On considère deux urnes A et B. L'urne A contient trois jetons jaunes et deux jetons bleus. L'urne B contient trois jetons noirs, deux rouges et un jaune.
L'expérience consiste à choisir une urne au hasard, puis à piocher un jeton dans l'urne choisie. On s'intéresse à la couleur du jeton saisi.
1. Représenter la situation par un arbre de probabilités.
2. Cette expérience est-elle une succession de deux épreuves indépendantes ?
3. À l'aide de la formule des probabilités totales, déterminer la probabilité de l'événement J : « obtenir une boule jaune ».
4. Sachant que l'on a obtenu une boule jaune, quelle est la probabilité que la boule provienne de l'urne A ?
On rappelle la formule \( P_B(A) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} \).
5. On modifie l'expérience précédente, en considérant que l'on choisit l'urne A avec une probabilité égale à \( p \).
Pour quelle valeur de \( p \) la probabilité de l'événement J est-elle maximale ?
On considère deux urnes A et B. L'urne A contient trois jetons jaunes et deux jetons bleus. L'urne B contient trois jetons noirs, deux rouges et un jaune. L'expérience consiste à choisir une urne au hasard, puis à piocher un jeton dans l'urne choisie. On s'intéresse à la couleur du jeton saisi.
1. Représenter la situation par un arbre de probabilités. \( \begin{array}{l} \text{Probabilité de choisir l'urne A} : P(A) = \frac{1}{2} \\ \text{Probabilité de choisir l'urne B} : P(B) = \frac{1}{2} \\ \text{Probabilité d'obtenir un jeton jaune dans l'urne A} : P(J|A) = \frac{3}{5} \\ \text{Probabilité d'obtenir un jeton bleu dans l'urne A} : P(B|A) = \frac{2}{5} \\ \text{Probabilité d'obtenir un jeton noir dans l'urne B} : P(N|B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ \text{Probabilité d'obtenir un jeton rouge dans l'urne B} : P(R|B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ \text{Probabilité d'obtenir un jeton jaune dans l'urne B} : P(J|B) = \frac{1}{6} \\ \end{array} \) 2. Cette expérience est-elle une succession de deux épreuves indépendantes ? Non, car la probabilité de tirer un jeton de certaines couleurs dépend de l'urne choisie.
3. À l'aide de la formule des probabilités totales, déterminer la probabilité de l'événement J : « obtenir une boule jaune ». \( P(J) = P(J \cap A) + P(J \cap B) = P(A)P(J|A) + P(B)P(J|B) \) \( P(J) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{10} + \frac{1}{12} = \frac{9}{30} + \frac{1}{12} = \frac{18}{60} + \frac{5}{60} = \frac{23}{60} \)
4. Sachant que l'on a obtenu une boule jaune, quelle est la probabilité que la boule provienne de l'urne A ? \( P(A|J) = \frac{P(J \cap A)}{P(J)} = \frac{P(A)P(J|A)}{P(J)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{23}{60}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{23}{60}} = \frac{3}{10} \cdot \frac{60}{23} = \frac{18}{23} \)
5. On modifie l'expérience précédente, en considérant que l'on choisit l'urne A avec une probabilité égale à \( p \). Pour quelle valeur de \( p \) la probabilité de l'événement J est-elle maximale ? \( P(J) = p \cdot \frac{3}{5} + (1 - p) \cdot \frac{1}{6} = \frac{3p}{5} + \frac{1 - p}{6} = \frac{18p}{30} + \frac{5 - 5p}{30} = \frac{18p + 5 - 5p}{30} = \frac{13p + 5}{30} \) La probabilité \( P(J) \) est une fonction linéaire croissante de \( p \), donc elle est maximale quand \( p \) est maximal. Ainsi, \( p = 1 \).
Donc, la probabilité de l'événement \( J \) est maximale lorsque \( p = 1 \), c'est-à-dire lorsque nous choisissons toujours l'urne A.
Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Un examen consiste à passer trois épreuves indépendantes. • Épreuve 1: on a 80 % de chances de réussir. • Épreuve 2: on a 60 % de chances de réussir. • Épreuve 3 : on a 25 % de chances de réussir. On est reçu à l'examen si l'on réussit au moins deux épreuves sur trois. • Quelle est la probabilité de réussir l'examen ?
