Exploration de la documentation sur le langage SQL
Exercice 1: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Soit une pièce de monnaie équilibrée. On considère la variable aléatoire \(X_n\) qui représente le nombre de faces obtenues lors de \(n\) lancers.
1. Déterminer l'espérance et la variance de \(X_n\).
2. Montrer que \( \frac{X_n}{n} \) converge en probabilité vers \( \frac{1}{2} \) lorsque \( n \to +\infty \).
1. Calcul de l'espérance et de la variance : La variable aléatoire \(X_n\) suit une loi binomiale \(B(n, p)\) avec \(p = \frac{1}{2}\) (probabilité d'obtenir une face).
• Espérance :
\(E[X_n] = np = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\)
Cela signifie qu'en moyenne, on s'attend à obtenir \(\frac{n}{2}\) faces après \(n\) lancers.
• Variance :
\(\text{Var}(X_n) = np(1-p) = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}\)
La variance indique la dispersion des résultats. Une variance plus élevée signifie que le nombre de faces peut varier considérablement autour de l'espérance.
2. Convergence en probabilité : La loi des grands nombres stipule que lorsque \(n\) augmente, la proportion de faces obtenues \( \frac{X_n}{n} \) converge vers \(p\).
Ainsi, \( \frac{X_n}{n} \) converge en probabilité vers \(\frac{1}{2}\). Cela signifie qu'en lançant la pièce un grand nombre de fois, la proportion de faces observée se stabilisera autour de \(50\%\).
Exercice 2: ★ ★ ★ ☆ ☆
Considérons une expérience où l'on tire aléatoirement une carte d'un jeu de 52 cartes. On définit la variable aléatoire \(Y_n\) comme étant le nombre de cartes rouges obtenues lors de \(n\) tirages.
1. Calculer l'espérance et la variance de \(Y_n\).
2. Vérifier que \( \frac{Y_n}{n} \) converge en probabilité vers \( \frac{1}{2} \).
1. Calcul de l'espérance et de la variance : La variable \(Y_n\) suit une loi binomiale \(B(n, p)\) avec \(p = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}\) (car il y a 26 cartes rouges dans un jeu de 52).
• Espérance :
\(E[Y_n] = np = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\)
Ainsi, en moyenne, on s'attend à obtenir \(\frac{n}{2}\) cartes rouges.
• Variance :
\(\text{Var}(Y_n) = np(1-p) = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}\)
La variance indique la variabilité des résultats. Une plus grande variance signifie que le nombre de cartes rouges peut varier considérablement.
2. Convergence en probabilité : En utilisant la loi des grands nombres, on sait que \( \frac{Y_n}{n} \) converge en probabilité vers \(p = \frac{1}{2}\).
Cela signifie qu'avec un grand nombre de tirages, la proportion de cartes rouges observées se stabilisera autour de \(50\%\).
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ☆
On lance un dé à six faces équilibré \(n\) fois. Soit \(Z_n\) le nombre de fois où le nombre 6 apparaît.
1. Calculer l'espérance et la variance de \(Z_n\).
2. Montrer que \( \frac{Z_n}{n} \) converge en probabilité vers \( \frac{1}{6} \).
1. Calcul de l'espérance et de la variance : La variable \(Z_n\) suit une loi binomiale \(B(n, p)\) avec \(p = \frac{1}{6}\) (probabilité d'obtenir un 6).
• Espérance :
\(E[Z_n] = np = n \cdot \frac{1}{6} = \frac{n}{6}\)
On s'attend donc à obtenir en moyenne \(\frac{n}{6}\) fois le nombre 6 après \(n\) lancers.
• Variance :
\(\text{Var}(Z_n) = np(1-p) = n \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5n}{36}\)
La variance montre la dispersion des résultats. Une plus grande variance signifie que le nombre de 6s peut varier considérablement.
2. Convergence en probabilité : La loi des grands nombres indique que \( \frac{Z_n}{n} \) converge en probabilité vers \( \frac{1}{6} \).
Cela signifie qu'en lançant le dé un grand nombre de fois, la proportion de 6s observée se stabilisera autour de \(16.67\%\).
Exercice 4: ★ ★ ★ ★ ★
On considère une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire \(n\) boules avec remise. Soit \(W_n\) le nombre de boules rouges tirées.
