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Exploration des suites numériques

Démonstration par Récurrence

Introduction

La démonstration par récurrence est une méthode de preuve utilisée en mathématiques pour établir la véracité d'une assertion pour tous
les entiers naturels.

Principe de la Récurrence

Le principe de récurrence se compose de deux étapes :

Base de récurrence : Vérifier que l'assertion est vraie pour un cas de base, généralement pour $ n = 0 $ ou $ n = 1 $.
Étape de récurrence : Supposer que l'assertion est vraie pour un entier $ n $ et montrer qu'elle est alors vraie pour $ n + 1 $.

Exemple

Nous allons démontrer que pour tout entier naturel $ n $, la somme des $ n $ premiers entiers est donnée par la formule :

$$ S(n) = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2} $$

1. Base de récurrence

Pour $ n = 1 $ :

$$ S(1) = 1 = \frac{1(1 + 1)}{2} $$

2. Étape de récurrence

Supposons que cela soit vrai pour un entier $ n $, c'est-à-dire :

$$ S(n) = \frac{n(n + 1)}{2} $$

Nous devons montrer que cela est vrai pour $ n + 1 $ :

$$ S(n + 1) = S(n) + (n + 1) = \frac{n(n + 1)}{2} + (n + 1) $$

En simplifiant, nous avons :

$$ S(n + 1) = \frac{n(n + 1) + 2(n + 1)}{2} = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2} $$

Ce qui prouve que l'assertion est vraie pour $ n + 1 $. Ainsi, par récurrence, la formule est vraie pour tous les entiers naturels.

Conclusion

La démonstration par récurrence est un outil puissant pour prouver des assertions concernant les entiers naturels. Elle repose sur la véracité
d'une base et une étape inductive qui confirme la validité de l'assertion pour tous les entiers.

𝔼𝕩𝕖𝕣𝕔𝕚𝕔𝕖𝕤 𝕕'𝕒𝕡𝕡𝕝𝕚𝕔𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤

Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Démontrer que l' on a :
      • $a_n = \sum_{k=0}^{n} k = 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ , pour tout entier naturel $n$
      • $b_n = \sum_{k=0}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , pour tout entier naturel $n≥1$
      • $c_n = \sum_{k=0}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ , pour tout entier naturel $n≥1$
      • $d_n = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{n \times (n+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$ , pour tout entier naturel $n≥1$

Démontrons ces égalités de manière détaillée par récurrence.

1. Démonstration de la première égalité par récurrence :
   $a_n = \sum_{k=0}^{n} k = 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$, pour tout entier naturel $n$

   • Initialisation :
   Pour $n = 0$, on a $a_0 = \sum_{k=0}^{0} k = 0 = \frac{0(0+1)}{2}$, ce qui est vrai.

   • Hypothèse de récurrence :
   Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $a_p = \sum_{k=0}^{p} k = \frac{p(p+1)}{2}$.

   • Étape de récurrence :
   Montrons que la formule est alors vraie pour $n = p+1$.
   $a_{p+1} = \sum_{k=0}^{p+1} k = \sum_{k=0}^{p} k + (p+1) = a_p + (p+1) = \frac{p(p+1)}{2} + (p+1) = \frac{(p+1)(p+2)}{2}$

   • Conclusion :
   Nous avons montré que la formule est vraie pour $n = 0$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel $n$.

2. Démonstration de la deuxième égalité par récurrence :
   $b_n = \sum_{k=0}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, pour tout entier naturel $n≥1$

   • Initialisation :
   Pour $n = 1$, on a $b_1 = \sum_{k=0}^{1} k^2 = 1^2 = 1 = \frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6}$, ce qui est vrai.

   • Hypothèse de récurrence :
   Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $b_p = \sum_{k=0}^{p} k^2 = \frac{p(p+1)(2p+1)}{6}$.

   • Étape de récurrence :
   Montrons que la formule est alors vraie pour $n = p+1$.
   $b_{p+1} = \sum_{k=0}^{p+1} k^2 = \sum_{k=0}^{p} k^2 + (p+1)^2 = b_p + (p+1)^2 = \frac{p(p+1)(2p+1)}{6} + (p+1)^2 = \frac{(p+1)(p+2)(2(p+1)+1)}{6}$

   • Conclusion :
   Nous avons montré que la formule est vraie pour $n = 1$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel $n≥1$.

3. Démonstration de la troisième égalité par récurrence :
   $c_n = \sum_{k=0}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$, pour tout entier naturel $n≥1$

   • Initialisation :
   Pour $n = 1$, on a $c_1 = \sum_{k=0}^{1} k^3 = 1^3 = 1 = \frac{1^2(1+1)^2}{4}$, ce qui est vrai.

   • Hypothèse de récurrence :
   Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $c_p = \sum_{k=0}^{p} k^3 = \frac{p^2(p+1)^2}{4}$.

   • Étape de récurrence :
   Montrons que la formule est alors vraie pour $n = p+1$.
   $c_{p+1} = \sum_{k=0}^{p+1} k^3 = \sum_{k=0}^{p} k^3 + (p+1)^3 = c_p + (p+1)^3 = \frac{p^2(p+1)^2}{4} + (p+1)^3 = \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}$

   • Conclusion :
   Nous avons montré que la formule est vraie pour $n = 1$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel $n≥1$.

4. Démonstration de la quatrième égalité par récurrence :
   $d_n = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{n \times (n+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$, pour tout entier naturel $n≥1$

   • Initialisation :
   Pour $n = 1$, on a $d_1 = \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$, ce qui est vrai.

   • Hypothèse de récurrence :
   Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $d_p = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{p \times (p+1)} = 1 - \frac{1}{p+1}$.

   • Étape de récurrence :
   Montrons que la formule est alors vraie pour $n = p+1$.
   $d_{p+1} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{p \times (p+1)} + \frac{1}{(p+1) \times (p+2)} = d_p + \frac{1}{(p+1) \times (p+2)} = 1 - \frac{1}{p+1} + \frac{1}{(p+1) \times (p+2)} = 1 - \frac{1}{(p+1) \times (p+2)} = 1 - \frac{1}{(p+2)}$

   • Conclusion :
   Nous avons montré que la formule est vraie pour $n = 1$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel $n≥1$.

Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $10^n - 1$ est un multiple de $9$.

Démontrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $10^n - 1$ est de la forme $9k$ pour un certain entier $k$.

• Initialisation :
    Pour $n = 0$, on a $10^0 - 1 = 0$, qui est bien de la forme $9k$ (avec $k = 0$).

• Hypothèse de récurrence :
    Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $10^p - 1$ est de la forme $9k$ pour un certain $k$.

• Étape de récurrence :
    Montrons que la propriété est alors vraie pour $n = p + 1$.
    \[10^{p+1} - 1 = 10 \times 10^p - 1\]
    \[= 10 \times (10^p - 1) + 9\]
    \[= 10 \times (9k) + 9 \quad (\text{d'après l'hypothèse de récurrence})\]
    \[= 90k + 9 = 9(10k + 1).\]
    Ainsi, $10^{p+1} - 1$ est de la forme $9m$ pour $m = 10k + 1$.

• Conclusion :
    Nous avons montré que la propriété est vraie pour $n = 0$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p + 1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

En conclusion, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $10^n - 1$ est de la forme $9k$ pour un certain entier $k$.

Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soit $a \in \mathbb{R}^+$. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $(1+a)^n ≥ 1+ na$

Soit $a \in \mathbb{R}^+$. Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $(1+a)^n ≥ 1+ na$
Démontrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $a \in \mathbb{R}^+$, on a $(1+a)^n \geq 1 + na$.

• Initialisation :
Pour $n = 0$, on a $(1+a)^0 = 1 \geq 1 + 0a = 1$, ce qui est vrai.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $(1+a)^p \geq 1 + pa$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la propriété est alors vraie pour $n = p+1$.

\begin{align*}
(1+a)^{p+1} &= (1+a) \times (1+a)^p \\
           &\geq (1+a) \times (1 + pa) \\
           &= 1 + a + pa + a^2 \\
           &\geq 1 + (p+1)a
\end{align*}

La dernière inégalité est vraie car $a \in \mathbb{R}^+$, donc $a^2 \geq 0$.

