Cours

📔 Géométrie dans l'espace

Exploration de la géométrie dans l'espace

Dans ce cours, nous explorerons les concepts fondamentaux de la géométrie dans l'espace. Ces notions développeront vos compétences pour résoudre des problèmes géométriques avancés, essentiels pour les études supérieures en mathématiques et en sciences.

1. Rappels sur le produit scalaire dans le plan

Définition :

On appelle produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) le réel défini par :
\(\vec{u}.\vec{v} = \lVert \vec{u}\rVert \times \lVert \vec{v}\rVert \times \cos(\vec{u},\vec{v})\) si aucun des deux vecteurs n'est nul, et \(\vec{u}.\vec{v} = 0\) si au moins l'un des vecteurs est nul.

Autres expressions du produit scalaire :

\(\vec{u}.\vec{v} = \frac{1}{2} (\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2 - \lVert \vec{u}^2\rVert - \lVert \vec{v}\rVert^2)\)
\(\vec{u}.\vec{v} = \frac{1}{2} (\lVert \vec{u}^2\rVert + \lVert \vec{v}\rVert^2 - \lVert \vec{u} - \vec{v} \rVert^2)\)
\(\vec{u}.\vec{v} = \frac{1}{4} (\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2 - \lVert \vec{u} - \vec{v} \rVert^2)\)

Dans un repère orthonormal, si \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\), alors :
\(\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'\)

Propriétés :

Symétrie : \(\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}\)
Multiplication par un scalaire : \((a\vec{u}).(b\vec{v}) = (ab)\vec{u}.\vec{v}\)
Distributivité : \(\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}\)

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. Un point \(M\) vérifie \(\vec{AM}.\vec{BM} = 0\) si et seulement s'il appartient au cercle de diamètre \([AB]\).

2. Produit scalaire dans l'espace

Définition :

• Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) des vecteurs non nuls, et \(A\) un point de l'espace. On note \(B\) et \(C\) les points tels que \(\vec{AB} = \vec{u}\) et \(\vec{AC} = \vec{v}\). Les points \(A\), \(B\) et \(C\) étant coplanaires, on définit le produit scalaire comme étant le produit scalaire de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) dans tout plan passant par ces trois points.
• Si \(\vec{u}\) ou \(\vec{v}\) est nul, alors \(\vec{u}.\vec{v} = 0\).

Règle fondamentale :

Toutes les propriétés du produit scalaire en géométrie plane sont valables dans l'espace pour des éléments coplanaires.

Expression dans un repère orthonormal :

Pour \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y'\\ z' \end{pmatrix}\) :
\(\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy' + zz'\)

3. Représentation paramétrique d'une droite de l'espace

Soient \(A(x_0;y_0;z_0)\) et \(\vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) un vecteur non nul. La droite \(D\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\) est l'ensemble des points \(M(x;y;z)\) vérifiant \(\vec{AM} = k\vec{u}, k \in \mathbb{R}\).

Forme vectorielle

\[ \left\{ \begin{array}{ll} x - x_0 = ka \\ y - y_0 = kb \\ z - z_0 = kc \end{array} \right. \text{avec } k \in \mathbb{R} \]

Forme paramétrique

\[ \left\{ \begin{array}{ll} x = x_0 + ka \\ y = y_0 + kb \\ z = z_0 + kc \end{array} \right. \text{avec } k \in \mathbb{R} \]

Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite \(D\).

4. Équation cartésienne d'un plan

Dans un repère orthonormal \((0,\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), soit \(A\) un point et \(\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) un vecteur non nul. Le plan passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{AM}.\vec{n} = 0\).

Équation cartésienne :

\(ax + by + cz + d = 0\), avec \(d \in \mathbb{R}\)

Le vecteur \(\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) est normal à ce plan.

Distance d'un point à un plan :

Pour \(A(x_0; y_0; z_0)\) et le plan \(P\) d'équation \(ax + by + cz + d = 0\) :

\[ d(A,P) = \frac{\lvert ax_0 + by_0 + cz_0 + d \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

5. Intersection de deux plans

Soient \(P\) et \(P'\) deux plans de vecteurs normaux respectifs \(\vec{n}\) et \(\vec{n'}\) :

Cas 1 : Vecteurs colinéaires

Les plans sont parallèles :

Strictement parallèles : \(P \cap P' = \emptyset\)
Confondus : \(P \cap P' = P = P'\)

Cas 2 : Vecteurs non colinéaires

Les plans se croisent selon une droite :

\(P \cap P' = D\)

6. Intersection d'une droite et d'un plan

Soient un plan \(P\) de vecteur normal \(\vec{n}\) et une droite \(D\) de vecteur directeur \(\vec{u}\) :

Cas 1 : Vecteurs orthogonaux

La droite est parallèle au plan :

Strictement parallèle : \(D \cap P = \emptyset\)
Incluse dans \(P\) : \(D \cap P = D\)

Cas 2 : Vecteurs non orthogonaux

La droite et le plan se coupent en un point :

\(D \cap P = \{A\}\)

Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par les points \(M_1(1, 2, 3)\), \(M_2(4, -1, 2)\) et \(M_3(0, 1, 5)\).

