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📔 Arbres pondérés et applications

Exploration des arbres pondérés et leurs applications en probabilité

1. Arbres pondérés et applications
Définition et principe

Un arbre pondéré est un diagramme en arbre où chaque branche porte une probabilité. Il permet de représenter visuellement une expérience aléatoire comportant plusieurs étapes successives. Les probabilités sur les branches issues d'un même nœud doivent avoir une somme égale à 1.

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) \]
ℹ️ Formule des probabilités composées
Règles fondamentales
✓ Règle du produit
La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités des branches successives
✓ Règle de l'addition
Pour un même événement, on additionne les probabilités des chemins qui y mènent
0.6 0.4 0.3 0.7 0.5 0.5 A∩B A∩B̄ Ā∩B Ā∩B̄
Arbre pondéré à 2 niveaux
Exemple interactif
2. Formule des probabilités totales
Énoncé du théorème

Si les événements A₁, A₂, ..., Aₙ forment une partition de l'univers Ω (événements deux à deux incompatibles et d'union égale à Ω), alors pour tout événement B :

\[ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B) \]
ℹ️ Formule des probabilités totales
Application pratique
✓ Cas simple
Avec A et Ā : P(B) = P(A)×P_A(B) + P(Ā)×P_Ā(B)
✓ Utilité
Calculer P(B) quand on connaît les probabilités conditionnelles
🎯
Exemple concret
Une usine a 3 machines. Machine 1 produit 50% des pièces avec 2% de défauts. Machine 2 produit 30% avec 3% de défauts. Machine 3 produit 20% avec 5% de défauts. Quelle est la probabilité qu'une pièce soit défectueuse ?
P(D) = 0.5×0.02 + 0.3×0.03 + 0.2×0.05 = 0.029
3. Formule de Bayes
Théorème de Bayes

La formule de Bayes permet de calculer une probabilité conditionnelle "inversée". Elle relie P(A|B) à P(B|A) et est fondamentale pour les calculs de probabilités a posteriori.

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)} \]
ℹ️ Formule de Bayes
Applications et interprétation
✓ Diagnostic médical
Probabilité d'avoir une maladie sachant un test positif
✓ Contrôle qualité
Probabilité qu'une pièce défectueuse vienne d'une machine donnée
P(A|B) P(B|A) BAYES
Inversion des probabilités
Cause → Effet devient Effet → Cause
Probabilités conditionnelles et indépendance
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆

Dans une classe de 25 élèves, 15 pratiquent le football et 10 pratiquent le tennis. Parmi ceux qui pratiquent le football, 6 pratiquent aussi le tennis.
1. Calculez la probabilité qu'un élève pratique le tennis sachant qu'il pratique le football.
2. Les événements "pratiquer le football" et "pratiquer le tennis" sont-ils indépendants ?

1. Soit F = "pratiquer le football" et T = "pratiquer le tennis"
\[ P(T|F) = \frac{P(T \cap F)}{P(F)} = \frac{6/25}{15/25} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0,4 \]

2. Pour vérifier l'indépendance : P(T) = 10/25 = 2/5 = 0,4
Comme P(T|F) = P(T) = 0,4, les événements sont indépendants.

Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆

Un test de dépistage détecte une maladie dans 95% des cas lorsqu'elle est présente, et donne un résultat positif dans 8% des cas lorsque la personne est saine. On sait que 2% de la population est atteinte de cette maladie.
1. Quelle est la probabilité qu'une personne ait un test positif ?
2. Si le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit réellement malade ?

