๐ข Cette section traite des limites des fonctions en mathรฉmatiques. Les limites sont un concept fondamental qui permet de dรฉcrire le comportement d'une fonction lorsqu'elle s'approche d'un certain point, que ce soit ร partir de la gauche, de la droite, ou ร l'infini.
La limite d'une fonction \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers une valeur \( a \) est notรฉe \( \lim_{x \to a} f(x) \). Cela signifie que nous รฉtudions les valeurs que \( f(x) \) approche quand \( x \) se rapproche de \( a \).
๐น Limites finies : Lorsque \( f(x) \) approche une valeur finie lorsque \( x \) s'approche de \( a \).
๐น Limites infinies : Lorsque \( f(x) \) tend vers l'infini ou moins l'infini.
๐น Limites ร l'infini : Lorsque \( x \) tend vers l'infini et que l'on observe le comportement de \( f(x) \).
Les limites possรจdent plusieurs propriรฉtรฉs importantes, notamment :
Les limites sont essentielles dans le calcul diffรฉrentiel et intรฉgral, notamment pour dรฉfinir la dรฉrivรฉe d'une fonction et pour รฉvaluer des intรฉgrales. Elles sont รฉgalement utilisรฉes pour analyser la continuitรฉ des fonctions et pour rรฉsoudre des problรจmes de convergence.
Comprendre les limites des fonctions est crucial pour approfondir les concepts mathรฉmatiques avancรฉs. Elles fournissent une base solide pour l'analyse et le traitement des comportements des fonctions dans divers contextes.
Montrez que : \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{5x^3 + 2}{2x^3 + 3x^2} \right) = \frac{5}{2} \] en utilisant la comparaison avec des fonctions simples.
Pour montrer que \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{5x^3 + 2}{2x^3 + 3x^2} \right) = \frac{5}{2}, \] nous allons comparer cette expression avec des fonctions simples.
โข Identifions les termes dominants : Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), les termes dominants dans le numรฉrateur et le dรฉnominateur sont ceux qui contiennent la plus haute puissance de \(x\). Dans ce cas, dans le numรฉrateur \(5x^3 + 2\), le terme dominant est \(5x^3\), et dans le dรฉnominateur \(2x^3 + 3x^2\), le terme dominant est \(2x^3\).
โข Simplifions lโexpression : Nous pouvons รฉcrire : \[ \frac{5x^3 + 2}{2x^3 + 3x^2} \approx \frac{5x^3}{2x^3} \text{ pour de grandes valeurs de } x. \] โข รvaluons la limite : En simplifiant cette expression, nous obtenons : \[ \frac{5x^3}{2x^3} = \frac{5}{2}. \] โข Justifions cette approximation : Pour รชtre rigoureux, nous pouvons รฉcrire : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 + 2}{2x^3 + 3x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5 + \frac{2}{x^3}}{2 + \frac{3}{x}}. \] Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), les termes \(\frac{2}{x^3}\) et \(\frac{3}{x}\) tendent tous deux vers 0. Ainsi, nous avons : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{5 + 0}{2 + 0} = \frac{5}{2}. \] โข Conclusion : Nous avons donc montrรฉ que : \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{5x^3 + 2}{2x^3 + 3x^2} \right) = \frac{5}{2}. \]
Calculez la limite suivante en utilisant la forme indรฉterminรฉe : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \]
Pour calculer la limite suivante : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}, \] nous observons que lorsque \(x\) tend vers 0, l'expression prend la forme indรฉterminรฉe \(\frac{0}{0}\). Pour rรฉsoudre cette limite, nous allons utiliser la substitution et la propriรฉtรฉ connue de la limite de \(\frac{\sin(x)}{x}\).
รtapes de la solution โข Utiliser une substitution : Posons \(u = 3x\). Lorsque \(x \to 0\), \(u \to 0\) รฉgalement. Nous avons donc : \[ x = \frac{u}{3}. \] โข Rรฉรฉcrivons la limite : En substituant \(u\) dans l'expression, nous avons : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{\frac{u}{3}} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \cdot 3. \] โข Utiliser la limite connue : Nous savons que : \[ \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1. \] โข Calculons la limite : Ainsi, nous avons : \[ \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3. \] Conclusion La limite est donc : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3. \]
Calculez les limites ร droite et ร gauche de la fonction suivante au point \(x = 0\) : \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]
Pour calculer les limites ร droite et ร gauche de la fonction \(f(x)\) au point \(x = 0\), nous devons รฉvaluer les deux cas dรฉfinis par la fonction : \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \] โข Limite ร gauche (\(x \to 0^-\)) Pour \(x < 0\), la fonction est dรฉfinie par \(f(x) = x^2\). Nous calculons donc : \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0^2 = 0. \] โข Limite ร droite (\(x \to 0^+\)) Pour \(x \geq 0\), la fonction est dรฉfinie par \(f(x) = 2x\). Nous calculons donc : \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x = 2 \cdot 0 = 0. \] Conclusion Les limites ร gauche et ร droite au point \(x = 0\) sont : \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0. \] Ainsi, nous avons : \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0. \]
Exercice 7 โ โ โ โ โ : Limite d'une fonction exponentielle
Pour calculer la limite suivante : \[ \lim_{x \to +\infty} \left( e^{-x} + 3 \right), \] nous allons examiner chaque terme de l'expression.
โข Analyse du terme \(e^{-x}\) : Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(e^{-x}\) tend vers 0. En effet, la fonction exponentielle dรฉcroรฎt trรจs rapidement ร mesure que \(x\) augmente.
โข Ajout du terme constant : Ainsi, nous avons : \[ e^{-x} \to 0 \quad \text{quand } x \to +\infty. \] โข Calcul de la limite : En remplaรงant \(e^{-x}\) par sa limite, nous obtenons : \[ \lim_{x \to +\infty} \left( e^{-x} + 3 \right) = 0 + 3 = 3. \] Conclusion La limite est donc : \[ \lim_{x \to +\infty} \left( e^{-x} + 3 \right) = 3. \]
Exercice 8 โ โ โ โ โ : Limite d'une fonction logarithmique
Pour trouver la limite suivante : \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x), \] nous devons examiner le comportement de la fonction \(\ln(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 par la droite (c'est-ร -dire lorsque \(x\) est positif et s'approche de 0).
Comportement de \(\ln(x)\)
โข Propriรฉtรฉs de la fonction logarithme : La fonction logarithme naturel \(\ln(x)\) est dรฉfinie pour \(x > 0\) et dรฉcroรฎt vers \(-\infty\) ร mesure que \(x\) s'approche de 0.
โข Calcul de la limite : Ainsi, lorsque \(x\) tend vers 0 par la droite, \(\ln(x)\) devient de plus en plus nรฉgatif. Par consรฉquent, nous avons : \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty. \] Conclusion La limite est donc : \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty. \]
Mรฉthode : Lorsque l'on obtient les formes indรฉterminรฉes \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \), dรฉriver le numรฉrateur et le dรฉnominateur.
