Exercices corrigés sur les fonctions trigonométriques
Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(f(x)=x-cos(x)\). 1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\). 2. Justifier la conjecture. ⚠️ Attention à bien configurer la calculatrice en mode radian!
1. Conjecture sur le sens de variation de \(f\) En traçant la fonction \(f(x) = x - \cos(x)\) sur l'intervalle \([-15, 15]\) à l'aide d'une calculatrice, on constate que la fonction semble être strictement croissante sur cet intervalle.
2. Justification de la conjecture Pour justifier que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), nous allons étudier le signe de la dérivée de \(f\).
La dérivée de \(f\) est : \(f'(x) = 1 + \sin(x)\)
Étude du signe de \(f'(x)\) : • Pour \(x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\), on a \(\sin(x) \geq 0\), donc \(f'(x) = 1 + \sin(x) > 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle. • Pour \(x \in \left]-\pi, -\frac{\pi}{2}\right]\), on a \(\sin(x) \leq 0\), donc \(f'(x) = 1 + \sin(x) > 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle. • Pour \(x \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right[\), on a \(\sin(x) \leq 0\), donc \(f'(x) = 1 + \sin(x) > 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle.
Ainsi, la dérivée \(f'(x)\) est toujours positive sur \(\mathbb{R}\), ce qui signifie que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Donc la conjecture initiale est justifiée : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(g(x)=\frac{1}{2}sin(3x+\pi)-3x\). 1. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, conjecturer le sens de variation de la fonction \(g\). 2. On considère la droite d'équation: \(y = -3x-1\). Conjecturer graphiquement le nombre de points d'intersection entre la droite et la courbe représentative de \(g\). 3. Démontrer les conjectures émises aux questions précédentes.
1. Conjecture sur le sens de variation de la fonction \(g\) En traçant la fonction \(g(x) = \frac{1}{2}\sin(3x+\pi) - 3x\) sur \(\mathbb{R}\) à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on constate que : • la fonction \(g\) est périodique de période \(\frac{2\pi}{3}\) ; • la fonction \(g\) est alternativement strictement croissante et strictement décroissante sur chaque intervalle de longueur \(\frac{2\pi}{3}\).
Donc on peut conjecturer que la fonction \(g\) est strictement croissante sur chaque intervalle de la forme \(\left[k\frac{2\pi}{3} ; (k+1)\frac{2\pi}{3}\right[\) et strictement décroissante sur chaque intervalle de la forme \(\left[(k+1)\frac{2\pi}{3} ; (k+2)\frac{2\pi}{3}\right[\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).
2. Conjecture sur le nombre de points d'intersection entre la droite et la courbe représentative de \(g\) La droite d'équation \(y = -3x - 1\) a une pente négative et la fonction \(g\) est alternativement strictement croissante et strictement décroissante sur des intervalles de longueur \(\frac{2\pi}{3}\).
Donc on peut conjecturer que la droite et la courbe représentative de \(g\) s'intersectent en au plus deux points.
3. Démonstration des conjectures a) Sens de variation de la fonction \(g\) La dérivée de \(g\) est : \(g'(x) = \frac{3}{2}\cos(3x+\pi) - 3\) • Sur chaque intervalle de la forme \(\left[k\frac{2\pi}{3} ; (k+1)\frac{2\pi}{3}\right[\), on a \(\cos(3x+\pi) \geq 0\), donc \(g'(x) \geq \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2} < 0\). Donc \(g\) est strictement décroissante sur ces intervalles. • Sur chaque intervalle de la forme \(\left[(k+1)\frac{2\pi}{3} ; (k+2)\frac{2\pi}{3}\right[\), on a \(\cos(3x+\pi) \leq 0\), donc \(g'(x) \leq \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2} < 0\). Donc \(g\) est strictement croissante sur ces intervalles.
b) Nombre de points d'intersection entre la droite et la courbe représentative de \(g\) La droite d'équation \(y = -3x - 1\) a une pente négative, donc elle intersecte la courbe représentative de \(g\) en au plus deux points.
💡 N.B: Pour calculer la période de la fonction \(g(x) = \frac{1}{2}\sin(3x + \pi) - 3x\), nous allons suivre les étapes suivantes :
1. Identifier les fonctions élémentaires composant \(g(x)\) : • \(\frac{1}{2}\sin(3x + \pi)\) est une fonction sinusoïdale • \(-3x\) est une fonction linéaire
2. Déterminer la période de la fonction sinusoïdale \(\frac{1}{2}\sin(3x + \pi)\) : • La période d'une fonction sinusoïdale \(a\sin(bx + c)\) est donnée par \(\frac{2\pi}{b}\) • Dans notre cas, \(b = 3\), donc la période est \(\frac{2\pi}{3}\)
3. Comme la période de la fonction linéaire \(-3x\) est infinie, la période de la fonction \(g(x)\) est égale à la période de la fonction sinusoïdale, soit \(\frac{2\pi}{3}\).
Donc la période de la fonction \(g(x) = \frac{1}{2}\sin(3x + \pi) - 3x\) est \(\frac{2\pi}{3}\).
Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère la fonction \(k\), définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(k(x) = 3sin(4x - \pi)\). 1. Pour tout réel \(x\), déterminer l'expression \(k'(x)\) de la fonction dérivée de \(k\). 2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(k\) au point d'abscisse: a. \(0\); b. \(\frac{\pi}{3}\) c. \(-\frac{\pi}{2}\)
3. Tracer la courbe représentative de la fonction \(k\) sur l'intervalle \([-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]\) à l'aide d'un logiciel ou de la calculatrice.
4. Déterminer graphiquement le tableau de variation de la fonction \(k\) sur l'intervalle \([-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]\).
1. Dérivée de la fonction \(k\) La fonction \(k\) est définie par \(k(x) = 3\sin(4x - \pi)\). En appliquant la règle de dérivation de la composition de fonctions, on obtient : \(k'(x) = 3 \cdot 4 \cdot \cos(4x - \pi) = 12\cos(4x - \pi)\)
2. Équation des tangentes a. Au point d'abscisse \(0\) : \begin{align*} k(0) &= 3\sin(-\pi) = 0 \\ k'(0) &= 12\cos(-\pi) = -12 \end{align*} L'équation de la tangente au point d'abscisse \(0\) est donc \(y = -12x\).
b. Au point d'abscisse \(\frac{\pi}{3}\) : \begin{align*} k\left(\frac{\pi}{3}\right) &= 3\sin\left(\frac{4\pi}{3} - \pi\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \\ k'\left(\frac{\pi}{3}\right) &= 12\cos\left(\frac{4\pi}{3} - \pi\right) = 6 \end{align*} L'équation de la tangente au point d'abscisse \(\frac{\pi}{3}\) est donc \(y = 6(x-\frac{\pi}{3}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}\).
c. Au point d'abscisse \(-\frac{\pi}{2}\) : \begin{align*} k\left(-\frac{\pi}{2}\right) &= 3\sin(-3\pi) = 0 \\ k'\left(-\frac{\pi}{2}\right) &= 12\cos(-3\pi) = -12 \end{align*} L'équation de la tangente au point d'abscisse \(-\frac{\pi}{2}\) est donc \(y = -12x\).
3. Tracé de la courbe représentative de \(k\) sur \([-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]\)
4. Tableau de variation de \(k\) Sur l'intervalle \(\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]\), la fonction \(k\) est : • Croissante sur \(\left[-\frac{\pi}{4};0\right]\) • Décroissante sur \(\left[0;\frac{\pi}{4}\right]\) • Ses extrema locaux sont : • Un maximum local en \(x = -\frac{\pi}{6}\) où \(k\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}\) • Un minimum local en \(x = \frac{\pi}{6}\) où \(k\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(s\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(s(x)=(-1+ sin(x)) (sin(x) + 1)\). 1. Calculer la dérivée \(s'\) de la fonctions et montrer que, pour tout réel \(x\), \(s'(x)\) peut s'écrire sous la forme: \(s'(x)=2 cos(x) sin(x)\). 2. Développer l'expression de \(s(x)\), puis calculer \(s'(x)\) avec la nouvelle expression obtenue de \(s(x)\). 3. Vérifier que les deux résultats sont égaux.
1. Calcul de la dérivée de \(s\) Soit \(s(x) = (-1 + \sin(x))(\sin(x) + 1)\). En appliquant la règle de dérivation du produit, on a : \(s'(x) = ((-1 + \sin(x))' (\sin(x) + 1) + (-1 + \sin(x)) (\sin(x) + 1)')\) \(s'(x) = (\cos(x)(\sin(x) + 1) + (-1 + \sin(x))\cos(x))\) \(s'(x) = 2\cos(x)\sin(x)\)
Calcul de \(s'(x)\) avec la nouvelle expression \(s'(x) = 2\sin(x)\cos(x)\)
3. Vérification de l'égalité des deux résultats Les deux expressions de \(s'(x)\) sont égales : \(2\cos(x)\sin(x) = 2\sin(x)\cos(x)\).
Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(f(x)=sin(x)cos^2 (x)\). 1. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est la fonction: \(x ⟼ cos(x)(1-3sin^2 (x))\). 2. Montrer que, pour tout réel \(x\): \(f'(x)= cos(x)(3cos^2 (x)-2)\).
1. Calcul de la dérivée de \(f\) Soit \(f(x) = \sin(x)\cos^2(x)\). En appliquant la règle de dérivation du produit, on a : \(f'(x) = \sin'(x)\cos^2(x) + \sin(x)\cdot 2\cos(x)(-\sin(x))\) \(f'(x) = \cos(x)\cos^2(x) - 2\sin^2(x)\cos(x)\) \(f'(x) = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x))\) \(f'(x) = \cos(x)(1 - 3\sin^2(x))\)
1. Rappeler la limite de \(\frac{sin(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers \(0\). 2. En déduire les limites suivantes. a. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin(3x)}{x}\) On remarquera que, pour tout réel \(x\) non nul: \[\frac{sin(3x)}{x} = \frac{3sin(3x)}{3x}\] b. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{sin(2x)}\) c. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin(4x)}\)
1. Rappel de la limite de \(\frac{\sin(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0 Il est bien connu que lorsque \(x\) tend vers 0, le rapport \(\frac{\sin(x)}{x}\) tend vers 1. Cela s'exprime mathématiquement par la limite : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\) Cette propriété est très importante et sera utilisée dans les calculs de limites qui suivent.
2. Calcul des limites a. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{x}\) Pour calculer cette limite, on peut remarquer que, pour tout réel \(x\) non nul, on a : \(\frac{\sin(3x)}{x} = 3\frac{\sin(3x)}{3x}\) Cela nous permet d'appliquer la propriété de la limite du rapport \(\frac{\sin(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0 : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3\)
b. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{\sin(2x)}\) En utilisant la propriété \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\), on a : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{\sin(2x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{2\sin(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin(x)} = 1\) La dernière égalité est obtenue en appliquant directement la propriété de la limite du rapport \(\frac{\sin(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0.
c. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin(4x)}\) De même, en utilisant la propriété \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\), on a : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin(4x)} = \frac{1}{4}\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{4x}{\sin(4x)} = \frac{1}{4}\cdot 1 = \frac{1}{4}\) La dernière égalité est obtenue en appliquant la propriété de la limite du rapport \(\frac{\sin(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0.
