Cours

📔 Calcul vectoriel et produit scalaire

Exploration des calculs vectoriels et produits scalaires

1. Produit scalaire : Définition et interprétation

📐 Définition analytique (algébrique)

$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i $

En 2D : $ \vec{u}(x_1,y_1) \cdot \vec{v}(x_2,y_2) = x_1x_2 + y_1y_2 $
En 3D : $ \vec{u}(x_1,y_1,z_1) \cdot \vec{v}(x_2,y_2,z_2) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 $

📏 Définition géométrique

$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) $

où θ = angle entre les vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $
avec $ 0 \leq \theta \leq \pi $

🔍 Exemple détaillé :

Données :
$ \vec{u}(3,4) $
$ \vec{v}(5,-2) $
$ \|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $
$ \|\vec{v}\| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{29} $
$ \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} $

Calculs :
Méthode analytique :
$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 5 + 4 \times (-2) = 15 - 8 = 7 $

Méthode géométrique :
$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times \sqrt{29} \times \cos\theta = 7 $
donc $ \cos\theta = \frac{7}{5\sqrt{29}} \approx 0.26 $

2. Interprétation géométrique et cas particuliers

🔷 Vecteurs colinéaires

Cas 1 : $ \vec{u} = k\vec{v} $ avec $ k > 0 $ (même sens)

→ $ \theta = 0 $, $ \cos\theta = 1 $

→ $ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\| $ (maximum)

Cas 2 : $ \vec{u} = k\vec{v} $ avec $ k < 0 $ (sens opposé)

→ $ \theta = \pi $, $ \cos\theta = -1 $

→ $ \vec{u} \cdot \vec{v} = -\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| $ (minimum)

🔶 Vecteurs orthogonaux

$ \vec{u} \perp \vec{v} $ ⟺ $ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $

→ $ \theta = \frac{\pi}{2} $, $ \cos\theta = 0 $

Les vecteurs forment un angle droit

Test d'orthogonalité :
$ \vec{a}(3,4) $ et $ \vec{b}(-4,3) $
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0 $
→ Les vecteurs sont orthogonaux !

3. Propriétés algébriques fondamentales

1. Commutativité
$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} $
L'ordre n'a pas d'importance

2. Distributivité
$ \vec{u} \cdot (\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w} $
Distributif sur l'addition

3. Homogénéité
$ (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (k\vec{v}) $
Factorisation des scalaires

4. Forme quadratique
$ \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \geq 0 $
Égalité ssi $ \vec{u} = \vec{0} $

🧮 Identités remarquables vectorielles :

$ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 $

$ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 $

4. Applications géométriques avancées

📐 Calcul d'angles

Angle entre deux vecteurs :

$ \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} $

Puis $ \theta = \arccos\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\right) $

Exemple :
$ \vec{u}(1,0) $ et $ \vec{v}(1,1) $
$ \cos\theta = \frac{1 \times 1 + 0 \times 1}{1 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $
$ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} = 45° $

📏 Projection orthogonale

Projection du vecteur $ \vec{u} $ sur $ \vec{v} $ :

$ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} $

Longueur de la projection : $ \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{\|\vec{v}\|} $

Exemple :
$ \vec{u}(3,4) $ sur $ \vec{v}(1,0) $
$ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{3 \times 1 + 4 \times 0}{1^2 + 0^2} (1,0) = 3(1,0) = (3,0) $

🎯 Applications pratiques supplémentaires :

Distance point-droite
Utilise la projection orthogonale

Théorème de Pythagore
$ \|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 $ si $ \vec{u} \perp \vec{v} $

Loi des cosinus
$ \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} $

5. Méthodes de résolution et stratégies

💡 Guide méthodologique :

Étape 1 : Identification

Coordonnées des vecteurs
Type de problème (angle, orthogonalité, projection...)
Données disponibles

Étape 2 : Choix de méthode

Analytique si coordonnées connues
Géométrique si normes et angles donnés
Propriétés algébriques pour simplifier

Étape 3 : Vérification

Cohérence des résultats
Vérification par méthode alternative
Sens physique/géométrique

⚠️ Erreurs fréquentes à éviter :

❌ Erreurs courantes

Confondre produit scalaire et produit vectoriel
Oublier la valeur absolue pour les distances
Mélanger les formules 2D et 3D
Négliger le domaine de l'arccosinus

✅ Bonnes pratiques

Toujours vérifier $ -1 \leq \cos\theta \leq 1 $
Utiliser les propriétés pour simplifier
Dessiner un schéma quand c'est possible
Vérifier la cohérence dimensionnelle

💡 Astuce de visualisation
Le produit scalaire mesure "à quel point deux vecteurs pointent dans la même direction".
Positif : directions plutôt alignées (angle aigu)
Négatif : directions plutôt opposées (angle obtus)
Nul : directions perpendiculaires (angle droit)

