📔 Exercices - Primitives et équations différentielles
Exercices sur les primitives et équations différentielles
Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit l'équation (E) : \( y' - 3y = 2e^{1-x} \)
1. Vérifier que la fonction \( g : x ⟼ (-1/2)e^{1- x} \) est solution de (E).
2. Montrer qu'une fonction \( f \) est solution de (E) si et seulement si \( f - g \) est solution de (E') : \( y' - 3y = 0 \)
1. Vérification que la fonction \(g : x \mapsto (-1/2)e^{1-x}\) est solution de (E) : • Calculons les dérivées de \(g\) : • \(g'(x) = \frac{1}{2}e^{1-x}\) • \(g(x) = -\frac{1}{2}e^{1-x}\) • Ainsi, \(g'(x) - 3g(x) = \frac{1}{2}e^{1-x} + \frac{3}{2}e^{1-x} = 2e^{1-x}\) • On conclut que \(g\) est bien solution de (E).
2. Montrons qu'une fonction \(f\) est solution de (E) si et seulement si \(f - g\) est solution de (E') : • Soit \(f\) une fonction solutions de (E) : • \(f'(x) - 3f(x) = 2e^{1-x}\) • Posons \(h = f - g\) : • \(h'(x) - 3h(x) = f'(x) - g'(x) - 3(f(x) - g(x)) = (f'(x) - 3f(x)) - (g'(x) - 3g(x)) = 2e^{1-x} - 2e^{1-x} = 0\) • Donc \(h\) est solution de (E'). • Réciproquement, si \(h\) est solution de (E'), alors \(f = h + g\) est solution de (E).
Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit l'équation différentielle \((E)\) : \(y' + 2y = 3e^{-3x}\).
1. Vérifier que la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = -3e^{-3x}\) est solution de l'équation \((E)\).
2. Montrer qu'une fonction \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f - g\) est solution de \((E')\) : \(y' + 2y = 0\).
3. En déduire l'ensemble des solutions de \((E)\).
1. Vérification que la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = -3e^{-3x}\) est solution de l'équation (E) : • Calculons les dérivées de \(g\) : • \(g'(x) = 9e^{-3x}\) • \(g(x) = -3e^{-3x}\) • Ainsi, \(g'(x) + 2g(x) = 9e^{-3x} - 6e^{-3x} = 3e^{-3x}\) • On conclut que \(g\) est bien solution de (E).
2. Montrons qu'une fonction \(f\) est solution de (E) si et seulement si \(f - g\) est solution de (E') : • Soit \(f\) une fonction solutions de (E) : • \(f'(x) + 2f(x) = 3e^{-3x}\) • Posons \(h = f - g\) : • \(h'(x) + 2h(x) = f'(x) - g'(x) + 2(f(x) - g(x)) = (f'(x) + 2f(x)) - (g'(x) + 2g(x)) = 3e^{-3x} - 3e^{-3x} = 0\) • Donc \(h\) est solution de (E'). • Réciproquement, si \(h\) est solution de (E'), alors \(f = h + g\) est solution de (E).
3. L'ensemble des solutions de (E) est donc : • \(f(x) = h(x) + g(x) = h(x) - 3e^{-3x}\) • où \(h\) est une fonction solution de (E').
Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit l’équation différentielle \((E)\) : \( y' = y + x \).
1. Déterminer une fonction \( h \) affine solution de \((E)\).
2. Montrer qu’une fonction \( f \) est solution de \((E)\) si et seulement si \( f - h \) est solution de \((E')\) : \( y' = y \).
3. En déduire l’ensemble des solutions de \((E)\).
1. Détermination d'une fonction \(h\) affine solution de (E) : • Cherchons \(h\) de la forme \(h(x) = ax + b\). • \(h'(x) = a\) et \(h(x) = ax + b\). • Donc \(h'(x) = h(x) + x\) implique que \(a = a + 1\), d'où \(a = 1\). • De plus, \(h(x) = x + b\) donc \(b\) peut être choisi arbitrairement. • Ainsi, \(h(x) = x + b\) est une solution affine de (E).
2. Montrons qu'une fonction \(f\) est solution de (E) si et seulement si \(f - h\) est solution de (E') : • Soit \(f\) une fonction solution de (E) : • \(f'(x) = f(x) + x\) • Posons \(g = f - h\) : • \(g'(x) = f'(x) - h'(x) = (f(x) + x) - 1 = f(x)\) • Donc \(g\) est solution de (E'). • Réciproquement, si \(g\) est solution de (E'), alors \(f = g + h\) est solution de (E).
