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Série d'exercices corrigés en analyse
Déterminer sur quel ensemble est dérivable chacune des fonctions suivantes, puis déterminer sa dérivée.
a) \( f : x \mapsto 5x^2 - 3x + 2 \) définie sur \(\mathbb{R}\)
b) \( g : x \mapsto 100 + \frac{1}{x} \) définie sur \(\mathbb{R}^*\)
c) \( h : x \mapsto x \sqrt{x} \) définie sur \([0 ; +\infty[\)
d) \( j : x \mapsto \frac{12-5x}{9x + 2} \) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{-2}{9}\right\}\)
a) Dérivable sur \(\mathbb{R}\), \(f'(x) = 10x - 3\)
b) Dérivable sur \(\mathbb{R}^*\), \(g'(x) = -\frac{1}{x^2}\)
c) Dérivable sur \(]0 ; +\infty[\), \(h'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2}\)
d) Dérivable sur \(\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{-2}{9}\right\}\), \(j'(x) = \frac{-133}{(9x + 2)^2}\)
La courbe représentative d'une fonction \(g\) admet une tangente au point d'abscisse 2. Cette tangente a pour équation \(y = \frac{3}{4}x - 1\). Que vaut \(g'(2)\) ?
Le coefficient directeur de la tangente en \(x = 2\) est égal à \(g'(2)\).
Ici, la tangente a pour équation \(y = \frac{3}{4}x - 1\), donc son coefficient directeur est \(\frac{3}{4}\).
Ainsi, \(g'(2) = \frac{3}{4}\).
Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Sachant que \(f(0) = 4\) et que \(f'(0) = -7\), déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse 0.
L'équation de la tangente au point d'abscisse \(a\) est :
\[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]
Ici \(a = 0\), donc :
\[ y = f'(0)x + f(0) = -7x + 4 \]
Soit :
\( f : x \mapsto x^2 \). Donner l'expression de \(f'(x)\) et en déduire \(f'(-8)\).
\( g : x \mapsto \frac{1}{x} \). Donner l'expression de \(g'(x)\) et en déduire \(g'(2)\).
Pour \(f(x) = x^2\) :
\[ f'(x) = 2x \]
\[ f'(-8) = 2 \times (-8) = -16 \]
Pour \(g(x) = \frac{1}{x}\) :
\[ g'(x) = -\frac{1}{x^2} \]
\[ g'(2) = -\frac{1}{4} \]
Déterminer le taux de variation entre 1 et 3 de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f : x \mapsto x^3\).
Le taux de variation entre \(a\) et \(b\) est donné par :
\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Ici :
\[ \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{27 - 1}{2} = \frac{26}{2} = 13 \]
Soit \( f \) une fonction définie sur \( \mathbb{R} \) et \( h \) un nombre réel non nul.
On sait que \( \frac{f(5+h) - f(5)}{h} = \frac{1}{h} + 3 \)
Peut-on dire que la fonction \( f \) est dérivable en 5 ? Si oui, déterminer \( f'(5) \).
On calcule la limite du taux d'accroissement quand \( h \to 0 \) :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(5+h) - f(5)}{h} = \lim_{h \to 0} \left(\frac{1}{h} + 3\right) \]
Le terme \( \frac{1}{h} \) tend vers l'infini quand \( h \to 0 \), donc la limite n'existe pas.
Conclusion : La fonction \( f \) n'est pas dérivable en 5.
La courbe représentative d'une fonction \( g \) admet une tangente au point d'abscisse 2. Cette tangente a pour équation \( y = \frac{3}{4}x - 1 \). Que vaut \( g'(2) \) ?
Le nombre dérivé \( g'(2) \) est égal au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2.
L'équation de la tangente est \( y = \frac{3}{4}x - 1 \), donc son coefficient directeur est \( \frac{3}{4} \).
Résultat : \( g'(2) = \frac{3}{4} \)
La fonction \( f \) est représentée par la courbe d'équation \( f(x) = x^2 \). Quel est le taux de variation de \( f \) entre 2 et 5 ?
Le taux de variation entre \( a \) et \( b \) est donné par :
\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Calculons :
\[ f(5) = 5^2 = 25 \]
\[ f(2) = 2^2 = 4 \]
\[ \text{Taux} = \frac{25 - 4}{5 - 2} = \frac{21}{3} = 7 \]
Résultat : Le taux de variation est 7.
