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Comprendre la pôlynomes du second dregré
Une fonction polynôme de degré 2 est de la forme : \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des coefficients réels et \( a \neq 0 \). La courbe représentée par cette fonction est une parabole. La direction de l'ouverture de la parabole dépend du signe de \( a \) :
📌 Forme canonique : Toute fonction polynôme de degré 2 peut s'écrire sous forme canonique : \[ f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \] où :
Une équation du second degré est de la forme : \[ ax^2 + bx + c = 0 \] Les solutions de l'équation dépendent de la valeur du discriminant :
Le sens de variation d'une fonction polynôme de degré 2 dépend du signe de \( a \) :
✅ Cas \( a > 0 \) :
Un trinôme de la forme \( ax^2 + bx + c \) possède plusieurs propriétés importantes :
Soit la fonction \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\). Déterminez la forme canonique de cette fonction et les coordonnées de son sommet.
Pour \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\), on a : \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 6\)
1. Calcul de \(\alpha\) (abscisse du sommet) :
\[\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2\]
2. Calcul de \(\beta\) (ordonnée du sommet) :
\[\beta = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2\]
3. Forme canonique :
\[f(x) = 2(x - 2)^2 - 2\]
Le sommet a pour coordonnées \(S(2, -2)\)
Résolvez l'équation \(x^2 - 6x + 8 = 0\) en utilisant le discriminant.
Pour l'équation \(x^2 - 6x + 8 = 0\) : \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\)
1. Calcul du discriminant :
\[\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4\]
2. Comme \(\Delta > 0\), il y a deux solutions distinctes :
\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2\]
\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\]
Les solutions sont \(x = 2\) et \(x = 4\)
Soit \(g(x) = -x^2 + 4x - 1\). Établissez le tableau de variations de cette fonction.
Pour \(g(x) = -x^2 + 4x - 1\) : \(a = -1 < 0\), donc la parabole s'ouvre vers le bas.
1. Calcul de l'abscisse du sommet :
\[\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = \frac{4}{2} = 2\]
2. Calcul de l'ordonnée du sommet :
\[\beta = g(2) = -(2)^2 + 4(2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3\]
3. Tableau de variations :
La fonction admet un maximum de 3 en \(x = 2\)
Déterminez pour quelles valeurs de \(m\) l'équation \(x^2 - 4x + m = 0\) admet une solution double.
Pour l'équation \(x^2 - 4x + m = 0\) : \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = m\)
1. Pour qu'il y ait une solution double, il faut que \(\Delta = 0\)
\[\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(m) = 16 - 4m\]
2. Condition : \(\Delta = 0\)
\[16 - 4m = 0\]
\[4m = 16\]
\[m = 4\]
3. Vérification : pour \(m = 4\), la solution double est :
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2\]
L'équation admet une solution double pour \(m = 4\)
Soit \(h(x) = 2x^2 - 12x + 10\). Déterminez l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(h(x) \leq 0\) et établissez le tableau de variations.
Pour \(h(x) = 2x^2 - 12x + 10\) : \(a = 2 > 0\), \(b = -12\), \(c = 10\)
1. Recherche des racines de \(h(x) = 0\) :
\[\Delta = (-12)^2 - 4(2)(10) = 144 - 80 = 64\]
Comme \(\Delta > 0\), il y a deux racines :
\[x_1 = \frac{12 - \sqrt{64}}{4} = \frac{12 - 8}{4} = 1\]
\[x_2 = \frac{12 + \sqrt{64}}{4} = \frac{12 + 8}{4} = 5\]
2. Calcul du sommet :
\[\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2(2)} = 3\]
\[\beta = h(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 10 = 18 - 36 + 10 = -8\]
3. Tableau de variations :
4. Étude du signe :
Comme \(a = 2 > 0\), la parabole s'ouvre vers le haut.
Le trinôme est négatif entre les racines.
Donc \(h(x) \leq 0\) pour \(x \in [1; 5]\)
Un ballon suit une trajectoire modélisée par \( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \) (hauteur en mètres, temps en secondes). Déterminez la forme canonique et la hauteur maximale atteinte.
✅ Étape 1 : Forme canonique
On a \( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \)
Factorisation : \( h(t) = -5(t^2 - 4t) + 1 \)
Complétion du carré : \( t^2 - 4t = (t - 2)^2 - 4 \)
Donc \( h(t) = -5[(t - 2)^2 - 4] + 1 = -5(t - 2)^2 + 20 + 1 \)
Forme canonique : \( h(t) = -5(t - 2)^2 + 21 \)
✅ Étape 2 : Hauteur maximale
La parabole est tournée vers le bas (coefficient négatif),
donc le sommet donne le maximum.
D'après la forme canonique, le sommet est en \( t=2 \)s, \( h=21 \)m.
