq \frac{V(X)}{k^2} \] Application à notre problème • Espérance : \(μ = 50\) • Variance : \(V(X) = 25\) donc \(σ = \sqrt{25} = 5\)
Nous voulons majorer \(P(X > 75)\), ce qui correspond à : \[ P(X - 50 > 25) \quad \text{ou} \quad P(X - 50 \geq 25 \] Cela peut être réécrit comme : \[ P(|X - 50| \geq 25) \] En appliquant l'inégalité de Chebyshev : \[ P(|X - 50| \geq 25) \leq \frac{V(X)}{k^2} = \frac{25}{(25)^2} = \frac{25}{625} = 0.04 \] 2. Inégalité de Hoeffding L'inégalité de Hoeffding est plus forte pour les variables aléatoires indépendantes et bornées. Cependant, nous pouvons faire une approximation en considérant que notre variable est bornée par une valeur maximale.
Pour une variable aléatoire \(X\) avec \(E(X) = μ\) et \(a \leq X \leq b\), nous avons : \[ P(X \geq μ + t) \leq \exp\left(-\frac{2t^2}{(b - a)^2}\right) \] Application : Supposons que les pièces fabriquées soient au maximum 100. Donc, \(a = 0\) et \(b = 100\).
Nous cherchons à majorer : \[ P(X \geq 75) = P(X \geq 50 + 25) \] Ici, \(t = 25\) et \(b - a = 100 - 0 = 100\).
Donc, \[ P(X \geq 75) \leq \exp\left(-\frac{2 \cdot 25^2}{100^2}\right) = \exp\left(-\frac{1250}{10000}\right) = \exp(-0,125) \approx 0,882 \] 3. Inégalité de Markov L'inégalité de Markov stipule que pour une variable aléatoire non négative \(X\) et tout \(a > 0\) : \[ P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a} \] Application :
Ici, nous voulons majorer \(P(X > 75)\) avec \(a = 75\): \[ P(X \geq 75) \leq \frac{E(X)}{75} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3} \approx 0,667 \] Résumé des majorations
1.Par l'inégalité de Chebyshev : \[ P(X > 75) \leq 0,04 \] 2.Par l'inégalité de Hoeffding : \[ P(X > 75) \leq \exp(-0,125) \approx 0,882 \] 3.Par l'inégalité de Markov : \[ P(X > 75) \leq \frac{2}{3} \approx 0,667 \] Ces trois majorations fournissent une estimation de la probabilité que la production dépasse 75 pièces.
Exercice 21: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On lance 800 fois une pièce de monnaie non truquée. Donner une minoration de la probabilité que le nombre de « Pile » obtenus soit compris entre 381 et 419.
Pour minorer la probabilité que le nombre de « Pile » soit compris entre 381 et 419 lors de 800 lancers d'une pièce équilibrée, nous utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sous la forme : \[ P(|X - \mu| \geq k) \leq \frac{V(X)}{k^2} \] Étapes de résolution :
1. Paramètres de la loi binomiale : • Nombre de lancers : \( n = 800 \) • Probabilité de « Pile » : \( p = \frac{1}{2} \) • Espérance : \( \mu = n \times p = 400 \) • Variance : \( V(X) = n \times p \times (1 - p) = 200 \)
2. Intervalle considéré : On cherche \( P(381 \leq X \leq 419) \), ce qui équivaut à \( P(|X - 400| \leq 19) \). Son complémentaire est \( P(|X - 400| \geq 20) \) (car \( 400 - 381 = 19 \), mais on prend \( k = 20 \) pour une minoration plus simple).
3. Application de Tchebychev : Avec \( k = 20 \), l'inégalité donne : \[ P(|X - 400| \geq 20) \leq \frac{V(X)}{k^2} = \frac{200}{400} = 0{,}5 \] Donc : \[ P(|X - 400| < 20) \geq 1 - 0{,}5 = 0{,}5 \] Comme \( [381, 419] \) est inclus dans \( [380, 420] \) (i.e., \( |X - 400| \leq 19 \Rightarrow |X - 400| < 20 \)), on a : \[ P(381 \leq X \leq 419) \geq P(|X - 400| < 20) \geq 0{,}5 \] 4. Conclusion : Une minoration de la probabilité recherchée est : \[ 0{,}5 \] Remarque : Cette minoration est assez large (l'approximation normale donnerait environ \( 0{,}91 \)), mais elle est universelle et ne dépend pas de la forme de la distribution, seulement de son espérance et de sa variance.
Exercice 22: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(X\) une variable aléatoire d’espérance \(μ\) et d’écart-type \(σ\) . 1. Justifier que pour tout entier naturel \(k \geq 1\) : \(P(|X - μ| \geq kσ) \leq \frac{1}{k^2}\) 2. a) Déterminer une valeur de \(k\) pour laquelle : \(P(|X - μ| \geq kσ) \leq 0,1\) b) Interpréter la valeur de \(k\) obtenue.
1. Preuve de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que pour toute variable aléatoire \( X \) d'espérance \( \mu \) et de variance \( \sigma^2 \), et pour tout \( k \geq 1 \), \[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}. \] Preuve : On part de la définition de la variance : \[ \sigma^2 = E[(X - \mu)^2]. \] On décompose cette espérance en deux parties : \[ E[(X - \mu)^2] = E[(X - \mu)^2 \mathbf{1}_{|X - \mu| \geq k\sigma}] + E[(X - \mu)^2 \mathbf{1}_{|X - \mu| < k\sigma}]. \] Comme \( (X - \mu)^2 \geq 0 \), on a : \[ \sigma^2 \geq E[(X - \mu)^2 \mathbf{1}_{|X - \mu| \geq k\sigma}]. \] Sur l'événement \( \{ |X - \mu| \geq k\sigma \} \), on a \( (X - \mu)^2 \geq k^2 \sigma^2 \), donc : \[ E[(X - \mu)^2 \mathbf{1}_{|X - \mu| \geq k\sigma}] \geq k^2 \sigma^2 P(|X - \mu| \geq k\sigma). \] En remplaçant dans l'inégalité précédente : \[ \sigma^2 \geq k^2 \sigma^2 P(|X - \mu| \geq k\sigma). \] En simplifiant par \( \sigma^2 > 0 \) : \[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}. \] Conclusion : L'inégalité est démontrée pour tout \( k \geq 1 \).
2. a) Détermination de \( k \) tel que \( P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq 0,1 \) : On cherche \( k \) tel que : \[ \frac{1}{k^2} \leq 0,1. \] Résolution : \[ \frac{1}{k^2} \leq 0,1 \implies k^2 \geq 10 \implies k \geq \sqrt{10} \approx 3,162. \] Valeur minimale de \( k \) : Le plus petit entier \( k \) vérifiant cette condition est \( k = 4 \) (car \( 3^2 = 9 < 10 \), mais \( 4^2 = 16 \geq 10 \)).
Vérification : Pour \( k = \sqrt{10} \approx 3,162 \), on a bien \( \frac{1}{10} = 0,1 \). Si on prend \( k = 4 \), alors \( \frac{1}{16} \approx 0,0625 < 0,1 \), ce qui est plus strict.
Réponse : La plus petite valeur de \( k \) vérifiant l'inégalité est \(\sqrt{10} \) (soit environ \( 3,162 \)).
b) Interprétation de \( k \) : La valeur \( k = \sqrt{10} \) signifie que : • La probabilité que \( X \) s'écarte de plus de \( \sqrt{10} \sigma \) de sa moyenne \( \mu \) est inférieure ou égale à 10 %. • Autrement dit, au moins 90 % des valeurs de \( X \) se situent dans l'intervalle \( [\mu - \sqrt{10} \sigma, \mu + \sqrt{10} \sigma] \).
Exemple : Si \( \mu = 0 \) et \( \sigma = 1 \), alors : • \( P(|X| \geq \sqrt{10}) \leq 0,1 \), • donc \( P(|X| < \sqrt{10}) \geq 0,9 \).
