Question 1

La dérivée de \( f(x) = 3x^2 - 5x + 1 \) est :

• a) \( 6x - 5 \)
• b) \( 3x - 5 \)
• c) \( 6x + 5 \)
• d) \( 3x^2 - 5 \)

Question 2

Si \( f'(x) > 0 \) sur un intervalle I, alors sur I :

• a) \( f \) est constante
• b) \( f \) est décroissante
• c) \( f \) est croissante
• d) \( f \) admet un extremum

Question 3

La dérivée de \( g(x) = (2x + 1)(x - 3) \) est :

• a) \( 4x - 5 \)
• b) \( 2x - 5 \)
• c) \( 4x - 1 \)
• d) \( 2x^2 - 5x - 3 \)

Question 4

Le nombre dérivé de \( h(x) = \sqrt{x} \) en \( x = 4 \) est :

• a) \( \frac{1}{4} \)
• b) \( \frac{1}{2} \)
• c) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
• d) \( 2 \)

Question 5

L'équation de la tangente à \( f(x) = x^3 \) au point d'abscisse 1 est :

• a) \( y = 3x^2 \)
• b) \( y = 3x - 2 \)
• c) \( y = x^3 + 3x \)
• d) \( y = 3x + 1 \)

Question 6

Si \( f''(x) > 0 \) sur un intervalle, alors \( f \) est :

• a) concave
• b) convexe
• c) constante
• d) ni convexe ni concave

Question 7

La dérivée de \( f(x) = e^{2x} \cdot x^2 \) est :

• a) \( e^{2x} (2x^2 + 2x) \)
• b) \( 2e^{2x} x^2 + 2e^{2x} x \)
• c) \( e^{2x} (x^2 + 4x) \)
• d) \( \frac{2e^{2x}}{x} \)

Question 8

Si \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \), que vaut \( f'(3) \) ?

• a) 0
• b) 1
• c) 2
• d) La fonction n'est pas dérivable en x=3

Question 9

Pour quelle valeur de \( k \) la fonction \( f(x) = \begin{cases} x^2 + kx & \text{si } x \leq 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases} \) est-elle dérivable en x=1 ?

• a) 0
• b) 1
• c) 2
• d) Aucune de ces valeurs

Question 10

La dérivée seconde de \( f(x) = \sin(x^2) \) est :

• a) \( 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2) \)
• b) \( -2x\sin(x^2) \)
• c) \( 2x\cos(x^2) \)
• d) \( \cos(x^2) - x^2\sin(x^2) \)

Question 11

Soit \( f \) dérivable telle que \( f(1) = 2 \) et \( f'(1) = 3 \). La dérivée en x=1 de \( g(x) = f(e^{x}) \) est :

• a) 2e
• b) 3e
• c) 6
• d) 3

Question 12

La fonction \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) admet combien de points d'inflexion ?

• a) 0
• b) 1
• c) 2
• d) 3

On se place dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\).

1. Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)
   1. a. Déterminer l'ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\) de \(f\).
   2. b. Étudier la parité et la périodicité de \(f\).
   3. c. Calculer \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
   4. d. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
   5. e. Dresser le tableau de variations complet de \(f\).
   6. f. Résoudre \(f(x) = 0\) et déterminer les points d'intersection avec les axes.
   7. g. Montrer que \(f\) admet un point d'inflexion en \(x=1\).
   8. h. Écrire l'équation de la tangente au point d'abscisse \(x=2\).
   9. i. Tracer l'allure de la courbe \(\mathcal{C}_f\) en annotant les éléments trouvés.
2. Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x) = \sqrt{4 - x^2}\)
   1. a. Déterminer \(\mathcal{D}_g\) et étudier la parité de \(g\).
   2. b. Montrer que \(\mathcal{C}_g\) admet un axe de symétrie.
   3. c. Étudier la dérivabilité de \(g\) en \(x=2\).
   4. d. Déterminer les extremums de \(g\) sur son domaine.

Dans cet exercice, on étudie une fonction rationnelle.

1. Soit \(h(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x}\)
   1. a. Déterminer \(\mathcal{D}_h\) et calculer \(\lim_{x \to -2^-} h(x)\) et \(\lim_{x \to 0^+} h(x)\).
   2. b. Étudier la dérivabilité sur \(\mathcal{D}_h\) et calculer \(h'(x)\).
   3. c. Montrer que le point \((-1; 0)\) est centre de symétrie pour \(\mathcal{C}_h\).
   4. d. Déterminer les asymptotes éventuelles à \(\mathcal{C}_h\).
   5. e. Étudier les variations et dresser le tableau complet.
   6. f. Déterminer les extremums locaux et globaux de \(h\).
   7. g. Préciser les points où la tangente est horizontale.
   8. h. Étudier la convexité de \(h\) sur \(\mathcal{D}_h\).
2. Pour la fonction \(k(x) = |x^2 - 4x + 3|\)
   1. a. Étudier la dérivabilité aux points où \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
   2. b. Déterminer les points anguleux de \(\mathcal{C}_k\).
   3. c. Étudier les variations de \(k\) sur \(\mathbb{R}\).

Question 1

La dérivée de \( f(x) = \frac{x^3}{3} - 2\sqrt{x} \) est :

• a) \( x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}} \)
• b) \( 3x^2 - \frac{2}{\sqrt{x}} \)
• c) \( x^2 - \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
• d) \( \frac{x^2}{3} - \frac{1}{\sqrt{x}} \)

Question 2

L'équation de la tangente à \( f(x) = e^x \) en \( x = 0 \) est :

• a) \( y = x \)
• b) \( y = x + 1 \)
• c) \( y = e^x \)
• d) \( y = 1 \)

Question 3

La fonction \( f(x) = x^3 - 3x \) admet un minimum local en :

• a) \( x = 0 \)
• b) \( x = 1 \)
• c) \( x = -1 \)
• d) \( x = \sqrt{3} \)

Question 4

La fonction \( f(x) = x^4 - 2x^2 \) est :

• a) impaire
• b) paire
• c) périodique
• d) ni paire ni impaire

Question 5

La fonction \( f(x) = |x^2 - 1| \) n'est pas dérivable en :

• a) \( x = 0 \) uniquement
• b) \( x = 1 \) uniquement
• c) \( x = -1 \) et \( x = 1 \)
• d) \( x = 0 \) et \( x = 1 \)

Question 6

Le domaine de définition de \( f(x) = \sqrt{2x - x^2} \) est :

• a) \( ]0, 2[ \)
• b) \( ]-\infty, 0[ \cup ]2, +\infty[ \)
• c) \( [0, 2] \)
• d) \( \mathbb{R} \)

Question 7

Pour \( f(x) = x^3 + kx^2 + 3x \), quelle valeur de \( k \) annule la dérivée en \( x = 1 \) ?

