Question 1

L’inverse du double de 5 est égal à :

• a. \( \frac{2}{5} \)
• b. \( \frac{1}{10} \)
• c. \( \frac{5}{2} \)
• d. \( 10 \)

Question 2

On considère la relation \( F = a + \frac{b}{c.d} \).

Lorsque \( a = \frac{1}{2}, b = 3, c = 4, d = -\frac{1}{4} \), la valeur de \( F \) est égale à :

• a. \( -\frac{5}{2} \)
• b. \( -\frac{3}{2} \)
• c. \( \frac{5}{2} \)
• d. \( \frac{3}{2} \)

Question 3

Le prix d’un article est multiplié par 0,975. Cela signifie que le prix de cet article a connu :

• a. une baisse de 2,5%
• b. une augmentation de 97,5%
• c. une baisse de 25%
• d. une augmentation de 0,975%

Question 4

Le prix d’un article est noté \( P \). Ce prix augmente de 10% puis baisse de 10%. A l’issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté \( P_1 \). On peut affirmer que :

• a. \( P_1 = P \)
• b. \( P_1 > P \)
• c. \( P_1 < P \)
• d. Cela dépend de \( P \).

Question 5

On lance un dé à 4 faces. La probabilité d’obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous :

On peut affirmer que :

• a. \( x = \frac{2}{15} \)
• b. \( x = \frac{2}{3} \)
• c. \( x = 0.4 \)
• d. \( x = 0.1 \)

Question 6

On considère \( x, y, u \) des réels non nuls tels que \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{u} \).

On peut affirmer que :

• a. \( u = \frac{xy}{x+y} \)
• b. \( u = \frac{x+y}{xy} \)
• c. \( u = xy \)
• d. \( u = x+y \)

Question 7

On a représenté ci-contre la parabole d’équation \( y = x^2 \).

On note \( (\mathcal{I}) \) l’inéquation, sur \( \mathbb{R} \), \( x^2 \geq 10 \).

L’inéquation \( (\mathcal{I}) \) est équivalente à :

• a. \(-\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}\)
• b. \(x \leq -\sqrt{10}\) ou \(x \geq \sqrt{10}\)
• c. \(x \geq \sqrt{10}\)
• d. \(x = \sqrt{10}\) ou \(x = -\sqrt{10}\)

Question 8

On a représenté ci-contre une droite \( \mathcal{D} \) dans un repère orthonormé. Une équation de la droite \( \mathcal{D} \) est :

• a. \( y = -\frac{3}{2}x + 2 \)
• b. \( y = \frac{3}{2}x + 2 \)
• c. \( 2x - 3y - 6 = 0 \)
• d. \( \frac{x}{3} - \frac{y}{2} - 1 = 0 \)

Question 9

On considère trois fonctions définies sur \( \mathbb{R} \) :

• \( f_1 : x \mapsto x^2 - (1 - x^2) \)
• \( f_2 : x \mapsto \frac{x}{2} - \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)
• \( f_3 : x \mapsto \frac{5 - \frac{2}{3}x}{0.7} \)

Parmi ces trois fonctions, celles qui sont des fonctions affines sont :

• a. aucune
• b. toutes
• c. uniquement la fonction \( f_1 \)
• d. uniquement les fonctions \( f_2 \) et \( f_3 \)

Question 10

On a représenté ci-contre une parabole \( \mathcal{P} \). Une seule des quatre fonctions ci-dessous est susceptible d’être représentée par la parabole \( \mathcal{P} \). Laquelle ?

• a. \( x \mapsto x^2 - 10 \)
• b. \( x \mapsto -x^2 - 10 \)
• c. \( x \mapsto -x^2 + 10 \)
• d. \( x \mapsto -x^2 + 10x \)

Question 11

On a représenté ci-contre la courbe \( \mathcal{C} \) d’une fonction \( f \).

Les points \( A \), \( B \), \( R \) et \( S \) appartiennent à la courbe \( \mathcal{C} \). Leurs abscisses sont notées respectivement \( x_A \), \( x_B \), \( x_R \) et \( x_S \).

L’inéquation \( x \times f(x) > 0 \) est vérifiée par :

• a. \( x_A \) et \( x_B \)
• b. \( x_A \) et \( x_R \)
• c. \( x_A \) et \( x_S \)
• d. \( x_A \), \( x_B \) et \( x_S \)

Question 12

Voici une série de notes avec les coefficients associés.

On note \( m \) ma moyenne de cette série. Que doit valoir \( x \) pour que \( m = 15 \) ?

• a. impossible
• b. \( x = 10^{-3} \)
• c. \( x = 3 \)
• d. \( x = 19 \)

On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé (0; \(\vec{i}\); \(\vec{j}\)).

On dispose des données suivantes :

• Le quadrilatère OABC est un carré de côté 4 ;
• On a A(4;0), B(4;4), C(0;4), I(4;3) ;
• Le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (OI) ;
• On note ℰ le cercle de centre D(2;2) et de rayon 0,5.

1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{OI}\) et \(\vec{OC}\).
2. b. En déduire le produit scalaire \(\vec{OI} \cdot \vec{OC}\).

1. a. Exprimer le produit scalaire \(\vec{OI} \cdot \vec{OC}\) en fonction des longueurs OH et OI.
2. b. Calculer la longueur OI.
3. c. En déduire que OH = 2,4.

1. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite (CH).
2. b. Justifier qu’une équation du cercle ℰ est : \(x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7,75 = 0\).
3. c. Le point M(1,5;2) appartient-il à l’intersection du cercle ℰ et de la droite (C) ? Justifier.

On se place dans un repère (0; \(\vec{i}\); \(\vec{j}\)) orthogonal.

1. On considère la fonction \( g \) définie pour tout réel \( x \) par \( g(x) = x^2 - 5x + 4 \). On note \( \mathcal{P} \) la courbe représentative de la fonction \( g \).
   1. a. Étudier le signe de la fonction \( g \) sur \( \mathbb{R} \).
   2. b. On considère un entier naturel \( n \) quelconque. On note \( A_n \) le point de la courbe \( \mathcal{P} \) d’abscisse \( n \). On note \( a_n \) le coefficient directeur de la droite \( (A_n A_{n+1}) \). Justifier que pour tout entier naturel \( n \), on a \( a_n = 2n - 4 \).
   3. c. Quelle est la nature de la suite \( (a_n) \) ?
2. On considère la fonction \( f \) définie pour tout réel \( x \) de l’intervalle \([0, 5 ; 8]\) par: \[ f(x) = x - 5 + \frac{4}{x} \] On note \( \mathcal{C} \) la courbe représentative de la fonction \( f \).
   1. a. Vérifier que pour tout réel \( x \) de l'intervalle \([0, 5 ; 8]\), on a \( f(x) = \frac{g(x)}{x} \).
   2. b. À l’aide de la question 1.a, déterminer la position de la courbe \( \mathcal{C} \) par rapport à l’axe des abscisses.
   3. c. On admet que la fonction \( f \) est dérivable sur l’intervalle \([0, 5 ; 8]\). Montrer que pour tout réel \( x \) de l’intervalle \([0, 5 ; 8]\), on a : \( f'(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2} \).
   4. d. En déduire le tableau de variations de la fonction \( f \) sur l’intervalle \([0, 5 ; 8]\).
   5. e. Réaliser un schéma de l’allure de la courbe \( \mathcal{C} \) sur lequel apparaîtront les résultats des questions 2.b et 2.d.