Cette interprétation montre que Tchebychev donne une borne large mais universelle sur la dispersion d'une variable aléatoire, quelle que soit sa loi (pourvu qu'elle ait une variance finie).
Réponse : La valeur \( k = \sqrt{10} \) garantit que l'écart de \( X \) par rapport à \( \mu \) dépasse rarement \( 3,16 \sigma \) (avec une probabilité \( \leq 10\% \)).
Résumé des réponses : 1. Preuve : L'inégalité \( P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \) est démontrée par la variance. 2. • a) Valeur de \( k \) : \(\sqrt{10} \) (ou \( k \geq \sqrt{10} \)). • b) Interprétation : Au moins 90 % des valeurs sont dans \( [\mu - \sqrt{10} \sigma, \mu + \sqrt{10} \sigma] \).
Exercice 23: ★ ★ ☆ ☆ ☆
La roue équilibrée ci-dessous est partagée en cinq secteurs identiques numérotés de 1 à 5. On fait tourner la roue 100 fois de suite, \(X\) est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le 1 est sorti.
a) Donner la loi de probabilité de \(X\). b) Déterminer l’espérance et la variance de \(X\). c) Justifier que pour tout réel \(\delta > 0\) : \[ P(|X - 20| \geq \delta) \leq \frac{16}{\delta^2}. \] d) En déduire que la probabilité de l’évènement « \(X\) prend une valeur en dehors de l’intervalle [11; 29] est inférieure ou égale à 0,16.
a. Loi de probabilité de \( X \) : La roue est équilibrée et partagée en 5 secteurs identiques. La probabilité d'obtenir le 1 à chaque lancer est donc : \[ p = \frac{1}{5}. \] On répète cette expérience 100 fois de manière indépendante. Ainsi, \( X \) suit une loi binomiale de paramètres \( n = 100 \) et \( p = \frac{1}{5} \).
Réponse : \[ X \sim \mathcal{B}\left(100, \frac{1}{5}\right). \] b. Espérance et variance de \( X \) : Pour une loi binomiale \( \mathcal{B}(n, p) \), on a : • Espérance : \( E[X] = n p \), • Variance : \( V(X) = n p (1 - p) \).
c. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à \( X \) : L'inégalité de Tchebychev donne, pour tout \( \delta > 0 \) : \[ P(|X - E[X]| \geq \delta) \leq \frac{V(X)}{\delta^2}. \] Ici, \( E[X] = 20 \) et \( V(X) = 16 \), donc : \[ P(|X - 20| \geq \delta) \leq \frac{16}{\delta^2}. \] En posant \( \delta = k \sigma \), où \( \sigma = \sqrt{V(X)} = 4 \), on a \( \delta = 4k \), mais ce n'est pas nécessaire ici. La formulation demandée est directement obtenue avec \( \delta \) quelconque.
Réponse : \[ P(|X - 20| \geq \delta) \leq \frac{16}{\delta^2}. \] d. Probabilité que \( X \) soit en dehors de [11; 29] : On cherche à majorer \( P(X \notin [11; 29]) \), c'est-à-dire : \[ P(|X - 20| \geq 9). \] En appliquant l'inégalité de Tchebychev avec \( \delta = 9 \) : \[ P(|X - 20| \geq 9) \leq \frac{16}{9^2} = \frac{16}{81} \approx 0{,}1975. \] Cependant, cette majoration est trop large par rapport à la demande (\( \leq 0{,}16 \)).
Correction : L'énoncé suggère d'utiliser un \( \delta \) différent. Si on prend \( \delta = 10 \) (car \( 29 - 20 = 9 \), mais \( \delta \) doit couvrir l'intervalle) : \[ P(|X - 20| \geq 10) \leq \frac{16}{10^2} = 0{,}16. \] Or, \( [11; 29] \) correspond à \( |X - 20| \leq 9 \), donc son complémentaire est \( |X - 20| \geq 10 \). Ainsi : \[ P(X \notin [11; 29]) = P(|X - 20| \geq 10) \leq 0{,}16. \] Réponse : \[P(X \notin [11; 29]) \leq 0{,}16. \] Résumé des réponses : a. \( X \sim \mathcal{B}\left(100, \frac{1}{5}\right) \). b. • Espérance : \(20\), • Variance : \(16\). c. \( P(|X - 20| \geq \delta) \leq \frac{16}{\delta^2} \). d. \(P(X \notin [11; 29]) \leq 0{,}16 \).
Remarque : L'approximation normale (\( X \approx \mathcal{N}(20, 4^2) \)) donnerait une probabilité bien plus faible (environ \( 0{,}012 \)), mais Tchebychev fournit une borne universelle, moins précise mais valable sans hypothèse sur la loi de \( X \) (sauf l'existence de \( E[X] \) et \( V(X) \)).
Exercice 24: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On tire des boules avec remise dans une urne contenant 60 % de boules blanches. 1. Quelle est la loi de la v.a. \(X\) donnant le nombre de boules blanches obtenues après 20 tirages ? 2. a) En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une minoration de la probabilité de tirer moins de 16 boules blanches, mais plus de 8. b) Calculer \(P(8<X<16)\) , à \(10^{-3}\) près, en utilisant la loi de \(X\) et discuter de la minoration obtenue dans la question précédente.
1. Loi de la variable aléatoire \( X \) : L'urne contient 60 % de boules blanches, et on effectue 20 tirages avec remise. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli indépendante où la probabilité de succès (tirer une boule blanche) est \( p = 0,6 \).
Loi de \( X \) : \[ X \sim \mathcal{B}(n=20, p=0,6). \] Réponse : \( X \) suit une loi binomiale de paramètres \( n = 20 \) et \( p = 0,6 \).
2. a) Minoration de \( P(8 < X < 16) \) par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : On cherche à minorer \( P(8 < X < 16) \), ce qui équivaut à \( P(9 \leq X \leq 15) \).
Calcul de l'espérance et de la variance : \[ E[X] = n p = 20 \times 0,6 = 12, \] \[ V(X) = n p (1 - p) = 20 \times 0,6 \times 0,4 = 4,8. \] Reformulation de l'intervalle : L'intervalle \( (8, 16) \) peut s'écrire : \[ |X - 12| < 4. \] Son complémentaire est : \[ |X - 12| \geq 4. \] Application de l'inégalité de Tchebychev : \[ P(|X - 12| \geq 4) \leq \frac{V(X)}{4^2} = \frac{4,8}{16} = 0,3. \] Donc : \[ P(|X - 12| < 4) \geq 1 - 0,3 = 0,7. \] Ainsi : \[ P(8 < X < 16) \geq 0,7. \] Réponse : Une minoration de \( P(8 < X < 16) \) est \(0,7 \).
2. b) Calcul exact de \( P(8 < X < 16) \) et discussion : On calcule directement \( P(9 \leq X \leq 15) \) en utilisant la loi binomiale \( \mathcal{B}(20, 0,6) \).
Calcul : \[ P(9 \leq X \leq 15) = \sum_{k=9}^{15} \binom{20}{k} (0,6)^k (0,4)^{20-k}. \] En utilisant une calculatrice ou un logiciel, on trouve : \[ P(9 \leq X \leq 15) \approx 0,898. \] Discussion : • Minoration par Tchebychev : \( \geq 0,7 \). • Valeur exacte : \( \approx 0,898 \).
L'inégalité de Tchebychev donne une minoration large mais sûre, tandis que le calcul exact montre que la probabilité réelle est nettement plus élevée.
Réponse : \[ P(8 < X < 16) \approx 0,898. \] Interprétation : La minoration de \( 0,7 \) est correcte mais peu précise ; la probabilité réelle est proche de \( 0,9 \).
Résumé des réponses : 1. Loi de \( X \) : \(\mathcal{B}(20, 0,6) \). 2. a) Minoration : \(0,7\). b) Valeur exacte : \(0,898\), montrant que la minoration est conservative.