La tangente en \( A(-2 ; 1) \) à la courbe représentative d'une fonction \( f \) définie sur \( [-4 ; 9] \) passe par le point \( B(1 ; 6) \). Déterminer \( f'(-2) \).
1. Le nombre dérivé \( f'(-2) \) est égal au coefficient directeur de la tangente en \( x = -2 \).
2. Cette tangente passe par \( A(-2,1) \) et \( B(1,6) \).
3. Calcul du coefficient directeur :
\[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 1}{1 - (-2)} = \frac{5}{3} \]
Résultat : \( f'(-2) = \frac{5}{3} \)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = 11x - 7 \) et \( h \) un nombre réel non nul. Déterminer le taux de variation de \( f \) entre 3 et \( 3 + h \).
Calcul du taux de variation :
\[ \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{[11(3+h) - 7] - [11×3 - 7]}{h} \]
\[ = \frac{33 + 11h - 7 - 33 + 7}{h} = \frac{11h}{h} = 11 \]
Remarque : Pour une fonction affine, le taux de variation est constant et égal au coefficient directeur.
Résultat : Le taux de variation vaut 11.
Soit \( g \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( g(x) = 5x^2 \) et \( h \) un nombre réel non nul.
1. \( g(1) = 5 \times 1^2 = 5 \)
2. \( g(1+h) = 5(1+h)^2 = 5(1 + 2h + h^2) = 5 + 10h + 5h^2 \)
3. Taux de variation :
\[ \frac{g(1+h)-g(1)}{h} = \frac{5 + 10h + 5h^2 - 5}{h} = \frac{10h + 5h^2}{h} = 10 + 5h \]
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^2 + 8x - 2 \) et \( h \) un nombre réel non nul.
1. \( f(-2) = (-2)^2 + 8 \times (-2) - 2 = 4 - 16 - 2 = -14 \)
2. \( f(-2+h) = (-2+h)^2 + 8(-2+h) - 2 = 4 - 4h + h^2 - 16 + 8h - 2 = h^2 + 4h - 14 \)
3. Taux de variation :
\[ \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h} = \frac{h^2 + 4h - 14 - (-14)}{h} = \frac{h^2 + 4h}{h} = h + 4 \]
Soit \( f \) une fonction définie sur \( \mathbb{R} \) et \( h \) un nombre réel non nul.
On sait que :
\[ \frac{f(-7+h)-f(-7)}{h} = \frac{5}{3}(4h + 9) \]
Peut-on dire que \( f \) est dérivable en -7 ? Si oui, déterminer \( f'(-7) \).
Calculons la limite quand \( h \to 0 \) :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(-7+h)-f(-7)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{5}{3}(4h + 9) = \frac{5}{3} \times 9 = 15 \]
La limite existe et est finie.
Conclusion : \( f \) est dérivable en -7 et \( f'(-7) = 15 \).
Soit \( h \) un nombre réel non nul. Le taux de variation entre 4 et \( 4 + h \) d'une fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) est \( \frac{-9}{h} \).
\( f \) est-elle dérivable en 4 ? Si oui, quel est son nombre dérivé en 4 ?
On examine la limite du taux de variation :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(4+h)-f(4)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-9}{h} \]
Cette limite tend vers \( \pm\infty \) selon le signe de \( h \).
Conclusion : \( f \) n'est pas dérivable en 4 (la limite est infinie).
Soit \( g \) une fonction définie sur \( \mathbb{R} \) et \( x \) un nombre réel proche de 3 mais différent de 3.
On sait que :
\[ \frac{g(x)-g(3)}{x-3} = 2x + 3 \]
Peut-on dire que \( g \) est dérivable en 3 ? Si oui, déterminer \( g'(3) \).
Calculons la limite quand \( x \to 3 \) :
\[ \lim_{x \to 3} \frac{g(x)-g(3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (2x + 3) = 2 \times 3 + 3 = 9 \]
La limite existe et est finie.
Conclusion : \( g \) est dérivable en 3 et \( g'(3) = 9 \).
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R}^* \) par \( x \mapsto \frac{3}{x} \) et \( h \) un nombre réel non nul.
