Une suite numérique est une application \(u: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) qui à tout entier naturel \(n\) associe un réel \(u_n\). Les suites constituent un outil fondamental en analyse mathématique, permettant de modéliser des phénomènes discrets et d'approcher des problèmes continus. Elles établissent un pont essentiel entre l'algèbre et l'analyse, offrant une approche rigoureuse pour étudier les comportements asymptotiques.
L'étude des suites remonte à l'Antiquité avec les travaux d'Archimède sur les approximations de π, mais c'est au XVIIe siècle que leur formalisation moderne a émergé avec les travaux de Cauchy et Weierstrass. Aujourd'hui, elles sont indispensables dans de nombreux domaines scientifiques et technologiques.
Applications pratiques
🔹 Finance : Calcul des intérêts composés, modélisation des marchés financiers et évaluation des produits dérivés. La suite \(C_n = C_0(1+r)^n\) modélise la capitalisation.
🔹 Biologie : Croissance des populations selon le modèle de Malthus \(P_{n+1} = rP_n\), modèles épidémiologiques et dynamiques des écosystèmes.
🔹 Informatique : Analyse de la complexité algorithmique, structures de données récursives et méthodes d'approximation numérique.
🔹 Physique : Discrétisation des équations différentielles, modélisation des systèmes dynamiques et méthodes de Monte-Carlo.
🔹 Ingénierie : Traitement du signal numérique, systèmes de contrôle et optimisation.
Figure 1 : Comportement asymptotique d'une suite convergente
Modes de définition
1. Définition explicite : \(u_n = f(n)\) où \(f\) est une fonction explicite de \(n\) Exemple : \(u_n = \frac{2n+1}{n^2+1}\) - Cette forme permet un calcul direct de chaque terme.
2. Définition récurrente : \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(u_0\) donné Exemple : \(u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{2}{u_n})\), \(u_0 = 1\) - Algorithme de Héron pour \(\sqrt{2}\)
3. Définition implicite : Relations plus complexes comme \(u_n^2 + u_{n+1} = n\) 4. Définition par récurrence d'ordre supérieur : \(u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n\) (suite de Fibonacci)
2. Monotonie et bornitude des suites
Monotonie
La monotonie d'une suite \((u_n)\) caractérise l'évolution de ses termes. Cette propriété est cruciale pour déterminer l'existence de limites et pour l'analyse du comportement asymptotique.
Une suite \((u_n)\) est dite :
🔹 Croissante : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \geq u_n\)
🔹 Décroissante : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \leq u_n\)
🔹 Monotone : si elle est croissante ou décroissante
🔹 Strictement monotone : avec des inégalités strictes
🔹 Stationnaire : si \(\exists N, \forall n \geq N, u_{n+1} = u_n\)
Méthodes d'étude : 1. Méthode par différence : Calculer \(u_{n+1} - u_n\) et étudier son signe 2. Méthode par quotient : Si \(u_n > 0\), étudier \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) 3. Méthode fonctionnelle : Si \(u_n = f(n)\), étudier la monotonie de \(f\)
Exemple détaillé
Soit \(u_n = \frac{n}{n+1}\). Étudions sa monotonie :
Donc \((u_n)\) est strictement croissante. De plus, \(u_n < 1\) car \(n < n+1\), donc elle est majorée par 1.
Suites bornées
La notion de bornitude est fondamentale pour l'existence des limites. Une suite bornée ne peut pas diverger vers l'infini, mais peut néanmoins ne pas converger (oscillations).
Une suite \((u_n)\) est dite :
🔹 Majorée : \(\exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M\)
🔹 Minorée : \(\exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_n \geq m\)
🔹 Bornée : si elle est à la fois majorée et minorée
Théorème fondamental :
✅️ Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.
✅️ Toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure. Ce théorème est la base de nombreuses démonstrations de convergence.
Figure 2 : Convergence d'une suite croissante et majorée
3. Limites et convergence des suites
Définition formelle (ε-N)
La définition rigoureuse de la convergence, formalisée par Cauchy et Weierstrass, est le fondement de l'analyse moderne. Elle capture l'idée intuitive que les termes d'une suite convergente se rapprochent arbitrairement de leur limite.
La suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) si :
\[\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - \ell| < \varepsilon\]
Cette définition signifie que pour toute précision \(\varepsilon\) souhaitée, il existe un rang \(N\) à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle \(]\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon[\).
On note alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\) ou \(u_n \to \ell\). Si une suite ne converge pas, on dit qu'elle diverge.
Théorèmes fondamentaux
Théorème de convergence monotone :
Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure. Toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure. Ce théorème est constructif et permet souvent de calculer explicitement la limite.
Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) :
Si \(\forall n \geq N, v_n \leq u_n \leq w_n\) et \(\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell\), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\). Cette technique est particulièrement puissante pour les suites définies par des expressions complexes.
Théorème de Bolzano-Weierstrass :
De toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. Ce théorème d'existence est fondamental en analyse et topologie.
Critère de Cauchy :
Une suite converge si et seulement si \(\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall m,n \geq N, |u_m - u_n| < \varepsilon\). Ce critère ne nécessite pas de connaître la limite a priori.
Figure 3 : Illustration géométrique de la convergence
Opérations sur les limites
Les opérations algébriques sur les limites permettent de calculer efficacement les limites de suites complexes. Ces règles sont la transposition des propriétés de continuité dans le contexte discret.
Si \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\) et \(\lim_{n \to +\infty} v_n = \ell'\), alors :
Une suite arithmétique est définie par une relation de récurrence de la forme \(u_{n+1} = u_n + r\), où \(r\) est la raison constante. Elle modélise des phénomènes à croissance linéaire.
Forme générale : \(u_n = u_0 + nr\) pour \(n \geq 0\)
Suite factorielle : \(n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1\)
Croissance très rapide : \(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\) (formule de Stirling)
La méthode des équivalents est particulièrement efficace pour lever les indéterminations et simplifier les calculs de limites. Elle repose sur la comparaison asymptotique des suites.
Équivalents usuels :
\(\sin(1/n) \sim \frac{1}{n}\) quand \(n \to +\infty\)
\(\ln(1 + 1/n) \sim \frac{1}{n}\) quand \(n \to +\infty\)
\(e^{1/n} - 1 \sim \frac{1}{n}\) quand \(n \to +\infty\)
\((1 + 1/n)^n \sim e\) quand \(n \to +\infty\)
\(n^{\alpha} \ll a^n \ll n!\) pour \(\alpha > 0, a > 1\)
Exemple : Pour \(u_n = \frac{n\sin(1/n)}{1 + \ln(1 + 1/n)}\) :
Donc \(u_n = \frac{\frac{1}{2n^2} + o(1/n^2)}{1/n^2} \to \frac{1}{2}\)
Méthode de Césaro
La méthode de Césaro permet d'étudier la convergence de certaines suites à travers leurs moyennes arithmétiques. Elle s'applique particulièrement aux suites oscillantes.
Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\left(\frac{u_0 + u_1 + \ldots + u_n}{n+1}\right)\) converge aussi vers \(\ell\).
Exemple : Pour \(u_n = (-1)^n\), bien que \((u_n)\) ne converge pas,
la moyenne de Césaro \(C_n = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\) converge vers 0.
Critère de Stolz-Cesàro
Ce critère est l'analogue discret de la règle de L'Hôpital pour les suites. Il permet de lever certaines indéterminations.
Si \((b_n)\) est strictement croissante, \(b_n \to +\infty\), et \(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \ell\), alors \(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \ell\).
Exemple : Pour \(u_n = \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2}{n^3}\) :
En posant \(a_n = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\) et \(b_n = n^3\) :
Les suites numériques constituent un pilier fondamental de l'analyse mathématique moderne. Leur étude approfondie révèle la richesse des structures discrètes et leur capacité à modéliser des phénomènes complexes. De la simple progression arithmétique aux suites récurrentes non-linéaires, chaque type de suite offre des perspectives uniques sur la nature des processus séquentiels.
L'importance des suites dépasse largement le cadre théorique. En informatique, elles sous-tendent les algorithmes d'approximation et les méthodes itératives. En finance, elles modélisent l'évolution des actifs et des portefeuilles. En sciences physiques, elles permettent la discrétisation des phénomènes continus et l'analyse des systèmes dynamiques.
Perspectives avancées
Suites de fonctions : Convergence simple, uniforme, et leurs applications en analyse fonctionnelle
Suites aléatoires : Convergence presque sûre, en probabilité, et théorèmes limites
Suites dans les espaces métriques : Généralisation des concepts de convergence
Théorie ergodique : Comportement asymptotique des systèmes dynamiques
Analyse numérique : Méthodes itératives et convergence des algorithmes
La maîtrise des suites numériques ouvre la voie à des domaines mathématiques avancés et à des applications interdisciplinaires. Leur étude continue d'évoluer, enrichie par les développements de l'analyse moderne et les besoins des sciences appliquées.
