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Faire le point sur la géometrie repérée
Dans le plan cartésien, toute droite peut être représentée par une équation cartésienne de la forme générale :
Cette représentation est fondamentale car elle permet de caractériser complètement une droite et d'en extraire ses propriétés géométriques essentielles. Les coefficients \( a \), \( b \) et \( c \) ne sont pas quelconques : ils déterminent respectivement l'orientation et la position de la droite dans le plan.
Le vecteur normal à la droite d'équation \( ax + by + c = 0 \) est défini par :
Ce vecteur est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite. Il indique la direction perpendiculaire à la droite et joue un rôle crucial dans de nombreuses applications géométriques comme le calcul de distances, les projections orthogonales, et la détermination d'équations de droites perpendiculaires.
Si \( \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \) est un vecteur directeur de la droite, alors la condition d'orthogonalité s'exprime par :
Cette relation d'orthogonalité est la clé de voûte de nombreuses constructions géométriques. Elle permet notamment de passer facilement d'un vecteur directeur à un vecteur normal et vice versa.
Considérons la droite \( \mathcal{D}: 2x - 3y + 6 = 0 \).
Vecteur normal : \( \vec{n} = \begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix} \)
Vecteur directeur : \( \vec{u} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} \)
Vérification de l'orthogonalité :
Cette vérification confirme que les deux vecteurs sont bien orthogonaux.
Un cercle \( \mathcal{C} \) est défini géométriquement comme l'ensemble de tous les points \( M(x,y) \) du plan qui sont équidistants d'un point fixe \( \Omega(h,k) \) appelé centre du cercle. Cette distance constante est appelée le rayon du cercle.
L'équation canonique d'un cercle de centre \( \Omega(h,k) \) et de rayon \( r > 0 \) est :
Cette forme met directement en évidence les paramètres géométriques du cercle. Dans le cas particulier où le centre coïncide avec l'origine du repère, l'équation se simplifie en :
Cette équation découle directement de la définition géométrique : la distance entre un point \( M(x,y) \) et le centre \( \Omega(h,k) \) est donnée par \( \sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} \), et cette distance doit être égale au rayon \( r \).
En développant la forme canonique, on obtient l'équation générale :
où les coefficients sont reliés aux paramètres du cercle par :
\( D = -2h \) (coefficient de \( x \))
\( E = -2k \) (coefficient de \( y \))
\( F = h^2 + k^2 - r^2 \) (terme constant)
Condition d'existence : L'équation \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) représente effectivement un cercle si et seulement si :
Dans ce cas, les caractéristiques du cercle sont :
Centre : \( \Omega\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) \)
Rayon : \( r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F} \)
Si \( \Delta = 0 \), l'équation représente un point (cercle de rayon nul). Si \( \Delta < 0 \), l'équation n'a pas de solution réelle (ensemble vide).
Soit l'équation : \( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \)
Étape 1 : Identification des coefficients
Étape 2 : Vérification de la condition d'existence
✓ L'équation représente bien un cercle.
Étape 3 : Calcul du centre
Étape 4 : Calcul du rayon
Problème : Trouver l'équation d'une droite passant par un point donné et ayant un vecteur normal donné.
Données : Point \( A(x_0,y_0) \) et vecteur normal \( \vec{n} = \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} \).
Méthode : Tout point \( M(x,y) \) de la droite vérifie la condition que le vecteur \( \overrightarrow{AM} \) est orthogonal au vecteur normal \( \vec{n} \). Cela se traduit par :
Comme \( \overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}x - x_0 \\ y - y_0\end{pmatrix} \), l'équation devient :
En développant, on obtient l'équation sous forme générale :
Problème : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite.
Données : Point \( M(x_M,y_M) \) et droite \( \mathcal{D}: ax + by + c = 0 \).
Principe : Le projeté orthogonal \( H \) de \( M \) sur \( \mathcal{D} \) est le point de \( \mathcal{D} \) tel que \( \overrightarrow{MH} \) soit parallèle au vecteur normal \( \vec{n} = \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} \).