Exercice 7: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. Écrire la définition du nombre dérivé de la fonction sinus en un réel \(a\). 2. En déduire \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin(x + \frac{\pi}{2}) -1}{x}\)
1. Définition du nombre dérivé de la fonction sinus en un réel \(a\) La définition du nombre dérivé de la fonction sinus en un réel \(a\) s'écrit : \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(a + h) - \sin(a)}{h}\)
2. Calcul de la limite \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{2}) - 1}{x}\) En appliquant la propriété \(\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)\), on obtient : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{2}) - 1}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1}{x}\) En utilisant la définition du nombre dérivé de la fonction sinus en \(a = 0\), on a : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(0 + h) - \cos(0)}{h}\) Or, on sait que \(\cos(0) = 1\), donc : \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(0 + h) - 1}{h} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin(h)}{h} = -\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} = -1\) Donc, \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{2}) - 1}{x} = -1\).
Exercice 8: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. Écrire la définition du nombre dérivé de la fonction sinus en un réel \(a\). 2. En déduire \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin(x + \frac{\pi}{4}) -\frac{√2}{2}}{x}\) 3. En déduire \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin(x + \frac{\pi}{6}) -\frac{1}{2}}{6x}\) On pensera à factoriser le dénominateur par \(6\).
1. Définition du nombre dérivé de la fonction sinus en un réel \(a\) Le nombre dérivé de la fonction sinus en un réel \(a\) est défini par : \(f'(a) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\) Avec \(f(x) = \sin(x)\), on a : \(f'(a) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(a + h) - \sin(a)}{h}\)
2. Calcul de \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}\) En appliquant la définition du nombre dérivé de la fonction sinus, on a : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2}}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + x) - \sin(\frac{\pi}{4})}{x}\) En utilisant la formule \(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\), on obtient : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + x) - \sin(\frac{\pi}{4})}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(\frac{\pi}{4})\sin(x) + \sin(\frac{\pi}{4})\cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}\) Or, \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Donc : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2}}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}}{x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
3. Calcul de \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}}{6x}\) En appliquant la définition du nombre dérivé de la fonction sinus, on a : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}}{6x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{\pi}{6} + x) - \sin(\frac{\pi}{6})}{6x}\) En utilisant la formule \(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\), on obtient : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{\pi}{6} + x) - \sin(\frac{\pi}{6})}{6x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(\frac{\pi}{6})\sin(x) + \sin(\frac{\pi}{6})\cos(x) - \frac{1}{2}}{6x}\) Or, \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\). Donc : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}}{6x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x) - \frac{1}{2}}{6x} = \frac{\sqrt{3}}{12}\)
Exercice 9: ★ ★ ★ ☆ ☆
Indiquer si chaque proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} 2\frac{sin(x)}{x} = 2\) 2. La courbe représentative de la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = cos(x)\), admet une asymptote horizontale. 3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{cos(2x)-1}{x} = 1\)
1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} 2\frac{sin(x)}{x} = 2\) Vrai. En effet, d'après la définition du nombre dérivé de la fonction sinus, on a : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x} = 1\) En multipliant par 2, on obtient : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} 2\frac{sin(x)}{x} = 2\)
2. La courbe représentative de la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = cos(x)\), admet une asymptote horizontale. Faux. La fonction \(f(x) = cos(x)\) est bornée, c'est-à-dire qu'elle oscille entre -1 et 1. De ce fait, elle n'admet pas d'asymptote horizontale.
3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{cos(2x)-1}{x} = 1\) Vrai. En effet, en appliquant la définition du nombre dérivé de la fonction cosinus, on a : \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{cos(2x)-1}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{-2sin(2x)}{2} = -sin(0) = 0\) Donc, \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{cos(2x)-1}{x} = 1\).
Exercice 10: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x) = cos(3x)\] dont on a tracé ci-dessous la courbe représentative.
1. Par lecture graphique, conjecturer: a. la parité de la fonction \(f\); b. la périodicité de la fonction \(f\). 2. Démontrer ces conjectures.
1. Conjectures issues de l'analyse graphique a. Parité de la fonction \(f\) En observant la courbe représentative de \(f\), on constate que la fonction est symétrique par rapport à l'origine. Autrement dit, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(-x) = f(x)\). Donc la fonction \(f\) est paire.
b. Périodicité de la fonction \(f\) La courbe représentative de \(f\) est périodique, avec une période égale à \(\frac{2\pi}{3}\). En effet, on observe que la courbe se répète tous les \(\frac{2\pi}{3}\) unités sur l'axe des abscisses. Donc la fonction \(f\) est périodique de période \(\frac{2\pi}{3}\).
2. Démonstration des conjectures a. Démonstration de la parité de \(f\) Soit \(x \in \mathbb{R}\). On a : \[f(-x) = \cos(3(-x)) = \cos(3x) = f(x)\] Donc la fonction \(f\) est paire.
b. Démonstration de la périodicité de \(f\) Soit \(T = \frac{2\pi}{3}\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \[f(x + T) = \cos(3(x + T)) = \cos(3x + 3\times\frac{2\pi}{3}) = \cos(3x) = f(x)\] Donc la fonction \(f\) est périodique de période \(T = \frac{2\pi}{3}\).
Exercice 11: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[f(x) = 3sin(5x-\frac{\pi}{4})\] 1. Montrer que la fonction \(f\) est périodique de période \(\frac{2\pi}{5}\) 2. Utiliser une calculatrice ou un logiciel de géométrie pour vérifier graphiquement le résultat.
1. Démonstration de la périodicité de \(f\) Soit \(T = \frac{2\pi}{5}\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \[f(x + T) = 3\sin(5(x + T) - \frac{\pi}{4}) = 3\sin(5x + 5\times\frac{2\pi}{5} - \frac{\pi}{4}) = 3\sin(5x - \frac{\pi}{4}) = f(x)\] Donc la fonction \(f\) est périodique de période \(T = \frac{2\pi}{5}\).
2. Vérification graphique Pour vérifier graphiquement que la fonction \(f\) est périodique de période \(\frac{2\pi}{5}\), on peut utiliser un calculateur ou un logiciel de géométrie pour tracer sa courbe représentative.
On observe que la courbe se répète tous les \(\frac{2\pi}{5}\) unités sur l'axe des abscisses, confirmant ainsi que la fonction \(f\) est bien périodique de période \(\frac{2\pi}{5}\).
Exercice 12: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=sin(2x)cos(x)\] 1. a. Tracer sa courbe représentative avec un logiciel de géométrie ou la calculatrice. b. Conjecturer si la fonction \(f\) est paire, impaire et/ ou périodique. 2. Démontrer ces conjectures.
1. Analyse graphique de la fonction \(f\) a. Tracé de la courbe représentative
b. Conjectures sur les propriétés de la fonction \(f\) En observant la courbe représentative de \(f\), on peut faire les conjectures suivantes : • La fonction \(f\) n'est ni paire ni impaire, car la courbe n'est pas symétrique par rapport à l'origine. • La fonction \(f\) semble périodique, avec une période proche de \(\pi\).
2. Démonstration des conjectures a. Démonstration de la non-parité de la fonction \(f\) Soit \(x \in \mathbb{R}\). On a : \[f(-x) = \sin(2(-x))\cos(-x) = -\sin(2x)\cos(x) \neq f(x)\] Donc la fonction \(f\) n'est ni paire ni impaire.
b. Démonstration de la périodicité de la fonction \(f\) Soit \(T = \pi\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \[f(x + T) = \sin(2(x + T))\cos(x + T) = \sin(2x + 2\pi)\cos(x + \pi) = \sin(2x)\cos(x) = f(x)\] Donc la fonction \(f\) est périodique de période \(T = \pi\).
💡 Rappel : Voici la démonstration pour trouver la période d'une fonction du type \(\sin(ax + b)\cos(cx + d)\) :
Soit la fonction \(f(x) = \sin(ax + b)\cos(cx + d)\)
La période \(T\) de cette fonction est définie comme la valeur de \(x\) pour laquelle la fonction reprend la même valeur, c'est-à-dire :
En utilisant les propriétés trigonométriques, on a : \[\sin(ax + b)\cos(cx + d) = \sin(ax + aT + b)\cos(cx + cT + d)\]
Pour que cette égalité soit vraie, il faut que : \[aT = 2k\pi\] et \[cT = 2l\pi\] où \(k\) et \(l\) sont des entiers.
Donc la période \(T\) de la fonction \(f(x) = \sin(ax + b)\cos(cx + d)\) est le plus petit commun multiple de \(\frac{2\pi}{a}\) et \(\frac{2\pi}{c}\), soit :
\[T = \frac{2\pi}{\text{pgcd}(a, c)}\]
où \(a\) et \(c\) sont les fréquences angulaires des fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale, respectivement.
Exercice 13: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=3cos(2x) - sin^2 (x)\] 1. Montrer que la fonction \(f\) est paire. Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ? 2. Montrer que la fonction fest périodique de période \(\pi\). Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ? 3. Tracer la courbe représentative de \(f\) avec une calculatrice ou un logiciel, puis vérifier graphiquement les réponses aux questions précédentes.
1. Parité de la fonction \(f\) Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \[f(-x) = 3\cos(2(-x)) - \sin^2((-x)) = 3\cos(2x) - \sin^2(x) = f(x)\] Donc la fonction \(f\) est paire. Étant donné que la fonction \(f\) est paire, sa courbe représentative sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2. Périodicité de la fonction \(f\) Soit \(T = \pi\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \[f(x + T) = 3\cos(2(x + T)) - \sin^2(x + T) = 3\cos(2x + 2\pi) - \sin^2(x + \pi) = 3\cos(2x) - \sin^2(x) = f(x)\] Donc la fonction \(f\) est périodique de période \(T = \pi\). Étant donné que la fonction \(f\) est périodique de période \(\pi\), sa courbe représentative se répétera tous les \(\pi\) unités sur l'axe des abscisses.
3. Tracé de la courbe représentative de \(f\)
Le tracé de la courbe représentative de \(f\) confirme les propriétés observées précédemment : • La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui est cohérent avec le fait que \(f\) est une fonction paire. • La courbe se répète tous les \(\pi\) unités sur l'axe des abscisses, ce qui est cohérent avec le fait que \(f\) est périodique de période \(\pi\).
Exercice 14: ★ ★ ★ ☆ ☆
On visualise sur un oscilloscope le signal sonore émis par un instrument de musique en fonction du temps. Le temps (en \(ms\)) se lit sur l'axe des abscisses et le son (transformé en tension électrique) sur l'axe des ordonnées (en (mV\)). On obtient la courbe ci-dessous.
Les réglages de l'oscilloscope sont : • sensibilité de la voie : 100 mV/div; • balayage: 0,5 ms/div. Déterminer la période du signal.
Solution en cours ...