• a) -3
• b) 0
• c) 3
• d) 6

Question 8

Le point \( (1, 2) \) est centre de symétrie de la courbe de \( f \) si :

• a) \( f(1 + h) + f(1 - h) = 4 \) pour tout \( h \)
• b) \( f(h) + f(-h) = 4 \)
• c) \( f(2 + h) = f(2 - h) \)
• d) \( f(1 + h) = f(1 - h) \)

Question 9

Si \( f'(x) = (x - 1)(x + 2)^2 \), alors \( f \) :

• a) admet un maximum en \( x = -2 \) et minimum en \( x = 1 \)
• b) admet un minimum en \( x = -2 \) et maximum en \( x = 1 \)
• c) admet seulement un minimum en \( x = 1 \)
• d) est croissante sur \( \mathbb{R} \)

Question 10

La courbe de \( f(x) = x^3 - 2x \) coupe l'axe (Ox) en :

• a) 0 point
• b) 1 point
• c) 2 points
• d) 3 points

Question 11

La fonction \( f(x) = \sin(3x) + \cos\left(\frac{x}{2}\right) \) est périodique de période :

• a) \( \pi \)
• b) \( 2\pi \)
• c) \( 4\pi \)
• d) non périodique

Question 12

Soit \( f \) dérivable avec \( f'(x) = e^{-x^2} \). On peut affirmer que :

• a) \( f \) admet un maximum global
• b) \( f \) est bornée
• c) \( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
• d) \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \)

On considère les fonctions \( f \) et \( g \) définies par :

1. Étude de la fonction \( f \)
   1. a. Déterminer \(\mathcal{D}_f\) et étudier la parité.
   2. b. Calculer \( f'(x) \) et montrer que \( f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2} \).
   3. c. Dresser le tableau complet de variations de \( f \).
   4. d. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 2.
2. Relation entre \( f \) et \( g \)
   1. a. Simplifier l'expression de \( g(x) \).
   2. b. Étudier les positions relatives des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
   3. c. Montrer que les deux courbes admettent le même centre de symétrie.
3. Extremums et dérivabilité
   1. a. Déterminer les extremums locaux de \( g \).
   2. b. Étudier la dérivabilité de \( g \) en \( x = 0 \).

Soit \( u(x) = \sqrt{x^2 + 4} \) et \( v(x) = \frac{u(x)}{x} \) pour \( x \neq 0 \).

1. Analyse de \( u \)
   1. a. Déterminer \(\mathcal{D}_u\) et étudier la parité.
   2. b. Calculer \( u'(x) \) et étudier les variations.
   3. c. Montrer que \( u \) est convexe sur \(\mathbb{R}^+\).
2. Lien fonctionnel
   1. a. Exprimer \( v'(x) \) en fonction de \( u(x) \).
   2. b. Montrer que \( v \) admet un extremum en \( x = 2 \).
   3. c. Étudier les asymptotes de \( v \).
3. Symétrie et tangentes
   1. a. Montrer que \( v \) est impaire. Qu'en déduit-on graphiquement?
   2. b. Déterminer les points où la tangente à \(\mathcal{C}_v\) est horizontale.

Question 1

La dérivée de \( f(x) = x\sqrt{x} + \frac{1}{x^2} \) est :

• a) \( \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{2}{x^3} \)
• b) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x^3} \)
• c) \( \sqrt{x} + x - \frac{2}{x} \)
• d) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x^3} \)

Question 2

L'équation de la tangente à \( f(x) = e^x \) au point d'abscisse 0 est :

• a) \( y = x + 1 \)
• b) \( y = e^x \)
• c) \( y = 1 \)
• d) \( y = e^x + 1 \)

Question 3

La fonction \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) admet :

• a) Un maximum en 1 et un minimum en 3
• b) Un minimum en 1 et un maximum en 3
• c) Deux minima
• d) Aucun extremum

Question 4

Parmi ces fonctions, laquelle est impaire ?

• a) \( f(x) = x^4 - 2x^2 \)
• b) \( f(x) = \sin(x^2) \)
• c) \( f(x) = x^3 - x \)
• d) \( f(x) = \cos(x) \)

Question 5

La fonction \( f(x) = |x^2 - 4x| \) n'est pas dérivable en :

• a) \( x = 0 \) uniquement
• b) \( x = 4 \) uniquement
• c) \( x = 0 \) et \( x = 4 \)
• d) \( x = 2 \) uniquement

Question 6

Le domaine de définition de \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} \) est :

• a) \( ]-\infty, -2[ \cup [1, +\infty[ \)
• b) \( ]-2, 1] \)
• c) \( [1, +\infty[ \)
• d) \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \)

Question 7

Le point \( (1, 2) \) est centre de symétrie de \( f \) si :

• a) \( f(1 + h) = f(1 - h) \)
• b) \( f(1 + h) + f(1 - h) = 4 \)
• c) \( f(h) + f(-h) = 4 \)
• d) \( f(2 + h) = f(2 - h) \)

Question 8

Pour \( f(x) = x^4 - kx^3 \), la valeur de \( k \) qui donne un point critique en \( x = 2 \) est :

• a) 2
• b) 4
• c) 8/3
• d) 16/3

Question 9

La fonction \( f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 \) coupe l'axe (Ox) en :

• a) 1 point
• b) 2 points
• c) 3 points
• d) 4 points

Question 10

La droite \( x = 1 \) est axe de symétrie de \( f \) si :

• a) \( f(1 + h) = f(1 - h) \)
• b) \( f(1 + h) = -f(1 - h) \)
• c) \( f(h) = f(-h) \)
• d) \( f(2 + h) = f(-h) \)

Question 11

La fonction \( f(x) = \sin(πx) + \tan\left(\frac{x}{2}\right) \) est périodique de période :

• a) π
• b) 2π
• c) 4π
• d) non périodique

Question 12

Soit \( f \) dérivable avec \( f'(x) = (x+1)e^{-x} \). On peut affirmer que :

• a) \( f \) admet un minimum en \( x = -1 \)
• b) \( f \) est croissante sur \( \mathbb{R} \)
• c) \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)
• d) \( f \) admet un maximum en \( x = 1 \)

On étudie la fonction multiforme \( F \) définie par \( F(x) = \sqrt{x^2 - 4} \).