Mรฉthode : Poser une nouvelle variable pour simplifier l'expression.
Exemple : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \] Changement de variable : Posons \( y = 2x \). Alors, lorsque \( x \to 0 \), \( y \to 0 \) et \( x = \frac{y}{2} \).
La limite devient : \[ \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{\frac{y}{2}} = \lim_{y \to 0} \frac{2 \sin(y)}{y}. \] On sait que : \[ \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1. \] Donc : \[ \lim_{y \to 0} \frac{2 \sin(y)}{y} = 2 \cdot 1 = 2. \]
Mรฉthode : Pour des formes plus complexes comme \(0 \times \infty\), transformer la limite en une forme \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \).
Exemple : \[ \lim_{x \to 0^+} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \] Transformation : \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}. \] Utiliser la forme indรฉterminรฉe : \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = 0. \] Conclusion Ces mรฉthodes permettent de lever les indรฉterminations lors du calcul des limites. En fonction du type d'indรฉtermination rencontrรฉe, diffรฉrentes approches peuvent รชtre utilisรฉes pour obtenir le rรฉsultat souhaitรฉ.
La rรจgle de l'Hรดpital s'applique dans les cas suivants : 1. Indรฉtermination de type \( \frac{0}{0} \) : La forme indรฉterminรฉe est rencontrรฉe lorsque les limites du numรฉrateur et du dรฉnominateur tendent toutes deux vers 0. 2. Indรฉtermination de type \( \frac{\infty}{\infty} \) : La forme indรฉterminรฉe est rencontrรฉe lorsque les limites du numรฉrateur et du dรฉnominateur tendent toutes deux vers \( +\infty \) ou \( -\infty \).
Si \( f \) et \( g \) sont des fonctions dรฉrivables sur un intervalle ouvert \( I \) contenant \( a \), sauf peut-รชtre en \( a \) lui-mรชme, et si : \[ \lim_{x \to a} f(x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a} g(x) = 0 \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty, \] alors : \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}, \] si la limite du cรดtรฉ droit existe (ou est infinie).
1. Calcul des dรฉrivรฉes : Dรฉrivez le numรฉrateur \( f(x) \) et le dรฉnominateur \( g(x) \). 2. Calcul de la nouvelle limite : รvaluez la limite de \( \frac{f'(x)}{g'(x)} \). Si cette nouvelle limite donne toujours la forme indรฉterminรฉe \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \), vous pouvez appliquer ร nouveau la rรจgle de l'Hรดpital. 3. Terminer le calcul : Continuez d'appliquer la rรจgle jusqu'ร obtenir une limite dรฉfinie.
๐ผ๐ฉ๐๐๐ก๐๐๐ค
โพ Exemple 1 : Limite de type \( \frac{0}{0} \) \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \] 1. Forme indรฉterminรฉe : ร \( x = 0 \), \(\sin(0) = 0\) et \(x = 0\), donc forme \( \frac{0}{0} \). 2. Appliquer la rรจgle : \[ f(x) = \sin(x), \quad g(x) = x \implies f'(x) = \cos(x), \quad g'(x) = 1. \] Ainsi, \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1. \]
โพ Exemple 2 : Limite de type \( \frac{\infty}{\infty} \) \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{5x^2 - 7} \] 1. Forme indรฉterminรฉe : ร \( x \to \infty \), \(2x^2 + 3 \to \infty\) et \(5x^2 - 7 \to \infty\), donc forme \( \frac{\infty}{\infty} \).
2. Appliquer la rรจgle : \[ f(x) = 2x^2 + 3, \quad g(x) = 5x^2 - 7 \implies f'(x) = 4x, \quad g'(x) = 10x. \] Donc, \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{5x^2 - 7} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{10x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{10} = \frac{2}{5}. \] Conclusion La rรจgle de l'Hรดpital est une mรฉthode efficace pour รฉvaluer les limites indรฉterminรฉes de type \( \frac{0}{0} \) et \( \frac{\infty}{\infty} \). Il est essentiel de vรฉrifier que les conditions d'application sont respectรฉes avant de l'utiliser, et il peut รชtre nรฉcessaire de l'appliquer plusieurs fois pour obtenir un rรฉsultat dรฉfini.
Trouvez la dรฉrivรฉe de la fonction suivante : \[ f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 5 \]
Pour trouver la dรฉrivรฉe de la fonction \[ f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 5, \] nous allons utiliser les rรจgles de dรฉrivation pour chaque terme.
Dรฉrivation : โข Dรฉrivรฉe de \(4x^3\) : \[ \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2. \] โข Dรฉrivรฉe de \(-2x^2\) : \[ \frac{d}{dx}(-2x^2) = -4x. \] โข Dรฉrivรฉe de \(7x\) : \[ \frac{d}{dx}(7x) = 7. \] โข Dรฉrivรฉe de \(-5\) : \[ \frac{d}{dx}(-5) = 0. \] Combinaison des dรฉrivรฉes : En combinant toutes les dรฉrivรฉes, nous obtenons : \[ f'(x) = 12x^2 - 4x + 7 \] Conclusion : La dรฉrivรฉe de la fonction \(f(x)\) est \[ f'(x) = 12x^2 - 4x + 7 \]
Exercice 2 โ โ โ โ โ : Dรฉrivรฉe d'une fonction composรฉe
Calculez la dรฉrivรฉe de la fonction suivante : \[ g(x) = \sin(2x^2 + 3) \]
Pour trouver la dรฉrivรฉe de la fonction \[ g(x) = \sin(2x^2 + 3), \] nous allons utiliser la rรจgle de dรฉrivation de la fonction composรฉe (rรจgle de la chaรฎne).
รtapes de dรฉrivation 1. Identifions la fonction extรฉrieure et la fonction intรฉrieure : โข La fonction extรฉrieure est \( \sin(u) \) oรน \( u = 2x^2 + 3 \). โข La fonction intรฉrieure est \( u = 2x^2 + 3 \). 2. Dรฉrivons la fonction extรฉrieure : \[ \frac{d}{du}(\sin(u)) = \cos(u). \] 3. Dรฉrivons la fonction intรฉrieure : \[ \frac{d}{dx}(2x^2 + 3) = 4x. \] 4. Appliquons la rรจgle de la chaรฎne : La dรฉrivรฉe de \( g(x) \) est donnรฉe par : \[ g'(x) = \cos(2x^2 + 3) \cdot \frac{d}{dx}(2x^2 + 3) = \cos(2x^2 + 3) \cdot 4x. \] Conclusion La dรฉrivรฉe de la fonction \( g(x) \) est \[ g'(x) = 4x \cos(2x^2 + 3). \]
Exercice 3 โ โ โ โ โ : Vรฉrification de la continuitรฉ
Montrez que la fonction suivante est continue en \(x = 1\) : \[ h(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \\ x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases} \]
Pour montrer que la fonction \[ h(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \\ x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases} \] est continue en \(x = 1\), nous devons vรฉrifier les trois conditions suivantes : 1. \(h(1)\) est dรฉfini. 2. \(\lim_{x \to 1} h(x)\) existe. 3. \(\lim_{x \to 1} h(x) = h(1)\).