Pour trouver l'équation cartésienne d'un plan, nous allons utiliser la méthode suivante :
    1. Calculer un vecteur normal au plan à partir de deux vecteurs directeurs.
    2. Utiliser la forme générale de l'équation d'un plan : \(Ax + By + Cz + D = 0\), où \((A, B, C)\) est le vecteur normal et \(D\) est un réel.
    3. Déterminer la valeur de \(D\) à l'aide d'un des points appartenant au plan.

Étape 1 : Calcul d'un vecteur normal au plan
Soit \(\vec{u} = M_2 - M_1 = (3, -3, -1)\) et \(\vec{v} = M_3 - M_1 = (-1, -1, 2)\).
Le vecteur normal au plan est alors : \(\vec{n} = \vec{u} ∧ \vec{v} = (5, -7, 4)\).

Étape 2 : Écriture de l'équation cartésienne du plan
L'équation cartésienne du plan est : \(5x - 7y + 4z + D = 0\).

Étape 3 : Détermination de la valeur de \(D\)
En remplaçant les coordonnées d'un des points (\(M_1\), \(M_2\) ou \(M_3\)) dans l'équation, on obtient :
\(5(1) - 7(2) + 4(3) + D = 0\)
\(D = -2\)

Donc l'équation cartésienne du plan est : \(5x - 7y + 4z - 2 = 0\).

Exercice 2: ★ ★ ★ ☆ ☆

Soit le plan \(P\) d'équation cartésienne \(3x - 2y + z - 5 = 0\) et le point \(A(2, 1, 4)\).
Calculer la distance du point \(A\) au plan \(P\), notée \(d(A, P)\).

Pour calculer la distance d'un point à un plan, nous allons utiliser la formule suivante :
\(d(A, P) = \frac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
où \((a, b, c)\) sont les coefficients de l'équation cartésienne du plan et \(d\) est le terme constant.

Étape 1 : Identification des coefficients de l'équation du plan
   \(a = 3, b = -2, c = 1, d = -5\)

Étape 2 : Calcul de la distance
   \(d(A, P) = \frac{|3(2) - 2(1) + 1(4) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}}\)
   \(d(A, P) = \frac{|6 - 2 + 4 - 5|}{\sqrt{9 + 4 + 1}}\)
   \(d(A, P) = \frac{3}{\sqrt{14}}\)
   \(d(A, P) \approx 0.80\) (arrondi à 2 décimales)

Donc la distance du point \(A\) au plan \(P\) est d'environ 0,80 unités.

Exercice 3: ★ ★ ★ ☆ ☆

Soient \(A(x_0; y_0; z_0)\) et \(P\) le plan d'équation \(ax+by+cz+d= 0\). Demontrer que la distance du point \(A\) au plan \(P\), notée \(d(A, P)\), vérifie:\[d(A,P) = \frac{\lvert ax_0 + by_0 + cz_0 + d \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]

Soit \(A(x_0, y_0, z_0)\) un point de l'espace et \(P\) un plan d'équation \(ax + by + cz + d = 0\).

La distance du point \(A\) au plan \(P\), notée \(d(A, P)\), est définie comme la longueur du segment de droite perpendiculaire au plan \(P\) et passant par le point \(A\).

Pour démontrer que \(d(A, P) = \frac{\lvert ax_0 + by_0 + cz_0 + d \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\), nous procédons en deux étapes :

1. Calcul du vecteur normal au plan \(P\) :
Le vecteur normal au plan \(P\) a pour coordonnées \((a, b, c)\). En effet, l'équation du plan \(P\) peut s'écrire sous la forme \(\vec{n} \cdot \vec{r} + d = 0\), où \(\vec{n} = (a, b, c)\) est le vecteur normal au plan \(P\) et \(\vec{r} = (x, y, z)\) est un point du plan \(P\). Donc le vecteur normal au plan \(P\) est \((a, b, c)\).

2. Calcul de la distance du point \(A\) au plan \(P\) :
La distance du point \(A\) au plan \(P\) est égale à la valeur absolue du produit scalaire du vecteur \(\overrightarrow{OA}\) et du vecteur normal \((a, b, c)\), divisée par la norme du vecteur normal.

En effet, soit \(\vec{u}\) le vecteur directeur de la droite perpendiculaire au plan \(P\) et passant par le point \(A\). Alors \(\vec{u}\) est colinéaire à \((a, b, c)\), et la distance de \(A\) à \(P\) est égale à la norme de la projection de \(\overrightarrow{OA}\) sur \(\vec{u}\), c'est-à-dire \(\frac{\lvert \overrightarrow{OA} \cdot \vec{u} \rvert}{\lVert \vec{u} \rVert}\).

