La fonction exponentielle est définie par \( f(x) = e^x \) où \( e \approx 2.71828 \) est la base naturelle des logarithmes. C'est la seule fonction égale à sa propre dérivée.
Exercice 1: Étude de la fonction exponentielle (★ ★ ★ ☆ ☆)
Soit la fonction \( f(x) = e^x \).
1. Calculer la dérivée \( f'(x) \)
2. Déterminer les variations de \( f \)
3. Dresser le tableau de variations complet
Dérivée :
\[ f'(x) = e^x \]
Variation : \( f'(x) > 0 \) sur \( \mathbb{R} \) ⇒ \( f \) est strictement croissante.
Tableau de variations :
\[
\begin{array}{c|cc}
x & -\infty & +\infty \\
\hline
f'(x) & + & \\
\hline
f(x) & 0 & +\infty \\
\end{array}
\]
La fonction n'a pas d'extremum.
Exercice 2: Fonction exponentielle et logarithme (★ ★ ★ ★ ☆)
Soit \( g(x) = e^{2x} \).
1. Calculer \( g'(x) \)
2. Déterminer les variations de \( g \)
3. Trouver les points d'inflexion
Dérivée :
\[ g'(x) = 2e^{2x} \]
Variation : \( g'(x) > 0 \) sur \( \mathbb{R} \) ⇒ \( g \) est strictement croissante.
Pas de points d'inflexion, car \( g''(x) = 4e^{2x} > 0 \).
Exercice 3: Étude de proportions (★ ★ ★ ★ ★)
Soit \( h(x) = e^{-x} \).
1. Calculer \( h'(x) \)
2. Déterminer le sens de variation de \( h \)
3. Trouver le maximum global
Dérivée :
\[ h'(x) = -e^{-x} \]
Variation : \( h'(x) < 0 \) sur \( \mathbb{R} \) ⇒ \( h \) est décroissante.
Maximum global en \( (0, 1) \) car \( h(0) = 1 \) et tend vers \( 0 \) quand \( x \to +\infty \).
Exercice 4: Problème de croissance (★ ★ ★ ★ ★)
Un modèle de population est donné par \( P(t) = P_0 e^{rt} \), où \( P_0 \) est la population initiale et \( r \) le taux de croissance.
1. Déterminer la dérivée de \( P(t) \)
2. Interpréter le signe de \( P'(t) \)
3. Trouver la population à \( t = 5 \) si \( P_0 = 100 \) et \( r = 0.03 \)
Dérivée :
\[ P'(t) = P_0 r e^{rt} \]
Signe : \( P'(t) > 0 \) pour \( r > 0 \) ⇒ la population croît.
Calcul à \( t = 5 \) :
\[ P(5) = 100 e^{0.15} \approx 100 \cdot 1.1618 \approx 116.18 \]
Exercice 5: Application de la fonction exponentielle (★ ★ ★ ★ ★)
Soit \( k(x) = 2e^{x/2} \).
1. Calculer \( k'(x) \)
2. Étudier les variations de \( k \)
3. Déterminer les limites de \( k(x) \) lorsque \( x \to -\infty \) et \( x \to +\infty \)
Dérivée :
\[ k'(x) = e^{x/2} \]
Variation : \( k'(x) > 0 \) sur \( \mathbb{R} \) ⇒ \( k \) est strictement croissante.
Exercice 6: Fonction exponentielle et taux de croissance (★ ★ ★ ★ ☆)
Un bactériologiste étudie une culture de bactéries qui double toutes les heures. La population initiale est de 500 bactéries.
1. Exprimer la population \( P(t) \) après \( t \) heures en utilisant la fonction exponentielle.
2. Déterminer la population après 5 heures.
3. À quel moment la population atteindra-t-elle 8000 bactéries ?
La population suit le modèle :
[ P(t) = 500 \cdot 2^t ]
En utilisant la fonction exponentielle, on écrit :
[ P(t) = 500 e^{\ln(2) t} ]
Pour atteindre 8000 bactéries :
[ 8000 = 500 \cdot 2^t \Rightarrow 16 = 2^t \Rightarrow t = 4 ]
Donc, la population atteindra 8000 bactéries après 4 heures.
Exercice 7: Étude de la fonction exponentielle (★ ★ ★ ☆ ☆)
Soit la fonction \( f(x) = e^{2x} \).
1. Calculer \( f'(x) \).
2. Déterminer les variations de \( f \).
3. Trouver les limites de \( f(x) \) lorsque \( x \to -\infty \) et \( x \to +\infty \).
Dérivée :
[ f'(x) = 2e^{2x} ]
Variation :
\( f'(x) > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \) ⇒ \( f \) est strictement croissante.
Cela signifie que la fonction tend vers 0 lorsque \( x \) devient très négatif et croît sans borne lorsque \( x \) augmente.
Exercice 8: Problème de décroissance (★ ★ ★ ★ ★)
Un médicament dans le sang suit un modèle de décroissance exponentielle. La concentration initiale est de 100 mg/L et diminue de moitié toutes les 4 heures.
1. Exprimer la concentration \( C(t) \) après \( t \) heures.
2. Déterminer la concentration après 12 heures.
3. Quand la concentration sera-t-elle inférieure à 10 mg/L ?
La concentration suit le modèle :
[ C(t) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4} ]
En utilisant la fonction exponentielle, on écrit :
[ C(t) = 100 e^{-\frac{t}{4 \ln(2)}} ]
Pour \( C(t) < 10 \):
[ 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4} < 10 \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4} < 0.1 \Rightarrow t > 13.32 ]
Donc, après environ 13.32 heures, la concentration sera inférieure à 10 mg/L.
Un pays a une population de 1 million d'habitants, et cette population croît à un taux de 2 % par an.
1. Écrire l'équation de la population \( P(t) \) après \( t \) années.
2. Quelle sera la population après 10 ans ?
3. À quel moment la population atteindra-t-elle 2 millions ?
Équation :
[ P(t) = 1000000 \cdot e^{0.02t} ]
Calcul pour \( t = 10 \):
[ P(10) = 1000000 \cdot e^{0.2} \approx 1000000 \cdot 1.2214 \approx 1221400 ]
Pour atteindre 2 millions :
[ 2000000 = 1000000 \cdot e^{0.02t} \Rightarrow 2 = e^{0.02t} \Rightarrow 0.02t = \ln(2) \Rightarrow t \approx 34.66 ]
Donc, la population atteindra 2 millions après environ 34.66 ans.
Exercice 10: Fonction exponentielle et limite (★ ★ ★ ★ ★)
Étudiez la limite de la fonction \( f(x) = e^{x} \) lorsque \( x \to -\infty \) et \( x \to +\infty \).
1. Déterminer les limites.
2. Interpréter les résultats dans le contexte de la croissance exponentielle.
Interprétation : Lorsque \( x \) tend vers \( -\infty \), la fonction exponentielle tend vers 0, indiquant que la croissance est négligeable. En revanche, lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), la fonction croît sans borne, illustrant le pouvoir de la croissance exponentielle.
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