Dans une urne contenant cinq boules numérotées de 1 à 5, on tire au hasard une boule puis, sans la remettre, on tire une seconde boule. On note \(b\) le numéro porté par la première boule et \(c\) le numéro porté par la seconde. \(X\) est la variable aléatoire qui, à un tirage, associe le nombre de solutions de l'équation du second degré : \(x^2 + bx + c = 0\). Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
1. La forme de l'équation du second degré est : \(x^2 + bx + c = 0\) Le discriminant \(\Delta\) de cette équation est donné par : \(\Delta = b^2 - 4c\) 2. Analysons les différentes valeurs possibles de \(\Delta\) : • Si \(\Delta > 0\), l'équation a deux solutions réelles distinctes. \\ • Si \(\Delta = 0\), l'équation a une solution réelle double. \\ • Si \(\Delta < 0\), l'équation n'a pas de solution réelle.
3. Énumérons les valeurs possibles pour \(b\) et \(c\) ainsi que les valeurs du discriminant \(\Delta\) : \((b, c) = (1, 2, 3, 4, 5)\) et \(c \neq b\)
4. Calculons les différentes valeurs de \(\Delta\) et leurs probabilités : • \(\Delta > 0\) : \(P(X = 2)\) \\ • \(\Delta = 0\) : \(P(X = 1)\) \\ • \(\Delta < 0\) : \(P(X = 0)\)
On fait tourner trois fois la roue de loterie ci-dessous dont un quart de la surface est bleue. 1. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois la couleur bleue ?
2. On gagne si l'on obtient au moins une fois la couleur bleue. Quelle est la probabilité de gagner?
On fait tourner trois fois la roue de loterie ci-dessous dont un quart de la surface est bleue. 1. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois la couleur bleue ? • La probabilité d'obtenir la couleur bleue en un seul tour est \( P(B) = \frac{1}{4} \). • La probabilité de ne pas obtenir la couleur bleue en un seul tour est \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) = \frac{3}{4} \). • La probabilité d'obtenir exactement deux fois la couleur bleue en trois tours suit une loi binomiale \( B(n = 3, p = \frac{1}{4}) \). On utilise la formule :\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\] où \( n = 3 \), \( k = 2 \), et \( p = \frac{1}{4} \). • Calculons : \[ P(X = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{3}{64} = \frac{9}{64}\] 2. On gagne si l'on obtient au moins une fois la couleur bleue. Quelle est la probabilité de gagner ? • La probabilité de ne pas obtenir la couleur bleue en un seul tour est \( P(\bar{B}) = \frac{3}{4} \). • La probabilité de ne pas obtenir la couleur bleue en trois tours est : \[P(\text{aucune bleu}) = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}\] • La probabilité d'obtenir au moins une fois la couleur bleue est le complémentaire de cette probabilité : \[P(\text{au moins une bleu}) = 1 - P(\text{aucune bleu}) = 1 - \frac{27}{64} = \frac{64}{64} - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}\] Ainsi, les réponses sont : • La probabilité d'obtenir exactement deux fois la couleur bleue est \( \frac{9}{64} \). • La probabilité de gagner (obtenir au moins une fois la couleur bleue) est \( \frac{37}{64} \).
Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Un drone \(A\) est muni de deux moteurs et un drone \(B\) est doté de quatre moteurs. Chaque moteur a la probabilité \(p\) de tomber en panne. Les pannes surviennent de façon indépendante. Chaque drone arrive à destination si et seulement si strictement moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne. Quel drone doit-on choisir ?