1. Soit M = "être malade" et T+ = "test positif"
P(M) = 0,02 ; P(T+|M) = 0,95 ; P(T+|M̄) = 0,08
\[ P(T+) = P(T+|M) \times P(M) + P(T+|M̄) \times P(M̄) \] \[ P(T+) = 0,95 \times 0,02 + 0,08 \times 0,98 = 0,019 + 0,0784 = 0,0974 \]

2. Formule de Bayes : \[ P(M|T+) = \frac{P(T+|M) \times P(M)}{P(T+)} = \frac{0,95 \times 0,02}{0,0974} ≈ 0,195 = 19,5\% \]

Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement et sans remise 3 boules.
1. Construisez l'arbre pondéré pour les deux premiers tirages.
2. Calculez la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges lors des 3 tirages.
3. Sachant qu'on a tiré au moins une boule rouge, quelle est la probabilité d'avoir tiré exactement 2 boules rouges ?

1. Premier tirage : P(R) = 5/8, P(B) = 3/8
Si R au 1er : P(R|R) = 4/7, P(B|R) = 3/7
Si B au 1er : P(R|B) = 5/7, P(B|B) = 2/7

2. Configurations avec exactement 2 rouges : RRB, RBR, BRR
P(RRB) = (5/8) × (4/7) × (3/6) = 60/336
P(RBR) = (5/8) × (3/7) × (4/6) = 60/336
P(BRR) = (3/8) × (5/7) × (4/6) = 60/336
P(exactement 2 rouges) = 180/336 = 15/28

3. P(au moins 1 rouge) = 1 - P(BBB) = 1 - (3/8) × (2/7) × (1/6) = 1 - 6/336 = 330/336
P(exactement 2 rouges | au moins 1 rouge) = (15/28) / (330/336) = 18/33 = 6/11

Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆

Dans une entreprise, 60% des employés sont des hommes. Parmi les hommes, 40% ont un diplôme universitaire, et parmi les femmes, 70% ont un diplôme universitaire.
1. Quelle est la probabilité qu'un employé choisi au hasard ait un diplôme universitaire ?
2. Sachant qu'un employé a un diplôme universitaire, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

1. Soit H = "être un homme", F = "être une femme", D = "avoir un diplôme"
P(H) = 0,6 ; P(F) = 0,4 ; P(D|H) = 0,4 ; P(D|F) = 0,7
\[ P(D) = P(D|H) \times P(H) + P(D|F) \times P(F) \] \[ P(D) = 0,4 \times 0,6 + 0,7 \times 0,4 = 0,24 + 0,28 = 0,52 \]

2. Formule de Bayes : \[ P(F|D) = \frac{P(D|F) \times P(F)}{P(D)} = \frac{0,7 \times 0,4}{0,52} = \frac{0,28}{0,52} = \frac{7}{13} ≈ 0,538 \]

Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ★

Trois machines A, B et C produisent respectivement 50%, 30% et 20% de la production totale d'une usine. Les taux de défauts sont respectivement de 2%, 3% et 5%.
1. Construisez l'arbre pondéré de la situation.
2. Quelle est la probabilité qu'un produit choisi au hasard soit défectueux ?
3. Un produit est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il provienne de la machine C ?
4. Les événements "provenir de la machine A" et "être défectueux" sont-ils indépendants ?

1. P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,3 ; P(C) = 0,2
P(D|A) = 0,02 ; P(D|B) = 0,03 ; P(D|C) = 0,05

2. Probabilité totale : \[ P(D) = P(D|A) × P(A) + P(D|B) × P(B) + P(D|C) × P(C) \] \[ P(D) = 0,02 × 0,5 + 0,03 × 0,3 + 0,05 × 0,2 = 0,01 + 0,009 + 0,01 = 0,029 \]

3. Formule de Bayes : \[ P(C|D) = \frac{P(D|C) × P(C)}{P(D)} = \frac{0,05 × 0,2}{0,029} = \frac{0,01}{0,029} ≈ 0,345 \]

4. Pour l'indépendance : P(D|A) = 0,02 et P(D) = 0,029
Comme P(D|A) ≠ P(D), les événements ne sont pas indépendants.

Exercice 6: ★ ★ ★ ☆ ☆

Un sac contient 4 billes rouges et 6 billes vertes. On tire deux billes successivement sans remise.
1. Construisez l'arbre pondéré complet de cette expérience.
2. Calculez la probabilité d'obtenir deux billes de même couleur.
3. Sachant qu'on a obtenu au moins une bille rouge, quelle est la probabilité d'avoir deux billes rouges ?