Question 1

On considère la fonction \( f(x) = e^{2x} \). La valeur de \( f'(0) \) est :

• a. \( 0 \)
• b. \( 1 \)
• c. \( 2 \)
• d. \( e^2 \)

Question 2

Dans un repère orthonormé, les vecteurs \( \vec{u}(3; 4) \) et \( \vec{v}(5; -2) \) vérifient :

• a. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 7 \)
• b. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 23 \)
• c. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 15 \)
• d. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -1 \)

Question 3

L'équation \( 2x^2 - 8x + 6 = 0 \) admet pour solutions :

• a. \( x = 1 \) et \( x = 3 \)
• b. \( x = -1 \) et \( x = -3 \)
• c. \( x = 2 \) et \( x = 6 \)
• d. \( x = 0 \) et \( x = 4 \)

Question 4

La suite \( (u_n) \) est définie par \( u_0 = 3 \) et \( u_{n+1} = 2u_n + 1 \). Le terme \( u_2 \) vaut :

• a. \( 7 \)
• b. \( 15 \)
• c. \( 11 \)
• d. \( 31 \)

Question 5

On considère \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \). Cette valeur est égale à :

• a. \( \frac{1}{2} \)
• b. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• c. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• d. \( 1 \)

Question 6

Soit \( A \) et \( B \) deux événements tels que \( P(A) = 0,6 \), \( P(B) = 0,4 \) et \( P(A \cap B) = 0,2 \). La probabilité \( P_A(B) \) vaut :

• a. \( \frac{1}{3} \)
• b. \( \frac{1}{2} \)
• c. \( \frac{2}{3} \)
• d. \( \frac{3}{4} \)

Question 7

Dans un repère orthonormé, la droite passant par les points \( A(1; 2) \) et \( B(3; 6) \) a pour équation :

• a. \( y = 2x \)
• b. \( y = 2x + 1 \)
• c. \( y = 2x - 1 \)
• d. \( y = x + 1 \)

Question 8

Une variable aléatoire \( X \) suit la loi binomiale \( \mathcal{B}(10; 0,3) \). Son espérance \( E(X) \) vaut :

• a. \( 3 \)
• b. \( 2,1 \)
• c. \( 7 \)
• d. \( 0,3 \)

Question 9

La fonction \( g(x) = -x^2 + 4x - 3 \) admet un extremum en :

• a. \( x = 2 \) (maximum)
• b. \( x = 2 \) (minimum)
• c. \( x = -2 \) (maximum)
• d. \( x = 4 \) (minimum)

Question 10

L'équation \( e^x = 5 \) a pour solution :

• a. \( x = 5 \)
• b. \( x = \ln(5) \)
• c. \( x = \frac{1}{5} \)
• d. \( x = e^5 \)

Question 11

La suite arithmétique \( (v_n) \) de premier terme \( v_1 = 5 \) et de raison \( r = 3 \) a pour terme général :

• a. \( v_n = 5 + 3n \)
• b. \( v_n = 2 + 3n \)
• c. \( v_n = 5 \times 3^n \)
• d. \( v_n = 8n - 3 \)

Question 12

L'angle \( \theta \) vérifiant \( \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) dans l'intervalle \( [0; 2\pi] \) est :

• a. \( \frac{\pi}{6} \)
• b. \( \frac{\pi}{4} \)
• c. \( \frac{\pi}{3} \)
• d. \( \frac{\pi}{2} \)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^2 e^{-x} \).

On note \( \mathcal{C} \) la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthonormé.

1. Étude des limites
   1. a. Déterminer \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \).
   2. b. Montrer que \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \).
   3. c. Que peut-on en déduire pour la courbe \( \mathcal{C} \) ?
2. Étude de la dérivabilité
   1. a. Montrer que \( f'(x) = xe^{-x}(2-x) \).
   2. b. Étudier le signe de \( f'(x) \) sur \( \mathbb{R} \).
   3. c. En déduire le tableau de variations de \( f \).
3. Points particuliers
   1. a. Calculer \( f(0) \) et \( f(2) \).
   2. b. Déterminer l'équation de la tangente à \( \mathcal{C} \) au point d'abscisse \( x = 0 \).
   3. c. Tracer l'allure de la courbe \( \mathcal{C} \) en précisant les éléments importants.

Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), on considère les points suivants :

\( A(1; 3) \), \( B(5; 1) \), \( C(3; 5) \) et \( D(7; 3) \).

1. Étude du quadrilatère ABCD
   1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{DC} \).
   2. b. Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère ABCD ?
   3. c. Calculer les coordonnées du centre I du quadrilatère ABCD.
2. Calculs de distances et d'angles
   1. a. Calculer la distance AB.
   2. b. Calculer le produit scalaire \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \).
   3. c. En déduire la mesure de l'angle \( \widehat{BAC} \) (arrondie au degré).
3. Cercle circonscrit
   1. a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
   2. b. Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
   3. c. Écrire l'équation cartésienne de ce cercle.
4. Probabilités

   On choisit au hasard un point M de coordonnées entières dans le carré de sommets \( (0;0) \), \( (6;0) \), \( (6;6) \), \( (0;6) \).

   1. a. Combien y a-t-il de points possibles ?
   2. b. Calculer la probabilité que le point M soit à l'intérieur du cercle circonscrit au triangle ABC.

Question 1

La dérivée de la fonction \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) est :

• a. \( f'(x) = 6x - 2 \)
• b. \( f'(x) = 6x + 2 \)
• c. \( f'(x) = 3x - 2 \)
• d. \( f'(x) = 6x^2 - 2x \)

Question 2

La fonction exponentielle \( f(x) = e^{2x-1} \) a pour dérivée :

• a. \( f'(x) = e^{2x-1} \)
• b. \( f'(x) = 2e^{2x-1} \)
• c. \( f'(x) = (2x-1)e^{2x-1} \)
• d. \( f'(x) = 2e^{2x} \)

Question 3

Dans un repère orthonormé, les vecteurs \( \vec{u}(3; 4) \) et \( \vec{v}(-2; 1) \) ont pour produit scalaire :

• a. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -2 \)
• b. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \)
• c. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 10 \)
• d. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -10 \)

Question 4

L'équation \( x^2 - 6x + 8 = 0 \) admet pour solutions :

• a. \( x = 2 \) et \( x = 4 \)
• b. \( x = -2 \) et \( x = -4 \)
• c. \( x = 1 \) et \( x = 8 \)
• d. \( x = 3 \) et \( x = 3 \)

Question 5

La suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = 3n - 2 \) est :

• a. arithmétique de raison 3
• b. géométrique de raison 3
• c. arithmétique de raison -2
• d. ni arithmétique ni géométrique

Question 6

On considère \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \) avec \( \theta \in [0; \pi] \). Alors \( \cos(\theta) \) vaut :

• a. \( \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• b. \( \cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
• c. \( \cos(\theta) = \frac{1}{2} \)
• d. \( \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Question 7

Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues. On tire une boule au hasard. Sachant qu'elle est rouge, la probabilité qu'elle soit... rouge est :

• a. \( \frac{3}{10} \)
• b. \( \frac{7}{10} \)
• c. \( 1 \)
• d. \( 0 \)

Question 8

Dans un repère orthonormé, la droite passant par A(1; 2) et B(3; 6) a pour équation :

• a. \( y = 2x \)
• b. \( y = 2x + 1 \)
• c. \( y = x + 1 \)
• d. \( y = 3x - 1 \)

Question 9

Une variable aléatoire X suit une loi normale \( \mathcal{N}(10; 4) \). L'espérance de X est :

• a. 4
• b. 10
• c. 2
• d. 14

Question 10

La fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) admet un minimum en :

• a. \( x = 1 \)
• b. \( x = 2 \)
• c. \( x = 3 \)
• d. \( x = 4 \)

Question 11

L'ensemble des solutions de l'inéquation \( e^x > e^3 \) est :

• a. \( x > 3 \)
• b. \( x < 3 \)
• c. \( x \geq 3 \)
• d. \( x \in \mathbb{R} \)

Question 12

Pour \( \theta = \frac{\pi}{3} \), la valeur de \( \cos(\theta) + \sin(\theta) \) est :

• a. \( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \)
• b. \( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \)
• c. \( 1 \)
• d. \( \sqrt{3} \)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = e^{x} - x - 1 \).