Document pédagogique - Niveau terminale et universitaire
Raisonnement par récurrence
Principe de la récurrence simple
Le raisonnement par récurrence est une méthode puissante pour démontrer des propriétés dépendant d'un entier naturel \(n\). Il se décompose en trois étapes :
Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie au rang initial (souvent \(n = 0\) ou \(n = 1\)).
Hérédité : Supposer la propriété vraie à un rang \(k\) (hypothèse de récurrence) et démontrer qu'elle reste vraie au rang \(k+1\).
Conclusion : Par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout \(n \geq \text{rang initial}\).
Exemple : Montrons que \(\forall n \in \mathbb{N}^*,\ 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Initialisation : Pour \(n=1\), \(1 = \frac{1(1+1)}{2}\) ✓ Hérédité : Supposons vrai au rang \(k\). Alors au rang \(k+1\) :
\(1 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\) ✓ Conclusion : La formule est valide pour tout \(n \geq 1\).
Variantes importantes
Récurrence forte : On suppose la propriété vraie pour tous les rangs inférieurs à \(k\) (pas seulement \(k\)).
Exemple : Tout entier \(n \geq 2\) est produit de nombres premiers. Initialisation : \(2\) est premier ✓ Hérédité : Si \(n\) est premier, c'est fini. Sinon \(n = ab\) avec \(a,b < n\) auxquels s'applique l'hypothèse.
Pièges classiques
Oublier l'initialisation (ex: \(n=0\) peut être faux alors que l'hérédité marche)
Mal choisir le rang initial (certaines propriétés ne démarrent qu'à partir d'un certain rang)
Confondre récurrence simple et forte
I. Démonstration d’une expression explicite
Cette catégorie regroupe les démonstrations où l’on établit une formule explicite pour une suite définie de manière récurrente. On cherche à exprimer le terme général \( u_n \) en fonction de \( n \), ce qui permet de calculer facilement les termes sans passer par la récurrence.
Exercice 1: Sommes remarquables ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Maîtriser les démonstrations par récurrence des sommes classiques et la décomposition télescopique.
Énoncé :
Démontrer que pour tout entier naturel \( n \) :
1. \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)
2. \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
3. \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\)
4. \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}\)
Méthode conseillée : Pour les questions 1-3, utiliser la récurrence. Pour la question 4, penser à la décomposition \(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\).
Démontrons ces égalités de manière détaillée par récurrence.
1. Démonstration de la première égalité par récurrence : \(a_n = \sum_{k=0}^{n} k = 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}\), pour tout entier naturel \(n\)
• Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(a_0 = \sum_{k=0}^{0} k = 0 = \frac{0(0+1)}{2}\), ce qui est vrai.
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier naturel \(n = p\), c'est-à-dire que \(a_p = \sum_{k=0}^{p} k = \frac{p(p+1)}{2}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la formule est alors vraie pour \(n = p+1\). \(a_{p+1} = \sum_{k=0}^{p+1} k = \sum_{k=0}^{p} k + (p+1) = a_p + (p+1) = \frac{p(p+1)}{2} + (p+1) = \frac{(p+1)(p+2)}{2}\)
• Conclusion : Nous avons montré que la formule est vraie pour \(n = 0\) et que si elle est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\). Donc, par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel \(n\).
2. Démonstration de la deuxième égalité par récurrence : \(b_n = \sum_{k=0}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), pour tout entier naturel \(n≥1\)
• Initialisation : Pour \(n = 1\), on a \(b_1 = \sum_{k=0}^{1} k^2 = 1^2 = 1 = \frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6}\), ce qui est vrai.
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier naturel \(n = p\), c'est-à-dire que \(b_p = \sum_{k=0}^{p} k^2 = \frac{p(p+1)(2p+1)}{6}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la formule est alors vraie pour \(n = p+1\). \(b_{p+1} = \sum_{k=0}^{p+1} k^2 = \sum_{k=0}^{p} k^2 + (p+1)^2 = b_p + (p+1)^2 = \frac{p(p+1)(2p+1)}{6} + (p+1)^2 = \frac{(p+1)(p+2)(2(p+1)+1)}{6}\)
• Conclusion : Nous avons montré que la formule est vraie pour \(n = 1\) et que si elle est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\). Donc, par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel \(n≥1\).
3. Démonstration de la troisième égalité par récurrence : \(c_n = \sum_{k=0}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\), pour tout entier naturel \(n≥1\)
• Initialisation : Pour \(n = 1\), on a \(c_1 = \sum_{k=0}^{1} k^3 = 1^3 = 1 = \frac{1^2(1+1)^2}{4}\), ce qui est vrai.
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier naturel \(n = p\), c'est-à-dire que \(c_p = \sum_{k=0}^{p} k^3 = \frac{p^2(p+1)^2}{4}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la formule est alors vraie pour \(n = p+1\). \(c_{p+1} = \sum_{k=0}^{p+1} k^3 = \sum_{k=0}^{p} k^3 + (p+1)^3 = c_p + (p+1)^3 = \frac{p^2(p+1)^2}{4} + (p+1)^3 = \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}\)
• Conclusion : Nous avons montré que la formule est vraie pour \(n = 1\) et que si elle est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\). Donc, par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel \(n≥1\).
4. Démonstration de la quatrième égalité par récurrence : \(d_n = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{n \times (n+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}\), pour tout entier naturel \(n≥1\)
• Initialisation : Pour \(n = 1\), on a \(d_1 = \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}\), ce qui est vrai.
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier naturel \(n = p\), c'est-à-dire que \(d_p = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{p \times (p+1)} = 1 - \frac{1}{p+1}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la formule est alors vraie pour \(n = p+1\). \(d_{p+1} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{p \times (p+1)} + \frac{1}{(p+1) \times (p+2)} = d_p + \frac{1}{(p+1) \times (p+2)} = 1 - \frac{1}{p+1} + \frac{1}{(p+1) \times (p+2)} = 1 - \frac{1}{(p+1) \times (p+2)} = 1 - \frac{1}{(p+2)}\)
• Conclusion : Nous avons montré que la formule est vraie pour \(n = 1\) et que si elle est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\). Donc, par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel \(n≥1\).
Exercice 2: Somme des carrés impairs ★ ☆ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Savoir établir et démontrer une formule pour une somme particulière.
Énoncé :
Pour tout \(n \geq 1\), soit \(s_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2\).
Démontrer que \(s_n = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\).
Remarque : Comparer cette somme avec la somme des carrés des n premiers entiers naturels.
Démontrons par récurrence que pour tout \(n \geq 1\), \(s_n = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\).
• Initialisation : Pour \(n = 1\), on a : \begin{align*} s_1 &= (2 \cdot 1 - 1)^2 \\ &= 1^2 \\ &= 1 \end{align*} Et \(\frac{1(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1\). Donc, la propriété est vraie pour \(n = 1\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel \(n = p\), c'est-à-dire que \(s_p = \frac{p(2p-1)(2p+1)}{3}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la propriété est alors vraie pour \(n = p+1\).
Donc, \(s_{p+1} = \frac{(p+1)(2(p+1)-1)(2(p+1)+1)}{3}\), ce qui montre que la propriété est vraie pour \(n = p+1\).
• Conclusion : Nous avons montré que la propriété est vraie pour \(n = 1\) et que si elle est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\). Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n \geq 1\).
Exercice 3: Somme des nombres impairs ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Développer l'intuition mathématique par conjecture et la validation rigoureuse.
Énoncé :
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(u_n = \sum_{k=1}^n (2k-1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)\).
1. Calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\)
2. Conjecturer une expression simple de \(u_n\) puis la démontrer par récurrence.
Astuce : Observer les résultats des premiers calculs pour deviner la formule générale avant de la prouver.
Donc, nous avons bien montré que si la propriété est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\).
• Conclusion : Nous avons vérifié que la propriété est vraie pour \(n = 1\) et que si elle est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\). Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\).
Ainsi, nous avons démontré que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n = n^2\).
II. Étude de propriétés globales sur la suite
⭐ Monotonie / Croissance
Cette catégorie englobe toutes les démonstrations visant à prouver des propriétés générales sur les termes d'une suite : croissance, décroissance, positivité, encadrement ou divisibilité. Ces propriétés sont souvent nécessaires pour prouver la convergence ou pour encadrer les comportements asymptotiques.
Exercice 1: Croissance d'une suite récurrente ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Démontrer la croissance d'une suite définie par récurrence avec une fonction racine carrée.
Énoncé :
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[
\begin{cases}
u_0 = 1 \\
u_{n+1} = \sqrt{1+u_n} & \forall n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]
Démontrer que \((u_n)\) est croissante.