1. Déterminer l'espérance et la variance de \(W_n\).
2. Démontrer que \( \frac{W_n}{n} \) converge en probabilité vers \( \frac{3}{5} \).
1. Calcul de l'espérance et de la variance : La variable \(W_n\) suit une loi binomiale \(B(n, p)\) avec \(p = \frac{3}{5}\) (3 rouges sur 5 boules).
• Espérance :
\(E[W_n] = np = n \cdot \frac{3}{5} = \frac{3n}{5}\)
En moyenne, on s'attend à tirer \(\frac{3n}{5}\) boules rouges.
• Variance :
\(\text{Var}(W_n) = np(1-p) = n \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6n}{25}\)
Une variance plus élevée indique que le nombre de boules rouges peut varier considérablement autour de l'espérance.
2. Convergence en probabilité : Selon la loi des grands nombres, \( \frac{W_n}{n} \) converge en probabilité vers \( \frac{3}{5} \).
Cela signifie qu'après un grand nombre de tirages, la proportion de boules rouges tirées se stabilisera autour de \(60\%\).
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ★
Une entreprise fabrique des pièces dont la probabilité de défaut est de \(0.1\). On considère \(D_n\) le nombre de pièces défectueuses sur \(n\) pièces produites.
1. Déterminer l'espérance et la variance de \(D_n\).
2. Montrer que \( \frac{D_n}{n} \) converge en probabilité vers \(0.1\) et expliquer la signification de cette convergence pour l'entreprise.
1. Calcul de l'espérance et de la variance : La variable \(D_n\) suit une loi binomiale \(B(n, p)\) avec \(p = 0.1\).
• Espérance :
\(E[D_n] = np = n \cdot 0.1 = 0.1n\)
Cela signifie que sur \(n\) pièces produites, on s'attend à ce qu'environ \(10\%\) soient défectueuses.
• Variance :
\(\text{Var}(D_n) = np(1-p) = n \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 0.09n\)
La variance indique la variabilité du nombre de pièces défectueuses. Une plus grande variance signifie une plus grande incertitude dans le contrôle qualité.
2. Convergence en probabilité : La loi des grands nombres nous dit que \( \frac{D_n}{n} \) converge vers \(0.1\).
Cela signifie qu'à long terme, l'entreprise peut s'attendre à ce que 10% de ses pièces soient défectueuses, ce qui aide à prévoir les coûts associés aux retours et à améliorer la qualité des processus de production.
Exercice 6: ★ ★ ★ ★ ☆
On lance un dé à six faces équilibré \(n\) fois. Soit \(A_n\) le nombre de fois où le nombre 1 apparaît.
1. Calculer l'espérance et la variance de \(A_n\).
2. Montrer que \( \frac{A_n}{n} \) converge en probabilité vers \( \frac{1}{6} \) et déduire les implications de cette convergence.
1. Calcul de l'espérance et de la variance : La variable aléatoire \(A_n\) suit une loi binomiale \(B(n, p)\) avec \(p = \frac{1}{6}\), car il y a une chance sur six d'obtenir un 1 à chaque lancer.
- Espérance :
\(E[A_n] = np = n \cdot \frac{1}{6} = \frac{n}{6}\)
Cela signifie qu'en moyenne, on s'attend à obtenir \(\frac{n}{6}\) fois le nombre 1 après \(n\) lancers.
- Variance :
\(\text{Var}(A_n) = np(1-p) = n \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5n}{36}\)
La variance mesure la dispersion des résultats par rapport à l'espérance. Une plus grande variance signifie plus de variabilité dans le nombre de 1s obtenus.
2. Convergence en probabilité : La loi des grands nombres stipule que lorsque \(n\) augmente, la proportion des succès (ici, l'apparition du nombre 1) tend à la probabilité réelle \(p\).
Ainsi, \( \frac{A_n}{n} \) converge en probabilité vers \(\frac{1}{6}\). Cela signifie qu'en lançant le dé un grand nombre de fois, la proportion des lancers affichant 1 se stabilisera autour de \(16.67\%\).
En pratique, cela aide à prédire que sur 600 lancers, on peut s'attendre à voir environ 100 fois le nombre 1.
Exercice 7: ★ ★ ★ ★ ★
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes. On tire avec remise \(n\) boules. Soit \(R_n\) le nombre de boules rouges obtenues.
1. Déterminer l'espérance et la variance de \(R_n\).
2. Vérifier que \( \frac{R_n}{n} \) converge en probabilité vers \( \frac{2}{5} \) et expliquer pourquoi cela est pertinent.