Comme \(\vec{u}\) est colinéaire à \((a, b, c)\), on a \(\vec{u} = k(a, b, c)\) pour un certain réel \(k\). Donc \(\lVert \vec{u} \rVert = \lvert k \rvert \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\).

Finalement, on a :
\begin{align*}
d(A, P) &= \frac{\lvert \overrightarrow{OA} \cdot (a, b, c) \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \\
&= \frac{\lvert a x_0 + b y_0 + c z_0 + d \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
\end{align*}

Donc la distance du point \(A\) au plan \(P\) vérifie bien :
\[d(A, P) = \frac{\lvert ax_0 + by_0 + cz_0 + d \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]

Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soient deux plans \(P_1\) et \(P_2\) d'équations respectives :
\(P_1 : 2x + 3y - z = 5\)
\(P_2 : x - 2y + 4z = 8\)
1. Déterminer l'équation de la droite d'intersection des deux plans.
2. Trouver un point appartenant à cette droite d'intersection.

1. Pour trouver l'équation de la droite d'intersection, il faut résoudre le système d'équations des deux plans :
\(2x + 3y - z = 5\)
\(x - 2y + 4z = 8\)
En résolvant ce système, on obtient l'équation de la droite d'intersection :
\(x = 2, y = 1, z = 3\)

2. Un point appartenant à cette droite d'intersection est le point \((2, 1, 3)\).

Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soit une droite \(D\) d'équation paramétrique :
\(D : r(t) = (2, -1, 3) + t(1, 2, -1)\)
Et un plan \(P\) d'équation :
\(P : 3x - y + 2z = 7\)
1. Déterminer l'équation cartésienne de la droite \(D\).
2. Trouver les coordonnées du point d'intersection de la droite \(D\) et du plan \(P\).

1. L'équation cartésienne de la droite \(D\) est :
\(x = 2 + t\)
\(y = -1 + 2t\)
\(z = 3 - t\)

2. Pour trouver les coordonnées du point d'intersection, on résout le système suivant :
\(3(2 + t) - (-1 + 2t) + 2(3 - t) = 7\)
Résolution : \(t = 1\)
Donc les coordonnées du point d'intersection sont \((3, 1, 2)\).

Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soient trois plans \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\) d'équations respectives :
\(P_1 : x + y - z = 1\)
\(P_2 : 2x - y + 3z = 5\)
\(P_3 : 3x + 2y + z = 7\)
Déterminer les coordonnées du point d'intersection des trois plans.

Pour trouver les coordonnées du point d'intersection, il faut résoudre le système d'équations des trois plans :
\(x + y - z = 1\)
\(2x - y + 3z = 5\)
\(3x + 2y + z = 7\)
En résolvant ce système, on obtient les coordonnées du point d'intersection :
\(x = 1, y = 2, z = 0\)

Donc le point d'intersection des trois plans \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\) a pour coordonnées \((1, 2, 0)\).

❝ 𝑀𝒶𝓃𝒾𝓅𝓊𝓁𝒶𝓉𝒾𝑜𝓃 𝒹𝑒𝓈 𝓋𝑒𝒸𝓉𝑒𝓊𝓇𝓈, 𝒹𝑒𝓈 𝒹𝓇𝑜𝒾𝓉𝑒𝓈 𝑒𝓉 𝒹𝑒𝓈 𝓅𝓁𝒶𝓃𝓈 𝒹𝑒 𝓁 ’𝑒𝓈𝓅𝒶𝒸𝑒 ❞

L'orthogonalité est une notion importante en géométrie qui concerne la relation de perpendicularité entre des vecteurs ou des droites. Dans l'espace tridimensionnel, on parle d'orthogonalité entre des vecteurs et de plans.

1. Vecteurs de l'espace

Un vecteur de l'espace est représenté par un triplet \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\).
    • Opérations sur les vecteurs :
        • Addition vectorielle : \(\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)\)
        • Multiplication par un scalaire : \(\lambda \vec{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2, \lambda u_3)\)
        • Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\)
        • Produit vectoriel : \(\vec{u} ∧ \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)\)
    • Base canonique de l'espace : \(\vec{i} = (1, 0, 0), \vec{j} = (0, 1, 0), \vec{k} = (0, 0, 1)\).

2. Droites et plans de l'espace

• Équation cartésienne d'un plan : \(ax + by + cz + d = 0\) avec \(a, b, c\) non tous nuls.
• Équation paramétrique d'une droite : \(x = x_0 + αt, y = y_0 + βt, z = z_0 + γt\) avec \((α, β, γ) \neq (0, 0, 0)\).
• Vecteur normal à un plan : \(\vec{n} = (a, b, c)\).
• Vecteur directeur d'une droite : \(\vec{d} = (α, β, γ)\).