1. Taux de variation :
\[ \frac{f(-3+h)-f(-3)}{h} = \frac{\frac{3}{-3+h} - \frac{3}{-3}}{h} = \frac{\frac{3}{-3+h} + 1}{h} = \frac{\frac{-3 + h + 3}{-3+h}}{h} = \frac{h}{h(-3+h)} = \frac{1}{-3+h} \]
2. Limite quand \( h \to 0 \) : \( \frac{1}{-3+h} \to -\frac{1}{3} \) donc \( f \) est dérivable en -3 et \( f'(-3) = -\frac{1}{3} \)
3. Pour \( x = 1 \) :
\[ \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{\frac{3}{1+h} - 3}{h} = \frac{-3h}{h(1+h)} = \frac{-3}{1+h} \to -3 \quad \text{quand } h \to 0 \]
Donc \( f'(1) = -3 \)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( [0; +\infty[ \) par \( f(x) = \sqrt{x} - 3 \) et \( h \) un nombre réel non nul.
1. Taux de variation :
\[ \frac{f(9+h)-f(9)}{h} = \frac{\sqrt{9+h} - 3}{h} = \frac{(\sqrt{9+h} - 3)(\sqrt{9+h} + 3)}{h(\sqrt{9+h} + 3)} = \frac{9+h-9}{h(\sqrt{9+h}+3)} = \frac{1}{\sqrt{9+h}+3} \]
2. Limite quand \( h \to 0 \) : \( \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{6} \) donc \( f'(9) = \frac{1}{6} \)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = 2x^2 - 7 \).
1. Taux de variation :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{2x^2 - 7 - (-5)}{x-1} = \frac{2x^2 - 2}{x-1} = \frac{2(x-1)(x+1)}{x-1} = 2(x+1) \quad \text{pour } x \neq 1 \]
2. \( f'(1) = \lim_{x \to 1} 2(x+1) = 4 \)
3. Pour \( f'(-2) \) :
\[ \frac{f(x)-f(-2)}{x+2} = \frac{2x^2 - 7 - 1}{x+2} = \frac{2(x^2-4)}{x+2} = 2(x-2) \to -8 \quad \text{quand } x \to -2 \]
Donc \( f'(-2) = -8 \)
Soit \( f \) une fonction dérivable sur \( \mathbb{R} \) avec \( f'(2) = -1 \) et \( f'(0) = 2 \).
Représenter schématiquement la courbe \( \mathcal{C}_f \) en traçant :
1. En \( x = 2 \) : Tangente de coefficient directeur -1 (exemple : passe par (2,1) et (3,0))
2. En \( x = 0 \) : Tangente de coefficient directeur 2 (exemple : passe par (0,0) et (1,2))
Remarque : La position exacte de la courbe n'est pas déterminable sans plus d'information, mais l'allure des tangentes doit être respectée.
Soit \( g \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( g(x) = (2x^2 - 5x + 4)^{10} \).
On admet que \( g \) est dérivable en 1 et que \( g'(1) = -10 \).
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \( g \) au point d'abscisse 1.
1. Calcul de \( g(1) \) :
\[ g(1) = (2 - 5 + 4)^{10} = 1^{10} = 1 \]
2. Équation de la tangente :
\[ y = g'(1)(x - 1) + g(1) = -10(x - 1) + 1 = -10x + 11 \]
Résultat : \( y = -10x + 11 \)
Pour chacune des fonctions suivantes, dire sur quel ensemble elle est dérivable, puis déterminer l'expression de sa dérivée.
Correction :
• \( f(x) = x^4 \) : Dérivable sur \( \mathbb{R} \), \( f'(x) = 4x^3 \)
• \( g(x) = x^{12} \) : Dérivable sur \( \mathbb{R} \), \( g'(x) = 12x^{11} \)
• \( h(x) = x^{-1} \) : Dérivable sur \( \mathbb{R}^* \), \( h'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \)
• \( i(x) = x^{-3} \) : Dérivable sur \( \mathbb{R}^* \), \( i'(x) = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} \)
• \( j(x) = \frac{1}{x^2} \) : Dérivable sur \( \mathbb{R}^* \), \( j'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)
• \( k(x) = \frac{1}{x^5} \) : Dérivable sur \( \mathbb{R}^* \), \( k'(x) = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6} \)
Pour chaque fonction somme \( u + v \), identifier \( u \) et \( v \), leurs ensembles de dérivabilité, et en déduire la dérivée.