3. L'ensemble des solutions de (E) est donc : • \(f(x) = g(x) + h(x) = g(x) + x + b\) • où \(g\) est une fonction solution de (E').
Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère l’équation \((E)\) : \( y' = y - x^2 \).
1. Démontrer que si un polynôme \( P \) est solution de l’équation alors il est du second degré.
2. En déduire une solution particulière de \((E)\).
3. Montrer que \( f \) est solution de \((E)\) si et seulement si \( f - P \) est solution de l’équation \( y' = y \).
En déduire les solutions de \((E)\).
1. Démonstration que si un polynôme \(P\) est solution de l'équation (E), alors il est du second degré : • Soit \(P(x) = ax^2 + bx + c\) un polynôme solution de (E). • Alors \(P'(x) = 2ax + b\) et \(P(x) = ax^2 + bx + c\). • Donc \(P'(x) = P(x) - x^2\) implique que \(2ax + b = ax^2 + bx + c - x^2\). • En identifiant les coefficients, on obtient \(a = 1\), \(b = 0\) et \(c = 0\). • Ainsi, le seul polynôme solution de (E) est \(P(x) = x^2\).
2. Solution particulière de (E) : Puisque \(P(x) = x^2\) est solution de (E), alors c'est une solution particulière.
3. Montrons que \(f\) est solution de (E) si et seulement si \(f - P\) est solution de \(y' = y\) : • Soit \(f\) une fonction solution de (E) : \(f'(x) = f(x) - x^2\) • Posons \(g = f - P\) : \(g'(x) = f'(x) - P'(x) = (f(x) - x^2) - 2x = f(x)\) • Donc \(g\) est solution de \(y' = y\). • Réciproquement, si \(g\) est solution de \(y' = y\), alors \(f = g + P\) est solution de (E).
Les solutions de (E) sont donc de la forme : \(f(x) = g(x) + P(x) = g(x) + x^2\) où \(g\) est une fonction solution de \(y' = y\).
Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit l’équation différentielle \((E)\) : \( y' = y + \cos x \).
1. Vérifier que la fonction \( t : x \mapsto \left(-\frac{1}{2}\right) \cos x + \left(\frac{1}{2}\right) \sin x \) est solution de \((E)\).
2. Montrer qu’une fonction \( f \) est solution de \((E)\) si et seulement si \( f - t \) est solution de \((E')\) : \( y' = y \).
3. En déduire l’ensemble des solutions de \((E)\).
1. Vérification que la fonction \(t : x \mapsto (-\frac{1}{2})\cos x + (\frac{1}{2})\sin x\) est solution de (E) : • \(t'(x) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = \cos x + t(x)\) • Donc \(t\) est bien solution de (E).
2. Montrons qu'une fonction \(f\) est solution de (E) si et seulement si \(f - t\) est solution de (E') : • Soit \(f\) une fonction solution de (E) : \(f'(x) = f(x) + \cos x\) • Posons \(g = f - t\) : \(g'(x) = f'(x) - t'(x) = (f(x) + \cos x) - (\cos x + t(x)) = f(x)\) • Donc \(g\) est solution de (E'). • Réciproquement, si \(g\) est solution de (E'), alors \(f = g + t\) est solution de (E).
3. L'ensemble des solutions de (E) est donc : • \(f(x) = g(x) + t(x) = g(x) + (-\frac{1}{2})\cos x + (\frac{1}{2})\sin x\) • où \(g\) est une fonction solution de (E').
Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur \( ]0 ; \pi/2[ \) :
\((E)\) : \( y' - \left(1 + \frac{\cos x}{\sin x}\right) y = \sin x \)
\((E_0)\) : \( y' - y = 1 \)
1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation \((E_0)\).
2. Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions dérivables sur \( ]0 ; \pi/2[ \) et telles que \( f(x) = g(x) \sin x \).
Démontrer que la fonction \( f \) est solution de \((E)\) si et seulement si la fonction \( g \) est solution de \((E_0)\).
1. Ensemble des solutions de l'équation \((E_0)\) :
• L'équation \((E_0)\) est une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme \(y' - y = 1\).
• Solution de l'équation homogène \(y' - y = 0\) : \(y_h(x) = C e^x\) où \(C \in \mathbb{R}\).
• Solution particulière évidente : \(y_p(x) = -1\).
• Solution générale : \(y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^x - 1\) où \(C \in \mathbb{R}\).