โข รtape 1 : Vรฉrifier que \(h(1)\) est dรฉfini Pour \(x = 1\), \[ h(1) = 3. \]
โข รtape 2 : Calculer la limite lorsque \(x\) tend vers 1 Nous devons examiner les limites ร gauche et ร droite de \(x = 1\). โข Limite ร gauche (\(x \to 1^-\)): Pour \(x < 1\), \(h(x) = 2x + 1\). Donc, \[ \lim_{x \to 1^-} h(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3. \] โข Limite ร droite (\(x \to 1^+\)): Pour \(x > 1\), \(h(x) = x^2\). Donc, \[ \lim_{x \to 1^+} h(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2) = 1^2 = 1. \] โข รtape 3 : Vรฉrifier l'existence de la limite La limite de \(h(x)\) lorsque \(x\) tend vers 1 n'existe pas, car : \[ \lim_{x \to 1^-} h(x) = 3 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 1^+} h(x) = 1. \]
โข Conclusion รtant donnรฉ que les limites ร gauche et ร droite ne sont pas รฉgales, la limite \(\lim_{x \to 1} h(x)\) n'existe pas. Par consรฉquent, la fonction \(h(x)\) n'est pas continue en \(x = 1\). Ainsi, nous conclurons que la fonction n'est pas continue en \(x = 1\).
Exercice 4 โ โ โ โ โ : Convexitรฉ d'une fonction
Dรฉterminez si la fonction suivante est convexe sur \(\mathbb{R}\) : \[ f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 \] Justifiez votre rรฉponse en examinant la dรฉrivรฉe seconde.
Pour dรฉterminer si la fonction \[ f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 \] est convexe sur \(\mathbb{R}\), nous devons examiner la dรฉrivรฉe seconde de \(f(x)\).
รtape 1 : Calcul de la premiรจre dรฉrivรฉe Calculons d'abord la premiรจre dรฉrivรฉe \(f'(x)\) : \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^2 + 3) = 4x^3 - 8x. \] รtape 2 : Calcul de la dรฉrivรฉe seconde Calculons maintenant la dรฉrivรฉe seconde \(f''(x)\) : \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 8x) = 12x^2 - 8. \] รtape 3 : Analyse de la dรฉrivรฉe seconde Pour que la fonction soit convexe sur \(\mathbb{R}\), nous devons avoir \(f''(x) \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Rรฉsolvons l'inรฉgalitรฉ : \[ f''(x) = 12x^2 - 8 \geq 0. \] 1. Rรฉarrangeons l'inรฉgalitรฉ : \[ 12x^2 \geq 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 \geq \frac{8}{12} \quad \Rightarrow \quad x^2 \geq \frac{2}{3}. \] 2. Dรฉterminons les intervalles : Cela nous donne : \[ |x| \geq \sqrt{\frac{2}{3}} \quad \Rightarrow \quad x \leq -\sqrt{\frac{2}{3}} \quad \text{ou} \quad x \geq \sqrt{\frac{2}{3}}. \] รtape 4 : Conclusion La dรฉrivรฉe seconde \(f''(x)\) est positive (donc \(f(x)\) est convexe) pour \(x \leq -\sqrt{\frac{2}{3}}\) et \(x \geq \sqrt{\frac{2}{3}}\). Entre ces deux valeurs, c'est-ร -dire pour \(-\sqrt{\frac{2}{3}} < x < \sqrt{\frac{2}{3}}\), la dรฉrivรฉe seconde est nรฉgative.
Ainsi, la fonction \(f(x)\) n'est pas convexe sur tout \(\mathbb{R}\), mais elle est convexe sur les intervalles \((-\infty, -\sqrt{\frac{2}{3}}]\) et \([\sqrt{\frac{2}{3}}, +\infty)\).
รtudiez la monotonicitรฉ de la fonction suivante : \[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \] Trouvez les intervalles oรน \(f\) est croissante ou dรฉcroissante.
Pour รฉtudier la monotonicitรฉ de la fonction \[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2, \] nous allons calculer sa dรฉrivรฉe et examiner les variations de cette dรฉrivรฉe.
รtape 1 : Calcul de la dรฉrivรฉe Calculons la dรฉrivรฉe de \(f(x)\) : \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x. \] รtape 2 : Factoriser la dรฉrivรฉe Nous pouvons factoriser la dรฉrivรฉe : \[ f'(x) = 3x(x - 2). \] รtape 3 : Trouver les points critiques Pour dรฉterminer les points oรน la dรฉrivรฉe s'annule, nous rรฉsolvons l'รฉquation : \[ 3x(x - 2) = 0. \] Cela donne : \[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 2. \] รtape 4 : รtudier le signe de la dรฉrivรฉe Nous allons maintenant รฉtudier le signe de \(f'(x)\) dans les intervalles dรฉterminรฉs par les points critiques \(x = 0\) et \(x = 2\).
1. Intervalle \((- \infty, 0)\) : Choisissons un point, par exemple \(x = -1\): \[ f'(-1) = 3(-1)((-1) - 2) = 3(-1)(-3) = 9 > 0. \] Donc, \(f(x)\) est croissante sur \((- \infty, 0)\).
2. Intervalle \((0, 2)\) : Choisissons un point, par exemple \(x = 1\): \[ f'(1) = 3(1)(1 - 2) = 3(1)(-1) = -3 < 0. \] Donc, \(f(x)\) est dรฉcroissante sur \((0, 2)\).
3. Intervalle \((2, +\infty)\) : Choisissons un point, par exemple \(x = 3\): \[ f'(3) = 3(3)(3 - 2) = 3(3)(1) = 9 > 0. \] Donc, \(f(x)\) est croissante sur \((2, +\infty)\).
รtape 5 : Rรฉsumรฉ des variations โข Croissante sur \((- \infty, 0)\) โข Dรฉcroissante sur \((0, 2)\) โข Croissante sur \((2, +\infty)\)
Conclusion La fonction \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) est : โข croissante sur les intervalles \((- \infty, 0)\) et \((2, +\infty)\), โข dรฉcroissante sur l'intervalle \((0, 2)\).
Appliquez le thรฉorรจme des valeurs intermรฉdiaires ร la fonction suivante sur l'intervalle \([-1, 2]\) : \[ f(x) = x^2 - 2 \] Montrez qu'il existe un \(c\) tel que \(f(c) = 0\).
Pour appliquer le thรฉorรจme des valeurs intermรฉdiaires ร la fonction \[ f(x) = x^2 - 2 \] sur l'intervalle \([-1, 2]\), nous devons d'abord vรฉrifier que la fonction est continue sur cet intervalle et ensuite รฉvaluer les valeurs de \(f\) aux extrรฉmitรฉs de l'intervalle.