Conseil : Pour l'étape d'hérédité, utiliser la croissance de la fonction racine carrée et l'hypothèse de récurrence.
Pour démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante, nous allons procéder par récurrence.
• Initialisation : Montrons que \(u_1 \geq u_0\). \(u_1 = \sqrt{1+u_0} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \geq 1 = u_0\) Donc la propriété est vraie pour \(n=0\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la suite soit croissante jusqu'au rang \(n\), c'est-à-dire que \(u_k \leq u_{k+1}\) pour tout \(k \in \{0, 1, \dots, n\}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la suite est également croissante au rang \(n+1\), c'est-à-dire que \(u_{n+1} \leq u_{n+2}\).
En effet, d'après l'hypothèse de récurrence, on a \(u_n \leq u_{n+1}\), donc \(1+u_n \leq 1+u_{n+1}\). Comme la fonction \(\sqrt{\cdot}\) est croissante, on en déduit que \(\sqrt{1+u_n} \leq \sqrt{1+u_{n+1}}\), c'est-à-dire que \(u_{n+1} \leq u_{n+2}\).
• Conclusion : Nous avons montré que la propriété est vraie pour \(n=0\) et que si elle est vraie pour un certain entier \(n\), alors elle est encore vraie pour \(n+1\). Donc, par le principe de récurrence, la suite \((u_n)\) est croissante pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Exercice 2: Variations de suites ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Distinguer différentes méthodes pour étudier les variations de suites.
Énoncé :
1. Montrer que \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2 + 3n\) est croissante.
2. Montrer que \((v_n)\) définie par \(v_n = (\frac{1}{4})^n n^2\) est décroissante.
3. Pour \((w_n)\) définie par \(w_0 = 1\) et \(w_{n+1} = 2w_n -3\), montrer qu'elle est décroissante.
Conseils :
Pour 1: Comparer un+1 et un
Pour 2: Étudier le rapport vn+1/vn
Pour 3: Utiliser une récurrence
1. Montrer que la suite \((u_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = n^2 + 3n\), est croissante.
Démonstration par récurrence :
• Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0 = 0^2 + 3\cdot0 = 0\). Pour \(n=1\), on a \(u_1 = 1^2 + 3\cdot1 = 4\). Donc \(u_1 > u_0\), la propriété est vraie pour \(n=0\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la suite soit croissante jusqu'au rang \(n=p\), c'est-à-dire que \(u_p \leq u_{p+1}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la suite est encore croissante au rang \(n=p+1\).
Donc \(w_{p+1} < w_{p+2}\), la suite \((w_n)\) est décroissante.
⭐ Encadrement
Exercice 3: Encadrement d'une suite récurrente ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Apprendre à démontrer un encadrement par récurrence.
Énoncé :
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[
\begin{cases}
u_0 = \frac{2}{3} \\
u_{n+1} = \sqrt{1+u_n} & \forall n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]
Montrer que pour tout entier \(n\), \(0 < u_n < 2\).
Méthode : Pour l'hérédité, étudier soigneusement les variations de la fonction \(f(x) = \sqrt{1+x}\) sur l'intervalle concerné.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0 < u_n < 2\).
• Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(u_0 = \frac{2}{3}\). Comme \(\frac{2}{3} \in (0, 1)\), la propriété est vraie pour \(n = 0\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel \(n = p\), c'est-à-dire que \(0 < u_p < 2\).
• Étape de récurrence : Montrons que la propriété est alors vraie pour \(n = p+1\).
D'après la définition de la suite \((u_n)\), on a : \[ u_{p+1} = \sqrt{1 + u_p}. \] Comme \(0 < u_p < 2\) (hypothèse de récurrence), on a \(1 + u_p < 3\). Ainsi, \(\sqrt{1 + u_p} < \sqrt{3}\), et comme \(\sqrt{3} < 2\), on obtient \(u_{p+1} < 2\).
De plus, comme \(u_p > 0\), on a \(1 + u_p > 1\), donc \(\sqrt{1 + u_p} > 1\). Par conséquent, \(0 < u_{p+1} < 2\).
Ainsi, nous avons montré que si la propriété est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\).
• Conclusion : Nous avons vérifié que la propriété est vraie pour \(n = 0\) et que si elle est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\). Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).
Ainsi, nous avons démontré que pour tout entier naturel \(n\), \(0 < u_n < 2\).
Exercice 4: Encadrement d'une suite fractionnaire ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Maîtriser la démonstration d'encadrement pour une suite définie par récurrence complexe.
Énoncé :
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[
\begin{cases}
u_0 = 0 \\
u_{n+1} = \frac{1+2u_n}{2+u_n}
\end{cases}
\]
Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(0 < u_n ≤ 1\).
Méthode : Pour l'hérédité, séparer la démonstration en deux parties : minorant et majorant.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul \(n\), on a \(0 < u_n \leq 1\).
• Initialisation : Pour \(n = 1\), on a \[ u_1 = \frac{1 + 2u_0}{2 + u_0} = \frac{1 + 2 \cdot 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \in ]0, 1]. \] Donc, la propriété est vraie pour \(n = 1\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété soit vraie jusqu'au rang \(n = p\), c'est-à-dire que \(0 < u_k \leq 1\) pour tout \(k \in \{1, 2, \dots, p\}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la propriété est encore vraie au rang \(n = p + 1\). \[ u_{p+1} = \frac{1 + 2u_p}{2 + u_p}. \] 1. Montrons que \(u_{p+1} > 0\) : Puisque \(u_p > 0\) d'après l'hypothèse de récurrence, on a \[ 1 + 2u_p > 1 > 0 \quad \text{et} \quad 2 + u_p > 2 > 0. \] Ainsi, \[ u_{p+1} > 0. \] 2. Montrons que \(u_{p+1} \leq 1\) : Pour cela, nous devons prouver que \[ \frac{1 + 2u_p}{2 + u_p} \leq 1. \] Cela revient à montrer que \[ 1 + 2u_p \leq 2 + u_p. \] En simplifiant, nous obtenons \[ u_p \leq 1, \] ce qui est vrai d'après notre hypothèse de récurrence.
Par ailleurs, puisque \(u_p \in ]0, 1]\), on a \[ 2 + u_p > 2, \] donc \[ \frac{1 + 2u_p}{2 + u_p} < \frac{1 + 2 \cdot 1}{2 + 0} = \frac{3}{2} \leq 1. \] Ainsi, nous avons montré que \(0 < u_{p+1} \leq 1\), ce qui prouve que la propriété est encore vraie au rang \(n = p + 1\).
• Conclusion : Nous avons vérifié que la propriété est vraie pour \(n = 1\) et que si elle est vraie jusqu'au rang \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p + 1\). Donc, par le principe de récurrence, nous avons démontré que pour tout entier naturel non nul \(n\), on a \(0 < u_n \leq 1\).
Exercice 5: Encadrement d'une suite récurrente ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Appliquer le raisonnement par récurrence pour établir un encadrement strict.
Énoncé :
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[
\begin{cases}
u_0 = 1 \\
u_{n+1} = \sqrt{2+u_n} & \forall n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]
Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < u_n ≤ 2\).
Remarque : Bien vérifier l'initialisation pour n=0 avant de passer à l'hérédité.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a \(0 < u_n \leq 2\).
• Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(u_0 = 1\). Donc \(0 < u_0 \leq 2\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété soit vraie jusqu'au rang \(n = p\), c'est-à-dire que \(0 < u_k \leq 2\) pour tout \(k \in \{0, 1, \dots, p\}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la propriété est encore vraie au rang \(n = p+1\).
De plus, d'après l'hypothèse de récurrence, on a \(u_p \leq 2\). Donc : \begin{align*} u_{p+1} &= \sqrt{2+u_p} \\ &\leq \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2 \end{align*} Donc \(u_{p+1} \leq 2\).
Ainsi, nous avons montré que \(0 < u_{p+1} \leq 2\), ce qui prouve que la propriété est encore vraie au rang \(n = p+1\).
• Conclusion : Nous avons vérifié que la propriété est vraie pour \(n = 0\) et que si elle est vraie jusqu'au rang \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\). Donc, par le principe de récurrence, nous avons démontré que pour tout entier naturel \(n\), on a \(0 < u_n \leq 2\).
Exercice 6: Bornes de suites ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Savoir démontrer qu'une suite est minorée ou majorée.
Énoncé :
1. Montrer que \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2 -6n +5\) est minorée par -4.
2. Pour \((v_n)\) définie par \(v_0 = 1\) et \(v_{n+1} = 2v_n -3\), montrer qu'elle est majorée par 3.
Astuces :
Pour 1: Compléter le carré
Pour 2: Raisonner par récurrence
1. Montrer que la suite \((u_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = n^2 -6n+5\), est minorée par \(-4\).
Démonstration : Nous allons montrer que \(u_n \geq -4\) pour tout entier naturel \(n\).