• Donc \(\mathcal{S}_{E_0} = \{x \mapsto C e^x - 1 \mid C \in \mathbb{R}\}\).
2. Démontrons que \(f\) est solution de (E) si et seulement si \(g\) est solution de \((E_0)\) :
• Supposons \(f(x) = g(x) \sin x\) avec \(g\) dérivable.
• Calculons \(f'(x) = g'(x) \sin x + g(x) \cos x\).
• En injectant \(f\) dans (E) :
\(f'(x) - \left(1 + \frac{\cos x}{\sin x}\right)f(x) = \sin x\)
\(\Leftrightarrow g'(x)\sin x + g(x)\cos x - \left(1 + \frac{\cos x}{\sin x}\right)g(x)\sin x = \sin x\)
\(\Leftrightarrow g'(x)\sin x + g(x)\cos x - g(x)\sin x - g(x)\cos x = \sin x\)
\(\Leftrightarrow g'(x)\sin x - g(x)\sin x = \sin x\)
\(\Leftrightarrow \sin x(g'(x) - g(x) - 1) = 0\)
• Comme \(\sin x \neq 0\) sur \(]0, \pi/2[\), on a :
\(g'(x) - g(x) - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow g'(x) - g(x) = 1\)
• Ce qui est exactement l'équation \((E_0)\).
• La réciproque se démontre en suivant les mêmes étapes dans l'ordre inverse.
Exercice 7: ★ ★ ★ ☆ ☆
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
a) La fonction \( x \mapsto \sqrt{x^2 - 4} \) admet des primitives sur \( ]2 ; +\infty[ \).
b) Toute fonction dérivable sur un intervalle \( I \) admet des primitives sur \( I \).
a) La fonction \(x \mapsto \sqrt{x^2 - 4}\) admet des primitives sur \(]2 ; +\infty[\) : • Cette fonction est dérivable sur \(]2 ; +\infty[\) car \(x^2 - 4 > 0\) pour \(x > 2\). • Une primitive de \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4}\) est \(F(x) = \frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 - 4} + 2\arcsin(\frac{2}{x}))\) pour \(x > 2\). • Donc la proposition a) est vraie.
b) Toute fonction dérivable sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\) : • Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). • Par le théorème fondamental de l'analyse, il existe une fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x\) dans \(I\). • Donc \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\). • Ainsi, la proposition b) est vraie.
Exercice 8: ★ ★ ★ ☆ ☆
Compléter les phrases ci-dessous.
a) Si \( F \) est une primitive d’une fonction \( f \) sur \( I \), alors toute fonction de la forme \(\dots\) est aussi primitive de \( f \) sur \( I \).
b) Si deux fonctions \( f \) et \( g \) continues sur \( I \) sont égales, alors leurs primitives \(\dots\)
c) Considérant deux fonctions \( F \) et \( G \) dérivables sur \( I \), on a : \( (F - G)' = 0 \) \(\dots\) \( F = G + k \), avec \( k \) réel.
d) Pour \( u \) et \( v \) fonctions dérivables, la fonction \(\dots\) admet une primitive de la forme \( v \circ u \).
a) Si \(F\) est une primitive d'une fonction \(f\) sur \(I\), alors toute fonction de la forme \(\{F(x) + C \mid C \in \mathbb{R}\}\) est aussi primitive de \(f\) sur \(I\). En effet, si \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x\) dans \(I\), alors \((F(x) + C)' = F'(x) = f(x)\) pour tout \(x\) dans \(I\) et tout \(C\) réel.
b) Si deux fonctions \(f\) et \(g\) continues sur \(I\) sont égales, alors leurs primitives \(F\) et \(G\) diffèrent seulement par une constante. Soit \(F\) et \(G\) deux primitives de \(f\) et \(g\) respectivement sur \(I\). Alors \(F'(x) = f(x) = g(x) = G'(x)\) pour tout \(x\) dans \(I\). Donc \(F(x) = G(x) + k\) pour un certain \(k\) réel et pour tout \(x\) dans \(I\).
c) Considérant deux fonctions \(F\) et \(G\) dérivables sur \(I\), on a : \((F - G)' = 0\) si et seulement si \(F = G + k\), avec \(k\) réel. • Si \((F - G)' = 0\), alors \(F - G\) est constante sur \(I\), donc \(F = G + k\) pour un certain \(k\) réel. • Réciproquement, si \(F = G + k\), alors \((F - G)' = 0\).
d) Pour \(u\) et \(v\) fonctions dérivables, la fonction \(v \circ u\) admet une primitive de la forme \((v \circ u)(x) = \int v'(u(x))u'(x)\, dx\). En effet, en appliquant la règle de dérivation en chaîne, on a \((v \circ u)' = v'(u(x))u'(x)\).