1. Analyse générale
   1. a. Déterminer le domaine de définition maximal \( \mathcal{D}_F \).
   2. b. Étudier la parité de chaque détermination de \( F \).
   3. c. Pour la détermination principale \( f \), calculer \( f(3) \) et \( f(-3) \).
2. Dérivabilité
   1. a. Choisir une détermination et étudier sa dérivabilité sur \( \mathcal{D}_F \).
   2. b. Calculer \( f'(x) \) pour \( x > 2 \) (détermination positive).
   3. c. Existe-t-il des points anguleux pour certaines déterminations?
3. Étude géométrique
   1. a. Combien de branches distinctes possède la courbe de \( F \)?
   2. b. Étudier les asymptotes éventuelles pour chaque branche.
   3. c. Déterminer les points d'intersection avec les axes.

Soit \( f_n \) la fonction définie par \( f_n(x) = x^3 + nx^2 - 4 \) où \( n \in \mathbb{R} \).

1. Étude générale
   1. a. Déterminer \( \mathcal{D}_{f_n} \) (indépendant de \( n \)).
   2. b. Calculer \( f_n'(x) \) et étudier son signe selon \( n \).
   3. c. Pour \( n = 1 \), dresser le tableau de variations complet.
2. Points critiques
   1. a. Déterminer les extremums en fonction de \( n \).
   2. b. Pour quelle valeur de \( n \) la fonction admet-elle un extremum en \( x = 1 \)?
   3. c. Étudier la nature des points critiques selon \( n \).
3. Intersections avec l'axe des abscisses
   1. a. Montrer que pour \( n > 3 \), \( f_n \) admet une unique racine réelle.
   2. b. Discuter selon \( n \) le nombre de solutions de \( f_n(x) = 0 \).
   3. c. Pour \( n = 2 \), déterminer les points d'intersection.

Barème indicatif :

• QCM : 0,5 point par question (6 points)
• Exercice 1 : 7 points
• Exercice 2 : 7 points

Question 1

La dérivée de la fonction \( f(x) = \frac{3x^2 - 1}{x} \) est :

• a) \( \frac{3x^2 + 1}{x^2} \)
• b) \( \frac{6x \cdot x - (3x^2 - 1)}{x^2} \)
• c) \( \frac{3x^2 - 1}{x^2} \)
• d) \( \frac{3x^2 + 1}{x} \)

Question 2

L'équation de la tangente à la courbe de \( f(x) = e^{x^2} \) au point d'abscisse 0 est :

• a) \( y = 2x \)
• b) \( y = 1 \)
• c) \( y = 1 + 2x \)
• d) \( y = e^{x^2} \)

Question 3

La fonction \( f(x) = x^2 - 4 \) coupe l'axe (Ox) en :

• a) un seul point
• b) deux points
• c) aucun point
• d) trois points

Question 4

La fonction \( f(x) = |x - 2| \) n'est pas dérivable en :

• a) \( x = 0 \)
• b) \( x = 1 \)
• c) \( x = 2 \)
• d) \( x = -2 \)

Question 5

La droite \( x = 0 \) est un axe de symétrie de :

• a) \( f(x) = \sin(x) \)
• b) \( f(x) = x^3 - x \)
• c) \( f(x) = x^2 \)
• d) \( f(x) = \tan(x) \)

Question 6

Le point \( (0, 0) \) est un centre de symétrie de :

• a) \( f(x) = x^3 \)
• b) \( f(x) = x^2 \)
• c) \( f(x) = |x| \)
• d) \( f(x) = \sqrt{x} \)

Question 7

La fonction \( f(x) = \cos(x) \) est :

• a) Paire et périodique
• b) Impaire et périodique
• c) Paire et non périodique
• d) Ni paire ni périodique

Question 8

Le domaine de définition de \( f(x) = \ln(x^2 - 4) \) est :

• a) \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \)
• b) \( ]-2, 2[ \)
• c) \( ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[ \)
• d) \( \mathbb{R} \)

Question 9

La fonction \( f(x) = x^3 - 3x \) possède :

• a) un maximum local en \( x = 0 \)
• b) un minimum local en \( x = 0 \)
• c) un maximum local en \( x = -1 \) et un minimum local en \( x = 1 \)
• d) un minimum global en \( x = 0 \)

Question 10

Pour \( f(x) = x^4 - 4x^3 \), les points critiques sont :

• a) \( x = 0 \)
• b) \( x = 3 \)
• c) \( x = 0 \) et \( x = 3 \)
• d) \( x = 0 \), \( x = 2 \) et \( x = 3 \)

Question 11

Si \( f'(x) > 0 \) sur un intervalle \( I \), alors :

• a) \( f \) est décroissante sur \( I \)
• b) \( f \) est constante sur \( I \)
• c) \( f \) est croissante sur \( I \)
• d) \( f \) admet un maximum sur \( I \)

Question 12

Soit \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \). On peut affirmer que :

• a) \( f \) admet un maximum global en \( x = 1 \)
• b) \( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
• c) \( f \) admet un maximum local en \( x = 1 \)
• d) \( f \) admet un minimum local en \( x = 0 \)

On considère la fonction \( f \) définie par :

1. Analyse générale
   1. a. Déterminer le domaine de définition \( \mathcal{D}_f \).
   2. b. Étudier la continuité de \( f \) en \( x = 2 \).
   3. c. Calculer \( f(0) \), \( f(2) \) et \( f(3) \).
2. Dérivabilité
   1. a. Étudier la dérivabilité de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
   2. b. Calculer \( f'(x) \) pour \( x > 2 \) et pour \( x < 2 \).
   3. c. La fonction \( f \) est-elle dérivable en \( x = 2 \) ?
3. Étude des variations
   1. a. Dresser le tableau de variations complet de \( f \).
   2. b. Déterminer les extremums locaux de \( f \).
   3. c. Étudier la convexité de chaque branche de \( f \).