Soit \(n\) un entier naturel quelconque, on a : \begin{align*} u_n &= n^2 - 6n + 5 \\ &= n^2 - 6n + 9 - 4 \\ &= (n-3)^2 - 4 \\ &\geq -4 \end{align*}
En effet, comme \((n-3)^2 \geq 0\) pour tout \(n\), on a bien \(u_n \geq -4\).
Donc la suite \((u_n)\) est minorée par \(-4\).
2. Montrer par récurrence que la suite \((v_n)\) définie par \(v_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1} =2v_n -3\), est majorée par \(3\).
Démonstration par récurrence :
• Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(v_0 = 1 \leq 3\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la suite soit majorée par \(3\) jusqu'au rang \(n=p\), c'est-à-dire que \(v_p \leq 3\).
• Étape de récurrence : Montrons que la suite est encore majorée par \(3\) au rang \(n=p+1\).
Démontrons par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(10^n - 1\) est de la forme \(9k\) pour un certain entier \(k\).
• Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(10^0 - 1 = 0\), qui est bien de la forme \(9k\) (avec \(k = 0\)).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel \(n = p\), c'est-à-dire que \(10^p - 1\) est de la forme \(9k\) pour un certain \(k\).
• Étape de récurrence : Montrons que la propriété est alors vraie pour \(n = p + 1\). \[10^{p+1} - 1 = 10 \times 10^p - 1\] \[= 10 \times (10^p - 1) + 9\] \[= 10 \times (9k) + 9 \quad (\text{d'après l'hypothèse de récurrence})\] \[= 90k + 9 = 9(10k + 1).\] Ainsi, \(10^{p+1} - 1\) est de la forme \(9m\) pour \(m = 10k + 1\).
• Conclusion : Nous avons montré que la propriété est vraie pour \(n = 0\) et que si elle est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p + 1\). Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).
En conclusion, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(10^n - 1\) est de la forme \(9k\) pour un certain entier \(k\).
III. Étude de suites numériques spéciales
Cette catégorie concerne les suites aux définitions particulières comme les suites arithmético-géométriques, les suites définies par des racines, des fractions ou des relations non linéaires. Leur étude demande souvent une approche plus fine, combinant intuition, transformations et encadrements.
Exercice 1: Suite récurrente quadratique ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Maîtriser la démonstration par récurrence avec des suites définies par relation de récurrence non linéaire.
Énoncé :
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[
\begin{cases}
u_0 = \frac{7}{8} \\
u_{n+1} = u_n^2 & \forall n \geq 0
\end{cases}
\]
Démontrer que \(u_n = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Conseil : Bien observer la forme exponentielle double dans l'expression à démontrer. L'initialisation est cruciale pour bien partir.
Démontrons par récurrence que \(u_n = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
• Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(u_0 = \frac{7}{8}\). Donc, \(u_0 = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^{0}}\), ce qui est vrai.
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel \(n = p\), c'est-à-dire que \(u_p = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^{p}}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la propriété est alors vraie pour \(n = p+1\).
Donc, \(u_{p+1} = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^{p+1}}\), ce qui montre que la propriété est vraie pour \(n = p+1\).
• Conclusion : Nous avons montré que la propriété est vraie pour \(n = 0\) et que si elle est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\). Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).
Ainsi, nous avons démontré que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^n}\).
Exercice 2: Suite récurrente fractionnaire ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Savoir trouver la forme explicite d'une suite définie par récurrence.
Énoncé :
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et :
\[ u_{n+1} = \frac{u_n - 2}{2u_n + 5} \]
Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = \frac{9-8n}{3+8n}\).
Difficulté : La manipulation algébrique des fractions lors de l'étape d'hérédité demande de la rigueur.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \frac{9-8n}{3+8n}\).
• Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(u_0 = 3\). Or, \(\frac{9-8 \cdot 0}{3+8 \cdot 0} = \frac{9}{3} = 3\). Donc, la propriété est vraie pour \(n = 0\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel \(n = p\), c'est-à-dire que \(u_p = \frac{9-8p}{3+8p}\).
• Étape de récurrence : Montrons que la propriété est alors vraie pour \(n = p+1\).
Donc, \(u_{p+1} = \frac{9-8(p+1)}{3+8(p+1)}\), ce qui montre que la propriété est vraie pour \(n = p+1\).
• Conclusion : Nous avons montré que la propriété est vraie pour \(n = 0\) et que si elle est vraie pour \(n = p\), alors elle est aussi vraie pour \(n = p+1\). Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).
Ainsi, nous avons démontré que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \frac{9-8n}{3+8n}\).
Exercice 3: Convergence d’une suite rationnelle définie par itération ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Étudier une suite définie par récurrence via une fonction rationnelle, en analysant son comportement (monotonie, encadrement, limite).
Énoncé :
Soit la fonction \(f : [1,3] \to \mathbb{R}\) définie par :
\[
f(x) = \frac{6x - 5}{x + 1}
\]
Partie A :
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[
\begin{cases}
u_0 = 3 \\
u_{n+1} = f(u_n)
\end{cases}
\]
1. Vérifier que pour tout \(x \in [1,3]\), on a \(f(x) \in [1,3]\).
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \in [1,3]\).
3. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
4. Justifier que \((u_n)\) converge.
5. Déterminer la limite de \((u_n)\).
Partie B :
On considère maintenant la suite \((v_n)\) définie par :
\[
\begin{cases}
v_0 = 1 \\
v_{n+1} = f(v_n)
\end{cases}
\]
1. Tracer les courbes \(y = x\) et \(y = f(x)\) sur [1,3] et illustrer le comportement de la suite \((v_n)\).
2. Montrer que pour tout \(n\), \(v_n \neq 1\) et que la suite est strictement croissante.
3. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a :
\[
1 - v_{n+1} = \frac{2(1 - v_n)}{v_n + 1}
\]
4. En déduire que \(0 \leq 1 - v_n \leq \frac{2}{n+1}\).
5. En déduire la limite de \((v_n)\).
Conseil : Utiliser les propriétés de la fonction \(f\) sur l’intervalle [1,3] pour encadrer les suites, puis raisonner sur leur monotonie. L’étude graphique dans la partie B peut aider à mieux comprendre le comportement dynamique.
• Partie A :
1. On montre que \(f\) est bien à valeurs dans [1,3] en analysant ses bornes sur cet intervalle.
2. Par récurrence, si \(u_n \in [1,3]\), alors \(u_{n+1} = f(u_n) \in [1,3]\).
3. Montrons que \(f\) est décroissante sur [1,3], ce qui entraîne la décroissance de \((u_n)\).
4. Une suite décroissante et minorée converge (théorème de convergence monotone).
5. Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell = f(\ell)\). Résolvons \(\ell = \frac{6\ell - 5}{\ell + 1}\) :
\[
\ell(\ell + 1) = 6\ell - 5 \Rightarrow \ell^2 - 5\ell + 5 = 0
\Rightarrow \ell = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}
\]
Mais seul \(\frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1.38\) est dans [1,3], donc c’est la limite.
• Partie B :
1. Le graphique montre une dynamique croissante.
2. Comme \(v_0 = 1\), on a \(v_1 = f(1) = \frac{6 - 5}{2} = \frac{1}{2}\). Mais cela montre plutôt une décroissance... donc à vérifier avec attention (exercice ouvert).
3. L’égalité \(1 - v_{n+1} = \frac{2(1 - v_n)}{v_n + 1}\) se démontre par calcul direct.
4. On majore \(1 - v_n\) par une récurrence en montrant que cette quantité décroit comme \(O\left(\frac{1}{n}\right)\).
5. On en déduit que \((v_n)\) converge vers 1.
Exercice 4 : Étude d’une suite définie par itération ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Étudier une suite définie par une fonction rationnelle par approche graphique, encadrement, récurrence et convergence.
Énoncé :
Soit la fonction \( f \) définie sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\) par :
\[
f(x) = 5 - \frac{4}{x + 2}
\]
On admet que \( f \) est dérivable sur \([0~;~+ \infty[\). On a tracé en annexe 1 la courbe \( \mathcal{C} \) représentative de \( f \) et la droite \( \mathcal{D} \) d’équation \( y = x \).
Questions : 1. Démontrer que \( f \) est croissante sur \([0~;~+ \infty[\).
2. Résoudre \( f(x) = x \) sur \([0~;~+ \infty[\), et noter \( \alpha \) la solution.
3. Donner la valeur exacte de \( \alpha \), puis une valeur approchée à \( 10^{-2} \) près.
4. On considère la suite \( (u_n) \) définie par :
\[
u_0 = 1, \quad u_{n+1} = f(u_n)
\]
5. Sur la figure de l’annexe 1, placer les points \( M_0, M_1, M_2 \) d’ordonnée nulle et d’abscisses \( u_0, u_1, u_2 \).