• Conclusion :
Nous avons montré que la propriété est vraie pour $n = 0$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

En conclusion, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $a \in \mathbb{R}^+$, on a $(1+a)^n \geq 1 + na$.

Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆

On considère les propositions suivantes :
$P(n)$: “$4^n -1$ est divisible par $3$”
$Q(n)$: “$4^n +1$ est divisible par $3$”
   1. Montrer que les propositions $P(n)$ et $Q(n)$sont héréditaires.
   2. Montrer que $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
   3. Que peut-on dire pour $Q(n)$ ?

1. Montrer que les propositions $P(n)$ et $Q(n)$ sont héréditaires.

Proposition $P(n)$ : "$4^n - 1$ est divisible par $3$"

Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $P(n)$ soit vraie, c'est-à-dire que $4^n - 1$ est divisible par $3$.

Alors, on a :
\begin{align*}
4^{n+1} - 1 &= 4 \times 4^n - 1 \\
           &= 4 \times (4^n - 1) + 3 \\
           &= 4 \times (multiple de 3) + 3 \\
           &= multiple de 3
\end{align*}

Donc, $P(n+1)$ est vraie. Ainsi, la proposition $P(n)$ est héréditaire.

Proposition $Q(n)$ : "$4^n + 1$ est divisible par $3$"

Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $Q(n)$ soit vraie, c'est-à-dire que $4^n + 1$ est divisible par $3$.

Alors, on a :
\begin{align*}
4^{n+1} + 1 &= 4 \times 4^n + 1 \\
           &= 4 \times (4^n + 1) - 3 \\
           &= 4 \times (multiple de 3) - 3 \\
           &= multiple de 3
\end{align*}

Donc, $Q(n+1)$ est vraie. Ainsi, la proposition $Q(n)$ est héréditaire.

2. Montrer que $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Initialisation : Pour $n = 0$, on a $4^0 - 1 = 0\, $, qui est divisible par $3$. Donc, $P(0)$ est vraie.

Hypothèse de récurrence : Supposons que $P(n)$ soit vraie pour un certain $n = p$, c'est-à-dire que $4^p - 1$ est divisible par $3$.

Étape de récurrence : Montrons que $P(p+1)$ est alors vraie.

\begin{align*}
4^{p+1} - 1 &= 4 \times 4^p - 1 \\
          &= 4 \times (4^p - 1) + 3 \\
          &= 4 \times (multiple de 3) + 3 \\
          &= multiple de 3
\end{align*}

Donc, $P(p+1)$ est vraie.

Conclusion : Nous avons montré que $P(0)$ est vraie et que si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ l'est aussi. Donc, par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

3. Que peut-on dire pour $Q(n)$ ?

Contrairement à $P(n)$, la proposition $Q(n)$ n'est pas toujours vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

En effet, on peut trouver des valeurs de $n$ pour lesquelles $4^n + 1$ n'est pas divisible par $3$. Par exemple, pour $n = 1$, on a $4^1 + 1 = 5$, qui n'est pas divisible par $3$.

Donc, on ne peut pas affirmer que $Q(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$. La proposition $Q(n)$ est vraie pour certaines valeurs de $n$, mais pas pour toutes.

Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Démontrer que :
• $\forall n \in \mathbb{N}$, $1^2+2^2+...+n^2 ≤ n^3$.
• pour tout entier $n≥3$, $3^n ≥(n+2)^2$.

Démontrons ces deux propositions par récurrence.

1. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1^2+2^2+...+n^2 \leq n^3$.

• Initialisation :
Pour $n = 1$, on a $1^2 = 1 \leq 1^3 = 1$, ce qui est vrai.
Soit la suite géométrique $(u_n)$ définie par $u_n = 2^n$. Déterminer la limite de cette suite.
• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $1^2+2^2+...+p^2 \leq p^3$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la propriété est alors vraie pour $n = p+1$.

\begin{align*}
1^2+2^2+...+p^2+(p+1)^2 &\leq p^3 + (p+1)^2 \\
                      &= p^3 + p^2 + 2p + 1 \\
                      &= (p+1)^3
\end{align*}

Donc, $1^2+2^2+...+(p+1)^2 \leq (p+1)^3$, ce qui montre que la propriété est vraie pour $n = p+1$.

• Conclusion :
Nous avons montré que la propriété est vraie pour $n = 1$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

2. Démontrer que pour tout entier $n \geq 3$, $3^n \geq (n+2)^2$.

• Initialisation :
Pour $n = 3$, on a $3^3 = 27 \geq (3+2)^2 = 25$, ce qui est vrai.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $3^p \geq (p+2)^2$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la propriété est alors vraie pour $n = p+1$.

\begin{align*}
3^{p+1} &= 3 \times 3^p \\
       &\geq 3 \times (p+2)^2 \\
       &= 3(p^2 + 4p + 4) \\
       &= 3p^2 + 12p + 12 \\
       &\geq (p+1)^2 + 4(p+1) + 4 \\
       &= (p+3)^2
\end{align*}

Donc, $3^{p+1} \geq (p+3)^2$, ce qui montre que la propriété est vraie pour $n = p+1$.

• Conclusion :
Nous avons montré que la propriété est vraie pour $n = 3$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n \geq 3$.

Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par:
\[
\left\{
    \begin{array}{ll}
        u_0 = \frac{7}{8} \\
        u_{n+1} = u_n^2 & \forall n ≥ 0
    \end{array}
\right..
\]
Démontrer par récurrence que $u_n =\left(\frac{7}{8}\right)^{2^n}$

Démontrons par récurrence que $u_n = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

• Initialisation :
Pour $n = 0$, on a $u_0 = \frac{7}{8}$. Donc, $u_0 = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^{0}}$, ce qui est vrai.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $u_p = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^{p}}$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la propriété est alors vraie pour $n = p+1$.

\[
u_{p+1} = u_p^2
\]
\[
= \left(\left(\frac{7}{8}\right)^{2^p}\right)^2
\]
\[
= \left(\frac{7}{8}\right)^{2 \cdot 2^p}
\]
\[
= \left(\frac{7}{8}\right)^{2^{p+1}}.
\]

Donc, $u_{p+1} = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^{p+1}}$, ce qui montre que la propriété est vraie pour $n = p+1$.

• Conclusion :
Nous avons montré que la propriété est vraie pour $n = 0$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

Ainsi, nous avons démontré que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = \left(\frac{7}{8}\right)^{2^n}$.

Exercice 7: ★ ☆ ☆ ☆ ☆

Pour tout n≥1, soit $s_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 $. Démontrer que pour tout n≥1, on a $s_n =\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

Démontrons par récurrence que pour tout $n \geq 1$, $s_n = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.

• Initialisation :
Pour $n = 1$, on a :
\begin{align*}
s_1 &= (2 \cdot 1 - 1)^2 \\
    &= 1^2 \\
    &= 1
\end{align*}
Et $\frac{1(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1$.
Donc, la propriété est vraie pour $n = 1$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $s_p = \frac{p(2p-1)(2p+1)}{3}$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la propriété est alors vraie pour $n = p+1$.

\begin{align*}
s_{p+1} &= \sum_{k=1}^{p+1} (2k-1)^2 \\
       &= \sum_{k=1}^{p} (2k-1)^2 + (2(p+1)-1)^2 \\
       &= s_p + (2p+1)^2 \\
       &= \frac{p(2p-1)(2p+1)}{3} + (2p+1)^2 \\
       &= \frac{p(2p-1)(2p+1)}{3} + \frac{(2p+1)(2p+1)}{3} \\
       &= \frac{p(2p-1)(2p+1) + (2p+1)(2p+1)}{3} \\
       &= \frac{(p+1)(2(p+1)-1)(2(p+1)+1)}{3}
\end{align*}

Donc, $s_{p+1} = \frac{(p+1)(2(p+1)-1)(2(p+1)+1)}{3}$, ce qui montre que la propriété est vraie pour $n = p+1$.