1. Probabilité que le drone \( A \) arrive à destination : • Le drone \( A \) arrive à destination si strictement moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne, c'est-à-dire aucun moteur ou un seul moteur en panne. Le drone \( A \) a deux moteurs. • Soit \( X \) le nombre de pannes. \( X \) suit une loi binomiale \( B(n = 2, p) \). • La probabilité qu'aucun moteur ne tombe en panne est : \( P(X = 0) = \binom{2}{0} p^0 (1-p)^2 = (1-p)^2 \) • La probabilité qu'un seul moteur tombe en panne est : \( P(X = 1) = \binom{2}{1} p^1 (1-p)^1 = 2p(1-p) \) • La probabilité que le drone \( A \) arrive à destination est donc : \( P_A(\text{arrive}) = P(X = 0) + P(X = 1) = (1-p)^2 + 2p(1-p) = 1 - p^2 \) 2. Probabilité que le drone \( B \) arrive à destination : • Le drone \( B \) arrive à destination si strictement moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne, c'est-à-dire aucun moteur, un moteur, ou deux moteurs en panne. Le drone \( B \) a quatre moteurs. • Soit \( Y \) le nombre de pannes. \( Y \) suit une loi binomiale \( B(n = 4, p) \). • La probabilité qu'aucun moteur ne tombe en panne est : \( P(Y = 0) = \binom{4}{0} p^0 (1-p)^4 = (1-p)^4 \) • La probabilité qu'un seul moteur tombe en panne est : \( P(Y = 1) = \binom{4}{1} p^1 (1-p)^3 = 4p(1-p)^3 \) • La probabilité que deux moteurs tombent en panne est : \( P(Y = 2) = \binom{4}{2} p^2 (1-p)^2 = 6p^2(1-p)^2 \) • La probabilité que le drone \( B \) arrive à destination est donc : \( P_B(\text{arrive}) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) = (1-p)^4 + 4p(1-p)^3 + 6p^2(1-p)^2 \) 3. Comparaison des deux drones : • Pour choisir quel drone utiliser, on compare les probabilités calculées : \( P_A(\text{arrive}) = 1 - p^2 \) \( P_B(\text{arrive}) = (1-p)^4 + 4p(1-p)^3 + 6p^2(1-p)^2 \) • Le choix du drone dépend de la valeur de \( p \). En général, si \( p \) est faible, c'est-à-dire si la probabilité de panne est faible, \( P_B(\text{arrive}) \) sera plus grand que \( P_A(\text{arrive}) \), car le drone \( B \) a plus de moteurs, offrant une plus grande redondance.
En conclusion, pour des valeurs faibles de \( p \), il est préférable de choisir le drone \( B \). Pour des valeurs élevées de \( p \), il peut être plus sûr de choisir le drone \( A \) car la probabilité de panne critique augmente avec le nombre de moteurs.
Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Un pistolet au laser, commandé par un logiciel, vise au hasard un point de la cible ci-dessous, composée d'un carré de côté 2 m, la partie bleue étant limitée par un demi-cercle et deux quarts de cercle. On tire deux fois sur cette cible et on gagne si on atteint au moins une fois la zone bleue. Quelle est la probabilité de gagner?
1. Probabilité de toucher la zone bleue lors d'un tir : • La zone bleue est composée d'un demi-cercle et deux quarts de cercle. La surface totale de la zone bleue est la somme des aires de ces trois parties. • L'aire d'un cercle de rayon \( r \) est donnée par \( \pi r^2 \), donc l'aire du demi-cercle est \( \frac{1}{2} \pi r^2 \). • L'aire d'un quart de cercle est \( \frac{1}{4} \pi r^2 \). • La surface totale de la zone bleue est : \[ A_{\text{bleue}} = \frac{1}{2} \pi r^2 + 2 \cdot \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi r^2 + \frac{1}{2} \pi r^2 = \pi r^2 \] où \( r \) est le rayon du cercle inscrit dans le carré. • Le carré a un côté de longueur 2 m, donc le rayon du cercle inscrit est la moitié de la longueur du côté du carré, soit \( r = 1 \) m. • L'aire totale de la zone bleue est donc \( A_{\text{bleue}} = \pi \cdot (1 \, \text{m})^2 = \pi \) m\(^2\). • L'aire totale de la cible est l'aire du carré, qui est \( (2 \, \text{m})^2 = 4 \) m\(^2\). • La probabilité de toucher la zone bleue lors d'un tir est donc \( \frac{A_{\text{bleue}}}{\text{Aire totale de la cible}} = \frac{\pi}{4} \).
2. Probabilité de gagner en deux tirs : • La probabilité de ne pas toucher la zone bleue lors d'un tir est \( 1 - \frac{\pi}{4} \). • La probabilité de ne pas toucher la zone bleue lors des deux tirs est \( \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)^2 \). • La probabilité de gagner en deux tirs est le complémentaire de la probabilité de ne pas toucher la zone bleue lors des deux tirs : \[ P(\text{gagner}) = 1 - \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)^2 \] En conclusion, la probabilité de gagner en tirant deux fois sur la cible est \( 1 - \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)^2 \).