Exercice 9: ★ ★ ★ ☆ ☆
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
a) La fonction \( f(x) = \cos(x) \) est solution de l’équation différentielle \( y'' + y = 0 \).
b) La fonction \( f(x) = e^{3x} \) est solution de l’équation \( y' + 3y = 0 \).
c) La fonction \( f(x) = 2 - e^x \) est solution de l’équation \( y' - y = 2 \).
d) La fonction \( f(x) = 2 + e^{-x} \) est solution de l’équation \( y' + y = 2 \).
a) La fonction \(f(x) = \cos(x)\) est solution de l'équation différentielle \(y'' + y = 0\) : • Calculons les dérivées de \(f\) : • \(f'(x) = -\sin(x)\) • \(f''(x) = -\cos(x)\) • On vérifie que \(f''(x) + f(x) = -\cos(x) + \cos(x) = 0\). • Donc la proposition a) est vraie.
b) La fonction \(f(x) = e^{3x}\) est solution de l'équation \(y' + 3y = 0\) : • Calculons la dérivée de \(f\) : - \(f'(x) = 3e^{3x}\) • On vérifie que \(f'(x) + 3f(x) = 3e^{3x} + 3e^{3x} = 0\). • Donc la proposition b) est vraie.
c) La fonction \(f(x) = 2 - e^x\) est solution de l'équation \(y' - y = 2\) : • Calculons la dérivée de \(f\) : - \(f'(x) = -e^x\) • On vérifie que \(f'(x) - f(x) = -e^x - (2 - e^x) = 2\). • Donc la proposition c) est vraie.
d) La fonction \(f(x) = 2 + e^{-x}\) est solution de l'équation \(y' + y = 2\) : • Calculons la dérivée de \(f\) : - \(f'(x) = -e^{-x}\) • On vérifie que \(f'(x) + f(x) = -e^{-x} + 2 + e^{-x} = 2\). • Donc la proposition d) est vraie.
Exercice 10: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
a) \( f(x) = 4x^3 + 3x^2 + x + 1 \)
b) \( f(x) = x^4 + x^2 + 5 \)
c) \( f(x) = e^x + x^3 \)
d) \( f(x) = 2e^x + 3x^2 + 5 \)
e) \( f(x) = e^{-2x} + x + 5 \)
a) Pour \(f(x) = 4x^3 + 3x^2 + x + 1\), une primitive est \(F(x) = \{\frac{4}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x\}\). En effet, \(F'(x) = 4x^3 + 3x^2 + x + 1 = f(x)\).
b) Pour \(f(x) = x^4 + x^2 + 5\), une primitive est \(F(x) = \{\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + 5x\}\). En effet, \(F'(x) = x^4 + x^2 + 5 = f(x)\).
c) Pour \(f(x) = e^x + x^3\), une primitive est \(F(x) = \{e^x + \frac{1}{4}x^4\}\). En effet, \(F'(x) = e^x + 3x^2 = f(x)\).
d) Pour \(f(x) = 2e^x + 3x^2 + 5\), une primitive est \(F(x) = \{2e^x + \frac{3}{3}x^3 + 5x\}\). En effet, \(F'(x) = 2e^x + 3x^2 + 5 = f(x)\).
e) Pour \(f(x) = e^{-2x} + x + 5\), une primitive est \(F(x) = \{-\frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{1}{2}x^2 + 5x\}\). En effet, \(F'(x) = -2e^{-2x} + x + 5 = f(x)\).
Exercice 11: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
a) \( f(x) = \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} \)
b) \( f(x) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2 + x + 1}} \)
c) \( f(x) = \frac{2x+1}{{(x^2 + x + 1)}^2} \)
d) \( f(x) = \frac{2x+1}{{(x^2 + x + 1)}^5} \)
a) Pour \(f(x) = \frac{2x+1}{x^2 + x + 1}\), une primitive est \(F(x) = \{\ln(x^2 + x + 1)\}\). En effet, \(F'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} = f(x)\).
b) Pour \(f(x) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2 + x + 1}}\), une primitive est \(F(x) = {\sqrt{x^2 + x + 1}}\). En effet, \(F'(x) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2 + x + 1}} = f(x)\).
c) Pour \(f(x) = \frac{2x+1}{{(x^2 + x + 1)}^2}\), une primitive est \(F(x) = {-\frac{1}{x^2 + x + 1}}\). En effet, \(F'(x) = \frac{2x+1}{{(x^2 + x + 1)}^2} = f(x)\).