• Conclusion :
Nous avons montré que la propriété est vraie pour $n = 1$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n \geq 1$.

Exercice 8: ★ ★ ☆ ☆ ☆

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par
\[
\left\{
    \begin{array}{ll}
        u_0 = \frac{2}{3} \\
        u_{n+1} = \sqrt{1+u_n} & \forall n \in \mathbb{N}
    \end{array}
\right..
\]
Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $0 < u_n < 2$.

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n < 2$.

• Initialisation :
Pour $n = 0$, on a $u_0 = \frac{2}{3}$. Comme $\frac{2}{3} \in (0, 1)$, la propriété est vraie pour $n = 0$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $0 < u_p < 2$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la propriété est alors vraie pour $n = p+1$.

D'après la définition de la suite $(u_n)$, on a :
\[
u_{p+1} = \sqrt{1 + u_p}.
\]
Comme $0 < u_p < 2$ (hypothèse de récurrence), on a $1 + u_p < 3$. Ainsi, $\sqrt{1 + u_p} < \sqrt{3}$, et comme $\sqrt{3} < 2$, on obtient $u_{p+1} < 2$.

De plus, comme $u_p > 0$, on a $1 + u_p > 1$, donc $\sqrt{1 + u_p} > 1$. Par conséquent, $0 < u_{p+1} < 2$.

Ainsi, nous avons montré que si la propriété est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$.

• Conclusion :
Nous avons vérifié que la propriété est vraie pour $n = 0$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

Ainsi, nous avons démontré que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n < 2$.

Exercice 9: ★ ★ ☆ ☆ ☆

On considère la suite $u_n$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}\]
Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[u_n = \dfrac{9-8n}{3+8n}\]

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \frac{9-8n}{3+8n}$.

• Initialisation :
Pour $n = 0$, on a $u_0 = 3$. Or, $\frac{9-8 \cdot 0}{3+8 \cdot 0} = \frac{9}{3} = 3$. Donc, la propriété est vraie pour $n = 0$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $u_p = \frac{9-8p}{3+8p}$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la propriété est alors vraie pour $n = p+1$.

\begin{align*}
u_{p+1} &= \frac{u_p-2}{2u_p+5} \\
       &= \frac{\frac{9-8p}{3+8p}-2}{2\cdot\frac{9-8p}{3+8p}+5} \\
       &= \frac{\frac{9-8p-6(3+8p)}{3+8p}}{2\cdot\frac{9-8p}{3+8p}+5} \\
       &= \frac{\frac{9-8p-18-48p}{3+8p}}{2\cdot\frac{9-8p}{3+8p}+5} \\
       &= \frac{\frac{-57-40p}{3+8p}}{2\cdot\frac{9-8p}{3+8p}+5} \\
       &= \frac{-57-40p}{6-16p+10+40p} \\
       &= \frac{-57-40p}{16+24p} \\
       &= \frac{9-(8+40)p}{3+(8+24)p} \\
       &= \frac{9-8(p+1)}{3+8(p+1)}
\end{align*}

Donc, $u_{p+1} = \frac{9-8(p+1)}{3+8(p+1)}$, ce qui montre que la propriété est vraie pour $n = p+1$.

• Conclusion :
Nous avons montré que la propriété est vraie pour $n = 0$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

Ainsi, nous avons démontré que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \frac{9-8n}{3+8n}$.

Exercice 10: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soit $n$ un entier naturel non nul et \[u_n=1+3+5+7+\dots + (2n-1)\]
1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$
2. Conjecturer une expression simple de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer cette conjecture par récurrence.

1. Calcul de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$

   • Pour $n = 1$, $u_1 = 1$
   • Pour $n = 2$, $u_2 = 1 + 3 = 4$
   • Pour $n = 3$, $u_3 = 1 + 3 + 5 = 9$
   • Pour $n = 4$, $u_4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16$

2. Conjecture et démonstration par récurrence

Conjecturons que $u_n = n^2$ pour tout entier naturel non nul $n$.

Démonstration par récurrence :

• Initialisation :
Pour $n = 1$, $u_1 = 1 = 1^2$, donc la propriété est vraie pour $n = 1$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n = p$, c'est-à-dire que $u_p = p^2$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la propriété est alors vraie pour $n = p+1$.

\begin{align*}
u_{p+1} &= 1 + 3 + 5 + \dots + (2p-1) + (2p+1) \\
       &= u_p + (2p+1) \\
       &= p^2 + (2p+1) \\
       &= p^2 + 2p + 1 \\
       &= (p+1)^2
\end{align*}

Donc, nous avons bien montré que si la propriété est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$.

• Conclusion :
Nous avons vérifié que la propriété est vraie pour $n = 1$ et que si elle est vraie pour $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel non nul $n$.

Ainsi, nous avons démontré que pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n = n^2$.

🅱🅰🅽🅳🅴 🅳🅴🆂🆂🅸🅽🅴🅴

Raisonnement par récurrence

ℂ𝕠𝕞𝕡𝕠𝕣𝕥𝕖𝕞𝕖𝕟𝕥 𝕘𝕝𝕠𝕓𝕒𝕝 𝕕'𝕦𝕟𝕖 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖

■ Suites monotones

𝒟𝑒́𝒻𝒾𝓃𝒾𝓉𝒾𝑜𝓃𝓈

𝑂𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑞𝑢'𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 ($𝑢_𝑛$) 𝑑𝑒́𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 $\mathbb{N}$ 𝑒𝑠𝑡:
   • 𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛, $𝑢_{𝑛+1} ≥ 𝑢_𝑛$ ;
   • 𝒅𝒆́𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛, $𝑢_{𝑛+1} ≤ 𝑢_𝑛$
   • 𝑈𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 ($𝑢_𝑛$) 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑒 𝒎𝒐𝒏𝒐𝒕𝒐𝒏𝒆 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢'𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑑𝑒́𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒.

Trois méthodes permettent l'étude de la monotonie d'une suite :

• Méthode algébrique : elle consiste à comparer directement $u_n$ et $u_{n+1}$:
• soit en étudiant le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ ;
• soit en comparant le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 si, pour tout entier naturel, $u_n > 0$.
• Méthode fonctionnelle : elle s'applique aux suites définies par une formule explicite de la forme
$u_n = f(n)$ ($f$ étant une fonction) et consiste à étudier le sens de variation de $f$ sur $[0; +∞[$. Le sens de variation de $(u_n)$ s'en déduit.
• Méthode du raisonnement par récurrence: elle s'applique aux suites définies par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ et consiste à démontrer qu'une des propriétés $P(n): u_{n+1} ≤ u_n$, ou $P(n): u_{n+1} ≥ u_n$, est vraie pour tout entier naturel $n$.

■ Suites majorées, minorées et bornées

𝒟𝑒́𝒻𝒾𝓃𝒾𝓉𝒾𝑜𝓃𝓈

𝑂𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑞𝑢'𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 $(𝑢_𝑛)$ 𝑑𝑒́𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 $\mathbb{N}$ 𝑒𝑠𝑡:
   • 𝒎𝒂𝒋𝒐𝒓𝒆́𝒆 𝑠'𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒́𝑒𝑙 𝑀 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛, $𝑢_𝑛$ ≤ 𝑀.
   𝑀 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙𝑒́ 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 $(𝑢_𝑛)$.
   • 𝒎𝒊𝒏𝒐𝒓𝒆́𝒆 𝑠'𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒́𝑒𝑙 𝑚 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛, $𝑢_𝑛$ ≥ 𝑚 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙𝑒́ 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 $(𝑢_𝑛)$.
   • 𝒃𝒐𝒓𝒏𝒆́𝒆 𝑠𝑖 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑎̀ 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑖𝑠 𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟𝑒́𝑒 𝑒𝑡 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑒́𝑒.