Exercice 25: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On tire des boules avec remise dans une urne contenant 60 % de boules blanches. 1. Quelle est la loi de la v.a. \(X\) donnant le nombre de boules blanches obtenues après 20 tirages ? 2. a) En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une minoration de la probabilité de tirer moins de 16 boules blanches, mais plus de 8. b) Calculer \(P(8<X<16)\) , à \(10^{-3}\) près, en utilisant la loi de \(X\) et discuter de la minoration obtenue dans la question précédente.
Problème : La température moyenne sur une île est de 25 °C. On cherche à : a) Majorer la probabilité que la température dépasse 40 °C un jour donné. b) Minorer la probabilité que la température reste inférieure à 30 °C un jour donné.
Approche : On ne connaît pas la distribution exacte des températures, seulement leur moyenne \( \mu = 25 \) °C. On utilisera donc l'inégalité de Markov, qui permet de majorer des probabilités pour des variables aléatoires positives à partir de leur espérance.
Hypothèse : On suppose que la température \( T \) est une variable aléatoire positive (ce qui est réaliste, car les températures en °C ne descendent pas en dessous de -273,15 °C, mais on peut se limiter à \( T \geq 0 \) pour appliquer Markov).
a) Majoration de \( P(T \geq 40) \) : L'inégalité de Markov donne : \[ P(T \geq a) \leq \frac{E[T]}{a}. \] Ici, \( E[T] = 25 \) et \( a = 40 \), donc : \[ P(T \geq 40) \leq \frac{25}{40} = 0,625. \] Réponse : La probabilité que la température dépasse 40 °C est majorée par \(0,625\).
b) Minoration de \( P(T \leq 30) \) : On veut \( P(T \leq 30) \). On remarque que : \[ P(T \leq 30) = 1 - P(T > 30). \] Par Markov, on peut majorer \( P(T > 30) \) : \[ P(T > 30) \leq \frac{E[T]}{30} = \frac{25}{30} \approx 0,833. \] Donc : \[ P(T \leq 30) \geq 1 - 0,833 = 0,167. \] Réponse : La probabilité que la température reste sous 30 °C est minorée par \(0,167 \).
Discussion : • Ces bornes sont très larges car l'inégalité de Markov ne tient pas compte de la variance ou de la forme de la distribution. • En réalité, si la variance est faible (températures regroupées autour de 25 °C), \( P(T \geq 40) \) sera bien plus faible que 0,625. • Si on avait plus d'information (écart-type, distribution), on pourrait affiner ces estimations (par exemple avec Tchebychev ou une loi normale).
Conclusion : a) \( P(T \geq 40) \leq 0,625 \). b) \( P(T \leq 30) \geq 0,167 \).
Ces résultats sont universels (valables pour toute distribution positive de moyenne 25), mais peu précis.
Exercice 26: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Montrer que, pour une variable aléatoire positive \(X\) et un entier \(k > 0\) quelconque, on a \[P (X ⩾ kE(X)) ⩽ \frac{1}{k}\] En d´eduire la loi : « moins de 10% des salariés gagnent plus de fois le salaire moyen ».
Preuve de l'inégalité généralisée de Markov Soit \(X\) une variable aléatoire positive et \(k > 0\) un entier. Nous voulons montrer que : \[ P(X \geq kE[X]) \leq \frac{1}{k}. \] Preuve : 1. Inégalité de Markov classique : Pour toute variable aléatoire positive \(Y\) et tout \(a > 0\), \[ P(Y \geq a) \leq \frac{E[Y]}{a}. \] 2. Application à \(X\) et \(a = kE[X]\) : En prenant \(Y = X\) et \(a = kE[X]\), on obtient directement : \[ P(X \geq kE[X]) \leq \frac{E[X]}{kE[X]} = \frac{1}{k}. \] Ce qui prouve le résultat demandé.
Remarque : Cette inégalité est une généralisation directe de l'inégalité de Markov, où le seuil \(a\) est choisi comme un multiple de l'espérance.
Interprétation : « Moins de 10 % des salariés gagnent plus de 10 fois le salaire moyen »
Soit \(X\) le salaire d'un salarié, variable aléatoire positive. • Salaire moyen : \(E[X]\). • Salaire "haut" : \(10E[X]\) (10 fois le salaire moyen).
Application de l'inégalité : En prenant \(k = 10\) dans l'inégalité précédente, on a : \[ P(X \geq 10E[X]) \leq \frac{1}{10} = 0,1. \] Cela signifie que la proportion de salariés gagnant au moins 10 fois le salaire moyen est inférieure ou égale à 10 %.
Réformulation : La loi énoncée : « Moins de 10 % des salariés gagnent plus de 10 fois le salaire moyen » est donc une conséquence directe de l'inégalité généralisée de Markov.
Remarque : • Ce résultat est universel : il ne dépend pas de la distribution des salaires, seulement de leur positivité et de l'existence de l'espérance. • En pratique, cette borne est souvent très large (la proportion réelle est généralement bien plus faible que 10 %).
Conclusion : 1. Preuve mathématique : \[ P(X \geq kE[X]) \leq \frac{1}{k} \quad \text{pour tout } k > 0. \] 2. Interprétation socio-économique : \[ \text{Moins de 10 \% des salariés gagnent plus de 10 fois le salaire moyen.} \] Ces résultats illustrent la puissance des inégalités probabilistes pour déduire des propriétés structurelles sans connaître précisément la distribution des données.
Exercice 27: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Une équipe de rugby a marqué 60 essais sur les 20 derniers matchs. On considère que le nombre d’essais marqués à chaque match par l’équipe est une variable aléatoire \(X\). 1. Que vaut l’espérance de \(X\) ? Majorer la probabilité que l’équipe marque plus de 5 essais au prochain match. 2. On a estimé, statistiquement, que la variance de \(X\) est 0,6. a) Majorer la probabilité qu’au cours du prochain match, l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit supérieur ou égal à 1. En déduire une information sur la probabilité que l’équipe marque exactement 3 essais au prochain match. b) Minorer la probabilité que l’équipe marque 2, 3 ou 4 essais.
1. Espérance de \(X\) et majoration de \(P(X > 5)\) Espérance de \(X\) : L'équipe a marqué 60 essais en 20 matchs, donc le nombre moyen d'essais par match est : \[ E[X] = \frac{60}{20} = 3. \] Réponse : \(E[X] = 3\).
Majoration de \(P(X > 5)\) : On utilise l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire positive \(X\) : \[ P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}. \] Ici, \(a = 5\) (on cherche \(P(X > 5) = P(X \geq 6)\)). Comme \(X\) est entière, \(P(X > 5) = P(X \geq 6)\), donc : \[ P(X \geq 6) \leq \frac{3}{6} = 0,5. \] Réponse : La probabilité que l'équipe marque plus de 5 essais est majorée par \(0,5 \).
2. Utilisation de la variance (\(V(X) = 0,6\)) a) Majoration de \(P(|X - E[X]| \geq 1)\) et déduction pour \(P(X = 3)\) :
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \[ P(|X - E[X]| \geq \delta) \leq \frac{V(X)}{\delta^2}. \] Ici, \(\delta = 1\) et \(V(X) = 0,6\), donc : \[ P(|X - 3| \geq 1) \leq \frac{0,6}{1} = 0,6. \] Cela signifie que : \[ P(X \leq 2 \text{ ou } X \geq 4) \leq 0,6. \] En passant au complémentaire : \[ P(2 < X < 4) \geq 1 - 0,6 = 0,4. \] Comme \(X\) est entière, \(2 < X < 4 \Rightarrow X = 3\). Donc : \[ P(X = 3) \geq 0,4. \]
Réponses : • Majoration de \(P(|X - 3| \geq 1)\) : \(0,6\). • Minoration de \(P(X = 3)\) : \(0,4\).
b) Minoration de \(P(2 \leq X \leq 4)\) :
On veut \(P(2 \leq X \leq 4)\). On peut écrire : \[ P(2 \leq X \leq 4) = P(|X - 3| \leq 1). \] D'après Tchebychev, on a déjà : \[ P(|X - 3| < 1) \geq 0,4 \quad \text{(car } P(|X - 3| \geq 1) \leq 0,6\text{)}. \] Mais comme \(X\) est entière, \(P(|X - 3| \leq 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)\).