Exercice 12: ★ ★ ☆ ☆ ☆
1. a) Résoudre \(2y' + 5y = 0\). b) Déterminer la solution qui prend en 2 la valeur 1.
2. On considère la fonction \(f : x \mapsto e^{-\frac{5}{2}x + 5}\) a) Vérifier que \(f\) est la solution trouvée à la question 1.b). b) Étudier les variations de \(f\) sur \( \mathbb{R} \). c) Étudier les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
1. a) Pour résoudre l'équation différentielle \(2y' + 5y = 0\), on procède comme suit : • On divise par 2 pour obtenir \(y' + \frac{5}{2}y = 0\). • La solution générale est de la forme \(y(x) = Ce^{-\frac{5}{2}x}\) avec \(C\) une constante réelle.
b) Pour trouver la solution qui prend la valeur 1 en \(x = 2\), on écrit : • \(y(2) = Ce^{-\frac{5}{2}\cdot 2} = 1\) • Donc \(C = e^{5}\) et la solution recherchée est \(y(x) = e^{5}e^{-\frac{5}{2}x}\).
2. a) Vérifions que \(f(x) = e^{-\frac{5}{2}x + 5}\) est bien la solution trouvée à la question 1.b) : • \(f'(x) = -\frac{5}{2}e^{-\frac{5}{2}x + 5} = -\frac{5}{2}y(x)\) • Donc \(2f' + 5f = 0\), ce qui montre que \(f\) est bien la solution de l'équation différentielle.
b) Étudions les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) : • \(f'(x) = -\frac{5}{2}e^{-\frac{5}{2}x + 5} < 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) • Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
c) Étudions les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\) : • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} e^{-\frac{5}{2}x + 5} = 0\) • \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} e^{-\frac{5}{2}x + 5} = +\infty\)
Exercice 13: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. Soit l’équation \((E)\) : \(y' = y - 1\). Proposition 1 : Les solutions sont de la forme \(x \mapsto ke^x - 1\).
2. Proposition 2 : Les fonctions \(x \mapsto e^x\) et \(x \mapsto 0\) sont les seules fonctions dérivables sur \( \mathbb{R} \) et égales à leur dérivée.
3. Considérons l’équation \((F)\) : \(y = y' + x + 1\). Proposition 3 : La fonction \(e^x + x + 2\) est solution. Proposition 4 : Il n’existe aucune fonction affine solution.
1. Proposition 1 : Les solutions sont de la forme \(x \mapsto ke^x - 1\). Vrai. L'équation différentielle \((E) : y' = y - 1\) admet pour solution générale \(y(x) = ke^x - 1\), où \(k\) est une constante réelle. En effet, en dérivant \(y(x) = ke^x - 1\), on obtient \(y'(x) = ke^x = y(x) - 1\), ce qui vérifie l'équation \((E)\).
2. Proposition 2 : Les fonctions \(x \mapsto e^x\) et \(x \mapsto 0\) sont les seules fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) et égales à leur dérivée. Vrai. Les seules fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) et égales à leur dérivée sont les fonctions exponentielles \(x \mapsto e^{kx}\), où \(k\) est une constante réelle, et la fonction constante \(x \mapsto 0\).
3. Proposition 3 : La fonction \(e^x + x + 2\) est solution. Vrai. La fonction \(f(x) = e^x + x + 2\) est solution de l'équation différentielle \((F) : y = y' + x + 1\). En effet, en dérivant \(f(x)\), on obtient \(f'(x) = e^x + 1 = f(x) - x - 1\), ce qui vérifie l'équation \((F)\).
4. Proposition 4 : Il n'existe aucune fonction affine solution. Faux. L'équation \((F) : y = y' + x + 1\) admet des solutions affines de la forme \(y(x) = mx + b\), où \(m\) et \(b\) sont des constantes réelles. En effet, en posant \(y(x) = mx + b\), on obtient \(y'(x) = m\), et donc \(y(x) = mx + b\) est solution de \((F)\) pour tout \(m\) et \(b\) réels.
Exercice 14: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Pendant le premier mois de croissance de certaines plantes, telles que le maïs, le coton ou le soja, la vitesse de croissance (en g/jour) est proportionnelle au poids \( P \) du moment. Pour certaines espèces de coton, \( \frac{dP}{dt} = 0.21P \).