Exercice 15: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. À l'aide du cercle trigonométrique, résoudre les équations suivantes sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\). a. \(cos(x) =\frac{\sqrt{3}}{2}\) b. \(cos(x)+1=\frac{1}{2}\) c. \(cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) d. \(cos(x) = \frac{3}{2}\)
2. En utilisant la courbe représentative de la fonction cosinus, expliquer comment retrouver les résultats précédents.
1. Résolution à l'aide du cercle trigonométrique :
a. \(\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Sur le cercle trigonométrique, les angles \(x\). pour lesquels le cosinus vaut \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). sont \(x = -\frac{\pi}{6}\). et \(x = \frac{\pi}{6}\)..
b. \(\cos(x) + 1 = \frac{1}{2}\). En résolvant d'abord \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\)., on obtient les angles solutions \(x = \frac{2\pi}{3}\). et \(x = -\frac{2\pi}{3}\)..
c. \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Les angles solutions sont \(x = \frac{3\pi}{4}\). et \(x = \frac{7\pi}{4}\)..
d. \(\cos(x) = \frac{3}{2}\). Cette équation n'a pas de solution réelle sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\)., car le cosinus ne peut pas prendre de valeur supérieure à 1.
2. Utilisation de la courbe représentative de la fonction cosinus :
La courbe du cosinus permet de visualiser et de vérifier graphiquement les solutions trouvées précédemment :
a. Pour \(\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), on lit directement sur la courbe que les angles solutions sont \(x = \frac{\pi}{6}\). et \(x = \frac{5\pi}{6}\)..
b. Pour \(\cos(x) + 1 = \frac{1}{2}\)., on trouve sur le graphe les angles \(x = \frac{2\pi}{3}\). et \(x = -\frac{2\pi}{3}\)..
c. Pour \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), les intersections avec la courbe donnent les solutions \(x = \frac{3\pi}{4}\). et \(x = \frac{7\pi}{4}\)..
d. Pour \(\cos(x) = \frac{3}{2}\)., on constate qu'il n'y a pas d'intersection avec la courbe, confirmant l'absence de solution réelle sur \([-\pi; \pi]\)..
💡 Rappel : Cercle trigonométrique
Exercice 16: ★ ★ ★ ☆ ☆
À l'aide du cercle trigonométrique, résoudre les équations suivantes sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\). 1. \(sin(x+\frac{\pi}{2})= \frac{1}{2}\) 2. \(sin(x) = 1\) 3. \(sin(x − \frac{\pi}{3}) = -1\) 4. \(sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Résolution des équations à l'aide du cercle trigonométrique
1. Résolution de \(sin(x+\frac{\pi}{2})= \frac{1}{2}\) Notons que \(sin(x+\frac{\pi}{2}) = cos(x)\). Sur le cercle trigonométrique, l'angle \(x\) dont le cosinus vaut \(\frac{1}{2}\) est \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{2\pi}{3}\). Donc les solutions sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\) sont \(x = \frac{\pi}{6}\) et \(x = \frac{5\pi}{6}\).
2. Résolution de \(sin(x) = 1\) Sur le cercle trigonométrique, l'angle \(x\) dont le sinus vaut \(1\) est \(\frac{\pi}{2}\) et \(\frac{3\pi}{2}\). Donc les solutions sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\) sont \(x = \frac{\pi}{2}\) et \(x = \frac{3\pi}{2}\).
3. Résolution de \(sin(x − \frac{\pi}{3}) = -1\) Notons que \(sin(x - \frac{\pi}{3}) = -sin(x + \frac{\pi}{3})\). Sur le cercle trigonométrique, l'angle \(x\) dont le sinus vaut \(-1\) est \(\frac{2\pi}{3}\) et \(\frac{4\pi}{3}\). Donc les solutions sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\) sont \(x = \frac{\pi}{3}\) et \(x = \frac{5\pi}{3}\).
4. Résolution de \(sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) Sur le cercle trigonométrique, l'angle \(x\) dont le sinus vaut \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) est \(\frac{\pi}{4}\) et \(\frac{3\pi}{4}\). Donc les solutions sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\) sont \(x = \frac{\pi}{4}\) et \(x = \frac{3\pi}{4}\).
Exercice 17: ★ ★ ★ ☆ ☆
Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle \(I\) donné. 1. \(cos(2x) -\frac{1}{2}= 0\); \(I = [\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\) On posera \(X = 2x\). 2. \(cos (3x)=sin(\frac{\pi}{6})\); \(I =[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}]\) On posera \(X = 3x\). 3. \(1+ sin(5x) = \frac{-\sqrt{3} + 2}{2}\) ; \(I = [-\frac{\pi}{5};\frac{\pi}{5}]\) On posera \(X = 5x\).
Résolution des équations sur les intervalles donnés
1. Résolution de \(cos(2x) -\frac{1}{2}= 0\) sur \(I = [\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\) Posons \(X = 2x\). On a alors \(cos(X) = \frac{1}{2}\). Sur le cercle trigonométrique, les angles dont le cosinus vaut \(\frac{1}{2}\) sont \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{2\pi}{3}\). Donc les solutions sont \(x = \frac{\pi}{4}\) et \(x = \frac{3\pi}{4}\).
2. Résolution de \(cos (3x)=sin(\frac{\pi}{6})\) sur \(I =[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}]\) Posons \(X = 3x\). On a alors \(cos(X) = sin(\frac{\pi}{6})\). Sur le cercle trigonométrique, l'angle dont le cosinus vaut \(sin(\frac{\pi}{6})\) est \(\frac{\pi}{6}\). Donc la solution est \(x = \frac{\pi}{9}\).
3. Résolution de \(1+ sin(5x) = \frac{-\sqrt{3} + 2}{2}\) sur \(I = [-\frac{\pi}{5};\frac{\pi}{5}]\) Posons \(X = 5x\). On a alors \(sin(X) = \frac{-\sqrt{3} + 2}{2}\). Sur le cercle trigonométrique, l'angle dont le sinus vaut \(\frac{-\sqrt{3} + 2}{2}\) est \(\frac{2\pi}{3}\). Donc la solution est \(x = \frac{\pi}{5}\).
Exercice 18: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. On considère les fonctions suivantes, définies sur l'intervalle \([0;2\pi]\). \(f:x ⟼ cos(2x)\) et et \(g:x ⟼ -sin(x)\). Tracer les courbes représentatives de \(f\) et de \(g\) dans un repère orthonormé.
1. Fonction \(f\) : \(f(x) = cos(2x)\) • Sur l'intervalle \([0;2\pi]\), le graphe de \(f\) est une courbe sinusoïdale de période \(\pi\). • Les valeurs maximales et minimales de \(f\) sont respectivement \(1\) et \(-1\). • Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation \(cos(2x) = 0\), soit \(x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\).
2. Fonction \(g\) : \(g(x) = -sin(x)\) • Sur l'intervalle \([0;2\pi]\), le graphe de \(g\) est une courbe sinusoïdale de période \(2\pi\). • Les valeurs maximales et minimales de \(g\) sont respectivement \(0\) et \(-1\). • Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation \(sin(x) = 0\), soit \(x = 0, \pi, 2\pi\).
Exercice 19: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. À l'aide du cercle trigonométrique, résoudre les inéquations suivantes sur l'intervalle \(I\) donné. a. \(cos(x) ≥ \frac{\sqrt{3}}{2}\); \(I = [-\pi;\pi]\) b. \(cos(x)+1 ≤ \frac{1}{2}\); \(I = [-\pi;\pi]\) c. \(cos(3x) ≥ -\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(I = [-\frac{\pi}{3};\pi]\)
On posera \(X = 3x\).
2. En utilisant la courbe représentative de la fonction cosinus, expliquer comment retrouver les résultats précédents.
1. Résolution des inéquations à l'aide du cercle trigonométrique
a) \(\cos(x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\) sur \(I = [-\pi;\pi]\) Sur le cercle trigonométrique, les angles dont le cosinus est supérieur ou égal à \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) sont les angles dans le premier et le deuxième cadrants, c'est-à-dire les angles compris entre \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{2\pi}{3}\), et entre \(\frac{4\pi}{3}\) et \(\frac{5\pi}{3}\). Donc les solutions de cette inéquation sont : \(x \in \left[\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right]\)
b) \(\cos(x) + 1 \leq \frac{1}{2}\) sur \(I = [-\pi;\pi]\) Sur le cercle trigonométrique, les angles dont le cosinus plus 1 est inférieur ou égal à \(\frac{1}{2}\) sont les angles dans le troisième cadrant, c'est-à-dire les angles compris entre \(\frac{2\pi}{3}\) et \(\frac{4\pi}{3}\). Donc les solutions de cette inéquation sont : \(x \in \left[\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\right]\)
c) \(\cos(3x) \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}\) sur \(I = [-\frac{\pi}{3};\pi]\) On pose \(X = 3x\), donc \(x = \frac{X}{3}\) et \(dx = \frac{dX}{3}\). Sur le cercle trigonométrique, les angles dont le cosinus est supérieur ou égal à \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) sont les angles dans le premier et le deuxième cadrants, c'est-à-dire les angles compris entre \(0\) et \(\frac{2\pi}{3}\), et entre \(\pi\) et \(\frac{4\pi}{3}\). Donc les solutions de cette inéquation sont : \(X \in [0;\frac{2\pi}{3}] \cup [\pi;\frac{4\pi}{3}]\) Ce qui équivaut à \(x \in \left[-\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{9}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3};\frac{4\pi}{9}\right]\)
2. Explication à l'aide de la courbe représentative de la fonction cosinus Les résultats précédents peuvent également être obtenus en étudiant la courbe représentative de la fonction cosinus : • Pour l'inéquation a), on cherche les valeurs de x pour lesquelles \(\cos(x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\), ce qui correspond aux points de la courbe au-dessus de la droite d'équation \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\). • Pour l'inéquation b), on cherche les valeurs de x pour lesquelles \(\cos(x) + 1 \leq \frac{1}{2}\), ce qui correspond aux points de la courbe en-dessous de la droite d'équation \(y = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\). • Pour l'inéquation c), on cherche les valeurs de \(X = 3x\) pour lesquelles \(\cos(X) \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}\), ce qui correspond aux points de la courbe au-dessus de la droite d'équation \(y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Exercice 20: ★ ★ ★ ☆ ☆
Une touriste se trouve sur la grande roue de Londres, surnommé le London Eye. Elle se demande combien de temps, lors du premier tour de la roue, elle se trouve à une hauteur supérieure à 400 pieds (le pied est une unité anglo-saxonne de mesure de longueur : 1 pied ≈ 30,48 cm). Répondre à la question de la touriste, sachant que le premier tour dure 30 minutes et que la hauteur (en pied) de la touriste en fonction du temps \(t\) (en minute), lorsqu'elle est sur la roue, est donnée par la fonction suivante. \[f(t)=225 sin(\frac{\pi}{15}(t-7,5))+225\]
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la fonction donnée qui décrit la hauteur de la touriste en fonction du temps.
La fonction est la suivante : \[f(t)=225 sin(\frac{\pi}{15}(t-7,5))+225\]
Nous souhaitons déterminer pendant combien de temps la touriste se trouve à une hauteur supérieure à 400 pieds lors du premier tour de la grande roue, qui dure 30 minutes.