📌 𝕽𝖊𝖒𝖆𝖗𝖖𝖚𝖊

• Une suite majorée admet une infinité de majorants. En effet, si $M$ est un majorant de $(u_n)$, tous les réels supérieurs à $M$ sont également des majorants de $(u_n)$. De même, une suite minorée admet une infinité de minorants.
• Toute suite croissante est minorée par son premier terme et toute suite décroissante est majorée par son premier terme.
• Pour démontrer qu'une suite est majorée ou minorée, on peut utiliser une des méthodes vues plus haut.

🔥 Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 2-\frac{1}{n^2 + 1}$
On peut montrer qu'elle est bornée en utilisant la méthode algébrique.
Pour tout entier naturel $n$, $\frac{1}{n^2 + 1} ≥ 0$, donc $u_n ≤ 2$. Donc la suite $(u_n)$ est majorée par $2$.

Pour tout entier naturel $n$, $\frac{1}{n^2 + 1} ≤ 1$ donc $-\frac{1}{n^2 + 1} ≥ -1$, donc, $u_n ≥ 1$. Donc la suite $(u_n)$ est minorée par $1$.

On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, $1 ≤ u_n ≤ 2$. Donc la suite $(u_n)$ est bornée.

𝔼𝕩𝕖𝕣𝕔𝕚𝕔𝕖𝕤 𝕕'𝕒𝕡𝕡𝕝𝕚𝕔𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤

Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆

On considère une suite $(u_n)$ définie par
\[
\left\{
    \begin{array}{ll}
        u_0 = 1 \\
        u_{n+1} = \sqrt{1+u_n} & \forall n \in \mathbb{N}
    \end{array}
\right..
\]
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

Pour démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante, nous allons procéder par récurrence.

• Initialisation :
Montrons que $u_1 \geq u_0$.
$u_1 = \sqrt{1+u_0} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \geq 1 = u_0$
Donc la propriété est vraie pour $n=0$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la suite soit croissante jusqu'au rang $n$, c'est-à-dire que $u_k \leq u_{k+1}$ pour tout $k \in \{0, 1, \dots, n\}$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la suite est également croissante au rang $n+1$, c'est-à-dire que $u_{n+1} \leq u_{n+2}$.

\begin{align*}
u_{n+2} &= \sqrt{1+u_{n+1}} \\
&\geq \sqrt{1+u_n} \\
&= u_{n+1}
\end{align*}

En effet, d'après l'hypothèse de récurrence, on a $u_n \leq u_{n+1}$, donc $1+u_n \leq 1+u_{n+1}$. Comme la fonction $\sqrt{\cdot}$ est croissante, on en déduit que $\sqrt{1+u_n} \leq \sqrt{1+u_{n+1}}$, c'est-à-dire que $u_{n+1} \leq u_{n+2}$.

• Conclusion :
Nous avons montré que la propriété est vraie pour $n=0$ et que si elle est vraie pour un certain entier $n$, alors elle est encore vraie pour $n+1$. Donc, par le principe de récurrence, la suite $(u_n)$ est croissante pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soit $(u_n)$ une suite définie par
\[
\left\{
    \begin{array}{ll}
        u_0 = 0 \\
        u_{n+1} = \frac{1+2u_n}{2+u_n}
    \end{array}
\right..
\]
Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on a $0 < u_n ≤ 1$

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, on a $0 < u_n \leq 1$.

• Initialisation :
Pour $n = 1$, on a
\[
u_1 = \frac{1 + 2u_0}{2 + u_0} = \frac{1 + 2 \cdot 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \in ]0, 1].
\]
Donc, la propriété est vraie pour $n = 1$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie jusqu'au rang $n = p$, c'est-à-dire que $0 < u_k \leq 1$ pour tout $k \in \{1, 2, \dots, p\}$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n = p + 1$.
\[
u_{p+1} = \frac{1 + 2u_p}{2 + u_p}.
\]
1. Montrons que $u_{p+1} > 0$ :
   Puisque $u_p > 0$ d'après l'hypothèse de récurrence, on a
   \[
   1 + 2u_p > 1 > 0 \quad \text{et} \quad 2 + u_p > 2 > 0.
   \]
   Ainsi,
   \[
   u_{p+1} > 0.
   \]
2. Montrons que $u_{p+1} \leq 1$ :
   Pour cela, nous devons prouver que
   \[
   \frac{1 + 2u_p}{2 + u_p} \leq 1.
   \]
   Cela revient à montrer que
   \[
   1 + 2u_p \leq 2 + u_p.
   \]
   En simplifiant, nous obtenons
   \[
   u_p \leq 1,
   \]
   ce qui est vrai d'après notre hypothèse de récurrence.

   Par ailleurs, puisque $u_p \in ]0, 1]$, on a
   \[
   2 + u_p > 2,
   \]
   donc
   \[
   \frac{1 + 2u_p}{2 + u_p} < \frac{1 + 2 \cdot 1}{2 + 0} = \frac{3}{2} \leq 1.
   \]
Ainsi, nous avons montré que $0 < u_{p+1} \leq 1$, ce qui prouve que la propriété est encore vraie au rang $n = p + 1$.

• Conclusion :
Nous avons vérifié que la propriété est vraie pour $n = 1$ et que si elle est vraie jusqu'au rang $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p + 1$. Donc, par le principe de récurrence, nous avons démontré que pour tout entier naturel non nul $n$, on a $0 < u_n \leq 1$.

Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soit $(u_n)$ une suite définie par
\[
\left\{
    \begin{array}{ll}
        u_0 = 1 \\
        u_{n+1} = \sqrt{2+u_n} & \forall n \in \mathbb{N}
    \end{array}
\right..
\]
Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $0 < u_n ≤ 2$

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $0 < u_n \leq 2$.

• Initialisation :
Pour $n = 0$, on a $u_0 = 1$. Donc $0 < u_0 \leq 2$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la propriété soit vraie jusqu'au rang $n = p$, c'est-à-dire que $0 < u_k \leq 2$ pour tout $k \in \{0, 1, \dots, p\}$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n = p+1$.

\begin{align*}
u_{p+1} &= \sqrt{2+u_p} \\
&\geq \sqrt{2+0} = \sqrt{2} > 0
\end{align*}
Donc $u_{p+1} > 0$.

De plus, d'après l'hypothèse de récurrence, on a $u_p \leq 2$. Donc :
\begin{align*}
u_{p+1} &= \sqrt{2+u_p} \\
&\leq \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2
\end{align*}
Donc $u_{p+1} \leq 2$.

Ainsi, nous avons montré que $0 < u_{p+1} \leq 2$, ce qui prouve que la propriété est encore vraie au rang $n = p+1$.

• Conclusion :
Nous avons vérifié que la propriété est vraie pour $n = 0$ et que si elle est vraie jusqu'au rang $n = p$, alors elle est aussi vraie pour $n = p+1$. Donc, par le principe de récurrence, nous avons démontré que pour tout entier naturel $n$, on a $0 < u_n \leq 2$.

Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆

1. Montrer que la suite $(u_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 + 3n$, est croissante.
2. Montrer que la suite $(v_n)$, définie pour tout entier naturel non nul par $v_n =(\frac{1}{4})^n n^2$, est décroissante.
3. La suite $(w_n)$ est définie par $w_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=2w_n -3$.
Montrer par récurrence que la suite $(w_n)$ est décroissante.

1. Montrer que la suite $(u_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 + 3n$, est croissante.

Démonstration par récurrence :

• Initialisation :
Pour $n=0$, on a $u_0 = 0^2 + 3\cdot0 = 0$.
Pour $n=1$, on a $u_1 = 1^2 + 3\cdot1 = 4$.
Donc $u_1 > u_0$, la propriété est vraie pour $n=0$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la suite soit croissante jusqu'au rang $n=p$, c'est-à-dire que $u_p \leq u_{p+1}$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la suite est encore croissante au rang $n=p+1$.

\begin{align*}
u_{p+1} &= (p+1)^2 + 3(p+1) \\
       &= p^2 + 2p + 1 + 3p + 3 \\
       &= p^2 + 5p + 4 \\
       &> p^2 + 3p \\
       &= u_p
\end{align*}

Donc $u_{p+1} > u_p$, la suite $(u_n)$ est croissante.