รtape 1 : Vรฉrification de la continuitรฉ La fonction \(f(x) = x^2 - 2\) est un polynรดme, et les polynรดmes sont continus sur \(\mathbb{R}\). Ainsi, \(f(x)\) est continue sur l'intervalle \([-1, 2]\).
รtape 2 : Calcul des valeurs aux extrรฉmitรฉs de l'intervalle Calculons les valeurs de \(f\) aux points extrรชmes de l'intervalle : 1. ร \(x = -1\) : \[ f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1. \] 2. ร \(x = 2\) : \[ f(2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2. \] รtape 3 : Application du thรฉorรจme des valeurs intermรฉdiaires Nous avons trouvรฉ : โข \(f(-1) = -1\) โข \(f(2) = 2\) Puisque \(f(-1) < 0\) et \(f(2) > 0\), et que \(f(x)\) est continue sur \([-1, 2]\), le thรฉorรจme des valeurs intermรฉdiaires nous garantit qu'il existe au moins un point \(c\) dans l'intervalle \([-1, 2]\) tel que \[ f(c) = 0 \] Conclusion Il existe donc un \(c \in [-1, 2]\) tel que \(f(c) = 0\).
Exercice 7 โ โ โ โ โ : Limite de la dรฉrivรฉe
Trouvez la dรฉrivรฉe de la fonction \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) et รฉvaluez-la en \(x = 1\).
Pour trouver la dรฉrivรฉe de la fonction \[ f(x) = \ln(x^2 + 1), \] nous allons utiliser la rรจgle de dรฉrivation de la fonction logarithme et la rรจgle de la chaรฎne.
รtape 1 : Calcul de la dรฉrivรฉe 1. Identifiez la fonction extรฉrieure et la fonction intรฉrieure : โข La fonction extรฉrieure est \(\ln(u)\), oรน \(u = x^2 + 1\). โข La fonction intรฉrieure est \(u = x^2 + 1\).
2. Dรฉrivรฉe de la fonction extรฉrieure : \[ \frac{d}{du}(\ln(u)) = \frac{1}{u}. \] 3. Dรฉrivรฉe de la fonction intรฉrieure : \[ \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x. \] 4. Appliquons la rรจgle de la chaรฎne : La dรฉrivรฉe de \(f(x)\) est donnรฉe par : \[ f'(x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}. \] รtape 2 : รvaluer la dรฉrivรฉe en \(x = 1\) Maintenant, nous allons รฉvaluer \(f'(x)\) en \(x = 1\) : \[ f'(1) = \frac{2(1)}{1^2 + 1} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1. \] Conclusion La dรฉrivรฉe de la fonction \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) est \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, \] et en รฉvaluant cette dรฉrivรฉe en \(x = 1\), nous trouvons \[ f'(1) = 1. \]
Exercice 8 โ โ โ โ โ : Convexitรฉ par la dรฉrivรฉe
Montrez que la fonction \(g(x) = x^2 + 2x + 1\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) en utilisant la dรฉrivรฉe.
Pour montrer que la fonction \[ g(x) = x^2 + 2x + 1 \] est convexe sur \(\mathbb{R}\), nous allons examiner la dรฉrivรฉe seconde de \(g(x)\).
รtape 1 : Calcul de la premiรจre dรฉrivรฉe Calculons la premiรจre dรฉrivรฉe de \(g(x)\) : \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 1) = 2x + 2. \] รtape 2 : Calcul de la seconde dรฉrivรฉe Calculons maintenant la seconde dรฉrivรฉe : \[ g''(x) = \frac{d}{dx}(g'(x)) = \frac{d}{dx}(2x + 2) = 2. \] รtape 3 : Analyser la seconde dรฉrivรฉe La seconde dรฉrivรฉe \(g''(x) = 2\) est constante et positive pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Conclusion Puisque la seconde dรฉrivรฉe est positive, cela signifie que la fonction \(g(x)\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). En d'autres termes, pour toute paire de points sur le graphe de la fonction, la ligne droite qui les relie se trouvera au-dessus du graphe, ce qui caractรฉrise une fonction convexe.
1. Calcul de \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\) : \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Cela signifie que lorsque l'angle est \(\frac{\pi}{4}\) radians (ou 45 degrรฉs), la valeur du sinus est \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
2. Calcul de \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\) : \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \] Ici, pour l'angle \(\frac{\pi}{3}\) radians (ou 60 degrรฉs), la valeur du cosinus est \(\frac{1}{2}\).
3. Calcul de \(\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) : \[ \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] Pour cet angle, qui est \(-\frac{\pi}{6}\) radians (ou -30 degrรฉs), la tangente est nรฉgative, ce qui nous donne \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Exercice 2 โ โ โ โ โ : Pรฉriodicitรฉ
Dรฉterminez la pรฉriode des fonctions suivantes : โข \(f(x) = 3\sin(2x)\) โข \(g(x) = -\cos(4x + \frac{\pi}{2})\)
1. Fonction \(f(x) = 3\sin(2x)\) La pรฉriode d'une fonction sinus de la forme \( f(x) = a \sin(bx) \) est donnรฉe par la formule : \[ \text{Pรฉriode} = \frac{2\pi}{|b|} \] Dans notre cas, \( b = 2 \).
Donc, la pรฉriode de \( f(x) \) est : \[ \text{Pรฉriode} = \frac{2\pi}{2} = \pi \] 2. Fonction \(g(x) = -\cos(4x + \frac{\pi}{2})\) La pรฉriode d'une fonction cosinus de la forme \( g(x) = a \cos(bx + c) \) est รฉgalement donnรฉe par : \[ \text{Pรฉriode} = \frac{2\pi}{|b|} \] Ici, \( b = 4 \).
Donc, la pรฉriode de \( g(x) \) est : \[ \text{Pรฉriode} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \]
Exercice 3 โ โ โ โ โ : Variations de la fonction sinus
รtudiez les variations de la fonction \(f(x) = \sin(x)\) sur l'intervalle \([-2\pi, 2\pi]\). Indiquez les points critiques, les maximums et les minimums.
Pour รฉtudier les variations de la fonction \( f(x) = \sin(x) \) sur l'intervalle \([-2\pi, 2\pi]\), nous allons suivre les รฉtapes suivantes :
1. Domaine de dรฉfinition La fonction \( \sin(x) \) est dรฉfinie pour tout \( x \in \mathbb{R} \). Sur l'intervalle \([-2\pi, 2\pi]\), elle est donc bien dรฉfinie.
2. Paritรฉ La fonction \( \sin(x) \) est impaire, c'est-ร -dire que \( \sin(-x) = -\sin(x) \). Cela signifie que la courbe de \( \sin(x) \) est symรฉtrique par rapport ร l'origine.
3. Pรฉriodicitรฉ La fonction \( \sin(x) \) est pรฉriodique de pรฉriode \( 2\pi \). Sur l'intervalle \([-2\pi, 2\pi]\), on รฉtudie donc deux pรฉriodes complรจtes.