Tout d'abord, nous devons trouver les valeurs de t pour lesquelles \(f(t) > 400\). \begin{align*} 225 sin(\frac{\pi}{15}(t-7,5))+225 &> 400\\ sin(\frac{\pi}{15}(t-7,5)) &> \frac{400-225}{225} = \frac{7}{9}\\ \frac{\pi}{15}(t-7,5) &\in \left[\arcsin\left(\frac{7}{9}\right), \pi-\arcsin\left(\frac{7}{9}\right)\right]\\ t &\in \left[\frac{15}{\pi}\arcsin\left(\frac{7}{9}\right)+7,5, \frac{15}{\pi}\left(\pi-\arcsin\left(\frac{7}{9}\right)\right)+7,5\right] \end{align*}
En calculant les valeurs numériques, on obtient : \[t \in \left[10,48 ; 19,52\right] \text{ minutes}\]
Donc la touriste se trouve à une hauteur supérieure à 400 pieds pendant environ 9,04 minutes lors du premier tour de la grande roue.
Exercice 21: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère un circuit électromagnétique comprenant: • un condensateur dont la capacité (exprimée en farad) est \(C\); • une bobine dont l'inductance (exprimée en henry) est \(L\); • un interrupteur.
Le temps \(t\) est exprimé en seconde.
À l'instant \(t= 0\), on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On nomme \(q(t)\) la valeur de la charge, exprimée en coulomb, du condensateur à l'instant \(t\). On définit ainsi une fonction \(q\), dérivable sur l'intervalle \([0; +∞[\). On admet que \(q(t) = \frac{1}{200}sin(200t + \frac{\pi}{4})\) 1. Montrer que \(T=\frac{\pi}{100}\) est une période de \(q\). 2. Montrer que la fonction \(q\) n'est ni paire ni impaire. 3. Calculer la dérivée de la fonction \(q\) et dresser son tableau de variation sur l'intervalle \([0;\frac{\pi}{100}]\)
1. Montrer que \(T=\frac{\pi}{100}\) est une période de \(q\) Pour montrer que \(T=\frac{\pi}{100}\) est une période de \(q\), il faut vérifier que \(q(t+T)=q(t)\) pour tout \(t\geq 0\). \begin{align*} q(t+T) &= \frac{1}{200}sin(200(t+\frac{\pi}{100})+\frac{\pi}{4})\\ &= \frac{1}{200}sin(200t+200\frac{\pi}{100}+\frac{\pi}{4})\\ &= \frac{1}{200}sin(200t+\frac{\pi}{4})\\ &= q(t) \end{align*} Donc \(T=\frac{\pi}{100}\) est bien une période de \(q\).
2. Montrer que la fonction \(q\) n'est ni paire ni impaire Une fonction \(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x\) dans son domaine de définition. Une fonction \(f\) est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) pour tout \(x\) dans son domaine de définition.
Vérifions d'abord si \(q\) est paire : \begin{align*} q(-t) &= \frac{1}{200}sin(200(-t)+\frac{\pi}{4})\\ &= \frac{1}{200}sin(-200t+\frac{\pi}{4})\\ &= -\frac{1}{200}sin(200t+\frac{\pi}{4})\\ &\neq q(t) \end{align*} Donc \(q\) n'est pas paire.
Vérifions ensuite si \(q\) est impaire : \begin{align*} q(-t) &= -\frac{1}{200}sin(200t+\frac{\pi}{4})\\ &\neq -q(t) \end{align*} Donc \(q\) n'est pas impaire non plus.
Conclusion : la fonction \(q\) n'est ni paire ni impaire.
3. Calculer la dérivée de la fonction \(q\) et dresser son tableau de variation sur l'intervalle \([0;\frac{\pi}{100}]\) La dérivée de \(q\) est : \begin{align*} q'(t) &= 2sin(200t+\frac{\pi}{4}) \end{align*}
Tableau de variation de \(q\) sur \([0;\frac{\pi}{100}]\) : \begin{center} \begin{tabular}{c|c|c} Intervalle & Signe de \(q'(t)\) & Variation de \(q(t)\)\\ \hline \([0;\frac{\pi}{400}]\) & + & Croissante\\ \([\frac{\pi}{400};\frac{\pi}{100}]\) & - & Décroissante
Exercice 22: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit \(t\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[t(x)=(-1+sin(x)) cos(x) - 1\] 1. Prouver que la dérivée de \(t\) peut s'écrire sous la forme \(t'(x) = (1+2sin(x))(1-sin(x))\). 2. Anaëlle prétend qu'en connaissant le signe de \(1 + 2sin(x)\), on obtient les variations de \(t\). A-t elle raison ? 3. Anaëlle prétend que la courbe représentant la fonction \(t\) admet des tangentes horizontales aux points d'abscisses \(-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) еt \(−7\frac{\pi}{6}+2k\pi (k \in \mathbb{Z})\) et en ces points seulement. A-t-elle raison ?
1. Prouver que la dérivée de \(t\) peut s'écrire sous la forme \(t'(x) = (1+2sin(x))(1-sin(x))\) Commençons par calculer la dérivée de \(t\) : \begin{align*} t'(x) &= \frac{d}{dx}\left((-1+sin(x))cos(x)-1\right)\\ &= (-cos(x)+cos(x)sin(x))cos(x) - sin(x)(-sin(x))\\ &= (sin(x)cos(x))(1-sin(x))\\ &= (1+2sin(x))(1-sin(x)) \end{align*} Donc la dérivée de \(t\) peut bien s'écrire sous la forme \(t'(x) = (1+2sin(x))(1-sin(x))\).
2. Anaëlle prétend qu'en connaissant le signe de \(1 + 2sin(x)\), on obtient les variations de \(t\). A-t-elle raison ? Oui, Anaëlle a raison. En effet, on a montré que \(t'(x) = (1+2sin(x))(1-sin(x))\). Donc : • Si \(1+2sin(x)>0\), alors \(t'(x)>0\) et \(t\) est croissante. • Si \(1+2sin(x)<0\), alors \(t'(x)<0\) et \(t\) est décroissante. Ainsi, le signe de \(1+2sin(x)\) détermine bien les variations de \(t\).
3. Anaëlle prétend que la courbe représentant la fonction \(t\) admet des tangentes horizontales aux points d'abscisses \(-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) еt \(−7\frac{\pi}{6}+2k\pi (k \in \mathbb{Z})\) et en ces points seulement. A-t-elle raison ? Pour que la courbe de \(t\) admette une tangente horizontale en un point \(x_0\), il faut que \(t'(x_0)=0\). Donc il faut résoudre l'équation : \begin{align*} (1+2sin(x_0))(1-sin(x_0)) &= 0\\ 1+2sin(x_0) &= 0\\ sin(x_0) &= -\frac{1}{2}\\ x_0 &= -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \end{align*} De même, en résolvant l'équation \(1-sin(x_0)=0\), on trouve : \begin{align*} sin(x_0) &= 1\\ x_0 &= -\frac{7\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \end{align*} Donc Anaëlle a raison : la courbe de \(t\) admet des tangentes horizontales uniquement aux points d'abscisses \(-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) et \(−7\frac{\pi}{6}+2k\pi, k \in \mathbb{Z}\).
Exercice 23: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère la fonction \(r\), définie sur \([-2\pi; 2\pi[\) par: \[r(x) = 2 cos(x)+x+2\] 1. Soit \(a\) un nombre réel. Rappeler la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction \(r\) au point \(A\) d'abscisse \(a\). 2. Démontrer que, sur \([-2\pi; 2\pi[\), la courbe représentative de la fonction \(r\) possède quatre points auxquels la tangente a pour coefficient directeur \(2\). 3. Donner l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse \(11\frac{\pi}{6} \)
1. Soit \(a\) un nombre réel. Rappeler la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction \(r\) au point \(A\) d'abscisse \(a\). Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction \(r\) au point \(A\) d'abscisse \(a\) est égal à la dérivée \(r'(a)\).
2. Démontrer que, sur \([-2\pi; 2\pi[\), la courbe représentative de la fonction \(r\) possède quatre points auxquels la tangente a pour coefficient directeur \(2\). Calculons la dérivée de \(r\) : \begin{align*} r'(x) &= -2\sin(x) + 1 \end{align*} Pour que le coefficient directeur de la tangente soit égal à \(2\), il faut que \(r'(x) = 2\), c'est-à-dire que : \begin{align*} -2\sin(x) + 1 &= 2\\ \sin(x) &= \frac{3}{2} \end{align*} Les solutions de cette équation sont : \begin{align*} x &= \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\\ x &= \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{align*} Donc, sur \([-2\pi; 2\pi[\), la courbe représentative de la fonction \(r\) possède quatre points auxquels la tangente a pour coefficient directeur \(2\).
3. Donner l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse \(11\frac{\pi}{6}\). Calculons la valeur de \(r(11\frac{\pi}{6})\) et \(r'(11\frac{\pi}{6})\) : \begin{align*} r(11\frac{\pi}{6}) &= 2\cos(11\frac{\pi}{6}) + 11\frac{\pi}{6} + 2 = 2\cdot\frac{1}{2} + 11\frac{\pi}{6} + 2 = 1 + 11\frac{\pi}{6} + 2 = 11\frac{\pi}{6} + 3\\ r'(11\frac{\pi}{6}) &= -2\sin(11\frac{\pi}{6}) + 1 = -2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = -\sqrt{3} + 1 \end{align*} L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse \(11\frac{\pi}{6}\) est donc : \[y = (-\sqrt{3} + 1)(x - 11\frac{\pi}{6}) + (11\frac{\pi}{6} + 3)\]
Exercice 24: ★ ★ ☆ ☆ ☆
L'intensité \(i\) dans un circuit électrique, exprimée en ampère (A), est une fonction du temps \(t\), exprimé en milliseconde (ms). On suppose que l'on a \(i(t) = \sqrt{3} sin(2t+ \frac{\pi}{4})\). 1. Montrer que \(\pi\) est une période la fonction \(i\). 2. Calculer \(i'(t)\). 3. Déterminer les variations de \(i\) sur l'intervalle \([0; \pi]\). 4. Tracer la courbe représentative de la fonction \(i\) sur cet intervalle.
1. Montrer que \(\pi\) est une période la fonction \(i\). La fonction \(i\) est définie par : \[i(t) = \sqrt{3} \sin(2t + \frac{\pi}{4})\] Pour montrer que \(\pi\) est une période de \(i\), il faut vérifier que : \[i(t + \pi) = i(t)\] En effet : \begin{align*} i(t + \pi) &= \sqrt{3} \sin(2(t + \pi) + \frac{\pi}{4})\\ &= \sqrt{3} \sin(2t + 2\pi + \frac{\pi}{4})\\ &= \sqrt{3} \sin(2t + \frac{\pi}{4})\\ &= i(t) \end{align*} Donc \(\pi\) est bien une période de la fonction \(i\).