2. Montrer que la suite $(v_n)$, définie pour tout entier naturel non nul par $v_n =(\frac{1}{4})^n n^2$, est décroissante.

Démonstration par récurrence :

• Initialisation :
Pour $n=1$, on a $v_1 = (\frac{1}{4})^1 \cdot 1^2 = \frac{1}{4}$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la suite soit décroissante jusqu'au rang $n=p$, c'est-à-dire que $v_p \geq v_{p+1}$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la suite est encore décroissante au rang $n=p+1$.

\begin{align*}
v_{p+1} &= (\frac{1}{4})^{p+1} (p+1)^2 \\
       &< (\frac{1}{4})^p p^2 \\
       &= v_p
\end{align*}

Donc $v_{p+1} < v_p$, la suite $(v_n)$ est décroissante.

3. Montrer par récurrence que la suite $(w_n)$ définie par $w_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=2w_n -3$, est décroissante.

Démonstration par récurrence :

• Initialisation :
Pour $n=0$, on a $w_0 = 1$ et $w_1 = 2\cdot1 - 3 = -1$.
Donc $w_1 < w_0$, la propriété est vraie pour $n=0$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la suite soit décroissante jusqu'au rang $n=p$, c'est-à-dire que $w_p \geq w_{p+1}$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la suite est encore décroissante au rang $n=p+1$.

\begin{align*}
w_{p+1} &= 2w_p - 3 \\
       &< 2w_{p+1} - 3 \\
       &= w_{p+2}
\end{align*}

Donc $w_{p+1} < w_{p+2}$, la suite $(w_n)$ est décroissante.

Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆

1. Montrer que la suite $(u_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 -6n+5$, est minorée par $-4$.
2. La suite $(v_n)$ est définie par $v_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} =2v_n -3$.
Montrer par récurrence que la suite $(v_n)$ est majorée par $3$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 -6n+5$, est minorée par $-4$.

Démonstration :
Nous allons montrer que $u_n \geq -4$ pour tout entier naturel $n$.

Soit $n$ un entier naturel quelconque, on a :
\begin{align*}
u_n &= n^2 - 6n + 5 \\
    &= n^2 - 6n + 9 - 4 \\
    &= (n-3)^2 - 4 \\
    &\geq -4
\end{align*}

En effet, comme $(n-3)^2 \geq 0$ pour tout $n$, on a bien $u_n \geq -4$.

Donc la suite $(u_n)$ est minorée par $-4$.

2. Montrer par récurrence que la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} =2v_n -3$, est majorée par $3$.

Démonstration par récurrence :

• Initialisation :
Pour $n=0$, on a $v_0 = 1 \leq 3$.

• Hypothèse de récurrence :
Supposons que la suite soit majorée par $3$ jusqu'au rang $n=p$, c'est-à-dire que $v_p \leq 3$.

• Étape de récurrence :
Montrons que la suite est encore majorée par $3$ au rang $n=p+1$.

\begin{align*}
v_{p+1} &= 2v_p - 3 \\
       &\leq 2\cdot 3 - 3 \\
       &= 3
\end{align*}

Donc $v_{p+1} \leq 3$, la suite $(v_n)$ est majorée par $3$.

• Conclusion :
Nous avons montré par récurrence que la suite $(v_n)$ est majorée par $3$.

🅱🅰🅽🅳🅴 🅳🅴🆂🆂🅸🅽🅴🅴

𝕃𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕕𝕖𝕤 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 - 𝔻𝕖́𝕗𝕚𝕟𝕚𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤 𝕕𝕖𝕤 𝕝𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤

■ Limite finie et suites convergentes

𝒟𝑒́𝒻𝒾𝓃𝒾𝓉𝒾𝑜𝓃𝓈

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙 𝑢𝑛 𝑟𝑒́𝑒𝑙.
𝑈𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 $(𝑢_𝑛)$ 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 +∞ 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠 $𝑢_𝑛$ 𝑎̀ 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑'𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑖𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑔.
𝑂𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑞𝑢𝑒 $(𝑢_𝑛)$ 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙.

Cette définition revient à dire que la suite $(u_n)$ converge vers lorsque $l$, pour tout $r > 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n ≥ N$, $|u_n-l| ‹ r$.

📌 𝕽𝖊𝖒𝖆𝖗𝖖𝖚𝖊

$|u_n-l|$, représente la distance entre $u_n$ et $l$.

𝒫𝓇𝑜𝓅𝓇𝒾𝑒́𝓉𝑒́

𝐿𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑'𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 $u_n$ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒. 𝑂𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑒 $\lim_{n \to \infty} u_n = l$.

𝒫𝓇𝑜𝓅𝓇𝒾𝑒́𝓉𝑒́ (𝒶𝒹𝓂𝒾𝓈𝑒): 𝓁𝒾𝓂𝒾𝓉𝑒𝓈 𝒹𝑒𝓈 𝓈𝓊𝒾𝓉𝑒𝓈 𝓊𝓈𝓊𝑒𝓁𝓁𝑒𝓈

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ et $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$ où $k$ 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑙.

■ Suites divergentes

𝒟𝑒́𝒻𝒾𝓃𝒾𝓉𝒾𝑜𝓃

𝑈𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑛'𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.

𝒟𝑒́𝒻𝒾𝓃𝒾𝓉𝒾𝑜𝓃𝓈

𝑈𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 $(u_n)$ 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 $+∞$ (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑠 $-∞)$ 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 $[A; +∞[$ (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 $]-∞; A]$) 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠 $u_n$ 𝑎̀ 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑'𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑖𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑔.
𝑂𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑒 $\lim_{n \to \infty} u_n = +∞$ (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 $\lim_{n \to \infty} u_n = -∞$).
𝑂𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑞𝑢𝑒 $(u_n)$ 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠 $+∞$ (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑠 $-∞$).

Cette définition revient à dire que :
• $(u_n)$ diverge vers $+∞$ lorsque, pour tout réel $A$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n ≥ N$, $u_n ≥ A$;
• $(u_n)$ diverge vers $-∞$ lorsque, pour tout réel $A$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n > N$, $u_n ≤ A$.

📌 𝕽𝖊𝖒𝖆𝖗𝖖𝖚𝖊

Certaines suites divergent et n'ont pas de limite, par exemple la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = (-1)^n$.

𝒫𝓇𝑜𝓅𝓇𝒾𝑒́𝓉𝑒́ (𝒶𝒹𝓂𝒾𝓈𝑒): 𝓁𝒾𝓂𝒾𝓉𝑒𝓈 𝒹𝑒𝓈 𝓈𝓊𝒾𝓉𝑒𝓈 𝓊𝓈𝓊𝑒𝓁𝓁𝑒𝓈

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = +∞$ et $\lim_{n \to \infty} n^k = +∞$ où $k$ 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑙.

𝕃𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕕𝕖𝕤 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 - 𝕠𝕡𝕖́𝕣𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤

■ Limite finie et suites convergentes

𝐿𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑'𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 $(𝑢_𝑛)$ 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑛 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑟𝑒̀𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑. 𝑂𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 $\lim_{n \to \infty} 𝑢_𝑛 = l$ 𝑜𝑢 $𝑢_𝑛 → 𝑙$.

