Soit \( (u_n) \) la suite définie par \( u_n = n^2 + 2n \) pour tout entier naturel \( n \).
1. Calculer les quatre premiers termes de la suite \( (u_n) \).
2. Calculer le dixième terme de cette suite.
3. Calculer \( u_{10} \).
4. Exprimer \( u_{n+1} \) et \( u_n + 1 \) en fonction de \( n \).
5. Déterminer une fonction \( f \) définie sur \( [0, +\infty[ \) telle que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_n = f(n) \).
1. Calcul des quatre premiers termes de la suite \((u_n)\) : Pour \(n = 0\), \(u_0 = 0^2 + 2 \times 0 = 0\) Pour \(n = 1\), \(u_1 = 1^2 + 2 \times 1 = 3\) Pour \(n = 2\), \(u_2 = 2^2 + 2 \times 2 = 8\) Pour \(n = 3\), \(u_3 = 3^2 + 2 \times 3 = 15\)
Les quatre premiers termes de la suite \((u_n)\) sont donc : \(0, 3, 8, 15\).
2. Calcul du dixième terme de la suite \((u_n)\) :
3. Calcul de \(u_{10}\) : Pour \(n = 10\), on a \(u_{10} = 10^2 + 2 \times 10 = 120\)
4. Expression de \(u_{n+1}\) et \(u_n + 1\) en fonction de \(n\) : \(u_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) = n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 = n^2 + 4n + 3\) \(u_n + 1 = n^2 + 2n + 1\)
5. Détermination d'une fonction \(f\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = f(n)\) : La formule de la suite \((u_n)\) est \(u_n = n^2 + 2n\). Donc on peut définir la fonction \(f\) sur \([0, +\infty[\) par \(f(x) = x^2 + 2x\). Alors, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = f(n)\).
Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \( (v_n) \) la suite définie par \( v_0 = 3 \) et, pour tout entier naturel \( n \), \( v_{n+1} = v_n^2 + v_n \).
1. Calculer les quatre premiers termes de la suite \( (v_n) \).
2. Exprimer \( v_{n+2} \) en fonction de \( v_{n+1} \).
3. Exprimer \( v_n \) en fonction de \( v_{n-1} \).
4. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur de \( v_4 \).
5. Déterminer une fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) telle que, pour tout entier naturel \( n \), \( v_{n+1} = f(v_n) \).
1. Calculer les quatre premiers termes de la suite \((v_n)\).
Donc les quatre premiers termes de la suite \((v_n)\) sont 3, 12, 156 et 24336.
2. Exprimer \(v_{n+2}\) en fonction de \(v_{n+1}\).
On a : \[v_{n+2} = v_{n+1}^2 + v_{n+1}\] 3. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(v_{n-1}\).
On a : \[v_n = v_{n-1}^2 + v_{n-1}\] 4. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur de \(v_4\).
En utilisant la calculatrice, on obtient : \(v_4 = 5764801\) 5. Déterminer une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1} = f(v_n)\).
La fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2 + x\) convient, car on a \(v_{n+1} = f(v_n)\) pour tout entier naturel \(n\).
Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On donne la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=2u_n +1\).
On veut afficher la liste des \(100\) premiers termes.
1. Reproduire la feuille de calcul ci-dessous sur un tableur.
2. Quelle formule écrite en \(B3\) et recopiée vers le bas permet d'afficher les termes de cette suite ?
3. À partir de quel rang le tableur n'affiche-t-il plus la valeur exacte des termes de la suite ?
Solution en cours ...
Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère le raisonnement suivant.
On note \(P(n)\) la propriété suivante : " Si une urne contient \(n\) boules, alors les boules sont de la même couleur."
Démontrons par récurrence que cette propriété est vraie pour tout entier naturel non nul.
• Pour \(n = 1: P(1)\) est vraie car il n'y a qu'une boule. • Supposons que, pour un entier naturel non nul \(k\) fixé, \(P(k)\) est vraie. Prenons une urne qui contient \((k+1)\) boules. On enlève une boule; il en reste alors \(k\) qui, par hypothèse de récurrence, sont de la même couleur. On enlève une autre boule et on remet la première : il y a encore \(k\) boules dans l'urne qui sont donc, par hypothèse de récurrence, toutes de la même couleur. La première boule enlevée a donc la même couleur que les autres. Donc les \((k + 1)\) boules de l'urne sont de même couleur ; donc \(P(k+1)\) est vraie.
• Conclusion: \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\) non nul.
Quelle erreur de raisonnement commet-on ?
On considère le raisonnement suivant.
On note \(P(n)\) la propriété suivante : "Si une urne contient \(n\) boules, alors les boules sont de la même couleur."
Démontrons par récurrence que cette propriété est vraie pour tout entier naturel non nul.
• Pour \(n = 1: P(1)\) est vraie car il n'y a qu'une boule. • Supposons que, pour un entier naturel non nul \(k\) fixé, \(P(k)\) est vraie.
Prenons une urne qui contient \((k+1)\) boules. On enlève une boule; il en reste alors \(k\) qui, par hypothèse de récurrence, sont de la même couleur.
On enlève une autre boule et on remet la première : il y a encore \(k\) boules dans l'urne qui sont donc, par hypothèse de récurrence, toutes de la même couleur. La première boule enlevée a donc la même couleur que les autres. Donc les \((k + 1)\) boules de l'urne sont de même couleur ; donc \(P(k+1)\) est vraie.
Conclusion: \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\) non nul.
Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \( (u_n) \) la suite définie par \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = \frac{{u_n}}{{1 + u_n}} \) pour tout entier naturel \( n \).
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_n > 0 \).
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n}\) pour tout entier naturel \(n\).
Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\).
1. Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(u_0 = 2 > 0\). Donc la propriété est vraie pour \(n = 0\).
2. Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel \(k\), c'est-à-dire \(u_k > 0\).
Montrons qu'elle est alors vraie pour \(k+1\).
On a : \[u_{k+1} = \frac{u_k}{1 + u_k}\]
Comme \(u_k > 0\), on a \(1 + u_k > 1\). Donc : \[\frac{u_k}{1 + u_k} < u_k\] Or, \(u_k > 0\) par hypothèse de récurrence. Donc \(u_{k+1} > 0\).
Ainsi, la propriété est vraie pour \(k+1\).
3. Conclusion : D'après le principe de récurrence, on peut en déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\).
Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \( (v_n) \) la suite définie par \( v_2 = 0 \) et, pour tout entier naturel \( n \),
\( v_{n+1} = \sqrt{0.5v_n + 8} \).
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \( n \), \( 0 \leq v_n \leq 4 \).
Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_2 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1} = \sqrt{0.5v_n + 8}\).
Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq v_n \leq 4\).
1. Initialisation : Pour \(n = 2\), on a \(v_2 = 0\). Donc \(0 \leq v_2 \leq 4\).
2. Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel \(k\), c'est-à-dire \(0 \leq v_k \leq 4\).
Montrons qu'elle est alors vraie pour \(k+1\).
On a : \[v_{k+1} = \sqrt{0.5v_k + 8}\]
Comme \(0 \leq v_k \leq 4\), on a : \[0.5v_k \leq 2\] Et donc : \[\sqrt{0.5v_k + 8} \leq \sqrt{10} \leq 4\]
De plus, comme \(0.5v_k + 8 \geq 8\), on a : \[\sqrt{0.5v_k + 8} \geq 0\] Ainsi, \(0 \leq v_{k+1} \leq 4\).
3. Conclusion : D'après le principe de récurrence, on peut en déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq v_n \leq 4\).
Exercice 7: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \( (u_n) \) la suite définie par \( u_0 = 5 \) et \( u_{n+1} = (u_n)^2 + 3 \) pour tout entier naturel \( n \).
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_n > 0 \).
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = (u_n)^2 + 3\) pour tout entier naturel \(n\).
Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\).
1. Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(u_0 = 5 > 0\). Donc la propriété est vraie pour \(n = 0\).
2. Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel \(k\), c'est-à-dire \(u_k > 0\).
Montrons qu'elle est alors vraie pour \(k+1\).
On a : \[u_{k+1} = (u_k)^2 + 3\] Comme \(u_k > 0\) par hypothèse de récurrence, on a \((u_k)^2 > 0\). De plus, \(3 > 0\). Donc \(u_{k+1} = (u_k)^2 + 3 > 0\).
Ainsi, la propriété est vraie pour \(k+1\).
3. Conclusion : D'après le principe de récurrence, on peut en déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\).
Exercice 8: ★ ★ ★ ☆ ☆
Traduire par une propriété dépendant de \( n \) les énoncés suivants.
1. La suite \( (u_n) \) est croissante.
2. La suite \( (v_n) \) est minorée par 5.
3. La suite \( (w_n) \) est majorée par -1.
4. La suite \( (t_n) \) est strictement positive.
Traduire par une propriété dépendant de \(n\) les énoncés suivants.
1. La suite \((u_n)\) est croissante. Propriété : Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leq u_{n+1}\).
2. La suite \((v_n)\) est minorée par 5. Propriété : Pour tout entier naturel \(n\), \(v_n \geq 5\).
3. La suite \((w_n)\) est majorée par -1. Propriété : Pour tout entier naturel \(n\), \(w_n \leq -1\).
4. La suite \((t_n)\) est strictement positive. Propriété : Pour tout entier naturel \(n\), \(t_n > 0\).
Exercice 9: ★ ★ ★ ☆ ☆
Un site Internet d'actualité n'est accessible que sur abonnement. Le modèle économique prévoit qu'il y ait \(1 800\) nouveaux abonnés chaque année et que, d'une année sur l'autre, \(15 %\) des abonnés ne se réabonnent pas. En 2019, il y avait \(8 000\) abonnés. Pour tout entier naturel », on note \( (u_n) \) le nombre de milliers d'abonnés prévus en \((2019 + n)\).
1. Exprimer \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \).
2. Démontrer par récurrence que la suite \( (u_n) \) est croissante et majorée par \(12\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
3. Écrire un algorithme en langage naturel permettant d'obtenir l'année à partir de laquelle le site dépassera, d'après le modèle, la barre des \(11 000\) abonnés.
4. Écrire une fonction Python appelée \(seuil(M)\) qui renvoie l'année à partir de laquelle le site dépassera, d'après le modèle considéré, la barre des \(M\) abonnés.
Un site Internet d'actualité n'est accessible que sur abonnement. Le modèle économique prévoit qu'il y ait \(1 800\) nouveaux abonnés chaque année et que, d'une année sur l'autre, \(15 %\) des abonnés ne se réabonnent pas. En 2019, il y avait \(8 000\) abonnés. Pour tout entier naturel \(n\), on note \((u_n)\) le nombre de milliers d'abonnés prévus en \((2019 + n)\).
1. Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\). On a : \[u_{n+1} = u_n + 1.8 - 0.15u_n = 0.85u_n + 1.8\] 2. Démontrer par récurrence que la suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(12\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (a) Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(u_0 = 8\). Donc \(u_0 \leq 12\). (b) Hérédité : Supposons que, pour un certain entier naturel \(k\), on ait \(u_k \leq 12\). Montrons alors que \(u_{k+1} \leq 12\). On a : \[u_{k+1} = 0.85u_k + 1.8 \leq 0.85 \times 12 + 1.8 = 12\] Donc \(u_{k+1} \leq 12\). De plus, comme \(0.85 > 0\), on a \(u_{k+1} \geq u_k\). Donc la suite \((u_n)\) est croissante. (c) Conclusion : D'après le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leq 12\). Cela signifie que, d'après le modèle considéré, le nombre d'abonnés du site ne dépassera pas \(12 000\).
3. Écrire un algorithme en langage naturel permettant d'obtenir l'année à partir de laquelle le site dépassera, d'après le modèle, la barre des \(11 000\) abonnés. Initialiser \(n = 0\) et \(u_0 = 8\). Tant que \(u_n < 11\), incrémenter \(n\) et calculer \(u_{n+1} = 0.85u_n + 1.8\). Lorsque \(u_n \geq 11\), afficher l'année \(2019 + n\).
4. Écrire une fonction Python appelée \(seuil(M)\) qui renvoie l'année à partir de laquelle le site dépassera, d'après le modèle considéré, la barre des \(M\) abonnés.
def seuil(M):
n = 0 u = 8 while u < M:
n += 1 u = 0.85 * u + 1.8
return 2019 + n
Exercice 10: ★ ★ ★ ☆ ☆
On donne la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 0 \) et, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} = 2u_n + 1 \).
On veut afficher la liste des 100 premiers termes à l'aide de Python.
1. Avec une liste définie en compréhension.
a. Écrire une fonction Python qui renvoie le terme de rang N de la suite \( (u_n) \).
b. Écrire une liste définie en compréhension qui contient les 100 premiers termes de cette suite.
2. Avec une liste définie en extension.
a. Recopier et compléter le script suivant.
b. Quelle instruction écrire dans la console pour obtenir la liste des 100 premiers termes de la suite \( (u_n) \) ?
On donne la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 2u_n + 1\). On veut afficher la liste des 100 premiers termes à l'aide de Python.
1. Avec une liste définie en compréhension. (a) Écrire une fonction Python qui renvoie le terme de rang \(N\) de la suite \((u_n)\). def terme_rang_N(N): return 2**N - 1 (b) Écrire une liste définie en compréhension qui contient les 100 premiers termes de cette suite. liste_100_termes = [terme_rang_N(ṉ) for n in range(100)]
2. Avec une liste définie en extension. (a) Recopier et compléter le script suivant. def liste_termes(N): L = [0] for i in range(1, N): L.append(2*L[-1] + 1) return L
(b) Quelle instruction écrire dans la console pour obtenir la liste des 100 premiers termes de la suite \((u_n)\) print(liste_termes(100)
Exercice 11: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \( n \) un entier naturel. Vérifier que chaque propriété \( P(n) \) suivante est vraie pour le rang \( n \), donné.
1. \( P(n) \): \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n \cdot (n+1) = \frac{{n(n+1)(n+2)}}{3} \), \( n_0 = 1 \).
2. \( P(n) \): \( 5^n \geq 4^n + 3^n \), \( n_0 = 2 \).
1. \(P(n)\): \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n \cdot (n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\), \(n_0 = 1\). Démonstration : Utilisons le principe d'induction : • Pour \(n = 1\), on a \(1 \cdot 2 = \frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2\), donc \(P(1)\) est vraie. • Supposons que \(P(n)\) soit vraie, alors : \[\begin{align*} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n \cdot (n+1) + (n+1) \cdot (n+2) &= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) \\ &= \frac{n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)}{3} \\ &= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \end{align*}\] Donc \(P(n+1)\) est vraie. Par le principe d'induction, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geq 1\). 2. \(P(n)\): \(5^n \geq 4^n + 3^n\), \(n_0 = 2\). Démonstration : Utilisons le principe d'induction : • Pour \(n = 2\), on a \(5^2 = 25 \geq 16 + 9 = 4^2 + 3^2\), donc \(P(2)\) est vraie. • Supposons que \(P(n)\) soit vraie, alors : \[\begin{align*} 5^{n+1} &= 5 \cdot 5^n \\ &\geq 5 \cdot (4^n + 3^n) \\ &= 4^{n+1} + 3^{n+1} \end{align*}\] Donc \(P(n+1)\) est vraie. Par le principe d'induction, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geq 2\).
Exercice 12: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère la propriété \( P(n) \) suivante, où \( n \) est un entier supérieur ou égal à 2.
\( P(n) \): le nombre de cordes reliant \( n \) points distincts d'un cercle est égal à \( \frac{{n(n-1)}}{2} \).
1. Écrire la propriété \( P(2) \). Est-elle vraie ?
2. Soit \( k \) un entier naturel supérieur ou égal à 2. Écrire les propriétés \( P(k) \) et \( P(k+1) \).
3. Utiliser les questions précédentes pour démontrer que la propriété \( P(n) \) est vraie pour tout entier naturel \( n \geq 2 \).
On considère la propriété \(P(n)\) suivante, où \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2.
\(P(n)\) : le nombre de cordes reliant \(n\) points distincts d'un cercle est égal à \(\frac{n(n-1)}{2}\).
1. Écrire la propriété \(P(2)\). Est-elle vraie ? La propriété \(P(2)\) s'écrit : \[P(2) : \text{le nombre de cordes reliant 2 points distincts d'un cercle est égal à } \frac{2(2-1)}{2} = 1.\] Cette propriété est vraie, car il n'y a qu'une seule corde reliant deux points distincts sur un cercle.
2. Soit \(k\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. Écrire les propriétés \(P(k)\) et \(P(k+1)\). La propriété \(P(k)\) s'écrit : \[P(k) : \text{le nombre de cordes reliant } k \text{ points distincts d'un cercle est égal à } \frac{k(k-1)}{2}.\] La propriété \(P(k+1)\) s'écrit : \[P(k+1) : \text{le nombre de cordes reliant } (k+1) \text{ points distincts d'un cercle est égal à } \frac{(k+1)k}{2}.\]
3. Utiliser les questions précédentes pour démontrer que la propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n \geq 2\). (a) Initialisation : On a vu que \(P(2)\) est vraie. (b) Hérédité : Supposons que \(P(k)\) soit vraie pour un certain entier naturel \(k \geq 2\). Montrons alors que \(P(k+1)\) est vraie. D'après la question 2, on a : \[P(k+1) : \text{le nombre de cordes reliant } (k+1) \text{ points distincts d'un cercle est égal à } \frac{(k+1)k}{2}.\] Or, on sait que \(P(k)\) est vraie, donc le nombre de cordes reliant \(k\) points distincts d'un cercle est égal à \(\frac{k(k-1)}{2}\). Pour passer de \(k\) à \(k+1\) points, il faut ajouter \(k\) nouvelles cordes. Donc le nombre total de cordes reliant \(k+1\) points distincts d'un cercle est égal à : \[\frac{k(k-1)}{2} + k = \frac{(k+1)k}{2}.\] Ainsi, \(P(k+1)\) est vraie. (c) Conclusion : D'après le principe de récurrence, on en déduit que la propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n \geq 2\).
Exercice 13: ★ ★ ★ ☆ ☆
La suite \( (u_n) \) est définie par son premier terme \( u_0 \) et, pour tout entier naturel \( n \),
\( u_{n+1} = \sqrt{u_n + \frac{2}{5}} \).
1. Démontrer que la propriété \( P(n) \): \( 0 ﹤ u_n ﹤ \frac{7}{5} \), où \( n \) désigne un entier naturel, est héréditaire.
2. Quelle condition doit vérifier \( u_0 \), pour que la propriété \( P(n) \) soit vraie pour tout entier naturel \( n \) ?
La suite \((u_n)\) est définie par son premier terme \(u_0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1} = \sqrt{u_n + \frac{2}{5}}.\]
1. Démontrer que la propriété \(P(n)\): \(0 < u_n < \frac{7}{5}\), où \(n\) désigne un entier naturel, est héréditaire. (a) Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(u_0\), qui est le premier terme de la suite. Par hypothèse, on a \(0 < u_0 < \frac{7}{5}\), donc la propriété \(P(0)\) est vraie. (b) Hérédité : Supposons que la propriété \(P(n)\) soit vraie pour un certain entier naturel \(n\), c'est-à-dire que \(0 < u_n < \frac{7}{5}\). Montrons que la propriété \(P(n+1)\) est alors vraie. On a : \[u_{n+1} = \sqrt{u_n + \frac{2}{5}}.\] Puisque \(0 < u_n < \frac{7}{5}\), on a : \[0 < u_n + \frac{2}{5} < \frac{7}{5} + \frac{2}{5} = \frac{9}{5}.\] En prenant la racine carrée, on obtient : \[0 < \sqrt{u_n + \frac{2}{5}} < \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}.\] Donc \(0 < u_{n+1} < \frac{3}{\sqrt{5}} < \frac{7}{5}\), ce qui montre que la propriété \(P(n+1)\) est vraie. (c) Conclusion : D'après le principe de récurrence, on en déduit que la propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
2. Quelle condition doit vérifier \(u_0\), pour que la propriété \(P(n)\) soit vraie pour tout entier naturel \(n\) ? D'après la question 1, la propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\) si et seulement si \(0 < u_0 < \frac{7}{5}\). Donc la condition que doit vérifier \(u_0\) est : \(0 < u_0 < \frac{7}{5}\).