3. Positions relatives de deux droites et plans

■ Positions relatives de deux plans :
      • Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires :
      \(\vec{n_1} = k \vec{n_2}\), où \(k \in \mathbb{R}\).
      • Deux plans sont sécants s'ils ont un point commun :
      \(\exists \, (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \,|\, Ax + By + Cz + D = 0 \text{ et } A'x + B'y + C'z + D' = 0\)

■ Positions relatives de deux droites :
      • Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires :
      \(\vec{u_1} = k \vec{u_2}\), où \(k \in \mathbb{R}\).
      • Deux droites sont sécantes si elles ont un point commun :
      \(\exists \, (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \,|\, x = x_0 + t\,u_1, y = y_0 + t\,v_1, z = z_0 + t\,w_1 \text{ et } x = x_0' + t'\,u_2, y = y_0' + t'\,v_2, z = z_0' + t'\,w_2\)

■ Positions relatives d'une droite et d'un plan :
      • Une droite et un plan sont parallèles si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan :
      \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\)
      • Une droite et un plan sont sécants s'ils ont un point commun :
      \(\exists \, (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \,|\, x = x_0 + t\,u, y = y_0 + t\,v, z = z_0 + t\,w \text{ et } Ax + By + Cz + D = 0\)

Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par les points \(A(1, 2, 3)\), \(B(2, 1, 4)\) et \(C(3, 4, -1)\).

Pour trouver l'équation cartésienne d'un plan, on peut utiliser la forme générale \(ax + by + cz + d = 0\), où \((a, b, c)\) est un vecteur normal au plan et \(d\) est un réel.

Étapes :
1. Calculer un vecteur normal au plan :
   • On commence par calculer deux vecteurs dans le plan, par exemple \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
   • Ensuite, on calcule leur produit vectoriel pour obtenir un vecteur normal \(\vec{n} = \vec{AB} ∧ \vec{AC}\).

   \(\vec{AB} = B - A = (2 - 1, 1 - 2, 4 - 3) = (1, -1, 1)\)
   \(\vec{AC} = C - A = (3 - 1, 4 - 2, -1 - 3) = (2, 2, -4)\)
   \(\vec{n} = \vec{AB} ∧ \vec{AC} = (7, -3, -3)\)

2. Écrire l'équation cartésienne du plan :
   L'équation cartésienne du plan est de la forme \(ax + by + cz + d = 0\), où \((a, b, c) = \vec{n} = (7, -3, -3)\).

3. Déterminer la valeur de d :
   • On utilise l'un des points du plan (par exemple \(A)\) pour trouver \(d\).
   • \(7 × 1 - 3 × 2 - 3 × 3 + d = 0\)
   • \(d = 14\)

   Donc l'équation cartésienne du plan \(P\) est :
   \(7x - 3y - 3z + 14 = 0\)

Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Déterminer l'équation paramétrique de la droite passant par le point \(A(1, 2, 3)\) et parallèle au vecteur directeur \(\vec{d} = (2, -1, 4)\).

L'équation paramétrique d'une droite est de la forme :
\[
\left\{
    \begin{array}{ll}
        x = x_0 + at \\
        y = y_0 + bt & \mbox{avec } t \in \mathbb{R} \\
        z = z_0 + ct\
    \end{array}
\right..
\]
Où \((x_0, y_0, z_0)\) sont les coordonnées d'un point de la droite et \((a, b, c)\) sont les coordonnées du vecteur directeur de la droite.

Étapes :
1. Identifier les données :
   • Point \(A(1, 2, 3)\)
   • Vecteur directeur \(\vec{d} = (2, -1, 4)\)

2. Écrire l'équation paramétrique de la droite :
   • \(x = x_0 + at = 1 + 2t\)
   • \(y = y_0 + bt = 2 - t\)
   • \(z = z_0 + ct = 3 + 4t\)

Donc l'équation paramétrique de la droite \(d\) est :
\[
\left\{
    \begin{array}{ll}
        x = 1 + 2t \\
        y = 2 - t & \mbox{avec } t \in \mathbb{R} \\
        z = 3 + 4t
    \end{array}
\right..
\]

Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par l'origine et parallèle aux vecteurs \((1, 2, 3)\) et \((4, -1, 2)\).

Pour trouver l'équation cartésienne d'un plan, on peut utiliser la forme générale \(ax + by + cz + d = 0\), où \((a, b, c)\) est un vecteur normal au plan et \(d\) est un réel.

Étapes :
1. Calculer un vecteur normal au plan :
   • On commence par prendre deux vecteurs dans le plan, par exemple \((1, 2, 3)\) et \((4, -1, 2)\).
   • Ensuite, on calcule leur produit vectoriel pour obtenir un vecteur normal \(\vec{n}\).

   \(\vec{n} = (1, 2, 3) × (4, -1, 2) = (-7, -14, 7)\)

2. Écrire l'équation cartésienne du plan :
   L'équation cartésienne du plan est de la forme \(ax + by + cz + d = 0\), où \((a, b, c) = \vec{n} = (-7, -14, 7)\).