1. Déterminer la forme de la fonction \( P \).
2. Évaluer le poids d'une plante à la fin du mois (\( t = 30 \)) si la plante pesait 70 mg au début du mois.
1. Déterminer la forme de la fonction \(P\). • D'après l'équation différentielle donnée, la vitesse de croissance \(\frac{dP}{dt}\) est proportionnelle au poids \(P\) du moment. • Cette équation différentielle s'écrit \(\frac{dP}{dt} = kP\), où \(k\) est une constante. • La solution générale de cette équation différentielle est de la forme \(P(t) = Ce^{kt}\), où \(C\) est une constante.
2. Évaluer le poids d'une plante à la fin du mois (\(t = 30\)) si la plante pesait 70 mg au début du mois. • D'après la question 1, la forme de la fonction \(P\) est \(P(t) = Ce^{kt}\). • Avec les données fournies, on a \(P(0) = 70\) mg et \(\frac{dP}{dt} = 0.21P\), donc \(k = 0.21\). • En remplaçant dans l'expression générale de \(P\), on obtient : • \(P(0) = C\) • \(P(30) = Ce^{0.21 \times 30} = 70e^{6.3} \approx 2050\) mg.
Exercice 15: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Un mobile glisse sans frottement le long d'un axe muni d'un repère \((0;\vec{i})\). L'accélération instantanée au temps t est donnée par : \(a(t) = 4\pi соs(8t)\). 1. À l'instant \(t = 0\), la vitesse initiale du mobile est nulle. Déterminer l'expression de sa vitesse instantanée \(v(t)\) en fonction du temps, sachant que \(a(t) = v'(t)\). 2. À l'instant \(t = 0\), le mobile est en \(O\). Déterminer l'expression de son abscisse \(x(t)\) en fonction du temps, sachant que \(v(t) = x'(t)\).
1. Déterminer l'expression de la vitesse instantanée \(v(t)\) en fonction du temps. Étant donné que \(a(t) = v'(t)\), on peut intégrer l'accélération pour trouver l'expression de la vitesse : \(v(t) = \int a(t) \, dt = \int 4\pi \cos(8t) \, dt = -\frac{4\pi}{8} \sin(8t) + C\) Avec la condition initiale \(v(0) = 0\), on en déduit que \(C = 0\), donc : \(v(t) = -\frac{\pi}{2} \sin(8t)\)
2. Déterminer l'expression de l'abscisse \(x(t)\) en fonction du temps. Étant donné que \(v(t) = x'(t)\), on peut intégrer la vitesse pour trouver l'expression de l'abscisse : \(x(t) = \int v(t) \, dt = \int -\frac{\pi}{2} \sin(8t) \, dt = -\frac{\pi}{2\cdot 8} \cos(8t) + C\) Avec la condition initiale \(x(0) = 0\), on en déduit que \(C = 0\), donc : \(x(t) = -\frac{\pi}{16} \cos(8t)\)
Exercice 16: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0; +∞[\) par: \(f(x)= \frac{e^x}{e^x + 1}\) On note \(F\) la primitive de \(f\) sur \([0; +∞[\) qui s'annule en \(0\). 1. On considère la fonction \(g\), définie sur \([0; +∞[\) par : \(g(x) = F(x) -\frac{1}{2}x\). Montrer que la fonction \(g\) est croissante sur \([0; +∞[\). 2. Calculer \(g(0)\) et en déduire que, pour tout réel strictement positif \(x\), on a \(g(x) ≥ 0\). 3. En déduire la limite en \(+∞\) de la fonction \(F\).
1. Montrer que la fonction \(g\) est croissante sur \([0; +\infty[\). La fonction \(g\) est définie par \(g(x) = F(x) - \frac{1}{2}x\), où \(F\) est la primitive de \(f\) sur \([0; +\infty[\) qui s'annule en \(0\). Pour montrer que \(g\) est croissante, il suffit de montrer que \(g'(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [0; +\infty[\). \(g'(x) = F'(x) - \frac{1}{2} = f(x) - \frac{1}{2}\) Or, \(f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}\), donc \(f(x) \geq \frac{1}{2}\) pour tout \(x \in [0; +\infty[\). Par conséquent, \(g'(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [0; +\infty[\), donc \(g\) est croissante sur \([0; +\infty[\).