Exercice 14: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \( (u_n) \) la suite définie par \( u_0 = 0.7 \) et, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} = \frac{{3u_n}}{{1+2u_n}} \).
1. On considère la fonction \( f \) définie sur \([0, +\infty[\) par \( f(x) = \frac{{3x}}{{1+2x}} \).
a. Étudier les variations de \( f \) sur \([0, +\infty[\).
b. En déduire que si \( x \in [0, 1] \), alors \( f(x) \in [0,1]\).
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \( n \), on a : \( 0 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 1 \). b. Que peut-on en déduire concernant la suite \( (u_n) \) ?
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 0.7\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \frac{3u_n}{1+2u_n}\).
1. On considère la fonction \(f\) définie sur \([0, +\infty[\) par \(f(x) = \frac{3x}{1+2x}\). (a) Étudier les variations de \(f\) sur \([0, +\infty[\). \begin{align*} f'(x) &= \frac{3(1+2x) - 6x}{(1+2x)^2} \\ &= \frac{3-4x}{(1+2x)^2} \end{align*} Donc \(f'(x) \geq 0\) si et seulement si \(x \leq \frac{3}{4}\). Ainsi, \(f\) est croissante sur \([0, \frac{3}{4}]\) et décroissante sur \([\frac{3}{4}, +\infty[\). (b) En déduire que si \(x \in [0, 1]\), alors \(f(x) \in [0,1]\). En effet, puisque \(f\) est croissante sur \([0, \frac{3}{4}]\) et décroissante sur \([\frac{3}{4}, +\infty[\), on a : \[\forall x \in [0, 1], \quad f(x) \in [f(0), f(1)] = [0, 1].\]
2. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(0 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 1\). • Initialisation : \(u_0 = 0.7\), donc \(0 \leq u_0 \leq 1\). • Hérédité : Supposons que \(0 \leq u_n \leq 1\). Alors, d'après la question 1(b), on a \(0 \leq u_{n+1} = f(u_n) \leq 1\). • Conclusion : Par récurrence, on a donc \(0 \leq u_n \leq 1\) pour tout entier naturel \(n\). (b) Que peut-on en déduire concernant la suite \((u_n)\) ? Puisque \(0 \leq u_n \leq 1\) pour tout entier naturel \(n\), on en déduit que la suite \((u_n)\) est convergente et que sa limite appartient à l'intervalle \([0, 1]\).
Exercice 15: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0\), un réel donné, et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = - \frac{1}{5}u_n - 1\). 1. Déterminer la valeur de u pour que la suite \((u_n)\) soit constante.
2. On prend désormais \(u_0 = 0\). a. Dans un repère orthonormé d'unité 2 cm, construire les deux droites d'équations \(y = \frac{1}{5}x - 1\) et \(y = x\). b. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite \((u_n)\), puis émettre une conjecture sur le sens de variation de la suite \((u_n)\). c. Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = u_n + 5\). Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique et déterminer son premier terme et sa raison. En déduire une expression de \(v_n\), en fonction de \(n\), puis une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). d. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
1. Détermination de la valeur de \(u_0\) pour que la suite \((u_n)\) soit constante Pour que la suite \((u_n)\) soit constante, il faut que \(u_{n+1} = u_n\) pour tout \(n\). Soit \(u_0\) le terme constant de la suite. On a alors : \(u_{n+1} = -\frac{1}{5}u_n - 1 = u_n\) Ce qui donne : \(-\frac{1}{5}u_n - 1 = u_n\) \(-\frac{1}{5}u_n = u_n + 1\) \(u_n = -6\) Donc la suite \((u_n)\) est constante et égale à \(-6\) si \(u_0 = -6\).
2. Étude de la suite \((u_n)\) avec \(u_0 = 0\) a. Tracé des deux droites d'équations \(y = \frac{1}{5}x - 1\) (en bleu) et \(y = x\) (en rouge)
b. Représentation des quatre premiers termes de la suite \((u_n)\) sur l'axe des abscisses \(u_0 = 0\) \(u_1 = -\frac{1}{5}(0) - 1 = -1\) \(u_2 = -\frac{1}{5}(-1) - 1 = -0,2 - 1 = -1,2\) \(u_3 = -\frac{1}{5}(-1,2) - 1 = 0,24 - 1 = -0,76\) La suite \((u_n)\) semble décroissante.
c. Étude de la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n + 5\) \(v_n = u_n + 5\) \(v_{n+1} = u_{n+1} + 5 = -\frac{1}{5}u_n - 1 + 5 = -\frac{1}{5}(v_n - 5) - 1 + 5 = -\frac{1}{5}v_n + 1\) Donc \((v_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(v_0 = u_0 + 5 = 5\) et de raison \(r = -\frac{1}{5}\). \(v_n = v_0 \times r^n = 5 \times \left(-\frac{1}{5}\right)^n = 5 \times (-1)^n \times \left(\frac{1}{5}\right)^n\) \(u_n = v_n - 5 = 5 \times (-1)^n \times \left(\frac{1}{5}\right)^n - 5 = 5 \times \left((-1)^n \times \left(\frac{1}{5}\right)^n - 1\right)\)
d. La suite \((u_n)\) est décroissante Comme \((-1)^n \times \left(\frac{1}{5}\right)^n\) est une suite décroissante, la suite \((u_n)\) est également décroissante.
Exercice 16: ★ ★ ☆ ☆ ☆
À la calculatrice, on a représenté ci-dessous la suite définie par \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n + 2\), pour tout entier naturel.
1. a. Conjecturer graphiquement le sens de variation de la suite \((u_n)\). b. Démontrer cette conjecture par récurrence. 2. a. Conjecturer une valeur d'un réel \(m\) tel que \(u_n ≥ u_m\) pour tout entier naturel \(n\). b. Démontrer cette conjecture par récurrence.
solution en cours...
Exercice 17: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=-1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}= \frac{1}{4}u_n + 2\). On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=\frac{1}{4}x+2\) ainsi que la droite d'équation \(y = x\).
1. a. Reproduire le graphique ci-dessous.
b. Placer sur l'axe des abscisses le terme \(u_0\). c. Construire le terme \(u_1\), sur l'axe des ordonnées. d. En utilisant la droite d'équation \(y = x\), placer le terme \(u_1\), sur l'axe des abscisses. e. Construire le terme \(u_2\) sur l'axe des ordonnées. f. Continuer ce processus afin de placer les quatre premiers termes de la suite \((u_n)\) sur l'axe des abscisses.
2. a. Conjecturer graphiquement le sens de variation de la suite \((u_n)\). b. Démontrer cette conjecture par récurrence. 3. a. Conjecturer une valeur d'un réelm tel que \(u_n ≤ m\) pour tout entier naturel \(n\). b. Démontrer cette conjecture par récurrence.
solution en cours...
Exercice 18: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On donne la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = a\), où \(a \in \mathbb{R}\), et \(u_{n+1} = 4u_n - 6\) pour tout entier naturel \(n\). 1. Recopier et compléter les lignes 5, 8 et 9 de la fonction Python suivante, d'arguments et \(a\), qui renvoie la liste des \((n + 1)\) premiers termes de la suite \((u_n)\) et en donne une représentation graphique.
1 from math import sqrt
2 from matplotlib.pyplot import*
3
4 def liste_termes_u(n,a):
5 U=...
6 L= [u]
7 for i in range(1, n+1):
8 U=...
9 L.append(...)
10 plot (L, 'r.')
11 show()
12 return L
2. Conjecturer grâce à ce script le comportement de la suite \((u_n)\) pour les valeurs de a suivantes. a. \(a = 1\) b. \(a = 4\) c. \(a = 2\) 3. Démontrer la conjecture dans les deux premiers cas.
solution en cours...
Exercice 19: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Un site Internet d'actualité n'est accessible que sur abonnement. Le modèle économique prévoit qu'il y ait 1 800 nouveaux abonnés chaque année et que, d'une année sur l'autre, 15 % des abonnés ne se réabonnent pas. En 2019, il y avait 8 000 abonnés. Pour tout entier naturel \(n\), on note,, le nombre de milliers d'abonnés prévus en \((2019+ n)\). 1. Exprimer \(u_{n+1}\), en fonction de \(u_n\) 2. Démontrer par récurrence que la suite \((u_n)\) est croissante et majorée par 12. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. 3. Écrire un algorithme en langage naturel permettant d'obtenir l'année à partir de laquelle le site dépassera, d'après le modèle, la barre des 11 000 abonnés. 4. Écrire une fonction Python appelée \(seuil(M)\) qui renvoie l'année à partir de laquelle le site dépassera, d'après le modèle considéré, la barre des \(M\) abonnés.
1. Expression de \(u_{n+1}\), en fonction de \(u_n\)
Soit \(u_n\) le nombre de milliers d'abonnés prévus en \((2019+ n)\). Nous avons : \(u_n = 8 + 1.8n - 0.15u_n\)
Réarrangeons cette équation pour exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) : \(u_{n+1} = 8 + 1.8(n+1) - 0.15u_{n+1}\) \(u_{n+1} - 0.15u_{n+1} = 8 + 1.8n + 1.8\) \(0.85u_{n+1} = 9.8 + 1.8n\) \(u_{n+1} = \frac{9.8 + 1.8n}{0.85}\)
Donc \(u_{n+1} = 11.529 + 2.118n\)
2. Démontrons par récurrence que la suite \((u_n)\) est croissante et majorée par 12. Interprétons ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Démonstration par récurrence : • Initialisation : pour \(n=0\), \(u_0 = 8\) donc \(u_0 < 12\) • Hérédité : supposons que \(u_n < 12\), alors \begin{align*} u_{n+1} &= 11.529 + 2.118n \\ &< 11.529 + 2.118 \cdot 12 \\ &= 11.529 + 25.416 \\ &= 36.945 \\ &< 12 \end{align*} Donc \(u_{n+1} < 12\).
Ainsi, la suite \((u_n)\) est croissante et majorée par 12.
Interprétation dans le contexte de l'exercice : Cela signifie que le nombre d'abonnés prévus sur le site Internet ne dépassera pas 12 000, selon le modèle économique considéré. Le site atteindra une limite d'abonnés autour de 12 000.
3. Écriture d'un algorithme en langage naturel permettant d'obtenir l'année à partir de laquelle le site dépassera, d'après le modèle, la barre des 11 000 abonnés.
Algorithme en langage naturel :
1. Initialiser \(n = 0\) et \(u_0 = 8\) (8 000 abonnés en 2019) 2. Tant que \(u_n < 11\) (11 000 abonnés) : a. Calculer \(u_{n+1} = 11.529 + 2.118n\) b. Incrémenter \(n\) de 1 3. Retourner \(n\) (l'année où le site dépassera 11 000 abonnés)
4. Écriture d'une fonction Python appelée \(seuil(M)\) qui renvoie l'année à partir de laquelle le site dépassera, d'après le modèle considéré, la barre des \(M\) abonnés.
def seuil(M):
n = 0
u_n = 8
while u_n ‹ M:
u_n = 11.529 + 2.118 * n
n += 1
return n + 2019
Cette fonction prend en entrée le seuil \(M\) d'abonnés souhaité, et renvoie l'année à partir de laquelle le site dépassera ce seuil, selon le modèle considéré.
Exercice 20: ★ ★ ☆ ☆ ☆
En 2020, une ville compte 5 000 habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que, chaque année: • 20 % des habitants de la ville meurent ou quittent la ville; • 1 200 personnes naissent ou emménagent dans la ville. On note \(u_n\) le nombre d'habitants (exprimé en milliers) l'année \(2020 + n\). 1. Expliquer pourquoi \(u_0 = 5\). 2. Montrer en justifiant que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0,8u_n +1,2\). 3. En utilisant la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\) et démontrer la conjecture par récurrence. 4. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n ≤ 6\). b. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
1. Expliquons pourquoi \(u_0 = 5\).
En 2020, la ville compte 5 000 habitants, donc \(u_0 = 5\).
2. Montrons en justifiant que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0,8u_n +1,2\).
Soit \(u_n\) le nombre d'habitants (en milliers) l'année \(2020 + n\).
D'après les données de l'énoncé : • 20 % des habitants de la ville meurent ou quittent la ville chaque année. • 1 200 personnes naissent ou emménagent dans la ville chaque année.
Donc le nombre d'habitants l'année suivante, \(2020 + (n+1)\), est : • 80 % des habitants de l'année précédente (\(0,8u_n\)) • plus 1 200 nouvelles personnes (\(1,2\))
Donc \(u_{n+1} = 0,8u_n + 1,2\).
3. En utilisant la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\) et démontrons la conjecture par récurrence.
En utilisant une calculatrice, on constate que la suite \((u_n)\) semble être croissante.
Démonstration par récurrence : • Initialisation : pour \(n=0\), \(u_0 = 5\) • Hérédité : supposons que \(u_n \leq u_{n+1}\), alors \begin{align*} u_{n+1} &= 0,8u_n + 1,2 \\ &\geq 0,8u_n + 1,2 \\ &\geq 0,8u_n + 1,2 \\ &= u_{n+2} \end{align*} Donc \(u_{n+1} \leq u_{n+2}\).
Ainsi, la suite \((u_n)\) est croissante.
4. a. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n ≤ 6\).
Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leq 6\).
b. Interprétation dans le contexte de l'exercice : Cela signifie que, selon le modèle démographique considéré, la population de la ville ne dépassera jamais 6 000 habitants. La ville atteindra une limite de population autour de 6 000 habitants.
Exercice 21: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On souhaite démontrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(7^n - 1\) est un multiple de \(3\). On propose la démonstration suivante. On considère la propriété \(P(n)\): « \(7^n - 1\) est un multiple de \(3\). » • Initialisation. Pour \(n_0 =0\),\(7^0 -1 = 1-1 = 0\). \(0\) est un multiple de \(3\), donc \(P(0)\) est vraie. • Hérédité. On considère un entier quelconque \(k ≥ 0\). On suppose que \(P(k)\) est vraie, c'est-à-dire que \(7^k-1=3a\), avec \(a\) entier. C'est l'hypothèse de récurrence. On veut montrer que \(P(k+1)\) est vraie, c'est-à-dire : \(7^{k+1}-1= 3a'\), avec \(a'\) entier. D'après l'hypothèse de récurrence, il existe un entier \(a\) tel que \(7^k -1=3a\). On a : \(7^{k+1}-1= 7^k \times 7-1 = (3a+1) \times 7-1 = 7 \times 3a+7-1=3 \times 7a+6 = 3 \times (7a+2)=3a'\) avec \(a' = 7a+2\), qui est bien un entier. On peut donc dire que \(7^{k+1}-1\) est un multiple de 3 et, donc, que \(P(k+1)\) est vraie. La propriété \(P(n)\) est donc héréditaire. • Conclusion. La propriété \(P(n)\) est vraie au rang \(n_0 = 0\). Elle est héréditaire. On en déduit que \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n ≥ 0\), donc \(7^n - 1\) est un multiple de \(3\) pour tout entier naturel \(n\).
1. Dans l'initialisation: a. aurait-on pu faire l'initialisation pour \(n_0 = 1\) ? b. justifier que \(0\) est bien un multiple de \(3\). 2. Dans la démonstration de l'hérédité: a. justifier pourquoi l'hypothèse de récurrence permet d'écrire: \(7^k \times 7-1= (3a+1) \times 7-1\). b. quelle égalité permet de conclure que \(7^{k+1} - 1\) est un multiple de \(3\) ?
1. Dans l'initialisation :
a. Oui, on aurait pu faire l'initialisation pour \(n_0 = 1\). En effet, pour \(n_0 = 1\), on a : \begin{align*} 7^1 - 1 &= 7 - 1 \\ &= 6 \\ &= 3 \times 2 \end{align*} Donc \(7^1 - 1\) est bien un multiple de 3, ce qui vérifie la propriété \(P(1)\).
b. \(0\) est bien un multiple de 3 car on peut l'écrire sous la forme \(3 \times 0\), où \(0\) est un entier.
2. Dans la démonstration de l'hérédité :
a. L'hypothèse de récurrence permet d'écrire \(7^k - 1 = 3a\), avec \(a\) entier. En multipliant cette égalité par 7, on obtient : \begin{align*} 7^{k+1} - 1 &= 7 \times (7^k - 1) \\ &= 7 \times 3a \\ &= 3 \times 7a \\ &= (3a + 1) \times 7 - 1 \end{align*} Donc l'hypothèse de récurrence justifie cette étape de la démonstration.
b. L'égalité qui permet de conclure que \(7^{k+1} - 1\) est un multiple de 3 est : \begin{align*} 7^{k+1} - 1 &= 3 \times (7a + 2) \end{align*} Où \(a'\) est un entier (7a + 2). Donc \(7^{k+1} - 1\) est bien un multiple de 3, ce qui vérifie la propriété \(P(k+1)\).
Exercice 22: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère le nombre \(A(n) = 3n^2 + 3n+6\) où \(n\) est un entier naturel. 1. Sur Python, créer en compréhension une liste \(L\) qui contient les \(20\) premières valeurs du nombre \(A(n)\). 2. De quel entier, autre que \(1\) et \(3\), le nombre entier \(A(n)\) semble-t-il être multiple ? 3. Démontrer cette conjecture pour tout entier naturel \(n\) en utilisant un raisonnement par récurrence.
1. Création de la liste \(L\) en compréhension En Python, on peut créer la liste \(L\) contenant les 20 premières valeurs de \(A(n)\) avec la compréhension de liste suivante :
L = [3*n**2 + 3*n + 6 for n in range(20)]
print(L)
2. Conjecture sur le diviseur de \(A(n)\) En observant les valeurs de la liste \(L\), on peut conjecturer que le nombre entier \(A(n)\) semble être multiple de \(6\), autre que \(1\) et \(3\).
3. Démonstration par récurrence Montrons que \(A(n)\) est multiple de \(6\) pour tout entier naturel \(n\).
Initialisation : pour \(n = 0\), \(A(0) = 3 \times 0^2 + 3 \times 0 + 6 = 6\) qui est bien multiple de \(6\).
Hérédité : supposons que \(A(k)\) soit multiple de \(6\) pour un certain entier naturel \(k\). Alors \(A(k) = 6p\) pour un certain entier naturel \(p\).
Par récurrence, on en déduit que \(A(n)\) est multiple de \(6\) pour tout entier naturel \(n\).
Exercice 23: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Démontrer que, pour tout entier \(n ≥ 1\): \[\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + ... + \frac{1}{(2n−1)(2n+1)} = \frac{n}{(2n+1)}\]
Voici deux méthdes pour la résolution de cet exercice :
Méthode 1: Démonstration par récurrence
Démontrons que, pour tout entier \(n \geq 1\), on a : \[\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + ... + \frac{1}{(2n−1)(2n+1)} = \frac{n}{(2n+1)}\]
Preuve par récurrence :
• Initialisation : pour \(n = 1\), on a : \[\frac{1}{1 \times 3} = \frac{1}{3} = \frac{1}{(2 \times 1 + 1)}\] Donc la propriété est vraie pour \(n = 1\). • Étape de récurrence : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier \(n \geq 1\). Montrons qu'elle est alors vraie pour \(n+1\). \[\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + ... + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}\] En développant le terme de droite, on obtient : \[\frac{n(2n+3) + 1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{2n^2 + 3n + 1}{2n^2 + 5n + 3} = \frac{(n+1)}{2(n+1)+1}\] Donc la propriété est vraie pour \(n+1\).
Par récurrence, la propriété est donc vraie pour tout entier \(n \geq 1\).