1. Arbre pondéré :
4/10 6/10 R V 3/9 6/9 4/9 5/9 (R,R) (R,V) (V,R) (V,V) P = 4/10 × 3/9 = 2/15 P = 4/10 × 6/9 = 4/15 P = 6/10 × 4/9 = 4/15 P = 6/10 × 5/9 = 1/3

2. P(même couleur) = P(RR) + P(VV) = 2/15 + 1/3 = 2/15 + 5/15 = 7/15

3. P(au moins 1 rouge) = 1 - P(VV) = 1 - 1/3 = 2/3
P(RR | au moins 1 rouge) = P(RR) / P(au moins 1 rouge) = (2/15) / (2/3) = 1/5

Exercice 7: ★ ★ ★ ★ ☆

Un étudiant a 70% de chances de réussir son premier examen. S'il réussit le premier, il a 80% de chances de réussir le second. S'il échoue au premier, il n'a que 30% de chances de réussir le second.
1. Dessinez l'arbre pondéré de cette situation.
2. Quelle est la probabilité qu'il réussisse exactement un des deux examens ?
3. Sachant qu'il a réussi le second examen, quelle est la probabilité qu'il ait aussi réussi le premier ?

1. Arbre pondéré :
Départ 0,7 0,3 R₁ E₁ 0,8 0,2 0,3 0,7 (R₁,R₂) (R₁,E₂) (E₁,R₂) (E₁,E₂) P = 0,7 × 0,8 = 0,56 P = 0,7 × 0,2 = 0,14 P = 0,3 × 0,3 = 0,09 P = 0,3 × 0,7 = 0,21

2. P(exactement 1 réussi) = P(R₁,E₂) + P(E₁,R₂) = 0,14 + 0,09 = 0,23

3. P(R₂) = P(R₁,R₂) + P(E₁,R₂) = 0,56 + 0,09 = 0,65
P(R₁|R₂) = P(R₁,R₂) / P(R₂) = 0,56 / 0,65 ≈ 0,862

Exercice 8: ★ ★ ★ ★ ★

Une société de transport possède trois lignes d'autobus : A (40% du trafic), B (35% du trafic) et C (25% du trafic). Les probabilités de retard sont respectivement 5%, 8% et 12%.
1. Représentez cette situation par un arbre pondéré.
2. Calculez la probabilité qu'un autobus soit en retard.
3. Un autobus est en retard. Calculez la probabilité qu'il appartienne à chaque ligne.
4. Vérifiez que la somme des probabilités calculées en 3. vaut bien 1.

1. Arbre pondéré :
0,4 0,35 0,25 A B C 0,05 0,95 0,08 0,92 0,12 0,88 (A,Retard) (A,Ponctuel) (B,Retard) (B,Ponctuel) (C,Retard) (C,Ponctuel) P = 0,4 × 0,05 = 0,02 P = 0,4 × 0,95 = 0,38 P = 0,35 × 0,08 = 0,028 P = 0,35 × 0,92 = 0,322 P = 0,25 × 0,12 = 0,03 P = 0,25 × 0,88 = 0,22

2. P(Retard) = 0,02 + 0,028 + 0,03 = 0,078

3. P(A|Retard) = 0,02 / 0,078 ≈ 0,256 = 25,6%
P(B|Retard) = 0,028 / 0,078 ≈ 0,359 = 35,9%
P(C|Retard) = 0,03 / 0,078 ≈ 0,385 = 38,5%

4. Vérification : 0,256 + 0,359 + 0,385 = 1 ✓

Exercice 9: ★ ★ ★ ☆ ☆

Dans un jeu, un joueur lance une pièce équilibrée. Si c'est pile, il tire une boule dans l'urne A (3 rouges, 2 bleues). Si c'est face, il tire dans l'urne B (1 rouge, 4 bleues).
1. Construisez l'arbre pondéré de cette expérience.
2. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ?
3. Le joueur a obtenu une boule bleue. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne A ?