Formules du projeté : Les coordonnées de \( H(x_H, y_H) \) sont données par :
Remarque importante : Le terme \( \frac{ax_M + by_M + c}{a^2 + b^2} \) représente la distance algébrique de \( M \) à la droite, divisée par la norme du vecteur normal.
Problème : Calculer la distance entre un point et une droite.
Formule fondamentale : La distance du point \( M(x_M, y_M) \) à la droite \( \mathcal{D}: ax + by + c = 0 \) est :
Cette formule découle directement de la projection orthogonale : la distance est la norme du vecteur \( \overrightarrow{MH} \), où \( H \) est le projeté orthogonal de \( M \) sur \( \mathcal{D} \).
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, ou de manière équivalente, si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Condition : Les droites \( \mathcal{D}_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) et \( \mathcal{D}_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) sont perpendiculaires si et seulement si :
La tangente à un cercle en un point donné est perpendiculaire au rayon passant par ce point.
Méthode : Pour un cercle \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) et un point \( A(x_0, y_0) \) sur le cercle, la tangente en \( A \) a pour équation :
Cette équation peut être simplifiée en :
Cercle passant par trois points : Étant donnés trois points non alignés \( A \), \( B \), et \( C \), il existe un unique cercle passant par ces trois points.
Méthode : On pose l'équation générale \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) et on résout le système de trois équations obtenu en substituant les coordonnées des trois points.
L'intersection d'une droite et d'un cercle peut donner lieu à trois cas :
Critère : Si \( d \) est la distance du centre du cercle à la droite et \( r \) le rayon :
• \( d < r \) : deux points d'intersection
• \( d = r \) : tangence (un point)
• \( d > r \) : pas d'intersection
Vecteur normal : \( \vec{n} = (a, b) \) pour \( ax + by + c = 0 \)
Cercle : \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \)
Distance : \( d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
Condition cercle : \( D^2 + E^2 - 4F > 0 \)
Perpendicularité : \( a_1a_2 + b_1b_2 = 0 \)
Soit la droite d'équation \( 3x - 4y + 12 = 0 \). Calculez le vecteur normal à cette droite.
Considérons un cercle de centre \( O(2, -3) \) et de rayon 5. Écrivez l'équation de ce cercle.
Soit la droite d'équation \( y = 2x + 1 \). Déterminez si le point \( A(3, 7) \) est situé sur cette droite.
On considère le cercle d'équation \( x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0 \). Trouvez le centre et le rayon de ce cercle.
Déterminez l'équation de la droite passant par les points \( A(1, 2) \) et \( B(4, 6) \).
Soit la droite d'équation \( 2x + 5y - 10 = 0 \). Déterminez un vecteur normal à cette droite et vérifiez votre réponse en montrant qu'il est perpendiculaire à un vecteur directeur de la droite.
Déterminez l'équation cartésienne de la droite passant par le point \( A(3, -2) \) et admettant \( \vec{n} = (1, -4) \) comme vecteur normal.
Soit le point \( M(4, 1) \) et la droite \( (d) : x - 2y + 3 = 0 \). Déterminez les coordonnées du projeté orthogonal \( H \) de \( M \) sur la droite \( (d) \). Calculez également la distance de \( M \) à la droite.
L'équation \( x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0 \) représente-t-elle un cercle ? Si oui, déterminez son centre et son rayon.
Un cercle passe par les points \( A(1, 0) \), \( B(0, 1) \) et \( C(-1, 0) \). Déterminez l'équation de ce cercle sous forme canonique, puis vérifiez que le point \( D(0, -1) \) appartient également à ce cercle.
Contexte architectural : Un architecte dessine les plans d'un bâtiment sur un repère orthonormé où l'unité correspond à 1 mètre. Il souhaite tracer un mur rectiligne qui suit l'équation \( 3x + 4y - 24 = 0 \). Pour des raisons de sécurité, il doit installer un système d'éclairage perpendiculaire à ce mur.