Correction :
• \( f(x) = \frac{1}{x} + x \) :
- \( u(x) = x^{-1} \) (dérivable sur \( \mathbb{R}^* \))
- \( v(x) = x \) (dérivable sur \( \mathbb{R} \))
- Dérivable sur \( \mathbb{R}^* \), \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} + 1 \)
• \( g(x) = 5 + \frac{1}{x^2} \) :
- \( u(x) = 5 \) (dérivable sur \( \mathbb{R} \))
- \( v(x) = x^{-2} \) (dérivable sur \( \mathbb{R}^* \))
- Dérivable sur \( \mathbb{R}^* \), \( g'(x) = 0 - \frac{2}{x^3} \)
• \( h(x) = x^4 + x^2 \) :
- \( u(x) = x^4 \) (dérivable sur \( \mathbb{R} \))
- \( v(x) = x^2 \) (dérivable sur \( \mathbb{R} \))
- Dérivable sur \( \mathbb{R} \), \( h'(x) = 4x^3 + 2x \)
Déterminer l'expression de la dérivée pour chaque fonction.
Correction :
• \( f(x) = \frac{1}{x}(9-6x) = 9x^{-1} - 6 \) :
Dérivable sur \( \mathbb{R}^* \), \( f'(x) = -9x^{-2} = -\frac{9}{x^2} \)
• \( g(x) = x^2\sqrt{x} = x^{2.5} \) :
Dérivable sur \( ]0,+\infty[ \), \( g'(x) = \frac{5}{2}x^{1.5} = \frac{5}{2}x\sqrt{x} \)
• \( h(x) = (x^5 + x^3)(x^2 - 4) \) :
Développement : \( x^7 - 4x^5 + x^5 - 4x^3 = x^7 - 3x^5 - 4x^3 \)
Dérivable sur \( \mathbb{R} \), \( h'(x) = 7x^6 - 15x^4 - 12x^2 \)
Soit \( f(x) = \frac{1}{2x+8} \) définie sur \( ]-4, +\infty[ \).
Correction :
1. \( v(x) = 2x + 8 \)
\( v(x) = 0 \Leftrightarrow x = -4 \) (hors de \( I \))
2. \( f = \frac{1}{v} \) donc \( f'(x) = -\frac{v'}{v^2} = -\frac{2}{(2x+8)^2} \)
Dérivable sur \( I \) car \( v \) ne s'annule pas sur \( I \)
Soit \( f(x) = \frac{2x+1}{x+1} \) définie sur \( ]-1, +\infty[ \).
Correction :
1. \( u(x) = 2x + 1 \), \( v(x) = x + 1 \)
\( v(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 \) (hors de \( I \))
2. \( u'(x) = 2 \), \( v'(x) = 1 \)
3. Formule du quotient :
\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x+1) - (2x+1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} \]
Dérivable sur \( I \) car \( v \) ne s'annule pas sur \( I \)
Soit \( h \) la fonction définie sur \( I = ]−\infty ; 4[ \) par
\[ h(x) = \sqrt{-3x+12} \]
1. \( h \) est une fonction composée de deux fonctions \( g \) et \( f \) dans cet ordre.
Donner l'expression des fonctions \( g \) et \( f \).
2. Démontrer que \( h \) est dérivable sur \( I \).
3. Déterminer \( f'(X) \) pour \( X > 0 \) et \( g'(x) \) pour \( x \in I \).
4. En déduire \( h'(x) \).
1. Décomposition :
\( h = f \circ g \) avec :
\[ g(x) = -3x + 12 \]
\[ f(X) = \sqrt{X} \]
2. Dérivabilité :
- \( g \) est affine donc dérivable sur \( \mathbb{R} \)
- \( f \) est dérivable sur \( ]0;+\infty[ \)
- Pour \( x \in I \), \( g(x) = -3x + 12 > 0 \)
Donc \( h \) est dérivable sur \( I \) comme composée de fonctions dérivables.
3. Calcul des dérivées :
\[ f'(X) = \frac{1}{2\sqrt{X}} \text{ pour } X > 0 \]
\[ g'(x) = -3 \text{ pour } x \in I \]
4. Dérivée de h :
\[ h'(x) = f'(g(x)) \times g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-3x+12}} \times (-3) \]
\[ h'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{-3x+12}} \]
Soit \( g \) la fonction définie sur \( \mathbb{R}^* \) par :
\[ g(x) = \frac{2}{x} \]
Démontrer que pour \( h ≠ -2 \) :
\[ \frac{g(2+h)-g(2)}{h} = -\frac{1}{2+h} \]
Calcul du taux d'accroissement :
\[ g(2+h) = \frac{2}{2+h} \]
\[ g(2) = \frac{2}{2} = 1 \]
\[ \frac{g(2+h)-g(2)}{h} = \frac{\frac{2}{2+h} - 1}{h} \]
\[ = \frac{\frac{2 - (2+h)}{2+h}}{h} = \frac{\frac{-h}{2+h}}{h} \]
\[ = \frac{-h}{h(2+h)} = -\frac{1}{2+h} \text{ pour } h ≠ 0 \text{ et } h ≠ -2 \]
Conclusion : L'égalité est démontrée.