🔬 Simulateur Interactif de Calcul Vectoriel

Vecteur A

x: 3

y: 2

Vecteur B

x: 1

y: 4

📐 Produit Scalaire

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y$$

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos(\theta)$$

A·B = 11.00

3×1 + 2×4 = 11

Angle: 45.0°

Non orthogonaux

🔄 Produit Vectoriel

$$\vec{A} \times \vec{B} = A_x \cdot B_y - A_y \cdot B_x$$

$$|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \sin(\theta)$$

A×B = 10.00

3×4 - 2×1 = 10

Aire parallélogramme: 10.0

Non parallèles

📊 Propriétés des Vecteurs

Vecteur A

Composantes: (3.0, 2.0)
Norme: 3.61
Angle: 33.7°

Vecteur B

Composantes: (1.0, 4.0)
Norme: 4.12
Angle: 76.0°

Projection

Proj A sur B: 2.67
Proj B sur A: 3.05
Composante: (0.6, 2.4)

Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆

Soit les vecteurs $ \vec{u} = (2, 3) $ et $ \vec{v} = (1, -4) $. Calculez le produit scalaire $ \vec{u} \cdot \vec{v} $.

Pour calculer le produit scalaire :

Utiliser la formule : $ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-4) $.
Calculer : $ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 12 = -10 $.

Ainsi, le produit scalaire $ \vec{u} \cdot \vec{v} $ est -10.

Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆

Déterminez si les vecteurs $ \vec{a} = (4, 1) $ et $ \vec{b} = (2, 8) $ sont orthogonaux.

Pour déterminer l'orthogonalité :

Calculer le produit scalaire : $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 + 1 \cdot 8 = 8 + 8 = 16 $.
Interpréter : Puisque $ \vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0 $, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

Ainsi, les vecteurs $ \vec{a} $ et $ \vec{b} $ ne sont pas orthogonaux.

Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★

Soit les vecteurs $ \vec{u} = (3, 4) $ et $ \vec{v} = (0, 0) $. Que pouvez-vous dire sur ces vecteurs ?

Pour analyser les vecteurs :

Calculer le produit scalaire : $ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0 $.
Interpréter : Puisque $ \vec{v} $ est le vecteur nul, $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ ne peuvent pas être orthogonaux ni colinéaires.

Ainsi, $ \vec{v} $ est le vecteur nul.

Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆

Montrez que les vecteurs $ \vec{p} = (1, 2) $ et $ \vec{q} = (-2, 1) $ sont colinéaires.

Pour vérifier la colinéarité :

Calculer le produit scalaire : $ \vec{p} \cdot \vec{q} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0 $.
Interpréter : Le produit scalaire étant nul, cela signifie que les vecteurs sont orthogonaux, mais non colinéaires.

Ainsi, $ \vec{p} $ et $ \vec{q} $ ne sont pas colinéaires.

Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ★

Deux vecteurs $ \vec{a} = (1, 3) $ et $ \vec{b} = (4, -2) $ forment un angle. Calculez cet angle en utilisant le produit scalaire.

Pour calculer l'angle $ \theta $ :

Calculer le produit scalaire : $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 4 - 6 = -2 $.
Calculer les normes : $ \|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} $ et $ \|\vec{b}\| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} $.
Utiliser la formule du produit scalaire : $ -2 = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos(\theta) \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}} $.
Calculer l'angle : $ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-2}{\sqrt{200}}\right) \approx 120^\circ $.

Ainsi, l'angle formé par $ \vec{a} $ et $ \vec{b} $ est d'environ 120°.

Exercice 6: ★ ★ ★ ★ ★

Un architecte planifie une maison et doit vérifier si deux murs, représentés par les vecteurs $ \vec{u} = (3, 4) $ et $ \vec{v} = (-4, 3) $, sont orthogonaux. Calculez leur produit scalaire et déterminez si les murs sont perpendiculaires.

Pour vérifier l'orthogonalité :

Calculer le produit scalaire : $ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0 $.
Interpréter : Puisque $ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $, cela signifie que les murs sont orthogonaux.

Ainsi, les murs sont perpendiculaires.

Exercice 7: ★ ★ ★ ★ ☆

Un avion vole dans une direction donnée par le vecteur $ \vec{a} = (300, 400) $ km/h. Le vent souffle dans la direction du vecteur $ \vec{b} = (100, 0) $ km/h. Quelle est la composante de la vitesse de l'avion dans la direction du vent ?

Pour trouver la composante :

Calculer le produit scalaire : $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 300 \cdot 100 + 400 \cdot 0 = 30000 $.
Calculer la norme de $ \vec{b} $ : $ \|\vec{b}\| = \sqrt{100^2 + 0^2} = 100 $.
Calculer la composante : La composante de la vitesse de l'avion dans la direction du vent est donnée par : $ \text{Composante} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|} = \frac{30000}{100} = 300 $ km/h.

Ainsi, la composante de la vitesse de l'avion dans la direction du vent est 300 km/h.

Exercice 8: ★ ★ ★ ★ ★

Un joueur de basketball tire vers le panier à un angle de $ 45^\circ $ avec une vitesse initiale de $ \vec{v} = (10, 10) $ m/s. Si la direction du panier est donnée par le vecteur $ \vec{p} = (5, 5) $, déterminez si le tir est bien dirigé vers le panier en vérifiant l'orthogonalité.