Soit \( f_n \) la fonction définie pour \( n \in \mathbb{N}^* \) par :

1. Étude générale
   1. a. Déterminer le domaine de définition \( \mathcal{D}_{f_n} \).
   2. b. Étudier la parité de la fonction \( f_n \).
   3. c. Identifier les zéros éventuels de la fonction et ses valeurs particulières.
2. Dérivée et variations
   1. a. Calculer \( f_n'(x) \) et étudier son signe.
   2. b. Dresser le tableau de variations pour \( n = 1 \) et \( n = 2 \).
   3. c. Montrer que chaque fonction \( f_n \) admet un extremum en \( x = 0 \), et en préciser la nature.
   4. d. Étudier l’évolution de la position et de la valeur des extremums lorsque \( n \) varie.
   5. e. Calculer la dérivée seconde \( f_n''(x) \) et étudier son signe.
3. Comportement algébrique
   1. a. Étudier le signe de \( f_n(x) \) sur \( \mathbb{R} \) pour un \( n \) donné.
   2. b. Résoudre l’équation \( f_n(x) = 0 \) pour différentes valeurs de \( n \).
   3. c. Étudier la position de la courbe \( f_n \) par rapport à la droite \( y = 0 \).

📋 Informations pratiques

• Durée : 3 heures
• Calculatrice non autorisée
• Barème : QCM (6 pts) + Exercice 1 (7 pts) + Exercice 2 (7 pts) = 20 pts
• Toutes les réponses doivent être justifiées sauf pour le QCM

Question 1

Quelle expression correspond à la définition de la dérivée de \( f \) en un point \( a \) ?

• a) \( \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \)
• b) \( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
• c) \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
• d) \( \lim_{x \to a} \frac{f(a) - f(x)}{x - a} \)

Question 2

La dérivée de toute fonction constante est :

• a) Égale à la fonction elle-même
• b) Nulle
• c) Inconnue
• d) Égale à 1

Question 3

Si \( f'(a) = 0 \), alors la tangente au point \( x = a \) est :

• a) Verticale
• b) Horizontale
• c) Inclinée à 45°
• d) Inexistante

Question 4

Quel est le domaine de définition de \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 9} \) ?

• a) \( \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\} \)
• b) \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
• c) \( [-3, 3] \)
• d) \( \mathbb{R} \)

Question 5

On sait que \( f'(2) = -5 \). Cela signifie que :

• a) \( f \) est constante au voisinage de 2
• b) \( f \) croît autour de 2
• c) \( f \) décroît autour de 2
• d) La tangente en 2 est verticale

Question 6

Une fonction possède une symétrie centrale par rapport au point \( (a, f(a)) \) si :

• a) \( f(a + h) = f(a - h) \)
• b) \( f(a + h) + f(a - h) = 2f(a) \)
• c) \( f(a + h) + f(a - h) = 0 \)
• d) \( f(h) = f(-h) \)

Question 7

Quelle affirmation est vraie ?

• a) Toute fonction dérivable est continue
• b) Toute fonction continue est dérivable
• c) Une fonction peut être dérivable sans être continue
• d) La continuité implique l’existence d’une dérivée

Question 8

Quelle fonction parmi les suivantes est périodique ?

• a) \( f(x) = x^2 \)
• b) \( f(x) = \sqrt{x} \)
• c) \( f(x) = \cos(x) \)
• d) \( f(x) = e^x \)

Question 9

Combien de racines possède la fonction \( f(x) = x^3 - 3x \) ?

• a) Une seule
• b) Deux
• c) Trois
• d) Aucune

Question 10

La fonction \( f(x) = x^5 - x^3 \) est :

• a) Paire
• b) Impaire
• c) Ni paire ni impaire
• d) Constante

Question 11

Soit \( f(x) = -x^2 + 4x \). Quel est le maximum global sur \( \mathbb{R} \) ?

• a) 0
• b) 4
• c) 8
• d) 16

Question 12

Si \( f'(x) \) change de signe en \( x = 1 \) de + à -, alors :

• a) \( f \) admet un minimum local en 1
• b) \( f \) admet un maximum local en 1
• c) \( f \) est décroissante en 1
• d) \( f \) est constante en 1

On considère la fonction \( f \) définie par :

1. Analyse générale
   1. a. Déterminer le domaine de définition \( \mathcal{D}_f \) de la fonction \( f \).
   2. b. Étudier la continuité de \( f \) en \( x = 2 \) en justifiant vos calculs.
   3. c. Calculer explicitement \( f(0) \), \( f(2) \) et \( f(3) \).
   4. d. Tracer la représentation graphique de chacune des deux branches de \( f \) sur leurs domaines respectifs, puis esquisser la courbe complète de \( f \).
2. Dérivabilité
   1. a. Vérifier que \( f \) est dérivable sur chacun des intervalles \( (-\infty, 2) \) et \( (2, +\infty) \).
   2. b. Calculer \( f'(x) \) pour \( x < 2 \) et pour \( x > 2 \).
   3. c. Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( x = 2 \) en examinant la continuité de \( f' \) en ce point.
   4. d. Si \( f \) n’est pas dérivable en \( x=2 \), proposer une modification de la définition de \( f \) permettant d’obtenir une fonction dérivable en \( x=2 \).
3. Étude des variations
   1. a. Étudier le signe de \( f'(x) \) sur chaque intervalle pour dresser le tableau de variations complet de \( f \).
   2. b. Identifier les extremums locaux de \( f \) ainsi que leur nature (minimum, maximum).
   3. c. Déterminer la convexité ou concavité de chacune des branches en calculant la dérivée seconde \( f''(x) \).
   4. d. Interpréter le comportement asymptotique de \( f(x) \) lorsque \( x \to -\infty \) et \( x \to +\infty \).
4. Applications
   1. a. Résoudre l’équation \( f(x) = 1 \).
   2. b. Résoudre l’inéquation \( f(x) \leq 2 \).
   3. c. Calculer l’aire sous la courbe de \( f \) entre \( x=0 \) et \( x=3 \).

