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Notion sur la dérivation.
La dérivation est un concept fondamental de l'analyse mathématique qui permet d'étudier les variations instantanées d'une fonction. Cette notion révolutionnaire, développée par Newton et Leibniz au XVIIe siècle, constitue l'un des piliers du calcul différentiel et intégral. Elle permet de comprendre comment une quantité change par rapport à une autre, offrant ainsi un outil puissant pour modéliser et analyser des phénomènes dynamiques.
Figure 1 : Passage de la sécante (pente moyenne) à la tangente (pente instantanée)
Géométriquement, la dérivée en un point représente la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point. Cette pente mesure la "raideur" de la courbe : une pente positive indique une fonction croissante, une pente négative une fonction décroissante, et une pente nulle correspond à un extremum local ou un point d'inflexion à tangente horizontale.
Mathématiquement, la dérivée est définie comme la limite du taux d'accroissement (ou taux de variation moyen) quand l'intervalle tend vers zéro. Cette limite permet de passer du concept de variation moyenne à celui de variation instantanée.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I. Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est défini par :
Si cette limite existe et est finie, on dit que f est dérivable en a. Le quotient \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) est appelé le taux d'accroissement de f entre a et a+h.
Note importante : Pour que f soit dérivable en a, il faut que les limites à droite et à gauche existent et soient égales :
Le nombre dérivé f'(a) représente le coefficient directeur (pente) de la tangente à la courbe représentative de f au point A(a, f(a)). Cette tangente est la droite qui "colle" le mieux à la courbe au voisinage du point A.
Cette équation peut aussi s'écrire sous la forme : \(y - f(a) = f'(a)(x - a)\), qui met en évidence le point de tangence et la pente.
Figure 2 : Tangente et visualisation de la pente f'(a)
Calculons la dérivée de \(f(x) = x^2\) en \(x = 3\) en utilisant la définition :
Donc f'(3) = 6. L'équation de la tangente au point (3, 9) est :
Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, on définit la fonction dérivée de f, notée f', qui à tout x ∈ I associe le nombre dérivé f'(x).
Notations équivalentes : f'(x), \(\frac{df}{dx}\), \(\frac{d}{dx}f(x)\), ou encore Df(x).
La fonction dérivée f' donne en chaque point la pente instantanée de la tangente à la courbe de f. L'étude du signe de f' permet de déterminer les variations de f : f est croissante là où f' > 0, décroissante là où f' < 0, et possède un extremum local là où f' = 0.
Figure 3 : Fonction f(x) = x² et sa dérivée f'(x) = 2x
Somme de fonctions :
\( (u+v)' = u' + v' \)
Différence de fonctions :
\( (u-v)' = u' - v' \)
Produit par une constante :
\( (ku)' = ku' \) où k ∈ ℝ
Ces règles traduisent la linéarité de l'opération de dérivation.
Produit de fonctions (règle de Leibniz) :
\( (uv)' = u'v + uv' \)
Quotient de fonctions :
\( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \) (v ≠ 0)
Composition de fonctions (règle de la chaîne) :
\( (g \circ u)' = (g' \circ u) \times u' \)
La règle de la chaîne est fondamentale pour dériver les fonctions composées.
Équation de la tangente :
Dérivée d'une puissance :
Règle de la chaîne :
Dérivée du produit :
Dérivée du quotient :
La dérivée permet d'étudier le sens de variation d'une fonction :
Exemple : Pour \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\), on a \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\).
f'(x) = 0 pour x = 0 et x = 2. Tableau de signes : f'(x) > 0 sur ]-∞,0[ ∪ ]2,+∞[ et f'(x) < 0 sur ]0,2[.
La dérivation permet de résoudre des problèmes d'optimisation :
Méthode : Chercher les points où f'(x) = 0, puis étudier le signe de f'(x) de part et d'autre.
Au voisinage d'un point a, on peut approximer f(x) par sa tangente :
Cette approximation est d'autant meilleure que x est proche de a.
En physique, si s(t) représente la position à l'instant t :
La dérivée seconde donne des informations sur la concavité de la courbe.