1. Arbre pondéré :
1/2 1/2 P F 3/5 2/5 1/5 4/5 (P,R) (P,B) (F,R) (F,B) P = 1/2 × 3/5 = 3/10 P = 1/2 × 2/5 = 1/5 P = 1/2 × 1/5 = 1/10 P = 1/2 × 4/5 = 2/5

2. P(Rouge) = P(P,R) + P(F,R) = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5

3. P(Bleue) = P(P,B) + P(F,B) = 1/5 + 2/5 = 3/5
P(A|Bleue) = P(P,B) / P(Bleue) = (1/5) / (3/5) = 1/3

Exercice 10: ★ ★ ★ ★ ★

Un système d'alarme fonctionne avec deux détecteurs indépendants A et B. Le détecteur A se déclenche avec une probabilité de 0,9 en cas d'intrusion et 0,05 en l'absence d'intrusion. Le détecteur B se déclenche avec une probabilité de 0,85 en cas d'intrusion et 0,02 en l'absence d'intrusion. La probabilité d'une intrusion est de 0,001.
1. Dessinez l'arbre pondéré pour le détecteur A uniquement.
2. Calculez la probabilité que le détecteur A se déclenche.
3. Le détecteur A s'est déclenché. Quelle est la probabilité qu'il y ait réellement une intrusion ?
4. Si les deux détecteurs sont indépendants, quelle est la probabilité qu'au moins un des deux se déclenche en cas d'intrusion ?

1. Arbre pondéré pour le détecteur A :

Départ 0,001 0,999 Intrusion Pas d'intrusion 0,9 0,1 0,05 0,95 A se déclenche A ne se déclenche pas A se déclenche A ne se déclenche pas P = 0,001 × 0,9 = 0,0009 P = 0,001 × 0,1 = 0,0001 P = 0,999 × 0,05 = 0,04995 P = 0,999 × 0,95 = 0,94905
2. Probabilité que le détecteur A se déclenche :
\(P(A) = P(I) × P(A|I) + P(¬I) × P(A|¬I)\)
\(P(A) = 0{,}001 × 0{,}9 + 0{,}999 × 0{,}05\)
\(P(A) = 0{,}0009 + 0{,}04995 = \boxed{0{,}05085}\)
3. Probabilité d'intrusion sachant que A s'est déclenché (Bayes) :
\(P(I|A) = \frac{P(A|I) × P(I)}{P(A)}\)
\(P(I|A) = \frac{0{,}9 × 0{,}001}{0{,}05085} = \frac{0{,}0009}{0{,}05085}\)
\(P(I|A) ≈ \boxed{0{,}0177}\)
Soit environ 1,77% de chances qu'il y ait réellement une intrusion.

4. Probabilité qu'au moins un détecteur se déclenche en cas d'intrusion :
\(P(A ∪ B|I) = 1 - P(¬A ∩ ¬B|I)\)
\(P(¬A ∩ ¬B|I) = P(¬A|I) × P(¬B|I) = 0{,}1 × 0{,}15 = 0{,}015\)
\(P(A ∪ B|I) = 1 - 0{,}015 = \boxed{0{,}985}\)
Soit 98,5% de chances qu'au moins un détecteur se déclenche lors d'une intrusion.

🎯 Points clés :
• Malgré une forte probabilité de déclenchement du détecteur A (90%), la probabilité réelle d'intrusion reste faible (1,77%) car les intrusions sont très rares
• L'utilisation de deux détecteurs améliore significativement la détection (98,5% vs 90%)
• Cet exercice illustre l'importance du théorème de Bayes dans les systèmes de détection
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