1. Calcul de l'espérance et de la variance : La variable \(R_n\) suit une loi binomiale \(B(n, p)\) où \(p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).
- Espérance :
\(E[R_n] = np = n \cdot \frac{2}{5} = \frac{2n}{5}\)
Cela signifie qu'après \(n\) tirages, on s'attend à obtenir \(\frac{2n}{5}\) boules rouges.
- Variance :
\(\text{Var}(R_n) = np(1-p) = n \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6n}{25}\)
Une variance plus élevée indique que le nombre de boules rouges tirées peut varier considérablement autour de l'espérance.
2. Convergence en probabilité : La loi des grands nombres nous indique que \( \frac{R_n}{n} \) converge vers \( \frac{2}{5} \) lorsque \(n\) devient grand. Cela indique que plus on tire de boules, plus la proportion de boules rouges se rapproche de \(40\%\).
Par exemple, sur 1000 tirages, on peut s'attendre à obtenir environ 400 boules rouges, ce qui est important pour prendre des décisions sur le stock ou la production.
Exercice 8: ★ ★ ★ ★ ★
Un joueur de football tire au but. La probabilité de marquer un but est de \(0.3\). On considère \(N\) le nombre de tirs effectués par le joueur.
1. Calculer l'espérance et la variance du nombre de buts marqués \(B_n\) après \(n\) tirs.
2. Montrer que \( \frac{B_n}{n} \) converge en probabilité vers \(0.3\) et discuter des implications pour le joueur à long terme.
1. Calcul de l'espérance et de la variance : La variable \(B_n\) suit une loi binomiale \(B(n, p)\) où \(p = 0.3\).
- Espérance :
\(E[B_n] = np = n \cdot 0.3 = 0.3n\)
Cela indique qu'après \(n\) tirs, le joueur peut s'attendre à marquer \(0.3n\) buts.
- Variance :
\(\text{Var}(B_n) = np(1-p) = n \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 0.21n\)
La variance ici indique la variabilité dans le nombre de buts marqués. Plus la variance est élevée, plus le nombre de buts marqués peut varier d'un match à l'autre.
2. Convergence en probabilité : Comme pour les précédents exercices, la loi des grands nombres affirme que \( \frac{B_n}{n} \) converge vers \(0.3\).
Cela signifie qu'à long terme, le joueur peut s'attendre à marquer environ 30% de ses tirs, ce qui est essentiel pour évaluer sa performance et ajuster ses entraînements.
Exercice 9: ★ ★ ★ ★ ★
Une entreprise fabrique des pièces dont la probabilité de défaut est de \(0.1\). On considère \(D_n\) le nombre de pièces défectueuses sur \(n\) pièces produites.
1. Déterminer l'espérance et la variance de \(D_n\).
2. Montrer que \( \frac{D_n}{n} \) converge en probabilité vers \(0.1\) et expliquer la signification de cette convergence pour l'entreprise.
1. Calcul de l'espérance et de la variance : La variable \(D_n\) suit une loi binomiale \(B(n, p)\) avec \(p = 0.1\).
- Espérance :
\(E[D_n] = np = n \cdot 0.1 = 0.1n\)
Cela signifie qu'après avoir produit \(n\) pièces, l'entreprise s'attend à ce qu'environ \(10\%\) des pièces soient défectueuses.
- Variance :
\(\text{Var}(D_n) = np(1-p) = n \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 0.09n\)
La variance ici indique la variabilité du nombre de pièces défectueuses. Une variance plus élevée signifie une plus grande incertitude dans le contrôle qualité.
2. Convergence en probabilité : La loi des grands nombres nous dit que \( \frac{D_n}{n} \) converge vers \(0.1\).
Cela signifie qu'à long terme, l'entreprise peut s'attendre à ce que 10% de ses pièces soient défectueuses. Cela aide à prévoir les coûts associés aux retours et à améliorer les processus de production pour réduire ce taux.
Exercice 10: ★ ★ ★ ★ ★
Une enquête révèle que 70% des consommateurs préfèrent le produit A au produit B. Soit \(C_n\) le nombre de consommateurs préférant le produit A parmi \(n\) interrogés.
1. Calculer l'espérance et la variance de \(C_n\).
2. Montrer que \( \frac{C_n}{n} \) converge en probabilité vers \(0.7\) et discuter de l'importance de cette convergence pour l'entreprise.