Maîtriser ce concept ouvre la voie à de nombreuses applications mathématiques et scientifiques
Ces exercices explorent la notion de nombre dérivé à travers différentes approches : la distinction entre opérations linéaires (somme, multiplication par une constante) et non-linéaires (produit, quotient, composition), le calcul algébrique du dérivé, ainsi que son interprétation graphique. Nous aborderons les ensembles de définition (\(D_f\)) et de dérivabilité (\(D_{f'}\)), tout en apprenant à déterminer graphiquement des nombres dérivés à partir de la représentation des tangentes et à relier l'information graphique à l'expression algébrique.
Objectif pédagogique :
Énoncé : Calculer \( f'(x) \) pour :
Domaine de définition (\( D_f \)) :
Ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) existe. On le détermine en analysant :
Domaine de dérivabilité (\( D_{f'} \)) :
Sous-ensemble de \( D_f \) où \( f \) admet une dérivée(ensemble des points dans le domaine de définition où la dérivée \(f'\) existe). Il peut être plus restrictif que \( D_f \) quand :
1. \( f(x) = 4x^3 -5x^2 + x -1 \) (Opérations purement linéaires)
► Analyse : Somme de monômes (dérivation terme à terme).
• \( D_f = \mathbb{R} \) (fonction polynomiale)
• \( D_{f'} = \mathbb{R} \) (la dérivée est aussi polynomiale)
► Calcul : Appliquons la linéarité de la dérivation :
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) - \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1) = 12x^2 - 10x + 1 \)
2. \( f(x) = 5x^3 -\frac{1}{x} + 3\sqrt{x} \) (Mélange d'opérations)
► Analyse :
- Terme 1 : \(5x^3\) (linéaire)
- Terme 2 : \(-\frac{1}{x} = -x^{-1}\) (puissance non-linéaire)
- Terme 3 : \(3\sqrt{x} = 3x^{1/2}\) (composition avec racine)
• \( D_f = ]0, +\infty[ \) (car \( \frac{1}{x} \) et \( \sqrt{x} \) exigent \( x > 0 \))
• \( D_{f'} = ]0, +\infty[ \) (la dérivée de \( \sqrt{x} \) n'existe pas en 0)
► Calcul : Dérivons chaque terme séparément :
\( f'(x) = 15x^2 + (-1)(-1)x^{-2} + 3 \times \frac{1}{2}x^{-1/2} = 15x^2 + \frac{1}{x^2} + \frac{3}{2\sqrt{x}} \)
3. \( f(x) = (x^2+1)(x^3-2x) \) (Produit de fonctions)
► Analyse : Application de la formule \((uv)' = u'v + uv'\).
• \( D_f = \mathbb{R} \) (produit de polynômes)
• \( D_{f'} = \mathbb{R} \)
► Calcul :
Posons \( u(x) = x^2+1 \) et \( v(x) = x^3-2x \), alors :
\( u'(x) = 2x \) et \( v'(x) = 3x^2 - 2 \)
\( f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x(x^3-2x) + (x^2+1)(3x^2-2) \)
Développons : \( 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2 = 5x^4 - 3x^2 - 2 \)
4. \( f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+2} \) (Quotient de fonctions)
► Analyse : Application de \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
• \( D_f = \mathbb{R} \) (car \(x^2+2 \geq 2 > 0\) pour tout \(x\))
• \( D_{f'} = \mathbb{R} \)
► Calcul :
Posons \( u(x) = x^2-1 \) et \( v(x) = x^2+2 \), alors :
\( u'(x) = 2x \) et \( v'(x) = 2x \)
\( f'(x) = \frac{2x(x^2+2) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{6x}{(x^2+2)^2} \)
7. \( f(x) = e^{x^2+2x+3} \) (Exponentielle composée)
► Analyse : Forme \( e^{u(x)} \) avec \( u(x) = x^2+2x+3 \).
On utilise \( (e^u)' = u'e^u \).
• \( D_f = \mathbb{R} \) (l'exponentielle est définie partout)
• \( D_{f'} = \mathbb{R} \)
► Calcul :
\( u'(x) = 2x + 2 \)
\( f'(x) = (2x+2)e^{x^2+2x+3} \)
9. \( f(x) = e^{ax^2+bx+c} \) (Cas général)
► Analyse : Même principe que la question 7, mais avec des coefficients généraux.
• \( D_f = \mathbb{R} \)
• \( D_{f'} = \mathbb{R} \)
► Calcul :
\( u(x) = ax^2+bx+c \) ⇒ \( u'(x) = 2ax + b \)
\( f'(x) = (2ax + b)e^{ax^2+bx+c} \)
Objectifs pédagogiques :
Énoncé :
Partie A - Calcul algébrique
Pour chaque fonction, calculer le nombre dérivé en \( x = a \) à l'aide de la définition :
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]
Partie B - Application géométrique
Soit \( f \) définie par \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). On note \( \mathcal{C}_f \) sa courbe représentative.