Soit \( f_n \) la fonction définie pour \( n \in \mathbb{N}^* \) par :

1. Étude générale
   1. a. Déterminer le domaine de définition \( \mathcal{D}_{f_n} \) de la fonction \( f_n \).
   2. b. Étudier la parité de \( f_n \) et interpréter le résultat géométriquement.
   3. c. Identifier les éventuels zéros de la fonction et les valeurs remarquables.
2. Dérivée et variations
   1. a. Calculer la dérivée \( f_n'(x) \) et étudier son signe selon \( x \) et \( n \).
   2. b. Dresser le tableau de variations complet de \( f_n \) pour \( n = 1 \) et \( n = 2 \).
   3. c. Déterminer si \( f_n \) admet un extremum local et en préciser la nature (maximum ou minimum).
   4. d. Étudier l’évolution de la position et de la nature des extremums lorsque \( n \) varie.
   5. e. Étudier la convexité de \( f_n \) en analysant le signe de sa dérivée seconde \( f_n''(x) \).
3. Intersections et comportement algébrique
   1. a. Déterminer les points d’intersection entre \( f_n \) et l’axe des abscisses.
   2. b. Résoudre l’équation \( f_n(x) = \frac{1}{2} \) pour \( n = 1 \) et \( n = 3 \).
   3. c. Étudier le signe de \( f_n(x) \) sur \( \mathbb{R} \) pour un \( n \) fixé.

Question 1

La dérivée de \( f(x) = x \cdot e^x \) est :

• a) \( e^x \)
• b) \( x \cdot e^x \)
• c) \( e^x + x \cdot e^x \)
• d) \( x \cdot e^{x-1} \)

Question 2

La dérivée de \( f(x) = \frac{e^{x^2}}{x} \) est :

• a) \( \frac{2xe^{x^2}}{x^2} \)
• b) \( \frac{e^{x^2}}{x^2} \)
• c) \( \frac{2x \cdot e^{x^2}}{x} \)
• d) \( \frac{e^{x^2} - 2x \cdot e^{x^2}}{x^2} \)

Question 3

La fonction \( f(x) = -x^2 + 4x \) est croissante sur :

• a) \( ]-\infty, 2] \)
• b) \( [2, +\infty[ \)
• c) \( \mathbb{R} \)
• d) \( [0, 4] \)

Question 4

La fonction \( f(x) = |x - 1| \) est dérivable :

• a) En tout \( x \in \mathbb{R} \)
• b) Partout sauf en \( x = 0 \)
• c) Partout sauf en \( x = 1 \)
• d) Nulle part

Question 5

Si \( f'(a) > 0 \), alors :

• a) La courbe est décroissante au point \( x = a \)
• b) La tangente est horizontale
• c) La courbe est croissante au voisinage de \( a \)
• d) \( f \) admet un maximum local

Question 6

La fonction \( f(x) = x^2 \cdot \cos(x) \) est :

• a) Paire
• b) Impaire
• c) Ni paire ni impaire
• d) Constante

Question 7

Le domaine de définition de \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \) est :

• a) \( \mathbb{R} \)
• b) \( [-2, 2] \)
• c) \( ]-2, 2[ \)
• d) \( x \in \mathbb{R}, x \neq \pm2 \)

Question 8

La tangente à \( f(x) = \frac{1}{x} \) au point d'abscisse 1 est :

• a) \( y = -x + 2 \)
• b) \( y = -\frac{1}{x^2} \)
• c) \( y = -x + 1 \)
• d) \( y = -x + 3 \)

Question 9

La fonction \( f(x) = \cos(x) + \cos(2x) \) est :

• a) Périodique de période \( \pi \)
• b) Périodique de période \( 2\pi \)
• c) Non périodique
• d) Périodique de période \( \frac{\pi}{2} \)

Question 10

La fonction \( f(x) = x^4 - 4x^2 \) admet :

• a) Deux minimums locaux
• b) Un maximum global en 0
• c) Un maximum local en \( x = 0 \)
• d) Aucun extremum

Question 11

Pour \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \), les points critiques sont :

• a) \( x = 0 \) et \( x = 3 \)
• b) \( x = 1 \) et \( x = 3 \)
• c) \( x = 1 \) uniquement
• d) Aucun

Question 12

La droite \( x = 0 \) est un axe de symétrie de la courbe représentative de :

• a) \( f(x) = x^3 \)
• b) \( f(x) = e^x \)
• c) \( f(x) = \cos(x) \)
• d) \( f(x) = \tan(x) \)

On considère la fonction \( f \) définie par :

1. Domaine de définition et parité
   1. Déterminer l'ensemble de définition \( D_f \) de \( f \).
   2. La fonction \( f \) est-elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre ? Justifier.
2. Intersections avec les axes
   1. Déterminer les points d'intersection de \( \mathcal{C}_f \) avec l'axe des ordonnées.
   2. Déterminer les points d'intersection de \( \mathcal{C}_f \) avec l'axe des abscisses.
3. Dérivabilité et variations
   1. Calculer \( f'(x) \) et montrer que \( f'(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x - 1)^2} \).
   2. Étudier le signe de \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations complet.
4. Tangentes particulières
   1. Déterminer une équation de la tangente à \( \mathcal{C}_f \) au point d'abscisse 2.
   2. Existe-t-il des points où la tangente est horizontale ? Si oui, les déterminer.
5. Symétrie et comportement local
   1. Montrer que le point \( I(1; 2) \) est centre de symétrie de \( \mathcal{C}_f \).
   2. Déterminer les valeurs de \( f(x) \) pour \( x \) proche de 1 (par exemple x = 0,9 ; x = 1,1).

On considère la fonction \( g \) définie par :

1. Périodicité et symétries
   1. La fonction \( g \) est-elle périodique ? Si oui, préciser sa période.
   2. Étudier la parité de \( g \).
2. Dérivation et extremums
   1. Calculer \( g'(x) \) et résoudre \( g'(x) = 0 \) sur \( [-\pi, \pi] \).
   2. Dresser le tableau de variations complet sur \( [-\pi, \pi] \).
   3. Identifier les extremums locaux et globaux.
3. Points critiques et tangentes
   1. Déterminer les points critiques de \( g \).
   2. Donner l'équation de la tangente aux points d'abscisse \( x = \frac{\pi}{4} \).
4. Représentation graphique
   1. Tracer l'allure de la courbe en y faisant apparaître les éléments remarquables.
   2. Déterminer les intersections avec l'axe des abscisses.

