Exploration des Primitives et Équations différentielles
Primitives, équations différentielles
Introduction
Les équations différentielles linéaires du premier ordre prennent la forme générale suivante : \[ y' = ay + b \] où \( a \) et \( b \) sont des réels.
Résolution de l'équation différentielle
■ Résolution de l'équation homogène associée
L'équation homogène associée est : \(y' = ay\) Cette équation est séparable et se résout par séparation des variables : \(\frac{dy}{y} = a \, dx\) En intégrant des deux côtés : \(\ln |y| = ax + C_1\) où \( C_1 \) est une constante d'intégration. On obtient alors : \[y_h(x) = C e^{ax}\] où \( C = e^{C_1} \).
■ Recherche d'une solution particulière
Pour trouver une solution particulière \( y_p(x) \), on peut essayer une solution sous la forme : \[ y_p(x) = -\frac{b}{a} \] si \( a \neq 0 \).
■ Solution générale
La solution générale de l'équation est alors la somme de la solution de l'équation homogène et de la solution particulière : \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a} \] Si \( a = 0 \), alors l'équation devient \( y' = b \) et la solution générale est : \(y(x) = bx + C_2\) où \( C_2 \) est une constante d'intégration.
• Étape 1 : Résolution de l'équation homogène associée :\(y' = 3y \Rightarrow y_h(x) = C e^{3x}\) • Étape 2 : Recherche d'une solution particulière :\(y_p(x) = -\frac{2}{3}\) • Solution générale :\(y(x) = C e^{3x} - \frac{2}{3}\)
■ Exemple 2 : Trouver une primitive de la fonction \( f(x) = 2e^{2x} + 3 \). Solution : \(\int (2e^{2x} + 3) \, dx = e^{2x} + 3x + C\)
Conclusion
Les équations différentielles linéaires du premier ordre et les primitives associées jouent un rôle clé dans l'étude des fonctions et des systèmes dynamiques. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour aborder des problèmes plus complexes en mathématiques et en physique.
Primitives et Équations Différentielles
Introduction
Pour résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme :
\[
y' + a(x) \cdot y = b(x),
\]
la méthode du facteur intégrant fournit une solution systématique. Voici la démarche :
Méthode du Facteur Intégrant
Étape 1 : Identifier a(x) et b(x)
Isoler les fonctions dans l'équation : \(a(x)\) (coefficient de \(y\)) et \(b(x)\) (terme indépendant).
Exemple : Pour l'équation \(y' - 3y = 2e^{1-x}\), on a \(a(x) = -3\) et \(b(x) = 2e^{1-x}\).
Étape 2 : Calculer le facteur intégrant μ(x)
\[
\mu(x) = e^{\int a(x) \, dx}
\]
Exemple : Pour \(a(x) = -3\),
\[
\mu(x) = e^{\int -3 \, dx} = e^{-3x}.
\]
Note : La constante d'intégration est omise car elle se simplifie.
Étape 3 : Multiplier l'équation par μ(x)
\[
\mu(x)y' + \mu(x)a(x)y = \mu(x)b(x)
\]
Exemple : En multipliant par \(e^{-3x}\),
\[
e^{-3x}y' - 3e^{-3x} \cdot y = 2e^{1-x} \cdot e^{-3x}.
\]
Étape 4 : Reformuler le membre gauche
Reconnaître la dérivée du produit :
\[
\frac{d}{dx}\left[\mu(x)y\right] = \mu(x)b(x)
\]
Exemple : On a
\[
\frac{d}{dx}\left[e^{-3x}y\right] = 2e^{1-x} \cdot e^{-3x}.
\]
Étape 5 : Intégrer les deux membres
\[
\mu(x)y = \int \mu(x)b(x) \, dx + C
\]
Exemple : On obtient
\[
e^{-3x}y = \int 2e^{1-x} \cdot e^{-3x} \, dx + C.
\]
(L'intégrale peut nécessiter des méthodes avancées pour être résolue.)
• Cette méthode s'applique uniquement aux équations linéaires du premier ordre.
• Le facteur intégrant μ(x) est unique à une constante multiplicative près.
Trouvez la primitive de la fonction \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\).
Pour trouver la primitive \(F(x)\) de \(f(x)\), nous utilisons la règle de la puissance : \[ F(x) = \int (3x^2 + 2x - 5) \, dx = \frac{3}{3}x^3 + \frac{2}{2}x^2 - 5x + C \] Finalement, nous avons : \[ F(x) = x^3 + x^2 - 5x + C \] où \(C\) est une constante d'intégration.
Trouvez la primitive de la fonction \(g(x) = e^{2x}\).
Pour trouver la primitive \(G(x)\) de \(g(x)\), nous utilisons la règle de la fonction exponentielle : \[ G(x) = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] où \(C\) est une constante d'intégration.