Exercice 7: ★ ★ ★ ☆ ☆
Une entreprise dispose d'un parc de 600 ordinateurs neufs. La probabilité que l'un d'entre eux tombe en panne pendant la première année est de \(0,1\). La panne de l'un des ordinateurs n'affecte pas les autres machines du parc. 1. Justifier que cette situation correspond à un schéma de Bernoulli et donner ses paramètres. 2. On considère la variable aléatoire \(X\) correspondant au nombre d'ordinateurs tombant en panne durant la première année. Quelle est la loi de probabilité de \(X\) ? 3. Quelle est la probabilité que \(20\) appareils tombent en panne la première année ? 4. Quelle est la probabilité que \(40\) appareils ou moins tombent en panne durant la première année ?
Une entreprise dispose d'un parc de 600 ordinateurs neufs. La probabilité que l'un d'entre eux tombe en panne pendant la première année est de 0,1. La panne de l'un des ordinateurs n'affecte pas les autres machines du parc.
1. Justification du schéma de Bernoulli et ses paramètres : Cette situation correspond à un schéma de Bernoulli car chaque ordinateur a deux issues possibles : tomber en panne ou ne pas tomber en panne, avec une probabilité constante \( p = 0,1 \) de tomber en panne et \( q = 1 - p = 0,9 \) de ne pas tomber en panne. De plus, les essais sont indépendants.
2. Loi de probabilité de la variable aléatoire \( X \) : La variable aléatoire \( X \) correspond au nombre d'ordinateurs tombant en panne durant la première année. Cette variable suit une loi binomiale \( B(n = 600, p = 0,1) \).
3. Probabilité que 20 appareils tombent en panne la première année : • La probabilité que \( k \) appareils tombent en panne est donnée par la formule de la loi binomiale : [ P(X = k) = \binom{600}{k} \cdot (0,1)^k \cdot (0,9)^{600-k} ] où \( k = 20 \). • Calculons : [ P(X = 20) = \binom{600}{20} \cdot (0,1)^{20} \cdot (0,9)^{580} ] 4. Probabilité que 40 appareils ou moins tombent en panne durant la première année : La probabilité que \( X \) soit inférieur ou égal à 40 est donnée par la somme des probabilités de \( X \) pour \( k = 0 \) jusqu'à \( k = 40 \) : [ P(X \leq 40) = \sum_{k=0}^{40} \binom{600}{k} \cdot (0,1)^k \cdot (0,9)^{600-k} ] En conclusion : 1. La situation correspond à un schéma de Bernoulli avec les paramètres \( n = 600 \) et \( p = 0,1 \). 2. La variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale \( B(600, 0,1) \). 3. La probabilité que 20 appareils tombent en panne la première année est \( P(X = 20) \). 4. La probabilité que 40 appareils ou moins tombent en panne durant la première année est \( P(X \leq 40) \).
Exercice 8: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans une entreprise, un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel de gestion a été suivi par \(25 \%\) du personnel.
On choisit dix personnes dans l'entreprise, qui possède un effectif suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note \(X\) le nombre de personnes choisies qui ont suivi le stage.
1. Expliquer pourquoi \(X\) suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
2. Calculer \(P(X = 3)\). Que représente ce nombre?
3. Calculer la probabilité que quatre personnes au plus parmi les dix choisies aient suivi le stage.
4. Calculer la probabilité qu'au moins cinq personnes parmi les dix choisies aient suivi le stage.
Dans une entreprise, un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel de gestion a été suivi par 25 % du personnel.
On choisit dix personnes dans l'entreprise, qui possède un effectif suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note \(X\) le nombre de personnes choisies qui ont suivi le stage.
1. Explication du schéma de Bernoulli et des paramètres de la loi binomiale : • \(X\) représente le nombre de succès (personnes ayant suivi le stage) dans un échantillon de taille fixe (10 personnes), où chaque personne peut être considérée comme un essai indépendant, avec une probabilité de succès constante \( p = 0,25 \) et une probabilité d'échec \( q = 1 - p = 0,75 \).