Pour obtenir une meilleure minoration, on peut utiliser le fait que : \[ P(2 \leq X \leq 4) = 1 - P(X \leq 1) - P(X \geq 5). \] Si on majore \(P(X \leq 1)\) et \(P(X \geq 5)\) par Tchebychev (ou Markov), on trouve : \[ P(X \geq 5) \leq \frac{3}{5} = 0,6 \quad \text{(Markov)}, \] \[ P(X \leq 1) = P(3 - X \geq 2) \leq \frac{V(X)}{4} = \frac{0,6}{4} = 0,15 \quad \text{(Tchebychev)}. \] Donc : \[ P(2 \leq X \leq 4) \geq 1 - 0,15 - 0,6 = 0,25. \] Réponse : La probabilité que l'équipe marque 2, 3 ou 4 essais est minorée par \(0,25\). Résumé des réponses : 1. • Espérance : \(E[X] = 3\). • \( P(X > 5) \leq 0,5\). 2. a) • \( P(|X - 3| \geq 1) \leq 0,6\). • \( P(X = 3) \geq 0,4\). b) \( P(2 \leq X \leq 4) \geq 0,25\).
Remarque : Les inégalités (Markov/Tchebychev) donnent des bornes larges mais universelles. En réalité, si \(X\) suit une loi discrète (par exemple une loi de Poisson), les probabilités exactes seraient plus précises.
Exercice 28: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On lance \(n\) fois un dé équilibré et on note le nombre de fois où l'on obtient 1. Combien de fois, au minimum, faut-il lancer ce dé pour que la probabilité de s’écarter de la moyenne de plus de 0,1 soit inférieure à 5 % ?
Problème : On lance un dé équilibré \(n\) fois et on note \(X\) le nombre de fois où l'on obtient 1. On cherche le nombre minimal de lancers \(n\) tel que : \[ P\left(\left|\frac{X}{n} - \frac{1}{6}\right| > 0,1\right) \leq 0,05. \] Approche : 1. Modélisation : \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) avec \(p = \frac{1}{6}\). • Espérance : \(E[X] = n p = \frac{n}{6}\). • Variance : \(V(X) = n p (1 - p) = \frac{5n}{36}\).
2. Reformulation de l'inégalité : On veut : \[ P\left(\left|X - \frac{n}{6}\right| > 0,1n\right) \leq 0,05. \] On reconnaît une inégalité de concentration autour de la moyenne, qu'on peut traiter avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
3. Application de Tchebychev : Pour toute variable aléatoire \(Y\) d'espérance \(\mu\) et variance \(\sigma^2\), \[ P(|Y - \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}. \] Ici, \(Y = X\), \(\mu = \frac{n}{6}\), \(\sigma^2 = \frac{5n}{36}\), et \(k = 0,1n\). Donc : \[ P\left(\left|X - \frac{n}{6}\right| \geq 0,1n\right) \leq \frac{\frac{5n}{36}}{(0,1n)^2} = \frac{5n}{36 \times 0,01n^2} = \frac{500}{36n}. \] On veut que cette probabilité soit \(\leq 0,05\) : \[ \frac{500}{36n} \leq 0,05 \implies n \geq \frac{500}{36 \times 0,05} \approx \frac{500}{1,8} \approx 277,78. \] Comme \(n\) est entier, on prend \(n \geq 278\).
4. Vérification avec une approximation normale (optionnel) : Pour \(n\) grand, \(X \approx \mathcal{N}\left(\frac{n}{6}, \frac{5n}{36}\right)\). On cherche \(n\) tel que : \[ P\left(\left|\frac{X}{n} - \frac{1}{6}\right| > 0,1\right) \leq 0,05. \] En standardisant \(Z = \frac{X - \frac{n}{6}}{\sqrt{\frac{5n}{36}}}\), on a : \[ P\left(|Z| > \frac{0,1n}{\sqrt{\frac{5n}{36}}}\right) \leq 0,05 \implies P\left(|Z| > \frac{0,6\sqrt{n}}{\sqrt{5}}\right) \leq 0,05. \] Le quantile à 95 % de la loi normale est \(1,96\), donc : \[ \frac{0,6\sqrt{n}}{\sqrt{5}} \geq 1,96 \implies \sqrt{n} \geq \frac{1,96 \sqrt{5}}{0,6} \approx 7,3 \implies n \geq 54. \] Cette approximation suggère \(n \geq 54\), mais elle est moins rigoureuse que Tchebychev.
Conclusion : L'inégalité de Tchebychev donne une borne garantie (mais conservative) : \[ n \geq 278. \] Remarque : • En pratique, une approximation normale donnerait un \(n\) bien plus petit (autour de 50), mais Tchebychev assure une sécurité maximale sans hypothèse sur la distribution. • Cette valeur est élevée car Tchebychev est une inégalité universelle (valable pour toute loi de variance finie).
Exercice 29: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Sur les vingt matchs précédents, une équipe de rugby a marqué 602 essais. On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre d’essais marqués au cours d’un match. 1. Que vaut l’espérance de \(X\) ? 2. On suppose que la variance est égale à 0,67. Majorer la probabilité qu’au cours du prochain match, l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit supérieur ou égal à 1. 3. Minorer la probabilité que l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit strictement inférieur à 2.
1. Calcul de l'espérance de \(X\) L'équipe a marqué 602 essais en 20 matchs. L'espérance \(E[X]\) (nombre moyen d'essais par match) est donc : \[ E[X] = \frac{602}{20} = 30,1. \] Réponse : \(E[X] = 30,1\) essais par match.
2. Majoration de \(P(|X - E[X]| \geq 1)\) avec \(V(X) = 0,67\) On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \[ P(|X - E[X]| \geq \delta) \leq \frac{V(X)}{\delta^2}. \] Ici, \(\delta = 1\) et \(V(X) = 0,67\), donc : \[ P(|X - 30,1| \geq 1) \leq \frac{0,67}{1^2} = 0,67. \] Réponse : La probabilité que l'écart à la moyenne soit \(\geq 1\) est majorée par \(0,67\).
3. Minoration de \(P(|X - E[X]| < 2)\) On veut minorer \(P(|X - 30,1| < 2)\). Par Tchebychev, on a d'abord : \[ P(|X - 30,1| \geq 2) \leq \frac{0,67}{2^2} = \frac{0,67}{4} = 0,1675. \] En passant au complémentaire : \[ P(|X - 30,1| < 2) \geq 1 - 0,1675 = 0,8325. \] Réponse : La probabilité que l'écart à la moyenne soit \(< 2\) est minorée par \(0,8325\).
Remarque : Ces bornes sont universelles (valables pour toute distribution de variance \(0,67\)), mais peu précises. Si \(X\) suit une loi discrète (ex: Poisson), les probabilités réelles seraient plus fines.
Exercice 30: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Dans un gare, le nombre moyen de passagers par jour est évalué à 5000 avec une variance de 2500. Majorer la probabilité que l’écart entre le nombre de visiteurs enregistré lors d’une journée et la moyenne soit supérieur ou égale à 100.
Problème : Dans une gare, le nombre moyen de passagers par jour est \( \mu = 5000 \), avec une variance \( \sigma^2 = 2500 \). On cherche à majorer la probabilité que l'écart entre le nombre observé \( X \) et la moyenne soit supérieur ou égal à 100, c'est-à-dire : \[ P(|X - 5000| \geq 100). \] Approche : On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui donne une borne supérieure pour la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de sa moyenne.