𝒫𝓇𝑜𝓅𝓇𝒾𝑒́𝓉𝑒́𝓈 𝒹𝑒𝓈 𝓁𝒾𝓂𝒾𝓉𝑒𝓈 𝒹𝑒 𝓈𝓊𝒾𝓉𝑒𝓈

𝑄𝑢𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒́𝑡𝑒́𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒𝑠 :
𝑆𝑖 $lim(u_n) = l$ 𝑒𝑡 $lim(v_n) = m$, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 :

   • 𝒮𝑜𝓂𝓂𝑒 : $lim(u_n + v_n) = l + m$
   • 𝒟𝒾𝒻𝒻𝑒́𝓇𝑒𝓃𝒸𝑒 : $lim(u_n - v_n) = l - m$
   • 𝒫𝓇𝑜𝒹𝓊𝒾𝓉 : $lim(u_n \times v_n) = l \times m$
   • 𝒬𝓊𝑜𝓉𝒾𝑒𝓃𝓉 : $lim(\frac{u_n}{v_n}) = \frac{l}{m}$ (𝓈𝒾 $m ≠ 0$)
   • 𝒞𝑜𝓃𝓈𝓉𝒶𝓃𝓉𝑒 : $lim(k) = k$, 𝑜𝓊̀ $k$ 𝑒𝓈𝓉 𝓊𝓃𝑒 𝒸𝑜𝓃𝓈𝓉𝒶𝓃𝓉𝑒
   • 𝒞𝑜𝓂𝓅𝑜𝓈𝒾𝓉𝒾𝑜𝓃 : $lim(u_n^p) = [lim(u_n)]^p$, 𝑜𝑢̀ $p$ 𝑒𝓈𝓉 𝓊𝓃 𝓃𝑜𝓂𝒷𝓇𝑒 𝓇𝑒́𝑒𝓁

𝕃𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕕𝕖𝕤 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 - ℂ𝕠𝕞𝕡𝕒𝕣𝕒𝕚𝕤𝕠𝕟𝕤

■ Limite infinie

𝒯𝒽𝑒́𝑜𝓇𝑒̀𝓂𝑒

𝑆𝑜𝑖𝑡 $N$ 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙. 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 $(u_n)$ et $(v_n)$ 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 $n ≥ N$, $u_n ≤ v_n$ :
• 𝑆𝑖 $\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 $\lim_{n \to \infty} v_n = +\infty$.
• 𝑆𝑖 $\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty$, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 $\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty$.

🔥 Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = n + cos(n)$, pour tout $n \in \mathbb{N}$. Pour tout entier naturel $n$, on a :$-1 ≤ cos(n) ⇔ n-1 ≤ n + cos(n) ⇔ n-1 ≤ u_n$,
Or, $\lim_{n \to \infty} (n-1) = +\infty$ donc, d'après le théorème précédent, $\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$.

■ Limite finie

𝒯𝒽𝑒́𝑜𝓇𝑒̀𝓂𝑒 𝒹𝑒𝓈 𝑔𝑒𝓃𝒹𝒶𝓇𝓂𝑒𝓈 (𝒶𝒹𝓂𝒾𝓈)

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑁 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑙 𝑢𝑛 𝑟𝑒́𝑒𝑙.
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 $(𝑢_𝑛)$, $(𝑣_𝑛)$ 𝑒𝑡 $(𝑤_𝑛)$ 𝑡𝑟𝑜𝑖𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 $𝑛 ≥ 𝑁$, $𝑢_𝑛 ≤ 𝑣_𝑛 ≤ 𝑤_𝑛$
𝑆𝑖 $(𝑢_𝑛)$ 𝑒𝑡 $(𝑤_𝑛)$ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒̂𝑚𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑙, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 $(𝑣_𝑛)$ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙.

📌 𝕽𝖊𝖒𝖆𝖗𝖖𝖚𝖊

Ce théorème permet simultanément de prouver que la suite $(v_n)$ converge et de déterminer la valeur de sa limite. Il est aussi connu sous les noms de théorème d'encadrement ou théorème « sandwich ».

𝒫𝓇𝑜𝓅𝓇𝒾𝑒́𝓉𝑒́

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑁 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙, 𝑠𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑡 𝑙' 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟𝑒́𝑒𝑙𝑠.
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 $(𝑢_𝑛)$ 𝑒𝑡 $(𝑣_𝑛)$ 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑛 ≥ 𝑁, $𝑢_𝑛$, $𝑣_𝑛$
𝑆𝑖 $(𝑢_𝑛)$ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙𝑒𝑡 𝑠𝑖 $(𝑣_𝑛)$ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙', 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙 ≤ 𝑙'.

𝒫𝓇𝑜𝓅𝓇𝒾𝑒́𝓉𝑒́𝓈

𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑙 𝑢𝑛 𝑟𝑒́𝑒𝑙 𝑒𝑡 $(𝑢_𝑛)$ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒́𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛.
𝑆𝑖 $(𝑢_𝑛)$ 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 $𝑛 \in \mathbb{N}$, $𝑢_𝑛 ≤ 𝑙$.
𝑆𝑖 $(𝑢_𝑛)$ 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒́𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 $𝑛 \in \mathbb{N}$, $𝑢_𝑛 ≥ 𝑙$.

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𝒟𝑒́𝒻𝒾𝓃𝒾𝓉𝒾𝑜𝓃

𝑈𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑔𝑒́𝑜𝑚𝑒́𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐ℎ𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑒̀𝑠 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑒𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑝𝑟𝑒́𝑐𝑒́𝑑𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 $q$, 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙𝑒́𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛. 𝑂𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑒́𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑔𝑒́𝑜𝑚𝑒́𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 :
\[
v_n = v_0 \cdot q^n
\]
où $v_0$ 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 $n$ 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓.

𝒫𝓇𝑜𝓅𝓇𝒾𝑒́𝓉𝑒́𝓈

𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑'𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑔𝑒́𝑜𝑚𝑒́𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 :
      • 𝑆𝑖 $|q| < 1$, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 $\lim_{n \to \infty} v_n = 0$.
      • 𝑆𝑖 $|q| = 1$, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 $\lim_{n \to \infty} v_n = u_0$.
      • 𝑆𝑖 $|q| > 1$, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 $\lim_{n \to \infty} v_n = +\infty$ (𝑜𝑢 $-\infty$ 𝑠𝑖 $v_0 < 0$).

🔥 𝐸𝓍𝑒𝓂𝓅𝓁𝑒𝓈

• 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 $v_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$, 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 $\frac{1}{2}$ 𝑒𝑡 $\lim_{n \to \infty} v_n = 0$.
• 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 $v_n = 5 \cdot 2^n$, 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 $2$ 𝑒𝑡 $\lim_{n \to \infty} v_n = +\infty$.

𝕃𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕕𝕖 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 - 𝕊𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕞𝕠𝕟𝕠𝕥𝕠𝕟𝕖𝕤

𝒟𝑒́𝒻𝒾𝓃𝒾𝓉𝒾𝑜𝓃

𝑈𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑖 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑑𝑒́𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 :
• 𝑆𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 : $u_n \leq u_{n+1}$ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 $n$.
• 𝑆𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒́𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 : $u_n \geq u_{n+1}$ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 $n$.

𝒫𝓇𝑜𝓅𝓇𝒾𝑒́𝓉𝑒́𝓈

• 𝑆𝑖 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟𝑒́𝑒 (𝑐'𝑒𝑠𝑡-𝑎̀-𝑑𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢'𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒́𝑒𝑙 $M$ 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 $u_n \leq M$ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 $n$), 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.
• 𝑆𝑖 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒́𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑒́𝑒 (𝑐'𝑒𝑠𝑡-𝑎̀-𝑑𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢'𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒́𝑒𝑙 $m$ 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 $u_n \geq m$ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 $n$), 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.
• 𝑈𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑒́𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑖𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑖 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑑𝑒́𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒.

🔥 𝐸𝓍𝑒𝓂𝓅𝓁𝑒𝓈

• 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 $u_n = n$, 𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑛𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟𝑒́𝑒, $\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$.
• 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 $v_n = \frac{1}{n}$, 𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒́𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑒́𝑒 𝑝𝑎𝑟 $0$, 𝑜𝑛 𝑎 $\lim_{n \to \infty} v_n = 0$.

𝔼𝕩𝕖𝕣𝕔𝕚𝕔𝕖𝕤 𝕕'𝕒𝕡𝕡𝕝𝕚𝕔𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤

Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Déterminer les limites des suites définies pour tout entier naturel $n$ par :
• $u_n = n^2 + n-6$
• $v_n = (2-5n)\sqrt{n}$

1. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 + n - 6$ pour tout entier naturel $n$.