Pour vérifier l'orthogonalité :

Calculer le produit scalaire : $ \vec{v} \cdot \vec{p} = 10 \cdot 5 + 10 \cdot 5 = 50 + 50 = 100 $.
Interpréter : Puisque $ \vec{v} \cdot \vec{p} \neq 0 $, le tir n'est pas orthogonal au panier.

Ainsi, le tir n'est pas bien dirigé vers le panier.

Exercice 9: ★ ★ ★ ★ ☆

Un ingénieur conçoit une rampe inclinée. Les vecteurs $ \vec{u} = (6, 8) $ et $ \vec{v} = (3, 4) $ représentent respectivement deux rampes. Montrez que la rampe $ \vec{u} $ est colinéaire à la rampe $ \vec{v} $ et déterminez le coefficient de colinéarité.

Pour vérifier la colinéarité :

Calculer les coefficients : Comparer les composantes : $ \frac{6}{3} = 2 $ et $ \frac{8}{4} = 2 $.
Conclusion : Puisque les rapports sont égaux, $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ sont colinéaires avec un coefficient de colinéarité de 2.

Ainsi, la rampe $ \vec{u} $ est colinéaire à la rampe $ \vec{v} $.

Exercice 10: ★ ★ ★ ★ ★

Un marin navigue entre deux points $ A $ et $ B $, représentés par $ \vec{A} = (2, 3) $ et $ \vec{B} = (5, 7) $. Calculez le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ et déterminez si le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ est orthogonal à un vecteur $ \vec{C} = (-4, 2) $ représentant une direction de courant.

Pour résoudre le problème :

Calculer le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ : $ \overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4) $.
Calculer le produit scalaire : $ \overrightarrow{AB} \cdot \vec{C} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 2 = -12 + 8 = -4 $.
Interpréter : Puisque $ \overrightarrow{AB} \cdot \vec{C} \neq 0 $, le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ n'est pas orthogonal au courant.

Ainsi, le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ n'est pas orthogonal à $ \vec{C} $.

Exercice 11 : ★ ★ ★ ★ ☆

Dans un parc, une allée rectiligne forme le côté $ AB $ d’un carré de 5 m de côté. Un lampadaire est placé en $ C $, sommet opposé. Calculez le produit scalaire $ \vec{AB} \cdot \vec{AC} $.

On a $ \vec{AB} = (5, 0) $ et $ \vec{AC} = (0, 5) $.
Le produit scalaire est : $ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 0 $.

Les vecteurs sont donc orthogonaux.

Exercice 12 : ★ ★ ★ ★ ★

Un drone se déplace du point $ A $ vers le point $ B $, puis change de direction vers $ C $. Les distances sont $ AB = 7 $ km, $ AC = 5 $ km, et l’angle $ \angle BAC = 120^\circ $. Calculez le produit scalaire $ \vec{AB} \cdot \vec{AC} $.

Formule : $ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) $.
Calcul : $ 7 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) = 35 \cdot (-0.5) = -17.5 $.

Résultat : $ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = -17.5 $

Exercice 13 : ★ ★ ★ ★ ☆

Un charpentier construit un triangle $ ABC $ dont les poutres $ AB = 6 $ m et $ AC = 8 $ m forment un angle de $ 60^\circ $. Calculez le produit scalaire $ \vec{AB} \cdot \vec{AC} $.

Utiliser la formule : $ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) $.
Calcul : $ 6 \cdot 8 \cdot 0.5 = 24 $.

Résultat : $ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 24 $

Exercice 14 : ★ ★ ★ ★ ★

Lors d’un relevé topographique, un géomètre mesure un triangle $ ABC $ avec $ AB = 10 $ m, $ AC = 12 $ m et $ BC = 8 $ m. Vérifiez s’il est rectangle à l’aide du produit scalaire.

Vérifier si $ AC^2 = AB^2 + BC^2 $.
Calcul : $ 12^2 = 144 $, $ 10^2 + 8^2 = 100 + 64 = 164 $ → faux.
Tester $ AB^2 = AC^2 + BC^2 $ : $ 100 = 144 + 64 $ → faux.
Tester $ AC^2 = AB^2 + BC^2 $ : $ 144 = 100 + 64 $ → vrai.

Conclusion : le triangle est rectangle en $ A $.

Exercice 15 : ★ ★ ★ ★ ☆

Un ingénieur analyse un support triangulaire $ ABC $, avec $ AB = 5 $ cm, $ AC = 12 $ cm et $ BC = 13 $ cm. Déterminez si ce triangle est rectangle à l’aide de la formule d’Al-Kashi.

Tester $ BC^2 = AB^2 + AC^2 $ : $ 13^2 = 5^2 + 12^2 $.
Calcul : $ 169 = 25 + 144 \Rightarrow 169 = 169 $.

Conclusion : le triangle est rectangle en $ A $.

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2. Interprétation géométrique et cas particuliers

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📊 Propriétés des Vecteurs

Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆

Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆

Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★

Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆

Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ★

Exercice 6: ★ ★ ★ ★ ★

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