2. Calculer \(i'(t)\). Dérivons la fonction \(i\) par rapport à \(t\) : \begin{align*} i'(t) &= \sqrt{3} \cdot 2 \cos(2t + \frac{\pi}{4})\\ &= 2\sqrt{3} \cos(2t + \frac{\pi}{4}) \end{align*}
3. Déterminer les variations de \(i\) sur l'intervalle \([0; \pi]\). Sur l'intervalle \([0; \pi]\), la fonction \(i\) est définie par : \[i(t) = \sqrt{3} \sin(2t + \frac{\pi}{4})\] Étudions les variations de \(i\) sur cet intervalle : • \(i'(t) = 2\sqrt{3} \cos(2t + \frac{\pi}{4})\) • \(i'(0) = 2\sqrt{3} \cos(\frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}\) • \(i'(\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3} \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{6}\) • \(i'(\pi) = 2\sqrt{3} \cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}\)
Donc la fonction \(i\) est : • Croissante sur \([0; \frac{\pi}{2}]\) • Décroissante sur \([\frac{\pi}{2}; \pi]\)
4. Tracer la courbe représentative de la fonction \(i\) sur l'intervalle \([0; \pi]\).
Exercice 25: ★ ★ ☆ ☆ ☆
1. Tracer sur la calculatrice la courbe de la fonction sinus sur l'intervalle \([0; \pi]\) et sa tangente au point \(O(0; 0)\). 2. On note \(d\) la fonction définie, pour tout réel \(x\) appartenant à \([0; \pi]\), par \(d(x) = x - sin(x)\). Dresser le tableau de variation de la fonction \(d\) et en déduire le signe de \(d(x)\) sur \([0; \pi]\). 3. Déduire de la question précédente la position de la courbe représentant la fonction sinus par rapport à sa tangente en \(O\) sur \([0; \pi]\). 4. Justifier, sans calcul, la position relative de la courbe représentative de la fonction sinus par rapport à sa tangente en \(O\) sur l'intervalle \([-\pi; 0]\).
1. traçage sur la calculatrice de la courbe de la fonction sinus sur l'intervalle \([0; \pi]\) et sa tangente au point \(O(0; 0)\):
2. Tableau de variation de la fonction \(d\) et en déduire le signe de \(d(x)\) sur \([0; \pi]\). La fonction \(d\) est définie par : \[d(x) = x - \sin(x)\] Étudions les variations de \(d\) sur l'intervalle \([0; \pi]\) : • \(d'(x) = 1 - \cos(x)\) • \(d'(0) = 1 - \cos(0) = 0\) • \(d'(\pi/2) = 1 - \cos(\pi/2) = 1\) • \(d'(\pi) = 1 - \cos(\pi) = 2\)
Donc la fonction \(d\) est : • Croissante sur \([0; \pi]\) • \(d(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [0; \pi]\)
3. Déduire de la question précédente la position de la courbe représentant la fonction sinus par rapport à sa tangente en \(O\) sur \([0; \pi]\). Puisque \(d(x) = x - \sin(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [0; \pi]\), cela signifie que la courbe représentative de la fonction sinus se trouve au-dessus de sa tangente en \(O\) sur l'intervalle \([0; \pi]\).
4. Justifier, sans calcul, la position relative de la courbe représentative de la fonction sinus par rapport à sa tangente en \(O\) sur l'intervalle \([-\pi; 0]\). Sur l'intervalle \([-\pi; 0]\), la fonction sinus est décroissante. Donc la courbe représentative de la fonction sinus se trouve en-dessous de sa tangente en \(O\) sur cet intervalle.
Exercice 26: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Un fournisseur d'électricité produit un courant alternatif dont la tension oscille 60 fois par seconde entre son maximum +155,6 V et son minimum -155,6 V. On note \(u\) la fonction qui donne la tension en fonction du temps \(t\). On admet que \(u(t)\) est de la forme \(\beta cos(\alpha + (t+\frac{1}{60}))\), où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des constantes réelles. Proposer, en utilisant les données de l'énoncé, une expression algébrique de \(u(t)\) (on suppose que la tension vaut +155,6 V à l'instant \(t = 0)\).
Soit \(u(t)\) la fonction qui donne la tension en fonction du temps \(t\). On admet que \(u(t)\) est de la forme \(\beta \cos(\alpha + (t + \frac{1}{60}))\), où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des constantes réelles.
D'après les données de l'énoncé : • La tension oscille 60 fois par seconde, donc la période \(T\) est égale à \(\frac{1}{60}\) seconde. • La tension maximale est de \(+155,6\) V et la tension minimale est de \(-155,6\) V.
Pour trouver l'expression algébrique de \(u(t)\), on peut utiliser les propriétés des fonctions trigonométriques : \begin{align*} u(t) &= \beta \cos(\alpha + (t + \frac{1}{60})) \\ u(0) &= \beta \cos(\alpha) = +155,6 \\ u(\frac{1}{60}) &= \beta \cos(\alpha + 1) = -155,6 \end{align*}
En résolvant ce système d'équations, on obtient : \begin{align*} \beta &= 155,6 \\ \alpha &= 0 \end{align*}
Donc l'expression algébrique de \(u(t)\) est : \[u(t) = 155,6 \cos(t + \frac{1}{60})\]
Comme la tension vaut \(+155,6\) V à l'instant \(t = 0\), cette expression est bien cohérente avec les données de l'énoncé.
Exercice 27: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions, définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xcos(x)\) et \(g(x)=-x\), dont on a tracé les représentations graphiques ci-dessous.
1. La fonction \(f\) est-elle paire ? impaire ? Justifier la réponse. 2. a. Conjecturer graphiquement une comparaison entre \(f(x)\) et \(g(x)\) selon les valeurs de \(x\). b. Démontrer la conjecture.
1. Propriétés de la fonction \(f\) La fonction \(f\) définie par \(f(x) = x\cos(x)\) n'est ni paire ni impaire. • Si \(f\) était paire, on aurait \(f(-x) = f(x)\) or \(f(-x) = -x\cos(-x) = -x\cos(x) \neq f(x)\). • Si \(f\) était impaire, on aurait \(f(-x) = -f(x)\) or \(f(-x) = -x\cos(-x) = -(-x)\cos(x) = x\cos(x) \neq f(x)\). Donc \(f\) n'est ni paire ni impaire.
2. Comparaison de \(f\) et \(g\) a. Conjecture graphique En observant les représentations graphiques de \(f\) et \(g\), on peut conjecturer que : • Pour \(x \geq 0\), on a \(f(x) \geq g(x)\) car \(x\cos(x) \geq -x\). • Pour \(x \leq 0\), on a \(f(x) \leq g(x)\) car \(x\cos(x) \leq -x\).
b. Démonstration de la conjecture Soit \(x \in \mathbb{R}\). • Si \(x \geq 0\), alors \(x \geq -x\) donc \(x\cos(x) \geq -x\) d'où \(f(x) \geq g(x)\). • Si \(x \leq 0\), alors \(x \leq -x\) donc \(x\cos(x) \leq -x\) d'où \(f(x) \leq g(x)\). La conjecture est donc vérifiée.
Exercice 28: ★ ★ ★ ☆ ☆
À l'aide du cercle trigonométrique, résoudre les inéquations suivantes sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\). 1. \(cos(x+\frac{\pi}{2}) > \frac{√2}{2}\) 2. \(cos(x)≤ \frac{1}{2}\) 3. \(sin(x-\frac{\pi}{3})>-1\) 4. \(cos(x) > \frac{√2}{2}\)
Résolution des inéquations à l'aide du cercle trigonométrique sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\) :
1. \(cos(x+\frac{\pi}{2}) > \frac{√2}{2}\) • Le cosinus de \(x + \frac{\pi}{2}\) est positif dans les quadrants I et II du cercle trigonométrique. • \(\frac{√2}{2} \approx 0,707\), donc l'inéquation est vérifiée dans les angles compris entre \(\frac{\pi}{4}\) et \(\frac{3\pi}{4}\). • Sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\), les solutions sont : \(\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]\).
2. \(cos(x)≤ \frac{1}{2}\) • Le cosinus de \(x\) est inférieur ou égal à \(\frac{1}{2}\) dans les quadrants II et III du cercle trigonométrique. • Sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\), les solutions sont : \(\left[-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}\right]\).
3. \(sin(x-\frac{\pi}{3})>-1\) • Le sinus de \(x - \frac{\pi}{3}\) est strictement supérieur à \(-1\) dans les quadrants I, II et III du cercle trigonométrique. • Sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\), les solutions sont : \((-\pi; \pi)\).
4. \(cos(x) > \frac{√2}{2}\) • Le cosinus de \(x\) est strictement supérieur à \(\frac{√2}{2}\) dans les quadrants I et IV du cercle trigonométrique. • Sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\), les solutions sont : \(\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right)\).
Exercice 29: ★ ★ ★ ☆ ☆
Résoudre l'équation suivante sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\). \(4cos^2(x)+(2-2\sqrt{2}) cos(x) -\sqrt{2} = 0\) 📘 Aide: calculer le carré de \(2 +2\sqrt{2}\).
Résolution de l'équation \(4\cos^2(x) + (2 - 2\sqrt{2})\cos(x) - \sqrt{2} = 0\) sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\).
Sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\), les solutions sont : \[x = \arccos\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2}\right), \arccos\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2}\right)\]
Exercice 30: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère une fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\), dont on donne ci-dessous la courbe représentative de sa fonction dérivée \(f'\).
1. Reproduire le graphique et dessiner une allure possible de la courbe représentative de \(f\). 2. On suppose que, pour tout réel \(x\): \[f'(x) = sin(x) + k\] où \(k\) est un réel. Sachant que le point de coordonnées \((-\frac{\pi}{2};0)\) appartient à la courbe représentative de \(f'\), déterminer la valeur de \(k\). 3. On donne \(f(x) = x - 1 - cos(x)\). Vérifier le résultat de la question précédente. 4. Déterminer le point de la courbe représentative de \(f\) dont l'abscisse appartient à l'intervalle \(]-\pi; \pi]\) еt auquel la tangente à la courbe de \(f\) a pour coefficient directeur \(1\).
Solution en cours ...
Exercice 31: ★ ★ ★ ☆ ☆
Donner le signe des fonctions suivantes sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\). 1. \(f : x ⟼ cos(x+ cos(x+\frac{\pi}{4})\) 2. \(g : x ⟼ sin(x-\frac{\pi}{2})\)
1. Fonction \(f : x ⟼ \cos(x + \cos(x + \frac{\pi}{4}))\) sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\) • \(\cos(x + \cos(x + \frac{\pi}{4})) \geq -1\) car \(\cos\) est une fonction réelle bornée par \(-1\) et \(1\). • Donc \(f(x) \geq -1\) sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\).
2. Fonction \(g : x ⟼ \sin(x - \frac{\pi}{2})\) sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\) • \(\sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(x)\) car \(\sin(x - \frac{\pi}{2}) = \sin(x)\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(x)\sin(\frac{\pi}{2}) = -\cos(x)\). • Donc \(g(x) = -\cos(x)\). • \(-1 \leq -\cos(x) \leq 1\) car \(\cos\) est une fonction réelle bornée par \(-1\) et \(1\). • Donc \(g(x) \leq 0\) sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\).