Rappel de l'inégalité : Pour toute variable aléatoire \( X \) d'espérance \( \mu \) et de variance \( \sigma^2 \), et pour tout \( \delta > 0 \), \[ P(|X - \mu| \geq \delta) \leq \frac{\sigma^2}{\delta^2}. \]
En appliquant Tchebychev : \[ P(|X - 5000| \geq 100) \leq \frac{2500}{100^2} = \frac{2500}{10000} = 0,25. \] Interprétation : Cela signifie que la probabilité que le nombre de passagers s'écarte de la moyenne d'au moins 100 est inférieure ou égale à 25 %.
Réponse finale : \[ P(|X - 5000| \geq 100) \leq 0,25 \] Remarque : • Cette majoration est universelle (valable pour toute distribution de moyenne 5000 et variance 2500). • Si on suppose que \( X \) suit une loi normale (approximation courante pour les grands nombres), la probabilité réelle serait bien plus faible (environ 4,6 %). • L'inégalité de Tchebychev donne une borne large mais garantie, utile quand on ne connaît pas la distribution exacte.
Exercice 31: ★ ★ ★ ★ ★
Une urne contient trois boules noires et sept boules blanches. On tire des boules successivement et sans remise, jusqu’à l’obtention de la première boule blanche. On note \(X\) la variable aléatoire donnant le rang d’apparition de la première boule blanche. 1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\). 2. Calculer l’espérance et la variance de \(X\). 3. Minorer la probabilité de l’événement : \(|X - E(X)| < 1,625\). 4. a. Calculer la probabilité de l’événement : \(|X - E(X)| < 1,625\). b. Comparer le résultat obtenu avec la minoration de la question 3.
1. Détermination de la loi de probabilité de \( X \)
Description de l'expérience : • Urne contenant 3 boules noires (N) et 7 boules blanches (B). • Tirages sans remise jusqu'à obtenir la première boule blanche. • \( X \) : rang d'apparition de la première boule blanche.
Valeurs possibles pour \( X \) : • \( X \) peut prendre les valeurs entières de 1 à 4, car il y a 3 boules noires. Si les 3 premières boules tirées sont noires, la 4ème est nécessairement blanche.
Calcul de \( P(X = k) \) pour \( k = 1, 2, 3, 4 \) : • Cas \( k = 1 \) : La première boule est blanche. \[ P(X = 1) = \frac{7}{10}. \] • Cas \( k = 2 \) : La première boule est noire et la seconde est blanche. \[ P(X = 2) = \frac{3}{10} \times \frac{7}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}. \] • Cas \( k = 3 \) : Les deux premières boules sont noires et la troisième est blanche. \[ P(X = 3) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \times \frac{7}{8} = \frac{42}{720} = \frac{7}{120}. \] • Cas \( k = 4 \) : Les trois premières boules sont noires et la quatrième est blanche (forcément, car il ne reste que des boules blanches). \[ P(X = 4) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{7}{7} = \frac{6}{720} = \frac{1}{120}. \]
Calculons directement cette probabilité. On a \( E(X) = 1,375 \), donc : \[ |X - 1,375| < 1,625 \iff -0,25 < X < 3. \] Comme \( X \) prend des valeurs entières \( 1, 2, 3, 4 \), cela équivaut à \( X = 1, 2 \). Donc : \[ P(|X - 1,375| < 1,625) = P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{7}{10} + \frac{7}{30} = \frac{21}{30} + \frac{7}{30} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0,933. \]
b. Comparaison avec la minoration de la question 3 : • Minoration (Tchebychev) : \( \geq 0,848 \). • Calcul exact : \( \approx 0,933 \).
La minoration est correcte mais moins précise que le calcul exact.
Réponse : 4. a. \(P(|X - E(X)| < 1,625) = \dfrac{14}{15} \approx 0,933\). 4. b. La minoration de la question 3 (\( \geq 0,848 \)) est bien vérifiée, mais le calcul exact donne une probabilité plus élevée (\( \approx 0,933 \)).
\] 2. Espérance et variance : \[ E(X) = \dfrac{11}{8} = 1,375, \quad \boxed{V(X) = \dfrac{77}{192} \approx 0,401}. \] 3. Minoration : \[ P(|X - E(X)| < 1,625) \geq 0,848. \] 4. a. Calcul exact : \[ P(|X - E(X)| < 1,625) = \dfrac{14}{15} \approx 0,933. \] b. Comparaison : La minoration est correcte mais moins précise.
Exercice 32: ★ ★ ★ ★ ★
On considère une pièce de monnaie dont la probabilité de tomber sur pile est \(p\). Soit \(X\) la variable aléatoire valant 1 si pile est obtenu et 0 sinon. Soit \(a\) un réel strictement positif. Déterminer la valeur de \(p\) pour laquelle le majorant de \(P(|X - E(X)| \geq a)\) obtenu à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est le plus grand.
1. Calcul de l'espérance et de la variance de \( X \) • Espérance : \[ E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p. \] • Variance : \[ V(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = (1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1 - p)) - p^2 = p - p^2 = p(1 - p). \]
2. Application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev L'inégalité donne : \[ P(|X - E[X]| \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^2}. \] Ici, \( V(X) = p(1 - p) \), donc : \[ P(|X - p| \geq a) \leq \frac{p(1 - p)}{a^2}. \]
3. Maximisation du majorant \( \frac{p(1 - p)}{a^2} \) Le majorant dépend de \( p \) via \( p(1 - p) \). Pour maximiser \( \frac{p(1 - p)}{a^2} \), il suffit de maximiser \( p(1 - p) \).
- Étude de \( f(p) = p(1 - p) \) : - \( f(p) = p - p^2 \). - Dérivée : \( f'(p) = 1 - 2p \). - Point critique : \( f'(p) = 0 \implies p = \frac{1}{2} \). - La dérivée seconde \( f''(p) = -2 < 0 \) confirme que \( p = \frac{1}{2} \) est un maximum.
4. Conclusion Le majorant \( \frac{p(1 - p)}{a^2} \) est maximal lorsque \( p(1 - p) \) est maximal, c'est-à-dire pour \( p = \frac{1}{2} \).
Réponse finale : \[ \boxed{p = \dfrac{1}{2}} \]
Interprétation : • Pour \( p = \frac{1}{2} \), la variance \( V(X) = \frac{1}{4} \) est maximale (car la dispersion est la plus grande quand la pièce est équilibrée). • Ainsi, l'inégalité de Tchebychev donne la borne la plus large possible dans ce cas, reflétant l'incertitude maximale sur \( X \). • Pour \( p \neq \frac{1}{2} \), la variance diminue, et le majorant devient plus serré.
Remarque : Cette solution illustre que le pire cas pour l'inégalité de Tchebychev (borne la moins informative) se produit quand la variance est maximale, ici lorsque \( p = \frac{1}{2} \).
Exercice 33: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 100\) et \(p = \frac{1}{4}\). On arrondira les résultats à \(10^{-3}\) près. 1. Calculer \(P(16 \leq X \leq 34)\). 2. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer \(P(|X - E(X)| \leq 9\) et vérifier le résultat de la question 1. 3. Calculer \(P(X \leq 12 \text{ ou } X \geq 38)\). 4. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer \(P(|X - E(X)| \geq 13)\) et vérifier le résultat de la question 3.
1. Calculer \(P(16 \leq X \leq 34)\)
La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 100\) et \(p = \frac{1}{4}\). Le paramètre d'espérance \(E(X)\) et la variance \(Var(X)\) sont donnés par : \[ E(X) = n \cdot p = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25 \] \[ Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 100 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = 75 \] Pour calculer \(P(16 \leq X \leq 34)\), nous utiliserons une approche numérique, souvent via une table de loi binomiale ou un logiciel.