Partie A - Calcul algébrique
1. \( f(x) = 3x - 2 \) en \( a = 1 \)
► Taux d'accroissement :
\( \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{[3(1+h)-2] - [3×1-2]}{h} = \frac{3h}{h} = 3 \)
► Limite quand \( h \to 0 \) : \( f'(1) = \boxed{3} \)
2. \( f(x) = x^2 \) en \( a = 2 \)
► Taux d'accroissement :
\( \frac{(2+h)^2 - 2^2}{h} = \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \)
► Limite quand \( h \to 0 \) : \( f'(2) = \boxed{4} \)
3. \( f(x) = \frac{1}{x} \) en \( a = -1 \)
► Taux d'accroissement :
\( \frac{\frac{1}{-1+h} - \frac{1}{-1}}{h} = \frac{\frac{-1-(-1+h)}{(-1+h)(-1)}}{h} = \frac{\frac{-h}{1-h}}{h} = \frac{-1}{1-h} \)
► Limite quand \( h \to 0 \) : \( f'(-1) = \boxed{-1} \)
Partie B - Application géométrique
4. Calcul de \( f'(2) \)
Méthode 1 (par définition) :
\( \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{[(2+h)^2 -4(2+h) +3] - [-1]}{h} = \frac{4 + 4h + h^2 -8 -4h +3 +1}{h} = \frac{h^2}{h} = h \)
\( f'(2) = \lim_{h \to 0} h = \boxed{0} \)
Méthode 2 (dérivée générale) :
\( f'(x) = 2x -4 \) donc \( f'(2) = 0 \)
5. Équation de la tangente
Point de contact : \( (2, f(2)) = (2, -1) \)
Coefficient directeur : \( f'(2) = 0 \)
Équation : \( y = 0×(x-2) -1 \) soit \( \boxed{y = -1} \) (tangente horizontale)
6. Représentation graphique
• \( \mathcal{C}_f \) est une parabole tournée vers le haut (car coefficient de \( x^2 > 0 \))
• Sommet en \( x = -\frac{b}{2a} = 2 \) (coïncide avec notre point)
• La tangente en \( x=2 \) est horizontale et passe par le minimum de la parabole
Objectifs pédagogiques :
Énoncé :
Voici la représentation graphique d'une fonction \( f \) et de ses tangentes aux points \( A(0;1) \) et \( B(1;1) \) :
1. Détermination graphique des nombres dérivés
► \( f'(0) \) : Coefficient directeur de \( T_A \)
La tangente \( T_A \) passe par les points \( (0,1) \) et \( (1,2) \)
\( f'(0) = \frac{2-1}{1-0} = \boxed{1} \)
► \( f'(1) \) : Coefficient directeur de \( T_B \)
La tangente \( T_B \) est horizontale (y=1), donc son coefficient directeur est nul
\( f'(1) = \boxed{0} \)
2. Équations des tangentes
► Tangente \( T_A \) en \( A(0,1) \) :
Équation : \( y = f'(0)(x-0) + f(0) \) ⇒ \( y = 1×x + 1 \)
\( \boxed{T_A : y = x + 1} \)
► Tangente \( T_B \) en \( B(1,1) \) :
Équation : \( y = f'(1)(x-1) + f(1) \) ⇒ \( y = 0×(x-1) + 1 \)
Simplifiée : \( \boxed{T_B : y = 1} \) (tangente horizontale)
3. Expression de \( f(x) \)
On cherche \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) avec :
Résolution :
Du système \( \begin{cases} a + b = 0 \\ 3a + 2b = -1 \end{cases} \), on trouve \( a = -1 \), \( b = 1 \).
Solution : \( \boxed{f(x) = -x^3 + x^2 + x + 1} \)
4. Vérification par le calcul
Dérivée : \( f'(x) = -3x^2 + 2x + 1 \)
• \( f'(0) = 1 \) ✔
• \( f'(1) = -3 + 2 + 1 = 0 \) ✔
Objectifs pédagogiques :
Énoncé :
Soit \( h \) un nombre réel non nul. Le taux de variation entre \( 4 \) et \( 4 + h \) d'une fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) est \( 2 + h \).