Exercice 32: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère la fonction définie, pour tout réel \(x\) non nul, par \(f(x)=sin(\frac{1}{x})\). 1. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, conjecturer l'équation de l'asymptote à la courbe représentative \(C_f\), de florsque \(x\) tend vers \(+∞\). 2. Démontrer la conjecture émise à la question 1. 3. Décrire et expliquer l'allure de \(C_f\) lorsque \(x\) tend vers \(0\) en étant positif. 4. a. La fonction \(f\) est-elle périodique ? b. Conjecturer la parité de \(f\), puis démontrer cette conjecture. 5. Soit \(x_1\), la plus grande valeur positive telle que \(f(x_1) = 0\). Déterminer la valeur exacte de \(x_1\). 6. Parmi les propositions suivantes, choisir l'unique bonne réponse. a. L'équation \(f(x) = 0\) admet un nombre fini de solutions. b.L'équation \(f(x) = 0\) n'admet pas de solution. c. L'équation \(f(x) = 0\) admet un nombre infini de solutions. 7. On considère deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(0<a<b\) et que \(a\) et \(b\) soient deux solutions consécutives de l'équation \(f(x) = 0\). Exprimer \(a\) en fonction de \(b\).
1. Conjecture de l'équation de l'asymptote à la courbe représentative \(C_f\), lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\): À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on constate que la courbe \(C_f\) semble avoir une asymptote horizontale d'équation \(y = 0\).
2. Démonstration de la conjecture: Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\frac{1}{x}\) tend vers \(0\). Or, \(\lim_{u\to 0} \sin(u) = 0\). Donc, \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \sin(\frac{1}{x}) = 0\). L'équation de l'asymptote horizontale est donc \(y = 0\).
3. Allure de \(C_f\) lorsque \(x\) tend vers \(0\) en étant positif: Lorsque \(x\) tend vers \(0\) en étant positif, \(\frac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\). Or, \(\lim_{u\to +\infty} \sin(u)\) n'existe pas. Donc, \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \sin(\frac{1}{x})\) n'existe pas. La courbe \(C_f\) oscille de manière de plus en plus rapide lorsque \(x\) tend vers \(0\) en étant positif.
4. a. La fonction \(f\) n'est pas périodique. b. La fonction \(f\) est impaire, car \(f(-x) = \sin(\frac{1}{-x}) = -\sin(\frac{1}{x}) = -f(x)\).
5. Valeur exacte de \(x_1\): La plus grande valeur positive \(x_1\) telle que \(f(x_1) = 0\) est \(x_1 = \frac{\pi}{2}\). En effet, \(\sin(\frac{1}{\frac{\pi}{2}}) = \sin(2) = 0\).
6. Bonne réponse: c. L'équation \(f(x) = 0\) admet un nombre infini de solutions. En effet, la fonction \(f\) est périodique de période \(2\pi\), donc l'équation \(f(x) = 0\) admet une infinité de solutions de la forme \(x = \frac{(2n+1)\pi}{2}\), où \(n\) est un entier relatif.
7. Expression de \(a\) en fonction de \(b\): Soit \(a\) et \(b\) deux solutions consécutives de l'équation \(f(x) = 0\). Alors, \(b - a = 2\pi\), car la fonction \(f\) est périodique de période \(2\pi\). Donc, \(a = b - 2\pi\).
Exercice 33: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère un angle de mesures \(x + 2k\pi\) exprimées en radians, où \(k\) est un entier relatif. On appelle mesure principale de l'angle la valeur de \(x + 2k\pi\) appartenant à l'intervalle \(]-\pi; \pi]\). L'algorithme ci-dessous, incomplet, permet de déterminer une valeur approchée de la mesure principale d'un angle.
1 from math import pi
2 def mesureprincipale (x):
3 if x>=0:
4 while x>pi:
5 x=...
6 else:
7 while x‹=...:
8 x=...
9 return x
1. Recopier et compléter cet algorithme, puis le tester avec un angle de mesure \(\frac{13\pi}{3}\). 2. Écrire un nouvel algorithme en Python, utilisant la division euclidienne, qui donne le même résultat.
1. Algorithme Complété Voici l'algorithme corrigé et complété :
from math import pi
def mesureprincipale(x): if x >= 0: while x > pi: x -= 2 * pi else: while x <= -pi: x += 2 * pi return x
# Test avec un angle de mesure 13π/3 angle = 13 * pi / 3 resultat = mesureprincipale(angle) print(resultat) # Affiche la mesure principale
2. Algorithme utilisant la Division Euclidienne Voici un nouvel algorithme utilisant la division euclidienne pour obtenir la mesure principale :
from math import pi
def mesureprincipale_division_euclidienne(x): # Normaliser l'angle x = x % (2 * pi) if x > pi: x -= 2 * pi return x
# Test avec un angle de mesure 13π/3 angle = 13 * pi / 3 resultat = mesureprincipale_division_euclidienne(angle) print(resultat) # Affiche la mesure principale
Explications 1. Algorithme Complété : • Pour un angle positif, on soustrait \(2\pi\) tant que l'angle est supérieur à \(\pi\). • Pour un angle négatif, on ajoute \(2\pi\) tant que l'angle est inférieur ou égal à \(-\pi\).
2. Algorithme avec Division Euclidienne : • On utilise le modulus pour ramener l'angle dans l'intervalle \([0, 2\pi)\). • Si l'angle est supérieur à \(\pi\), on soustrait \(2\pi\) pour le ramener dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\\).
Ces deux algorithmes donneront le même résultat pour la mesure principale d'un angle donné.
Exercice 34: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère la fonction \(m\), définie pour tout réel \(x \in [-\pi; 0[\cup]0; \pi]\) par : \[m(x) = cos(\frac{1}{x})\] 1. Justifier que, pour tout réel \(x \in [-\pi; 0[\cup]0; \pi]\): \(m(-x)= m(x)\). Que peut-on en conclure pour la fonction \(m\) et pour sa courbe représentative ? 2. Démontrer que la dérivée de \(m\) a le même signe que \(sin(\frac{1}{x})\) sur \([-\pi; 0[\cup]0; \pi]\). 3. Dessiner la courbe représentative de la fonction \(m\) sur l'intervalle \([-\pi; 0[\cup]0; \pi]\). 4. Conjecturer la valeur de la limite de \(m(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+∞\). 5. On a écrit la fonction Python suivante.
1 from math import *
2 def limite_fonction_m(t):
3 x=1
4 while 1-cos (1/x)>t:
5 x=x+1
6 return x
Recopier cette fonction dans un éditeur et la tester avec \(t = 0,0011\), puis \(t = 10^{-8}\). Expliquer la signification du résultat \(x\) affiché.
1. Symétrie de la fonction \(m\) Justification :
Pour \(x \in [-\pi; 0[\cup]0; \pi]\), on a : \[ m(-x) = \cos\left(\frac{1}{-x}\right) = \cos\left(-\frac{1}{x}\right) \] Utilisant la propriété des cosinus, \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\): \[ m(-x) = \cos\left(\frac{1}{x}\right) = m(x) \] Conclusion : Cela montre que \(m\) est une fonction paire, ce qui signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2. Dérivée de \(m\) Pour trouver la dérivée de \(m\), nous utilisons la règle de dérivation : \[ m'(x) = \frac{d}{dx} \left( \cos\left(\frac{1}{x}\right) \right) = -\sin\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2} \] Signe de \(m'\) : • Sur l'intervalle \([-\pi; 0[\cup]0; \pi]\), \(x^2\) est toujours positif. • Donc, le signe de \(m'(x)\) dépend du signe de \(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\).
Ainsi, \(m'\) a le même signe que \(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) sur cet intervalle.
3. Courbe représentative de la fonction \(m\)
4. Conjecture de la limite de \(m(x)\) Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\frac{1}{x}\) tend vers \(0\). Ainsi, \[ m(x) = \cos\left(\frac{1}{x}\right) \to \cos(0) = 1 \] Donc, on conjecture que : \[ \lim_{x \to +\infty} m(x) = 1 \] 5. Fonction Python pour la limite Voici la fonction Python fournie, testée avec \(t = 0.0011\) et \(t = 10^{-8}\) :
from math import *
def limite_fonction_m(t): x = 1 while 1 - cos(1/x) > t: x = x + 1 return x
print(resultat1) # Affichage du résultat pour t = 0.0011 print(resultat2) # Affichage du résultat pour t = 10^{-8}
Signification du résultat \(x\) : Le résultat \(x\) affiché indique la valeur à laquelle \(x\) doit atteindre pour que la différence \(1 - \cos\left(\frac{1}{x}\right)\) soit inférieure à \(t\). Plus \(t\) est petit, plus \(x\) doit être grand pour que la condition soit satisfaite, ce qui est cohérent avec l'idée que \(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\) approche \(1\) lorsque \(x\) augmente.
Exercice 35: ★ ★ ★ ☆ ☆
Guang doit résoudre l'équation \(sin(x) = 0,3\) sur l'intervalle \([0; \pi]\). 1. Justifier que cette équation possède deux solutions, l'une appartenant à l'intervalle \([0;\frac{\pi}{2}]\) l'autre appartenant à l'intervalle \([\frac{\pi}{2} ; \pi]\).
2. Afin de déterminer une valeur approchée de la solution appartenant à l'intervalle \([0;\frac{\pi}{2}]\), Guang décide d'utiliser un tableur dont la copie d'écran est reproduite ci-dessous.
a. Il a écrit dans la cellule \(C5\) la formule: = SIN(A5)-B$19 puis l'a recopiée jusqu'en \(C18\). Expliquer l'utilisation du signe « $ ». b. Donner un encadrement d'amplitude \(10^{-1}\) de la solution de l'équation. 3. Créer une feuille de calcul afin de déterminer un encadrement de la solution de l'équation d'amplitude \(10^{-3}\). 4. Donner un encadrement d'amplitude \(10^{-3}\) de la deuxième solution. 5. À l'aide d'un tableur, donner un encadrement d'amplitude \(10\) des solutions de l'équation \(sin(x) = 0,6\) sur \([0; \pi]\).
1. Justification des solutions La fonction \( \sin(x) \) est croissante dans l'intervalle \( [0, \frac{\pi}{2}] \) et décroissante dans \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \). • Dans l'intervalle \( [0, \frac{\pi}{2}] \), \( \sin(0) = 0 \) et \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \). Donc, \( \sin(x) \) atteint toutes les valeurs entre 0 et 1, y compris 0,3. Il y a donc une solution dans cet intervalle. • Dans l'intervalle \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \), \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \) et \( \sin(\pi) = 0 \). Comme \( \sin(x) \) décroît de 1 à 0, il doit également atteindre 0,3 une fois dans cet intervalle.
Ainsi, il y a deux solutions : une dans \( [0, \frac{\pi}{2}] \) et l'autre dans \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \).
2. Utilisation d'un tableur a. Explication du signe « $ » : Le signe « $ » dans une formule de tableur est utilisé pour créer une référence absolue. Dans le cas de la formule `=SIN(A5)-B$19`, cela signifie que, lorsque la formule est copiée vers d'autres cellules, la référence à la cellule \( B19 \) ne changera pas. En revanche, la référence à \( A5 \) changera en fonction de la position de la cellule dans laquelle la formule est copiée.
b. Encadrement d'amplitude \(10^{-1}\) : Pour déterminer un encadrement d'amplitude \(10^{-1}\), on pourrait par exemple évaluer \( \sin(x) \) pour des valeurs de \( x \) dans l'intervalle \( [0, \frac{\pi}{2}] \):
Par exemple, si \( \sin(0.3) \approx 0.2955 \) et \( \sin(0.4) \approx 0.3894 \), on peut encadrer la solution entre \( 0.3 \) et \( 0.4 \).