Une usine fabrique des jouets. Le coût de production (en milliers d'€) de \( x \) centaines de jouets est :
\[ f(x) = -0.1x^2 + 2x + 8 \text{ pour } x ∈ [0 ; 10] \]
1. Accroissement moyen entre 700 et 800 jouets
2. Nouvelle production avec le même accroissement moyen
1. Accroissement moyen :
700 jouets = 7 centaines, 800 jouets = 8 centaines
\[ \frac{f(8)-f(7)}{8-7} = f(8) - f(7) \]
\[ f(7) = -0.1×49 + 14 + 8 = 19.1 \]
\[ f(8) = -0.1×64 + 16 + 8 = 19.6 \]
\[ \text{Accroissement} = 19.6 - 19.1 = 0.5 \text{ milliers d'€} \]
2. Nouvelle production :
Soit \( y \) la nouvelle production (en centaines) :
\[ \frac{f(y)-f(8)}{y-8} = 0.5 \]
\[ -0.1y^2 + 2y + 8 - 19.6 = 0.5(y-8) \]
\[ -0.1y^2 + 1.5y - 7.6 = 0 \]
Solutions : \( y = 8 \) (déjà connu) ou \( y = 9.5 \)
Production : 950 jouets par jour
Soit \( f \) définie sur \( [0 ; +\infty[ \) par :
\[ f(x) = \sqrt{x} - 1 \]
1. Déterminer \( a > 0 \) tel que le taux de variation entre 0 et \( a \) vaut \( \frac{2}{3} \)
2. Tracer \( \mathcal{C}_f \) et la droite de coefficient \( \frac{2}{3} \) passant par \( A(0;-1) \)
1. Calcul de \( a \) :
\[ \frac{f(a)-f(0)}{a-0} = \frac{\sqrt{a}-1 - (-1)}{a} = \frac{\sqrt{a}}{a} = \frac{1}{\sqrt{a}} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{a} = \frac{3}{2} \Rightarrow a = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \]
2. Représentation graphique :
- \( \mathcal{C}_f \) : demi-parabole standard translatée vers le bas
- Droite \( D \) : \( y = \frac{2}{3}x - 1 \) (tangente en \( x = \frac{9}{4} \))
1. Que renvoie l'algorithme pour \( f(x) = x^2 \) et \( a = 3 \) ?
Éducation
Saisir une fonction f
Saisir un nombre a
Pour n variant de 0 à 5
h ← 10⁻ⁿ
t ← (f(a+h)-f(a))/h
Afficher t
Fin Pour
2. Interprétation des résultats
3. Conjecturer \( f'(2) \) pour \( f(x) = \sqrt{20-x^2} \)
1. Résultats :
Pour \( f(x) = x^2 \), \( f(3+h) = (3+h)^2 = 9 + 6h + h^2 \)
\[ t = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h \]
Valeurs affichées :
n=0 → 7 (h=1)
n=1 → 6.1 (h=0.1)
n=2 → 6.01 (h=0.01)
...
n=5 → 6.00001
2. Interprétation :
L'algorithme calcule des approximations du nombre dérivé \( f'(3) \).
On conjecture que \( f'(3) = 6 \) (ce qui est correct car \( f'(x) = 2x \)).
3. Conjecture pour \( f(x) = \sqrt{20-x^2} \) en 2 :
En implémentant l'algorithme, on trouve des valeurs proches de -0.5
Conjecture : \( f'(2) ≈ -0.5 \)
Un patient reçoit un médicament dont la concentration dans le sang (en mg/L) suit la fonction :
\[ C(t) = \frac{20t}{t^2 + 4} \text{ pour } t ≥ 0 \text{ (heures)} \]
1. Calculer le taux de variation moyen entre t=1h et t=3h.
2. Interpréter physiquement ce résultat.
3. Déterminer C'(1) et interpréter.
1. Taux de variation :
\[ \frac{C(3)-C(1)}{3-1} = \frac{\frac{60}{13} - 4}{2} ≈ \frac{4.615 - 4}{2} = 0.3075 \text{ mg/(L·h)} \]
2. Interprétation :
La concentration augmente en moyenne de 0.3075 mg/L par heure entre la 1ère et la 3ème heure.