1. Calcul de l'espérance et de la variance : La variable \(C_n\) suit une loi binomiale \(B(n, p)\) avec \(p = 0.7\).
- Espérance :
\(E[C_n] = np = n \cdot 0.7 = 0.7n\)
Cela signifie qu'après avoir interrogé \(n\) consommateurs, on s'attend à ce que \(70\%\) d'entre eux préfèrent le produit A.
- Variance :
\(\text{Var}(C_n) = np(1-p) = n \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.21n\)
La variance indique la diversité des réponses. Une variance plus élevée signifie une plus grande variabilité dans les préférences des consommateurs.
2. Convergence en probabilité : La loi des grands nombres assure que \( \frac{C_n}{n} \) converge vers \(0.7\).
Cela signifie qu'à long terme, l'entreprise peut s'attendre à ce que 70% des consommateurs préfèrent le produit A, ce qui est essentiel pour adapter ses stratégies de marketing et de production.
Exercice 11: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(X\) une variable aléatoire positive telle que \(E[X] = 10\).
1. En utilisant l'inégalité de Markov, montrer que pour tout \(a > 0\), on a \(P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}\).
2. Calculer \(P(X \geq 20)\).
1. Application de l'inégalité de Markov : Selon l'inégalité de Markov, pour une variable aléatoire positive \(X\) et pour tout \(a > 0\), on a :
\(P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}\)
Ici, avec \(E[X] = 10\), cela donne :
\(P(X \geq a) \leq \frac{10}{a}\).
2. Calcul : Pour \(a = 20\), on obtient :
\(P(X \geq 20) \leq \frac{10}{20} = 0.5\).
Exercice 12: ★ ★ ★ ★ ☆
Soit \(Y\) une variable aléatoire telle que \(E[Y] = 5\) et \(Y \geq 0\).
1. Appliquer l'inégalité de Markov pour \(a = 10\) et interpréter le résultat.
2. Quel est le plus petit \(a\) tel que \(P(Y \geq a) \leq 0.2\) ?
1. Application de l'inégalité de Markov : En utilisant l'inégalité de Markov, on a :
\(P(Y \geq 10) \leq \frac{E[Y]}{10} = \frac{5}{10} = 0.5\).
Cela signifie qu'il y a au maximum \(50\%\) de chances que \(Y\) soit supérieur ou égal à 10.
2. Résolution de l'inégalité : On cherche \(a\) tel que \(P(Y \geq a) \leq 0.2\).
D'après l'inégalité de Markov :
\(P(Y \geq a) \leq \frac{5}{a} \leq 0.2\).
Cela implique \(a \geq \frac{5}{0.2} = 25\).
Exercice 13: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(Z\) une variable aléatoire positive avec \(E[Z] = 15\).
1. Montrer que pour \(a = 30\), \(P(Z \geq 30) \leq \frac{15}{30}\).
2. Que peut-on conclure si \(P(Z \geq 30) = 0.4\) ?
1. Application de l'inégalité de Markov : On applique l'inégalité de Markov :
\(P(Z \geq 30) \leq \frac{E[Z]}{30} = \frac{15}{30} = 0.5\).
Cela signifie que la probabilité que \(Z\) soit supérieur ou égal à 30 est au maximum \(50\%\).
2. Interprétation du résultat : Si \(P(Z \geq 30) = 0.4\), cela est conforme à l'inégalité de Markov, car \(0.4 \leq 0.5\). Cela indique que la distribution de \(Z\) respecte bien l'inégalité.
Exercice 14: ★ ★ ★ ★ ★
Considérons une variable aléatoire \(W\) avec \(E[W] = 12\) et \(W \geq 0\).
1. En utilisant l'inégalité de Markov, déterminer \(P(W \geq 24)\).
2. Si l'on sait que \(P(W \geq 24) = 0.1\), que peut-on dire de la variable \(W\) ?
1. Application de l'inégalité de Markov : D'après l'inégalité de Markov :
\(P(W \geq 24) \leq \frac{E[W]}{24} = \frac{12}{24} = 0.5\).
Donc, la probabilité que \(W\) soit supérieur ou égal à 24 est au maximum \(50\%\).
2. Interprétation de \(P(W \geq 24) = 0.1\) : Si \(P(W \geq 24) = 0.1\), cela est bien en dessous de la limite donnée par l'inégalité de Markov, ce qui indique que \(W\) est probablement concentrée sur des valeurs inférieures à 24.
Exercice 15: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(V\) une variable aléatoire positive telle que \(E[V] = 8\).