4. Dรฉrivรฉe et variations La dรฉrivรฉe de \( \sin(x) \) est \( \cos(x) \). โข \( f'(x) = \cos(x) \). โข \( f'(x) = 0 \) lorsque \( \cos(x) = 0 \), c'est-ร -dire pour \( x = -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \). โข Signe de \( f'(x) \) : โข Sur \([-2\pi, -\frac{3\pi}{2}]\), \( \cos(x) \geq 0 \), donc \( f'(x) \geq 0 \) : \( \sin(x) \) est croissante. โข Sur \([-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]\), \( \cos(x) \leq 0 \), donc \( f'(x) \leq 0 \) : \( \sin(x) \) est dรฉcroissante. โข Sur \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), \( \cos(x) \geq 0 \), donc \( f'(x) \geq 0 \) : \( \sin(x) \) est croissante. โข Sur \([\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\), \( \cos(x) \leq 0 \), donc \( f'(x) \leq 0 \) : \( \sin(x) \) est dรฉcroissante. โข Sur \([\frac{3\pi}{2}, 2\pi]\), \( \cos(x) \geq 0 \), donc \( f'(x) \geq 0 \) : \( \sin(x) \) est croissante.
5. Points critiques Les points critiques sont les points oรน la dรฉrivรฉe s'annule, c'est-ร -dire pour \( x = -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \).
6. Extrema โข En \( x = -\frac{3\pi}{2} \) : \( \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 1 \) (maximum local). โข En \( x = -\frac{\pi}{2} \) : \( \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \) (minimum local). โข En \( x = \frac{\pi}{2} \) : \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \) (maximum local). โข En \( x = \frac{3\pi}{2} \) : \( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \) (minimum local). โข En \( x = -2\pi \) et \( x = 2\pi \) : \( \sin(-2\pi) = \sin(2\pi) = 0 \) (points d'intersection avec l'axe des abscisses).
7. Tableau de variations
8. Reprรฉsentation graphique Sur \([-2\pi, 2\pi]\), la courbe de \( \sin(x) \) part de \( 0 \) en \( x = -2\pi \), atteint \( 1 \) en \( x = -\frac{3\pi}{2} \), descend ร \(-1\) en \( x = -\frac{\pi}{2} \), remonte ร \( 1 \) en \( x = \frac{\pi}{2} \), redescend ร \(-1\) en \( x = \frac{3\pi}{2} \), et revient ร \( 0 \) en \( x = 2\pi \). Elle est symรฉtrique par rapport ร l'origine.
10. Conclusion La fonction \( \sin(x) \) sur \([-2\pi, 2\pi]\) est une fonction impaire, pรฉriodique, avec des intervalles de croissance et de dรฉcroissance alternรฉs. Elle atteint des maxima en \( x = -\frac{3\pi}{2} \) et \( x = \frac{\pi}{2} \), et des minima en \( x = -\frac{\pi}{2} \) et \( x = \frac{3\pi}{2} \). Les points critiques sont \( x = -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \).
Exercice 4 โ โ โ โ โ : รquations trigonomรฉtriques avec le cosinus
Pour rรฉsoudre l'รฉquation \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) sur l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\), nous allons identifier les valeurs de \(x\) pour lesquelles le cosinus prend cette valeur.
รtapes de la rรฉsolution : 1. Identifier les solutions gรฉnรฉrales : L'รฉquation \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) a des solutions dans le cercle trigonomรฉtrique. Les angles correspondants sont : \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{et} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
2. Trouver les solutions dans l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\) : โ Pour \(k = 0\) : โข \(x = \frac{\pi}{3}\) โข \(x = -\frac{\pi}{3}\)
โ Pour \(k = -1\) : โข \(x = \frac{\pi}{3} - 2\pi\) (cette valeur est infรฉrieure ร \(-ฯ\)) โข \(x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi\) (cette valeur est infรฉrieure ร \(-ฯ\))
Solutions finales : Les seules solutions de l'รฉquation \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) sur l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\) sont : \[ x = \frac{\pi}{3} \quad \text{et} \quad x = -\frac{\pi}{3} \]
Conclusion : Les solutions de l'รฉquation sur l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\) sont : โข \(x = \frac{\pi}{3}\) โข \(x = -\frac{\pi}{3}\)
Exercice 5 โ โ โ โ โ : Inรฉquation trigonomรฉtrique avec le sinus
Pour rรฉsoudre l'inรฉquation \(\sin(x) < 0\) sur l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\), nous devons dรฉterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles le sinus est nรฉgatif.
Analyse de la fonction sinus La fonction \(\sin(x)\) est nรฉgative dans les intervalles suivants :
โข Entre \(\pi\) et \(2\pi\) (dans le premier tour du cercle trigonomรฉtrique). โข Entre \(-\pi\) et \(0\) (dans le tour nรฉgatif du cercle trigonomรฉtrique).
Intervalles spรฉcifiques Dans l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\), le sinus est nรฉgatif dans les intervalles suivants :
Solutions de l'inรฉquation Ainsi, les solutions de l'inรฉquation \(\sin(x) < 0\) sur l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\) sont : \[ x \in \left(-\pi, -\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(0, \pi\right) \]
Conclusion Les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\sin(x) < 0\) sur l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\) sont : \[ x \in \left(-\pi, -\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(0, \pi\right) \]
Exercice 6 โ โ โ โ โ : รquations trigonomรฉtriques avec le sinus
Pour rรฉsoudre l'รฉquation \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) sur l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\), nous devons identifier les angles pour lesquels le sinus prend cette valeur.
รtapes de la rรฉsolution : 1. Identifier les solutions gรฉnรฉrales : La valeur \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) pour le sinus correspond aux angles dans le troisiรจme et le quatriรจme quadrant. Les angles associรฉs sont : \[ x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{et} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
2. Calculer les solutions dans l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\) : โ Pour \(k = 0\) : โข \(x = -\frac{\pi}{3}\) โข \(x = -\frac{2\pi}{3}\)
Solutions finales : Les seules solutions de l'รฉquation \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) sur l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\) sont : \[ x = -\frac{\pi}{3} \quad \text{et} \quad x = -\frac{2\pi}{3} \] Conclusion : Les solutions de l'รฉquation sur l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\) sont : โข \(x = -\frac{\pi}{3}\) โข \(x = -\frac{2\pi}{3}\)
Pour vรฉrifier l'identitรฉ \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) pour \(x = \frac{\pi}{3}\), nous allons d'abord calculer \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\) et \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\).
รtape 1 : Calcul des valeurs de sinus et cosinus 1. Calcul de \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\) : \[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 2. Calcul de \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\) : \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \] รtape 2 : Vรฉrification de l'identitรฉ Maintenant, substituons ces valeurs dans l'identitรฉ : \[ \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \] Calculons chaque terme : โข \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\) โข \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
Ajoutons ces deux rรฉsultats : \[ \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] Conclusion Nous avons donc vรฉrifiรฉ que : \[ \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 \] L'identitรฉ est vรฉrifiรฉe pour \(x = \frac{\pi}{3}\).