3. Feuille de calcul pour encadrement d'amplitude \(10^{-3}\) Pour créer une feuille de calcul afin de déterminer un encadrement avec une précision de \(10^{-3}\), vous pouvez procéder comme suit :
1. Dans la colonne \(A\), entrez des valeurs de \(x\) de \(0\) à \(\frac{\pi}{2}\) avec un pas de \(0.001\). 2. Dans la colonne \(B\), calculez \( \sin(A) \). 3. Dans la colonne \(C\), entrez la formule `=B - 0.3`. 4. Cherchez les valeurs de \(C\) qui changent de signe.
Cela vous donnera un encadrement très précis autour de la solution.
4. Encadrement de la deuxième solution
Pour la deuxième solution de l'équation \( \sin(x) = 0,3 \) dans l'intervalle \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \), vous pouvez utiliser une méthode similaire :
1. Par exemple, si \( \sin(2) \approx 0.9093 \) et \( \sin(3) \approx 0.1411 \), vous pouvez par exemple essayer des valeurs comme \( 2.5 \) et \( 2.6 \) pour trouver une valeur proche de \(0.3\). 2. Vous pouvez ensuite itérer jusqu'à obtenir un encadrement d'amplitude \(10^{-3}\).
5. Encadrement d'amplitude \(10\) pour \( \sin(x) = 0,6 \)
Pour déterminer un encadrement d'amplitude \(10\) pour \( \sin(x) = 0,6 \) sur \( [0, \pi] \):
1. Évaluez \( \sin(x) \) pour des valeurs de \( x \) dans cet intervalle, par exemple à partir de \(0\) jusqu'à \(\pi\). 2. Testez des valeurs comme \( \frac{\pi}{3} \) et \( \frac{2\pi}{3} \) pour voir où \( \sin(x) \) est proche de \(0.6\). 3. Par exemple, si \( \sin(0.6) \approx 0.5646 \) et \( \sin(0.7) \approx 0.6442 \), vous pouvez trouver un encadrement autour de \(0.6\) dans cet intervalle.
Exercice 36: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(p\) la fonction définie sur l'intervalle \([0; \pi]\) par : \[p(x)=(1+sin(x)) cos(x)\] 1. Vérifier que pest périodique (on précisera sa période) et qu'elle n'est ni paire, ni impaire. 2. Après avoir expliqué pourquoi \(p\) est dérivable sur \([0; \pi]\), montrer que: \[p'(x)=(1+ sin(x))(1 − 2sin(x))\] 3. Résoudre sur l'intervalle \([0;\pi]\) l'inéquation:\[2sin(x) = 1\] En déduire le signe de \(p'(x)\). 4. Dresser le tableau de variation de \(p\). 5. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de \(p\) au point d'abscisse \(\frac{\pi}{2}\). 6. Sur la calculatrice ou sur un logiciel de géométrie, tracer la courbe de \(p\) ainsi que les tangentes à la courbe aux points d'abscisses \(\frac{\pi}{2}\) et \(\frac{\pi}{6}\).
1. Vérifier que \( p \) est périodique (on précisera sa période) et qu'elle n'est ni paire, ni impaire. • Périodicité : Les fonctions \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \) sont périodiques de période \( 2\pi \). Par conséquent, \( p(x) = (1 + \sin(x)) \cos(x) \) est également périodique de période \( 2\pi \).
• Parité : • \( p(-x) = (1 + \sin(-x)) \cos(-x) = (1 - \sin(x)) \cos(x) \). • \( p(-x) \neq p(x) \) (fonction paire) et \( p(-x) \neq -p(x) \) (fonction impaire). Donc, \( p \) n'est ni paire, ni impaire.
2. Dérivabilité de \( p \) et expression de \( p'(x) \). • Dérivabilité : Les fonctions \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \) sont dérivables sur \( \mathbb{R} \), donc \( p(x) = (1 + \sin(x)) \cos(x) \) est dérivable sur \([0; \pi]\) comme produit de fonctions dérivables.
• Calcul de \( p'(x) \) : En utilisant la règle du produit : \[ p'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (1 + \sin(x)) \cos(x) \right] = \cos(x) \cdot \cos(x) + (1 + \sin(x)) \cdot (-\sin(x)) \] Simplifions : \[ p'(x) = \cos^2(x) - \sin(x) - \sin^2(x) \] En utilisant l'identité \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \), on obtient : \[ p'(x) = 1 - \sin^2(x) - \sin(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x) - \sin(x) \] Factorisons : \[ p'(x) = (1 + \sin(x))(1 - 2\sin(x)) \] 3. Résolution de l'inéquation \( 2\sin(x) = 1 \) et signe de \( p'(x) \). • Résolution de \( 2\sin(x) = 1 \) : \[ \sin(x) = \frac{1}{2} \] Sur \([0; \pi]\), les solutions sont : \[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{et} \quad x = \frac{5\pi}{6} \] • Signe de \( p'(x) \) : • Pour \( x \in [0; \frac{\pi}{6}) \), \( \sin(x) < \frac{1}{2} \), donc \( 1 - 2\sin(x) > 0 \) et \( 1 + \sin(x) > 0 \). Ainsi, \( p'(x) > 0 \). • Pour \( x \in (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \), \( \sin(x) > \frac{1}{2} \), donc \( 1 - 2\sin(x) < 0 \) et \( 1 + \sin(x) > 0 \). Ainsi, \( p'(x) < 0 \). • Pour \( x \in (\frac{5\pi}{6}; \pi] \), \( \sin(x) < \frac{1}{2} \), donc \( 1 - 2\sin(x) > 0 \) et \( 1 + \sin(x) > 0 \). Ainsi, \( p'(x) > 0 \).
4. Tableau de variation de \( p \).
• En \( x = 0 \), \( p(0) = 1 \). • En \( x = \frac{\pi}{6} \), \( p\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \). • En \( x = \frac{5\pi}{6} \), \( p\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{4} \). • En \( x = \pi \), \( p(\pi) = -1 \).
5. Équation réduite de la tangente à la courbe en \( x = \frac{\pi}{2} \). • Calcul de \( p\left(\frac{\pi}{2}\right) \) : \[ p\left(\frac{\pi}{2}\right) = (1 + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = (1 + 1) \cdot 0 = 0 \] • Calcul de \( p'\left(\frac{\pi}{2}\right) \) : \[ p'\left(\frac{\pi}{2}\right) = (1 + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right))(1 - 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)) = (1 + 1)(1 - 2 \cdot 1) = 2 \cdot (-1) = -2 \] • Équation de la tangente : \[ y = p'\left(\frac{\pi}{2}\right)(x - \frac{\pi}{2}) + p\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 0 = -2x + \pi \] 6. Tracé de la courbe et des tangentes. • Courbe de \( p(x) \) : La courbe est une sinusoïde modulée par \( (1 + \sin(x)) \cos(x) \), avec des maxima en \( x = \frac{\pi}{6} \) et \( x = \frac{5\pi}{6} \), et des minima en \( x = 0 \) et \( x = \pi \).
• Tangente en \( x = \frac{\pi}{2} \) : Droite d'équation \( y = -2x + \pi \).
• Tangente en \( x = \frac{\pi}{6} \) : Calculer \( p'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 \), donc la tangente est horizontale : \( y = \frac{3\sqrt{3}}{4} \).
Exercice 37: ★ ★ ★ ☆ ☆
La hauteur de l'eau à l'entrée d'un port est donnée par la fonction \(f\), définie par \(f(t) = 9-2 cos(\frac{t}{3})\), où \(t\) est la durée (en heure) après la dernière marée basse. 1. On suppose que la profondeur du port est constante. Quelle est la hauteur d'eau dans le port à marée basse ? 2. Quelle est la hauteur d'eau à marée haute ? 3. Quelle est la durée qui sépare une marée basse d'une marée haute? On arrondira le résultat en heure et minute.
1. Hauteur d'eau dans le port à marée basse: • À marée basse, la hauteur d'eau est minimale, donc \(f(t) = 9 - 2 \cos(\frac{t}{3}) = 7\). • La hauteur d'eau dans le port à marée basse est donc de 7 mètres.
2. Hauteur d'eau à marée haute: • À marée haute, la hauteur d'eau est maximale, donc \(f(t) = 9 - 2 \cos(\frac{t}{3}) = 11\). • La hauteur d'eau dans le port à marée haute est donc de 11 mètres.
3. Durée entre une marée basse et une marée haute: • La fonction \(f\) est périodique de période \(6\pi\), donc la durée entre deux marées hautes (ou deux marées basses) est de \(\frac{6\pi}{3} = 2\pi\) heures. • Donc, la durée qui sépare une marée basse d'une marée haute est de \(\frac{2\pi}{2} = \pi\) heures, soit environ 3 heures et 8 minutes.
Exercice 38: ★ ★ ★ ☆ ☆
Pour accorder une guitare, on utilise un diapason qui émet un son pur. Le son du diapason peut être modélisé par la fonction \(h\), définie sur \([0; +∞[\) par \(h(t) = 5sin(2t)\), où \(t\) est le temps exprimé en milliseconde (ms) et \(h(t)\) est la tension aux bornes de l'enregistreur de son. De même, on modélise le son de la guitare par la fonction \(g\), définie sur \([0; +∞[\) par \(g(t) = 4 sin(2t) - 2sin(4t)\) 1. En utilisant une calculatrice ou un logiciel de géométrie, tracer les courbes représentatives des deux fonctions. 2. Quelle est la période de chaque fonction ? 3. On définit la fréquence \(f\) d'un son, en hertz, par \(f = \frac{1}{T}\); \(T\) étant la période, en s, de la fonction qui modélise le son. Quelle est la fréquence de chaque son ? 4. Donner l'équation de la tangente à chacune de ces courbes au point d'abscisse \(t = 0\). 5. En utilisant une calculatrice ou un logiciel de géométrie, conjecturer les solutions de l'équation \(h(x) = g(x)\) sur l'intervalle \([0; \pi]\).
1. Tracé des courbes représentatives des fonctions \(h\) et \(g\):
2. Période des fonctions \(h\) et \(g\): • La période de la fonction \(h(t) = 5 \sin(2t)\) est \(\frac{\pi}{2}\) secondes. • La période de la fonction \(g(t) = 4 \sin(2t) - 2 \sin(4t)\) est \(\pi\) secondes.
3. Fréquence des sons: • La fréquence du son du diapason est \(f_h = \frac{1}{T_h} = \frac{2}{\pi}\) Hz. • La fréquence du son de la guitare est \(f_g = \frac{1}{T_g} = \frac{1}{\pi}\) Hz.
4. Équations des tangentes aux points d'abscisse \(t = 0\): • Tangente à la courbe de \(h\) au point \((0, h(0))\): \(y = 5\). • Tangente à la courbe de \(g\) au point \((0, g(0))\): \(y = 2\).
5. Solutions de l'équation \(h(x) = g(x)\) sur \([0, \pi]\): En utilisant un logiciel de géométrie, on peut conjecturer que les solutions de l'équation \(h(x) = g(x)\) sur \([0, \pi]\) sont environ \(x \approx 0,785\) et \(x \approx 2,356\) radians.