Méthode 2: Démonstration directe
Démontrons que, pour tout entier \(n \geq 1\), on a : \[\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + ... + \frac{1}{(2n−1)(2n+1)} = \frac{n}{(2n+1)}\]
Considérons la somme des termes du membre de gauche : \[\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + ... + \frac{1}{(2n−1)(2n+1)}\] En factorisant le dénominateur, on obtient : \[\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + ... + \frac{1}{(2n−1)(2n+1)} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{(2n-1)} + \frac{1}{(2n+1)}\] Cette somme peut s'écrire sous la forme d'une fraction continue : \[\frac{1}{1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{5 + ... + \frac{1}{(2n-1) + \frac{1}{(2n+1)}}}}}\] En simplifiant cette fraction continue, on obtient : \[\frac{1}{1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{5 + ... + \frac{1}{(2n-1) + \frac{1}{(2n+1)}}}}} = \frac{n}{(2n+1)}\] Donc, pour tout entier \(n \geq 1\), on a bien : \[\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + ... + \frac{1}{(2n−1)(2n+1)} = \frac{n}{(2n+1)}\]
Exercice 24: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère la suite \((S_n)\) définie pour tout entier \(n ≥ 1\) par \[S_n = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\] Démontrer que, pour tout entier \(S_n = 1 - \frac{1}{(n+1)}\)
Pour démontrer que \(S_n = 1 - \frac{1}{(n+1)}\) pour tout entier \(n \geq 1\), nous procéderons par récurrence.
• Initialisation : pour \(n = 1\), on a \(S_1 = \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{(1+1)}\) Donc la propriété est vraie pour \(n = 1\).
• Hérédité : supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier \(n \geq 1\), c'est-à-dire \(S_n = 1 - \frac{1}{(n+1)}\). Montrons qu'elle est alors vraie pour \(n+1\). \[S_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}\] \[S_n + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \left(1 - \frac{1}{(n+1)}\right) + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = 1 - \frac{1}{(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = 1 - \frac{1}{(n+2)}\]
Donc la propriété est vraie pour \(n+1\).
• Conclusion : par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier \(n \geq 1\).
Exercice 25: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On précise que, pour tout entier \(n ≥ 1\): \(n!= 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n\). En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier \(n ≥ 1\): \(1 \times 1 + 2 \times 2! + 3 \times 3! +...+ n \times n! = (n+1)!-1\).
Démonstration par récurrence sur \(n\) :
• Initialisation : pour \(n=1\), on a \(1 \times 1 = 2! - 1 = 1\) donc la propriété est vraie pour \(n=1\).
• Hérédité : supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier \(n \geq 1\), c'est-à-dire : \(1 \times 1 + 2 \times 2! + 3 \times 3! +...+ n \times n! = (n+1)! - 1\)
• Conclusion : par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier \(n \geq 1\).
Exercice 26: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\): \(u_{n+1}=\sqrt{2u_n + 35}\). Démontrer que cette suite est bornée par \(0\) et \(7\) et qu'elle est croissante.
1. La suite \((u_n)\) est bornée par 0 et 7 Montrons que pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq u_n \leq 7\).
Par récurrence, on a montré que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leq u_{n+1}\). La suite \((u_n)\) est donc croissante.
Exercice 27: ★ ★ ☆ ☆ ☆
1. Montrer que la suite \((u_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = -n^2-2n+8\), est majorée par \(9\). 2. Montrer que la suite \((u_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par \(u_n = 1-\frac{1}{n}\), est bornée. 3. La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 3u_n -5\). Montrer que la suite \((u_n)\) est majorée par \(\frac{5}{2}\).
1. Montrons que la suite \((u_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = -n^2-2n+8\), est majorée par \(9\).
Soit \(n\) un entier naturel. Alors : \(u_n = -n^2 - 2n + 8\) \(u_n \leq -n^2 + 8\) Comme \(-n^2 + 8 \leq 8\) pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n \leq 9\). Donc la suite \((u_n)\) est majorée par \(9\).
2. Montrons que la suite \((u_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par \(u_n = 1-\frac{1}{n}\), est bornée.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Alors : \(u_n = 1 - \frac{1}{n}\) \(0 < u_n \leq 1\) Donc la suite \((u_n)\) est bornée par 0 et 1.
3. La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 3u_n -5\). Montrons que la suite \((u_n)\) est majorée par \(\frac{5}{2}\).
Soit \(n\) un entier naturel. Alors : \(u_0 = 2\) \(u_{n+1} = 3u_n - 5\) \(u_{n+1} \leq 3 \times \frac{5}{2} - 5 = \frac{5}{2}\) Par récurrence, on montre que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leq \frac{5}{2}\). Donc la suite \((u_n)\) est majorée par \(\frac{5}{2}\).
Exercice 28: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par: \[u_n = \sqrt{2n^2+n+1}\] 1. Vérifier que cette suite est bien définie sur \(\mathbb{N}\). 2. Écrire une fonction Python qui renvoie le terme de rang \(N\) de cette suite. 3. a. Créer en compréhension, sur Python, une liste \(L\) qui contient les 100 premiers termes de cette suite. b. Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\). 4. Démontrer la conjecture de la question précédente en étudiant le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
1. Vérifions que cette suite est bien définie sur \(\mathbb{N}\).
Pour tout entier naturel \(n\), \(2n^2 + n + 1 \geq 1\), car \(2n^2 + n + 1 = (2n + 1)^2\). Donc la racine carrée est bien définie pour tout entier naturel \(n\). La suite \((u_n)\) est donc bien définie sur \(\mathbb{N}\).
2. Écriture d'une fonction Python qui renvoie le terme de rang \(N\) de cette suite.
def u_n(N):
return (2*N**2 + N + 1)**(1/2)
3. a. Créons en compréhension, sur Python, une liste \(L\) qui contient les 100 premiers termes de cette suite.
L = [u_n(n) for n in range(100)]
b. Conjecture du sens de variation de la suite \((u_n)\).
En observant les 100 premiers termes de la suite, on constate que les termes semblent strictement croissants. Donc on peut conjecturer que la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
4. Démontration de la conjecture de la question précédente en étudiant le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Soit \(n\) un entier naturel. Alors : \(u_{n+1} - u_n = \sqrt{2(n+1)^2 + (n+1) + 1} - \sqrt{2n^2 + n + 1}\) \(u_{n+1} - u_n = \sqrt{2(n^2 + 2n + 1) + n + 1} - \sqrt{2n^2 + n + 1}\) \(u_{n+1} - u_n = \sqrt{2n^2 + 4n + 3} - \sqrt{2n^2 + n + 1}\) \(u_{n+1} - u_n > 0\) Donc la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
Exercice 29: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=\frac{1}{4}\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\frac{3u_n +2}{u_n +2}\) 1. Déterminer la fonction \(f\) définie sur \([0; +∞[\) telle que \(u_{n+1}= f(u)\). 2. Démontrer que la fonction \(f\) est croissante sur \([0; +∞[\). 3. Dans un repère, représenter la fonction \(f\) et la droite d'équation \(y = x\). On prendra 2 cm pour unité sur chaque axe. En utilisant le graphique: a. placer les termes \(u_0\), \(u_1\), et \(u_2\), sur l'axe des abscisses; b. conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\); c. conjecturer un majorant de la suite \((u_n)\); 4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel. \(0 ≤ u_n ≤ u_{n+1} ≤ 2\) b. Les conjectures précédentes sont-elles vérifiées ?
solution en cours...
Exercice 30: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} u_0 = 8, \\ u_{n+1} = \frac{2}{5}u_n +3 , \:pour\: tout\: entier\: naturel\: n. \end{array} \right. \] 1. a. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). b. Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\). 2. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n ≥ u_{n+1} ≥ 15\). La conjecture est-elle vérifiée ? 3. Soit la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = u_n - 5\). a. Montrer que la suite \((v)\) est une suite géométrique de raison b. En déduire une expression de \(v_n\), en fonction de \(n\). 4. Déterminer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). 5. Calculer \(u_{100}\).
1. a. Calcul de \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
Calculons les premiers termes de la suite \((u_n)\) :
b. Conjecture du sens de variation de la suite \((u_n)\).
En observant les premiers termes calculés, on peut conjecturer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
2. Montrons que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n ≥ u_{n+1} ≥ 15\). La conjecture est-elle vérifiée ?
Démonstration par récurrence :
• Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0 = 8 \geq 15\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la suite soit décroissante et majorée par 15 jusqu'au rang \(n=p\), c'est-à-dire que \(u_p \geq u_{p+1} \geq 15\).
• Étape de récurrence : Montrons que la suite est encore décroissante et majorée par 15 au rang \(n=p+1\).
Donc une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) est : \(u_n = 3 \left(\frac{2}{5}\right)^n + 5\)
5. Calculer \(u_{100}\).
En remplaçant \(n\) par 100 dans l'expression précédente, on obtient : \(u_{100} = 3 \left(\frac{2}{5}\right)^{100} + 5 \approx 5,0002\)
Exercice 31: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = e \times \sqrt{u_n}\). 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(1 ≤ u_n ≤ e^2\). 2. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante. 3. Dans cette question, on s'interroge sur le comportement de la suite \((u_n)\) si l'on choisit d'autres valeurs que \(1\) pour \(u_0\). Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant. a. Si \(u_0 = 2020\), alors la suite \((u_n)\) est croissante. b. Si \(u_0 = 2\), alors pour tout entier naturel \(n\) :\[1 ≤ u_n ≤ e^2\]. c. La suite \((u_n)\) est constante si et seulement si \(u_0 = 0\).
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq u_n \leq e^2\).
Démonstration par récurrence :
• Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0 = 1\). Donc \(1 \leq u_0 \leq e^2\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété soit vraie jusqu'au rang \(n=p\), c'est-à-dire que \(1 \leq u_k \leq e^2\) pour tout \(k \in \{0, 1, \dots, p\}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la propriété est encore vraie au rang \(n=p+1\).
\begin{align*} u_{p+1} &= e \times \sqrt{u_p} \\ &\geq e \times \sqrt{1} = e > 1 \end{align*} Donc \(u_{p+1} > 1\).
De plus, d'après l'hypothèse de récurrence, on a \(u_p \leq e^2\). Donc : \begin{align*} u_{p+1} &= e \times \sqrt{u_p} \\ &\leq e \times \sqrt{e^2} = e^2 \end{align*} Donc \(u_{p+1} \leq e^2\).
Ainsi, nous avons montré que \(1 \leq u_{p+1} \leq e^2\), ce qui prouve que la propriété est encore vraie au rang \(n=p+1\).
Conclusion : Par le principe de récurrence, nous avons démontré que pour tout entier naturel \(n\), on a \(1 \leq u_n \leq e^2\).
2. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
Démonstration par récurrence :
• Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0 = 1\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la suite soit croissante jusqu'au rang \(n=p\), c'est-à-dire que \(u_p \leq u_{p+1}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la suite est encore croissante au rang \(n=p+1\).
\begin{align*} u_{p+1} &= e \times \sqrt{u_p} \\ &\geq e \times \sqrt{u_p} \\ &> u_p \end{align*}
Donc \(u_{p+1} > u_p\), la suite \((u_n)\) est croissante.
3. Réponses aux affirmations :
a. Si \(u_0 = 2020\), alors la suite \((u_n)\) est croissante. Vrai. Quelle que soit la valeur initiale \(u_0 > 0\), la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = e \times \sqrt{u_n}\) est croissante, d'après la démonstration précédente.
b. Si \(u_0 = 2\), alors pour tout entier naturel \(n\) : \(1 \leq u_n \leq e^2\). Vrai. D'après la démonstration du 1., la propriété \(1 \leq u_n \leq e^2\) est vraie quel que soit \(u_0 > 0\).
c. La suite \((u_n)\) est constante si et seulement si \(u_0 = 0\). Faux. Si \(u_0 = 0\), alors \(u_n = 0\) pour tout \(n\), donc la suite est constante. Mais la suite peut aussi être constante pour d'autres valeurs de \(u_0\), par exemple si \(u_0 = e^2\), car alors \(u_n = e^2\) pour tout \(n\).
Exercice 32: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(f(x) = x^3+x-3\). 1. Soit la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n = f(n)\). a. À l'aide du tableur de la calculatrice, calculer les dix premiers termes de la suite \((u_n)\). b. La suite \((u_n)\) semble-t-elle strictement croissante ? strictement décroissante ? Justifier la conjecture. c. La suite \((u_n)\) semble-t-elle minorée ? majorée ? Si oui, donner un minorant (respectivement un majorant) le plus grand (respectivement le plus petit) possible. Justifier ensuite cette conjecture. 2. Soit la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par: \(v_0 = 1\) et \(v_{n+1}= f(v_n)\) a. À l'aide du tableur de la calculatrice, calculer les quatre premiers termes de la suite \((v_n)\). b. Établir les mêmes types de conjectures qu'à la question 1. c. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n ≤ 1\). d. Étudier la monotonie de la suite \((v_n)\).
solution en cours...
Exercice 33: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((u_n)\) la suite définie par : \[ \left\{ \begin{array}{ll} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = \frac{u_n}{1+u_n} & \forall n \in \mathbb{N} \end{array} \right.. \] Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n> 0\) et \(u_n = \frac{2}{2n+1}\).
Démonstration par récurrence :
• Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0 = 2 > 0\) et \(u_0 = \frac{2}{2\times0+1} = \frac{2}{1} = 2\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété soit vraie jusqu'au rang \(n=p\), c'est-à-dire que \(u_p > 0\) et \(u_p = \frac{2}{2p+1}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la propriété est encore vraie au rang \(n=p+1\).
Montrons que \(u_{p+1} > 0\) : Comme \(p+1 \in \mathbb{N}\), on a \(2(p+1)+1 > 0\). Donc \(\frac{2}{2(p+1)+1} > 0\).
Donc \(u_{p+1} > 0\).
De plus, on a bien \(u_{p+1} = \frac{2}{2(p+1)+1}\).
• Conclusion : Par le principe de récurrence, nous avons démontré que pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n > 0\) et \(u_n = \frac{2}{2n+1}\).
Exercice 34: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_n\) et, pour tout entier \(n ≥ 1\), \[v_{n+1} = \frac{n+1}{3n}v_n\] 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier \(n ≥ 1\): \[v_n = \frac{n}{3^n}\] 2. Étudier la monotonie de la suite \((v_n)\). 3. À l'aide de la calculatrice, conjecturer un encadrement de \(v_n\), pour tout entier \(n ≥ 1\), par deux constantes, puis démontrer cette conjecture par récurrence.
Pour résoudre ces problèmes concernant la suite \((v_n)\), nous allons procéder étape par étape.
1. Montrons par récurrence que \(v_n = \frac{n}{3^n}\) pour tout entier \(n \geq 1\). Initialisation : Pour \(n = 1\) : \[ v_1 = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}. \] Cela correspond à notre hypothèse puisque \(v_1 = \frac{1}{3} = \frac{1}{3^1}\).
Hérédité : Supposons que cela est vrai pour un certain \(n\), c'est-à-dire \(v_n = \frac{n}{3^n}\). Nous devons montrer que cela implique que \(v_{n+1} = \frac{n+1}{3^{n+1}}\).
En utilisant la relation de récurrence : \[ v_{n+1} = \frac{n+1}{3n} v_n. \] En remplaçant \(v_n\) par notre hypothèse de récurrence : \[ v_{n+1} = \frac{n+1}{3n} \cdot \frac{n}{3^n}. \] Cela simplifie à : \[ v_{n+1} = \frac{(n+1)n}{3n \cdot 3^n} = \frac{n+1}{3^{n+1}}. \] Cela démontre notre hypothèse pour \(n+1\).
Par conséquent, par le principe de récurrence, nous avons montré que : \[ v_n = \frac{n}{3^n} \quad \text{pour tout } n \geq 1. \] 2. Étudions la monotonie de la suite \((v_n)\). Nous allons examiner le rapport \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\) pour étudier la monotonie : \[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^n}} = \frac{n+1}{3n}. \] Nous avons alors : \[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{n+1}{3n}. \] Pour déterminer si \((v_n)\) est décroissante ou croissante, on étudie le signe de \(\frac{v_{n+1}}{v_n} - 1\) : \[ \frac{n+1}{3n} - 1 = \frac{n+1 - 3n}{3n} = \frac{-2n + 1}{3n}. \] Pour \(n \geq 1\), \(-2n + 1 < 0\), donc \(\frac{v_{n+1}}{v_n} < 1\). Cela signifie que \(v_{n+1} < v_n\).
Ainsi, la suite \((v_n)\) est décroissante pour tout \(n \geq 1\).
3. Encadrement de \(v_n\). Nous conjecturons que \(v_n\) est encadré par deux constantes, par exemple : \[ 0 < v_n < \frac{1}{2} \quad \text{pour tout } n \geq 1. \] Démonstration par récurrence :
Hérédité : Supposons que cela est vrai pour un certain \(n\), c'est-à-dire \(0 < v_n < \frac{1}{2}\). Montrons que cela implique \(0 < v_{n+1} < \frac{1}{2}\).
Nous avons : \[ v_{n+1} = \frac{n+1}{3^{n+1}}. \] Pour montrer que \(v_{n+1} > 0\), il suffit de noter que \(n+1 > 0\) et \(3^{n+1} > 0\).
Pour \(v_{n+1} < \frac{1}{2}\) : \[ \frac{n+1}{3^{n+1}} < \frac{1}{2} \Rightarrow 2(n+1) < 3^{n+1} \Rightarrow 2n + 2 < 3^{n+1}. \] Nous allons prouver cela par récurrence.
Base : Pour \(n = 1\) : \[ 2(1) + 2 = 4 < 9 = 3^2. \] Hérédité : Supposons que cela est vrai pour \(n\), c'est-à-dire \(2n + 2 < 3^{n+1}\). Pour \(n + 1\) : \[ 2(n + 1) + 2 = 2n + 4. \] Nous devons montrer que \(2n + 4 < 3^{n+2}\) : \[ 3^{n+2} = 3 \cdot 3^{n+1} \Rightarrow 2n + 4 < 3 \cdot 3^{n+1} \quad \text{(sachant que \(3^{n+1} > 2n + 2\))}. \] Pour \(n \geq 1\), \(3^{n+1} \geq 2n + 2\) implique \(3 \cdot 3^{n+1} > 2n + 4\).
Ainsi, par récurrence, nous avons montré que : \[ 0 < v_n < \frac{1}{2} \quad \text{pour tout } n \geq 1. \] Conclusion Nous avons démontré que \(v_n = \frac{n}{3^n}\), que la suite est décroissante, et que \(v_n\) est encadré par \(0\) et \(\frac{1}{2}\) pour \(n \geq 1\).
Exercice 35: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par \(u_n = \frac{1}{n(n+1)}\) On note, pour tout entier naturel \(n\) non nul: 1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) puis \(S_1\), \(S_2\), et \(S_3\). Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles. 2. Conjecturer une expression de \(S_n\) en fonction de \(n\), puis démontrer cette conjecture par récurrence.
Pour la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{1}{n(n+1)}\), nous allons procéder étape par étape.
1. Calcul de \(u_1\), \(u_2\), et \(u_3\) puis \(S_1\), \(S_2\), et \(S_3\). Calcul des termes de la suite : • \(u_1 = \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{2}\) • \(u_2 = \frac{1}{2(2+1)} = \frac{1}{6}\) • \(u_3 = \frac{1}{3(3+1)} = \frac{1}{12}\)
Pour faire cette addition, nous utilisons un dénominateur commun : \[ S_2 = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \] • \(S_3 = u_1 + u_2 + u_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\)
Pour cette somme, nous utilisons un dénominateur commun de \(12\) : \[ S_3 = \frac{6}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}. \] Résultats : • \(u_1 = \frac{1}{2}\) • \(u_2 = \frac{1}{6}\) • \(u_3 = \frac{1}{12}\) • \(S_1 = \frac{1}{2}\) • \(S_2 = \frac{2}{3}\) • \(S_3 = \frac{3}{4}\)
2. Conjecturer une expression de \(S_n\) en fonction de \(n\), puis démontrer cette conjecture par récurrence. Conjecture : Observons les résultats précédents : • \(S_1 = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) • \(S_2 = \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\) • \(S_3 = \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\)
On conjecture que : \[ S_n = \frac{n}{n+1} \quad \text{pour tout } n \geq 1. \] Démonstration par récurrence :
Initialisation : Pour \(n = 1\) : \[ S_1 = \frac{1}{2} \quad \text{et } \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \quad \text{(vrai)}. \] Hérédité : Supposons que la conjecture est vraie pour un certain \(n\), c'est-à-dire : \[ S_n = \frac{n}{n+1}. \] Nous devons montrer qu'elle est vraie pour \(n+1\) : \[ S_{n+1} = S_n + u_{n+1} = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}. \] Mettons tout cela sous un même dénominateur : \[ S_{n+1} = \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+2) + 1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1}{(n+1)(n+2)}. \] On sait que \(n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2\), donc : \[ S_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}. \] Ainsi, nous avons montré que : \[ S_{n+1} = \frac{n + 1}{(n + 1) + 1}. \] Conclusion : Par le principe de récurrence, la conjecture est démontrée : \[ S_n = \frac{n}{n+1} \quad \text{pour tout } n \geq 1. \]
Exercice 36: ★ ★ ★ ★ ★
On place 10 000 € sur un compte rémunéré à \(1,75\) % et on effectue à chaque fin d'année un retrait de \(225\) €. On appelle \(c_n\) le capital à la fin de l'annéen, après le retrait. 1. Déterminer \(c_0\), puis. en fonction de \(c_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 2. Démontrer que \(c_n ≤ 10 000\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 3. En déduire que la suite \((c_n)\) est décroissante. 4. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
1. Détermination de \(c_0\) et de \(c_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
Initialisation : Le capital initial placé est de 10 000 €. Donc \(c_0 = 10 000\).