On note \( \mathcal{C} \) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. a. Calculer \( f(0) \). Que peut-on en déduire pour la courbe \( \mathcal{C} \) ?
2. b. Calculer \( f'(x) \) pour tout réel \( x \).
3. c. Étudier le signe de \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations de \( f \).
4. d. En déduire le signe de \( f(x) \) sur \( \mathbb{R} \).

On considère la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et pour tout entier naturel \( n \) : \( u_{n+1} = e^{u_n} - u_n - 1 \).

1. a. Calculer \( u_1 \) et \( u_2 \). Donner les valeurs exactes puis les valeurs approchées à \( 10^{-3} \) près.
2. b. Montrer que pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} = f(u_n) \).
3. c. À l'aide de la question 1.d, montrer que la suite \( (u_n) \) est croissante.
4. d. Démontrer que la suite \( (u_n) \) est convergente.

1. a. Démontrer que la droite \( y = x \) est tangente à la courbe \( \mathcal{C} \) au point d'abscisse 0.
2. b. Étudier la position de la courbe \( \mathcal{C} \) par rapport à sa tangente au point d'abscisse 0.

Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \), on considère les points :

• A(2; 1)
• B(5; 2)
• C(4; 5)
• D(1; 4)

1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{DC} \).
2. b. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCD ?
3. c. Calculer les coordonnées des vecteurs \( \vec{AD} \) et \( \vec{BC} \).
4. d. Calculer \( \vec{AB} \cdot \vec{AD} \). Que peut-on en déduire ?

1. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
2. b. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AC).
3. c. Calculer les coordonnées du point d'intersection I des droites (AB) et (CD).

On considère le cercle \( \mathcal{C} \) circonscrit au triangle ABC.

1. a. Justifier que le centre du cercle \( \mathcal{C} \) est équidistant des trois points A, B et C.
2. b. On note \( \Omega(x; y) \) le centre du cercle \( \mathcal{C} \). Établir le système d'équations permettant de déterminer les coordonnées de \( \Omega \).
3. c. Résoudre ce système et donner les coordonnées de \( \Omega \).
4. d. Calculer le rayon du cercle \( \mathcal{C} \) et donner son équation cartésienne.
5. e. Le point D appartient-il au cercle \( \mathcal{C} \) ? Justifier.

Barème indicatif :

• QCM : 0,5 point par question (6 points)
• Exercice 1 : 7 points
• Exercice 2 : 7 points

Question 1

La dérivée de la fonction \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) est :

• a. \( f'(x) = 6x - 2 \)
• b. \( f'(x) = 6x + 2 \)
• c. \( f'(x) = 3x - 2 \)
• d. \( f'(x) = 6x^2 - 2x \)

Question 2

On considère la fonction exponentielle. La valeur de \( e^{\ln(5)} \) est :

• a. \( \ln(5) \)
• b. \( 5 \)
• c. \( e \times 5 \)
• d. \( e^5 \)

Question 3

Dans un repère orthonormé, les vecteurs \( \vec{u}(2; 3) \) et \( \vec{v}(-1; 4) \) ont pour produit scalaire :

• a. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 10 \)
• b. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \)
• c. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -2 \)
• d. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 14 \)

Question 4

On considère la suite géométrique \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 3 \) et \( u_{n+1} = 2u_n \). Le terme \( u_4 \) vaut :

• a. \( u_4 = 12 \)
• b. \( u_4 = 24 \)
• c. \( u_4 = 48 \)
• d. \( u_4 = 96 \)

Question 5

La valeur exacte de \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \) est :

• a. \( \frac{1}{2} \)
• b. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• c. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• d. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Question 6

L'équation \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) a pour solutions :

• a. \( x = 1 \) et \( x = 3 \)
• b. \( x = -1 \) et \( x = -3 \)
• c. \( x = 2 \) et \( x = 4 \)
• d. \( x = 0 \) et \( x = 4 \)

Question 7

On lance deux dés équilibrés. Sachant que la somme obtenue est supérieure à 10, la probabilité qu'elle soit égale à 12 est :

• a. \( \frac{1}{36} \)
• b. \( \frac{1}{6} \)
• c. \( \frac{1}{3} \)
• d. \( \frac{1}{2} \)

Question 8

Dans le repère ci-dessous, une équation de la droite (d) est :

• a. \( y = x + 3 \)
• b. \( y = -x + 3 \)
• c. \( y = 3x \)
• d. \( y = -3x + 3 \)

Question 9

Le domaine de définition de la fonction \( f(x) = \frac{1}{x-2} + \ln(x+1) \) est :

• a. \( \mathbb{R} \setminus \{-1; 2\} \)
• b. \( ]-1; +\infty[ \setminus \{2\} \)
• c. \( ]-\infty; -1[ \cup ]2; +\infty[ \)
• d. \( ]2; +\infty[ \)

Question 10

Une variable aléatoire \( X \) suit la loi normale \( \mathcal{N}(10; 2^2) \). La probabilité \( P(X \leq 10) \) est :

• a. \( 0 \)
• b. \( 0.5 \)
• c. \( 1 \)
• d. \( 0.25 \)

Question 11

La forme canonique de \( f(x) = x^2 + 6x + 5 \) est :

• a. \( f(x) = (x + 3)^2 - 4 \)
• b. \( f(x) = (x - 3)^2 + 4 \)
• c. \( f(x) = (x + 3)^2 + 5 \)
• d. \( f(x) = (x + 6)^2 - 31 \)

Question 12

On considère la fonction \( g \) représentée ci-dessous. Le nombre de solutions de l'équation \( g(x) = 2 \) est :

• a. 2
• b. 3
• c. 4
• d. 5

On considère dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \) les points suivants :

• \( A(1; 2) \), \( B(5; 4) \), \( C(3; 6) \) et \( D(7; 8) \)

1. Étude vectorielle
   1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{DC} \).
   2. b. Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère ABCD ?
   3. c. Calculer \( \vec{AB} \cdot \vec{AD} \). Que peut-on en déduire ?
2. Étude d'une droite
   1. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
   2. b. Le point E(9; 6) appartient-il à la droite (AB) ? Justifier.
3. Étude d'un cercle
   1. a. Déterminer les coordonnées du centre I du cercle circonscrit au triangle ABC.
   2. b. Calculer le rayon de ce cercle.
   3. c. Donner une équation cartésienne de ce cercle.

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \]

1. Étude de la dérivée
   1. a. Calculer \( f'(x) \) pour tout réel \( x \).
   2. b. Étudier le signe de \( f'(x) \) sur \( \mathbb{R} \).
   3. c. En déduire le tableau de variations de \( f \).
2. Étude des extrema
   1. a. Déterminer les coordonnées des points où \( f \) admet un extremum local.
   2. b. Préciser la nature de ces extrema.
3. Étude graphique
   1. a. Calculer \( f(0) \), \( f(1) \) et \( f(2) \).
   2. b. Tracer l'allure de la courbe représentative de \( f \) en tenant compte des résultats précédents.
4. Résolution d'équations
   1. a. Résoudre l'équation \( f(x) = 2 \).
   2. b. Combien l'équation \( f(x) = k \) admet-elle de solutions selon les valeurs du paramètre réel \( k \) ?
5. Étude d'une suite

   On considère la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et pour tout entier naturel \( n \) :

   \[ u_{n+1} = f(u_n) = u_n^3 - 3u_n^2 + 2 \]

   1. a. Calculer \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \).
   2. b. Que peut-on conjecturer sur le comportement de cette suite ?
   3. c. Démontrer cette conjecture.