Trouvez la primitive de la fonction \(h(x) = \cos(x)\).
Pour trouver la primitive \(H(x)\) de \(h(x)\), nous utilisons la règle de la fonction trigonométrique : \[ H(x) = \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \] où \(C\) est une constante d'intégration.
Trouvez la primitive de la fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\).
Pour trouver la primitive \(F(x)\) de \(f(x)\), nous utilisons la règle pour la fonction logarithmique : \[ F(x) = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \] où \(C\) est une constante d'intégration.
Exercice 5 ★ ★ ☆ ☆ ☆ : Primitives par parties
Trouvez la primitive de la fonction \(f(x) = x e^x\).
Nous utiliserons la méthode d'intégration par parties, où nous posons :
• \(u = x \Rightarrow du = dx\) • \(dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\)
La formule d'intégration par parties est donnée par : \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Appliquons cette formule : \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \] Calculons \( \int e^x \, dx \) : \[ \int e^x \, dx = e^x + C \] Ainsi, nous avons : \[ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C \]
Exercice 6 ★ ★ ☆ ☆ ☆ : Équation différentielle sans second membre
Pour résoudre l'équation différentielle suivante : \[ \frac{dy}{dx} + 2y = 0, \] nous allons procéder par étapes.
Étape 1 : Identifier l'équation homogène L'équation peut être réarrangée en : \[ \frac{dy}{dx} = -2y. \] Étape 2 : Séparer les variables Nous séparons les variables : \[ \frac{dy}{y} = -2 \, dx. \] Étape 3 : Intégrer les deux côtés En intégrant, nous avons : \[ \int \frac{dy}{y} = \int -2 \, dx. \] Cela donne : \[ \ln |y| = -2x + C, \] où \(C\) est une constante d'intégration.
Étape 4 : Exponentier En exponentiant les deux côtés, nous obtenons : \[ |y| = e^{-2x + C} = e^C e^{-2x}. \] Nous pouvons poser \(C' = e^C\) (une nouvelle constante) : \[ y = C'e^{-2x}. \] Conclusion La solution générale de l'équation différentielle est : \[ y = Ce^{-2x}, \] où \(C\) est une constante déterminée par les conditions initiales, si elles sont fournies.
Exercice 7 ★ ★ ☆ ☆ ☆ : Équation différentielle avec second membre
Pour résoudre l'équation différentielle suivante : \[ \frac{dy}{dx} + y = e^x, \] nous allons utiliser la méthode du facteur intégrant.
Étape 1 : Identifier le facteur intégrant L'équation peut être mise sous la forme standard : \[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x), \] où \(P(x) = 1\) et \(Q(x) = e^x\).
Le facteur intégrant \(\mu(x)\) est donné par : \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 1 \, dx} = e^x. \] Étape 2 : Multiplier l'équation par le facteur intégrant Nous multiplions l'ensemble de l'équation par \(e^x\) : \[ e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = e^{2x}. \] Étape 3 : Réécrire le côté gauche Le côté gauche de l'équation peut être réécrit en utilisant la dérivée d'un produit : \[ \frac{d}{dx}(e^x y) = e^{2x}. \] Étape 4 : Intégrer les deux côtés Nous intégrons les deux côtés : \[ \int \frac{d}{dx}(e^x y) \, dx = \int e^{2x} \, dx. \] Cela nous donne : \[ e^x y = \frac{1}{2} e^{2x} + C, \] où \(C\) est une constante d'intégration.
Étape 5 : Isoler \(y\) Pour isoler \(y\), nous multiplions par \(e^{-x}\) : \[ y = \frac{1}{2} e^{x} + Ce^{-x}. \] Conclusion La solution générale de l'équation différentielle est : \[ y = \frac{1}{2} e^{x} + Ce^{-x}, \] où \(C\) est une constante déterminée par les conditions initiales, si elles sont fournies.
Exercice 8 ★ ★ ☆ ☆ ☆ : Équation différentielle sans second membre
Pour résoudre l'équation différentielle suivante : \[ \frac{dy}{dx} - 3y = 2, \] nous allons utiliser la méthode des coefficients indéterminés.
Étape 1 : Trouver la solution homogène L'équation homogène associée est : \[ \frac{dy}{dx} - 3y = 0. \] Cette équation peut être réécrite comme : \[ \frac{dy}{y} = 3dx. \] En intégrant les deux côtés, nous avons : \[ \ln |y| = 3x + C, \] où \(C\) est une constante d'intégration. En exponentiant, nous obtenons : \[ y_h = Ce^{3x}, \] où \(y_h\) est la solution homogène.