6. Conjecturer le sens de variation et la convergence de \( (u_n) \).
7. Montrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \),
\[
0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq \alpha
\]
8. En déduire si \( (u_n) \) converge, et justifier.
9. Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on définit :
\[
S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k
\]
a. Calculer \( S_0, S_1, S_2 \), et donner une valeur approchée à \( 10^{-2} \) près.
b. Compléter un algorithme (annexe 2) pour afficher \( S_n \) pour un entier \( n \) donné.
c. Montrer que la suite \( (S_n) \) diverge vers \( +\infty \).
Conseil : Utiliser la dérivée de \( f \) pour démontrer sa croissance, raisonner graphiquement sur l’itération et encadrer \( u_n \) pour conclure sur la convergence.
Annexe 1 à rendre avec la copie
Annexe 2 à rendre avec la copie
Entrée : n un entier naturel
Variables:
u et s sont des variables réelles
n et i sont des variables entières
Initialisation :
u prend la valeur 1
s prend la valeur u
i prend la valeur 0
Demander la valeur de n
Traitement :
Tant que...
Affecter à i la valeur i + 1
Affecter à u la valeur ...
Affecter à a la valeur ...
Fin Tant que
Sortie : Afficher s.
• 1. \( f(x) = 5 - \dfrac{4}{x+2} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{4}{(x+2)^2} > 0 \), donc \( f \) est strictement croissante.
• 2. Résolvons \( f(x) = x \Rightarrow 5 - \dfrac{4}{x+2} = x \Rightarrow x + \dfrac{4}{x+2} = 5 \).
Multiplication : \( x(x+2) + 4 = 5(x+2) \Rightarrow x^2 + 2x + 4 = 5x + 10 \Rightarrow x^2 - 3x -6 = 0 \)
• 3. D'où \( \alpha = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx 4.37 \).
• 4. \( u_0 = 1 \), puis \( u_1 = f(1) = 5 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{11}{3} \approx 3.67 \), et \( u_2 = f(u_1) \) ...
• 5. Lecture graphique : points montent en direction de l’intersection \( f(x) = x \), donc suite croissante.
• 6. Conjecture : la suite est croissante et semble converger vers \( \alpha \).
• 7. Initialisation : \( u_0 = 1 \in [0, \alpha] \), et \( f(x) \in [x, \alpha] \) pour \( x \in [0, \alpha] \) car \( f \) croissante.
Hypothèse de récurrence : \( u_n \leq u_{n+1} \leq \alpha \).
Hérédité : \( u_{n+1} = f(u_n) \leq f(u_{n+1}) = u_{n+2} \), par croissance de \( f \).
Donc \( (u_n) \) est croissante et majorée par \( \alpha \).
• 8. D’où, par le théorème de convergence monotone, \( (u_n) \) converge vers \( \alpha \).
• 9. \( S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n \) est une somme de termes positifs croissants.
• a. \( S_0 = 1 \), \( S_1 = 1 + 3.67 = 4.67 \), \( S_2 = S_1 + f(3.67) \approx 4.67 + 4.14 = 8.81 \).
• b. Algorithme : initialiser \( S \leftarrow 0 \), \( u \leftarrow 1 \), faire une boucle de 0 à n, à chaque itération : ajouter \( u \) à \( S \), puis remplacer \( u \leftarrow f(u) \).
• c. Comme \( u_n \to \alpha > 0 \), on a asymptotiquement \( u_n \geq \frac{\alpha}{2} \), donc \( S_n \geq n \cdot \frac{\alpha}{2} \to +\infty \), donc divergence.
Exercice 5 : Étude d’une suite rationnelle par itération ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Étudier une suite définie par une fonction rationnelle en justifiant sa convergence par récurrence, encadrement et résolution d'une équation fonctionnelle.
Énoncé :
Soit la fonction \( f \) définie sur l'intervalle \([0 ; 4]\) par :
\[
f(x) = \frac{2 + 3x}{4 + x}
\]
Partie A :
On considère la suite \( (u_n) \) définie par :
\[
u_0 = 3 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = f(u_n)
\]
On admet que cette suite est bien définie.
1. Calculer \( u_1 \).
2. Montrer que la fonction \( f \) est croissante sur \([0 ; 4]\).
3. Montrer que pour tout \( n \), \( 1 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 3 \).
4. Montrer que la suite \( (u_n) \) est convergente.
5. Notant \( \ell \) sa limite, montrer que \( \ell = \frac{2 + 3\ell}{4 + \ell} \).
6. Déterminer la valeur de \( \ell \).
Partie B :
On considère la suite \( (v_n) \) définie par :
\[
v_0 = 0{,}1 \quad \text{et} \quad v_{n+1} = f(v_n)
\]
1. Une courbe \( \mathcal{C}_f \) représentant \( f \), ainsi que la droite \( D : y = x \), sont données en annexe.
2. Placer \( v_1 \), \( v_2 \), et \( v_3 \) par construction géométrique sur l’annexe.
3. Formuler une conjecture sur le sens de variation et le comportement de \( (v_n) \) quand \( n \to \infty \).
4. Montrer que pour tout \( n \), \( 1 - v_{n+1} = \left( \frac{2}{4 + v_n} \right)(1 - v_n) \).
5. Montrer par récurrence que \( 0 \leq 1 - v_n \leq \left( \frac{1}{2} \right)^n \).
6. En déduire la convergence de \( (v_n) \), et sa limite.
Conseil : Pour la partie A, utiliser la croissance de \( f \) pour encadrer la suite. Pour la partie B, exploiter la formule de récurrence sur \( 1 - v_n \) pour prouver la convergence.
Annexe 1 à rendre avec la copie
• Partie A :
1. \( u_1 = f(3) = \frac{2 + 9}{7} = \frac{11}{7} \approx 1.57 \)
2. \( f(x) = \frac{2 + 3x}{4 + x} \Rightarrow f'(x) = \frac{(3)(4 + x) - (2 + 3x)(1)}{(4 + x)^2} = \frac{12 + 3x - 2 - 3x}{(4 + x)^2} = \frac{10}{(4 + x)^2} > 0 \). Donc \( f \) est croissante sur \([0 ; 4]\).
3. Par récurrence : initialisation \( u_0 = 3 \in [1 ; 3] \), et \( f(x) \leq x \) pour \( x \in [1 ; 3] \). Donc \( u_1 \leq u_0 \), et \( u_n \geq 1 \) par croissance de \( f \).
4. \( (u_n) \) est décroissante et minorée par 1, donc elle converge (théorème de convergence monotone).
5. Si \( \ell = \lim u_n \), alors \( \ell = f(\ell) \Rightarrow \ell = \frac{2 + 3\ell}{4 + \ell} \Rightarrow \ell(4 + \ell) = 2 + 3\ell \)
\( \Rightarrow 4\ell + \ell^2 = 2 + 3\ell \Rightarrow \ell^2 + \ell - 2 = 0 \Rightarrow \ell = 1 \) ou \( \ell = -2 \). Seule la valeur \( \ell = 1 \) est dans \([0 ; 4]\).
6. Donc la limite est \( \boxed{1} \).
• Partie B :
1. Graphiquement, on voit une suite croissante par effet de rebond entre \( f(x) \) et la droite \( y = x \).
2. Lecture graphique des points d’intersection successifs à partir de \( v_0 = 0{,}1 \).
3. Conjecture : la suite \( (v_n) \) est croissante et semble converger vers 1.
4. \( v_{n+1} = f(v_n) = \frac{2 + 3v_n}{4 + v_n} \Rightarrow 1 - v_{n+1} = \frac{(4 + v_n) - (2 + 3v_n)}{4 + v_n} = \frac{2 - 2v_n}{4 + v_n} = \frac{2(1 - v_n)}{4 + v_n} \)
5. On montre par récurrence que \( 0 \leq 1 - v_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n \):
Initialisation : \( v_0 = 0{,}1 \Rightarrow 1 - v_0 = 0{,}9 \leq 1 \).
Hérédité : si \( 1 - v_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n \), alors :
\[
1 - v_{n+1} = \frac{2(1 - v_n)}{4 + v_n} \leq \frac{2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}
\]
Donc l’inégalité est conservée.
6. Ainsi \( 1 - v_n \to 0 \Rightarrow v_n \to 1 \). Donc la suite converge vers \( \boxed{1} \).
Exercice 6 : Étude d’une suite affine-récurrente et suites associées ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Étudier une suite définie par une relation de récurrence affine, observer son comportement à l’aide d’un tableur, démontrer son encadrement, et identifier une suite géométrique associée.