📋 Informations pratiques

• Durée : 3 heures
• Calculatrice non autorisée
• Barème : QCM (6 pts) + Exercice 1 (7 pts) + Exercice 2 (7 pts) = 20 pts
• Toutes les réponses doivent être justifiées sauf pour le QCM

Question 1

La forme canonique de la fonction \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) est :

• a. \( (x - 3)^2 - 4 \)
• b. \( (x - 3)^2 + 4 \)
• c. \( (x + 3)^2 - 4 \)
• d. \( (x - 6)^2 + 5 \)

Question 2

La dérivée de la fonction \( g(x) = 3x^2 - 4x + 1 \) est :

• a. \( g'(x) = 6x - 4 \)
• b. \( g'(x) = 6x + 4 \)
• c. \( g'(x) = 3x - 4 \)
• d. \( g'(x) = 6x - 1 \)

Question 3

L'équation \( e^{2x} = 8 \) admet pour solution :

• a. \( x = \ln(4) \)
• b. \( x = \frac{\ln(8)}{2} \)
• c. \( x = 2\ln(8) \)
• d. \( x = \ln(16) \)

Question 4

Pour \( x \in [0; 2\pi] \), l'équation \( \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) admet pour solutions :

• a. \( x = \frac{\pi}{4} \) et \( x = \frac{3\pi}{4} \)
• b. \( x = \frac{\pi}{4} \) et \( x = \frac{7\pi}{4} \)
• c. \( x = \frac{\pi}{6} \) et \( x = \frac{5\pi}{6} \)
• d. \( x = \frac{\pi}{3} \) et \( x = \frac{5\pi}{3} \)

Question 5

On considère les vecteurs \( \vec{u}(2; 3) \) et \( \vec{v}(-1; 4) \). Le produit scalaire \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) est égal à :

• a. \( 10 \)
• b. \( 14 \)
• c. \( -10 \)
• d. \( -2 \)

Question 6

Une suite arithmétique \( (u_n) \) a pour premier terme \( u_1 = 5 \) et pour raison \( r = 3 \). Le terme \( u_5 \) est égal à :

• a. \( 17 \)
• b. \( 20 \)
• c. \( 14 \)
• d. \( 23 \)

Question 7

Dans un lycée, 60% des élèves sont des filles. Parmi les filles, 40% font de l'espagnol. La probabilité qu'un élève choisi au hasard soit une fille qui fait de l'espagnol est :

• a. \( 0,24 \)
• b. \( 0,4 \)
• c. \( 0,6 \)
• d. \( 1 \)

Question 8

On considère la fonction \( h(x) = x^3 - 3x \). L'équation de la tangente à la courbe de \( h \) au point d'abscisse \( x = 1 \) est :

• a. \( y = 0 \)
• b. \( y = -2 \)
• c. \( y = 3x - 5 \)
• d. \( y = -3x + 1 \)

Question 9

L'ensemble des solutions de l'inéquation \( x^2 - 4x - 5 \leq 0 \) est :

• a. \( ]-\infty; -1] \cup [5; +\infty[ \)
• b. \( [-1; 5] \)
• c. \( ]-\infty; -5] \cup [1; +\infty[ \)
• d. \( [-5; 1] \)

Question 10

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = e^{2x+1} \). On peut affirmer que :

• a. \( f'(x) = 2e^{2x+1} \)
• b. \( f'(x) = e^{2x+1} \)
• c. \( f'(x) = 2e^{2x} \)
• d. \( f'(x) = (2x+1)e^{2x} \)

Question 11

La distance entre les points \( A(1; 3) \) et \( B(4; 7) \) est égale à :

• a. \( 5 \)
• b. \( 7 \)
• c. \( 25 \)
• d. \( \sqrt{7} \)

Question 12

On considère la courbe représentative de la fonction \( g(x) = \sin(x) \) sur l'intervalle \( [0; 2\pi] \). Cette courbe admet pour maximum :

• a. \( 1 \) atteint en \( x = 0 \)
• b. \( 1 \) atteint en \( x = \frac{\pi}{2} \)
• c. \( \pi \) atteint en \( x = \frac{\pi}{2} \)
• d. \( 2\pi \) atteint en \( x = \pi \)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \).

On note \( \mathcal{C} \) la courbe représentative de la fonction \( f \) dans un repère orthonormé.

1. Étude du signe et des variations de \( f \)
   1. a. Résoudre l'équation \( f(x) = 0 \).
   2. b. Étudier le signe de \( f(x) \) sur \( \mathbb{R} \).
   3. c. Calculer \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations de \( f \).
2. Tangente à la courbe
   1. a. Déterminer l'équation de la tangente \( T \) à la courbe \( \mathcal{C} \) au point d'abscisse \( x = 3 \).
   2. b. Étudier la position de la courbe \( \mathcal{C} \) par rapport à la tangente \( T \).
3. Aire sous la courbe

   On considère les points \( A(1; 0) \), \( B(3; 0) \), \( C(3; f(3)) \) et \( D(1; f(1)) \).

   1. a. Représenter ces points sur un graphique et tracer la courbe \( \mathcal{C} \).
   2. b. Calculer l'aire du trapèze \( ABCD \).
   3. c. En utilisant le fait que \( \int_1^3 f(x) dx = \frac{4}{3} \), donner une interprétation géométrique de cette intégrale.

Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), on considère :

• Les points \( A(2; 1) \), \( B(5; 2) \) et \( C(3; 4) \)
• Le cercle \( \Gamma \) de centre \( I(1; 2) \) et de rayon \( r = 2 \)

1. Étude du triangle \( ABC \)
   1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \).
   2. b. Calculer le produit scalaire \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \).
   3. c. En déduire la mesure de l'angle \( \widehat{BAC} \) (donner le résultat en degrés, arrondi à l'unité).
2. Équation du cercle
   1. a. Déterminer une équation cartésienne du cercle \( \Gamma \).
   2. b. Le point \( A(2; 1) \) appartient-il au cercle \( \Gamma \) ? Justifier.
   3. c. Déterminer l'équation de la tangente au cercle \( \Gamma \) au point \( A \) (si \( A \) appartient au cercle).
3. Intersection droite-cercle

   On considère la droite \( (d) \) d'équation \( y = x + 1 \).

   1. a. Montrer que les points d'intersection de la droite \( (d) \) et du cercle \( \Gamma \) ont pour abscisses les solutions de l'équation : \( x^2 - x + 1 = 0 \).
   2. b. Résoudre cette équation et conclure sur l'intersection de la droite \( (d) \) et du cercle \( \Gamma \).
   3. c. Représenter sur un graphique le cercle \( \Gamma \), la droite \( (d) \) et les points \( A \), \( B \) et \( C \).

Question 1

La dérivée de la fonction \( f \) définie par \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) est :

• a. \( f'(x) = 6x - 2 \)
• b. \( f'(x) = 6x + 2 \)
• c. \( f'(x) = 3x - 2 \)
• d. \( f'(x) = 6x - 1 \)

Question 2

La fonction exponentielle vérifie l'égalité :

• a. \( e^{a+b} = e^a + e^b \)
• b. \( e^{a+b} = e^a \times e^b \)
• c. \( e^{a \times b} = e^a + e^b \)
• d. \( e^{a \times b} = e^a \times e^b \)

Question 3

L'équation \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) a pour solutions :

• a. \( x = 1 \) et \( x = 3 \)
• b. \( x = -1 \) et \( x = -3 \)
• c. \( x = 2 \) et \( x = 2 \)
• d. \( x = 0 \) et \( x = 4 \)

Question 4

Soit \( \vec{u}(3; -2) \) et \( \vec{v}(1; 4) \). Le produit scalaire \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) est égal à :

• a. \( 11 \)
• b. \( -5 \)
• c. \( 5 \)
• d. \( -11 \)

Question 5

La suite \( (u_n) \) est définie par \( u_n = 3n - 1 \). Le terme \( u_{10} \) est égal à :

• a. \( 29 \)
• b. \( 31 \)
• c. \( 30 \)
• d. \( 28 \)

Question 6

La valeur exacte de \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \) est :

• a. \( \frac{1}{2} \)
• b. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• c. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• d. \( 1 \)

Question 7

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = e^{2x} \). La dérivée de \( f \) est :

• a. \( f'(x) = e^{2x} \)
• b. \( f'(x) = 2e^{2x} \)
• c. \( f'(x) = 2e^x \)
• d. \( f'(x) = e^{2x+1} \)

Question 8

Dans un repère orthonormé, la distance entre les points \( A(1; 3) \) et \( B(4; 7) \) est :

• a. \( 5 \)
• b. \( 7 \)
• c. \( 25 \)
• d. \( \sqrt{7} \)

Question 9

Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues. On tire une boule au hasard. Sachant que la boule tirée est rouge, quelle est la probabilité qu'elle soit... rouge ?