Question 1

La dérivée de \( f(x) = x^2\sqrt{x} \) est :

• a) \( \frac{5}{2}x^{3/2} \)
• b) \( \frac{3}{2}x^{1/2} \)
• c) \( 2x\sqrt{x} + \frac{x^2}{2\sqrt{x}} \)
• d) \( x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Question 2

La dérivée de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) est :

• a) \( \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \)
• b) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \)
• c) \( \frac{-1}{x^2 + 1} \)
• d) \( \frac{-x}{(x^2 + 1)^2} \)

Question 3

Si \( y = x^2 + y^2 \), alors \( \frac{dy}{dx} \) vaut :

• a) \( \frac{2x}{1 - 2y} \)
• b) \( \frac{2y}{1 - 2x} \)
• c) \( \frac{1 - 2x}{2y} \)
• d) \( \frac{2x}{1 + 2y} \)

Question 4

Si une courbe \( f \) a une tangente horizontale en \( x = a \), alors la tangente à la courbe de \( g(x) = f^{-1}(x) \) au point \( y = f(a) \) est :

• a) Horizontale
• b) Verticale
• c) Inexistante
• d) De pente 0

Question 5

La fonction \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) est :

• a) Strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
• b) Strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \)
• c) Croissante puis décroissante puis croissante
• d) Décroissante puis croissante puis décroissante

Question 6

L’axe de symétrie de \( f(x) = -2x^2 + 4x - 5 \) est :

• a) \( x = -1 \)
• b) \( x = 1 \)
• c) \( x = 2 \)
• d) \( x = 0 \)

Question 7

La fonction \( f(x) = x|x| \) est :

• a) Continue et dérivable sur \( \mathbb{R} \)
• b) Dérivable en 0 mais pas continue
• c) Continue mais non dérivable en 0
• d) Ni continue ni dérivable en 0

Question 8

La fonction \( f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \) est :

• a) Paire
• b) Impaire
• c) Ni paire ni impaire
• d) Constante

Question 9

La fonction \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) admet un maximum global sur \( \mathbb{R} \) en :

• a) \( x = 0 \)
• b) \( x = 1 \)
• c) \( x = -1 \)
• d) \( x = \sqrt{3} \)

Question 10

Combien de points critiques possède la fonction \( f(x) = x^5 - 5x^3 + 4x \) ?

• a) 1
• b) 2
• c) 3
• d) 4

Question 11

Le point \( (1, f(1)) \) est un centre de symétrie pour une fonction \( f \) si :

• a) \( f(1 + h) = f(1 - h) \)
• b) \( f(1 + h) + f(1 - h) = 2f(1) \)
• c) \( f(1 + h) + f(1 - h) = 0 \)
• d) \( f(h) + f(-h) = 0 \)

Question 12

La dérivée de \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) est :

• a) \( \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} \)
• b) \( \frac{2x(x - 1) + (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} \)
• c) \( \frac{2x(x - 1) - (x^2 - 1)}{(x - 1)^2} \)
• d) \( \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} \)

On considère la fonction \( h \) définie par :

1. Domaine de définition et comportement global
   1. Déterminer l'ensemble de définition \( D_h \) de \( h \).
   2. Calculer \( h(-1) \), \( h(0) \), \( h(1) \) et \( h(2) \). Que remarque-t-on ?
2. Dérivation et points critiques
   1. Calculer \( h'(x) \) et factoriser l'expression obtenue.
   2. Déterminer les abscisses des points où la tangente est horizontale.
3. Variations et extremums
   1. Dresser le tableau de variations complet de \( h \) sur \( \mathbb{R} \).
   2. Préciser la nature des extremums locaux (maximum ou minimum).
4. Tangentes et intersections
   1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
   2. Montrer que la courbe coupe l'axe des abscisses en trois points distincts.

On considère la fonction \( k \) définie par :

1. Domaine de définition et symétrie
   1. Déterminer l'ensemble de définition \( D_k \) de \( k \).
   2. Étudier la parité de la fonction \( k \). Que peut-on en déduire graphiquement ?
2. Dérivation et variations
   1. Calculer \( k'(x) \) sur l'intervalle \( ]-2; 2[ \).
   2. Étudier le signe de \( k'(x) \) et en déduire les variations de \( k \).
3. Points particuliers
   1. Déterminer les points d'intersection avec les axes du repère.
   2. Existe-t-il des points où la tangente est verticale ? Justifier.
4. Représentation graphique
   1. Déterminer les coordonnées du point de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 1.
   2. Esquisser l'allure de la courbe représentative en utilisant les informations précédentes.

Question 1

La dérivée de \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \) est :

• a) \( \frac{(x^2 + 1)(\frac{1}{2\sqrt{x}}) - \sqrt{x} \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \)
• b) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2x\sqrt{x}}{(x^2 + 1)^2} \)
• c) \( \frac{1}{2\sqrt{x}(x^2 + 1)} \)
• d) \( \frac{2x\sqrt{x} - (x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} \)

Question 2

Si \( x^2 + y^2 = 25 \), alors \( \frac{dy}{dx} \) vaut :

• a) \( \frac{-x}{y} \)
• b) \( \frac{x}{y} \)
• c) \( \frac{-2x}{2y} \)
• d) \( \frac{2x}{2y} \)

Question 3

La fonction \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) est :

• a) Strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
• b) Strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \)
• c) Croissante sur \( ]-\infty, 1[ \), décroissante sur \( ]1, +\infty[ \)
• d) Croissante sur \( ]-\infty, 0[ \), décroissante sur \( ]0, +\infty[ \)

Question 4

La tangente à \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} \) au point \( x = 2 \) a pour pente :

• a) \( -\frac{4}{9} \)
• b) \( \frac{4}{9} \)
• c) \( -\frac{1}{3} \)
• d) \( \frac{1}{3} \)

Question 5

La fonction \( f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases} \) est dérivable :

• a) Partout sur \( \mathbb{R} \)
• b) Partout sauf en \( x = 1 \)
• c) Non dérivable en \( x = 0 \)
• d) Dérivable seulement pour \( x > 1 \)