Hauteur maximale : 21 mètres atteints à \( t=2 \) secondes
Le profit \( P(x) = -3x^2 + 60x - 200 \) modélise les bénéfices d'une entreprise (en k€) en fonction des unités vendues \( x \). Calculez le nombre d'unités pour un profit maximal.
✅ Méthode 1 : Par la dérivée
\( P(x) = -3x^2 + 60x - 200 \)
\( P'(x) = -6x + 60 \)
Annulation : \( -6x + 60 = 0 \Rightarrow x = 10 \)
Profit maximal pour \( x=10 \) unités
✅ Méthode 2 : Par sommet de parabole
Abscisse du sommet : \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{60}{2 \times -3} = 10 \)
Calcul du profit : \( P(10) = -3(100) + 600 - 200 = 300 \)
Résultat : Profit maximal de 300 k€ pour 10 unités vendues
La population de bactéries suit \( N(t) = 2t^2 - 8t + 20 \) (en milliers) où \( t \) est en heures. Résolvez \( N(t) = 44 \) et interprétez.
Résolution de N(t) = 44
\( 2t^2 - 8t + 20 = 44 \Rightarrow 2t^2 - 8t - 24 = 0 \)
Simplification : \( t^2 - 4t - 12 = 0 \)
Discriminant : \( \Delta = 16 + 48 = 64 \)
Solutions : \( t = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} \)
\( t_1 = \frac{12}{2} = 6 \)h
\( t_2 = \frac{-4}{2} = -2 \)h (exclu car temps négatif)
Interprétation : La population atteint 44 000 bactéries après 6 heures.
Analyse complète
• Population initiale (t=0) : \( N(0) = 20 \) milliers
• Minimum atteint en \( t = -\frac{b}{2a} = 2 \)h : \( N(2) = 2(4) - 16 + 20 = 12 \) milliers
• Croissance exponentielle après t=2h
• Validité biologique : Modèle réaliste pour t ∈ [0,12h]
La forme d'une arche est modélisée par \( y = -\frac{1}{4}x^2 + 3x \) (en mètres). Déterminez sa largeur au sol et sa hauteur maximale.
Largeur au sol
Résolution de y=0 : \( -\frac{1}{4}x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(-\frac{1}{4}x + 3) = 0 \)
Solutions : \( x=0 \) et \( x=12 \)m
Largeur totale : 12 mètres
Hauteur maximale
Forme canonique : \( y = -\frac{1}{4}(x^2 - 12x) = -\frac{1}{4}[(x-6)^2 - 36] = -\frac{1}{4}(x-6)^2 + 9 \)
Hauteur max : 9 mètres atteints en \( x=6 \)m
La température quotidienne suit \( T(t) = -0.5t^2 + 6t + 8 \) (°C) où \( t \in [0;12] \) est l'heure. Déterminez les plages horaires où \( T(t) \geq 20 \)°C.
Résolution de T(t) ≥ 20°C
\( -0.5t^2 + 6t + 8 \geq 20 \Rightarrow -0.5t^2 + 6t - 12 \geq 0 \)
Simplification : \( t^2 - 12t + 24 \leq 0 \)
Racines : \( t = \frac{12 \pm \sqrt{144-96}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{3} \)
\( \approx 6 \pm 3.464 \Rightarrow t_1 \approx 2.536 \)h, \( t_2 \approx 9.464 \)h
Interprétation
La parabole est tournée vers le haut (coefficient positif)
Donc \( T(t) \geq 20 \)°C entre les racines : \( t \in [6-2\sqrt{3}; 6+2\sqrt{3}] \)
Période : ≈ entre 2h32 et 9h28 (vérifier les conversions)
La population d'oiseaux suit P(t) = -t² + 10t + 24 (en centaines) où t ∈ [0;12]. Déterminez le tableau de variations.
Interprétation : Maximum de 4900 oiseaux atteint à t=5 ans. Population s'éteint à t=12 ans.
Ventes mensuelles V(m) = -2m² + 16m - 20 (k€) pour m ∈ [1;7]. Trouvez le pic des ventes.
Interprétation : Pic de ventes en m=4 (12k€). Pertes en m=1 (-6k€) et m=7 (-6k€).
Concentration C(t) = -0.8t² + 4.8t (mg/L) sur [0;6h]. Quand C(t) ≥ 4mg/L ?
Interprétation : Concentration ≥4mg/L entre t=1h et t=5h. Pic à t=3h (7.2mg/L).
Trajectoire h(x) = -(1/12)x² + x + 1 (x=distance, h=hauteur). Longueur du saut ?
Interprétation : Longueur: 13.17m (racine positive). Hauteur max: 4m à x=6m.
Projectile y(x) = -0.02x² + 1.2x (x=distance, y=hauteur). Portée et hauteur >10m ?
Interprétation : Portée: 60m. Hauteur >10m entre x=10m et x=50m. Hauteur max: 18m à x=30m.
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