• a. \( \frac{3}{10} \)
• b. \( \frac{7}{10} \)
• c. \( 1 \)
• d. \( 0 \)

Question 10

On considère la fonction \( g \) définie par \( g(x) = x^2 - 6x + 8 \). La forme canonique de \( g(x) \) est :

• a. \( (x - 3)^2 - 1 \)
• b. \( (x - 3)^2 + 1 \)
• c. \( (x + 3)^2 - 1 \)
• d. \( (x - 6)^2 + 8 \)

Question 11

La courbe ci-dessous représente une fonction \( f \). Pour quelle(s) valeur(s) de \( x \) a-t-on \( f'(x) = 0 \) ?

• a. \( x = -2 \)
• b. \( x = 0 \)
• c. \( x = 2 \)
• d. \( x = -2 \) et \( x = 2 \)

Question 12

Soit \( X \) une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre \( p = 0,3 \). La variance de \( X \) est :

• a. \( 0,3 \)
• b. \( 0,7 \)
• c. \( 0,21 \)
• d. \( 0,09 \)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \).

1. 1. a. Calculer \( f'(x) \) pour tout réel \( x \).
   2. b. Étudier le signe de \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations de \( f \).
   3. c. Déterminer les coordonnées des points où la courbe représentative de \( f \) admet une tangente horizontale.
2. 1. a. Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution \( \alpha \) dans l'intervalle \( [1; 2] \).
   2. b. Donner un encadrement de \( \alpha \) à \( 10^{-1} \) près.
3. 1. a. Déterminer une équation de la tangente \( T \) à la courbe représentative de \( f \) au point d'abscisse \( 1 \).
   2. b. Étudier la position de la courbe par rapport à la tangente \( T \) au voisinage du point d'abscisse \( 1 \).

Le plan est muni d'un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \).

On considère les points \( A(1; 3) \), \( B(5; 1) \) et \( C(2; -1) \).

1. 1. a. Calculer les coordonnées du vecteur \( \vec{AB} \).
   2. b. Déterminer une équation cartésienne de la droite \( (AB) \).
   3. c. Vérifier que le point \( C \) n'appartient pas à la droite \( (AB) \).
2. 1. a. Calculer les coordonnées du point \( H \), projeté orthogonal de \( C \) sur la droite \( (AB) \).
   2. b. En déduire la distance du point \( C \) à la droite \( (AB) \).
3. 1. a. Déterminer l'équation du cercle \( \mathcal{C} \) de centre \( A \) et passant par \( B \).
   2. b. Le point \( C \) est-il situé à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le cercle \( \mathcal{C} \) ?
   3. c. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle \( \mathcal{C} \) avec l'axe des ordonnées.

Données : On rappelle que la distance d'un point \( M(x_0; y_0) \) à une droite d'équation \( ax + by + c = 0 \) est donnée par : \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Question 1

On considère la fonction \( f(x) = e^x \). La dérivée de \( f \) est :

• a. \( f'(x) = xe^{x-1} \)
• b. \( f'(x) = e^x \)
• c. \( f'(x) = e^{x+1} \)
• d. \( f'(x) = x \)

Question 2

La valeur exacte de \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \) est :

• a. \( \frac{1}{2} \)
• b. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• c. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• d. \( 1 \)

Question 3

On considère les vecteurs \( \vec{u}(3; 2) \) et \( \vec{v}(-1; 4) \). Le produit scalaire \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) est égal à :

• a. \( 5 \)
• b. \( -5 \)
• c. \( 11 \)
• d. \( -11 \)

Question 4

L'équation \( x^2 - 6x + 8 = 0 \) a pour solutions :

• a. \( x = 2 \) et \( x = 4 \)
• b. \( x = -2 \) et \( x = -4 \)
• c. \( x = 1 \) et \( x = 8 \)
• d. pas de solution réelle

Question 5

Une suite arithmétique \( (u_n) \) vérifie \( u_1 = 3 \) et \( u_4 = 12 \). La raison de cette suite est :

• a. \( r = 3 \)
• b. \( r = 4 \)
• c. \( r = 9 \)
• d. \( r = 15 \)

Question 6

On lance deux dés équilibrés. La probabilité d'obtenir une somme égale à 7 est :

• a. \( \frac{1}{6} \)
• b. \( \frac{1}{12} \)
• c. \( \frac{7}{36} \)
• d. \( \frac{1}{36} \)

Question 7

On considère la courbe représentative de la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). Cette parabole :

• a. est tournée vers le bas
• b. a pour sommet le point \( S(2; -1) \)
• c. coupe l'axe des abscisses en un seul point
• d. a pour axe de symétrie la droite \( x = -2 \)

Question 8

Dans le repère ci-dessous, on a représenté la courbe d'une fonction \( f \).

Cette courbe peut représenter la fonction :

• a. \( f(x) = e^x \)
• b. \( f(x) = e^{-x} \)
• c. \( f(x) = -e^x \)
• d. \( f(x) = \ln(x) \)

Question 9

On considère la variable aléatoire \( X \) qui suit la loi binomiale \( B(4; 0,3) \). La probabilité \( P(X = 2) \) est égale à :

• a. \( 0,2646 \)
• b. \( 0,3 \)
• c. \( 0,6 \)
• d. \( 0,1296 \)

Question 10

Dans un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre \( I(2; -1) \) et de rayon 3 est :

• a. \( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 \)
• b. \( (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9 \)
• c. \( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 3 \)
• d. \( x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0 \)

Question 11

On considère la fonction \( g(x) = \sin(2x) \). La période de cette fonction est :

• a. \( \pi \)
• b. \( 2\pi \)
• c. \( \frac{\pi}{2} \)
• d. \( 4\pi \)

Question 12

Dans un sac, il y a 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement deux boules sans remise. La probabilité de tirer une boule rouge puis une boule bleue est :

• a. \( \frac{15}{64} \)
• b. \( \frac{15}{56} \)
• c. \( \frac{8}{15} \)
• d. \( \frac{3}{8} \)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = e^x - x - 1 \).

Partie A : Étude de la fonction \( f \)

1. Calculer \( f(0) \) et \( f'(0) \).
2. Calculer \( f'(x) \) pour tout réel \( x \).
3. Étudier le signe de \( f'(x) \) sur \( \mathbb{R} \).
4. En déduire le tableau de variations de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
5. Montrer que pour tout réel \( x \), on a \( f(x) \geq 0 \).

Partie B : Application géométrique

Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), on considère :

• La courbe \( \mathcal{C}_1 \) d'équation \( y = e^x \)
• La droite \( \mathcal{D} \) d'équation \( y = x + 1 \)

6. Interpréter géométriquement le résultat de la question 5.
7. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de \( \mathcal{C}_1 \) et \( \mathcal{D} \).
8. Montrer que la droite \( \mathcal{D} \) est tangente à la courbe \( \mathcal{C}_1 \) au point d'intersection.