2. Calculer \(g(0)\) et en déduire que, pour tout réel strictement positif \(x\), on a \(g(x) \geq 0\). \(g(0) = F(0) - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0\) Comme \(g\) est croissante sur \([0; +\infty[\) et que \(g(0) = 0\), on en déduit que \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [0; +\infty[\).
3. En déduire la limite en \(+\infty\) de la fonction \(F\). Puisque \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [0; +\infty[\), on a \(F(x) \geq \frac{1}{2}x\) pour tout \(x \in [0; +\infty[\). Donc \(\lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{x} \geq \frac{1}{2}\). Par ailleurs, \(f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1} \leq 1\) pour tout \(x \in [0; +\infty[\), donc \(\lim_{x \to +\infty} F(x) \leq \lim_{x \to +\infty} x = +\infty\). En conclusion, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{x} = \frac{1}{2}\).
Exercice 17: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. 1. La solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(y' = -3y\), avec \(y(-2) = e^2\), est une fonction strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\). 2. La solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(-6y'+3y= 0\), avec \(y(2) = e\), est une fonction strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). 3. La solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(4y' + 3y = 0\), avec \(y(2) = \sqrt{e}\), a pour limite \(O\) quand \(x\) tend vers \(+∞\).
1. L'affirmation "La solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(y' = -3y\), avec \(y(-2) = e^2\), est une fonction strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\)" est vraie. L'équation différentielle \(y' = -3y\) admet comme solution \(y(t) = C e^{-3t}\), où \(C\) est une constante. Avec la condition initiale \(y(-2) = e^2\), on en déduit que \(C = e^4\). Donc la solution sur \(\mathbb{R}\) est \(y(t) = e^{4-3t}\), qui est une fonction strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
2. L'affirmation "La solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(-6y'+3y= 0\), avec \(y(2) = e\), est une fonction strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)" est fausse. L'équation différentielle \(-6y'+3y= 0\) admet comme solution \(y(t) = C e^{\frac{1}{2}t}\), où \(C\) est une constante. Avec la condition initiale \(y(2) = e\), on en déduit que \(C = e^{-1}\). Donc la solution sur \(\mathbb{R}\) est \(y(t) = e^{-1+\frac{1}{2}t}\), qui n'est pas une fonction strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
3. L'affirmation "La solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(4y' + 3y = 0\), avec \(y(2) = \sqrt{e}\), a pour limite \(O\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\)" est vraie. L'équation différentielle \(4y' + 3y = 0\) admet comme solution \(y(t) = C e^{-\frac{3}{4}t}\), où \(C\) est une constante. Avec la condition initiale \(y(2) = \sqrt{e}\), on en déduit que \(C = \sqrt{e} e^{\frac{3}{2}}\). Donc la solution sur \(\mathbb{R}\) est \(y(t) = \sqrt{e} e^{\frac{3}{2}-\frac{3}{4}t}\), qui tend vers \(0\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\).
Exercice 18: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Dans le cas de substances radioactives, le taux de variation du nombre \(N(t)\) d'atomes radioactifs est proportionnel au nombre d'atomes radioactifs présents. On admet que la fonction \(N(t)\) est solution d'une équation différentielle de la forme \(y = -ky\); où \(k\) est une constante propre à la substance radioactive. 1. On appelle demi-vie le temps \(7\) nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs se désintègrent. a. Déterminer une relation entre \(T\) et \(k\). b. Sachant que, pour le carbone \(14\), la demi-vie est égale à \(5 730\: ans\), déterminer une valeur approchée de la constante \(k\). 2. On a retrouvé dans une grotte les restes d'un foyer contenant des morceaux de charbon de bois. L'étude de cet échantillon a montré que sa proportion en carbone \(14\) est égale à \(13\:\)% de celle d'un échantillon de charbon de bois frais de même masse. Déterminer l'âge de cet échantillon.