Un pont est soutenu par un cรขble formant un angle de \(30^\circ\) avec le sol. Si la longueur du cรขble est de 10 mรจtres, quelle est la hauteur maximale du pont par rapport au sol ? Utilisez la fonction sinus.
Pour dรฉterminer la hauteur maximale du pont par rapport au sol en utilisant la fonction sinus, nous allons considรฉrer le triangle formรฉ par le cรขble, le sol et la verticale.
รtapes de la rรฉsolution : 1. Comprendre la situation : โข Le cรขble forme un angle de \(30^\circ\) avec le sol. โข La longueur du cรขble est de \(10\) mรจtres.
2. Utiliser la fonction sinus : La hauteur \(h\) (opposรฉe ร l'angle) peut รชtre trouvรฉe en utilisant la relation suivante : \[ h = L \cdot \sin(\theta) \] oรน \(L\) est la longueur du cรขble et \(\theta\) est l'angle.
3. Substituer les valeurs : Dans notre cas : โข \(L = 10\) mรจtres โข \(\theta = 30^\circ\)
Donc, nous avons : \[ h = 10 \cdot \sin(30^\circ) \] 4. Calculer \(\sin(30^\circ)\) : Nous savons que : \[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \] 5. Calcul final : Maintenant, substituons cette valeur : \[ h = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ mรจtres} \] Conclusion La hauteur maximale du pont par rapport au sol est de 5 mรจtres.
Exercice 9 โ โ โ โ โ : Fonction cosinus
Rรฉaliser une รฉtude complรจte de la fonction \(cosโก(x)\) sur l'intervalle \([โ\pi,\pi]\).
Pour rรฉaliser une รฉtude complรจte de la fonction \(\cos(x)\) sur l'intervalle \([-\pi, \pi]\), nous allons suivre les รฉtapes suivantes :
1. Domaine de dรฉfinition La fonction \(\cos(x)\) est dรฉfinie pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Sur l'intervalle \([-\pi, \pi]\), elle est donc bien dรฉfinie.
2. Paritรฉ La fonction \(\cos(x)\) est paire, c'est-ร -dire que \(\cos(-x) = \cos(x)\). Cela signifie que la courbe de \(\cos(x)\) est symรฉtrique par rapport ร l'axe des ordonnรฉes.
3. Pรฉriodicitรฉ La fonction \(\cos(x)\) est pรฉriodique de pรฉriode \(2\pi\). Sur l'intervalle \([-\pi, \pi]\), on รฉtudie donc une pรฉriode complรจte.
4. Dรฉrivรฉe et variations La dรฉrivรฉe de \(\cos(x)\) est \(-\sin(x)\). โข \(\cos'(x) = -\sin(x)\). โข \(\cos'(x) = 0\) lorsque \(\sin(x) = 0\), c'est-ร -dire pour \(x = -\pi, 0, \pi\). โข Signe de \(\cos'(x)\) : โข Sur \([-\pi, 0]\), \(\sin(x) \leq 0\), donc \(\cos'(x) \geq 0\) : \(\cos(x)\) est croissante. โข Sur \([0, \pi]\), \(\sin(x) \geq 0\), donc \(\cos'(x) \leq 0\) : \(\cos(x)\) est dรฉcroissante.
6. Points d'inflexion La dรฉrivรฉe seconde de \(\cos(x)\) est \(-\cos(x)\). โข \(\cos''(x) = -\cos(x)\). โข \(\cos''(x) = 0\) lorsque \(\cos(x) = 0\), c'est-ร -dire pour \(x = -\frac{\pi}{2}\) et \(x = \frac{\pi}{2}\). โข En ces points, la courbe change de concavitรฉ : ce sont des points d'inflexion.
7. Tableau de variations
8. Reprรฉsentation graphique Sur \([-\pi, \pi]\), la courbe de \(\cos(x)\) part de \(-1\) en \(x = -\pi\), atteint \(1\) en \(x = 0\), puis redescend ร \(-1\) en \(x = \pi\). Elle est symรฉtrique par rapport ร l'axe des ordonnรฉes.
10. Conclusion La fonction \(\cos(x)\) sur \([-\pi, \pi]\) est une fonction paire, pรฉriodique, croissante sur \([-\pi, 0]\) et dรฉcroissante sur \([0, \pi]\). Elle atteint un maximum en \(x = 0\) et des minima en \(x = -\pi\) et \(x = \pi\). Les points d'inflexion se situent en \(x = -\frac{\pi}{2}\) et \(x = \frac{\pi}{2}\).
Exercice 10 โ โ โ โ โ : Fonction sinus
Rรฉaliser une รฉtude complรจte de la fonction \(sinโก(x)\) sur l'intervalle \([โ\pi,\pi]\).
Pour rรฉaliser une รฉtude complรจte de la fonction \(\sin(x)\) sur l'intervalle \([-\pi, \pi]\), nous allons suivre les รฉtapes suivantes :
1. Domaine de dรฉfinition La fonction \(\sin(x)\) est dรฉfinie pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Sur l'intervalle \([-\pi, \pi]\), elle est donc bien dรฉfinie.
2. Paritรฉ La fonction \(\sin(x)\) est impaire, c'est-ร -dire que \(\sin(-x) = -\sin(x)\). Cela signifie que la courbe de \(\sin(x)\) est symรฉtrique par rapport ร l'origine.
3. Pรฉriodicitรฉ La fonction \(\sin(x)\) est pรฉriodique de pรฉriode \(2\pi\). Sur l'intervalle \([-\pi, \pi]\), on รฉtudie donc une pรฉriode complรจte.
4. Dรฉrivรฉe et variations La dรฉrivรฉe de \(\sin(x)\) est \(\cos(x)\). โข \(\sin'(x) = \cos(x)\). โข \(\sin'(x) = 0\) lorsque \(\cos(x) = 0\), c'est-ร -dire pour \(x = -\frac{\pi}{2}\) et \(x = \frac{\pi}{2}\). โข Signe de \(\sin'(x)\) : โข Sur \([-\pi, -\frac{\pi}{2}]\), \(\cos(x) \leq 0\), donc \(\sin'(x) \leq 0\) : \(\sin(x)\) est dรฉcroissante. โข Sur \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), \(\cos(x) \geq 0\), donc \(\sin'(x) \geq 0\) : \(\sin(x)\) est croissante. โข Sur \([\frac{\pi}{2}, \pi]\), \(\cos(x) \leq 0\), donc \(\sin'(x) \leq 0\) : \(\sin(x)\) est dรฉcroissante.
5. Extrema โข En \(x = -\frac{\pi}{2}\) : \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\) (minimum local). โข En \(x = \frac{\pi}{2}\) : \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) (maximum local). โข En \(x = -\pi\) et \(x = \pi\) : \(\sin(-\pi) = \sin(\pi) = 0\) (points d'intersection avec l'axe des abscisses).