• Ainsi, \(X\) suit une loi binomiale \( B(n = 10, p = 0,25) \).
2. Calcul de \(P(X = 3)\) : • \(P(X = 3)\) représente la probabilité que exactement 3 personnes parmi les 10 choisies aient suivi le stage. Cela peut être calculé en utilisant la formule de la loi binomiale : \[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\] où \( n = 10 \), \( k = 3 \), et \( p = 0,25 \).
• Calculons : \[P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot (0,25)^3 \cdot (0,75)^7\] 3. Calcul de la probabilité que quatre personnes au plus parmi les dix choisies aient suivi le stage : • Cela équivaut à calculer la probabilité que \( X \) soit inférieur ou égal à 4, c'est-à-dire \( P(X \leq 4) \). • On peut utiliser la formule de la loi binomiale pour calculer \( P(X \leq 4) \) en sommant les probabilités de \( X \) pour \( k = 0 \) jusqu'à \( k = 4 \).
4. Calcul de la probabilité qu'au moins cinq personnes parmi les dix choisies aient suivi le stage : • Cela équivaut à calculer la probabilité que \( X \) soit supérieur ou égal à 5, c'est-à-dire \( P(X \geq 5) \). • On peut utiliser la formule de la loi binomiale pour calculer \( P(X \geq 5) \) en sommant les probabilités de \( X \) pour \( k = 5 \) jusqu'à \( k = 10 \).
Exercice 9: ★ ★ ★ ☆ ☆
On lance dix fois un dé cubique 🎲 non truqué.
1. Décrire le schéma de Bernoulli associé à cette expérience si on s'intéresse au nombre de « 6 » obtenus.
2. Décrire le schéma de Bernoulli associé à cette expérience si on s'intéresse au nombre de multiples de 3 obtenus.
On lance dix fois un dé cubique 🎲 non truqué.
1. Schéma de Bernoulli associé au nombre de « 6 » obtenus : • Dans cette expérience, chaque lancer du dé peut être considéré comme un essai indépendant. • Si on s'intéresse au nombre de « 6 » obtenus, le succès serait d'obtenir un « 6 » et l'échec serait d'obtenir une autre valeur que « 6 ». • Ainsi, le schéma de Bernoulli associé à cette expérience est caractérisé par : • \( n = 10 \), le nombre de lancers, • \( p \), la probabilité de succès (obtenir un « 6 »), • \( q \), la probabilité d'échec (ne pas obtenir un « 6 »), où \( p + q = 1 \).
2. Schéma de Bernoulli associé au nombre de multiples de 3 obtenus : • De même, si on s'intéresse au nombre de multiples de 3 obtenus, le succès serait d'obtenir un multiple de 3 (c'est-à-dire 3 ou 6) et l'échec serait d'obtenir une autre valeur. • Ainsi, le schéma de Bernoulli associé à cette expérience est caractérisé par : • \( n = 10 \), le nombre de lancers, • \( p' \), la probabilité de succès (obtenir un multiple de 3), • \( q' \), la probabilité d'échec (ne pas obtenir un multiple de 3), où \( p' + q' = 1 \). • Comme il y a deux valeurs sur le dé qui sont des multiples de 3 (3 et 6), la probabilité de succès \( p' \) est \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). • La probabilité d'échec \( q' \) est \( 1 - p' = \frac{2}{3} \).
En conclusion : 1. Le schéma de Bernoulli associé au nombre de « 6 » obtenus est caractérisé par \( n = 10 \) et \( p \), la probabilité d'obtenir un « 6 ». 2. Le schéma de Bernoulli associé au nombre de multiples de 3 obtenus est caractérisé par \( n = 10 \) et \( p' = \frac{1}{3} \), la probabilité d'obtenir un multiple de 3.
Exercice 10: ★ ★ ★ ☆ ☆
Le daltonisme est une anomalie de la vision affectant la perception des couleurs. La fréquence du daltonisme en France est de 8,5 % pour les hommes et de 0,4 % pour les femmes.
On considère que la taille de la population française est suffisamment grande pour que le choix de personnes puisse être assimilé à un tirage avec remise.