Énoncé :
La suite \( (u_n) \) est définie sur \( \mathbb{N} \) par :
\[
u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{3}{4}u_n + \frac{1}{4}n + 1
\]
1. Calculer, en détaillant les calculs, \( u_1 \) et \( u_2 \) sous forme de fraction irréductible.
2. L’extrait suivant, issu d’un tableur, présente les premiers termes de la suite :
n
un
0
1
1
1.75
2
2.5625
3
3.421875
4
4.31640625
3. Quelle formule, étirée vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 pour obtenir les valeurs successives ?
4. Conjecturer le sens de variation de \( (u_n) \).
5. Démontrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \),
\[
n \leq u_n \leq n + 1
\]
6. En déduire le sens de variation et la limite de \( (u_n) \).
7. Démontrer que :
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} = 1
\]
8. On considère la suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n - n \).
9. Démontrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{3}{4} \).
10. En déduire que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) :
\[
u_n = \left( \frac{3}{4} \right)^n + n
\]
Conseil : Recherchez une transformation du type \( u_n = v_n + n \) pour simplifier la relation de récurrence. L'utilisation d’un tableur peut vous aider à visualiser le comportement des premiers termes.
• 8-9. Posons \( v_n = u_n - n \Rightarrow u_n = v_n + n \)
\[
u_{n+1} = \frac{3}{4}(v_n + n) + \frac{1}{4}n + 1 = \frac{3}{4}v_n + n + 1
\]
Donc \( v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) = \frac{3}{4}v_n \) → c’est une suite géométrique de raison \( \frac{3}{4} \).
• 10. \( v_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \Rightarrow u_n = v_n + n = \left(\frac{3}{4}\right)^n + n \)
IV. Propriétés algébriques ou combinatoires
Cette catégorie regroupe les démonstrations où la récurrence est utilisée pour établir des identités algébriques ou des formules combinatoires (sommes, factorielle, divisibilité, etc.). Elle illustre la puissance de la récurrence comme outil de démonstration dans les structures discrètes.
Exercice 1: Propositions héréditaires ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Distinguer entre hérédité et vérité générale d'une proposition.
Énoncé :
On considère :
• \( P(n) : 4^n - 1 \) divisible par 3
• \( Q(n) : 4^n + 1 \) divisible par 3
1. Montrer que \( P(n) \) et \( Q(n) \) sont héréditaires
2. Montrer que \( P(n) \) est toujours vraie
3. Que peut-on dire de \( Q(n) \) ?
1. Montrer que les propositions \(P(n)\) et \(Q(n)\) sont héréditaires.
Proposition \(P(n)\) : "\(4^n - 1\) est divisible par \(3\)"
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons que \(P(n)\) soit vraie, c'est-à-dire que \(4^n - 1\) est divisible par \(3\).
Alors, on a : \begin{align*} 4^{n+1} - 1 &= 4 \times 4^n - 1 \\ &= 4 \times (4^n - 1) + 3 \\ &= 4 \times (multiple de 3) + 3 \\ &= multiple de 3 \end{align*}
Donc, \(P(n+1)\) est vraie. Ainsi, la proposition \(P(n)\) est héréditaire.
Proposition \(Q(n)\) : "\(4^n + 1\) est divisible par \(3\)"
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons que \(Q(n)\) soit vraie, c'est-à-dire que \(4^n + 1\) est divisible par \(3\).
Alors, on a : \begin{align*} 4^{n+1} + 1 &= 4 \times 4^n + 1 \\ &= 4 \times (4^n + 1) - 3 \\ &= 4 \times (multiple de 3) - 3 \\ &= multiple de 3 \end{align*}
Donc, \(Q(n+1)\) est vraie. Ainsi, la proposition \(Q(n)\) est héréditaire.
2. Montrer que \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(4^0 - 1 = 0\, \), qui est divisible par \(3\). Donc, \(P(0)\) est vraie.
Hypothèse de récurrence : Supposons que \(P(n)\) soit vraie pour un certain \(n = p\), c'est-à-dire que \(4^p - 1\) est divisible par \(3\).
Étape de récurrence : Montrons que \(P(p+1)\) est alors vraie.
Conclusion : Nous avons montré que \(P(0)\) est vraie et que si \(P(n)\) est vraie, alors \(P(n+1)\) l'est aussi. Donc, par le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. Que peut-on dire pour \(Q(n)\) ?
Contrairement à \(P(n)\), la proposition \(Q(n)\) n'est pas toujours vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
En effet, on peut trouver des valeurs de \(n\) pour lesquelles \(4^n + 1\) n'est pas divisible par \(3\). Par exemple, pour \(n = 1\), on a \(4^1 + 1 = 5\), qui n'est pas divisible par \(3\).
Donc, on ne peut pas affirmer que \(Q(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\). La proposition \(Q(n)\) est vraie pour certaines valeurs de \(n\), mais pas pour toutes.
Exercice 2: Identité de Pascal ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Utiliser la récurrence pour démontrer une identité combinatoire fondamentale.
Énoncé :
Pour tout entier \(n \geq 1\) et tout entier \(k\) tel que \(1 \leq k \leq n\), on considère les coefficients binomiaux définis par :
\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
Montrer par récurrence que :
\[
\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}
\]
Cette identité est connue sous le nom d’identité de Pascal.
Conseil : Utilisez l’expression des coefficients binomiaux avec les factorielles, puis simplifiez l’algèbre à l’étape de récurrence.
• La démonstration se fait par récurrence sur \(n\), pour un \(k\) fixé entre \(1\) et \(n\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un certain \(n = p\), on a :
\[
\binom{p+1}{k} = \binom{p}{k} + \binom{p}{k-1}
\]
pour tout \(1 \leq k \leq p\).
• Étape de récurrence : Montrons que cela est vrai au rang \(p+1\), c’est-à-dire :
\[
\binom{p+2}{k} = \binom{p+1}{k} + \binom{p+1}{k-1}
\] Ce résultat provient directement de la définition combinatoire ou d’un raisonnement sur les ensembles (partition d’un ensemble de \(p+2\) éléments selon que l’élément \(x\) appartient ou non au sous-ensemble de \(k\) éléments).
• Conclusion : Par récurrence, l’identité de Pascal est démontrée pour tout \(n \geq 1\) et \(1 \leq k \leq n\).
Exercice 3: Comparaison entre factorielle et puissance de 2 ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Apprendre à comparer deux croissances différentes à l’aide de la récurrence.
Énoncé :
Montrer que pour tout entier \( n \geq 4 \), on a :
\[
n! > 2^n
\]
Conseil : Vérifiez bien les premières valeurs et ajustez le rang initial si nécessaire.
• Initialisation : Pour \(n = 4\), \(4! = 24\) et \(2^4 = 16\). Vrai.
• Hypothèse de récurrence : Supposons que \(p! > 2^p\) pour un \(p \geq 4\).
• Étape de récurrence : \[
(p+1)! = (p+1) \cdot p! > (p+1) \cdot 2^p
\] Or, comme \(p+1 \geq 5\), alors \( (p+1) \cdot 2^p \geq 2 \cdot 2^p = 2^{p+1} \). Donc :
\[
(p+1)! > 2^{p+1}
\]
• Conclusion : par récurrence, la propriété est vraie pour tout \(n \geq 4\).
Exercice 4: Divisibilité par 3 ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Utiliser la récurrence pour démontrer une propriété de divisibilité sur une suite entière.
Énoncé :
Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), l'entier \( 4^n + 2 \cdot 7^n \) est divisible par 3.
Conseil : Utilisez la notation modulaire ou la division euclidienne.
• Initialisation : \(n=0\), \(4^0 + 2 \cdot 7^0 = 1 + 2 = 3\), divisible par 3. OK.
• Hypothèse : supposons que \(p! > p^2\) pour un certain \(p \geq 6\).
• Étape : \[
(p+1)! = (p+1) \cdot p! > (p+1) \cdot p^2
\] On montre que \( (p+1) \cdot p^2 > (p+1)^2 \) pour \(p \geq 6\).
Ce qui revient à montrer : \(p^2 > p + 1\), ce qui est vrai pour \(p \geq 3\).
• Conclusion : par récurrence, \(n! > n^2\) pour tout \(n \geq 6\).
Exercice 6: Parité d'une somme alternée ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Utiliser la récurrence pour démontrer une propriété de parité sur une structure combinatoire alternée.
Énoncé :
Soit la suite définie par la somme alternée :
\[
S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \cdot k
\]
Montrer que pour tout entier \(n \geq 1\), on a :
\[
S_n =
\begin{cases}
\frac{n+1}{2} & \text{si } n \text{ est impair} \\
-\frac{n}{2} & \text{si } n \text{ est pair}
\end{cases}
\]
Conseil : Tester quelques valeurs pour repérer le motif, puis utiliser une récurrence en distinguant la parité de \(n\).
On procède par récurrence en distinguant deux cas selon la parité de \(n\).
• Initialisation :
Pour \(n = 1\), \(S_1 = 1\), et \(\frac{1+1}{2} = 1\), donc OK.
• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la formule soit vraie pour un certain \(n = p\), soit :
\[
S_p =
\begin{cases}
\frac{p+1}{2} & \text{si } p \text{ impair} \\
-\frac{p}{2} & \text{si } p \text{ pair}
\end{cases}
\]
• Étape de récurrence : Montrons que cela reste vrai pour \(p+1\).
\[
S_{p+1} = S_p + (-1)^{(p+2)} \cdot (p+1)
\]
Analyser chaque cas :
Si \(p\) est pair, alors \(S_p = -\frac{p}{2}\), et \(p+1\) est impair, donc :
\[
S_{p+1} = -\frac{p}{2} + (p+1) = \frac{p+2}{2}
\]
Si \(p\) est impair, alors \(S_p = \frac{p+1}{2}\), et \(p+1\) est pair, donc :
\[
S_{p+1} = \frac{p+1}{2} - (p+1) = -\frac{p+1}{2}
\]
Cela correspond bien à la formule attendue pour \(S_{p+1}\).
• Conclusion :
La propriété est vraie par récurrence pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\).
V. Application à des problèmes ou modélisations
Cette catégorie concerne les démonstrations par récurrence appliquées à des situations concrètes issues de modèles (croissance de population, propagation d’une épidémie, intérêt financier, etc.). Elle permet de relier théorie et pratique en ancrant les suites dans un contexte réel.
Exercice 1: Croissance d'une population bactérienne ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Utiliser la récurrence pour modéliser une croissance exponentielle dans un contexte biologique.
Énoncé :
Une population de bactéries double toutes les 4 heures. On suppose qu'à l'instant initial (heure 0), la population est de 500 individus. On modélise la population au bout de \(n\) périodes de 4 heures par une suite \((P_n)\) définie par :
\[
\begin{cases}
P_0 = 500 \\
P_{n+1} = 2P_n & \forall n \geq 0
\end{cases}
\]
Démontrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \(P_n = 500 \times 2^n\).
Conseil : Reconnaître la structure géométrique classique et appliquer une récurrence simple.
Démontrons par récurrence que \(P_n = 500 \times 2^n\).
• Initialisation : Pour \(n = 0\), \(P_0 = 500 = 500 \times 2^0\). La propriété est vraie au rang 0.
• Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un certain \(n = p\), on ait \(P_p = 500 \times 2^p\).
• Étape de récurrence : \[
P_{p+1} = 2P_p = 2 \times (500 \times 2^p) = 500 \times 2^{p+1}
\] Donc, la propriété est vraie au rang \(p+1\).
• Conclusion : Par récurrence, la formule est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Exercice 2: Intérêts composés ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Appliquer la récurrence à une situation de croissance financière sous forme d'intérêts composés.
Énoncé :
Un capital initial de 1000 € est placé à un taux d'intérêt de 5 % par an, capitalisé chaque année. On modélise la valeur du capital après \(n\) années par une suite \((C_n)\) définie par :
\[
\begin{cases}
C_0 = 1000 \\
C_{n+1} = 1{,}05 \times C_n & \forall n \geq 0
\end{cases}
\]
Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \(C_n = 1000 \times 1{,}05^n\).
Conseil : Il s’agit ici d’une suite géométrique avec un taux multiplicatif fixe. On applique une récurrence classique.
Démontrons par récurrence que \(C_n = 1000 \times 1{,}05^n\).
• Initialisation : \(C_0 = 1000 = 1000 \times 1{,}05^0\). La propriété est vraie au rang 0.
• Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un entier \(p\), on ait \(C_p = 1000 \times 1{,}05^p\).
• Étape de récurrence : \[
C_{p+1} = 1{,}05 \times C_p = 1{,}05 \times (1000 \times 1{,}05^p) = 1000 \times 1{,}05^{p+1}
\] Donc la propriété est vraie au rang \(p+1\).
• Conclusion : Par récurrence, on a \(C_n = 1000 \times 1{,}05^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Exercice 3: Évolution d'une épidémie ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Modéliser l’évolution d’un phénomène épidémique via une suite récurrente et utiliser la récurrence pour démontrer une formule générale.
Énoncé :
Un virus se propage selon la règle suivante : chaque jour, chaque individu infecté en contamine exactement 2 nouveaux. Le premier jour, une seule personne est infectée. On modélise le nombre total de personnes infectées au bout de \(n\) jours par une suite \((I_n)\) définie par :
\[
\begin{cases}
I_0 = 1 \\
I_{n+1} = I_n + 2^n & \forall n \geq 0
\end{cases}
\]
Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \(I_n = 2^n\).
Conseil : Attention à bien comprendre le lien entre la somme cumulée et la croissance exponentielle.
Démontrons que \(I_n = 2^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par récurrence.
• Initialisation : \(I_0 = 1 = 2^0\). La propriété est vraie pour \(n = 0\).
• Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un entier \(p\), on ait \(I_p = 2^p\).
• Étape de récurrence : \[
I_{p+1} = I_p + 2^p = 2^p + 2^p = 2^{p+1}
\] La propriété est donc vraie pour \(p+1\).
• Conclusion : Par récurrence, \(I_n = 2^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Exercices sur les limites et convergences des suites Numériques
Exercice 1: Étude complète d'une suite polynomiale ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Maîtriser l'étude complète d'une suite avant le calcul de limite.
Énoncé :
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2 + n - 6\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
1. Calculer les 5 premiers termes de la suite.
2. Étudier la monotonie de la suite (croissance/décroissance).
3. La suite est-elle minorée? Majorée?
4. Déterminer sa limite en \(+\infty\).
5. (Bonus) Trouver le plus petit rang \(n_0\) tel que \(u_n > 100\).
Méthode : Commencer par étudier les variations avant de passer à la limite.
Exercice 2: Suite rationnelle et transformations ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Analyser une suite rationnelle avant calcul de limite.
Énoncé :
Soit \((v_n)\) définie par \(v_n = \frac{2n-4}{3+n}\) pour \(n \geq 0\).
1. Calculer \(v_0\) à \(v_4\).
2. Montrer que \(v_{n+1} - v_n = \frac{10}{(4+n)(3+n)}\).
3. En déduire le sens de variation.
4. Démontrer que \(1 < v_n < 2\) pour \(n \geq 3\).
5. Déterminer \(\lim_{n\to+\infty} v_n\).
5. \(\lim_{n\to+\infty} v_n = 2\) (factoriser par \(n\) au numérateur et dénominateur)
Exercice 3: Suite avec terme oscillant ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Gérer les termes bornés dans l'étude complète d'une suite.
Énoncé :
Soit \((w_n)\) définie par \(w_n = -n^2 + (-1)^n\).
1. Calculer \(w_0\) à \(w_5\).
2. Montrer que la suite est décroissante à partir de \(n=2\).
3. Majorer \(|(-1)^n|\) et en déduire un minorant de \(w_n\).
4. Déterminer \(\lim_{n\to+\infty} w_n\).
5. (Bonus) Trouver le rang à partir duquel \(w_n < -1000\).
Remarque : Un terme borné devient négligeable devant \(n^2\) quand \(n\) est grand.
Exercice 4: Suite définie par récurrence ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Étudier une suite récurrente avant d'aborder sa limite.
Énoncé :
Soit \((u_n)\) définie par :
\[
\begin{cases}
u_0 = 1 \\
u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}
\end{cases}
\]
1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) (arrondis à 10-3).
2. Montrer par récurrence que \(1 \leq u_n \leq 2\) pour tout \(n\).
3. Étudier la monotonie de la suite.
4. Que peut-on en déduire quant à sa convergence?
5. Déterminer sa limite éventuelle.
Astuce : Pour Q5, si la suite converge vers \(l\), alors \(l\) vérifie \(l = \sqrt{l + 2}\).
Astuce : Pour \(w_n\), encadrer cos(n) entre -1 et 1. Pour \(z_n\), le terme oscillant est dominé par n².
1. Détermination de la limite de la suite \((w_n)\)
Soit la suite \((w_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) tel que \(n > 1\) par : \[w_n = \frac{1}{n + \cos(n)}\]
Étape 1 : Étudier le comportement de \(\cos(n)\) lorsque \(n\) tend vers l'infini. La fonction cosinus est bornée, c'est-à-dire qu'il existe \(M > 0\) tel que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(|\cos(n)| \leq M\).
Étape 2 : Appliquer le théorème des gendarmes. Considérons les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : \[a_n = \frac{1}{n+M} \quad\text{et}\quad b_n = \frac{1}{n-M}\]
On a alors : \[\frac{1}{n+M} \leq \frac{1}{n+\cos(n)} \leq \frac{1}{n-M}\]
Puisque \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\) et \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\), d'après le théorème des gendarmes, on a : \[\lim_{n\to\infty} w_n = 0\]
Donc la limite de la suite \((w_n)\) est 0.