Partie C : Calcul d'aire

On admet que \( \int_0^1 e^x dx = e - 1 \).

9. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe \( \mathcal{C}_1 \), la droite \( \mathcal{D} \), et les droites d'équations \( x = 0 \) et \( x = 1 \).

Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), on considère les points suivants :

• \( A(1; 0) \), \( B(4; 3) \), \( C(1; 6) \), \( D(-2; 3) \)

Partie A : Étude du quadrilatère ABCD

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{DC} \).
2. Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère ABCD ?
3. Calculer les coordonnées du centre \( I \) du quadrilatère ABCD.
4. Calculer \( AB \) et \( AD \). Quelle est la nature précise du quadrilatère ABCD ?

Partie B : Cercle circonscrit

5. Justifier que le quadrilatère ABCD est inscriptible dans un cercle.
6. Déterminer l'équation du cercle circonscrit au quadrilatère ABCD.

Partie C : Probabilités

On place aléatoirement un point M dans le carré de sommets \( (0; 0) \), \( (5; 0) \), \( (5; 5) \), \( (0; 5) \).

7. Calculer la probabilité que le point M soit à l'intérieur du quadrilatère ABCD.
8. Calculer la probabilité que le point M soit à l'intérieur du cercle circonscrit au quadrilatère ABCD.

Partie D : Suites

On considère la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et pour tout entier naturel \( n \) : \( u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 \).

9. Calculer \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \).
10. On considère la suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n - 6 \). Montrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
11. Exprimer \( v_n \) puis \( u_n \) en fonction de \( n \).
12. Déterminer \( \lim_{n \to +\infty} u_n \).

Question 1

On considère la fonction \( f(x) = e^{2x-1} \). La valeur de \( f'(0) \) est égale à :

• a. \( \frac{2}{e} \)
• b. \( \frac{1}{e} \)
• c. \( 2e \)
• d. \( \frac{e}{2} \)

Question 2

Dans un repère orthonormé, les points A(-1;2), B(3;-1) et C(0;4) sont donnés.

Le produit scalaire \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \) est égal à :

• a. -2
• b. 2
• c. -6
• d. 6

Question 3

On considère l'équation \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \). Cette équation admet :

• a. deux solutions réelles distinctes
• b. une solution réelle double
• c. aucune solution réelle
• d. une infinité de solutions

Question 4

La suite \( (u_n) \) est définie par \( u_0 = 3 \) et \( u_{n+1} = 2u_n - 1 \) pour tout entier naturel \( n \).

Le terme \( u_3 \) est égal à :

• a. 19
• b. 21
• c. 23
• d. 25

Question 5

On considère la fonction \( g(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) \). La période de cette fonction est :

• a. \( \pi \)
• b. \( 2\pi \)
• c. \( \frac{\pi}{2} \)
• d. \( \frac{2\pi}{3} \)

Question 6

Dans une urne, il y a 8 boules blanches et 12 boules noires. On tire une boule au hasard.

Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité qu'elle soit neuve (60% des boules blanches sont neuves et 40% des boules noires sont neuves) ?

• a. 0,6
• b. 0,48
• c. 0,24
• d. 0,3

Question 7

On considère la fonction \( h(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Une simplification de cette fonction est :

• a. \( h(x) = x + 3 \)
• b. \( h(x) = x - 3 \)
• c. \( h(x) = x + 1 \)
• d. \( h(x) = x - 1 \)

Question 8

On a représenté ci-contre la courbe représentative d'une fonction \( f \) et sa tangente au point d'abscisse 2.

La valeur de \( f'(2) \) est approximativement égale à :

• a. -1,5
• b. -0,6
• c. 0,6
• d. 1,5

Question 9

La variable aléatoire \( X \) suit une loi normale \( \mathcal{N}(10; 4) \). La probabilité \( P(X \leq 10) \) est égale à :

• a. 0,25
• b. 0,4
• c. 0,5
• d. 0,75

Question 10

On considère l'inéquation \( e^x \geq 3 \). L'ensemble des solutions de cette inéquation est :

• a. \( [\ln(3); +\infty[ \)
• b. \( ]-\infty; \ln(3)] \)
• c. \( [\frac{1}{3}; +\infty[ \)
• d. \( ]-\infty; \frac{1}{3}] \)

Question 11

Dans un triangle ABC, on a \( AB = 5 \), \( AC = 7 \) et \( \widehat{BAC} = 60° \). La longueur BC est égale à :

• a. \( \sqrt{39} \)
• b. \( \sqrt{41} \)
• c. \( \sqrt{43} \)
• d. \( \sqrt{45} \)

Question 12

La droite d'équation \( 3x - 2y + 6 = 0 \) a pour vecteur directeur :

• a. \( \vec{u}(3; -2) \)
• b. \( \vec{u}(2; 3) \)
• c. \( \vec{u}(-2; 3) \)
• d. \( \vec{u}(3; 2) \)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^2 e^{-x} \).

On note \( \mathcal{C} \) la courbe représentative de la fonction \( f \) dans un repère orthonormé.

1. Étude des limites
   1. a. Déterminer \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \). On pourra utiliser le fait que \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0 \).
   2. b. Déterminer \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \).
   3. c. Interpréter graphiquement ces résultats.
2. Étude de la dérivabilité
   1. a. Montrer que pour tout réel \( x \), on a \( f'(x) = x(2-x)e^{-x} \).
   2. b. Étudier le signe de \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations de \( f \).
   3. c. Déterminer les coordonnées du maximum de \( f \).
3. Étude d'une tangente particulière
   1. a. Déterminer l'équation de la tangente \( T \) à la courbe \( \mathcal{C} \) au point d'abscisse 1.
   2. b. Étudier les positions relatives de \( \mathcal{C} \) et de \( T \).
4. Calcul d'aire

   On admet que \( \int_0^2 x^2 e^{-x} dx = 2 - \frac{10}{e^2} \).

   Calculer l'aire, en unités d'aire, de la région délimitée par la courbe \( \mathcal{C} \), l'axe des abscisses et les droites d'équations \( x = 0 \) et \( x = 2 \).

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \), on considère les points suivants :

• A(1; 3)
• B(4; 1)
• C(-2; 2)
• D le point tel que \( \vec{AD} = 2\vec{AB} \)

1. Étude du triangle ABC
   1. a. Déterminer les coordonnées du point D.
   2. b. Calculer les longueurs AB, AC et BC.
   3. c. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
2. Cercle circonscrit
   1. a. Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
   2. b. Calculer le rayon de ce cercle.
   3. c. Écrire l'équation cartésienne de ce cercle.
3. Intersection avec une droite

   On considère la droite \( \Delta \) d'équation \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \).

   1. a. Montrer que la droite \( \Delta \) est tangente au cercle circonscrit au triangle ABC.
   2. b. Déterminer les coordonnées du point de tangence.
4. Étude d'une suite

   On définit la suite \( (u_n) \) par \( u_0 = 1 \) et pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 2} \).

   1. a. Calculer \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \).
   2. b. Montrer que pour tout entier naturel \( n \), on a \( u_n > 0 \).
   3. c. Étudier la monotonie de la suite \( (u_n) \).
   4. d. En déduire que la suite \( (u_n) \) converge et déterminer sa limite.