Démonstration :
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 + n - 6$ pour tout entier naturel $n$.

Calculons la limite de cette suite lorsque $n$ tend vers l'infini :

\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} u_n &= \lim_{n\to +\infty} (n^2 + n - 6) \\
&= \lim_{n\to +\infty} n^2 + \lim_{n\to +\infty} n - \lim_{n\to +\infty} 6 \\
&= +\infty + +\infty - 6 \\
&= +\infty
\end{align*}

Donc la limite de la suite $(u_n)$ est $+\infty$.

2. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ définie par $v_n = (2-5n)\sqrt{n}$ pour tout entier naturel $n$.

Démonstration :
Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = (2-5n)\sqrt{n}$ pour tout entier naturel $n$.

Calculons la limite de cette suite lorsque $n$ tend vers l'infini :

\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} v_n &= \lim_{n\to +\infty} (2-5n)\sqrt{n} \\
&= \lim_{n\to +\infty} 2\sqrt{n} - \lim_{n\to +\infty} 5n\sqrt{n} \\
&= 2\cdot \lim_{n\to +\infty} \sqrt{n} - 5\cdot \lim_{n\to +\infty} n\sqrt{n} \\
&= 2\cdot (+\infty) - 5\cdot (+\infty) \\
&= -\infty
\end{align*}

Donc la limite de la suite $(v_n)$ est $-\infty$.

Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par:
$u_n = n^2-10n+5$ et $v_n = \frac{2n-4}{3+n}$
1. Montrer que, pour chacune de ces suites, les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure sans transformer les expressions.
2. En transformant l'écriture des termes généraux de chacune d'entre elles, calculer leurs limites.

Considérons les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :
$u_n = n^2-10n+5$ et $v_n = \frac{2n-4}{3+n}$

1. Montrer que, pour chacune de ces suites, les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure sans transformer les expressions.

Démonstration :

Suite $(u_n)$ :
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} u_n &= \lim_{n\to +\infty} (n^2-10n+5) \\
&= \lim_{n\to +\infty} n^2 - \lim_{n\to +\infty} 10n + \lim_{n\to +\infty} 5
\end{align*}
Dans ce cas, nous ne pouvons pas conclure directement car la limite de $n^2$ est $+\infty$, la limite de $10n$ est $+\infty$ et la limite de $5$ est $5$. Il faut donc transformer l'expression pour pouvoir conclure.

Suite $(v_n)$ :
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} v_n &= \lim_{n\to +\infty} \frac{2n-4}{3+n}
\end{align*}
Ici non plus, nous ne pouvons pas conclure directement car la limite de $2n-4$ est $+\infty$ et la limite de $3+n$ est $+\infty$. Il faut donc transformer l'expression pour pouvoir conclure.

2. En transformant l'écriture des termes généraux de chacune d'entre elles, calculer leurs limites.

Démonstration :

Suite $(u_n)$ :
\begin{align*}
u_n &= n^2-10n+5 \\
   &= n^2 - 10n + 25 - 20 \\
   &= n^2 - 10n + 25 - 20 \\
   &= (n-5)^2 - 20
\end{align*}
Donc $\lim_{n\to +\infty} u_n = \lim_{n\to +\infty} (n-5)^2 - 20 = +\infty - 20 = +\infty$

Suite $(v_n)$ :
\begin{align*}
v_n &= \frac{2n-4}{3+n} \\
   &= \frac{2(n+2)-8}{3+n} \\
   &= \frac{2(n+2)}{3+n} - \frac{8}{3+n} \\
   &= 2 - \frac{8}{3+n}
\end{align*}
Donc $\lim_{n\to +\infty} v_n = \lim_{n\to +\infty} 2 - \frac{8}{3+n} = 2 - 0 = 2$

En conclusion, la limite de la suite $(u_n)$ est $+\infty$ et la limite de la suite $(v_n)$ est $2$.

Exercice 3: ★ ☆ ☆ ☆ ☆

Déterminer la limite de chacune des suites définies ci-dessous.
1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = n+\sqrt{\frac{1}{n+1}}$.
2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = -n^2+(-1)^n$.

1. Détermination de la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n+\sqrt{\frac{1}{n+1}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Pour étudier la limite de cette suite, nous allons utiliser le théorème de la limite d'une somme et d'une racine carrée.

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} u_n &= \lim_{n\to\infty} \left(n + \sqrt{\frac{1}{n+1}}\right) \\
                    &= \lim_{n\to\infty} n + \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{1}{n+1}} \\
                    &= \infty + 0 \\
                    &= \infty
\end{align*}

Donc la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n+\sqrt{\frac{1}{n+1}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ diverge vers $\infty$.

2. Détermination de la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = -n^2+(-1)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Pour étudier la limite de cette suite, nous allons utiliser le fait que la suite $(-n^2)$ converge vers $-\infty$ et que la suite $(-1)^n$ est périodique de période 2.

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} u_n &= \lim_{n\to\infty} \left(-n^2+(-1)^n\right) \\
                    &= \lim_{n\to\infty} -n^2 + \lim_{n\to\infty} (-1)^n \\
                    &= -\infty + 0 \\
                    &= -\infty
\end{align*}

Donc la suite $(u_n)$ définie par $u_n = -n^2+(-1)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ converge vers $-\infty$.

Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆

1. Déterminer la limite de la suite $(w_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ tel que $n > 1$ par:
\[w_n = \frac{1}{n + cos(n)}\]
2. Étudier la convergence de la suite $(z_n)$, définie pour tout entier naturel par $z_n = 1+
\frac{2+(-1)^n}{n^2+1}$

1. Détermination de la limite de la suite $(w_n)$

Soit la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ tel que $n > 1$ par :
\[w_n = \frac{1}{n + \cos(n)}\]

Étape 1 : Étudier le comportement de $\cos(n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
La fonction cosinus est bornée, c'est-à-dire qu'il existe $M > 0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|\cos(n)| \leq M$.

Étape 2 : Appliquer le théorème des gendarmes.
Considérons les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par :
\[a_n = \frac{1}{n+M} \quad\text{et}\quad b_n = \frac{1}{n-M}\]

On a alors :
\[\frac{1}{n+M} \leq \frac{1}{n+\cos(n)} \leq \frac{1}{n-M}\]

Puisque $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ et $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$, d'après le théorème des gendarmes, on a :
\[\lim_{n\to\infty} w_n = 0\]

Donc la limite de la suite $(w_n)$ est 0.

2. Étude de la convergence de la suite $(z_n)$

Soit la suite $(z_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[z_n = 1+\frac{2+(-1)^n}{n^2+1}\]

Étape 1 : Étudier le comportement de $(-1)^n$ et $n^2+1$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
La suite $(-1)^n$ est une suite périodique de période 2, donc elle est bornée.
La suite $(n^2+1)$ tend vers l'infini lorsque $n$ tend vers l'infini.

Étape 2 : Appliquer le critère de convergence des séries.
Considérons la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^n}{n^2+1}$.
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^n}{n^2+1} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2+1}\]
Or, la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2+1}$ converge, car elle est majorée par la série harmonique convergente $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2}$.

Donc, par le critère de convergence des séries, la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^n}{n^2+1}$ converge.

Étape 3 : Conclure sur la convergence de la suite $(z_n)$.
Comme la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^n}{n^2+1}$ converge, alors la suite $\left(\frac{2+(-1)^n}{n^2+1}\right)$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini.
Donc la suite $(z_n)$ converge et sa limite est 1.

Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{1}{n}$. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

Soit $ε > 0$. Il faut trouver un rang $N$ tel que pour tout $n ≥ N, |u_n - L| < ε$, où $L$ est la limite de la suite.

Montrons que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminons sa limite $L$.

Considérons la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{1}{(n+1)}$. On a $u_n = \frac{1}{n}$ et $v_n = \frac{1}{(n+1)}$.