2. Étude de la convergence de la suite \((z_n)\)
Soit la suite \((z_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \[z_n = 1+\frac{2+(-1)^n}{n^2+1}\]
Étape 1 : Étudier le comportement de \((-1)^n\) et \(n^2+1\) lorsque \(n\) tend vers l'infini. La suite \((-1)^n\) est une suite périodique de période 2, donc elle est bornée. La suite \((n^2+1)\) tend vers l'infini lorsque \(n\) tend vers l'infini.
Étape 2 : Appliquer le critère de convergence des séries. Considérons la série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^n}{n^2+1}\). \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^n}{n^2+1} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2+1}\] Or, la série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2+1}\) converge, car elle est majorée par la série harmonique convergente \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2}\).
Donc, par le critère de convergence des séries, la série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^n}{n^2+1}\) converge.
Étape 3 : Conclure sur la convergence de la suite \((z_n)\). Comme la série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^n}{n^2+1}\) converge, alors la suite \(\left(\frac{2+(-1)^n}{n^2+1}\right)\) tend vers 0 lorsque \(n\) tend vers l'infini. Donc la suite \((z_n)\) converge et sa limite est 1.
Exercice 6: Suite harmonique ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Appliquer la définition ε-N de la limite.
Énoncé :
Soit \(u_n = \frac{1}{n}\).
Montrer que \((u_n)\) converge vers 0.
Approche : Utiliser le théorème des gendarmes ou la définition formelle avec ε > 0.
Soit \(ε > 0\). Il faut trouver un rang \(N\) tel que pour tout \(n ≥ N, |u_n - L| < ε\), où \(L\) est la limite de la suite.
Montrons que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminons sa limite \(L\).
Considérons la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = \frac{1}{(n+1)}\). On a \(u_n = \frac{1}{n}\) et \(v_n = \frac{1}{(n+1)}\).
Alors, pour tout \(n ≥ 1\), on a : \(v_n ≤ u_n ≤ v_n-1\)
En effet, \(\frac{1}{(n+1)} ≤ \frac{1}{n} ≤ \frac{1}{(n-1)}\).
Donc, la suite \((u_n)\) est encadrée par la suite \((v_n)\), qui est convergente de limite \(0\).
Par le théorème des gendarmes, la suite \((u_n)\) est convergente et sa limite est \(0\).
Donc, \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\).
Exercices sur la Convergence des Suites
Exercice 6: Convergence d'une suite rationnelle ★ ☆ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Savoir déterminer la convergence d'une suite rationnelle en factorisant les termes dominants.
Énoncé :
Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_n = \frac{n+1}{2n+1}\).
Montrer que cette suite est convergente et déterminer sa limite.
Méthode : Factoriser le numérateur et le dénominateur par n puis simplifier avant de passer à la limite.
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = \frac{n}{(n + 1)}{(2n + 1)}\).
Montrons que cette suite est convergente en l'encadrant par deux autres suites convergentes.
Considérons la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = \frac{n}{n}{(2n + 1)}\) et la suite \((w_n)\) définie par \(w_n = \frac{n}{(n + 1)}{(2n + 3)}\).
On a alors, pour tout \(n ≥ 1\) : \(v_n ≤ u_n ≤ w_n\)
Les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) sont convergentes, la première vers \(\frac{1}{2}\) et la seconde vers \(\frac{1}{2}\).
D'après le théorème des gendarmes, la suite \((u_n)\) est convergente et sa limite est \(\frac{1}{2}\).
Donc, \(\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{2}\).
Exercice 7: Suite géométrique divergente ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Reconnaître et analyser le comportement des suites géométriques selon leur raison.
Énoncé :
Soit \((u_n)\) la suite géométrique définie par \(u_n = 2^n\).
Déterminer la limite de cette suite.
Rappel : Une suite géométrique de raison r diverge vers ±∞ si r > 1 et n'a pas de limite si r ≤ -1.
Soit \((u_n)\) une suite géométrique de raison \(r\). La limite de \((u_n)\) est donnée par :
• Si \(|r| < 1\), \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\) • Si \(|r| > 1\), alors la suite diverge • Si \(r = 1\), alors \(\lim_{n \to \infty} w_n = w_0\)
Dans le cas de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = 2^n\), on a \(r = 2\).
Comme \(|r| = |2| > 1\), la suite diverge. Donc, la suite \((u_n)\) n'a pas de limite finie.
Exercice 8: Suite géométrique convergente ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Appliquer le théorème de convergence des suites géométriques.
Énoncé :
Soit \((v_n)\) la suite géométrique définie par \(v_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n\).
Déterminer la limite de cette suite.
Conseil : Vérifier que la raison est bien comprise entre -1 et 1.
Soit \((v_n)\) une suite géométrique de raison \(r\). La limite de \((v_n)\) est donnée par :
• Si \(|r| < 1\), alors \(\lim_{n \to \infty} v_n = 0\) • Si \(|r| > 1\), alors la suite diverge • Si \(r = 1\), alors \(\lim_{n \to \infty} v_n = v_0\)
Dans le cas de la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = (\frac{1}{3})^n\), on a \(r = \frac{1}{3}\). Comme \(|r| = |\frac{1}{3}| < 1\), la suite converge vers \(0\). Donc, \(\lim_{n \to \infty} v_n = 0\).
Exercice 9: Théorème des gendarmes ★ ☆ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Maîtriser l'application du théorème des gendarmes pour prouver une convergence.
Énoncé :
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = \frac{n+1}{2n+1}\).
Montrer qu'elle est convergente et déterminer sa limite.
Astuce : Encadrer la suite entre deux suites de même limite.
Soit \(ε > 0\). Il faut trouver un rang \(N\) tel que pour tout \(n ≥ N\), \(|v_n - L| < ε\), où \(L\) est la limite de la suite.
Montrons que la suite \((v_n)\) est convergente et déterminons sa limite \(L\).
Considérons la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{n}{(2n+1)}\). On a \(v_n = \frac{(n+1)}{(2n+1)}\) et \(u_n = \frac{n}{(2n+1)}\).
Alors, pour tout \(n ≥ 1\), on a : \(u_n ≤ v_n ≤ u_{n+1}\)
En effet, \(\frac{n}{(2n+1)} ≤ \frac{(n+1)}{(2n+1)} ≤ \frac{(n+1)}{(2n+3)}\).
Donc, la suite \((v_n)\) est encadrée par la suite \((u_n)\), qui est convergente de limite \(\frac{1}{2}\).
Par le théorème des gendarmes, la suite \((v_n)\) est convergente et sa limite est \(\frac{1}{2}\).
Donc, \(\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{2}\).
Exercice 10: Limite remarquable ★ ☆ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Reconnaître et exploiter une forme remarquable de limite exponentielle.
Énoncé :
Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n\).
Montrer qu'elle est convergente et déterminer sa limite.
Rappel : La limite classique \(\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x\) peut être adaptée à ce cas.
Démonstration de la convergence de la suite \((v_n)\) et détermination de sa limite en utilisant le théorème des gendarmes.
Soit la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = (1 - \frac{1}{n})^n\).
• Étape 1 : Encadrer la suite \((v_n)\) par deux suites convergentes.
Considérons les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : \[ a_n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \quad\text{et}\quad b_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \]
On a alors : \begin{align*} a_n &= \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \\ &= \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n \times \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \\ &= v_n \times \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \end{align*} et \begin{align*} b_n &= \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \\ &= v_n \end{align*}
Donc \(a_n \leq v_n \leq b_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
• Étape 2 : Démontrer la convergence des suites \((a_n)\) et \((b_n)\).
La suite \((a_n)\) converge vers \(e^{-1}\), car \(\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} = e^{-1}\).
La suite \((b_n)\) converge vers \(e^{-1}\), car \(\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}\).
• Étape 3 : Appliquer le théorème des gendarmes.
Puisque \(a_n \leq v_n \leq b_n\) et que \(\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = e^{-1}\), alors, d'après le théorème des gendarmes, on a : \[\lim_{n\to\infty} v_n = e^{-1}\]
Donc la suite \((v_n)\) converge et sa limite est \(e^{-1}\).
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Exercices : [Thème du chapitre]
Exercice 1 • QCM
Question à choix multiple
[Énoncé de la question QCM...]
A.
[Option A]
B.
[Option B]
C.
[Option C]
D.
[Option D]
Exercice 2 • Problème
Problème ouvert
[Énoncé du problème...]
1
[Première question du problème]
2
[Deuxième question du problème]
3
[Troisième question du problème]
Exercice 3 • Problème avancé
Problème complexe
[Énoncé du problème avancé avec éventuellement des éléments mathématiques comme \(\int_{a}^{b} f(x)dx\)...]
Indication : [Texte d'aide facultatif pour guider l'étudiant]
Espace pour la réponse (prévoir environ 15 lignes)
Éducation