Exercice 39: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit la fonction définie sur \([0; 2\pi]\) par : \[f(x)=-1,5cos(x) + 1,5\] On admet que la fonction \(f\) est continue sur \([0; 2\pi]\). 1. Démontrer que \(f\) est positive sur \([0; 2\pi]\). 2. Donner la valeur de son maximum sur \([0; 2\pi]\). 3. On note \(C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé, tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.
Déterminer par le calcul les abscisses des éventuels points d'inflexion de \(C\).
1. Positivité de la fonction \(f\) Soit \(x \in [0; 2\pi]\). \(f(x) = -1,5\cos(x) + 1,5\) \(f(x) = 1,5(1 - \cos(x))\) Comme \(\cos(x) \leq 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a \(1 - \cos(x) \geq 0\). Par conséquent, \(f(x) = 1,5(1 - \cos(x)) \geq 0\) pour tout \(x \in [0; 2\pi]\). Donc la fonction \(f\) est positive sur \([0; 2\pi]\).
2. Maximum de la fonction \(f\) La fonction \(f\) est continue sur \([0; 2\pi]\) et positive sur cet intervalle. Son maximum est donc atteint pour une valeur de \(x\) dans \([0; 2\pi]\). Calculons la dérivée de \(f\) : \(f'(x) = 1,5\sin(x)\) Les points critiques de \(f\) sont les solutions de \(f'(x) = 0\), soit \(\sin(x) = 0\). Les solutions sont \(x = 0\) et \(x = \pi\). En évaluant \(f\) en ces points, on obtient : \(f(0) = 1,5\) \(f(\pi) = 3\) Donc le maximum de \(f\) sur \([0; 2\pi]\) est \(3\), atteint pour \(x = \pi\).
3. Points d'inflexion de la courbe \(C\) La dérivée seconde de \(f\) est : \(f''(x) = 1,5\cos(x)\) Les points d'inflexion de \(C\) sont les solutions de \(f''(x) = 0\), soit \(\cos(x) = 0\). Les solutions sont \(x = \pi/2\) et \(x = 3\pi/2\).
Exercice 40: ★ ★ ★ ☆ ☆
1. Montrer que la fonction sinus est convexe sur l'intervalle \([-\pi;0]\). 2. Montrer que la fonction sinus est concave sur l'intervalle \([0; \pi]\).
1. Montrer que la fonction sinus est convexe sur l'intervalle \([-\pi; 0]\): La fonction sinus est deux fois dérivable sur \([-\pi; 0]\). La première dérivée de la fonction sinus est \(f'(x) = \cos(x)\), qui est positive sur \([-\pi; 0]\). La deuxième dérivée de la fonction sinus est \(f''(x) = -\sin(x)\), qui est négative sur \([-\pi; 0]\). Donc, la fonction sinus est convexe sur \([-\pi; 0]\) d'après la caractérisation de la convexité.
2. Montrer que la fonction sinus est concave sur l'intervalle \([0; \pi]\): La fonction sinus est deux fois dérivable sur \([0; \pi]\). La première dérivée de la fonction sinus est \(f'(x) = \cos(x)\), qui est positive sur \([0; \pi]\). La deuxième dérivée de la fonction sinus est \(f''(x) = -\sin(x)\), qui est négative sur \([0; \pi]\). Donc, la fonction sinus est concave sur \([0; \pi]\) d'après la caractérisation de la concavité.
Exercice 41: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Partie A Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([0; 2\pi]\) par \(f(x) = xcos(x)- sin(x)\), représentée ci-dessous.
1. Trouver une solution « évidente » de l'équation \(f(x) = 0\). 2. Dresser le tableau de variation de \(f\). 3. a. Démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) possède exactement deux solutions sur l'intervalle \([0; 2\pi]\). b. À l'aide du tableur de la calculatrice, donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de la plus grande des deux solutions. 4. Dresser le tableau de signes de \(f(x)\) sur l'intervalle \([0; 2\pi]\).
Partie B Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0; 2\pi]\) par: \[g(x) = \frac{sin(x)}{x}\] 1. Justifier que \(g'(x) = \frac{f(x)}{x^2}\) 2. Déduire de la partie A le tableau de variation de la fonction \(g\). 3. Représenter à la calculatrice les courbes de \(f\)et \(g\). 4. Conjecturer le nombre de points d'intersection des deux courbes sur l'intervalle \(]0; 2\pi]\). 5. À l'aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du (ou des) point(s) d'intersection entre les deux courbes. On donnera les valeurs arrondies au dixième.
solution en cours...
Exercice 42: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point \(E\) (voir figure ci-dessous), situé à l'extérieur du segment \([AB]\). La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point \(T\) que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment \([EM]\) perpendiculaire à la droite \((AB)\), sauf en \(E\). La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points \(A\) et \(B\) sur la figure.
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point \(T\) qui rend l'angle \(widehat{ATB}\) maximal. Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point \(T\) sur le segment \([EM]\) pour laquelle l'angle \(\widehat{ATB}\) est maximal et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note \(x\) la longueur (en mètre) \(ET\) que l'on cherche à déterminer. Les dimensions du terrain sont les suivantes : \(EM = 50\:m\), \(EA = 25\:m\) et \(AB = 5,6\:m\). On note \(\alpha\) la mesure en radian de l'angle \(widehat{ETA}\), \(\beta\) la mesure en radian de l'angle \(widehat{ETB}\) et \(\gamma\) la mesure en radian de l'angle \(widehat{ATB}\).
1. En utilisant les triangles rectangles \(ETA\) et \(ETB\) ainsi que les longueurs fournies, exprimer \(tan(\alpha)\) et \(tan(\beta)\) en fonction de \(x\). 2. La fonction tangente, notée \(tan\), est définie sur l'intervalle \(]0;\frac{\pi}{2}[\) par \[tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}\] Montrer que la fonction tangente est strictement croissante sur l'intervalle \(]0;\frac{\pi}{2}[\) 3. L'angle \(\widehat{ATB}\) admet une mesure \(\gamma\) appartenant à l'intervalle \(]0;\frac{\pi}{2}[\), résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure. On admet que, pour tous réels \(a\) et \(b\) de l'intervalle \(]0;\frac{\pi}{2}[\), \[tan(a - b) = \frac{tan(a) - tan(b)}{1 + tan(a) \times tan(b)}\] Montrer que \(tan(\gamma) = \frac{5,6 \cdot x}{x^2 + 765}\)
4. L'angle \(\widehat{ATB}\) est maximal lorsque sa mesure \(\gamma\) est maximale. a. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle \(]0;50]\) de la fonction \(f\) définie par : \[f(x) = x + \frac{765}{x}\] b. Montrer qu'il existe une unique valeur de \(x\) pour laquelle l'angle \(\widehat{ATB}\) est maximal, puis déterminer cette valeur de \(x\) au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle \(\widehat{ATB}\) à \(0,01\) radian près.
Solution en cours ...
Exercice 43: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Une publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un tee-shirt.
Elle dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)= e^{-x}(-cos(x) + sin(x)+1)\] et \[g(x) = -e^{-x}cos(x)\] On admet que les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).
Partie A. Étude de la fonction \(f\) 1. Justifier que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\): \[-e^{-x} ≤ f(x)≤ 3e^{-x}\] 2. En déduire la limite de \(f\) en \(+∞\). 3. Démontrer que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\): \(f'(x)= e^{-x}(2cos(x) - 1)\) où \(f'\) est la fonction dérivée de \(f\). 4. Dans cette question, on étudie la fonction \(f\) sur l'intervalle \([-\pi;\pi]\). a. Déterminer le signe de \(f'(x)\) pour \(x\) appartenant à l'intervalle \([-\pi;\pi]\). b. En déduire les variations de \(f\) sur \([-\pi; \pi]\).
Partie B. Aire du logo On note, et les représentations graphiques des fonctions \(f\) et \(g\) dans un repère orthonormé \((O; \vec{i},\vec{j})\). L'unité graphique est de 2 centimètres. 1. Étudier la position relative de la courbe \(C_f\), par rapport à la courbe \(C_g\) sur \(\mathbb{R}\). 2. Soit \(H\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[H(x) = (-\frac{cos(x)}{2} - \frac{sin(x)}{2} — 1)e^{-x}\] On admet que \(H\) est une primitive de la fonction \(x ⟼ (sin(x) + 1)e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\). On note le domaine \(D\) délimité par la courbe \(C_f\), la courbe \(C_g\) et les droites d'équations \(x = -\frac{\pi}{2}\) et \(x=\frac{3\pi}{2}\) Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine \(D\), puis en donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près en \(cm^2\).
Solution en cours ...
Exercice 44: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Un lapin veut traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la largeur de la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de \(60\:km.h{-1}\). Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue sa traversée en ligne droite, au maximum de ses possibilités, c'est- à-dire à ... \(30\:km.h^{-1}\) ! L'avant du camion est représenté par le segment \([CC']\) sur le schéma ci-dessous.
Le lapin part du point \(A\) en direction du point \(D\). Cette direction est repérée par l'angle \(\theta = \widehat{BAD}\), avec \(0≤\theta<\frac{\pi}{2}\) (en radians).
1. Déterminer les distances \(AD\) et \(CD\) en fonction de \(\theta\) et les temps \(t_1\), et \(t_2\), mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances \(AD\) et \(CD\). 2. On pose \(f(\theta) = \frac{7}{2} + 2tan(\theta) - \frac{4}{cos (\theta)}\) Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si \(f(\theta)>0\). 3. a. La fonction tangente, notée \(tan\), est définie sur l'intervalle \([0;\frac{\pi}{2}[\) par \(tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}\) Montrer que la dérivée de la fonction tangente est la fonction \(\theta ⟼ \frac{1}{cos^2(\theta)}\) b. Étudier le signe de la fonction \(f\) et conclure.
Solution en cours ...
Exercice 45: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Dans cette exercice, l'unité est le mètre.
On considère un cylindre droit de hauteur \(h\), inscrit dans une demi-sphère de rayon \(R = 1\). Le cylindre et la demi-sphère ont le même plan de base \(P\) et le même axe de symétrie \((Oy)\). La demi-sphère et le cylindre se coupent selon un cercle \(C\) de rayon \(r\). Soient \(M\) un point de ce cercle et \(H\) le projeté orthogonal de \(M\) sur le plan \(P\). On désigne par a la mesure en radian de l'angle \(\widehat{HOM}\). \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) 1. a. Exprimer la hauteur \(h\) et le rayon du cylindre en fonction de \(\alpha\). b. Démontrer que le volume du cylindre inscrit dans cette demi-sphère s'exprime à l'aide de \(\alpha\) par la fonction \(f\), définie sur \(]0;\frac{\pi}{2}[\) par: \[f(\alpha) = \pi(sin(\alpha) - sin^3(\alpha))\] 2. a. Calculer la dérivée \(f'\) de la fonction \(f\). b. Montrer qu'il existe une valeur \(\alpha_0\), de \(\alpha\) pour laquelle \(f\) admet un maximum et que \(sin(\alpha_0) = \frac{3}{3}\) 3. En déduire les dimensions \(h\) et \(r\) du cylindre de plus grand volume inscrit dans cette demi-sphère et calculer la valeur exacte en \(m^3\) de son volume.
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