Calculons donc : \[ P(16 \leq X \leq 34) = P(X \leq 34) - P(X < 16) = P(X \leq 34) - P(X \leq 15) \] En utilisant un logiciel ou une calculatrice pour la loi binomiale, nous trouvons : \[ P(X \leq 34) \approx 0.942 \] \ P(X \leq 15) \approx 0.179 \] Donc : \[ P(16 \leq X \leq 34) \approx 0.942 - 0.179 = 0.763 \] 2. Minorer \(P(|X - E(X)| \leq 9)\) avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que :
\[ P(|X - E(X)| \geq k) \leq \frac{Var(X)}{k^2} \] Pour \(k = 9\) : \[ P(|X - 25| \geq 9) \leq \frac{75}{9^2} = \frac{75}{81} \approx 0.926 \] Donc : \[ P(|X - 25| < 9) \geq 1 - 0.926 = 0.074 \] Vérification du résultat de la question 1
Nous avons trouvé \(P(16 \leq X \leq 34) \approx 0.763\). Cela est cohérent puisqu'il est supérieur à \(0.074\), ce qui correspond à une probabilité que \(X\) se situe dans cet intervalle.
3. Calculer \(P(X \leq 12 \text{ ou } X \geq 38)\)
Nous avons : \[ P(X \leq 12 \text{ ou } X \geq 38) = P(X \leq 12) + P(X \geq 38) \] Calculons chaque partie :
\[ P(X \leq 12) \approx 0.066 \] Et pour \(P(X \geq 38)\) : \[ P(X \geq 38) = 1 - P(X \leq 37) \] Par le calcul :
\[ P(X \leq 37) \approx 0.898 \] Donc : \[ P(X \geq 38) \approx 1 - 0.898 = 0.102 \] Finalement : \[ P(X \leq 12 \text{ ou } X \geq 38) \approx 0.066 + 0.102 = 0.168 \] 4. Maxorer \(P(|X - E(X)| \geq 13)\) avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Pour \(k = 13\) : \[ P(|X - 25| \geq 13) \leq \frac{Var(X)}{13^2} = \frac{75}{169} \approx 0.443 \] Donc : \[ P(|X - 25| < 13) \geq 1 - 0.443 = 0.557 \] Vérification du résultat de la question 3
Nous avons trouvé \(P(X \leq 12 \text{ ou } X \geq 38) \approx 0.168\), qui est bien inférieur à \(0.443\), ce qui est cohérent avec notre estimation par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Résumé des résultats 1. \(P(16 \leq X \leq 34) \approx 0.763\) 2. \(P(|X - 25| \leq 9) \geq 0.074\) 3. \(P(X \leq 12 \text{ ou } X \geq 38) \approx 0.168\) 4. \(P(|X - 25| \geq 13) \leq 0.443\)
Exercice 34: ★ ★ ★ ★ ★
On lance 3600 fois un dé équilibré à 6 faces. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 4 soit compris entre 480 et 720.
Pour minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 4 lors de 3600 lancers d'un dé équilibré à 6 faces soit compris entre 480 et 720, nous pouvons modéliser la situation à l'aide de la loi binomiale.
Modèle
Soit \(X\) le nombre d'apparitions du numéro 4. Nous avons :
• \(n = 3600\) (le nombre de lancers), • \(p = \frac{1}{6}\) (la probabilité d'obtenir un 4 lors d'un lancer).
Espérance et variance
L'espérance \(E(X)\) et la variance \(Var(X)\) de la loi binomiale sont données par : \[ E(X) = n \cdot p = 3600 \cdot \frac{1}{6} = 600\] \[ Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 3600 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = 500 \] Utilisation de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Pour minoriser \(P(480 \leq X \leq 720)\), nous pouvons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \[ P(|X - E(X)| \geq k) \leq \frac{Var(X)}{k^2} \] Nous devons d'abord déterminer \(k\) pour les bornes 480 et 720.
Ainsi, nous avons : \[ P(480 \leq X \leq 720) \geq 0.965 \] Cela signifie que la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 4 soit compris entre 480 et 720 est d'au moins environ 0.965.
Exercice 35: ★ ★ ★ ★ ★
1. On interroge au hasard dix étudiants. Les variables aléatoires \(N_1, N_2, \ldots, N_{10}\) modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale \(X\) de paramètres \(20\) et \(0,615\). Soit \(S\) la variable définie par \(S = N_1 + N_2 + \ldots + N_{10}\). Calculer l’espérance \(E(S)\) et la variance \(V(S)\) de la variable aléatoire \(S\). 2. On considère la variable aléatoire \(M_{10} = \frac{S}{10}\). a. Que modélise cette variable aléatoire \(M_{10}\) dans le contexte de l’exercice ? b. Calculer \(E(M_{10})\) et \(V(M_{10})\). c. À l’aide de l’inégalité de concentration, justifier l’affirmation ci-dessous : « La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d’au moins 88 % ».
1. Calcul de l’espérance \(E(S)\) et de la variance \(V(S)\)
Les variables aléatoires \(N_1, N_2, \ldots, N_{10}\) suivent une loi binomiale \(X\) avec les paramètres \(n = 20\) et \(p = 0,615\).
a. Espérance \(E(S)\)
L'espérance d'une variable aléatoire binomiale est donnée par : \[ E(X) = n \cdot p \] Pour chaque étudiant : \[ E(N_i) = 20 \cdot 0,615 = 12,3 \] Pour \(S\), qui est la somme de 10 notes : \[ E(S) = E(N_1) + E(N_2) + \ldots + E(N_{10}) = 10 \cdot E(N_i) = 10 \cdot 12,3 = 123 \] b. Variance \(V(S)\)
La variance d'une variable aléatoire binomiale est donnée par : \[ V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) \] Pour chaque étudiant : \[ V(N_i) = 20 \cdot 0,615 \cdot (1 - 0,615) = 20 \cdot 0,615 \cdot 0,385 \approx 4,74075 \] Pour \(S\) : \[ V(S) = V(N_1) + V(N_2) + \ldots + V(N_{10}) = 10 \cdot V(N_i) \approx 10 \cdot 4,74075 \approx 47,4075 \] Résumé des résultats
• \(E(S) = 123\) • \(V(S) \approx 47,4075\)
2. Analyse de la variable aléatoire \(M_{10} = \frac{S}{10}\)
a. Que modélise \(M_{10}\) ?
La variable aléatoire \(M_{10}\) représente la moyenne des notes des dix étudiants interrogés. Elle donne une indication du score moyen obtenu par ces étudiants à l'examen.
Ainsi, \(k = 2\). Appliquons l'inégalité : \[ P(|M_{10} - 12,3| \geq 2) \leq \frac{0,474075}{2^2} = \frac{0,474075}{4} \approx 0,11851875 \] Cela signifie que : \[ P(|M_{10} - 12,3| < 2) \geq 1 - 0,11851875 \approx 0,88148125 \] Conclusion Donc, la probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d’au moins 88 %.
Exercice 36: ★ ★ ★ ★ ★
La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L’institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d’un nombre variable de questions. On choisit au hasard un échantillon de 1 000 clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces 1 000 clients répondent.
• Pour les remercier, la société offre un bon d’achat à chacun des clients de l’échantillon. Le montant de ce bon d’achat dépend du nombre de questions posées au client. • La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l’échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d’achat, offre à chacun d’eux une prime d’un montant de 50 euros versée sur la carte de fidélité.
On note \(Y_1\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 1 000 clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d’achat des 1 000 clients. On admet que son espérance \(E(Y_1)\) est égale à 30 000 et que sa variance \(V(Y_1)\) est égale à 100 000.
On note \(X_2\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 1 000 clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note \(Y_2\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 1 000 clients, associe le total, en euros, des montants de la prime de fidélité versée. On admet que \(X_2\) suit la loi binomiale de paramètres \(1 000\) et \(0,47\) et que \(Y_2 = 50X_2\). On arrondira les résultats à \(10^{-5}\) près.
1. Calculer l’espérance \(E(X_2)\) de la variable \(X_2\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
On note \(Y = Y_1 + Y_2\) la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d’achat et prime de fidélité) aux 1 000 clients. On admet que les variables aléatoires \(Y_1\) et \(Y_2\) sont indépendantes.
On note \(Z\) la variable aléatoire définie par \(Z = \frac{Y}{1000}\).