Étape 2 : Trouver une solution particulière Nous cherchons une solution particulière \(y_p\). Comme le terme constant à droite de l'équation est \(2\), nous pouvons essayer une solution particulière de la forme : \[ y_p = A, \] où \(A\) est une constante. En substituant \(y_p\) dans l'équation différentielle, nous avons : \[ 0 - 3A = 2. \] Cela donne : \[ -3A = 2 \implies A = -\frac{2}{3}. \] Étape 3 : Écrire la solution générale La solution générale de l'équation différentielle est la somme de la solution homogène et de la solution particulière : \[ y = y_h + y_p = Ce^{3x} - \frac{2}{3}. \] Conclusion La solution générale de l'équation différentielle est : \[ y = Ce^{3x} - \frac{2}{3}, \] où \(C\) est une constante déterminée par les conditions initiales si elles sont fournies.
Exercice 10 ★ ★ ☆ ☆ ☆ : Équation différentielle avec second membre
Pour résoudre l'équation différentielle suivante : \[ \frac{dy}{dx} + y = \sin(x), \] nous allons utiliser la méthode de variation des constantes ou le facteur intégrant.
Étape 1 : Trouver la solution homogène L'équation homogène associée est : \[ \frac{dy}{dx} + y = 0. \] Cette équation peut être réécrite comme : \[ \frac{dy}{y} = -dx. \] En intégrant les deux côtés, nous avons : \[ \ln |y| = -x + C, \] où \(C\) est une constante d'intégration. En exponentiant, nous obtenons : \[ y_h = Ce^{-x}, \] où \(y_h\) est la solution homogène.
Étape 2 : Trouver une solution particulière Pour trouver une solution particulière \(y_p\), nous allons utiliser la méthode de variation des constantes. Nous cherchons une solution de la forme : \[ y_p = A(x)e^{-x}, \] où \(A(x)\) est une fonction à déterminer. En substituant \(y_p\) dans l'équation différentielle, nous devons d'abord calculer \(\frac{dy_p}{dx}\) : \[ \frac{dy_p}{dx} = A'(x)e^{-x} - A(x)e^{-x}. \] En substituant \(y_p\) et \(\frac{dy_p}{dx}\) dans l'équation différentielle : \[ A'(x)e^{-x} - A(x)e^{-x} + A(x)e^{-x} = \sin(x). \] Cela simplifie à : \[ A'(x)e^{-x} = \sin(x). \] Maintenant, en multipliant les deux côtés par \(e^{x}\), nous avons : \[ A'(x) = \sin(x)e^{x}. \] Étape 3 : Intégrer pour trouver \(A(x)\) Nous intégrons \(A'(x)\) : \[ A(x) = \int \sin(x)e^{x} \, dx. \] Pour résoudre cette intégrale, nous utilisons l'intégration par parties. Posons :
En utilisant la formule d'intégration par parties \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\) : \[ A(x) = \sin(x)e^{x} - \int e^{x}\cos(x)dx. \] Nous devons également intégrer \(\int e^{x}\cos(x)dx\). En appliquant l'intégration par parties à cette nouvelle intégrale, nous obtenons une relation qui nous permet de résoudre ces intégrales.
Étape 4 : Trouver la solution générale Après avoir trouvé \(A(x)\), nous substituons dans \(y_p\) : \[ y_p = A(x)e^{-x}. \] La solution générale de l'équation différentielle est : \[ y = Ce^{-x} + y_p. \] Conclusion En résumé, bien que l'intégration par parties ait été esquissée, la solution générale de l'équation différentielle donnée est : \[ y = Ce^{-x} + \text{(solution particulière)}. \] Pour obtenir la solution particulière exacte, il faut évaluer \(\int \sin(x)e^{x} \, dx\) complètement, ce qui mène à une expression finale.
Trouvez la primitive de la fonction \(f(x) = 4x^3 - 2x + 7\).
Pour trouver la primitive \(F(x)\) de \(f(x)\), nous appliquons la règle de la puissance : \[ F(x) = \int (4x^3 - 2x + 7) \, dx = \frac{4}{4}x^4 - \frac{2}{2}x^2 + 7x + C \] Finalement, nous avons : \[ F(x) = x^4 - x^2 + 7x + C \] où \(C\) est une constante d'intégration.
Trouvez la primitive de la fonction \(g(x) = 3e^{x} + 4e^{2x}\).
Pour trouver la primitive \(G(x)\) de \(g(x)\), nous appliquons la règle de l'intégration exponentielle : \[ G(x) = \int (3e^{x} + 4e^{2x}) \, dx = 3e^{x} + 2e^{2x} + C \] où \(C\) est une constante d'intégration.
Trouvez la primitive de la fonction \(h(x) = \sin(2x).\)
Pour trouver la primitive \(H(x)\) de \(h(x)\), nous appliquons la règle de l'intégration trigonométrique : \[ H(x) = \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \] où \(C\) est une constante d'intégration.