Alors, pour tout $n ≥ 1$, on a :
$v_n ≤ u_n ≤ v_n-1$

En effet, $\frac{1}{(n+1)} ≤ \frac{1}{n} ≤ \frac{1}{(n-1)}$.

Donc, la suite $(u_n)$ est encadrée par la suite $(v_n)$, qui est convergente de limite $0$.

Par le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ est convergente et sa limite est $0$.

Donc, $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$.

𝔼𝕩𝕖𝕣𝕔𝕚𝕔𝕖𝕤 𝕕'𝕒𝕡𝕡𝕝𝕚𝕔𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤

Exercice 6: ★ ☆ ☆ ☆ ☆

Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{(n+1)}{(2n+1)}$. Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = \frac{n}{(n + 1)}{(2n + 1)}$.

Montrons que cette suite est convergente en l'encadrant par deux autres suites convergentes.

Considérons la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{n}{n}{(2n + 1)}$ et la suite $(w_n)$ définie par $w_n = \frac{n}{(n + 1)}{(2n + 3)}$.

On a alors, pour tout $n ≥ 1$ :
$v_n ≤ u_n ≤ w_n$

En effet, $\frac{n}{(2n + 1)} ≤ \frac{(n + 1)}{(2n + 1)} ≤ \frac{(n + 1)}{(2n + 3)}$.

Les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes, la première vers $\frac{1}{2}$ et la seconde vers $\frac{1}{2}$.

D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ est convergente et sa limite est $\frac{1}{2}$.

Donc, $\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{2}$.

Exercice 7: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soit la suite géométrique $(u_n)$ définie par $u_n = 2^n$. Déterminer la limite de cette suite.

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $r$.
La limite de $(u_n)$ est donnée par :

   • Si $|r| < 1$, $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
   • Si $|r| > 1$, alors la suite diverge
   • Si $r = 1$, alors $\lim_{n \to \infty} w_n = w_0$

Dans le cas de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2^n$, on a $r = 2$.

Comme $|r| = |2| > 1$, la suite diverge.
Donc, la suite $(u_n)$ n'a pas de limite finie.

Exercice 8: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Soit la suite géométrique $(v_n)$ définie par $v_n = (\frac{1}{3})^n$. Déterminer la limite de cette suite.

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $r$.
La limite de $(v_n)$ est donnée par :

   • Si $|r| < 1$, alors $\lim_{n \to \infty} v_n = 0$
   • Si $|r| > 1$, alors la suite diverge
   • Si $r = 1$, alors $\lim_{n \to \infty} v_n = v_0$

Dans le cas de la suite $(v_n)$ définie par $v_n = (\frac{1}{3})^n$, on a $r = \frac{1}{3}$.
Comme $|r| = |\frac{1}{3}| < 1$, la suite converge vers $0$.
Donc, $\lim_{n \to \infty} v_n = 0$.

Exercice 9: ★ ☆ ☆ ☆ ☆

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{(n + 1)}{(2n + 1)}$. Montrer que cette suite est convergente et déterminer sa limite.

Soit $ε > 0$. Il faut trouver un rang $N$ tel que pour tout $n ≥ N$, $|v_n - L| < ε$, où $L$ est la limite de la suite.

Montrons que la suite $(v_n)$ est convergente et déterminons sa limite $L$.

Considérons la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{n}{(2n+1)}$. On a $v_n = \frac{(n+1)}{(2n+1)}$ et $u_n = \frac{n}{(2n+1)}$.

Alors, pour tout $n ≥ 1$, on a :
$u_n ≤ v_n ≤ u_{n+1}$

En effet, $\frac{n}{(2n+1)} ≤ \frac{(n+1)}{(2n+1)} ≤ \frac{(n+1)}{(2n+3)}$.

Donc, la suite $(v_n)$ est encadrée par la suite $(u_n)$, qui est convergente de limite $\frac{1}{2}$.

Par le théorème des gendarmes, la suite $(v_n)$ est convergente et sa limite est $\frac{1}{2}$.

Donc, $\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{2}$.

Exercice 10: ★ ☆ ☆ ☆ ☆

Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = (1 - \frac{1}{n})^n$. Montrer que cette suite est convergente et déterminer sa limite.

Démonstration de la convergence de la suite $(v_n)$ et détermination de sa limite en utilisant le théorème des gendarmes.

Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = (1 - \frac{1}{n})^n$.

• Étape 1 : Encadrer la suite $(v_n)$ par deux suites convergentes.

   Considérons les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par :
   \[
   a_n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \quad\text{et}\quad b_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n
   \]

   On a alors :
   \begin{align*}
   a_n &= \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \\
      &= \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n \times \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \\
      &= v_n \times \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)
   \end{align*}
   et
   \begin{align*}
   b_n &= \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \\
      &= v_n
   \end{align*}

   Donc $a_n \leq v_n \leq b_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

• Étape 2 : Démontrer la convergence des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

   La suite $(a_n)$ converge vers $e^{-1}$, car $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} = e^{-1}$.

   La suite $(b_n)$ converge vers $e^{-1}$, car $\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}$.

• Étape 3 : Appliquer le théorème des gendarmes.

   Puisque $a_n \leq v_n \leq b_n$ et que $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = e^{-1}$, alors, d'après le théorème des gendarmes, on a :
   \[\lim_{n\to\infty} v_n = e^{-1}\]

   Donc la suite $(v_n)$ converge et sa limite est $e^{-1}$.

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2. Étape de récurrence

Conclusion

𝔼𝕩𝕖𝕣𝕔𝕚𝕔𝕖𝕤 𝕕'𝕒𝕡𝕡𝕝𝕚𝕔𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤

Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 7: ★ ☆ ☆ ☆ ☆

Exercice 8: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 9: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 10: ★ ★ ☆ ☆ ☆

🅱🅰🅽🅳🅴 🅳🅴🆂🆂🅸🅽🅴🅴

Raisonnement par récurrence

ℂ𝕠𝕞𝕡𝕠𝕣𝕥𝕖𝕞𝕖𝕟𝕥 𝕘𝕝𝕠𝕓𝕒𝕝 𝕕'𝕦𝕟𝕖 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖

■ Suites monotones

■ Suites majorées, minorées et bornées

𝔼𝕩𝕖𝕣𝕔𝕚𝕔𝕖𝕤 𝕕'𝕒𝕡𝕡𝕝𝕚𝕔𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤

Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆

🅱🅰🅽🅳🅴 🅳🅴🆂🆂🅸🅽🅴🅴

𝕃𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕕𝕖𝕤 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 - 𝔻𝕖́𝕗𝕚𝕟𝕚𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤 𝕕𝕖𝕤 𝕝𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤

■ Limite finie et suites convergentes

■ Suites divergentes

𝕃𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕕𝕖𝕤 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 - 𝕠𝕡𝕖́𝕣𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤

■ Limite finie et suites convergentes

𝕃𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕕𝕖𝕤 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 - ℂ𝕠𝕞𝕡𝕒𝕣𝕒𝕚𝕤𝕠𝕟𝕤

■ Limite infinie

■ Limite finie

𝕃𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕕𝕖 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 - 𝕊𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕘𝕖́𝕠𝕞𝕖́𝕥𝕣𝕚𝕢𝕦𝕖𝕤

𝕃𝕚𝕞𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕕𝕖 𝕤𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 - 𝕊𝕦𝕚𝕥𝕖𝕤 𝕞𝕠𝕟𝕠𝕥𝕠𝕟𝕖𝕤

𝔼𝕩𝕖𝕣𝕔𝕚𝕔𝕖𝕤 𝕕'𝕒𝕡𝕡𝕝𝕚𝕔𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤

Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 3: ★ ☆ ☆ ☆ ☆

Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆

𝔼𝕩𝕖𝕣𝕔𝕚𝕔𝕖𝕤 𝕕'𝕒𝕡𝕡𝕝𝕚𝕔𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟𝕤

Exercice 6: ★ ☆ ☆ ☆ ☆

Exercice 7: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 8: ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 9: ★ ☆ ☆ ☆ ☆

Exercice 10: ★ ☆ ☆ ☆ ☆

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