Questions :
a) Déterminez un vecteur normal au mur.
b) Si le système d'éclairage part du point \( A(4, 3) \) situé sur le mur, donnez l'équation de la droite supportant ce système d'éclairage.
c) Vérifiez que le point A appartient bien au mur.
Contexte géographique : Une station météorologique surveille une zone circulaire autour de sa position. Dans un système de coordonnées où l'unité représente 1 km, la station est située au point \( S(-2, 5) \) et sa portée de surveillance s'étend sur un rayon de 8 km.
Un avion se déplace en ligne droite selon la trajectoire d'équation \( x + 2y - 11 = 0 \). Le pilote souhaite savoir s'il va traverser la zone de surveillance et, si oui, à quelle distance minimale de la station il va passer.
Questions :
a) Écrivez l'équation du cercle représentant la zone de surveillance.
b) Calculez la distance minimale entre la station et la trajectoire de l'avion.
c) L'avion traverse-t-il la zone de surveillance ? Justifiez.
Contexte sportif : Sur un terrain de football américain représenté dans un repère orthonormé (unité : 1 yard), un joueur se trouve au point \( J(15, 25) \). Il veut lancer le ballon perpendiculairement à la ligne de touche représentée par la droite d'équation \( 2x - 3y + 18 = 0 \).
Pour analyser la stratégie, l'entraîneur veut connaître précisément où le ballon va toucher la ligne de touche, ainsi que la distance que le ballon va parcourir.
Questions :
a) Déterminez les coordonnées du point \( T \) où le ballon va toucher la ligne de touche.
b) Calculez la distance \( JT \) que le ballon va parcourir.
c) Écrivez l'équation cartésienne de la trajectoire du ballon.
d) Si le ballon doit parcourir au moins 10 yards pour être valide, ce lancer est-il réglementaire ?
Contexte technologique : Une entreprise de télécommunications installe une antenne-relais dont la portée de transmission forme un cercle parfait. Les ingénieurs ont collecté les données suivantes : l'antenne émet un signal qui atteint les points \( A(2, 1) \), \( B(-1, 4) \) et \( C(5, 2) \) situés exactement à la limite de sa portée.
L'entreprise veut installer une seconde antenne au point \( D(3, -2) \) et souhaite savoir si cette position sera couverte par la première antenne. De plus, elle veut connaître l'équation de la zone de couverture pour optimiser l'implantation du réseau.
Questions :
a) Déterminez l'équation du cercle représentant la zone de couverture de l'antenne.
b) Identifiez le centre et le rayon de cette zone de couverture.
c) Le point \( D(3, -2) \) est-il dans la zone de couverture ? Justifiez votre réponse.
d) Calculez la distance entre le centre de la zone et le point D.
Contexte industriel : Une usine chimique dispose d'un système de sécurité qui surveille les fuites de gaz toxiques. Le détecteur principal est situé au point \( P(4, 6) \) et peut détecter des fuites dans un rayon de 12 mètres. Une canalisation rectiligne de gaz suit l'équation \( 3x + 4y - 36 = 0 \).
Les ingénieurs de sécurité veulent installer un second détecteur sur cette canalisation, au point le plus proche du détecteur principal, pour maximiser la couverture. Ils veulent aussi s'assurer que cette canalisation passe bien dans la zone de surveillance du détecteur principal.
Questions :
a) Déterminez les coordonnées du point \( Q \) sur la canalisation le plus proche du détecteur principal.
b) Calculez la distance \( PQ \).
c) La canalisation passe-t-elle dans la zone de surveillance du détecteur principal ?
d) Écrivez l'équation du cercle représentant la zone de surveillance.
e) Si on place le second détecteur en Q avec un rayon de surveillance de 8 mètres, les deux zones de surveillance se chevauchent-elles ?
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