3. Dérivée en t=1 :
\[ C'(t) = \frac{20(t^2+4) - 20t(2t)}{(t^2+4)^2} \]
\[ C'(1) = \frac{20(5) - 40}{25} = \frac{60}{25} = 2.4 \text{ mg/(L·h)} \]
Après 1h, la concentration augmente instantanément à 2.4 mg/(L·h).
Le bénéfice d'une entreprise (en k€) est modélisé par :
\[ B(x) = -0.5x^2 + 60x - 500 \text{ où } x \text{ est le nombre d'unités produites} \]
1. Calculer l'accroissement moyen entre 40 et 50 unités.
2. Déterminer B'(x) et trouver la production donnant le bénéfice marginal maximal.
1. Accroissement moyen :
\[ \frac{B(50)-B(40)}{10} = \frac{750 - 1100}{10} = -35 \text{ k€/unité} \]
Le bénéfice moyen diminue de 35k€ par unité supplémentaire dans cette plage.
2. Optimisation :
\[ B'(x) = -x + 60 \]
Le bénéfice marginal B'(x) est maximal quand sa dérivée s'annule :
\[ B''(x) = -1 < 0 \Rightarrow \text{Maximum en } x = 30 \text{ unités} \]
Un satellite a une trajectoire donnée par :
\[ h(t) = 1000\ln(t+1) \text{ (altitude en km, t en heures)} \]
1. Calculer la vitesse moyenne entre t=0h et t=1h.
2. Déterminer la vitesse instantanée à t=1h.
3. Comparer les deux résultats.
1. Vitesse moyenne :
\[ \frac{h(1)-h(0)}{1} = 1000\ln(2) ≈ 693 \text{ km/h} \]
2. Vitesse instantanée :
\[ h'(t) = \frac{1000}{t+1} \Rightarrow h'(1) = 500 \text{ km/h} \]
3. Comparaison :
La vitesse moyenne est supérieure car le satellite décélère continuellement.
La population de poissons dans un lac suit :
\[ P(t) = \frac{5000}{1 + 4e^{-0.2t}} \text{ (t en années)} \]
1. Calculer le taux de croissance moyen entre 5 et 10 ans.
2. Déterminer P'(5) et interpréter.
3. Que devient la dérivée quand t → ∞ ?
1. Taux moyen :
\[ \frac{P(10)-P(5)}{5} ≈ \frac{3981 - 2759}{5} ≈ 244 \text{ poissons/an} \]
2. Croissance instantanée :
\[ P'(t) = \frac{4000e^{-0.2t}}{(1+4e^{-0.2t})^2} \]
\[ P'(5) ≈ 246 \text{ poissons/an} \]
La population croît d'environ 246 poissons la 5ème année.
3. Comportement asymptotique :
Quand t → ∞, P'(t) → 0 (la population se stabilise).
La forme d'un arche est modélisée par :
\[ f(x) = 10\cos\left(\frac{x}{10}\right) \text{ pour } x ∈ [-15π/2, 15π/2] \]
1. Calculer la pente moyenne entre x=0 et x=5.
2. Trouver l'équation de la tangente en x=10.
3. En quel point la pente est-elle maximale ?
1. Pente moyenne :
\[ \frac{f(5)-f(0)}{5} ≈ \frac{8.775 - 10}{5} ≈ -0.245 \]
2. Tangente en x=10 :
\[ f'(x) = -\sin\left(\frac{x}{10}\right) \]
\[ f'(10) ≈ -0.841 \text{ et } f(10) ≈ 5.403 \]
Équation : \( y ≈ -0.841(x-10) + 5.403 \)
3. Pente maximale :
Le maximum de |f'(x)| est 1, atteint quand \( \frac{x}{10} = \frac{π}{2} + kπ \)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( ]-1 ; +\infty[ \) par :
\[ f(x) = \frac{1}{x+1} \]
1. Démontrer que \( f \) est dérivable en 0 et déterminer \( f'(0) \) en utilisant la définition.
2. Tracer \( \mathcal{C}_f \) et sa tangente en \( x=0 \).
1. Dérivabilité en 0 :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h+1} - 1}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(h+1)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{h+1} = -1 \]
Conclusion : \( f'(0) = -1 \)
2. Représentation graphique :
- Courbe \( \mathcal{C}_f \) : Hyperbole de centre (-1,0)
- Tangente en 0 : \( y = f'(0)(x-0) + f(0) \) soit \( y = -x + 1 \)
Soit \( g \) une fonction dérivable sur \( \mathbb{R} \) :
| x | −3 | −1 | 0 | 2 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | 6 | 0 | 2 | 4 | 3 | 1 |