1. a. D'après l'équation différentielle \(y' = -ky\), on a \(N(t) = N_0 e^{-kt}\), où \(N_0\) est le nombre initial d'atomes radioactifs. La demi-vie \(T\) est le temps au bout duquel \(N(T) = \frac{N_0}{2}\). En remplaçant dans l'expression de \(N(t)\), on obtient : \(\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-kT}\) \(\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -kT\) \(T = \frac{\ln(2)}{k}\)
b. Pour le carbone 14, la demi-vie est de \(5 730\) ans. En utilisant la relation précédente, on en déduit que : \(k = \frac{\ln(2)}{5 730} \approx 1,21 \times 10^{-4}\) an$^{-1}$
2. Soit \(x\) l'âge de l'échantillon en années. La proportion de carbone 14 dans l'échantillon vieux de \(x\) ans est égale à \(13\%\) de celle d'un échantillon frais. Donc \(N(x) = 0,13 N_0\), où \(N_0\) est le nombre initial d'atomes de carbone 14. D'après l'équation différentielle, on a \(N(x) = N_0 e^{-kx}\). En égalant les deux expressions, on obtient : \(0,13 = e^{-kx}\) \(x = \frac{\ln(0,13)}{-k} \approx 16 200\) ans
Exercice 19: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Depuis 1982, la ventilation de l'air est obligatoire dans les logements français. Lorsque l'extraction de l'air ne se fait pas correctement, le taux de \(CO_2\) augmente, ce qui peut avoir des conséquences sur la santé des personnes sensibles. La concentration en \(CO_2\) dans l'air est mesurée en \(ppm\) (parties par million), \(1\: ppm\) valant \(10^{-6}\).
1. Dans un appartement de volume égal à \(400\: m^3\), une famille absorbe \(0,1\: m^3\) d'oxygène par heure et produit la même quantité de \(CO_2\). La ventilation extrait \(100\: m^3\) d'air par heure. Cet air est remplacé par un air de même volume, de concentrations en \(CO_2\) et en \(O_2\) constantes. On note \(Q(t)\) la concentration en \(CO_2\) dans l'appartement et \(q\) la concentration en \(CO_2\) de l'air extérieur (en ppm). On admet que \(Q\) vérifie l'équation différentielle : \((E): Q' = \frac{0,1}{400} - \frac{100}{400} (Q-q)\) a. Un air extérieur de qualité normale a une concentration en \(CO_2\) environ égale à \(350\: ppm\). Montrer que l'équation différentielle \((E)\) admet une solution constante \(Q_0\) que l'on déterminera. b. En déduire les solutions \(Q\) de \((E)\). 2. a. Quelle est la limite de \(Q(t)\) quand ttend vers \(+∞\) ? b. À l'intérieur, une concentration entre \(600\: ppm\) et \(800\: ppm\) est dite « correcte ». Au-delà de \(1 000\: ppm\), des effets peuvent se faire ressentir chez les personnes fragiles. Que peut-on dire du système de ventilation de l'appartement ?
1. a. L'équation différentielle (E) s'écrit : \(Q' = \frac{0,1}{400} - \frac{100}{400} (Q-q)\) Lorsque \(Q\) est constant, \(Q' = 0\), donc : \(0 = \frac{0,1}{400} - \frac{100}{400} (Q_0-q)\) \(Q_0 = q + \frac{0,1}{100} = 350 + \frac{0,1}{100} = 350,1\) ppm
b. On peut réécrire l'équation différentielle sous la forme : \(Q' + \frac{100}{400} Q = \frac{0,1}{400} + \frac{100}{400} q\) Cette équation différentielle linéaire à coefficients constants admet pour solution générale : \(Q(t) = Q_0 + C e^{-\frac{100}{400}t}\) où \(C\) est une constante déterminée par les conditions initiales.
2. a. Lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\), le terme en exponentielle tend vers \(0\), donc la limite de \(Q(t)\) est \(Q_0 = 350,1\) ppm.
b. La concentration en \(CO_2\) reste comprise entre \(600\) et \(800\) ppm, ce qui est considéré comme une concentration correcte. Cependant, la valeur de \(1 000\) ppm est parfois dépassée, ce qui peut avoir des effets néfastes sur la santé des personnes fragiles. Le système de ventilation de l'appartement n'est donc pas totalement satisfaisant et devrait être amélioré.
Exercice 20: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(f(x)=-9e^{\frac{-1-x}{4}} +8\). 1. Calculer \(f(-1)\) et \(f'(-1)\). 2. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(f\) soit une solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(y' = ay + b\).
2. Détermination des réels \(a\) et \(b\) tels que \(f\) soit solution de \(y' = ay + b\) : \(f'(x) = \frac{9}{4}e^{\frac{-1-x}{4}}\) \(f(x) = -9e^{\frac{-1-x}{4}} + 8\)
En identifiant les coefficients, on obtient : \(a = \frac{-1}{4}\) \(b = \frac{9}{4}\)
Donc \(f\) est solution de l'équation différentielle \(y' = \frac{-1}{4}y + \frac{9}{4}\) sur \(\mathbb{R}\).
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