6. Points d'inflexion La dรฉrivรฉe seconde de \(\sin(x)\) est \(-\sin(x)\). โข \(\sin''(x) = -\sin(x)\). โข \(\sin''(x) = 0\) lorsque \(\sin(x) = 0\), c'est-ร -dire pour \(x = -\pi\), \(x = 0\) et \(x = \pi\). โข En ces points, la courbe change de concavitรฉ : ce sont des points d'inflexion.
7. Tableau de variations
8. Reprรฉsentation graphique Sur \([-\pi, \pi]\), la courbe de \(\sin(x)\) part de \(0\) en \(x = -\pi\), atteint \(-1\) en \(x = -\frac{\pi}{2}\), remonte ร \(1\) en \(x = \frac{\pi}{2}\), puis redescend ร \(0\) en \(x = \pi\). Elle est symรฉtrique par rapport ร l'origine.
10. Conclusion La fonction \(\sin(x)\) sur \([-\pi, \pi]\) est une fonction impaire, pรฉriodique, dรฉcroissante sur \([-\pi, -\frac{\pi}{2}]\), croissante sur \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), et dรฉcroissante sur \([\frac{\pi}{2}, \pi]\). Elle atteint un minimum en \(x = -\frac{\pi}{2}\) et un maximum en \(x = \frac{\pi}{2}\). Les points d'inflexion se situent en \(x = -\pi\), \(x = 0\) et \(x = \pi\).
1. Calcul de \(\ln(e^2)\) Le logarithme naturel, notรฉ \(\ln\), est la fonction inverse de l'exponentielle ร base \(e\) (oรน \(e \approx 2.71828\)). Cela signifie que si vous avez \(\ln(a) = b\), alors \(e^b = a\).
Pour calculer \(\ln(e^2)\), nous appliquons la propriรฉtรฉ des logarithmes : \[ \ln(e^x) = x \] Dans notre cas, \(x = 2\). Donc : \[ \ln(e^2) = 2 \] 2. Calcul de \(\ln(1)\) Le logarithme d'un nombre \(x\) reprรฉsente l'exposant auquel la base \(e\) doit รชtre รฉlevรฉe pour obtenir \(x\).
Nous savons que : \[ e^0 = 1 \] Cela signifie que l'exposant qui donne 1 est 0. Par consรฉquent : \[ \ln(1) = 0 \] 3. Calcul de \(\ln(0.01)\) Pour calculer \(\ln(0.01)\), nous pouvons exprimer 0.01 sous forme de puissance de 10 : \[ 0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2} \] Nous pouvons appliquer la propriรฉtรฉ des logarithmes qui dit que \(\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)\). Dans ce cas, nous avons : \[ \ln(0.01) = \ln(10^{-2}) = -2 \ln(10) \] En utilisant la valeur approximative de \(\ln(10) \approx 2.3026\), nous obtenons : \[ \ln(0.01) \approx -2 \times 2.3026 \approx -4.6052 \]
1. Rรฉsolution de l'รฉquation \(\ln(x) = 3\) Pour rรฉsoudre cette รฉquation, nous devons exponentier les deux cรดtรฉs afin d'รฉliminer le logarithme. Nous utilisons la relation inverse du logarithme : \[ e^{\ln(x)} = e^3 \] Cela simplifie ร : \[ x = e^3 \] En utilisant la valeur approximative de \(e \approx 2.71828\), nous pouvons calculer : \[ x \approx 2.71828^3 \approx 20.0855 \] 2. Rรฉsolution de l'รฉquation \(\ln(x - 1) + \ln(2) = 0\) Ici, nous allons utiliser la propriรฉtรฉ du produit des logarithmes. Nous savons que : \[ \ln(a) + \ln(b) = \ln(a \times b) \] Ainsi, l'รฉquation devient : \[ \ln((x - 1) \times 2) = 0 \] Pour rรฉsoudre cela, nous exponentions les deux cรดtรฉs : \[ e^{\ln((x - 1) \times 2)} = e^0 \] Ce qui se simplifie ร : \[ (x - 1) \times 2 = 1 \] Maintenant, nous rรฉsolvons pour \(x\) : a. Divisons par 2 : \[ x - 1 = \frac{1}{2} \] b. Ajoutons 1 des deux cรดtรฉs : \[ x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1.5 \]
รtape 1 : Exponentiation Nous commenรงons par exponentier les deux cรดtรฉs de l'inรฉquation afin d'รฉliminer le logarithme : \[ e^{\ln(x)} > e^1 \] Cela se simplifie ร : \[ x > e \] รtape 2 : Valeur de \(e\) Nous savons que \(e \approx 2.71828\). Par consรฉquent, nous avons : \[ x > 2.71828 \] รtape 3 : Conclusion L'ensemble des solutions de l'inรฉquation \(\ln(x) > 1\) est donc : \[ x \in (e, +\infty) \quad \text{ou} \quad x \in (2.71828, +\infty) \] Rรฉsumรฉ La solution de l'inรฉquation \(\ln(x) > 1\) est : \[ x > e \quad \text{ou} \quad x > 2.71828 \] Cela signifie que \(x\) doit รชtre strictement supรฉrieur ร la valeur de \(e\).
Exercice 5 โ โ โ โ โ : Limites de la fonction logarithme
1. Calcul de \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x)\) Lorsque \(x\) approche 0 par la droite (c'est-ร -dire \(x \to 0^+\)), la valeur de \(\ln(x)\) devient trรจs nรฉgative. En effet, le logarithme naturel d'un nombre positif trรจs proche de zรฉro tend vers moins l'infini. Donc : \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \] 2. Calcul de \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x)\) Lorsque \(x\) approche l'infini positif, la valeur de \(\ln(x)\) augmente sans borne. Cela signifie que le logarithme naturel d'un nombre de plus en plus grand continue de croรฎtre. Ainsi : \[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \]
Exercice 6 โ โ โ โ โ : Variation de la fonction logarithme
รtudiez les variations de la fonction \(f(x) = \ln(x)\) sur l'intervalle \((0, +\infty)\) : โข Indiquez si la fonction est croissante ou dรฉcroissante. โข Dรฉterminez les points critiques.
รtude des variations de \(f(x) = \ln(x)\) 1. Domaine de dรฉfinition : La fonction est dรฉfinie pour \(x \in ]0, +\infty[\).
2. Calcul de la dรฉrivรฉe : \[ f'(x) = \frac{1}{x} \] 3. Signe de la dรฉrivรฉe :
Pour \(x > 0\), \(f'(x) > 0\).
Conclusion sur les variations
La fonction \(f(x) = \ln(x)\) est strictement croissante sur l'intervalle \([0, +\infty[\).
Points critiques : โข รquation \(f'(x) = 0\) : L'รฉquation \(\frac{1}{x} = 0\) n'a pas de solution pour \(x > 0\).
โข Dรฉrivรฉe non dรฉfinie : La dรฉrivรฉe est dรฉfinie pour tout \(x \in ]0, +\infty[\).