1. La fonction \( f \) est-elle dérivable en \( 4 \) ?
2. Si oui, quel est son nombre dérivé en \( 4 \) ?
1. Dérivabilité en 4
Par définition, le nombre dérivé de \( f \) en \( 4 \) est :
\( f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{f(4+h) - f(4)}{h} \)
L'énoncé nous donne directement le taux de variation :
\( \frac{f(4+h) - f(4)}{h} = 2 + h \)
Calculons la limite quand \( h \) tend vers 0 :
\( \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2 \)
La limite existe et est finie, donc \( f \) est dérivable en \( 4 \).
2. Calcul du nombre dérivé
D'après le calcul précédent :
\( f'(4) = \lim_{h \to 0} (2 + h) = \boxed{2} \)
Le nombre dérivé de \( f \) en \( 4 \) vaut donc 2.
Objectifs pédagogiques :
Énoncé :
Soit \( f \) la fonction définie sur \( ]-1 ; +\infty[ \) par :
\[ f(x) = -\frac{1}{x+1} \]
et soit \( \mathcal{C} \) sa courbe représentative dans un repère \( (O;I,J) \).
1. Dérivabilité en 0 et calcul de \( f'(0) \)
Calculons le taux d'accroissement en \( 0 \) :
\[ \begin{align*} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} &= \frac{-\frac{1}{h+1} - (-1)}{h} \\ &= \frac{-\frac{1}{h+1} + 1}{h} \\ &= \frac{\frac{-1 + (h+1)}{h+1}}{h} \\ &= \frac{\frac{h}{h+1}}{h} \\ &= \frac{1}{h+1} \end{align*} \]
Calculons maintenant la limite quand \( h \) tend vers 0 :
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h+1} = 1 \]
La limite existe et est finie, donc \( f \) est dérivable en 0 et \( f'(0) = \boxed{1} \).
2. Tracé de la courbe et de sa tangente
► Équation de la tangente :
Au point d'abscisse 0, on a :
- \( f(0) = -1 \)
- \( f'(0) = 1 \)
L'équation est donc :
\[ y = 1 \cdot (x - 0) - 1 \quad\text{soit}\quad \boxed{y = x - 1} \]
► Représentation graphique :
Caractéristiques à faire apparaître :
• La courbe 𝒞 est une hyperbole avec asymptote verticale en x = -1
• La tangente passe par (0,-1) avec coefficient directeur 1
• Contact visuel entre la courbe et la tangente au voisinage de x = 0
Soit \( f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \). Calculez \( f'(x) \).
Soit \( f(x) = e^x \cdot \cos(x) \). Calculez \( f'(x) \).
Soit \( f(x) = \frac{\sin(x)}{e^x} \). Calculez \( f'(x) \).
Soit \( f(x) = e^{x^2} \). Calculez \( f'(x) \).
Soit \( f(x) = \cos(x) \cdot \sin(x) \). Calculez \( f'(x) \).
La distance (en mètres) parcourue par une voiture après \( t \) secondes est donnée par la fonction \( s(t) = 5t^2 + 2t \). Quelle est la vitesse instantanée de la voiture à l'instant \( t = 4 \) ?
La population d’une ville (en milliers) est modélisée par \( P(t) = 50e^{0.03t} \), où \( t \) est exprimé en années depuis 2020. Quelle est la croissance instantanée de la population en 2025 ?
La température d’un four (en °C) est donnée par \( T(t) = 100 - 20e^{-0.5t} \) où \( t \) est le temps en heures. À quelle vitesse la température augmente-t-elle après 2 heures ?
Le volume d'eau (en litres) dans un réservoir est donné par \( V(t) = 200\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) \), avec \( t \) en heures. Quelle est la variation du volume au bout de 3 heures ?
Un investisseur place une somme dans un compte dont la valeur (en euros) suit \( V(t) = 1000e^{0.06t} \). Quel est le taux de croissance instantané de la somme au bout de 10 ans ?
Éducation
(k)' = 0
(x)' = 1
(xn)' = n·xn-1
(eu(x))' = u'(x)ex
(u + v)' = u' + v'
(k·u)' = k·u'
(u·v)' = u'·v + u·v'
(u/v)' = (u'·v - u·v')/v²
f'(x) = u'(v(x)) × v'(x)