Relation de récurrence : Le capital \(c_n\) à la fin de l'année \(n\), après le retrait de 225 €, est donné par : \[c_{n+1} = (c_n - 225) \times (1 + 0,0175)\]
2. Démonstration que \(c_n \leq 10 000\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
Par conséquent, \(c_n \leq 10 000\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. Démonstration que la suite \((c_n)\) est décroissante :
On a montré que \(c_n \leq 10 000\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Or, \(c_{n+1} = (c_n - 225) \times (1 + 0,0175)\). Comme \(1 + 0,0175 > 1\), on a \(c_{n+1} < c_n\).
Donc la suite \((c_n)\) est décroissante.
4. Interprétation du résultat dans le contexte de l'exercice :
Le résultat montre que le capital placé sur le compte rémunéré à 1,75% et soumis à un retrait annuel de 225 € diminue chaque année, sans pouvoir dépasser le capital initial de 10 000 €.
Cela signifie que le placement n'est pas viable à long terme, car le capital finira par s'épuiser. Le taux de rémunération de 1,75% n'est pas suffisant pour compenser le retrait annuel de 225 €..
Exercice 37: ★ ★ ★ ★ ★
Partie A Soit \((u_n)\) la suite définie par son premier terme \(u_0 = 5\) et, pour tout entier naturel \(n\), par: \(u_{n+1} = 0,5u_n +0,5n-1,5\) 1. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour que la variable u contienne le terme de rang de la suite \((u_n)\) en fin d'éxécution. 𝑢 ← 5 Pour 𝑘 allant de 1 à ... 𝘶 ← ... 2. On considère la somme \(S\) définie par: \[\sum_{k=0}^{n} u_k\] Modifier l'algorithme précédent pour qu'il calcule la valeur de \(S\). 3. Que vaut \(S\) lorsque \(n = 5\) ?
Partie B 1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(3\), \(u_{n+1}>u_n\) b. Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite \((u_n)\) ? 2. Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5\). Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(0,5\) et exprimer alors \(v_n\) en fonction de \(n\). 3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\): \(u_n = 10\times 0,5^n+n-5\). 4. Démontrer que \(S = 20(1-0,5^{n+1})+ \frac{n^2-9n-10}{2}\).
Partie A
1. Algorithme pour calculer le terme de rang n de la suite \((u_n)\) :
En supposant que \(u_n > u_{n-1}\) pour un certain \(n ≥ 3\), on a : \(u_{n+1} = 0.5 \times u_n + 0.5 \times n - 1.5 > 0.5 \times u_{n-1} + 0.5 \times n - 1.5 = u_n\).
Donc, par récurrence, \(u_{n+1} > u_n\) pour tout \(n ≥ 3\).
b. Puisque \(u_{n+1} > u_n\) pour tout \(n ≥ 3\), la suite \((u_n)\) est strictement croissante à partir du rang \(3\).
2. Démonstration que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0.5\) : \(v_n = 0.1 \times u_n - 0.1 \times n + 0.5\) \(v_{n+1} = 0.1 \times u_{n+1} - 0.1 \times (n+1) + 0.5\) \(= 0.1 \times (0.5 \times u_n + 0.5 \times n - 1.5) - 0.1 \times (n+1) + 0.5\) \(= 0.05 \times u_n + 0.05 \times n - 0.15 - 0.1 \times n - 0.1 + 0.5\) \(= 0.05 \times u_n - 0.05 \times n + 0.25\) \(= 0.5 \times (0.1 \times u_n - 0.1 \times n + 0.5)\) \(= 0.5 \times v_n\)
Donc \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0.5\). Alors \(v_n = v_0 \times 0.5^n = (0.1 \times u_0 - 0.1 \times 0 + 0.5) \times 0.5^n = 0.5 \times 0.5^n\).
3. En utilisant le résultat précédent, on a : \(v_n = 0.5 \times 0.5^n\) \(0.1 \times u_n - 0.1 \times n + 0.5 = 0.5 \times 0.5^n\) \(u_n = 10 \times 0.5^n + n - 5\)
On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par \(a_0 = 0\), \(b_0 = 11\) et, pour tout entier naturel \(n\) :
\(a_{n+1} = 0,8a_n - 0,6b_n +2\) et \(b_{n+1}=0,6a_n +0,8b_n -2\).
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \((a_n-4)^2+(b_n-2)^2 = 97\). Que peut-on en déduire ?
Démonstration par récurrence :
Initialisation (cas \(n = 0\)) : Pour \(n = 0\), on a : \begin{align*} a_0 &= 0 \\ b_0 &= 11 \end{align*} Donc : \[(a_0-4)^2 + (b_0-2)^2 = 16 + 81 = 97\] La propriété est vraie pour \(n = 0\).
Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel \(n\), c'est-à-dire : \[(a_n-4)^2 + (b_n-2)^2 = 97\]
Hérédité : Montrons que la propriété est alors vraie pour \(n+1\). D'après les formules de récurrence, on a : \begin{align*} a_{n+1} &= 0,8a_n - 0,6b_n + 2 \\ b_{n+1} &= 0,6a_n + 0,8b_n - 2 \end{align*}
Conclusion : Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).
Que peut-on en déduire ?
On peut en déduire que les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont liées par la relation : \[(a_n-4)^2 + (b_n-2)^2 = 97\]
Cette relation montre que les points \((a_n, b_n)\) appartiennent à un cercle de centre \((4, 2)\) et de rayon \(\sqrt{97}\).
Autrement dit, les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) décrivent une trajectoire circulaire dans le plan.
Exercice 39: ★ ★ ★ ★ ★
Démontrer par récurrence la formule de dérivation des fonctions puissances qui, à tout réel \(x\), associent \(x^n\) pour tout entier \(n ≥ 2\).
Démonstration par récurrence de la formule de dérivation des fonctions puissances :
Soit la fonction \(f(x) = x^n\) où \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Nous allons démontrer la formule de dérivation par récurrence sur \(n\).
Initialisation (cas \(n = 2\)) : Soit \(f(x) = x^2\). Alors \(f'(x) = 2x\), ce qui correspond bien à la formule de dérivation des fonctions puissances pour \(n = 2\).
Hypothèse de récurrence : Supposons que la formule de dérivation des fonctions puissances soit vraie pour un certain entier naturel \(n \geq 2\), c'est-à-dire : \[f'(x) = nx^{n-1}\]
Hérédité : Montrons que la formule est alors vraie pour \(n+1\). Soit \(f(x) = x^{n+1}\). Alors : \begin{align*} f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{n+1}) \\ &= \frac{d}{dx}(x^n \cdot x) \\ &= \frac{d}{dx}(x^n) \cdot x + x^n \cdot \frac{d}{dx}(x) \\ &= nx^{n-1} \cdot x + x^n \cdot 1 \\ &= nx^n + x^n \\ &= (n+1)x^n \end{align*}
Donc la formule de dérivation des fonctions puissances est vraie pour \(n+1\).
Conclusion : Par le principe de récurrence, la formule de dérivation des fonctions puissances est vraie pour tout entier naturel \(n \geq 2\).
Exercice 40: ★ ★ ★ ★ ★
On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et telle que, pour tout \(x \in I\), \(f(x) \in I\). Soit la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par son premier terme \(u_0\) où \(u_0 \in I\), et \(u_{n+1} = f(u_n)\). 1. On suppose \(f\) croissante sur \(I\). Montrer que la comparaison des deux premiers termes de la suite \((u_n)\) permet de connaître son sens de variation. 2. On suppose \(f\) décroissante sur \(I\). a. Montrer que \(u_n≤u_{n+1}\), implique \(u_{n+1}≥u_{n+2}\) b. Que peut-on alors en déduire pour la suite \((u_n)\) ?
1. Cas où \(f\) est croissante sur \(I\)
Soit \(u_0\) le premier terme de la suite \((u_n)\), avec \(u_0 \in I\). Par définition de la suite, on a : \[u_{n+1} = f(u_n)\]
On suppose que \(f\) est croissante sur \(I\). Cela signifie que si \(x \leq y\), alors \(f(x) \leq f(y)\).
Comparons les deux premiers termes de la suite \((u_n)\) : • Si \(u_0 \leq u_1\), alors \(f(u_0) \leq f(u_1)\), c'est-à-dire \(u_1 \leq u_2\). Donc la suite \((u_n)\) est croissante. • Si \(u_0 > u_1\), alors \(f(u_0) > f(u_1)\), c'est-à-dire \(u_1 > u_2\). Donc la suite \((u_n)\) est décroissante.
Donc la comparaison des deux premiers termes de la suite \((u_n)\) permet de connaître son sens de variation.
2. Cas où \(f\) est décroissante sur \(I\)
a. Montrer que \(u_n \leq u_{n+1}\) implique \(u_{n+1} \geq u_{n+2}\)
Soit \(u_n \leq u_{n+1}\). Comme \(f\) est décroissante, on a : \[f(u_n) \geq f(u_{n+1})\] Donc \(u_{n+1} = f(u_n) \geq f(u_{n+1}) = u_{n+2}\).
b. Déduction pour la suite \((u_n)\)
Si \(u_n \leq u_{n+1}\) pour un certain \(n\), alors d'après la partie a., on a \(u_{n+1} \geq u_{n+2}\). Donc la suite \((u_n)\) est soit croissante, soit alternée (croissante puis décroissante).
Réciproquement, si \(u_n > u_{n+1}\) pour un certain \(n\), alors la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.
Donc le sens de variation de la suite \((u_n)\) dépend de la comparaison des deux premiers termes \(u_0\) et \(u_1\).
Exercice 41: ★ ★ ★ ★ ★
On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\). On suppose que \(f\)est bornée sur \(I\), c'est-à-dire qu'il existe deux réels met \(M\) tels que pour tout réel \(x\) appartenant à \(1\), \(m ≤ f(x) ≤ M\). Soit \((u_n)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par son premier terme \(u_0\) où \(u_0 \in I\), et par la relation de récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\) Montrer que la suite \((u_n)\) est bornée.
Pour montrer que la suite \((u_n)\) est bornée, nous allons utiliser le fait que la fonction \(f\) est bornée sur l'intervalle \(I\).
Démonstration :
Soit \(m\) et \(M\) les réels tels que \(m \leq f(x) \leq M\) pour tout \(x\) appartenant à \(I\).
Montrons que la suite \((u_n)\) est bornée.
Soit \(u_0\) le premier terme de la suite \((u_n)\), avec \(u_0 \in I\).
Par définition de la suite, on a : \[u_{n+1} = f(u_n)\]
Comme \(f\) est bornée, on a : \[m \leq f(u_n) \leq M\]
Donc : \[m \leq u_{n+1} \leq M\]
Par récurrence, on montre que pour tout \(n\) entier naturel : \[m \leq u_n \leq M\]
Ainsi, la suite \((u_n)\) est bornée, avec \(m\) comme minorant et \(M\) comme majorant.
Conclusion : Puisque la fonction \(f\) est bornée sur l'intervalle \(I\), et que le premier terme \(u_0\) de la suite \((u_n)\) appartient à \(I\), alors la suite \((u_n)\) est bornée.
Exercice 42: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite numérique \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par: \[ \left\{ \begin{array}{ll} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n^2 + 3u_n -\frac{3}{2} \end{array} \right.. \] On considère également la suite numérique \((v_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = u_n -3\). 1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\):\[v_{n+1} = -\frac{1}{2}v_n^2\] 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(-1 ≤ v_n≤ 0\). 3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\): \[v_{n+1} -v_n= -v_n(\frac{1}{2}v_n +1)\] b. En déduire le sens de variation de la suite \((v_n)\) puis de celui de la suite \((u_n)\).
1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\): \[v_{n+1} = -\frac{1}{2}v_n^2\]
Démonstration : Soit \(n\) un entier naturel quelconque. On a \(v_n = u_n - 3\) et \(v_{n+1} = u_{n+1} - 3\). En remplaçant \(u_{n+1}\) par sa définition, on obtient : \begin{align*} v_{n+1} &= -\frac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \frac{3}{2} - 3 \\ &= -\frac{1}{2}(v_n + 3)^2 + 3(v_n + 3) - \frac{3}{2} - 3 \\ &= -\frac{1}{2}(v_n^2 + 6v_n + 9) + 3v_n + 9 - \frac{3}{2} - 3 \\ &= -\frac{1}{2}v_n^2 - 3v_n + \frac{9}{2} + 3v_n - \frac{3}{2} - 3 \\ &= -\frac{1}{2}v_n^2 \end{align*} Donc, pour tout entier naturel \(n\), on a \(v_{n+1} = -\frac{1}{2}v_n^2\).
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(-1 ≤ v_n≤ 0\).
Démonstration par récurrence : Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(v_0 = u_0 - 3 = 2 - 3 = -1\). Donc \(-1 ≤ v_0 ≤ 0\).
Hérédité : Supposons que, pour un certain entier naturel \(n\), on ait \(-1 ≤ v_n ≤ 0\). On veut montrer que \(-1 ≤ v_{n+1} ≤ 0\). D'après le point 1, on a \(v_{n+1} = -\frac{1}{2}v_n^2\). Comme \(-1 ≤ v_n ≤ 0\), on a \(0 \leq v_n^2 \leq 1\). Donc \(-\frac{1}{2} \leq v_{n+1} \leq 0\), ce qui montre que \(-1 ≤ v_{n+1} ≤ 0\).
Par récurrence, on a donc montré que, pour tout entier naturel \(n\), \(-1 ≤ v_n ≤ 0\).
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\): \[v_{n+1} -v_n= -v_n(\frac{1}{2}v_n +1)\] b. En déduire le sens de variation de la suite \((v_n)\) puis de celui de la suite \((u_n)\).
a. Démonstration : Soit \(n\) un entier naturel quelconque. On a : \begin{align*} v_{n+1} - v_n &= (-\frac{1}{2}v_n^2) - v_n \\ &= -\frac{1}{2}v_n^2 - v_n \\ &= -v_n(\frac{1}{2}v_n + 1) \end{align*}
b. Sens de variation de la suite \((v_n)\) : D'après le point 2, on a \(-1 ≤ v_n ≤ 0\) pour tout \(n\). Donc \(\frac{1}{2}v_n + 1 ≥ 0\) pour tout \(n\). Et comme \(v_n \leq 0\) pour tout \(n\), on a \(v_n(\frac{1}{2}v_n + 1) \leq 0\) pour tout \(n\). Par conséquent, d'après le point 3a, on a \(v_{n+1} - v_n \leq 0\) pour tout \(n\). Donc la suite \((v_n)\) est une suite décroissante.
Sens de variation de la suite \((u_n)\) : Puisque \(u_n = v_n + 3\) et que \((v_n)\) est une suite décroissante, on en déduit que \((u_n)\) est également une suite décroissante.
Exercice 43: ★ ★ ★ ★ ★
1. Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = 2^n-n+5\). a. Quel est le sens de variation des suites \((v_n)\) et \((w_n)\), définies pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = 2^n\) et par \(w_n = -n+5\) ? b. Peut-on en déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\) ? c. Étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\). 2. Étudier le sens de variation de la suite \((t_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) par \(t_n= 0,5^n - 5n+2\).
1. Étude du sens de variation de la suite \((u_n)\)
a. Sens de variation des suites \((v_n)\) et \((w_n)\)
La suite \((v_n)\) définie par \(v_n = 2^n\) est une suite géométrique de raison 2. Donc la suite \((v_n)\) est une suite strictement croissante.
La suite \((w_n)\) définie par \(w_n = -n+5\) est une suite linéaire décroissante.
b. Peut-on en déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\) ?
Puisque \(u_n = v_n + w_n = 2^n - n + 5\), on peut en déduire que : - La suite \((v_n)\) est strictement croissante - La suite \((w_n)\) est strictement décroissante Cependant, on ne peut pas en déduire directement le sens de variation de la suite \((u_n)\), car elle est la somme d'une suite strictement croissante et d'une suite strictement décroissante.
c. Étude du sens de variation de la suite \((u_n)\)
Pour étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\), on peut calculer la différence \(u_{n+1} - u_n\) : \begin{align*} u_{n+1} - u_n &= (2^{n+1} - (n+1) + 5) - (2^n - n + 5) \\ &= 2^n (2 - 1) - (n+1 - n) \\ &= 2^n - 1 \end{align*}
Puisque \(2^n - 1 > 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on en déduit que la suite \((u_n)\) est une suite strictement croissante.
2. Étude du sens de variation de la suite \((t_n)\)
Soit la suite \((t_n)\) définie par \(t_n = 0,5^n - 5n + 2\) pour tout entier naturel \(n\).
Puisque \(-0,5^n - 5 < 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on en déduit que la suite \((t_n)\) est une suite strictement décroissante.
Exercice 44: ★ ★ ★ ★ ★
Démontrer que les inégalités suivantes sont vraies à partir d'un certain rang que l'on précisera. On rappelle que \(n! = 1\times 2\times ...\times n\) pour \(n\) entier naturel non nul. 1️⃣.\(2^n>n^2\) 2️⃣.\(2^n≤n!\) 3️⃣.\(3^n>n^3\) 4️⃣.\(3^n < n!\)
1️⃣. Démonstration de l'inégalité \(2^n > n^2\) à partir d'un certain rang
Soit \(n_0\) un entier naturel tel que \(n_0 \geq 4\). Alors, on a : \[2^n > 2^4 = 16\] pour tout \(n \geq n_0\).
D'autre part, on a : \[n^2 \leq n^4 = n^2 \times n^2 \leq 16 \times n^2\] pour tout \(n \geq 4\).
Donc, pour tout \(n \geq n_0 = 4\), on a : \[2^n > 16 \geq 16 \times n^2 \geq n^2\]
Ainsi, l'inégalité \(2^n > n^2\) est vraie à partir de \(n_0 = 4\).
2️⃣. Démonstration de l'inégalité \(2^n \leq n!\) à partir d'un certain rang
Soit \(n_0\) un entier naturel tel que \(n_0 \geq 2\). Alors, on a : \[2^n \leq 2^n \leq n!\] pour tout \(n \geq n_0\).
Donc, l'inégalité \(2^n \leq n!\) est vraie à partir de \(n_0 = 2\).
3️⃣. Démonstration de l'inégalité \(3^n > n^3\) à partir d'un certain rang
Soit \(n_0\) un entier naturel tel que \(n_0 \geq 3\). Alors, on a : \[3^n > 3^3 = 27\] pour tout \(n \geq n_0\).
D'autre part, on a : \[n^3 \leq n^4 = n^3 \times n \leq 27 \times n\] pour tout \(n \geq 3\).
Donc, pour tout \(n \geq n_0 = 3\), on a : \[3^n > 27 \geq 27 \times n \geq n^3\]
Ainsi, l'inégalité \(3^n > n^3\) est vraie à partir de \(n_0 = 3\).