3. Déterminer la valeur de \(d\) :
   Comme le plan passe par l'origine, on a \(d = 0\).

Donc l'équation cartésienne du plan \(P\) est : \(-7x - 14y + 7z = 0\)

Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soient les plans \(P_1 : 2x + 3y - z + 4 = 0\) et \(P_2 : 4x - 6y + 2z - 8 = 0\). Déterminer la position relative de ses deux plans.

1. Trouver les vecteurs normaux aux deux plans :
   • Le vecteur normal d'un plan \(ax + by + cz + d = 0\) est donné par le triplet \((a, b, c)\).
   • Donc le vecteur normal de \(P_1\) est \((2, 3, -1)\).
   • Le vecteur normal de \(P_2\) est \((4, -6, 2)\).

2. Déterminer la position relative des deux plans :
   • Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un scalaire \(k \neq 0\) tel que le vecteur normal de \(P_2\) soit égal à \(k\) fois le vecteur normal de \(P_1\).
   • Ici, les vecteurs normaux \((2, 3, -1)\) et \((4, -6, 2)\) ne sont pas colinéaires, donc les plans \(P_1\) et \(P_2\) ne sont pas parallèles.
   • Deux plans sont sécants s'ils ont un point commun, c'est-à-dire s'il existe des valeurs \((x, y, z)\) qui vérifient les deux équations des plans.
   • En résolvant les deux équations, on trouve que les plans \(P_1\) et \(P_2\) ont un point commun, donc ils sont sécants.

Donc les plans \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants.

Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soient les droites \(d_1 : \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + 5t \end{cases}\) et \(d_2 : \begin{cases} x = 3 - t \\ y = 3 - 2t \\ z = 7 - 5t \end{cases}\). Déterminer la position relative de ces deux droites.

Pour déterminer la position relative des droites \(d_1\) et \(d_2\), nous devons vérifier si elles sont parallèles, sécantes (se croisent en un point), ou gauches (ni parallèles, ni sécantes).

Étape 1 : Représentation paramétrique des droites
Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont données par les équations paramétriques suivantes :

Pour \(d_1\) :
\[
\begin{cases}
x = 2 + 4t_1 \\
y = 1 + 2t_1 \\
z = 3 + 5t_1 \\
\end{cases}
\quad \text{avec } t_1 \in \mathbb{R}
\]
Pour \(d_2\) :
\[
\begin{cases}
x = 3 - t_2 \\
y = 3 - 2t_2 \\
z = 7 - 5t_2 \\
\end{cases}
\quad \text{avec } t_2 \in \mathbb{R}
\]
Étape 2 : Vecteurs directeurs
Le vecteur directeur de la droite \(d_1\) est :
\[
\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}
\]
Le vecteur directeur de la droite \(d_2\) est :
\[
\vec{v_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}
\]
Étape 3 : Parallélisme
Pour que deux droites soient parallèles, leurs vecteurs directeurs doivent être colinéaires. On vérifie la colinéarité en cherchant s'il existe un réel \( \lambda \) tel que :
\[
\vec{v_1} = \lambda \vec{v_2}
\]
Cela équivaut à :
\[
\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}
\]
Ce système donne trois équations :
\[
4 = -\lambda, \quad 2 = -2\lambda, \quad 5 = -5\lambda
\]
Les deux premières équations donnent \( \lambda = -4 \) et \( \lambda = -1 \), ce qui est une contradiction. Les vecteurs directeurs ne sont donc \textbf{pas colinéaires}. Les droites ne sont pas parallèles.

Étape 4 : Intersection des droites
Pour déterminer si les droites se coupent, cherchons des paramètres \( t_1 \) et \( t_2 \) tels que les points \( M_1(t_1) \) sur \( d_1 \) et \( M_2(t_2) \) sur \( d_2 \) soient les mêmes :
\[
\begin{cases}
2 + 4t_1 = 3 - t_2 \\
1 + 2t_1 = 3 - 2t_2 \\
3 + 5t_1 = 7 - 5t_2 \\
\end{cases}
\]
1. Résolvons la première équation :
   \[
   2 + 4t_1 = 3 - t_2 \Rightarrow t_2 = 1 + 4t_1
   \]
2. Remplaçons \( t_2 \) dans la deuxième équation :
   \[
   1 + 2t_1 = 3 - 2(1 + 4t_1) \Rightarrow 1 + 2t_1 = 3 - 2 - 8t_1 \Rightarrow 10t_1 = 2 \Rightarrow t_1 = \frac{1}{5}
   \]
3. En substituant \( t_1 = \frac{1}{5} \) dans \( t_2 = 1 + 4t_1 \) :
   \[
   t_2 = 1 + 4 \times \frac{1}{5} = \frac{9}{5}
   \]
4. Vérifions la troisième équation :
   \[
   3 + 5 \times \frac{1}{5} = 7 - 5 \times \frac{9}{5} \Rightarrow 4 = 4
   \]
La solution est cohérente, donc les droites \textbf{se coupent en un point}. Ce point d'intersection est obtenu en substituant \( t_1 = \frac{1}{5} \) dans les équations de \(d_1\) ou \( t_2 = \frac{9}{5} \) dans celles de \(d_2\) :
\[
\text{Point d'intersection} : \left(\frac{9}{5}, \frac{7}{5}, 4\right)
\]
Conclusion
Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont sécantes et se coupent en un point d'intersection \(\left(\frac{9}{5}, \frac{7}{5}, 4\right)\).

Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soient les droites \(d_1 : x = 1 + 3t, y = 2 + 3t, z = 3 + 3t\) et \(d_2 : x = t, y = 3 + t, z = 1 + 3t\). Déterminer la position relative de ses deux droites.

Pour déterminer la position relative des deux droites \(d_1\) et \(d_2\), il faut examiner trois aspects : si elles sont parallèles, si elles sont sécantes (se coupent en un point), ou si elles sont gauches (ni parallèles, ni sécantes).

Étape 1 : Représentation paramétrique des droites
Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont données par les équations paramétriques suivantes :

Pour \(d_1\) :
\[
\begin{cases}
x = 1 + 3t \\
y = 2 + 3t \\
z = 3 + 3t \\
\end{cases}
\quad \text{avec } t \in \mathbb{R}
\]
Pour \(d_2\) :
\[
\begin{cases}
x = t \\
y = 3 + t \\
z = 1 + 3t \\
\end{cases}
\quad \text{avec } t \in \mathbb{R}
\]
Étape 2 : Vecteurs directeurs
Le vecteur directeur de la droite \(d_1\) est obtenu en prenant les coefficients de \(t\) dans ses équations paramétriques :
\[
\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}
\]
De même, le vecteur directeur de la droite \(d_2\) est :
\[
\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}
\]
Étape 3 : Parallélisme
Pour que deux droites soient parallèles, leurs vecteurs directeurs doivent être colinéaires. On vérifie la colinéarité en cherchant s'il existe un réel \( \lambda \) tel que :
\[
\vec{v_1} = \lambda \vec{v_2}
\]
Cela équivaut à :
\[
\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}
\]
Ce système donne trois équations :
\[
3 = \lambda \cdot 1, \quad 3 = \lambda \cdot 1, \quad 3 = \lambda \cdot 3
\]
La première et la deuxième équation donnent \( \lambda = 3 \), mais la troisième équation donne \( 3 = 9 \), ce qui est absurde. Les vecteurs directeurs ne sont donc \textbf{pas colinéaires}. Les droites ne sont pas parallèles.

Étape 4 : Intersection des droites
Pour savoir si les droites se coupent en un point, il faut voir s'il existe des paramètres \( t_1 \) et \( t_2 \) tels que les points \( M_1(t_1) \) sur \( d_1 \) et \( M_2(t_2) \) sur \( d_2 \) soient les mêmes. Cela signifie :
\[
\begin{cases}
1 + 3t_1 = t_2 \\
2 + 3t_1 = 3 + t_2 \\
3 + 3t_1 = 1 + 3t_2 \\
\end{cases}
\]
On peut résoudre ce système :

1. De la première équation : \( t_2 = 1 + 3t_1 \).
2. Remplaçons \( t_2\) dans la deuxième équation :
   \[
   2 + 3t_1 = 3 + (1 + 3t_1) \Rightarrow 2 + 3t_1 = 4 + 3t_1 \Rightarrow 2 = 4 \quad \text{(absurde)}
   \]
Il y a une contradiction, donc les droites ne se coupent pas.

Conclusion
Puisque les droites ne sont ni parallèles ni sécantes, elles sont gauches (elles ne se rencontrent jamais et ne sont pas dans le même plan).

Exercice 7: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soit la droite \(d : x = 1 + 2t, y = 3 - t, z = 2 + 3t\) et le plan \(P : 3x - 2y + z - 5 = 0\). Déterminer la position relative d'une droite \(d\) et du plan \(P\).

1. Trouver le vecteur directeur de la droite \(d\) et le vecteur normal du plan \(P\) :
   • Le vecteur directeur de la droite \(d\) est \((2, -1, 3)\).
   • Le vecteur normal du plan \(P\) est \((3, -2, 1)\).

2. Déterminer la position relative de la droite et du plan :
   • Une droite et un plan sont parallèles si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul.
   • Ici, le produit scalaire du vecteur directeur de \(d\) et du vecteur normal de \(P\) est non nul, donc la droite et le plan ne sont pas parallèles.
   • Une droite et un plan sont sécants s'ils ont un point commun, c'est-à-dire s'il existe des valeurs de \(t\) qui vérifient à la fois l'équation de la droite et l'équation du plan.
• En résolvant les équations, on trouve que la droite \(d\) et le plan \(P\) ont un point commun, donc ils sont sécants:
En effet, soit la droite \(d\) définie par :
\[
\left\{
    \begin{array}{ll}
        x = 1 + 2t \\
        y = 3 - t & \mbox{avec } t \in \mathbb{R} \\
        z = 2 + 3t\
    \end{array}
\right..
\]
Et le plan \(P\) défini par :
\(3x - 2y + z - 5 = 0\)