1. Utiliser l'inégalité de Markov pour établir une borne pour \(P(V \geq 16)\).
2. Que peut-on conclure si \(P(V \geq 16) > 0.25\) ?
1. Application de l'inégalité de Markov : D'après l'inégalité de Markov :
\(P(V \geq 16) \leq \frac{E[V]}{16} = \frac{8}{16} = 0.5\).
Cela signifie que la probabilité que \(V\) soit supérieur ou égal à 16 ne peut pas dépasser \(50\%\).
2. Conclusion sur \(P(V \geq 16) > 0.25\) : Si \(P(V \geq 16) > 0.25\), cela reste conforme à l'inégalité de Markov, car \(0.25 \lt 0.5\). Cela indique que \(V\) peut avoir une certaine concentration sur des valeurs plus élevées, mais reste limitée par l'espérance.
Exercice 16: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(X\) une variable aléatoire avec \(E[X] = 10\) et \(\text{Var}(X) = 4\).
1. Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour établir une borne pour \(P(|X - 10| \geq 4)\).
2. Que peut-on conclure à partir de cette inégalité ?
1. Application de l'inégalité : Selon l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
\(P(|X - E[X]| \geq k) \leq \frac{\text{Var}(X)}{k^2}\).
Ici, pour \(k = 4\), on a :
\(P(|X - 10| \geq 4) \leq \frac{4}{4^2} = \frac{4}{16} = 0.25\).
2. Conclusion : Cela indique que la probabilité que \(X\) s'écarte de sa moyenne de plus de 4 est au maximum \(25\%\).
Exercice 17: ★ ★ ★ ★ ☆
Considérons une variable aléatoire \(Y\) avec \(E[Y] = 5\) et \(\text{Var}(Y) = 9\).
1. Montrer que \(P(|Y - 5| \geq 3) \leq \frac{9}{3^2}\).
2. Quel est le résultat numérique de cette inégalité ?
1. Application de l'inégalité : Avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
\(P(|Y - E[Y]| \geq k) \leq \frac{\text{Var}(Y)}{k^2}\).
Pour \(k = 3\), cela donne :
\(P(|Y - 5| \geq 3) \leq \frac{9}{3^2} = \frac{9}{9} = 1\).
2. Résultat numérique : Cette inégalité nous dit que la probabilité que \(Y\) soit à une distance de 3 de sa moyenne est au maximum \(100\%\), ce qui est trivially vrai.
Exercice 18: ★ ★ ★ ★ ★
Soit \(Z\) une variable aléatoire avec \(E[Z] = 7\) et \(\text{Var}(Z) = 16\).
1. Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour établir une borne pour \(P(Z \leq 3)\).
2. Que signifie ce résultat en termes de probabilité ?
1. Application de l'inégalité : En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
Pour \(k = 4\) (car \(7 - 3 = 4\)),
\(P(Z \leq 3) = P(Z - 7 \leq -4) \leq \frac{\text{Var}(Z)}{4^2} = \frac{16}{16} = 1\).
2. Signification : Ce résultat indique que la probabilité que \(Z\) soit inférieure ou égale à 3 est au maximum \(100\%\), ce qui est trivially vrai.
Exercice 19: ★ ★ ★ ★ ★
Considérons une variable aléatoire \(W\) avec \(E[W] = 8\) et \(\text{Var}(W) = 4\).
1. Montrer que \(P(W \geq 10) \leq \frac{4}{(10 - 8)^2}\).
2. Quel est le résultat numérique de cette inégalité ?
1. Application de l'inégalité : Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
\(P(W \geq 10) \leq \frac{\text{Var}(W)}{(10 - E[W])^2} = \frac{4}{(10 - 8)^2} = \frac{4}{4} = 1\).
2. Résultat numérique : Cette inégalité indique que la probabilité que \(W\) soit supérieur ou égal à 10 est au maximum \(100\%\), ce qui est encore une fois trivially vrai.
Exercice 20: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit \(V\) une variable aléatoire avec \(E[V] = 6\) et \(\text{Var}(V) = 2\).
1. Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour établir une borne pour \(P(|V - 6| \geq 2)\).
2. Que peut-on conclure à partir de cette inégalité ?
1. Application de l'inégalité : En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
\(P(|V - 6| \geq 2) \leq \frac{\text{Var}(V)}{2^2} = \frac{2}{4} = 0.5\).
2. Conclusion : Cela signifie que la probabilité que \(V\) s'écarte de sa moyenne de plus de 2 est au maximum \(50\%\).
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