Question 6

La droite \( x = 3 \) est axe de symétrie de la fonction :

• a) \( f(x) = (x - 3)^2 \)
• b) \( f(x) = x^2 + 6x + 9 \)
• c) \( f(x) = (x + 3)^2 \)
• d) \( f(x) = x^2 - 6x + 9 \)

Question 7

La fonction \( f(x) = x^2 \cdot \tan(x) \) est :

• a) Paire
• b) Impaire
• c) Ni paire ni impaire
• d) Constante

Question 8

Le domaine de définition de \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \) est :

• a) \( [-2, 2] \)
• b) \( \mathbb{R} \)
• c) \( ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[ \)
• d) \( \mathbb{R} \setminus [-2, 2] \)

Question 9

La fonction \( f(x) = \cos(3x) + \cos(x) \) est périodique de période :

• a) \( \frac{2\pi}{3} \)
• b) \( \pi \)
• c) \( 2\pi \)
• d) \( 6\pi \)

Question 10

La fonction \( f(x) = x^4 - 4x^2 \) admet son maximum local en :

• a) \( x = 0 \)
• b) \( x = 2 \)
• c) \( x = -2 \)
• d) Aucun maximum local

Question 11

Les points critiques de \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) sont :

• a) \( x = 1 \) uniquement
• b) \( x = 0 \) et \( x = 2 \)
• c) \( x = 0 \) et \( x = 3 \)
• d) Aucun

Question 12

Le point \( (2, f(2)) \) est centre de symétrie de \( f \) si :

• a) \( f(2 + h) = f(2 - h) \)
• b) \( f(2 + h) + f(2 - h) = 0 \)
• c) \( f(2 + h) + f(2 - h) = 2f(2) \)
• d) \( f(h) + f(-h) = 2f(2) \)

Soit la fonction \( f \) définie sur ℝ par \( f(x) = -x^2 + 3x + 4 \). Sa courbe représentative \( C_f \) est donnée ci-dessous :

1. Lecture graphique
   1. Par lecture graphique, résoudre l'équation \( f(x) = 0 \) d'inconnue \( x \).
   2. Déterminer graphiquement le maximum de la fonction \( f \).
2. Tangente à la courbe
   1. On donne \( f'(x) = -2x + 3 \) pour tout réel \( x \). Déterminer une équation de la tangente \( T \) à la courbe \( C_f \) au point d'abscisse 1.
   2. Vérifier que le point \( A(2; 6) \) appartient à cette tangente \( T \).
3. Recherche de tangentes particulières
   1. On considère le point \( B(0; 4) \). Déterminer les points de \( C_f \) en lesquels la tangente passe par \( B \).
   2. Combien existe-t-il de telles tangentes ? Justifier.

Soit la fonction \( g \) définie sur ℝ\{2} par \( g(x) = \frac{2x - 1}{x - 2} \).

1. Étude graphique
   1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de \( C_g \) avec l'axe des ordonnées.
   2. Résoudre graphiquement \( g(x) = 1 \) (on pourra s'aider d'une calculatrice).
2. Dérivée et tangente
   1. Montrer que \( g'(x) = \frac{-3}{(x - 2)^2} \) pour tout \( x \neq 2 \).
   2. En déduire une équation de la tangente au point d'abscisse 3.
3. Problème de tangente
   1. Montrer qu'il existe exactement deux tangentes à \( C_g \) passant par l'origine du repère.
   2. Déterminer les abscisses des points de contact pour ces tangentes.
4. Variations
   1. Dresser le tableau de variations complet de \( g \).
   2. Justifier que \( g \) ne possède aucun extremum local.

Question 1

On considère la fonction \( f(x) = x \cdot \sqrt{x^2 + 1} \). Sa dérivée est :

• a) \( \sqrt{x^2 + 1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
• b) \( \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
• c) \( \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
• d) \( \sqrt{x^2 + 1} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)

Question 2

Soit une fonction continue \( f \) telle que \( f(-1) = 2 \), \( f(0) = 0 \), \( f(1) = -2 \), et sa dérivée est négative sur \( [-1,1] \). Que peut-on dire de \( f \) sur cet intervalle ?

• a) \( f \) est croissante sur \( [-1,1] \)
• b) \( f \) est constante
• c) \( f \) est décroissante sur \( [-1,1] \)
• d) \( f \) est convexe sur \( [-1,1] \)

Question 3

Un objet suit une trajectoire selon \( f(t) = \frac{t^2}{t+1} \). La vitesse instantanée à l’instant \( t = 1 \) est :

• a) \( \frac{1}{4} \)
• b) \( \frac{2}{3} \)
• c) \( \frac{3}{4} \)
• d) \( 1 \)

Question 4

L'axe de symétrie de la fonction \( f(x) = 3x^2 - 12x + 7 \) est :

• a) \( x = -2 \)
• b) \( x = 2 \)
• c) \( x = 1 \)
• d) \( x = 4 \)

Question 5

La fonction \( f(x) = |x^3 - x| \) n’est pas dérivable en :

• a) \( x = -1 \) et \( x = 1 \)
• b) \( x = 0 \)
• c) \( x = 0 \) et \( x = 1 \)
• d) \( x = -1, 0, 1 \)

Question 6

La hauteur d’un projectile est donnée par \( h(t) = -5t^2 + 20t + 3 \). Le moment où il atteint sa hauteur maximale est :

• a) \( t = 1 \)
• b) \( t = 2 \)
• c) \( t = 3 \)
• d) \( t = 4 \)

Question 7

La fonction \( f(x) = x^2 \cdot \cos(x) \) est :

• a) Paire
• b) Impaire
• c) Ni paire ni impaire
• d) Constante

Question 8

La fonction \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) coupe l’axe des abscisses en :

• a) 1 point
• b) 2 points
• c) 3 points
• d) Aucun point

Question 9

Un graphe est symétrique par rapport au point \( (2,3) \) si et seulement si :

• a) \( f(2 + h) = f(2 - h) \)
• b) \( f(2 + h) + f(2 - h) = 6 \)
• c) \( f(2 + h) + f(2 - h) = 2f(2) \)
• d) \( f(h) + f(-h) = 6 \)

Question 10

Le domaine de définition de \( f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x - 2}} \) est :

• a) \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \)
• b) \( ]-\infty, -1] \cup [1, 2[ \cup ]2, +\infty[ \)
• c) \( ]-\infty, -1[ \cup ]1, 2[ \cup ]2, +\infty[ \)
• d) \( [-1,1] \cup \{2\} \)

Question 11

Combien de points critiques possède la fonction \( f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 \) ?