Rรฉsumรฉ final โข Monotonie : \(f(x)\) est croissante sur \([0, +\infty[\). โข Points critiques : Aucun.
Ainsi, la fonction \(f(x) = \ln(x)\) est strictement croissante sur l'intervalle \([0, +\infty[\) sans points critiques.
Un investissement de 1000 โฌ croรฎt ร un taux d'intรฉrรชt de 5 % par an, composรฉ annuellement. Utilisez la fonction logarithme pour dรฉterminer combien de temps il faudra pour que l'investissement atteigne 2000 โฌ.
Pour dรฉterminer combien de temps il faudra pour qu'un investissement de 1000 โฌ atteigne 2000 โฌ ร un taux d'intรฉrรชt de 5 % par an, composรฉ annuellement, nous pouvons utiliser la formule de la capitalisation composรฉe :
\[ A = P(1 + r)^t \]
oรน : โข \(A\) est le montant final (2000 โฌ), โข \(P\) est le montant initial (1000 โฌ), โข \(r\) est le taux d'intรฉrรชt (5 % ou 0.05), โข \(t\) est le temps en annรฉes.
รtape 1 : รtablir l'รฉquation Nous avons : \[ 2000 = 1000(1 + 0.05)^t \] รtape 2 : Simplifier l'รฉquation Divisons les deux cรดtรฉs par 1000 : \[ 2 = (1.05)^t \] รtape 3 : Appliquer le logarithme Pour rรฉsoudre cette รฉquation, nous prendrons le logarithme des deux cรดtรฉs. Utilisons le logarithme naturel (\(\ln\)) : \[ \ln(2) = \ln((1.05)^t) \] รtape 4 : Utiliser la propriรฉtรฉ des logarithmes En utilisant la propriรฉtรฉ des logarithmes, nous avons : \[ \ln(2) = t \cdot \ln(1.05) \] รtape 5 : Isoler \(t\) Pour isoler \(t\), nous divisons par \(\ln(1.05)\) : \[ t = \frac{\ln(2)}{\ln(1.05)} \] รtape 6 : Calculer \(t\) Calculons les valeurs de \(\ln(2)\) et \(\ln(1.05)\) : โข \(\ln(2) \approx 0.693147\) โข \(\ln(1.05) \approx 0.04879\)
En substituant ces valeurs dans l'รฉquation : \[ t \approx \frac{0.693147}{0.04879} \approx 14.2 \] Conclusion Il faudra environ **14.2 ans** pour que l'investissement de 1000 โฌ atteigne 2000 โฌ ร un taux d'intรฉrรชt de 5 % par an, composรฉ annuellement.
Exercice 8 โ โ โ โ โ : Graphique de la fonction logarithme
Tracez le graphe de la fonction \(y = \ln(x)\) sur l'intervalle \((0, 10)\). Identifiez les asymptotes et les points d'intersection avec les axes.
Pour tracer le graphe de la fonction \(y = \ln(x)\) sur l'intervalle \([0, 10]\), voici les caractรฉristiques importantes ร considรฉrer :
1. Asymptotes La fonction \(y = \ln(x)\) a une asymptote verticale ร \(x = 0\). Cela signifie que lorsque \(x\) approche 0 par la droite, \(y\) tend vers \(-\infty\).
2. Points d'intersection avec les axes โข Intersection avec l'axe des \(x\) : โข La fonction intersecte l'axe des \(x\) lorsque \(y = 0\). โข Cela se produit lorsque \(\ln(x) = 0\), ce qui implique \(x = 1\). โข Le point d'intersection est \((1, 0)\).
โข Intersection avec l'axe des \(y\) : La fonction n'intersecte pas l'axe des \(y\) car \(y\) n'est pas dรฉfini pour \(x \leq 0\).
3. Comportement de la fonction โข La fonction est strictement croissante sur l'intervalle \((0, +\infty)\). โข Pour \(x \to 0^+\), \(y \to -\infty\). โข Pour \(x = 10\), \(y = \ln(10) \approx 2.302\).
Graphe de la fonction
Avec ces informations, tracons le graphe de \(y = \ln(x)\) sur l'intervalle \([0, 10]\). Voici le rรฉsultat :
Rรฉsumรฉ des caractรฉristiques โข Asymptote : \(x = 0\) โข Point d'intersection avec l'axe des \(x\) : \((1, 0)\) โข Point pour \(x = 10\) : \((10, \ln(10)) \approx (10, 2.302)\)
La fonction \(y = \ln(x)\) est croissante, tend vers \(-\infty\) ร mesure que \(x\) approche 0, et passe par le point \((1, 0)\).
Prรฉsentez le concept de limite et son importance en analyse. Calculez et expliquez la limite suivante : \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \] Discussion : Parlez de la mรฉthode de simplification, des formes indรฉterminรฉes et de la continuitรฉ.
รtudiez la fonction \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\). 1. Prรฉsentez les รฉtapes pour calculer la dรฉrivรฉe \(f'(x)\). 2. Discutez des points critiques et de leur interprรฉtation graphique. 3. Examinez la convexitรฉ par \(f''(x)\). Discussion : Parlez de l'importance de la dรฉrivation pour comprendre le comportement des fonctions et de la relation entre dรฉrivรฉes et courbes.
Rรฉsolvez et prรฉsentez l'รฉquation suivante sur l'intervalle \([-ฯ; ฯ]\) : \[ \sin(x) + \sin(2x) = 0 \] Discussion : Discutez des identitรฉs trigonomรฉtriques utilisรฉes pour simplifier l'รฉquation et des mรฉthodes graphiques pour visualiser les solutions.
Solution en cours...
Exercice 4 โ โ โ โ โ : Fonctions logarithme
Prรฉsentez la fonction logarithme nรฉpรฉrien et sa relation avec l'exponentielle. Rรฉsolvez l'รฉquation : \[ \ln(2x + 1) - \ln(x) = 1 \] Discussion : Expliquez l'utilisation des propriรฉtรฉs des logarithmes et la signification des solutions dans un contexte pratique.
Modรฉlisez une situation รฉconomique oรน la demande \(D\) d'un produit est donnรฉe par \(D(p) = 100 - 5p\) et le coรปt de production par \(C(p) = 20 + 2p\). 1. รtablissez la fonction de profit \(P(p) = D(p) - C(p)\). 2. Prรฉsentez les รฉtapes pour maximiser le profit. Discussion : Parlez de l'importance des mathรฉmatiques dans la prise de dรฉcision รฉconomique et des outils utilisรฉs pour analyser les donnรฉes.
Plongez dans l'univers fascinant des suites numรฉriques, oรน chaque terme rรฉvรจle des patterns surprenants et des applications pratiques dans les mathรฉmatiques et au-delร .
Dรฉcouvrez comment les fonctions tissent des liens entre les nombres et les concepts, transformant des idรฉes abstraites en outils puissants pour rรฉsoudre des problรจmes du quotidien.
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