1. On choisit au hasard 20 hommes dans la population française. Quelle est la probabilité d'obtenir deux daltoniens?
2. On choisit au hasard 20 femmes dans la population française. Quelle est la probabilité d'obtenir deux daltoniennes ?
Le daltonisme est une anomalie de la vision affectant la perception des couleurs. La fréquence du daltonisme en France est de 8,5 % pour les hommes et de 0,4 % pour les femmes.
On considère que la taille de la population française est suffisamment grande pour que le choix de personnes puisse être assimilé à un tirage avec remise.
1. Probabilité d'obtenir deux daltoniens parmi 20 hommes : • Le schéma de Bernoulli associé à cette situation est caractérisé par \( n = 20 \) (le nombre de personnes choisies) et \( p = 0,085 \) (la probabilité qu'un homme soit daltonien). • La probabilité d'obtenir deux daltoniens parmi 20 hommes est donnée par la loi binomiale : \[P(X = 2) = \binom{20}{2} \cdot (0,085)^2 \cdot (1 - 0,085)^{20-2}\]
2. Probabilité d'obtenir deux daltoniennes parmi 20 femmes : • Le schéma de Bernoulli associé à cette situation est caractérisé par \( n = 20 \) (le nombre de personnes choisies) et \( p = 0,004 \) (la probabilité qu'une femme soit daltonienne). • La probabilité d'obtenir deux daltoniennes parmi 20 femmes est donnée par la loi binomiale : \[P(X = 2) = \binom{20}{2} \cdot (0,004)^2 \cdot (1 - 0,004)^{20-2}\]
En conclusion : 1. La probabilité d'obtenir deux daltoniens parmi 20 hommes est \( P(X = 2) \) calculée avec \( n = 20 \) et \( p = 0,085 \). 2. La probabilité d'obtenir deux daltoniennes parmi 20 femmes est \( P(X = 2) \) calculée avec \( n = 20 \) et \( p = 0,004 \).
Exercice 11: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans une entreprise, la probabilité qu'un ordinateur soit défaillant est égale à \(0,09\). On considère que les pannes informatiques sont indépendantes les unes des autres.
1. Calculer la probabilité que, dans le service comptabilité qui compte \(24\) ordinateurs, trois ordinateurs exactement tombent en panne.
2. Ce service peut assumer son travail si au moins \(3/4\) des ordinateurs fonctionnent. Quelle est la probabilité que ce service ne puisse pas continuer son travail ?
Dans une entreprise, la probabilité qu'un ordinateur soit défaillant est égale à \(0,09\). On considère que les pannes informatiques sont indépendantes les unes des autres.
1. Probabilité que trois ordinateurs exactement tombent en panne dans le service comptabilité qui compte 24 ordinateurs :
• Le schéma de Bernoulli associé à cette situation est caractérisé par \( n = 24 \) (le nombre d'ordinateurs) et \( p = 0,09 \) (la probabilité qu'un ordinateur soit défaillant).
• La probabilité que trois ordinateurs exactement tombent en panne est donnée par la loi binomiale :
\( P(X = 3) = \binom{24}{3} \cdot (0,09)^3 \cdot (1 - 0,09)^{24-3} \)
2. Probabilité que le service comptabilité ne puisse pas continuer son travail :
• Ce service peut assumer son travail si au moins \( \frac{3}{4} \) des ordinateurs fonctionnent. Cela signifie qu'au plus \( \frac{1}{4} \) des ordinateurs sont défaillants.
• La probabilité que ce service ne puisse pas continuer son travail est la probabilité que plus de \( \frac{1}{4} \) des ordinateurs tombent en panne.
• Cette probabilité peut être calculée en utilisant la loi binomiale :
\( P(X > 0,25 \times 24) = 1 - P(X \leq 0,25 \times 24) \)
où \( X \) est le nombre d'ordinateurs tombant en panne.
En conclusion :
1. La probabilité que trois ordinateurs exactement tombent en panne dans le service comptabilité qui compte 24 ordinateurs est \( P(X = 3) \) calculée avec \( n = 24 \) et \( p = 0,09 \).
2. La probabilité que le service comptabilité ne puisse pas continuer son travail est \( 1 - P(X \leq 0,25 \times 24) \), où \( X \) suit une loi binomiale avec \( n = 24 \) et \( p = 0,09 \).