| g'(x) | −4 | 0 | 1.5 | 0 | −1 | −3 |
1. Placer les points \( (x ; g(x)) \) dans un repère.
2. Construire les tangentes en ces points.
3. Représenter \( \mathcal{C}_g \).
Points à placer dans le repère :
Rappel : La dérivée g'(a) donne la pente (coefficient directeur) de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Étude du signe de g'(x) :
Variations de g(x) :
La courbe part de très haut à gauche (décroissante), atteint un minimum local en (-1, 0), remonte jusqu'à un maximum local en (2, 4), puis redescend de manière de plus en plus rapide (pente négative qui s'accentue).
La courbe d'une fonction \( f \) admet au point d'abscisse 1 une tangente d'équation :
\[ y = -7x + 9 \]
1. Déterminer \( f'(1) \).
2. Déterminer \( f(1) \).
1. Nombre dérivé :
\( f'(1) \) = coefficient directeur de la tangente = \(-7\)
2. Image :
\( f(1) = -7×1 + 9 = 2 \) (point de contact)
Soit \( f(x) = |x| \) et \( h \neq 0 \) :
1. Montrer que pour \( h > 0 \), \( \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = 1 \).
2. Montrer que pour \( h < 0 \), \( \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = -1 \).
3. \( f \) est-elle dérivable en 0 ?
1. Cas h > 0 :
\( f(h) = h \) donc \( \frac{h-0}{h} = 1 \)
2. Cas h < 0 :
\( f(h) = -h \) donc \( \frac{-h-0}{h} = -1 \)
3. Dérivabilité :
Les limites à gauche et droite diffèrent (1 ≠ -1).
Conclusion : \( f \) n'est pas dérivable en 0 (point anguleux).
Soit \( f(x) = \frac{|x|}{2} \) définie sur \( \mathbb{R} \) :
1. Justifier la dérivabilité sur \( ]-\infty; 0[ \).
2. Déterminer \( f' \) sur \( ]-\infty; 0[ \).
3. Mêmes questions sur \( ]0; +\infty[ \).
1. Dérivabilité sur \( ]-\infty; 0[\) :
Pour \( x < 0 \), \( f(x) = -\frac{x}{2} \) (fonction affine, dérivable partout).
2. Dérivée sur \( ]-\infty; 0[ :
\( f'(x) = -\frac{1}{2} \)
3. Sur \( ]0; +\infty[\) :
- Dérivable car \( f(x) = \frac{x}{2} \) (affine)
- \( f'(x) = \frac{1}{2} \)
Soit \( f \) une fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( x \mapsto ax^2 + bx + c \), dont la dérivée est :
\[ f'(x) = 6x + 7 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} \]
1. Déterminer une expression possible de \( f(x) \) et en déduire les réels \( a \) et \( b \).
2. Sachant que la courbe de \( f \) passe par le point \( (1 ; 6) \), déterminer \( c \).
1. Détermination de a et b :
Par identification des polynômes :
\[ f'(x) = 2ax + b = 6x + 7 \]
\[ \Rightarrow \begin{cases} 2a = 6 \\ b = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 3 \\ b = 7 \end{cases} \]
Expression : \( f(x) = 3x^2 + 7x + c \)
2. Détermination de c :
\[ f(1) = 3(1)^2 + 7(1) + c = 6 \]
\[ 10 + c = 6 \Rightarrow c = -4 \]
Solution finale : \( f(x) = 3x^2 + 7x - 4 \)
Une entreprise produit entre 1 et 20 tonnes de peinture quotidiennement. Le coût de production (en milliers d'€) est modélisé par :
\[ C(x) = 0,05x^2 - 0,1x + 2,45 \text{ pour } x \in [1;20] \]
Partie A - Coût marginal
1. Calculer \( C_m(10) \) pour une production de 10 tonnes.
2. Calculer \( C_m(11) \).
Partie B - Approximation par la dérivée
a) Justifier la dérivabilité de \( C \) et donner \( C'(x) \).
b) Calculer \( C'(10) \) et \( C'(11) \).
c) Comparer avec les résultats de la Partie A.