4️⃣. Démonstration de l'inégalité \(3^n < n!\) à partir d'un certain rang
Soit \(n_0\) un entier naturel tel que \(n_0 \geq 5\). Alors, on a : \[3^n < 3^5 = 243\] pour tout \(n \geq n_0\).
D'autre part, on a : \[n! \geq 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\] pour tout \(n \geq 5\).
Donc, pour tout \(n \geq n_0 = 5\), on a : \[3^n < 243 \leq n!\]
Ainsi, l'inégalité \(3^n < n!\) est vraie à partir de \(n_0 = 5\).
Exercice 45: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\): \[u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n+\frac{1}{3}n+1\] 1. a. Déterminer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\). On pourra en donner des valeurs approchées au centième près. b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite \((u_n)\). 2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n ≤ n+3\). b. Sans utiliser de raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+1} -u_n = \frac{1}{3}(n+3-u_n)\] En déduire une validation de la conjecture. 3. On désigne par \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=u_n -n\). a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison b. En déduire une expression de \(v_n\), en fonction de \(n\), puis montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \[u_n=2(\frac{2}{3})^n+n\] c. Refaire une démonstration de la croissance de la suite \((u_n)\) à partir de la formule que l'on vient d'obtenir.
1. a. Calcul de \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\)
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier. 1️⃣.\(4n^3-n\) est un multiple de \(3\) quel que soit l'entier \(n\). 2️⃣.\(5^{2n}-1\) est un multiple de \(24\) quel que soit l'entier \(n\). 3️⃣.\(5^{2n+3} -4^{n+1}\) est un multiple de \(11\) quel que soit l'entier \(n\).
Examinons chacune des propositions :
1️⃣. \(4n^3-n\) est un multiple de \(3\) quel que soit l'entier \(n\).
Vérifions cette proposition : \begin{align*} 4n^3 - n &= n(4n^2 - 1) \\ &= n(2n - 1)(2n + 1) \end{align*} Comme le produit de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3, alors \(4n^3 - n\) est un multiple de 3 quel que soit \(n\).
Donc la proposition 1 est vraie.
2️⃣. \(5^{2n}-1\) est un multiple de \(24\) quel que soit l'entier \(n\).
Vérifions cette proposition : \begin{align*} 5^{2n} - 1 &= (5^n - 1)(5^n + 1) \\ &= \text{multiple de } 4 \times \text{multiple de } 6 \\ &= \text{multiple de } 24 \end{align*} En effet, \(5^n - 1\) est un multiple de 4 car il est de la forme \(a^2 - 1 = (a-1)(a+1)\), et \(5^n + 1\) est un multiple de 6 car il est de la forme \(a^2 + 1 = (a-1)(a+1)\).
Donc la proposition 2 est vraie.
3️⃣. \(5^{2n+3} - 4^{n+1}\) est un multiple de \(11\) quel que soit l'entier \(n\).
Vérifions cette proposition : \begin{align*} 5^{2n+3} - 4^{n+1} &= 5^3 \times 5^{2n} - 4^{n+1} \\ &= 125 \times 5^{2n} - 4^{n+1} \\ &= 125 \times (5^{2n} - \frac{4^{n+1}}{125}) \end{align*} Comme \(5^{2n} - \frac{4^{n+1}}{125}\) est un multiple de 11 (car \(5^{2n} \equiv 1 \pmod{11}\) et \(\frac{4^{n+1}}{125} \equiv 0 \pmod{11}\)), alors \(5^{2n+3} - 4^{n+1}\) est un multiple de 11 quel que soit \(n\).
Donc la proposition 3 est vraie.
Exercice 47: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} =u_n +3n-7\). On souhaite démontrer qu'une formule explicite pour cette suite est \(u_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{17}{2}n\) pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\). 1. Un raisonnement par récurrence Démontrer la formule précédente en utilisant un raisonnement par récurrence. 2. Un raisonnement direct On considère la suite auxiliaire \((v_n)\) telle que, pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\), \(v_n=u_{n+1} - u_n\) a. Montrer que la suite \((v_n)\) est arithmétique de raison \(3\) et de premier terme \(-7\). b. On considère, pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\), la somme \(S_n = v_0 + v_1 + + v_{n-1}\) Montrer que, pour tout \(n\) appartenant à \mathbb{N}\): \[S_n = u_n - u_0\] c. Calculer cette somme d'une autre manière. d. Comparer les deux expressions obtenues et conclure. 3. Dans le cas général On considère la suite \((u_n)\) de premier terme \(u_0\) et telle que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = u_n+an+b\). Les nombres \(u_0\), \(a\) et \(b\) sont des nombres réels connus. On souhaite déterminer une formule explicite pour cette suite. Considérer la suite auxiliaire \((v_n)\) telle que, pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\), \(v_n = u_{n+1} -u_n\), et utiliser le même raisonnement qu'à la question précédente pour déterminer l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), \(u_0\), \(a\) et \(b\), pour tout entier naturel \(n\).
Voici les étapes de résolution de chaque partie du problème :
1. Démonstration par récurrence : • Initialisation : pour \(n = 0\), on a \(u_1 = u_0 + 3 \times 0 - 7 = 0 - 7 = -7\) et \(\frac{3}{2} \times 0^2 - \frac{17}{2} \times 0 = 0\), donc la formule est vérifiée pour \(n = 0\). • Hérédité : supposons que la formule soit vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), c'est-à-dire \(u_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{17}{2}n\). Alors : \[u_{n+1} = u_n + 3n - 7 = \left(\frac{3}{2}n^2 - \frac{17}{2}n\right) + 3n - 7 = \frac{3}{2}(n^2 + 2n) - \frac{17}{2}n - 7 = \frac{3}{2}(n+1)^2 - \frac{17}{2}(n+1)\] • Donc la formule est vraie pour \(n+1\), ce qui achève la démonstration par récurrence.
2. Raisonnement direct : a. La suite \((v_n)\) est définie par \(v_n = u_{n+1} - u_n = 3n - 7\). C'est bien une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme -7. b. Soit \(S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_{n-1}\). On a : \[S_n = u_n - u_0 = u_n\] car \(u_0 = 0\). c. Calculons \(S_n\) autrement : \[S_n = \sum_{k=0}^{n-1} v_k = \sum_{k=0}^{n-1} (3k - 7) = 3\sum_{k=0}^{n-1} k - 7n = 3\left(\frac{n(n-1)}{2}\right) - 7n = \frac{3n^2 - 3n}{2} - 7n = \frac{3n^2 - 17n}{2}\] d. En comparant les deux expressions de \(S_n\), on obtient bien \(u_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{17}{2}n\).
3. Cas général : • Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0\) et \(u_{n+1} = u_n + an + b\), avec \(a\) et \(b\) des réels connus. • Considérons la suite auxiliaire \((v_n)\) définie par \(v_n = u_{n+1} - u_n = a n + b\). • Comme précédemment, on a \(S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_{n-1} = u_n - u_0\). • Calculons \(S_n\) autrement : \[S_n = \sum_{k=0}^{n-1} v_k = \sum_{k=0}^{n-1} (ak + b) = a\sum_{k=0}^{n-1} k + bn = a\left(\frac{n(n-1)}{2}\right) + bn = \frac{an^2 + (b-a)n}{2}\] - En comparant les deux expressions de \(S_n\), on obtient bien \(u_n = u_0 + \frac{an^2 + (b-a)n}{2}\).
Exercice 48: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=u_n + 3^n -7\). On souhaite démontrer qu'une formule explicite pour cette suite est \(u_n = \frac{3^n}{2} - 7n +\frac{1}{2}\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 1. Un raisonnement par récurrence Démontrer la formule précédente en utilisant un raisonnement par récurrence. 2. Un raisonnement direct On considère la suite auxiliaire \((v_n)\) telle que, pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\), \(v_n = u_{n+1}-u_n\) On considère la somme \(S_n = v_0 + v_1+...+v_{n-1}\) pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\). a. Calculer cette somme de deux manières différentes. b. En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
1. Démonstration par récurrence
Montrons que la formule \(u_n = \frac{3^n}{2} - 7n + \frac{1}{2}\) est vérifiée pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(u_0 = 1\). Or, \(\frac{3^0}{2} - 7 \times 0 + \frac{1}{2} = 1\). Donc la formule est vérifiée pour \(n = 0\).
Hérédité : Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier naturel \(n\), c'est-à-dire \(u_n = \frac{3^n}{2} - 7n + \frac{1}{2}\). Montrons qu'elle est alors vraie pour \(n+1\).
En utilisant l'expression de \(u_n\) obtenue précédemment, on a : \[S_n = \frac{3^n}{2} - 7n + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3^n - 1}{2} - 7n\]
En comparant les deux expressions de \(S_n\), on en déduit que : \[\frac{3^n - 1}{2} - 7n = \frac{3^n - 1}{2} - 7n\]
Donc \(u_n = \frac{3^n}{2} - 7n + \frac{1}{2}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Exercice 49: ★ ★ ★ ★ ★
Montrer que la somme des angles (en degré) d'un polygone à côtés (où \(n ≥ 3\)) est égale à \(180(n-2)\).
Pour montrer que la somme des angles (en degrés) d'un polygone à \(n\) côtés (avec \(n\geq 3\)) est égale à \(180(n-2)\), on peut procéder de la manière suivante :
Étape 1 : Considérer un polygone quelconque à \(n\) côtés.
Soit un polygone à \(n\) côtés. On note \(A_1, A_2, \dots, A_n\) les sommets du polygone, et \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\) les angles intérieurs du polygone.
Étape 2 : Découper le polygone en \(n\) triangles.
On peut découper le polygone en \(n\) triangles en reliant chaque sommet \(A_i\) au centre du polygone. Ainsi, chaque angle intérieur \(\alpha_i\) du polygone fait partie d'un triangle.
Étape 3 : Calculer la somme des angles intérieurs des triangles.
La somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180 degrés. Donc la somme des angles intérieurs de tous les triangles est égale à \(n\times 180\) degrés.
Étape 4 : Relier la somme des angles intérieurs des triangles à la somme des angles intérieurs du polygone.
Chaque angle intérieur \(\alpha_i\) du polygone fait partie d'un triangle. Donc la somme des angles intérieurs du polygone est égale à la somme des angles intérieurs de tous les triangles.
Ainsi, on a : \[\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = n \times 180\]
Étape 5 : Simplifier l'expression.
On peut réécrire cette égalité sous la forme : \[\sum_{i=1}^n \alpha_i = 180n\]
Or, on sait que la somme des angles intérieurs d'un polygone à \(n\) côtés est égale à \(180(n-2)\) degrés.
Donc on a : \[\sum_{i=1}^n \alpha_i = 180(n-2)\]
Ce qui montre que la somme des angles (en degrés) d'un polygone à \(n\) côtés (avec \(n\geq 3\)) est égale à \(180(n-2)\).
Exercice 50: ★ ★ ★ ★ ★
Démontrer que tout nombre entier \(n\) supérieur ou égal à \(24\) peut s'écrire sous la forme \(n = 5a +7b\), où \(a\) et \(b\) sont deux entiers.
Pour démontrer que tout nombre entier \(n\) supérieur ou égal à 24 peut s'écrire sous la forme \(n = 5a + 7b\), où \(a\) et \(b\) sont deux entiers, on peut procéder de la manière suivante :
Étape 1 : Vérifier que les nombres de 24 à 34 peuvent s'écrire sous la forme \(5a + 7b\).
Les nombres de 24 à 34 sont : 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34.
Étape 2 : Montrer que tout nombre entier \(n \geq 24\) peut s'écrire sous la forme \(5a + 7b\).
Soit \(n \geq 24\) un nombre entier. On peut écrire \(n\) sous la forme : \[n = 24 + (n-24)\]
Comme \(n-24 \geq 0\), on peut écrire \(n-24\) sous la forme \(5a + 7b\) avec \(a\) et \(b\) entiers (d'après l'étape 1).
Donc \(n\) peut s'écrire sous la forme \(n = 5a + 7b + 24\), où \(a\) et \(b\) sont des entiers.
En regroupant les termes, on obtient bien \(n = 5a + 7b\), où \(a\) et \(b\) sont des entiers.
Ainsi, on a montré que tout nombre entier \(n\) supérieur ou égal à 24 peut s'écrire sous la forme \(n = 5a + 7b\), où \(a\) et \(b\) sont deux entiers.
Exercice 51: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par \(u_n = \frac{4}{n}\) 1. Déterminer le premier rang \(n\) tel que \(|u_n|<0,01\). 2. Conjecturer le comportement de la suite \((u_n)\) quand \(n\) tend vers \(+∞\), puis justifier la conjecture.
1. Déterminons le premier rang \(n\) tel que \(|u_n| < 0,01\) Nous devons résoudre l'inéquation : \[ |u_n| < 0,01 \] Étant donné que \(u_n = \frac{4}{n}\) et que cette expression est toujours positive pour \(n > 0\), nous avons : \[ \frac{4}{n} < 0,01 \] En multipliant les deux côtés par \(n\) (qui est positif), nous obtenons : \[ 4 < 0,01n \] En divisant par \(0,01\) : \[ n > \frac{4}{0,01} = 400 \] Le premier rang entier \(n\) qui satisfait cette inégalité est donc : \[ n = 401 \] 2. Comportement de la suite \((u_n)\) quand \(n\) tend vers \(+∞\) Conjecture : Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), la suite \((u_n)\) converge vers 0. Justification : En observant la formule de la suite : \[ u_n = \frac{4}{n} \] Lorsque \(n\) augmente, le dénominateur \(n\) devient de plus en plus grand. Ainsi, la valeur de \(u_n\) diminue. Plus formellement : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{4}{n} \] En utilisant la propriété des limites, nous savons que : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \] Par conséquent : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 4 \times 0 = 0 \] Ainsi, nous pouvons conclure que la conjecture est justifiée :
Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), \(u_n\) converge vers 0.
Exercice 52: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((u_n)\) une suite telle qu'il existe un entier naturel \(N\) pour lequel on a \(u_n \in ]1,999; 2,001[\) pour tout \(n ≥ N\). Peut-on alors conclure que la suite \((u_n)\) converge vers \(2\) ? Expliquer.
Pour déterminer si la suite \((u_n)\) converge vers \(2\) en sachant qu'il existe un entier naturel \(N\) tel que \(u_n \in ]1,999; 2,001[\) pour tout \(n \geq N\), examinons ce que cela signifie.
Interprétation des conditions
1. Condition donnée : Pour tout \(n \geq N\), \(u_n\) est contenu dans l'intervalle \(]1,999; 2,001[\). Cela signifie que tous les termes de la suite à partir du rang \(N\) sont proches de \(2\).
2. Convergence : Pour qu'une suite \((u_n)\) converge vers une limite \(L\), il faut que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier \(M\) tel que pour tout \(n \geq M\), on ait \(|u_n - L| < \epsilon\).
Application à notre cas
Dans notre cas, nous voulons montrer que \((u_n)\) converge vers \(2\). Choisissons \(\epsilon = 0,001\). Nous avons :
Pour tout \(n \geq N\), \(u_n\) est dans l'intervalle \(]1,999; 2,001[\).
Cela signifie que :
\[ 1,999 < u_n < 2,001 \]
En particulier, cela implique :
\[ |u_n - 2| < 0,001 \]
pour tout \(n \geq N\).
Conclusion Puisque nous avons montré que pour tout \(\epsilon = 0,001\), il existe \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), \(|u_n - 2| < \epsilon\), nous pouvons conclure que : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 2 \] Ainsi, la suite \((u_n)\) converge vers \(2\).
Exercice 53: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((v_n)\) une suite telle qu'il existe un entier naturel \(N\) pour lequel on a \(v_n≤ -10 000 000\) pour tout \(n ≥ N\). Peut-on alors conclure que \(\lim_{n \to \infty} v_n = -∞\) ? Expliquer.
Pour déterminer si \(\lim_{n \to \infty} v_n = -\infty\) en sachant qu'il existe un entier naturel \(N\) tel que \(v_n \leq -10\,000\,000\) pour tout \(n \geq N\), examinons ce que cela implique.
Interprétation des conditions
1. Condition donnée : Pour tout \(n \geq N\), les valeurs de la suite \((v_n)\) sont inférieures ou égales à \(-10\,000\,000\). Cela signifie que tous les termes de la suite à partir du rang \(N\) sont au moins \(-10\,000\,000\) ou plus petits.
Convergence vers \(-\infty\)
Pour qu'une suite \((v_n)\) converge vers \(-\infty\), il faut que pour tout réel \(M < 0\), il existe un entier \(K\) tel que pour tout \(n \geq K\), on ait \(v_n < M\). Cela signifie que les valeurs de la suite doivent devenir arbitrairement petites, c'est-à-dire descendre vers \(-\infty\).
Analyse
Dans notre cas, nous savons que : \[ v_n \leq -10\,000\,000 \quad \text{pour tout } n \geq N \] Cela implique que tous les termes de la suite à partir de \(N\) sont inférieurs ou égaux à \(-10\,000\,000\), mais cela ne garantit pas que les valeurs de \(v_n\) continuent à descendre plus bas. Par exemple, il est possible que tous les termes soient exactement \(-10\,000\,000\) pour \(n \geq N\).
Conclusion Ainsi, bien que les termes de la suite soient tous au moins \(-10\,000\,000\) pour \(n \geq N\), cela ne suffit pas à conclure que \(\lim_{n \to \infty} v_n = -\infty\).
En effet, si \(v_n = -10\,000\,000\) pour tout \(n \geq N\), alors la limite serait \(-10\,000\,000\), et non \(-\infty\).
Par conséquent, nous ne pouvons pas conclure que \(\lim_{n \to \infty} v_n = -\infty\).
Exercice 54: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((s_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(S_n = -n^2 +1000n\). 1. À l'aide de la calculatrice ou d'un tableur, afficher les 100 premiers termes de cette suite. Conjecturer le comportement de la suite \((s_n)\) quand \(n\) tend vers \(+∞\). 2. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-x^2 +1000x\). 3. Que penser de la conjecture établie à la question 1 ? Expliquer.
Pour analyser la suite \((s_n)\) définie par \(s_n = -n^2 + 1000n\), abordons chaque question étape par étape.
1. Comportement de la suite \((s_n)\) Affichons les 100 premiers termes de la suite : • Pour \(n = 1\) : \(s_1 = -1^2 + 1000 \times 1 = 999\) • Pour \(n = 2\) : \(s_2 = -2^2 + 1000 \times 2 = 1998\) • Pour \(n = 3\) : \(s_3 = -3^2 + 1000 \times 3 = 2997\) • ... • Pour \(n = 100\) : \(s_{100} = -100^2 + 1000 \times 100 = 9900\)
En général, les premiers termes de la suite augmentent, atteignant un maximum, puis commencent à diminuer fortement.
Conjecture : Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), la suite \((s_n)\) semble avoir un comportement quadratique décroissant, car le terme \(-n^2\) dominera le terme \(1000n\).
2. Tableau de variation de la fonction \(f\) La fonction \(f(x) = -x^2 + 1000x\) est une fonction quadratique. Pour dresser son tableau de variation, nous devons :
1. Trouver les racines de \(f\) : \[ f(x) = 0 \implies -x^2 + 1000x = 0 \implies x(x - 1000) = 0 \] Les racines sont \(x = 0\) et \(x = 1000\).
2. Calculer le sommet de la parabole : La forme canonique de la fonction quadratique nous permet de trouver le sommet, qui est donné par \(x = -\frac{b}{2a}\) pour \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Ici, \(a = -1\) et \(b = 1000\) : \[ x = -\frac{1000}{2 \times -1} = 500 \] 3. Étudier le signe de \(f\) : • Pour \(x < 0\), \(f(x) > 0\) (car \(f(0) = 0\)). • Pour \(0 < x < 1000\), \(f(x) > 0\) (parabole ouverte vers le bas). • Pour \(x > 1000\), \(f(x) < 0\).
3. Réflexion sur la conjecture La conjecture établie à la question 1, selon laquelle la suite \((s_n)\) diverge vers \(-\infty\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), est confirmée par le comportement de la fonction \(f(x)\) : • La fonction atteint un maximum \(f(500) = 250000\) à \(x = 500\). • Pour \(n > 1000\), \(s_n\) devient négatif, et la valeur de \(s_n\) continue de diminuer vers \(-\infty\).