Exercice 12: ★ ★ ★ ☆ ☆
Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique.
Les appels se produisent de façon indépendante et la probabilité qu'un retard se produise pour le dépannage à la suite d'un appel est \(p = 0,25\). Un même client a appelé le service à huit dates différentes.
Soit \(X\) le nombre de retards que ce client a subis.
1. Définir la loi de probabilité de \(X\).
2. Calculer les probabilités des événements:
a. A: « le client a subi au moins un retard » ;
b. B: « le client a quatre retards ou moins ».
Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante et la probabilité qu'un retard se produise pour le dépannage à la suite d'un appel est \( p = 0,25 \). Un même client a appelé le service à huit dates différentes.
Soit \( X \) le nombre de retards que ce client a subis.
1. Loi de probabilité de \( X \) : \( X \) suit une loi binomiale car chaque appel est un essai de Bernoulli, avec la probabilité de succès \( p = 0,25 \) (retard) et la probabilité d'échec \( q = 1 - p = 0,75 \). Le client a passé \( n = 8 \) appels.
2. Calcul des probabilités des événements : a. A: « le client a subi au moins un retard » : Cela signifie que \( X \geq 1 \). On peut calculer cela en utilisant la complémentaire de l'événement contraire (le client n'a subi aucun retard) : \[P(A) = 1 - P(X = 0) = 1 - \binom{8}{0} \cdot (0,25)^0 \cdot (0,75)^8\]
b. B: « le client a quatre retards ou moins » : Cela signifie que \( X \leq 4 \). On peut calculer cela en sommant les probabilités de \( X \) pour \( k = 0 \) jusqu'à \( k = 4 \) : \[P(B) = \sum_{k=0}^{4} \binom{8}{k} \cdot (0,25)^k \cdot (0,75)^{8-k}\]
En conclusion : 1. \( X \) suit une loi binomiale \( B(8, 0,25) \). 2. Les probabilités des événements sont \( P(A) \) et \( P(B) \) calculées comme décrit ci-dessus.
Exercice 13: ★ ★ ★ ☆ ☆
On interroge 56 personnes et la variable aléatoire \(X\) compte le nombre de personnes qui sont contre la construction d'un barrage. Les sondages précédents annoncent que \(65 \%\) des personnes interrogées sont contre la construction du barrage. On considère que les résultats n'ont pas changé et que la population est suffisamment grande pour considérer que le sondage s'assimile à un tirage avec remise.
1. Quelle loi suit \(X\) ? Donner ses paramètres.
2. Quelle est la probabilité qu'exactement 40 personnes interrogées soient contre la construction du barrage?
3. Quelle est la probabilité de compter 35 opposants ou moins à la construction du barrage?
4. Quelle est la probabilité de compter au moins 30 opposants à la construction du barrage?
1. Quelle loi suit \(X\) ? Donner ses paramètres. \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) avec : • \(n = 56\) : le nombre total de personnes interrogées • \(p = 0.65\) : la probabilité de succès (être contre la construction du barrage)
Donc \(X \sim \mathcal{B}(56, 0.65)\).
2. Quelle est la probabilité qu'exactement 40 personnes interrogées soient contre la construction du barrage? La probabilité recherchée est donnée par : \[P(X = 40) = \binom{56}{40} \times 0.65^{40} \times (1-0.65)^{16}\] 3. Quelle est la probabilité de compter 35 opposants ou moins à la construction du barrage? La probabilité recherchée est donnée par : \[P(X \leq 35) = \sum_{k=0}^{35} \binom{56}{k} \times 0.65^{k} \times (1-0.65)^{56-k}\] 4. Quelle est la probabilité de compter au moins 30 opposants à la construction du barrage? La probabilité recherchée est donnée par : \[P(X \geq 30) = 1 - P(X \leq 29) = 1 - \sum_{k=0}^{29} \binom{56}{k} \times 0.65^{k} \times (1-0.65)^{56-k}\]
Exercice 14: ★ ★ ★ ☆ ☆
On a représenté graphiquement ci-dessous une loi binomiale \(B(n; p)\).
Avec un minimum de calcul, déterminer les valeurs des paramètres \(n\) et \(p\).
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