Partie A :
1. \( C_m(10) = C(11) - C(10) = (6,05 - 0,1 + 2,45) - (5 - 1 + 2,45) = 8,4 - 6,45 = 1,95 \) k€
2. \( C_m(11) = C(12) - C(11) = (7,2 - 1,2 + 2,45) - 8,4 = 8,45 - 8,4 = 0,05 \) k€
Partie B :
a) \( C \) est polynomiale donc dérivable sur \( \mathbb{R} \) :
\[ C'(x) = 0,1x - 0,1 \]
b) \[ C'(10) = 1 - 0,1 = 0,9 \text{ k€} \]
\[ C'(11) = 1,1 - 0,1 = 1 \text{ k€} \]
c) L'approximation par la dérivée donne des valeurs proches mais non identiques au coût marginal réel.
Soit \( g \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :
\[ g(x) = mx^3 - 2x^2 + x - 5 \text{ (m ∈ ℝ)} \]
1. Pour \( m = 1 \), montrer que \( \mathcal{C}_g \) admet exactement deux tangentes horizontales.
2. Pour quelle valeur de \( m \) n'y a-t-il qu'une seule tangente horizontale ?
1. Cas m = 1 :
\[ g'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]
Résolution \( g'(x) = 0 \) :
\[ Δ = 16 - 12 = 4 \]
\[ x = \frac{4 \pm 2}{6} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{3} \]
Conclusion : Deux points à tangentes horizontales en \( x = \frac{1}{3} \) et \( x = 1 \).
2. Condition d'unicité :
\[ g'(x) = 3mx^2 - 4x + 1 \]
Tangente unique si \( Δ = 0 \) :
\[ 16 - 12m = 0 \Rightarrow m = \frac{4}{3} \]
Soit \( \mathcal{P} \) la parabole d'équation :
\[ y = -\frac{1}{2}x^2 + x - 1 \]
1. Représenter \( \mathcal{P} \) dans un repère orthonormé.
2. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.
3. Trouver le point où la tangente a pour coefficient \( \frac{7}{2} \).
4. a) Donner l'équation générale de la tangente en \( x = a \).
b) Déterminer les tangentes passant par \( B(0;1) \).
1. Représentation :
- Sommet en \( (1; -\frac{1}{2}) \)
- Concavité vers le bas
- Intersection axe y : \( (0;-1) \)
2. Tangente en x=0 :
\[ f'(x) = -x + 1 \Rightarrow f'(0) = 1 \]
Équation : \( y = 1(x - 0) - 1 \Rightarrow y = x - 1 \)
3. Point particulier :
\[ -x + 1 = \frac{7}{2} \Rightarrow x = -\frac{5}{2} \]
Point de tangence : \( \left(-\frac{5}{2}; -\frac{53}{8}\right) \)
4. Généralisation :
a) Équation tangente :
\[ y = (-a + 1)(x - a) - \frac{1}{2}a^2 + a - 1 \]
b) Passage par \( B(0;1) \) :
\[ 1 = a^2 - a - \frac{1}{2}a^2 + a - 1 \Rightarrow \frac{1}{2}a^2 = 2 \]
Solutions : \( a = \pm 2 \)
- Pour \( a = 2 \) : \( y = -x + 1 \)
- Pour \( a = -2 \) : \( y = 3x + 1 \)
Soit \( f(x) = ax^2 + bx + c \) avec :
1. Déterminer \( c \).
2. Donner les coordonnées du point de tangence \( A \).
3. Trouver \( a \) et \( b \).
1. Valeur de c :
\[ f(0) = c = 0 \]
2. Point A :
\[ f(-2) = 3(-2) - 5 = -11 \]
Coordonnées : \( A(-2; -11) \)
3. Système :
\[ \begin{cases} f(-2) = 4a - 2b = -11 \\ f'(-2) = -4a + b = 3 \end{cases} \]
Résolution :
\[ b = 3 + 4a \]
\[ 4a - 2(3 + 4a) = -11 \Rightarrow -4a - 6 = -11 \]
\[ a = \frac{5}{4}, b = 8 \]
Solution : \( f(x) = \frac{5}{4}x^2 + 8x \)
Énoncé : Soit \( f(x) = x^2 + 8x - 2 \) et \( h \neq 0 \).
Énoncé : Le taux de variation entre 4 et \( 4+h \) d'une fonction \( f \) est \( 2 + h \).
Énoncé : Pour \( h \neq 0 \), \( \frac{f(-7+h)-f(-7)}{h} = \frac{5}{3}(4h+9) \).
Énoncé : Soit \( f(x) = \sqrt{x} - 3 \) pour \( x \geq 0 \).
Énoncé : Soit \( f(x) = 2x^2 - 7 \).
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