Exercice 4 ★ ★ ★ ★ ★ : Intégration par parties
Trouvez la primitive de la fonction \(f(x) = x \ln(x).\)
Nous utiliserons l'intégration par parties, avec :
• \(u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\) • \(dv = x dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2}\)
La formule d'intégration par parties est : \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Appliquons cette formule : \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx \] Simplifions : \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx \] Donc, nous avons : \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{4} x^2 + C \]
Exercice 5 ★ ★ ★ ★ ☆ : Intégration par parties
Trouvez la primitive de la fonction \(f(x) = e^x \cos(x).\)
Nous allons utiliser l'intégration par parties deux fois :
• \(u = \cos(x) \Rightarrow du = -\sin(x)dx\) • \(dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\)
Appliquons la formule : \[ \int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) - \int e^x (-\sin(x)) dx \] Cela nous donne : \[ \int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) \, dx \] Répétons l'intégration par parties pour \(\int e^x \sin(x) \, dx\), et nous obtiendrons une relation pour résoudre l'intégrale finale. Finalement, nous avons : \[ \int e^x \cos(x) \, dx = \frac{1}{2} e^x (\cos(x) + \sin(x)) + C \]
𝔼𝕩𝕖𝕣𝕔𝕚𝕔𝕖𝕤 𝕕'𝕒𝕡𝕡𝕝𝕚𝕔𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤
Exercice 6 ★ ★ ★ ☆ ☆ : Intégration de fonctions polynomiales avec paramètre
Trouvez l'intégrale définie de la fonction \(f(x) = n x^{n-1}\) sur l'intervalle \([a, b]\), où \(n\) est un paramètre constant.
Pour trouver l'intégrale définie \(F(x)\) de \(f(x)\), nous appliquons la règle de la puissance :\[F(x) = \int_a^b n x^{n-1} dx = \left[ x^n \right]_a^b = b^n - a^n\]
Exercice 7 ★ ★ ★ ★ ☆ : Intégration de fonctions exponentielles avec paramètre
Trouvez l'intégrale définie de la fonction \(g(x) = n e^{nx}\) sur l'intervalle \([0, c]\), où \(n\) est un paramètre constant.
Pour trouver l'intégrale définie \(G(x)\) de \(g(x)\), nous appliquons la règle de l'intégration exponentielle :\[G(x) = \int_0^c n e^{nx} dx = \left[ e^{nx} \right]_0^c = e^{nc} - 1\]
Exercice 8 ★ ★ ★ ☆ ☆ : Intégration de fonctions trigonométriques avec paramètre
Trouvez l'intégrale définie de la fonction \(h(x) = n \sin(nx)\) sur l'intervalle \([0, \frac{\pi}{n}]\), où \(n\) est un paramètre constant.
Pour trouver l'intégrale définie \(H(x)\) de \(h(x)\), nous appliquons la règle de l'intégration trigonométrique :\[H(x) = \int_0^{\frac{\pi}{n}} n \sin(nx) \, dx = \left[ -\cos(nx) \right]_0^{\frac{\pi}{n}} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 2\]
Exercice 9 ★ ★ ★ ★ ★ : Intégration par parties avec paramètre
Trouvez l'intégrale définie de la fonction \(f(x) = n x^n e^x\) sur l'intervalle \([0, 1]\), où \(n\) est un paramètre constant.
Nous utiliserons l'intégration par parties, avec :
• \(u = x^n \Rightarrow du = n x^{n-1} dx\) • \(dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\)
Appliquons la formule : \[\int_0^1 n x^n e^x \, dx = \left[ e^x x^n \right]_0^1 - \int_0^1 e^x n x^{n-1} dx\] Ce qui nous donne : \[\int_0^1 n x^n e^x \, dx = e \cdot 1^n - 0 - n \int_0^1 x^{n-1} e^x dx\] Cette intégrale peut nécessiter une double intégration par parties pour être résolue complètement.
Exercice 10 ★ ★ ★ ★ ☆ : Intégration par parties avec paramètre
Trouvez l'intégrale définie de la fonction \(f(x) = n e^{nx} \ln(x)\) sur l'intervalle \([1, e]\), où \(n\) est un paramètre constant.
Nous allons utiliser l'intégration par parties, avec :
• \(u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\) • \(dv = n e^{nx}dx \Rightarrow v = \frac{1}{n} e^{nx}\)
Appliquons la formule : \[\int_1^e n e^{nx} \ln(x) \, dx = \left[ \frac{1}{n} e^{nx} \ln(x) \right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{n} e^{nx} \cdot \frac{1}{x} dx\] Ce qui nous donne : \[\int_1^e n e^{nx} \ln(x) \, dx = \frac{1}{n} e^{ne} \cdot 1 - 0 - \frac{1}{n} \int_1^e \frac{e^{nx}}{x} dx\] Cette intégrale peut nécessiter une double intégration par parties pour être résolue complètement.
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