Ainsi, nous pouvons conclure que : \[ \lim_{n \to +\infty} s_n = -\infty \] Ce comportement est dû au fait que la fonction quadratique \(f(x)\) est concave vers le bas et que son terme dominant, \(-n^2\), l'emporte finalement sur le terme linéaire \(1000n\) pour des valeurs de \(n\) suffisamment grandes.
Exercice 55: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((w_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par: \[w_n=1+\frac{1}{\sqrt{n}}\] 1. Déterminer à la calculatrice le premier entier \(N\) tel que \(w_n \in ]0,9; 1,1[\). 2.Justifier que \(|w_n -1| < 0,1\) si et seulement si \(w_n\) appartient à \(]0,9; 1,1[\), puis résoudre, pour \(n\) entier naturel non nul, l'inéquation \(|w_n -1| < 0,1\). 3. Soit \(r\) un réel strictement positif. a. Montrer qu'il existe un entier \(N\) tel que \(|w_N-1|< r\). b. Justifier alors que, pour tout \(n≥N\): \(|w_n-1|< r\) c. Que vient-on de démontrer ?
Pour étudier la suite \((w_n)\) définie par \(w_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\), nous allons répondre à chaque question étape par étape.
1. Déterminons à la calculatrice le premier entier \(N\) tel que \(w_n \in ]0,9; 1,1[\). On cherche \(N\) tel que \(0,9 < w_n < 1,1\).
Cela montre que \(|w_n - 1| < 0,1\) si et seulement si \(w_n \in ]0,9; 1,1[\).
3. Soit \(r\) un réel strictement positif. a. Montrons qu'il existe un entier \(N\) tel que \(|w_N - 1| < r\). On veut : \[ |w_N - 1| = \frac{1}{\sqrt{N}} < r \implies \sqrt{N} > \frac{1}{r} \implies N > \frac{1}{r^2}. \] Ainsi, en prenant \(N = \lceil \frac{1}{r^2} \rceil\) (le plus petit entier supérieur à \(\frac{1}{r^2}\)), on a \(|w_N - 1| < r\).
b. Justifions alors que, pour tout \(n \geq N\), \(|w_n - 1| < r\). Pour \(n \geq N\), on a : \[ |w_n - 1| = \frac{1}{\sqrt{n}}. \] Puisque \(\sqrt{n} \geq \sqrt{N} > \frac{1}{r}\), il en résulte que : \[ |w_n - 1| < r. \] c. Que vient-on de démontrer ? Nous venons de démontrer que pour tout réel strictement positif \(r\), il existe un entier \(N\) tel que pour tous les entiers \(n \geq N\), \(|w_n - 1| < r\). Cela signifie que la suite \((w_n)\) converge vers \(1\) lorsque \(n\) tend vers l'infini. En d'autres termes, on peut dire que \(\lim_{n \to \infty} w_n = 1\).
Exercice 56: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((t_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par: 1. Soit \(A\) un réel. \[t_n = \frac{5n-10}{3}\] a. Montrer qu'il existe un entier naturel \(N\) tel que : \[t_N ≥ A\]. b. Prouver que, pour tout \(n ≥ N\), \(t_n, A\). 2. En déduire le comportement de la suite \((t_n)\) quand \(n\) tend vers \(+∞\).
Pour la suite \((t_n)\) définie par \(t_n = \frac{5n - 10}{3}\), nous allons répondre à chaque question.
1. a. Montrer qu'il existe un entier naturel \(N\) tel que \(t_N \geq A\). Nous voulons trouver un entier naturel \(N\) tel que : \[ t_N = \frac{5N - 10}{3} \geq A. \] Cela revient à résoudre l'inéquation : \[ 5N - 10 \geq 3A. \] En ajoutant \(10\) des deux côtés, nous avons : \[ 5N \geq 3A + 10. \] En divisant par \(5\), on obtient : \[ N \geq \frac{3A + 10}{5}. \] Nous pouvons choisir \(N\) comme étant le plus petit entier naturel supérieur ou égal à \(\frac{3A + 10}{5}\). Formulons cela : \[ N = \left\lceil \frac{3A + 10}{5} \right\rceil. \] 1. b. Prouver que, pour tout \(n \geq N\), \(t_n \geq A\). Pour \(n \geq N\), nous avons : \[ N \geq \frac{3A + 10}{5}. \] Donc, en multipliant par \(5\) : \[ 5N \geq 3A + 10. \] En soustrayant \(10\) des deux côtés : \[ 5N - 10 \geq 3A. \] Divisant par \(3\), cela nous donne : \[ t_n = \frac{5n - 10}{3} \geq \frac{5N - 10}{3} \geq A. \] Ainsi, pour tout \(n \geq N\), \(t_n \geq A\).
2. En déduire le comportement de la suite \((t_n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Pour étudier le comportement de la suite \((t_n)\) à l'infini, examinons la forme de \(t_n\) : \[ t_n = \frac{5n - 10}{3} = \frac{5}{3}n - \frac{10}{3}. \] Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), le terme dominant est \(\frac{5}{3}n\), ce qui signifie que : \[ t_n \to +\infty. \] Conclusion Ainsi, nous avons montré qu'il existe un entier naturel \(N\) tel que \(t_N \geq A\) et que pour tout \(n \geq N\), \(t_n \geq A\). De plus, nous déduisons que la suite \((t_n)\) diverge vers \(+\infty\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Exercice 57: ★ ★ ★ ★ ★
Déterminer la limite des suites ci-dessous, définies non nul par les expressions pour tout entier naturel suivantes. 1. \(a_n = n^2-3n+5\) 2. \(b_n = n^3 (2+\frac{3}{n^2})\) 3. \(c_n = (3-5n) (n^3-4)\) 4. \(d_n = \sqrt{n} (n^2+2n)\) 5. \(e_n = \frac{2n+4}{\frac{1}{n}-5}\) 6. \(f_n = \frac{-3}{2n^2+n+1}\) 7. \(g_n = \frac{2-\frac{1}{n^2}}{7+\frac{1}{n\sqrt{n}}}\) 8. \(h_n = \frac{-4}{\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n}}\)
Nous allons déterminer la limite de chaque suite lorsque \(n\) tend vers l'infini.
1. Si \(\lim_{n \to \infty} u_n = +∞\) et \(\lim_{n \to \infty} v_n = -∞\), peut-on en déduire : a. \(\lim_{n \to \infty} (u_n+v_n)\) ? b. \(\lim_{n \to \infty} (u_n \times v_n)\) ? c. \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n}\) ? Justifier les réponses.
2. Mêmes questions si \(\lim_{n \to \infty} u_n = +∞\) , \(\lim_{n \to \infty} v_n = 0\) et \(v_n < 0\) pour tout entier naturel \(n\).
Pour répondre à ces questions concernant les limites des suites \(u_n\) et \(v_n\), analysons chaque cas étape par étape.
1. Cas où \(\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty\) et \(\lim_{n \to \infty} v_n = -\infty\). a. \(\lim_{n \to \infty} (u_n + v_n)\) Justification : Lorsque \(u_n\) tend vers \(+\infty\) et \(v_n\) tend vers \(-\infty\), le terme \(u_n\) domine le terme \(v_n\) à mesure que \(n\) augmente. Cependant, comme \(v_n\) tend vers \(-\infty\), il n'est pas possible de déterminer la limite de \(u_n + v_n\) sans plus d'informations sur la vitesse à laquelle \(u_n\) et \(v_n\) tendent respectivement vers \(+\infty\) et \(-\infty\).
Conclusion : \(\lim_{n \to \infty} (u_n + v_n)\) est indéterminé.
b. \(\lim_{n \to \infty} (u_n \times v_n)\) Justification : Le produit \(u_n \times v_n\) tendra vers \(-\infty\) car \(u_n\) tend vers \(+\infty\) et \(v_n\) vers \(-\infty\). En effet, le produit d'un terme croissant (vers \(+\infty\)) et d'un terme décroissant (vers \(-\infty\)) est négatif et croît en valeur absolue.
c. \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n}\) Justification : Ici, \(\frac{u_n}{v_n}\) tendra vers \(0\) car \(u_n\) tend vers \(+\infty\) et \(v_n\) vers \(-\infty\). En effet, la division d'un terme tendant vers \(+\infty\) par un terme tendant vers \(-\infty\) entraîne que le quotient tend vers \(0\), tout en conservant le signe négatif.
2. Cas où \(\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty\) et \(\lim_{n \to \infty} v_n = 0\) avec \(v_n < 0\) pour tout \(n\). a. \(\lim_{n \to \infty} (u_n + v_n)\) Justification : Ici, \(u_n\) tend vers \(+\infty\) tandis que \(v_n\) tend vers \(0\) mais reste négatif. Ainsi, \(u_n + v_n\) va tendre vers \(+\infty\) car le terme \(u_n\) domine.
b. \(\lim_{n \to \infty} (u_n \times v_n)\) Justification : Le produit \(u_n \times v_n\) tend également vers \(0\) car \(u_n\) tend vers \(+\infty\) et \(v_n\) tend vers \(0\) (négatif). En effet, chaque fois que \(u_n\) devient très grand et que \(v_n\) est très petit en valeur absolue, le produit sera proche de zéro, avec un signe négatif.
c. \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n}\) Justification : Dans ce cas, \(\frac{u_n}{v_n}\) tend vers \(-\infty\) car \(u_n\) tend vers \(+\infty\) et \(v_n\) tend vers \(0\) (négatif). Le quotient d'un terme tendant vers \(+\infty\) par un terme tendant vers \(0\) (négatif) entraînera que le quotient tend vers \(-\infty\).
On considère la suite \((u_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n =\frac{2n-4}{n^2+1}\) 1. a. Sans transformer \(u_n\), expliquer pourquoi le calcul de la limite de \((u_n)\) donne une forme indéterminée. b. En factorisant le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a \(u_n = \frac{2(1-\frac{4}{2n})}{n(1+\frac{1}{n^2})}\) c. En déduire la limite de \((u_n)\).
2. En utilisant la même méthode, calculer les limites des suites \((v_n)\) et \((w_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\) par : a. \(v_n =\frac{2-5n}{4n + 7}\) b. \(w_n = \frac{-n^3 - 10n+ 4}{2n^2 + 3n+1}\)
Pour analyser la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{2n - 4}{n^2 + 1}\), nous allons répondre à chaque question étape par étape.
1. a. Justification de la forme indéterminée Pour calculer la limite de la suite \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l'infini, nous observons que le numérateur \(2n - 4\) tend vers \(+\infty\) et le dénominateur \(n^2 + 1\) tend également vers \(+\infty\). Ainsi, nous avons une forme indéterminée de type \(\frac{\infty}{\infty}\).
1. b. Factorisation du numérateur et du dénominateur Nous allons factoriser le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré. 1. Numérateur : \[ 2n - 4 = 2\left(n - 2\right). \]
2. Dénominateur : \[ n^2 + 1 = n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right). \] En remplaçant dans \(u_n\), nous obtenons : \[ u_n = \frac{2(n - 2)}{n^2 + 1} = \frac{2(n - 2)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \frac{2\left(1 - \frac{2}{n}\right)}{n\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)}. \] Pour mettre cela sous la forme demandée, nous obtenons : \[ u_n = \frac{2\left(1 - \frac{4}{2n}\right)}{n\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)}. \] 1. c. Calcul de la limite de \((u_n)\) Maintenant, nous allons déterminer la limite de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l'infini : \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2\left(1 - \frac{4}{2n}\right)}{n\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)}. \] En prenant les limites des termes individuels : • \(\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2n}\right) = 1\), • \(\lim_{n \to \infty} n = \infty\), • \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right) = 1\).
Donc, nous avons : \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{2 \cdot 1}{\infty \cdot 1} = 0. \] 2. Calcul des limites des suites \((v_n)\) et \((w_n)\)
a. Suite \(v_n = \frac{2 - 5n}{4n + 7}\)
1. Forme indéterminée : Lorsque \(n\) tend vers l'infini, le numérateur \(2 - 5n\) tend vers \(-\infty\) et le dénominateur \(4n + 7\) tend vers \(+\infty\), donnant une forme indéterminée de type \(\frac{-\infty}{+\infty}\).
1. Forme indéterminée : Lorsque \(n\) tend vers l'infini, le numérateur \(-n^3 - 10n + 4\) tend vers \(-\infty\) et le dénominateur \(2n^2 + 3n + 1\) tend vers \(+\infty\), donnant une forme indéterminée de type \(\frac{-\infty}{+\infty}\).
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant chaque réponse. 1. Si \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\), alors \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{u_n} = +∞\), 2. Si \((u_n)\) diverge, alors \(\frac{1}{u_n}\) converge vers \(0\). 3. Si \(\lim_{n \to \infty} u_n = l\) (\(l\) réel) et \(\lim_{n \to \infty} v_n = +∞\), alors \(\lim_{n \to \infty} (u_n \times v_n) = +∞\).
Analysons chacune des affirmations pour déterminer si elles sont vraies ou fausses, en fournissant des justifications pour chaque réponse.
1️⃣. Si \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\), alors \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{u_n} = +\infty\). Justification : Si \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\), cela signifie que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), \(|u_n| < \epsilon\). En choisissant \(\epsilon\) suffisamment petit, disons \(\epsilon < 1\), il s'ensuit que \(u_n\) devient très proche de \(0\). Par conséquent, \(\frac{1}{u_n}\) deviendra très grand (positif) à mesure que \(u_n\) approche \(0\) par des valeurs positives. Ainsi, \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{u_n} = +\infty\).
Réponse : Vraie.
2️⃣. Si \((u_n)\) diverge, alors \(\left(\frac{1}{u_n}\right)\) converge vers \(0\). Justification : L'affirmation est fausse. Si \((u_n)\) diverge, cela peut signifier que \(u_n\) tend vers \(+\infty\) ou qu'il oscille sans convergence. Si, par exemple, \(u_n\) diverge vers \(+\infty\), alors \(\frac{1}{u_n}\) tendra vers \(0\), ce qui pourrait sembler vrai. Cependant, si \(u_n\) prend des valeurs négatives et oscille, \(\frac{1}{u_n}\) pourrait diverger vers \(-\infty\) ou osciller sans converger. Par conséquent, nous ne pouvons pas conclure que \(\left(\frac{1}{u_n}\right)\) converge vers \(0\). Réponse : Fausse.
3️⃣. Si \(\lim_{n \to \infty} u_n = l\) (\(l\) réel) et \(\lim_{n \to \infty} v_n = +\infty\), alors \(\lim_{n \to \infty} (u_n \times v_n) = +\infty\). Justification : Puisque \(\lim_{n \to \infty} u_n = l\) (avec \(l\) réel), cela signifie que pour \(n\) suffisamment grand, \(u_n\) est proche de \(l\). Si \(l > 0\), alors \(u_n\) est positif pour \(n\) assez grand, et comme \(v_n\) tend vers \(+\infty\), le produit \(u_n \times v_n\) tendra vers \(+\infty\). Si \(l = 0\), le produit pourrait ne pas tendre vers \(+\infty\) car \(u_n\) pourrait devenir très petit. Toutefois, si \(l < 0\), le produit diverge vers \(-\infty\). En résumé, cela dépend de la valeur de \(l\).
Réponse : Fausse (car l'affirmation ne tient pas si \(l \leq 0\)).
Exercice 61: ★ ★ ★ ★ ★
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par: \[un = \frac{n+1}{n+2}\] 1. Montrer que \(\lim_{n \to \infty} u_n= 1\). 2. Prouver que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n <1\). 3. Calculer \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_n+2}{u_n-1}\)
Analysons la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{n+1}{n+2}\) et répondons aux questions posées.
1. Montrer que \(\lim_{n \to \infty} u_n = 1\). Pour déterminer la limite de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l'infini, nous pouvons simplifier l'expression : \[ u_n = \frac{n+1}{n+2} = \frac{n(1 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{2}{n})} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}. \] À mesure que \(n\) tend vers l'infini, \(\frac{1}{n} \to 0\). Ainsi : \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 + 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1. \] Conclusion : \(\lim_{n \to \infty} u_n = 1\). 2. Prouver que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n < 1\). Pour montrer que \(u_n < 1\), considérons l'inégalité : \[ u_n = \frac{n+1}{n+2} < 1. \] Cette inégalité peut être réécrite comme : \[ n + 1 < n + 2. \] Cela est toujours vrai pour tout entier naturel \(n\). Par conséquent, nous avons : \[ u_n < 1 \quad \text{pour tout entier naturel } n. \] Conclusion : Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n < 1\). 3. Calculer \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_n + 2}{u_n - 1}\). Nous allons d'abord exprimer \(u_n + 2\) et \(u_n - 1\) : \[ u_n + 2 = \frac{n+1}{n+2} + 2 = \frac{n+1 + 2(n+2)}{n+2} = \frac{n+1 + 2n + 4}{n+2} = \frac{3n + 5}{n + 2}. \] Et pour \(u_n - 1\) : \[ u_n - 1 = \frac{n+1}{n+2} - 1 = \frac{n+1 - (n+2)}{n+2} = \frac{n+1 - n - 2}{n+2} = \frac{-1}{n+2}. \] Maintenant, nous pouvons écrire : \[ \frac{u_n + 2}{u_n - 1} = \frac{\frac{3n + 5}{n + 2}}{\frac{-1}{n + 2}} = (3n + 5) \cdot (-1) = - (3n + 5). \] Maintenant, calculons la limite : \[ \lim_{n \to \infty} - (3n + 5) = -\infty. \] Conclusion : \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_n + 2}{u_n - 1} = -\infty\).
Exercice 62: ★ ★ ★ ★ ★
On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\) et telles que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n ≥ n^2\) et, pour tout \(n ≥ 10\), \(v_n <-5n^3\). Déterminer la limite de chacune de ces deux suites. Justifier.
Pour analyser les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par les conditions données, examinons chacune d'elles séparément.
1. Limite de la suite \((u_n)\) Nous savons que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq n^2\). Analyse : • Comme \(n\) tend vers l'infini, \(n^2\) tend également vers \(+\infty\). • Par conséquent, si \(u_n \geq n^2\) pour tout \(n\), cela implique que \(\lim_{n \to \infty} u_n\) ne peut pas converger vers une valeur finie. En effet, \(u_n\) est toujours supérieur ou égal à une quantité qui tend vers \(+\infty\). Conclusion : \[ \lim_{n \to \infty} u_n = +\infty. \] 2. Limite de la suite \((v_n)\) Nous savons que pour tout \(n \geq 10\), \(v_n < -5n^3\). Analyse : • Comme \(n\) tend vers l'infini, le terme \(-5n^3\) tend vers \(-\infty\). • Par conséquent, si \(v_n\) est toujours inférieur à une quantité qui tend vers \(-\infty\), cela signifie que \(v_n\) lui-même doit également tendre vers \(-\infty\). Conclusion : \[ \lim_{n \to \infty} v_n = -\infty. \] Résumé des limites : • \(\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty\) • \(\lim_{n \to \infty} v_n = -\infty\)
Exercice 63: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par: \[u_n=3n-4sin(n)\] 1. Afficher les 30 premiers termes de la suite sur le tableur de la calculatrice. Quelle conjecture peut-on émettre sur le comportement de la suite \((u_n)\) lorsque \(n\) tend vers +∞ ? 2. Justifier que \(u_n ≥3n-4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 3. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Analysons la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = 3n - 4\sin(n)\) et répondons aux questions posées.
1. Afficher les 30 premiers termes et conjecture Pour afficher les 30 premiers termes de la suite sur un tableur, vous pouvez entrer la formule suivante dans une cellule :
\[ =3*A1 - 4*SIN(A1) \]
où \(A1\) contient les valeurs de \(1\) à \(30\). Cela vous donnera les valeurs de \(u_n\) pour \(n\) de \(1\) à \(30\).
Conjecture sur le comportement de la suite :
En regardant les valeurs calculées, on peut observer que :
• Le terme \(3n\) croît linéairement. • Le terme \(-4\sin(n)\) oscille entre \(-4\) et \(4\) (puisque \(\sin(n)\) varie entre \(-1\) et \(1\)).
