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Exploration de l'indépendance de deux événements
Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre. Intuitivement, connaître l'issue de A ne nous donne aucune information sur l'issue de B.
Cette formule constitue la condition fondamentale d'indépendance. Elle exprime que la probabilité de l'intersection est égale au produit des probabilités individuelles.
Si A et B sont indépendants, alors plusieurs autres paires d'événements le sont également. Cette propriété se propage aux complémentaires et aux combinaisons.
De même, \( A \text{ et } \overline{B} \) sont indépendants, ainsi que \( \overline{A} \text{ et } \overline{B} \). Cette propriété découle directement de la définition et des lois de De Morgan.
Considérons deux lancers successifs d'un dé équilibré. Soit A : "obtenir un 6 au premier lancer" et B : "obtenir un 6 au second lancer". Ces événements sont-ils indépendants ?
Puisque \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \), les événements A et B sont bien indépendants. Le résultat du premier lancer n'influence pas celui du second.
Ici, \( P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \) mais \( P(B|A) = \frac{25}{51} \neq \frac{1}{2} \). Les événements ne sont pas indépendants.
La méthode la plus directe consiste à vérifier si le produit des probabilités individuelles est égal à la probabilité de l'intersection. Cette approche est particulièrement efficace quand on connaît toutes les probabilités.
Si l'égalité est vraie, les événements sont indépendants. Sinon, ils sont dépendants. Cette méthode nécessite de calculer ou connaître \( P(A \cap B) \).
Cette méthode est utile quand on dispose d'un tableau de contingence ou d'informations sur les probabilités conditionnelles. Il suffit de vérifier une seule des deux conditions.
Énoncé : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire deux boules avec remise. Soit A : "1ère boule rouge" et B : "2ème boule rouge". A et B sont-ils indépendants ?
Conclusion : Puisque \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \), les événements A et B sont indépendants. Le tirage avec remise préserve l'indépendance.
Dans une classe de 25 élèves, 15 pratiquent le football et 10 pratiquent le tennis. Parmi ceux qui pratiquent le football, 6 pratiquent aussi le tennis.
1. Calculez la probabilité qu'un élève pratique le tennis sachant qu'il pratique le football.
2. Les événements "pratiquer le football" et "pratiquer le tennis" sont-ils indépendants ?
Un test de dépistage détecte une maladie dans 95% des cas lorsqu'elle est présente, et donne un résultat positif dans 8% des cas lorsque la personne est saine. On sait que 2% de la population est atteinte de cette maladie.
1. Quelle est la probabilité qu'une personne ait un test positif ?
2. Si le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit réellement malade ?
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement et sans remise 3 boules.
1. Construisez l'arbre pondéré pour les deux premiers tirages.
2. Calculez la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges lors des 3 tirages.
3. Sachant qu'on a tiré au moins une boule rouge, quelle est la probabilité d'avoir tiré exactement 2 boules rouges ?
Dans une entreprise, 60% des employés sont des hommes. Parmi les hommes, 40% ont un diplôme universitaire, et parmi les femmes, 70% ont un diplôme universitaire.
1. Quelle est la probabilité qu'un employé choisi au hasard ait un diplôme universitaire ?
2. Sachant qu'un employé a un diplôme universitaire, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
Trois machines A, B et C produisent respectivement 50%, 30% et 20% de la production totale d'une usine. Les taux de défauts sont respectivement de 2%, 3% et 5%.
1. Construisez l'arbre pondéré de la situation.
2. Quelle est la probabilité qu'un produit choisi au hasard soit défectueux ?
3. Un produit est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il provienne de la machine C ?
4. Les événements "provenir de la machine A" et "être défectueux" sont-ils indépendants ?
Un sac contient 4 billes rouges et 6 billes vertes. On tire deux billes successivement sans remise.
1. Construisez l'arbre pondéré complet de cette expérience.
2. Calculez la probabilité d'obtenir deux billes de même couleur.
3. Sachant qu'on a obtenu au moins une bille rouge, quelle est la probabilité d'avoir deux billes rouges ?
Un étudiant a 70% de chances de réussir son premier examen. S'il réussit le premier, il a 80% de chances de réussir le second. S'il échoue au premier, il n'a que 30% de chances de réussir le second.
1. Dessinez l'arbre pondéré de cette situation.
2. Quelle est la probabilité qu'il réussisse exactement un des deux examens ?
3. Sachant qu'il a réussi le second examen, quelle est la probabilité qu'il ait aussi réussi le premier ?
Une société de transport possède trois lignes d'autobus : A (40% du trafic), B (35% du trafic) et C (25% du trafic). Les probabilités de retard sont respectivement 5%, 8% et 12%.
1. Représentez cette situation par un arbre pondéré.
2. Calculez la probabilité qu'un autobus soit en retard.
3. Un autobus est en retard. Calculez la probabilité qu'il appartienne à chaque ligne.
4. Vérifiez que la somme des probabilités calculées en 3. vaut bien 1.
Dans un jeu, un joueur lance une pièce équilibrée. Si c'est pile, il tire une boule dans l'urne A (3 rouges, 2 bleues). Si c'est face, il tire dans l'urne B (1 rouge, 4 bleues).
1. Construisez l'arbre pondéré de cette expérience.
2. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ?
3. Le joueur a obtenu une boule bleue. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne A ?
Un système d'alarme fonctionne avec deux détecteurs indépendants A et B. Le détecteur A se déclenche avec une probabilité de 0,9 en cas d'intrusion et 0,05 en l'absence d'intrusion. Le détecteur B se déclenche avec une probabilité de 0,85 en cas d'intrusion et 0,02 en l'absence d'intrusion. La probabilité d'une intrusion est de 0,001.
1. Dessinez l'arbre pondéré pour le détecteur A uniquement.
2. Calculez la probabilité que le détecteur A se déclenche.
3. Le détecteur A s'est déclenché. Quelle est la probabilité qu'il y ait réellement une intrusion ?
4. Si les deux détecteurs sont indépendants, quelle est la probabilité qu'au moins un des deux se déclenche en cas d'intrusion ?
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