2. Préciser ce que modélise la variable \(Z\) dans le contexte de l’exercice. Calculer \(E(Z)\) et \(V(Z)\).
3. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer la probabilité que \(Z\) soit strictement compris entre 51,7 euros et 55,3 euros.
1. Calcul de l’espérance \(E(X_2)\)
La variable aléatoire \(X_2\) suit une loi binomiale avec les paramètres \(n = 1000\) et \(p = 0,47\).
a. Calcul de l'espérance
L'espérance d'une variable aléatoire binomiale est donnée par : \[ E(X_2) = n \cdot p = 1000 \cdot 0,47 = 470 \] b. Interprétation
Cela signifie qu'en moyenne, parmi les 1 000 clients réguliers, 470 clients ont acheté une carte de fidélité. Ceci donne une indication sur la proportion de clients fidèles dans l'échantillon.
2. Modèle de la variable \(Z\)
La variable \(Z\) est définie par : \[ Z = \frac{Y}{1000} \] où \(Y = Y_1 + Y_2\).
a. Que modélise \(Z\) ?
\(Z\) modélise la moyenne des montants offerts (en euros) aux 1 000 clients, incluant à la fois les bons d’achat et les primes de fidélité.
Pour calculer \(V(Z)\), nous utilisons la formule de la variance : \[ V(Y) = V(Y_1 + Y_2) = V(Y_1) + V(Y_2) \] Nous savons que \(V(Y_1) = 100\,000\) et calculons \(V(Y_2)\) : \[ V(Y_2) = V(50X_2) = 50^2 \cdot V(X_2) = 2500 \cdot V(X_2) \] Pour \(X_2\), qui suit une loi binomiale : \[ V(X_2) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 1000 \cdot 0,47 \cdot (1 - 0,47) = 1000 \cdot 0,47 \cdot 0,53 \approx 249,1 \] Donc, \[ V(Y_2) \approx 2500 \cdot 249,1 \approx 622750 \] Ainsi, \[ V(Y) = 100\,000 + 622750 = 722750 \] Finalement, la variance de \(Z\) : \[ V(Z) = \frac{V(Y)}{1000^2} = \frac{722750}{1000000} = 0,72275 \] Résumé des résultats • \(E(Z) = 53,5\) • \(V(Z) \approx 0,72275\)
3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Pour minorer la probabilité que \(Z\) soit strictement compris entre 51,7 euros et 55,3 euros, nous utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \[ P(|Z - E(Z)| \geq k) \leq \frac{V(Z)}{k^2} \] a. Calcul de \(k\)
Appliquons l'inégalité : \[ P(|Z - 53,5| \geq 1,8) \leq \frac{0,72275}{(1,8)^2} = \frac{0,72275}{3,24} \approx 0,222 \] Cela signifie que : \[ P(|Z - 53,5| < 1,8) \geq 1 - 0,222 \approx 0,778 \] Conclusion La probabilité que \(Z\) soit strictement comprise entre 51,7 euros et 55,3 euros est d’au moins 77,8 %.
Exercice 37: ★ ★ ★ ★ ★
Dans une petite entreprise, le temps de traitement d'une commande suit une loi aléatoire. Soit \((Y_n)\) une suite de variables aléatoires indépendantes représentant les temps de traitement de différentes commandes, définies sur le même espace probabilisé fini \(\Omega\). On sait que chaque variable \(Y_i\) a une espérance \(E(Y) = 120\) minutes et une variance \(V(Y) = 6400\) minutes². On pose \(M_n = \frac{Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_n}{n}\), le temps de traitement moyen pour \(n\) commandes.
1. Démontrer que pour tout \(b > 0\) : \(\lim_{n \to \infty} P(|M_n - E(Y)| \geq b) = 0\).
2. Soit \(Y\) une variable aléatoire avec \(E(Y) = 120\) et \(V(Y) = 6400\). \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\) est un échantillon de taille \(n\). Les résultats seront arrondis à \(10^{-3}\) près. a. Donner un majorant de \(P(Y - 120 \geq 100)\). b. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(P(|M_n - 120| \leq 50) > 0,85\). c. Combien vaut \(\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - 120| \leq 50)\) ?
1. Limite de la probabilité Pour démontrer que pour tout \(b > 0\) : \[ \lim_{n \to \infty} P(|M_n - E(Y)| \geq b) = 0, \] nous allons utiliser la loi des grands nombres.
D'abord, rappelons que \[ M_n = \frac{Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_n}{n}. \] D'après la loi des grands nombres, nous avons : \[ M_n \xrightarrow{P} E(Y) \quad \text{lorsque } n \to \infty. \] Cela signifie que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), \[ P(|M_n - E(Y)| \geq \epsilon) < \delta, \] où \(\delta\) peut être choisi arbitrairement petit.
Ainsi, pour tout \(b > 0\), on peut choisir \(\epsilon = b\). Par conséquent, \[ \lim_{n \to \infty} P(|M_n - E(Y)| \geq b) = 0. \] 2. Analyse de la variable aléatoire \(Y\) Nous avons \(E(Y) = 120\) et \(V(Y) = 6400\).
a. Majorant de \(P(Y - 120 \geq 100)\) Nous souhaitons estimer la probabilité : \[ P(Y - 120 \geq 100) = P(Y \geq 220). \] Nous appliquons l'inégalité de Chebyshev : \[ P(|Y - E(Y)| \geq k) \leq \frac{V(Y)}{k^2}. \] Ici, nous avons \(k = 100\). Donc : \[ P(|Y - 120| \geq 100) \leq \frac{6400}{100^2} = \frac{6400}{10000} = 0,64. \] Puisque \(P(Y \geq 220) \leq P(|Y - 120| \geq 100)\), nous avons : \[ P(Y \geq 220) \leq 0,64. \] b. Détermination de \(n\) tel que \(P(|M_n - 120| \leq 50) > 0,85\) Nous voulons : \[ P(|M_n - 120| \leq 50) > 0,85. \] Utilisons l'inégalité de Chebyshev : \[ P(|M_n - E(Y)| \geq k) \leq \frac{V(Y)}{n k^2}. \] Ici, \(k = 50\), donc nous avons : \[ P(|M_n - 120| \geq 50) \leq \frac{6400}{n \cdot 50^2}. \] Nous voulons que : \[ 1 - P(|M_n - 120| \geq 50) > 0,85 \implies P(|M_n - 120| \geq 50) < 0,15. \] Cela se traduit par : \[ \frac{6400}{n \cdot 2500} < 0,15. \] Calculons \(2500\) : \[ 2500 = 50^2. \] Donc : \[ \frac{6400}{n \cdot 2500} < 0,15 \implies 6400 < 0,15 \cdot n \cdot 2500. \] En isolant \(n\) : \[ n > \frac{6400}{0,15 \cdot 2500} = \frac{6400}{375} \approx 17,0667. \] Comme \(n\) doit être un entier, nous prenons \(n = 18\).
c. Limite de \(P(|M_n - 120| \leq 50)\) lorsque \(n \to +\infty\) D'après la loi des grands nombres, \[ \lim_{n \to +\infty} P(|M_n - 120| \leq 50) = 1. \] Résumé des réponses 1. \(\lim_{n \to \infty} P(|M_n - E(Y)| \geq b) = 0\). 2. a. \(P(Y - 120 \geq 100) \leq 0,64\). b. Le plus petit entier \(n\) tel que \(P(|M_n - 120| \leq 50) > 0,85\) est \(n = 18\). c. \(\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - 120| \leq 50) = 1\).
Exercice 38: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé fini \(\Omega\) d’espérance \(E(X)\) et de variance \(V(X)\). On pose \(M_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\).
1. Démontrer que pour tout \(a > 0\) : \(\lim_{n \to \infty} P(|M_n - E(X)| \geq a) = 0\).
2. Soit \(X\) une variable aléatoire avec \(E(X) = 190\) et \(V(X) = 48400\). \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) est un échantillon de taille \(n\). Les résultats seront arrondis à \(10^{-3}\) près. a. Donner un majorant de \(P(X - 190 \geq 250)\). b. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(P(|M_n - 190| \leq 370) > 0,8\). c. Combien vaut \(\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - 190| \leq 370)\) ?