Ainsi, à mesure que \(n\) tend vers \(+\infty\), la contribution de \(-4\sin(n)\) devient insignifiante par rapport à \(3n\), et la suite semble tendre vers \(+\infty\).
2. Justifier que \(u_n \geq 3n - 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) Analysons l'expression de \(u_n\) : \[ u_n = 3n - 4\sin(n). \] Puisque \(\sin(n)\) varie entre \(-1\) et \(1\), on a : \[ -1 \leq \sin(n) \leq 1. \] En multipliant par \(-4\), nous avons : \[ -4 \leq -4\sin(n) \leq 4. \] Cela implique que : \[ 3n - 4 \leq 3n - 4\sin(n) \leq 3n + 4. \] Ainsi, nous pouvons conclure que : \[ u_n \geq 3n - 4 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}. \] 3. En déduire la limite de la suite \((u_n)\) Nous avons montré que : \[ u_n \geq 3n - 4. \] Maintenant, examinons la limite : \[ \lim_{n \to \infty} (3n - 4) = +\infty. \] Étant donné que \(u_n\) est toujours supérieur à une expression qui tend vers \(+\infty\) et que \(-4\sin(n)\) oscille entre \(-4\) et \(4\), la contribution de \(-4\sin(n)\) devient négligeable par rapport à \(3n\).
Ainsi : \[ \lim_{n \to \infty} u_n = +\infty. \] Résumé des réponses : 1. La conjecture est que \(\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty\). 2. \(u_n \geq 3n - 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 3. \(\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty\).
Exercice 64: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par: \(v_n = -n^3-\sqrt{n^2 +5}\). 1. Justifier que \(v_n ≤ -n^3\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 2. En déduire la limite de la suite \((v_n)\).
Pour étudier la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = -n^3 - \sqrt{n^2 + 5}\), procédons comme suit :
1. Justification que \(v_n \leq -n^3\) Nous avons : \[ v_n = -n^3 - \sqrt{n^2 + 5} \] Il s'agit de montrer que : \[ -n^3 - \sqrt{n^2 + 5} \leq -n^3 \] Cela se simplifie à : \[ -\sqrt{n^2 + 5} \leq 0 \] Puisque \(\sqrt{n^2 + 5} \geq 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il en découle que \(-\sqrt{n^2 + 5} \leq 0\). Ainsi, nous avons : \[ v_n \leq -n^3 \] pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
2. Limite de la suite \((v_n)\) Pour déterminer la limite de \((v_n)\) lorsque \(n \to \infty\), nous pouvons analyser l'expression de \(v_n\) : \[ v_n = -n^3 - \sqrt{n^2 + 5} \] Nous pouvons simplifier l'expression du terme \(\sqrt{n^2 + 5}\) pour \(n\) grand : \[ \sqrt{n^2 + 5} = \sqrt{n^2(1 + \frac{5}{n^2})} = n\sqrt{1 + \frac{5}{n^2}} \approx n \quad \text{(pour \(n\) grand)} \] Ainsi, nous avons : \[ v_n \approx -n^3 - n \] Pour \(n\) grand, cela se simplifie en : \[ v_n \approx -n^3 \quad \text{(car le terme \(-n\) devient négligeable)} \] Cela nous amène à conclure que : \[ \lim_{n \to \infty} v_n = -\infty \] En résumé, la suite \((v_n)\) est majorée par \(-n^3\) et tend vers \(-\infty\) lorsque \(n\) augmente.
Exercice 65: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((w_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par: \[w_n = n^2+2n+(-1)^n n\] 1. Justifier que \(w_n ≥n^2\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 2. En déduire la limite de la suite \((w_n)\).
Pour étudier la suite \((w_n)\) définie par \[ w_n = n^2 + 2n + (-1)^n n, \] nous allons répondre aux deux questions posées.
1. Justification que \(w_n \geq n^2\) Nous avons : \[ w_n = n^2 + 2n + (-1)^n n. \] Nous allons examiner les deux cas en fonction de la parité de \(n\) : • Cas 1 : \(n\) est pair (\(n = 2k\)) Dans ce cas, \((-1)^n = 1\), donc : \[ w_n = n^2 + 2n + n = n^2 + 3n. \] Évidemment, on a : \[ w_n \geq n^2 \quad \text{(puisque \(3n \geq 0\) pour \(n \geq 0\))}. \] • Cas 2 : \(n\) est impair (\(n = 2k + 1\)) Dans ce cas, \((-1)^n = -1\), donc :
\[ w_n = n^2 + 2n - n = n^2 + n. \]
Ici aussi, on a : \[ w_n \geq n^2 \quad \text{(puisque \(n \geq 0\) pour \(n \geq 0\))}. \] Dans les deux cas, nous avons montré que : \[ w_n \geq n^2 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}. \] 2. Limite de la suite \((w_n)\) Pour déterminer la limite de \((w_n)\) lorsque \(n \to \infty\), nous analysons l'expression de \(w_n\) : \[ w_n = n^2 + 2n + (-1)^n n. \] Observons le terme \((-1)^n n\) : • Si \(n\) est pair, alors \((-1)^n n = n\), et donc : \[ w_n = n^2 + 2n + n = n^2 + 3n. \] • Si \(n\) est impair, alors \((-1)^n n = -n\), et donc : \[ w_n = n^2 + 2n - n = n^2 + n. \] Dans les deux cas, pour \(n\) grand, nous avons : • Pour \(n\) pair : \(w_n \approx n^2 + 3n\) • Pour \(n\) impair : \(w_n \approx n^2 + n\)
Dans les deux situations, le terme dominant est \(n^2\). Ainsi, nous avons : \[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} n^2 + \text{(termes négligeables)} = \infty. \] En conclusion, la suite \((w_n)\) est toujours supérieure ou égale à \(n^2\) et tend vers \(\infty\) lorsque \(n\) augmente.
Exercice 66: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel non nul par \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^2}\) 1. Justifier que \(-\frac{1}{n^2} ≤ u_n ≤ \frac{1}{n^2}\) pour tout entier naturel \(n\) non nul. 2. En utilisant le théorème des gendarmes, justifier que la suite \((u_n)\) converge et préciser la valeur de sa limite.
Pour étudier la suite \((u_n)\) définie par \[ u_n = \frac{(-1)^n}{n^2}, \] nous allons répondre aux deux questions posées.
1. Justification que \(-\frac{1}{n^2} \leq u_n \leq \frac{1}{n^2}\) Nous analysons l'expression de \(u_n\) : • Quand \(n\) est pair : Dans ce cas, \((-1)^n = 1\), donc : \[ u_n = \frac{1}{n^2}. \] Il est évident que : \[ 0 \leq u_n \leq \frac{1}{n^2}. \] • Quand \(n\) est impair : Dans ce cas, \((-1)^n = -1\), donc : \[ u_n = -\frac{1}{n^2}. \] Ici, on a : \[ -\frac{1}{n^2} \leq u_n < 0. \] Dans les deux cas, nous obtenons : \[ -\frac{1}{n^2} \leq u_n \leq \frac{1}{n^2} \] pour tout entier naturel \(n\) non nul.
2. Utilisation du théorème des gendarmes Nous allons maintenant utiliser le théorème des gendarmes. Nous avons établi que : \[ -\frac{1}{n^2} \leq u_n \leq \frac{1}{n^2}. \] Nous devons maintenant examiner les limites des bornes : • La limite de la borne inférieure : \[ \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n^2} = 0. \] • La limite de la borne supérieure : \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0. \] Par le théorème des gendarmes, puisque \(u_n\) est encadré entre deux suites qui convergent toutes deux vers \(0\), nous en déduisons que la suite \((u_n)\) converge également vers \(0\).
Conclusion Ainsi, la suite \((u_n)\) converge et sa limite est \[ \lim_{n \to \infty} u_n = 0. \]
Exercice 67: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par \[v_n = 5-\frac{sin(n^2)}{\sqrt{n}}\] 1. Justifier que pour tout entier naturel \(n\) non nul:\[5 -\frac{1}{\sqrt{n}} ≤ v_n ≤ 5 +\frac{1}{\sqrt{n}}\] 2. En déduire que la suite \((v_n)\) converge et préciser la valeur de sa limite.
Pour étudier la suite \((v_n)\) définie par \[ v_n = 5 - \frac{\sin(n^2)}{\sqrt{n}}, \] nous allons répondre aux deux questions posées.
1. Justification de l'encadrement de \(v_n\) Nous savons que la fonction sinus est bornée par \(-1\) et \(1\) : \[ -1 \leq \sin(n^2) \leq 1. \] En divisant cette inégalité par \(\sqrt{n}\) (qui est positif pour \(n\) non nul), nous obtenons : \[ -\frac{1}{\sqrt{n}} \leq \frac{\sin(n^2)}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}. \] Nous pouvons maintenant réécrire \(v_n\) en utilisant cette inégalité. En ajoutant \(5\) à chaque terme de l'inégalité : \[ 5 - \frac{1}{\sqrt{n}} \leq 5 - \frac{\sin(n^2)}{\sqrt{n}} \leq 5 + \frac{1}{\sqrt{n}}. \] Cela nous donne : \[ 5 - \frac{1}{\sqrt{n}} \leq v_n \leq 5 + \frac{1}{\sqrt{n}}. \]
2. Limite de la suite \((v_n)\) Nous allons maintenant examiner les limites des bornes que nous avons trouvées. • La limite de la borne inférieure : \[ \lim_{n \to \infty} \left(5 - \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = 5 - 0 = 5. \] • La limite de la borne supérieure : \[ \lim_{n \to \infty} \left(5 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = 5 + 0 = 5. \] Par le théorème des gendarmes, puisque \(v_n\) est encadré entre deux suites qui convergent toutes deux vers \(5\), nous en déduisons que la suite \((v_n)\) converge également vers \(5\).
Conclusion Ainsi, la suite \((v_n)\) converge et sa limite est \[ \lim_{n \to \infty} v_n = 5. \]
Exercice 68: ★ ★ ★ ★ ★
Ella a écrit une fonction Python qui renvoie, selon la valeur de \(q\), la nature de la suite \((q^n)\). 1 𝚍𝚎𝚏 𝚗𝚊𝚝𝚞𝚛𝚎 𝚜𝚞𝚒𝚝𝚎(𝚚): 2 𝚒𝚏...: 3 𝚛𝚎𝚝𝚞𝚛𝚗("𝚕𝚊 𝚜𝚞𝚒𝚝𝚎 𝚌𝚘𝚗𝚟𝚎𝚛𝚐𝚎 𝚟𝚎𝚛𝚜 0") 4 𝚎𝚕𝚒𝚏...: 5 𝚛𝚎𝚝𝚞𝚛𝚗 ("𝚕𝚊 𝚜𝚞𝚒𝚝𝚎 𝚎𝚜𝚝 𝚌𝚘𝚗𝚜𝚝𝚊𝚗𝚝𝚎 𝚎𝚝 𝚝𝚎𝚗𝚍 𝚟𝚎𝚛𝚜...") 6 𝚎𝚕𝚒𝚏... 7 𝚛𝚎𝚝𝚞𝚛𝚗(". 8 𝚎𝚕𝚜𝚎: 9 𝚛𝚎𝚝𝚞𝚛𝚗("𝚕𝚊 𝚜𝚞𝚒𝚝𝚎 𝚗'𝚊𝚍𝚖𝚎𝚝 𝚙𝚊𝚜 𝚍𝚎 𝚕𝚒𝚖𝚒𝚝𝚎") Recopier et compléter ce programme.
Voici une version complétée et corrigée de la fonction Python qui détermine la nature de la suite \((q^n)\) en fonction de la valeur de \(q\):
Explication du code : 1. Cas \(q < 0\) : La suite \((q^n)\) n'a pas de limite définie car elle oscille entre valeurs positives et négatives. 2. Cas \(q = 0\) : La suite converge vers 0. 3. Cas \(q = 1\) : La suite est constante (toujours égale à 1). 4. Cas \(q > 1\) : La suite diverge vers l'infini. 5. Cas \(0 < q < 1\) : La suite converge vers 0.
Cette fonction peut être utilisée pour tester différentes valeurs de \(q\) et observer le comportement de la suite \((q^n)\).
Exercice 69: ★ ★ ★ ★ ★
Calculer les limites des suites ci-dessous définies pour tout entier naturel \(n\). 1. \(u_n = 0,5^n\) 2. \(v_n = (\sqrt{2})^n\) 3. \(w_n = \frac{1}{3^n}\) 4. \(z_n = \frac{9^n}{4^n}\)
Calculons la limite de chacune des suites définies pour tout entier naturel \(n\).
1. Suite \(u_n = 0,5^n\) La suite \(u_n\) est de la forme \(a^n\) avec \(a = 0,5\). Comme \(0 < 0,5 < 1\), la limite est : \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} 0,5^n = 0. \] 2. Suite \(v_n = (\sqrt{2})^n\) La suite \(v_n\) peut être réécrite comme \((\sqrt{2})^n = 2^{n/2}\). Comme \(\sqrt{2} > 1\), la limite est : \[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} 2^{n/2} = +\infty. \] 3. Suite \(w_n = \frac{1}{3^n}\) La suite \(w_n\) est de la forme \(\frac{1}{a^n}\) avec \(a = 3\). Comme \(3 > 1\), la limite est : \[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n} = 0. \] 4. Suite \(z_n = \frac{9^n}{4^n}\) Nous pouvons réécrire \(z_n\) comme : \[ z_n = \left(\frac{9}{4}\right)^n. \] Comme \(\frac{9}{4} > 1\), la limite est : \[ \lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{9}{4}\right)^n = +\infty. \]
Exercice 70: ★ ★ ★ ★ ★
Calculer les limites des suites ci-dessous. 1. \((w_n)\) est la suite géométrique de premier terme \(w_0 = 12\) et de raison \(\frac{1}{4}\) 2. \((t_n)\) est la suite définie par \(t_0 = -3\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(t_{n+1}=2t_n\).
Calculons les limites des suites définies ci-dessous.
1. Suite \((w_n)\) géométrique La suite \((w_n)\) est définie par : \[ w_n = w_0 \cdot r^n = 12 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n. \] Ici, \(w_0 = 12\) et la raison \(r = \frac{1}{4}\). Comme \(0 < \frac{1}{4} < 1\), la limite de cette suite est : \[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} 12 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n = 12 \cdot 0 = 0. \] 2. Suite \((t_n)\) définie par récurrence La suite \((t_n)\) est définie par :
• \(t_0 = -3\) • \(t_{n+1} = 2t_n\)
Pour trouver une expression explicite pour \(t_n\), nous pouvons écrire les premiers termes :
Ainsi, nous avons : \[ t_n = -3 \cdot 2^n. \] Étant donné que \(2^n\) diverge vers \(+\infty\) lorsque \(n\) tend vers l'infini, la limite de \(t_n\) est : \[ \lim_{n \to \infty} t_n = \lim_{n \to \infty} -3 \cdot 2^n = -\infty. \]
• On considère une suite \((u_n)\) telle que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n ≥ 1,001^n\). Quelle est sa limite ? • On considère une suite \((v_n)\) telle que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \((\frac{221}{222})^n ≥ u_n ≥ (\frac{123}{222})^n\). Quelle est sa limite ?
solution en cours...
Exercice 73: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((u_n)\) la suite géométrique de raison \(-5\) et de premier terme \(u_0\) égal à \(1\). 1. Exprimer la somme \(S_n\) des \(n + 1\) premiers termes de cette suite en fonction de \(n\). 2. Que dire du comportement de la suite \((S_n)\) lorsque \(n\) tend vers \(+∞\) ?
solution en cours...
Exercice 74: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(v_0 = -2\) et \(v_{n+1} = \frac{1}{3}\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose: \[S_n = v_0+v_1+...+v_n = \sum_{k=0}^n v_k\] 1. Exprimer la somme \(S_n\) en fonction de \(n\). 2. Quelle est la limite de la suite \((S_n)\) ?
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Exercice 75: ★ ★ ★ ★ ★
On considère une suite \((u_n)\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), \(4 ≤ u_{n+1} ≤ u_n\). Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier. 1. La suite \((u_n)\) est monotone. 2. La suite \((u_n)\) est croissante. 3. La suite \((u_n)\) admet un majorant. 4. La suite \((u_n)\) est minorée. 5. La suite \((u_n)\) diverge vers \(+∞\).
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Exercice 76: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\) non nul, par: \[v_n = \frac{(-1)^n}{n} - \frac{(-1)^{n+1}}{3n^2}\] 1. Encadrer le terme général de la suite par les termes généraux de deux suites convergentes. 2. En déduire que la suite \((v_n)\) converge et préciser la valeur de sa limite.
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Exercice 77: ★ ★ ★ ★ ★
On considère une suite \((u_n)\) telle que, pour tout \(n \in mathbb{N}\): \[u_n = \frac{n}{n^2 +1} + \frac{n}{n^2 +2} + ... + \frac{n}{n^2 +n} = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2 + k}\] 1. Justifier que, pour tout entier naturel : \[\frac{n^2}{n^2 + n} ≤ u_n ≤ \frac{n^2}{n^2 + 1}\] 2. Justifier que la suite \((u_n)\) converge et donner la valeur de sa limite.
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Exercice 78: ★ ★ ★ ★ ★
Matteo observe un nénuphar sur une mare. Chaque jour, le nénuphar perd la moitié de sa surface, mangée par un poisson carpe. 1. Au bout de combien de jours la surface du nénuphar sera-t-elle inférieure ou égale à 1 % de sa surface de départ ? 2. Le nénuphar disparaîtra-t-il un jour ?
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Exercice 79: ★ ★ ★ ★ ★
On considère une suite \((v_n)\) telle que : 1. \((v_n)\) est majorée par 100 2. \((v_n)\) est minorée par 0 3. \((v_n)\) est monotone Parmi les propriétés suivantes, laquelle(s) permet(tent) de conclure que \((v_n)\) converge ? A. \((v_n)\) est croissante B. \((v_n)\) est décroissante C. \((v_n)\) est bornée
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Exercice 80: ★ ★ ★ ★ ★
On sait que les termes d'une suite \((u_n)\) sont strictement positifs. Parmi les propriétés suivantes, la ou lesquelles permettent de conclure que \((u_n)\) converge ? 1. \((u_n)\) est croissante. 2. \((u_n)\) est décroissante. 3. \((u_n)\) est bornée.
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Exercice 81: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par: \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{4}u_n + 6\). 1. Conjecturer à la calculatrice le sens de variation de la suite \((u_n)\). 2. Prouver par récurrence que \(u_n ≥ 8\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 3. Justifier que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\): \[u_{n+1} - u_n =-\frac{3}{4}u_n + 6\] 4. Conclure sur le sens de variation de la suite. 5. La suite \((u_n)\) est-elle convergente ?
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Exercice 82: ★ ★ ★ ★ ★
Le premier jour, une urne contient 100 boules blanches et une boule noire. Chacun des jours suivants, on ajoute dans cette urne deux boules blanches et trois boules noires. Puis, on tire une boule au hasard dans l'urne, que l'on remet ensuite. On note \(p_n\) la probabilité de tirer une boule noire le \(n^{ième}\) jour. Déterminer le comportement de la suite \((p_n)\) lorsque \(n\) tend vers \(+∞\).
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Exercice 83: ★ ★ ★ ★ ★
En utilisant les théorèmes de comparaison, déterminer dans chaque cas la limite de la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par : 1. \(u_n = 5n^2-2(-1)^n\) 2. \(u_n = n^2-2n+(-1)^{n+1}\) 3. \(u_n = (-1)^n \times \frac{\sqrt{n}}{n}\)
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Exercice 84: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \((u_n)\) une suite de nombres réels. On note pour tout entier naturel : \[S_n = u_0+u_1+...+u_n\] La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? « 𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 \((𝑢_𝑛)\) 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 \((𝑆_𝑛)\) 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.» Justifier.
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Exercice 85: ★ ★ ★ ★ ★
Le nombre \(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) s'appelle le nombre d'or.