Question 1

Soit \( f(x) = e^{2x-1} \). La dérivée \( f'(x) \) est égale à :

• a. \( 2e^{2x-1} \)
• b. \( e^{2x-1} \)
• c. \( (2x-1)e^{2x-1} \)
• d. \( 2xe^{2x-1} \)

Question 2

On considère la fonction \( g(x) = \cos(3x + \frac{\pi}{4}) \). La période de cette fonction est :

• a. \( \frac{2\pi}{3} \)
• b. \( \frac{\pi}{3} \)
• c. \( 2\pi \)
• d. \( 6\pi \)

Question 3

Soit \( \vec{u} = (3; -2) \) et \( \vec{v} = (-1; 4) \). Le produit scalaire \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) est égal à :

• a. \( -11 \)
• b. \( -5 \)
• c. \( 5 \)
• d. \( 11 \)

Question 4

L'équation \( x^2 - 6x + 13 = 0 \) admet :

• a. deux solutions réelles distinctes
• b. une solution réelle double
• c. aucune solution réelle
• d. une infinité de solutions

Question 5

La suite \( (u_n) \) est définie par \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = 3u_n - 1 \) pour tout \( n \geq 0 \). Le terme \( u_2 \) est égal à :

• a. \( 14 \)
• b. \( 15 \)
• c. \( 16 \)
• d. \( 17 \)

Question 6

Dans un repère orthonormé, l'équation de la droite passant par \( A(1; 3) \) et \( B(-2; 6) \) est :

• a. \( y = -x + 4 \)
• b. \( y = x + 2 \)
• c. \( y = -x + 2 \)
• d. \( y = x + 4 \)

Question 7

On considère la fonction \( h(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 1} \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \). Cette fonction possède :

• a. un maximum local en \( x = 2 \)
• b. un minimum local en \( x = -4 \)
• c. un maximum local en \( x = -4 \) et un minimum local en \( x = 2 \)
• d. aucun extremum local

Question 8

Soit \( A \) et \( B \) deux événements tels que \( P(A) = 0.6 \), \( P(B) = 0.4 \) et \( P(A \cap B) = 0.2 \). La probabilité conditionnelle \( P_A(B) \) est égale à :

• a. \( \frac{1}{3} \)
• b. \( \frac{1}{2} \)
• c. \( \frac{2}{3} \)
• d. \( \frac{3}{4} \)

Question 9

La courbe représentative de la fonction \( f(x) = e^x - 2x \) :

• a. admet une asymptote horizontale d'équation \( y = -2 \)
• b. admet une asymptote oblique d'équation \( y = -2x \)
• c. n'admet aucune asymptote
• d. admet une asymptote verticale

Question 10

Dans le repère ci-dessous, on a représenté la courbe d'une fonction \( f \) et sa tangente au point d'abscisse \( x = 1 \).

En observant le graphique, on peut affirmer que \( f'(1) \) est approximativement égal à :

• a. \( -1 \)
• b. \( 0 \)
• c. \( 1 \)
• d. \( 2 \)

Question 11

Une variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale \( B(10; 0.3) \). L'espérance de \( X \) est :

• a. \( 3 \)
• b. \( 2.1 \)
• c. \( 7 \)
• d. \( 0.3 \)

Question 12

L'ensemble des solutions de l'inéquation \( |2x - 3| \leq 5 \) est :

• a. \( [-1; 4] \)
• b. \( [-4; 1] \)
• c. \( ]-\infty; -1] \cup [4; +\infty[ \)
• d. \( ]-\infty; -4] \cup [1; +\infty[ \)

Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), on considère les points suivants :

• \( A(2; 1) \), \( B(5; 3) \), \( C(1; 6) \) et \( D(-2; 4) \)
• Le cercle \( \mathcal{C} \) de centre \( I(1; 2) \) et de rayon \( r = 2 \)
• La droite \( \Delta \) d'équation \( x + 2y - 7 = 0 \)

1. Étude vectorielle
   1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{DC} \).
   2. b. Les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{DC} \) sont-ils colinéaires ? Justifier.
   3. c. Calculer \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \) et en déduire une valeur approchée de l'angle \( \widehat{BAC} \) au degré près.
2. Étude du cercle
   1. a. Écrire une équation cartésienne du cercle \( \mathcal{C} \).
   2. b. Le point \( B \) appartient-il au cercle \( \mathcal{C} \) ? Justifier.
   3. c. Déterminer l'équation de la tangente au cercle \( \mathcal{C} \) au point \( A \).
3. Intersections
   1. a. Calculer la distance du point \( I \) à la droite \( \Delta \).
   2. b. En déduire le nombre de points d'intersection entre le cercle \( \mathcal{C} \) et la droite \( \Delta \).
   3. c. Déterminer les coordonnées des points d'intersection.

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\( f(x) = xe^{-x} + 2 \)

On note \( \mathcal{C} \) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Étude de la fonction
   1. a. Calculer \( f'(x) \) et montrer que \( f'(x) = e^{-x}(1-x) \).
   2. b. Étudier le signe de \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations de \( f \).
   3. c. Déterminer les limites de \( f \) en \( +\infty \) et en \( -\infty \).
   4. d. En déduire l'équation de l'asymptote horizontale à \( \mathcal{C} \).
2. Étude d'une suite

   Pour tout entier naturel \( n \geq 1 \), on considère l'aire \( S_n \) du domaine délimité par :

   • la courbe \( \mathcal{C} \)
   • l'axe des abscisses
   • les droites d'équations \( x = 0 \) et \( x = n \)

   On admet que \( S_n = 3 - (n+3)e^{-n} \).

   1. a. Calculer \( S_1 \), \( S_2 \) et \( S_3 \). Donner les valeurs exactes puis les valeurs approchées à \( 10^{-2} \) près.
   2. b. Montrer que la suite \( (S_n) \) est croissante.
   3. c. Montrer que la suite \( (S_n) \) est majorée par 3.
   4. d. Que peut-on en déduire sur la convergence de la suite \( (S_n) \) ? Préciser sa limite.
3. Équation fonctionnelle

   On cherche maintenant toutes les fonctions \( g \) continues sur \( \mathbb{R} \) telles que :

   \( g(x) + g(-x) = 2x + 4 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \)

   1. a. Montrer que si \( g \) est solution, alors \( g(0) = 2 \).
   2. b. On suppose que \( g \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \). Montrer que \( g'(x) - g'(-x) = 2 \).
   3. c. Déterminer toutes les fonctions \( g \) solutions de l'équation fonctionnelle.

Question 1

On considère l'arbre de probabilité ci-contre. On cherche la probabilité de l'évènement B.

• A. p(B)=0,18
• B. p(B)=0,12
• C. p(B)=0,66
• D. p(B)=0,3

Question 2

Une tablette coûte 200 euros. Son prix diminue de 30%. Le prix après cette diminution est :

• A. 140 euros
• B. 170 euros
• C. 194 euros
• D. 197 euros

Question 3

Une réduction de 50% suivie d'une augmentation de 50% équivaut à :

• A. une réduction de 50%
• B. une réduction de 25%
• C. une augmentation de 25%
• D. une augmentation de 75%

Question 4

Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles. La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :

• A. 4%
• B. 12,5%
• C. 25%
• D. 50%

Question 5

On considère le nombre \(N = \frac{10^7}{5^2}\)

On a :

• A. \(N = 25\)
• B. \(N = 20\,000\)
• C. \(N = \frac{1}{10^5}\)
• D. \(N = 4 \times 10^5\)

Question 6

Un appareil a besoin d'une énergie de \(7,5 \times 10^6\) Joules (J) pour se mettre en route. À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ?

Données : \(1\,\text{kWh} = 3,6 \times 10^6\,\text{J}\)

• A. 0,5 kWh
• B. 2,08 kWh
• C. 5,3 kWh
• D. 20,35 kWh

Question 7

Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note d la droite passant par les points A(0; −1) et B(2; 5). Le coefficient directeur de la droite d est égal à :

• A. \(-\frac{1}{2}\)
• B. 2
• C. 3
• D. \(\frac{1}{3}\)

Question 8

On a représenté ci-contre une droite D.

Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite D est :

• A. \(2x - y = 0\)
• B. \(2x + y + 1 = 0\)
• C. \(y = x^2 - (x + 1)^2 + 1\)
• D. \(y = 2x - 1\)

Question 9

On note S l'ensemble des solutions de l'équation \(x^2 = 10\) sur \(\mathbb{R}\). On a :

• A. S = {−5; 5}
• B. S = {−√5; √5}
• C. S = {−√10; √10}
• D. S = ∅

Question 10

La fonction f définie sur ℝ par \(f(x)=(3x−15)(x+2)\) admet pour tableau de signes :

Question 11

L'expression développée de \((2x+0,5)^2\) est :

• A. \(4x^2+x+0,25\)
• B. \(4x^2+4x+2\)
• C. \(4x^2+2x+0,25\)
• D. \(4x^2+2x+1\)

Question 12

Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon R (en m), son accélération centripète a (en m/s²) s'exprime par :

\[a = \frac{v^2}{R}\]

L'expression de la vitesse v est :

• A. \(v = a \cdot R^2\)
• B. \(v = \sqrt{a \cdot R}\)
• C. \(v = \sqrt{\frac{a}{R}}\)
• D. \(v = \frac{a^2}{R}\)

En 2020, une ville comptait 10 000 habitants. On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite (uₙ) définie ainsi :

\[ \begin{cases} u_{n+1} = 1.08 u_n - 300 & \text{pour } n \in \mathbb{N} \\ u_0 = 10 000 & \end{cases} \]

où uₙ représente le nombre d'habitants pour l'année 2020+n.

1. Indiquer ce que représente u₁ et calculer sa valeur.
2. On considère la suite (vₙ) définie pour tout entier naturel n par vₙ=uₙ−3750.
   1. Déterminer v₀.
   2. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a vₙ₊₁=1,08vₙ.
   3. En déduire la nature de la suite (vₙ).
   4. Pour tout entier naturel n, exprimer vₙ en fonction de n.
   5. En déduire que pour tout entier naturel n, on a uₙ= 6250 × 1,08ⁿ + 3750.
3. La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra 19 000 habitants. La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Partie A

On considère la fonction P définie sur l'intervalle [−5 ;3] par : P(x)=2x²+x−10.

1. a. Déterminer les racines de P.
2. b. En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation y=P(x).
3. Etablir le tableau de signe de la fonction P sur l'intervalle [−5 ;3].

Partie B

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [−5;3] dont on donne ci-dessous la courbe représentative C_f.

La tangente T à la courbe C_f au point A d'abscisse 2 est horizontale.

1. Donner la valeur du nombre dérivé f′(2).
2. Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation f′(x) < 0.
3. On sait que la fonction f a pour expression sur l'intervalle [−5;3] : \[ f(x)=(4x²−14x+8)e^{0,5x} \] Démontrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle [−5;3], on a : \[ f′(x)=P(x)e^{0,5x} \]
4. En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [−5;3].

Question 1

Soit \( f \) la fonction définie par \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). La dérivée seconde \( f''(x) \) s'annule en :

• a. \( x = 0 \)
• b. \( x = 1 \)
• c. \( x = 2 \)
• d. \( x = 3 \)

Question 2

La limite de \( \frac{e^{2x} - 1}{x} \) quand \( x \) tend vers 0 est :

• a. 0
• b. 1
• c. 2
• d. +∞

Question 3

Dans un repère orthonormé, les vecteurs \( \vec{u}(1; -2; 3) \) et \( \vec{v}(4; 5; -1) \) ont pour produit scalaire :

• a. -9
• b. 9
• c. 19
• d. -19

Question 4

L'ensemble des solutions de \( 2\cos(2x) = \sqrt{2} \) sur \([0; \pi]\) est :

• a. \( \{\frac{\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\} \)
• b. \( \{\frac{\pi}{8}, \frac{15\pi}{8}\} \)
• c. \( \{\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\} \)
• d. \( \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\} \)

Question 5

La suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 5 \) et \( u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 3 \) converge vers :

• a. 0
• b. 3
• c. 6
• d. +∞

Question 6

Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules bleues. On tire successivement 2 boules sans remise. La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est :

• a. \( \frac{15}{28} \)
• b. \( \frac{15}{56} \)
• c. \( \frac{25}{56} \)
• d. \( \frac{30}{56} \)

Question 7

La parabole ci-dessous représente une fonction du second degré. Son équation est :

• a. \( y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 \)
• b. \( y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 2 \)
• c. \( y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 \)
• d. \( y = -\frac{1}{2}x^2 + 1.5x - 2 \)

Question 8

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant la loi binomiale \( \mathcal{B}(10; 0,4) \). L'espérance \( E(X) \) vaut :

• a. 2.4
• b. 4
• c. 6
• d. 10

Question 9

L'équation \( x^2 - (2m+1)x + m^2 = 0 \) admet une unique solution lorsque :

• a. \( m = \frac{1}{4} \)
• b. \( m = -\frac{1}{4} \)
• c. \( m = \frac{1}{2} \)
• d. \( m = -\frac{1}{2} \)

Question 10

La droite passant par A(1;2) et perpendiculaire à la droite d'équation \( 2x - 3y + 4 = 0 \) a pour équation :

• a. \( 3x + 2y - 7 = 0 \)
• b. \( 2x + 3y - 8 = 0 \)
• c. \( -3x + 2y - 1 = 0 \)
• d. \( 3x - 2y + 1 = 0 \)

Question 11

La fonction \( f(x) = e^{-x^2 + 4x} \) est croissante sur :

• a. \( ]-\infty; 2] \)
• b. \( [2; +\infty[ \)
• c. \( ]-\infty; 4] \)
• d. \( [0; 4] \)

Question 12

Dans un cercle trigonométrique, si \( \cos(\theta) = -\frac{3}{5} \) et \( \theta \in [\frac{\pi}{2}; \pi] \), alors \( \sin(2\theta) \) vaut :

• a. \( \frac{24}{25} \)
• b. \( -\frac{24}{25} \)
• c. \( \frac{12}{25} \)
• d. \( -\frac{12}{25} \)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(1;2), B(4;6), C(-2;5) et D(a;b).

1. a. Calculer les coordonnées du vecteur \( \vec{AB} \) et la distance AB.

   b. Déterminer une équation de la droite (AB).

2. a. Calculer \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \).

   b. En déduire la nature du triangle ABC.

3. On souhaite déterminer les coordonnées de D pour que ABCD soit un rectangle.

   a. Écrire deux conditions vectorielles traduisant cette situation.

   b. Résoudre le système obtenu et donner les coordonnées de D.

4. a. Déterminer l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC.

   b. Vérifier que le point D appartient à ce cercle.

Partie A : Étude de fonction

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1} \]

1. a. Calculer \( f'(x) \) et étudier son signe.

   b. Dresser le tableau de variations de \( f \).

2. a. Montrer que pour tout réel \( x \), \( f(x) = 1 - f(-x) \).

   b. En déduire que la courbe représentative de \( f \) admet un centre de symétrie.

3. a. Déterminer les limites de \( f \) en \( +\infty \) et \( -\infty \).

   b. Interpréter graphiquement ces résultats.

Partie B : Probabilités

Une entreprise produit des composants électroniques. La probabilité qu'un composant soit défectueux est 0,02. On prélève au hasard 50 composants (les tirages sont supposés indépendants).

1. a. Justifier que l'on peut modéliser cette situation par une loi binomiale.

   b. Calculer la probabilité qu'exactement 2 composants soient défectueux.

2. a. Calculer la probabilité qu'au moins 48 composants soient non défectueux.

   b. Calculer l'espérance du nombre de composants défectueux.

Barème indicatif :

• QCM : 0,5 point par question (6 points)
• Exercice 1 : 7 points
• Exercice 2 : 7 points