Pour trouver le point d'intersection entre la droite \(d\) et le plan \(P\), nous devons résoudre le système d'équations suivant :

      \(3(1 + 2t) - 2(3 - t) + (2 + 3t) - 5 = 0\)
      \(3 + 6t - 6 + 2t + 2 + 3t - 5 = 0\)
      \(3 + 11t - 9 = 0\)
      \(11t = 6\)
\[t = \frac{6}{11}\]
En remplaçant la valeur de \(t\) dans les équations de la droite \(d\), on obtient les coordonnées du point d'intersection :

      \(x = 1 + 2(\frac{6}{11}) = \frac{13}{11}\)
      \(y = 3 - \frac{6}{11} = \frac{33}{11}\)
      \(z = 2 + 3(\frac{6}{11}) = \frac{20}{11}\)

Donc la droite \(d\) et le plan \(P\) ont un point commun de coordonnées \((\frac{13}{11}, \frac{33}{11}, \frac{20}{11})\), ce qui montre qu'ils sont sécants.

❝ 𝒪𝓇𝓉𝒽𝑜𝑔𝑜𝓃𝒶𝓁𝒾𝓉𝑒́ 𝒹𝒶𝓃𝓈 𝓁 '𝑒𝓈𝓅𝒶𝒸𝑒 ❞

1. Orthogonalité entre des vecteurs

Deux vecteurs sont dits orthogonaux s'ils forment un angle de 90 degrés (ou \(\frac{\pi}{2}\) radians) entre eux. Cela signifie que leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est donné par la formule :

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\]

Si \(\vec{u} · \vec{v} = 0\), alors les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux.

2. Orthogonalité entre des plans

Deux plans sont orthogonaux s'ils sont perpendiculaires entre eux. Cela signifie que toute droite contenue dans l'un des plans est orthogonale à toute droite contenue dans l'autre plan.
Pour déterminer si deux plans sont orthogonaux, vous pouvez vérifier si leur vecteur normal est orthogonal. Les vecteurs normaux de deux plans sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

3. Distances dans l'espace

La distance entre deux points dans l'espace tridimensionnel peut être calculée à l'aide de la formule de distance.

Distance entre deux points

La distance entre deux points \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) et \(P_2(x_2, y_2, z_2)\) est donnée par la formule :\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Cette formule est dérivée du théorème de Pythagore et généralisée pour les trois dimensions.

Distance entre un point et une droite

La distance entre un point \(P(x, y, z)\) et une droite d peut être calculée en utilisant la formule suivante :\[d = \frac{|(ax + by + cz + d)|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]
où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont les coefficients de l'équation de la droite \(d : ax + by + cz + d = 0\).

Distance entre deux droites

La distance entre deux droites d₁ et d₂ peut être calculée en trouvant la distance minimale entre les points les plus proches des deux droites. Cela peut être un problème plus complexe et nécessite souvent des méthodes avancées telles que la projection orthogonale.

4. Conclusion

La maîtrise de l'orthogonalité et des distances dans l'espace est essentielle en géométrie et en algèbre linéaire. Ces concepts sont utilisés dans de nombreux domaines, tels que la géométrie tridimensionnelle, la physique, l'informatique graphique et bien d'autres. Continuez à pratiquer et à explorer ces concepts pour renforcer votre compréhension et votre capacité à les appliquer dans des problèmes réels.

Bases et repères en géométrie de l'espace

1. Introduction

En géométrie de l'espace, une base et un repère sont des outils essentiels pour décrire la position et les transformations des points et des objets dans un espace tridimensionnel.

2. Repères de l'espace

Un repère est constitué d'un point d'origine et de trois axes qui permettent de localiser les points dans l'espace.

Repère orthonormé :

Définition : Trois axes (Ox, Oy, Oz) perpendiculaires, avec des unités de mesure identiques.
Propriétés :

Les axes se croisent à l'origine O.
Les distances sur chaque axe sont mesurées avec la même unité.

Repère non orthonormé :

Définition : Les axes peuvent être non perpendiculaires et de longueurs différentes.

Utilisation : Pratique dans certains contextes, comme dans des systèmes de coordonnées spécifiques.

3. Bases de l'espace

Une base d'un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui permet de représenter tous les vecteurs de cet espace par une combinaison linéaire.

Base canonique :

Dans un repère orthonormé, la base canonique est constituée des vecteurs unitaires :

\(\vec{e_1} = (1, 0, 0)\)
\(\vec{e_2} = (0, 1, 0)\)
\(\vec{e_3} = (0, 0, 1)\)

Base non orthonormée :

Une base peut être composée de vecteurs non orthogonaux ou de longueurs différentes, mais elle doit être linéairement indépendante et engendrer l'espace.

4. Représentation des vecteurs

4.1. Coordonnées d'un vecteur
Un vecteur \(\vec{v}\) dans un espace tridimensionnel peut être exprimé par ses coordonnées (x, y, z) dans un repère donné.