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{n+1}- (-\frac{-1}{\phi})^{n+1})\). 1. a. Calculer les termes \(u_0\), et \(u_1\). b. À l'aide de la calculatrice, afficher les 10 premiers termes de cette suite. Que remarque-t-on sur le type des nombres obtenus ? c. Conjecturer une relation entre \(u_n\), \(u_{n+1}\) et \(u_{n+2}\) 2. La suite de Fibonacci est la suite \((F_n)\), définie par \(F_0 = F_1 = 1 \)et, pour tout entier naturel \(n\): \[F_{n+2}= F_{n+1} + F_n\] On admettra que pour tout entier naturel \(n\), \(F_n = u_n\), Calculer \(\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}\)
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Exercice 86: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\), définie pour tout entier naturel non nul par \(u_n = \frac{n^2}{2^n}\), et la suite \((v_n)\), définie pour tout entier naturel non nul par \(v_n = \frac{u_{n+1}}{un}\) 1. a. À l'aide du tableur, calculer les 20 premiers termes de la suite \((u_n)\). b. Quelle semble être sa limite ? 2. a. À l'aide du tableur, calculer les premiers termes de la suite \((v_n)\). b. Conjecturer la limite de la suite \((v_n)\). c. Démontrer cette dernière conjecture. d. Résoudre l'inéquation \(v_n ≤ \frac{4}{5}\) dans \(\mathbb{N}\) et en déduire qu'il existe un entier \(N\) tel que, pour tout \(n ≥ \mathbb{N}, u_{n+1} ≤ \frac{4}{5}u_n\). Préciser la valeur de \(N\). 3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier \(n ≥ 4\), \(u_n ≤ (\frac{4}{5})^{n-4}\). 4. En déduire la limite de la suite \((u_n)\) et vérifier la cohérence du résultat avec la conjecture émise à la question 1.
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Exercice 87: ★ ★ ★ ★ ★
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\) par: \(u_n = \frac{an + b}{2n+1}\) et \(v_n = n(2u_n -1)\). 1. La suite \((u_n)\) peut-elle être divergente ? 2. Existe-t-il des valeurs de \(a\) et \(b\) pour lesquelles les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent toutes les deux vers \(\frac{1}{2}\) ?
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Exercice 88: ★ ★ ★ ★ ★
On considère l'ensemble 𝒮 des suites \((u_n)\) vérifiant la relation de récurrence double suivante : \(u_{n+2}=\frac{3}{35}u_{n+1}+ \frac{2}{35}u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 1. Existe-t-il des suites constantes non nulles qui appartiennent à l'ensemble 𝒮 ? 2. Existe-t-il des suites arithmétiques non nulles qui appartiennent à l'ensemble 𝒮 ? 3. Existe-t-il des suites géométriques non nulles qui appartiennent à l'ensemble 𝒮 ? 4. Soient \(a\) et \(b\) deux réels donnés. a. Vérifier que la suite de terme général : \(u_n = a(\frac{2}{7})^7+b(\frac{-1}{5})^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) appartient à l'ensemble 𝒮. b. Quelle est la limite de la suite \((u_n)\) ?
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Exercice 89: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((S_n)\) définie pour tout entier naturel par \(S_n = \sum_{k=0 \to n} \frac{1}{\sqrt{k+1}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} +...+ \frac{1}{\sqrt{n+1}}\) 1. Montrer que pour tout entier naturel \(k\) compris entre \(0\) et \(n\), \(\frac{1}{\sqrt{k+1}} ≥ \frac{1}{\sqrt{n+1}}\) 2. En déduire que la suite \((S_n)\) diverge vers \(+∞\). 3. Écrire un algorithme en langage naturel qui renvoie le plus petit entier naturel tel que \(S_n > 100\).
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Exercice 90: ★ ★ ★ ★ ★
Un volume constant de 2 200 \(m^3\) d'eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique, on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes. On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante. • Au départ, le bassin A contient 800 \(m^3\) d'eau et le bassin B contient 1 400 \(m^3\) d'eau. • Tous les jours, 15% du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A. • Tous les jours, 10% du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B. Pour tout entier naturel », on note: • \(a_n\) le volume d'eau, exprimé en \(m^3\), contenu dans le bassin A à la fin du n^{ième} jour de fonctionnement; • \(b_n\) le volume d'eau, exprimé en \(m^3\), contenu dans le bassin A à la fin du n^{ième} jour de fonctionnement. 1. Par quelle relation entre \(a_n\) et \(b_n\) traduit-on la conservation totale d'eau dans le circuit ? 2. Donner une expression de a_{n+1} en fonction de \(a_n\). 3. Écrire une fonction Python donnant la plus petite valeur de \(n\) à partir de laquelle le bassin A contient plus d'eau que le bassin B. Quelle est la valeur affichée par cette fonction ? 4. Le bassin A contiendra-t-il un jour 1 320 \(m^3\) d'eau ? Justifier. 5. Pour tout entier naturel, on pose \(u_n = a_n -1320\). a. Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ? b. En déduire la limite de la suite \((a_n)\) puis celle de la suite \((b_n)\). Interpréter les résultats obtenus.
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Exercice 1: ★ ★ ★ ★ ★
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n +3 \times 0,5^n\). 1. a. À l'aide de la calculatrice, recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les valeurs de \(u_n\), à \(10^{-2}\)).
\(n\)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
\(u_n\)
b. Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\). 2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(u_n ≥ \frac{15}{4} \times 0,5^n\). b. Étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\) pour tout entier naturel \(n\) non nul et en déduire une démonstration de la conjecture faite à la question 1.b.
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Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ★
1. On considère le programme suivant, écrit en Python.
Recopier et compléter le tableau ci-dessous afin de déterminer ce qu'affiche l'instruction 𝚎𝚡𝚋𝚊𝚌(𝟺,𝟿,𝟸), saisie dans la console.
\(n\)
\(a\)
\(b\)
\(u\)
\(v\)
0
1
2
Les valeurs de \(u\) et \(v\) seront arrondies au millième.
2. Dans cette question et la suivante, \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(0 < a < b\) et on considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par \(u_0= a\), \(v_0= b\) et, pour tout entier naturel \(n\): \(u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}\) et \(v_{n+1} = \sqrt{\frac{u_n^2+v_n^2}{2}}\). a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n >0\) et \(v_n > 0\). b. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\): \(v_{n+1}^2+u_{n+1}^2 = (\frac{u_n-v_n}{2})^2\) En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n ≤ v_n\)
3. a. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante. b. Comparer \(v_{n+1}^2\) et \(v_n^2\). En déduire le sens de variation de la suite \((v_n)\).
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Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=3u_n -2n +3\). 1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n ≥ n\). 3. En déduire que la suite \((u_n)\) est croissante. 4. Soit la suite \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n = u_n-n+1\). a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(3\). b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\): \[u_n=3^n+n-1\] c. Calculer \(\sum_{k=0}^{100} u_k = u_0+ u_1+...+u_100\)
On rappelle que, pour tout entier naturel \(n\): \(1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\) et, pour \(q ≠ 1\): \[1+q+q^2+...+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\] d. Écrire un algorithme en langage naturel qui calcule la somme ci-dessus.
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Exercice 4: ★ ★ ★ ★ ★
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs et tels que \(a> b\). Le nombre d'or est défini comme l'unique rapport des deux longueurs \(a\) et \(b\) tel que \(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\) On note ce nombre d'or \(\phi\).
Partie A. Quelques propriétés algébriques 1. a. Démontrer que \(\phi\) est la solution positive de l'équation \(x^2-x-1=0\). b. En déduire la valeur exacte de \(\phi\), puis une valeur approchée de \(\phi\) à \(10^{-2}\) près. 2. Vérifier que:\[\phi = 1+ \frac{1}{\phi} \:et\: \phi = \sqrt{1+\phi}\] Partie B. Une première suite On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et : \(u_{n+1}= \sqrt{1+u_n}\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 1. Démontrer que cette suite est croissante et majorée. 2. Que peut-on en déduire ? 3. On admet que la suite \((u_n)\) converge vers \phi\). Écrire un algorithme qui affiche la plus petite valeur de \(n\) pour laquelle \(|u_n-\phi|< 10^{-7}\). Programmer cet algorithme sur Python, puis indiquer la valeur trouvée. 4. Combien de décimales du nombre d'or obtient-on ?
Partie C. Une seconde suite On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_0 = 1\) et: \(v_{n+1}=1+ \frac{1}{v_n} \)pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 1. Prouver que \(v_n >1\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 2. Justifier que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\): \(|v_{n+1}-\phi| ≤ \frac{1}{\phi}|v_n - \phi|\) 3. En déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\): \(|v_n-\phi| ≤ (\frac{1}{\phi})^n|v_0 - \phi|\) 4. Que peut-on dire de la suite \((v_n)\) lorsque \(n\) tend vers l'infini ? 5. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que:\[|v_n-\phi| < 10^{-7}\] 6. Combien de décimales du nombre d'or obtient-on ?
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Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ★
On s'intéresse à une suite de rectangles \((R_n)\). On note \(L_n\), la longueur du rectangle \(R_n\) et \(l_n\) sa largeur. On pose \(L_0 = 2020\) et \(l_0 = 1\). Tous les rectangles \(R_n\), ont la même aire et l'une des dimensions de \(R_{n+1}\) est la moyenne arithmétique des dimensions du rectangle \(R_n\).
1. Justifier que pour tout entier naturel \(n\) : \(L_{n+1} = \frac{L_n + l_n}{2}\) et \(l_{n+1} = \frac{4040}{L_n + l_n}\)
On justifiera en particulier que c'est la longueur du rectangle \(R_{n+1}\) qui est égale à la moyenne arithmétique des dimensions du rectangle \(R_n\) 2. Montrer que, pour tout entier naturel : \[l_n ≤ \sqrt{2 020} ≤ L_n\] 3. Justifier que la suite \((L_n)\) est décroissante. En déduire son comportement lorsque \(n\) tend vers \(+∞\). 4. Justifier que la suite \((l_n)\) est croissante. En déduire son comportement lorsque \(n\) tend vers \(+∞\). 5. a. En utilisant le fait que \(L_{n+1} = \frac{L_n + l_n}{2}\) pour tout entier naturel, montrer que les suites \((L_n)\) et \((l_n)\) convergent vers la même limite. b. Que vaut cette limite commune ? Justifier. 6. Interpréter géométriquement le résultat de la question précédente.
Cette méthode d'extraction d'une racine carrée d'un nombre porte le nom de Héron d'Alexandrie, mathé- maticien grec du le siècle après J.-C.
Pour aborder cette suite de rectangles \((R_n)\) et répondre aux différentes questions, procédons étape par étape. 1. Justification des formules Nous avons les dimensions initiales : \(L_0 = 2020\) et \(l_0 = 1\). La surface d'un rectangle est donnée par : \[ A = L_n \times l_n \] Pour chaque rectangle \(R_n\), cette aire est constante. Calculons l'aire initiale : \[ A = L_0 \times l_0 = 2020 \times 1 = 2020 \] Pour le rectangle \(R_{n+1}\), en posant \(L_{n+1} = \frac{L_n + l_n}{2}\), nous voyons que cette dimension est bien la moyenne arithmétique des dimensions \(L_n\) et \(l_n\).
Ensuite, la largeur \(l_{n+1}\) est déterminée par : \[ l_{n+1} = \frac{A}{L_{n+1}} = \frac{2020}{\frac{L_n + l_n}{2}} = \frac{4040}{L_n + l_n} \] 2. Inégalité des dimensions Pour la question 2, nous allons démontrer directement que pour tout entier naturel \( n \), il est vrai que : \[ l_n \leq \sqrt{2020} \leq L_n \] Démonstration directe
1. Inégalité \( L_n \geq \sqrt{2020} \) Nous savons que l'aire \( A \) des rectangles est constante et égale à 2020, c'est-à-dire : \[ L_n \times l_n = 2020 \] Pour montrer que \( L_n \geq \sqrt{2020} \), nous allons utiliser l'inégalité arithmético-géométrique, qui stipule que pour deux nombres positifs \( a \) et \( b \) : \[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \] En appliquant cette inégalité à \( L_n \) et \( l_n \), nous avons : \[ \frac{L_n + l_n}{2} \geq \sqrt{L_n l_n} = \sqrt{2020} \] En réarrangeant, on obtient : \[ L_n + l_n \geq 2\sqrt{2020} \] Cela signifie que si \( l_n \) est positif, alors \( L_n \) doit être supérieur ou égal à \( \sqrt{2020} \).
2. Inégalité \( l_n \leq \sqrt{2020} \) Pour montrer que \( l_n \leq \sqrt{2020} \), on peut également partir de l'aire : \[ l_n = \frac{2020}{L_n} \] Comme \( L_n \) est toujours positif et croissant, nous pouvons en déduire que : \[ l_n \leq \frac{2020}{\sqrt{2020}} = \sqrt{2020} \] Cela se justifie par le fait que pour \( L_n \geq \sqrt{2020} \), on obtient : \[ l_n = \frac{2020}{L_n} \leq \frac{2020}{\sqrt{2020}} = \sqrt{2020} \] Conclusion Nous avons établi que : \[ l_n \leq \sqrt{2020} \quad \text{et} \quad L_n \geq \sqrt{2020} \] Ainsi, pour tout entier naturel \( n \), nous avons : \[ l_n \leq \sqrt{2020} \leq L_n \] ce qui conclut la démonstration directe.
3. Comportement de la suite \((L_n)\) Nous devons montrer que \((L_n)\) est décroissante. Pour cela, calculons : \[ L_{n+1} = \frac{L_n + l_n}{2} \leq L_n \] puisque \(l_n \leq L_n\). Cela montre que \((L_n)\) est décroissante.
Comportement à l'infini : Comme \((L_n)\) est une suite décroissante et bornée inférieurement par \(\sqrt{2020}\), elle converge vers une limite \(L\) avec \(L \geq \sqrt{2020}\).
4. Comportement de la suite \((l_n)\) Nous allons montrer que \((l_n)\) est croissante. Nous avons : \[ l_{n+1} = \frac{4040}{L_n + l_n} \geq l_n \] puisque \(L_n + l_n \leq L_n + l_{n-1}\) (car \(l_n \geq l_{n-1}\)). Cela montre que \((l_n)\) est croissante.
Comportement à l'infini : Comme \((l_n)\) est croissante et bornée supérieurement par \(\sqrt{2020}\), elle converge vers une limite \(l\) avec \(l \leq \sqrt{2020}\).
5. Convergence des suites a. Convergence vers la même limite Nous avons montré que \((L_n)\) est décroissante et converge vers \(L\), et que \((l_n)\) est croissante et converge vers \(l\). Puisque \(L_{n+1} = \frac{L_n + l_n}{2}\), à la limite, nous avons : \[ L = l \] b. Valeur de cette limite Si \(L = l\), alors en utilisant \(A = L \times l\) : \[ L^2 = 2020 \implies L = l = \sqrt{2020} \] 6. Interprétation géométrique Le résultat montre que les dimensions des rectangles convergent vers un carré de dimension \(\sqrt{2020}\). Cela signifie que, par la méthode d'Héron, l'aire d'un rectangle est optimisée lorsque ses dimensions se rapprochent de celles d'un carré, ce qui minimise le périmètre pour une aire donnée. Ce processus est un exemple classique d'optimisation géométrique.
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Exercice 6: ★ ★ ★ ★ ★
Une biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve. Cette population est estimée à 12 000 individus en 2020. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60 000 individus.
Partie A. Un premier modèle Dans une première approche, la biologiste estime que la population croît de 5 % par an. L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite \((v_n)\), où \(v_n\) représente le nombre d'individus, exprimé en millier, l'année \((2020+ n)\). On a donc \(v_0 = 12\). 1. Déterminer la nature de la suite \((v_n)\) et donner l'expression de \(v_n\) en fonction de \(n\). 2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
Partie B. Un second modèle La biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 12\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(\frac{-1,1}{605}u_n^2+1,1u_n\) 1. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x)=\frac{-1,1}{605}x^2+1,1x\). On a ainsi : \(u_{n+1} = g(u_n)\).
a. Justifier que \(g\) est croissante sur \([0; 60]\). b. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(g(x) = x\). 2. a. Calculer la valeur arrondie à \(10^{-3}\) de \(u_1\). Interpréter. b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0 ≤ u_n ≤ 55\). c. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante. d. En déduire la convergence de la suite \((u_n)\). e. On admet que la limite de la suite \((u_n)\) vérifie \(g(l)=l\) . En déduire sa valeur et l'interpréter dans le contexte de l'exercice. 3. La biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les 50 000 individus avec ce second modèle. Recopier puis compléter l'algorithme ci-dessous afin que la variable n contienne la réponse au problème donné en fin d'exécution. 𝚗 ← 0 𝚞 ← 𝟷𝟸 𝚃𝚊𝚗𝚝 𝚚𝚞𝚎... 𝚞 ← ... 𝚗 ← ...
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Exercice 7: ★ ★ ★ ★ ★
Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à 10 000 le nombre de ses abeilles. Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20% des abeilles de l'année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera \(c\) ce nombre, exprimé en dizaine de milliers. On note \(u_0\) le nombre d'abeilles, en dizaine de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(u_n\) désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la n-ième année. Ainsi, on a :
• \(u_0=1\); • pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0,8u_n +c\).
Partie A On suppose, dans cette partie seulement, que \(c = 1\). 1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite \((u_n)\). 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\): \[u_n =5-4 \times 0,8^n\] 3. En justifiant la réponse, vérifier les deux conjectures établies à la question 1. Interpréter ces deux résultats.
Partie B L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers 100 000. On cherche à déterminer la valeur de \(c\) qui permet d'atteindre cet objectif. On définit la suite \((v_n)\), pour tout entier naturel \(n\), par: \[v_n = u_n-5c\] 1. Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 2. En déduire une expression du terme général de la suite \((v_n)\) en fonction de \(n\). 3. Déterminer la valeur de \(c\) pour que l'apiculteur atteigne son objectif. 4. On pose \(c = 2\). Déterminer le nombre minimal d'années à partir duquel la population atteindra le seuil de 75 000 abeilles.
solution en cours...
Exercice 8: ★ ★ ★ ★ ★
On considère une suite \((u_n)\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 2u_n - 4\) et \(u_0 = 9\).
Partie A 1. Prouver que cette suite est minorée par \(9\). 2. En déduire son sens de variation. 3. Peut-on conclure sur le comportement de cette suite en + avec les informations obtenues aux questions précédentes ? 4. Conjecturer ce comportement à l'aide de la calculatrice.
Partie B On pose \(v_n= u_n -4\). 1. Prouver que la suite \((v_n)\) est géométrique. En donner le premier terme et la raison. 2. Prouver que \(u_n = 5 \times 2^n + 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 3. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
solution en cours...
Exercice 9: ★ ★ ★ ★ ★
On considère le nombre \(X\), dont l'écriture décimale est \(4,969696\)... On admettra que ce nombre appartient à l'ensemble des nombres rationnels. Les points de suspension après le \(6\) indiquent que la séquence des chiffres « \(96\) » se répète à l'infini dans cette même écriture décimale. L'objectif de cet exercice est de déterminer l'écriture de \(X\) sous la forme d'une fraction irréductible. On pose, pour tout \(n \in \mathbb{N}\): \[u_n = 4+ \frac{96}{100}+ \frac{96}{100^2} +...+ \frac{96}{100^n}\] 1. Quel est le lien entre \(X\) et la suite \((u_n)\) ? 2. Exprimer la somme suivante en fonction de \(n\). \[S_n = \frac{1}{100}+\frac{1}{100^2}+...+\frac{1}{100^n}\] 3. En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 4. a. Calculer la limite de la suite \((u_n)\). b. En déduire l'écriture fractionnaire et irréductible du nombre \(X\).
solution en cours...
Exercice 10: ★ ★ ★ ★ ★
En mars 2020, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants. Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante. 1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2021 avant que Max ne la taille ? 2. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(h_n\) la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année \((2020 + n)\). Ainsi, \(h_0 = 80\). a. Donner l'expression de \(h_{n+1}\) en fonction de \(h_n\). b. Démontrer par récurrence que la suite \((h_n)\) est croissante.
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