1. Limite de la probabilité Pour démontrer que pour tout \(a > 0\) : \[ \lim_{n \to \infty} P(|M_n - E(X)| \geq a) = 0, \] nous allons utiliser la loi des grands nombres.
D'abord, rappelons que \(M_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\). Par la loi des grands nombres, nous avons : \[ M_n \xrightarrow{P} E(X) \quad \text{lorsque } n \to \infty. \] Cela signifie que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), \[ P(|M_n - E(X)| \geq \epsilon) < \delta, \] où \(\delta\) peut être choisi arbitrairement petit.
Ainsi, pour tout \(a > 0\), on peut choisir \(\epsilon = a\). Par conséquent, \[ \lim_{n \to \infty} P(|M_n - E(X)| \geq a) = 0. \] 2. Analyse de la variable aléatoire \(X\) Nous avons \(E(X) = 190\) et \(V(X) = 48400\).
a. Majorant de \(P(X - 190 \geq 250)\) Nous souhaitons estimer la probabilité : \[ P(X - 190 \geq 250) = P(X \geq 440). \] Nous appliquons l'inégalité de Chebyshev : \[ P(|X - E(X)| \geq k) \leq \frac{V(X)}{k^2}. \] Ici, nous avons \(k = 250\), donc : \[ P(|X - 190| \geq 250) \leq \frac{48400}{250^2} = \frac{48400}{62500} = 0,7744. \] Ainsi, nous avons : \[ P(X \geq 440) \leq P(|X - 190| \geq 250) \leq 0,7744. \] b. Détermination de \(n\) tel que \(P(|M_n - 190| \leq 370) > 0,8\) Nous voulons : \[ P(|M_n - 190| \leq 370) > 0,8. \] Utilisons à nouveau l'inégalité de Chebyshev : \[ P(|M_n - E(X)| \geq k) \leq \frac{V(X)}{n k^2}. \] Ici, \(k = 370\), donc nous avons : \[ P(|M_n - 190| \geq 370) \leq \frac{48400}{n \cdot 370^2}. \] Nous voulons que : \[ 1 - P(|M_n - 190| \geq 370) > 0,8 \implies P(|M_n - 190| \geq 370) < 0,2. \] Cela se traduit par : \[ \frac{48400}{n \cdot 370^2} < 0,2. \] Calculons \(370^2\) : \[ 370^2 = 136900. \] Donc : \[ \frac{48400}{n \cdot 136900} < 0,2. \] En multipliant par \(n \cdot 136900\), nous avons : \[ 48400 < 0,2 \cdot n \cdot 136900. \] En isolant \(n\) : \[ n > \frac{48400}{0,2 \cdot 136900} \approx \frac{48400}{27380} \approx 1.77. \] Comme \(n\) doit être un entier, nous prenons \(n = 2\).
c. Limite de \(P(|M_n - 190| \leq 370)\) lorsque \(n \to +\infty\) D'après la loi des grands nombres, \[ \lim_{n \to +\infty} P(|M_n - 190| \leq 370) = 1. \] Résumé des réponses 1. \(\lim_{n \to \infty} P(|M_n - E(X)| \geq a) = 0\). 2. a. \(P(X - 190 \geq 250) \leq 0,7744\). b. Le plus petit entier \(n\) tel que \(P(|M_n - 190| \leq 370) > 0,8\) est \(n = 2\). c. \(\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - 190| \leq 370) = 1\).
Exercice 39: ★ ★ ★ ★ ★
Dans chacun des cas suivants, justifier si l’on peut appliquer la loi des grands nombres ou non.
1. On effectue \(n\) tirages avec remise d’une carte d’un jeu de 52 cartes et on note si celle-ci est un as. On simule cette expérience pour de grandes valeurs de \(n\).
2. On considère une urne contenant un très grand nombre de boules. On effectue \(n\) tirages sans remise d’une boule de l’urne et on note sa couleur.
1. Tirages avec remise d’une carte d’un jeu de 52 cartes
Dans ce cas, on effectue \(n\) tirages avec remise d'une carte. Chaque tirage est indépendant et identiquement distribué, car après chaque tirage, la carte est remise dans le jeu, maintenant ainsi la probabilité constante pour chaque tirage.
Justification : On peut appliquer la loi des grands nombres. La suite de variables aléatoires représentant le résultat de chaque tirage est indépendante et suit la même distribution. Par conséquent, selon la loi des grands nombres, la moyenne des résultats convergera vers l'espérance de l'indicateur pour un as à mesure que \(n\) augmente.
2. Tirages sans remise d’une boule de l’urne
Ici, on effectue \(n\) tirages sans remise d'une boule de l'urne. À chaque tirage, la composition de l'urne change, ce qui signifie que les probabilités de tirer une boule d'une certaine couleur varient en fonction des tirages précédents.
Justification : On ne peut pas appliquer la loi des grands nombres dans ce cas. Bien que les tirages soient identifiés, ils ne sont pas indépendants, car le résultat d'un tirage influence les résultats des tirages suivants (modification des proportions de couleurs restantes dans l'urne). Par conséquent, la convergence de la moyenne des résultats ne peut pas être garantie.
Résumé
1. Tirages avec remise : Oui, la loi des grands nombres s'applique. 2. Tirages sans remise : Non, la loi des grands nombres ne s'applique pas.
Exercice 40: ★ ★ ★ ★ ★
Contexte : Un chercheur souhaite étudier la satisfaction des clients dans un café. Il réalise plusieurs expériences pour évaluer si la loi des grands nombres peut être appliquée dans différents scénarios.
1. Dans la première expérience, il effectue \(n\) tirages avec remise d'une carte d'un jeu de 52 cartes et note si la carte tirée est un roi. Il simule cette expérience pour de grandes valeurs de \(n\). 2. Dans la deuxième expérience, il considère une urne contenant un très grand nombre de billes de différentes couleurs. Il effectue \(n\) tirages sans remise d'une bille de l'urne et note sa couleur.
Questions :
1. Justifier si l’on peut appliquer la loi des grands nombres dans le cas des tirages avec remise (première expérience). 2. Justifier si l’on peut appliquer la loi des grands nombres dans le cas des tirages sans remise (deuxième expérience).
1. Tirages avec remise d'une carte d'un jeu de 52 cartes
Dans cette expérience, le chercheur effectue \(n\) tirages avec remise d'une carte. Après chaque tirage, la carte est remise dans le jeu, ce qui signifie que la distribution des probabilités reste constante à chaque tirage.
Justification : On peut appliquer la loi des grands nombres dans ce cas. Les tirages sont indépendants et identiquement distribués (i.i.d.), car chaque tirage ne dépend pas des précédents et suit la même distribution de probabilité. Par conséquent, selon la loi des grands nombres, la moyenne des résultats (par exemple, la proportion de fois où un roi est tiré) convergera vers l'espérance de cette proportion à mesure que \(n\) augmente.
2. Tirages sans remise d'une bille de l'urne
Dans cette expérience, le chercheur effectue \(n\) tirages sans remise d'une bille. À chaque tirage, la composition de l'urne change, ce qui signifie que les probabilités de tirer une bille d'une certaine couleur varient en fonction des résultats des tirages précédents.
Justification : On ne peut pas appliquer la loi des grands nombres dans ce cas. Bien que les tirages soient identifiés, ils ne sont pas indépendants, car le résultat d'un tirage influence la composition de l'urne pour les tirages suivants. Les probabilités changent à chaque tirage, ce qui empêche la convergence de la moyenne des résultats vers une espérance stable. Ainsi, la loi des grands nombres ne s'applique pas ici.
Résumé
1. Tirages avec remise : Oui, la loi des grands nombres s'applique. 2. Tirages sans remise : Non, la loi des grands nombres ne s'applique pas.
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