4.2. Expression en fonction d'une base
Un vecteur peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base :
\(\vec{v} = a_1 \vec{b_1} + a_2 \vec{b_2} + a_3 \vec{b_3}\)

où \(\vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3}\) sont les vecteurs de la base et \(a_1, a_2, a_3\) sont des scalaires.

𝕋𝕒𝕓𝕝𝕖𝕒𝕦 𝕣𝕖́𝕤𝕦𝕞𝕖́ 𝕕𝕖𝕤 𝕗𝕠𝕣𝕞𝕦𝕝𝕖𝕤 𝕕'𝕒𝕚𝕣𝕖 𝕖𝕥 𝕕𝕖 𝕧𝕠𝕝𝕦𝕞𝕖 𝕕𝕖𝕤 𝕤𝕠𝕝𝕚𝕕𝕖𝕤

Solide	Formules d'aire	Formule de volume
Cube	\[ \begin{align} A_b &= \ \color{#3a9a38}{c}^2 \\\\ A_L &= 4 \color{#3a9a38}{c}^2 \\\\ A_T &= 6 \color{#3a9a38}{c}^2 \end{align} \] Où : • \( A_b \) est l'aire de la base, • \( A_L \) est l'aire latérale, • \( A_T \) est l'aire totale, • \( c \) est la longueur d'un côté du cube.	\[ V = \color{#3a9a38}{c}^3 \] Où : • \( V \) est le volume, • \( c \) est la longueur d'un côté du cube.
Prisme	\[ \begin{align} \color{#3b87cd}{A_b} &= \text{formule associée à la figure} \\\\ A_L &= \color{#3b87cd}{P_b} \times \color{#ec0000}{h} \\\\ A_T &= A_L + 2 \color{#3b87cd}{A_b} \end{align} \] Où : • \( A_b \) est l'aire de la base, • \( A_L \) est l'aire latérale, • \( A_T \) est l'aire totale, • \( P_b \) est le périmètre de la base, • \( h \) est la hauteur.	\[ V = \color{#3b87cd}{A_b} \times \color{#ec0000}{h} \] Où : • \( V \) est le volume, • \( A_b \) est l'aire de la base, • \( h \) est la hauteur du prisme.
Pyramide	\[ \begin{align} \color{#3b87cd}{A_b} &= \text{formule associée à la figure} \\\\ A_L &= \dfrac{\color{#3b87cd}{P_b} \times \color{#fa7921}{a}}{2} \\\\ A_T &= A_L + \color{#3b87cd}{A_b} \end{align} \] Où : • \( A_b \) est l'aire de la base, • \( A_L \) est l'aire latérale, • \( A_T \) est l'aire totale, • \( P_b \) est le périmètre de la base, • \( a \) est la hauteur de l'aire latérale.	\[ V = \dfrac{\color{#3b87cd}{A_b} \times \color{#ec0000}{h}}{3} \] Où : • \( V \) est le volume, • \( A_b \) est l'aire de la base, • \( h \) est la hauteur de la pyramide.
Sphère ou boule	\[ A_T = 4 \pi \color{#3a9a38}{r}^2 \] Où : • \( A_T \) est l'aire totale, • \( r \) est le rayon de la sphère.	\[ V = \dfrac{4 \pi \color{#3a9a38}{r}^3}{3} \] Où : • \( V \) est le volume, • \( r \) est le rayon de la sphère.
Cylindre	\[ \begin{align} \color{#3b87cd}{A_b} &= \pi \color{#3a9a38}{r}^2 \\\\ A_L &= 2 \pi \color{#3a9a38}{r} \color{#ec0000}h \\\\ A_T &= A_L + 2 \color{#3b87cd}{A_b} \end{align} \] Où : • \( A_b \) est l'aire de la base, • \( A_L \) est l'aire latérale, • \( A_T \) est l'aire totale, • \( r \) est le rayon de la base, • \( h \) est la hauteur.	\[ V = \color{#3b87cd}{A_b} \times \color{#ec0000}h \] Où : • \( V \) est le volume, • \( A_b \) est l'aire de la base, • \( h \) est la hauteur du cylindre.
Cône	\[ A = \begin{align} \color{#3b87cd}{A_b} &= \pi \color{#3a9a38}r^2 \\\\ A_L &= \pi \color{#3a9a38}r \color{#fa7921}a \\\\ A_T &= A_L + \color{#3b87cd}{A_b} \end{align} \] Où : • \( A_b \) est l'aire de la base, • \( A_L \) est l'aire latérale, • \( A_T \) est l'aire totale, • \( r \) est le rayon de la base, • \( a \) est l'apothème.	\[ V = \dfrac{\color{#3b87cd}{A_b} \times \color{#ec0000}h}{3} \] Où : • \( V \) est le volume, • \( A_b \) est l'aire de la base, • \( h \) est la hauteur du cône.