• a) 0
• b) 1
• c) 2
• d) 3

Question 12

Le coût de production d’un objet est modélisé par \( C(x) = x^2 - 8x + 25 \). Le coût minimal est atteint pour :

• a) \( x = 2 \)
• b) \( x = 4 \)
• c) \( x = 5 \)
• d) \( x = 8 \)

On considère la fonction \( f \) définie sur ℝ par \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Sa courbe représentative \( C_f \) est donnée ci-dessous :

1. Lecture graphique
   1. Par lecture graphique, donner une solution approchée de \( f(x) = 0 \).
   2. Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
2. Dérivée et variations
   1. Calculer \( f'(x) \) et montrer que \( f'(x) = 6(x - 2)(x + 1) \).
   2. Dresser le tableau de variations complet de \( f \) sur ℝ.
3. Tangentes particulières
   1. Déterminer l'abscisse du point où la tangente a un coefficient directeur égal à 18.
   2. Montrer que la tangente au point d'abscisse 1 passe par l'origine du repère.

On considère la fonction \( g \) définie et dérivable sur [0; +∞[ par \( g(x) = x^3 - 2x^2 - x + 3 \).

1. Calcul de dérivée
   1. Calculer \( g'(x) \) et montrer que \( g'(x) = 3(x + \frac{1}{3})(x - 1) \).
   2. Vérifier que \( g'(x) = 3x^2 - 4x - 1 \).
2. Étude des variations
   1. Dresser le tableau de variations complet de \( g \) sur [0; +∞[.
   2. Déterminer les extremums locaux de \( g \).
3. Problèmes de tangentes
   1. Déterminer l'abscisse du point où la tangente a pour coefficient directeur 5.
   2. Montrer qu'il existe une tangente parallèle à la droite d'équation \( y = -x \).
4. Points particuliers
   1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
   2. Résoudre \( g(x) = 3 \) par le calcul.

Question 1

Soit \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} \). La dérivée de \( f \) est :

• a) \( \frac{x}{(x^2 + 2)^{3/2}} \)
• b) \( -\frac{x}{(x^2 + 2)^{3/2}} \)
• c) \( -\frac{1}{(x^2 + 2)^{1/2}} \)
• d) \( \frac{1}{(x^2 + 2)^{3/2}} \)

Question 2

La vitesse d’un objet est donnée par \( v(t) = \frac{t}{t^2 + 1} \). Son accélération à \( t = 1 \) est :

• a) \( \frac{2}{(1^2 + 1)^2} \)
• b) \( \frac{1}{2} \)
• c) \( \frac{-1}{2} \)
• d) \( \frac{-1}{(1^2 + 1)^2} \)

Question 3

Un fabricant veut minimiser le coût donné par \( C(x) = x^2 - 6x + 13 \). Le coût minimum est atteint pour :

• a) \( x = 2 \)
• b) \( x = 3 \)
• c) \( x = 6 \)
• d) \( x = -3 \)

Question 4

Le domaine de définition de \( f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x^2 - 4}} \) est :

• a) \( ]-\infty, -2[ \cup ]2, 3] \)
• b) \( [3, +\infty[ \setminus \{2\} \)
• c) \( [3, +\infty[ \)
• d) \( ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[ \)

Question 5

Le mouvement d’un objet est modélisé par \( f(t) = \sqrt{4t + 1} \). La pente de la tangente en \( t = 2 \) est :

• a) \( \frac{4}{\sqrt{9}} \)
• b) \( \frac{2}{\sqrt{9}} \)
• c) \( \frac{2}{3} \)
• d) \( \frac{1}{3} \)

Question 6

La fonction \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) admet un point critique en :

• a) \( x = 3 \)
• b) \( x = 1 \)
• c) \( x = 0 \)
• d) \( x = 2 \)

Question 7

L’axe de symétrie de \( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \) est :

• a) \( x = -2 \)
• b) \( x = 4 \)
• c) \( x = 2 \)
• d) \( x = 1 \)

Question 8

La fonction \( f(x) = x^3 - 4x \) coupe l’axe des abscisses en :

• a) 1 point
• b) 2 points
• c) 3 points
• d) Aucun point

Question 9

La fonction \( f(x) = x \cdot \cos(x) \) est :

• a) Paire
• b) Impaire
• c) Ni paire ni impaire
• d) Constante

Question 10

Le point \( (1, f(1)) \) est un centre de symétrie de \( f \) si :

• a) \( f(1 + h) = f(1 - h) \)
• b) \( f(1 + h) + f(1 - h) = 2f(1) \)
• c) \( f(h) + f(-h) = 2f(1) \)
• d) \( f(1 + h) - f(1 - h) = 0 \)

Question 11

La fonction \( f(x) = \cos(x) + \cos(2x) \) est périodique de période :

• a) \( \pi \)
• b) \( 2\pi \)
• c) \( \frac{\pi}{2} \)
• d) \( 4\pi \)

Question 12

La fonction \( f(x) = |x - 2| + |x + 1| \) est non dérivable en :

• a) \( x = 2 \) uniquement
• b) \( x = -1 \) uniquement
• c) \( x = -1 \) et \( x = 2 \)
• d) Aucun point

Soit la fonction \( f \) définie sur ℝ par \( f(x) = x^3 + mx^2 - 4x + 1 \) où \( m \) est un réel.

1. Calcul de dérivée
   1. Exprimer \( f'(x) \) en fonction de \( m \) et \( x \).
   2. Pour \( m = 1 \), montrer que \( f'(x) = 3(x + 2)(x - \frac{2}{3}) \).
2. Étude de cas particulier (m = 1)
   1. Dresser le tableau de variations de \( f \) sur ℝ.
   2. Déterminer les coordonnées du point où la tangente est horizontale.
3. Problème de tangente
   1. Pour \( m = 0 \), montrer que la tangente au point d'abscisse 1 passe par l'origine.
   2. Déterminer la valeur de \( m \) pour que la tangente en \( x = -1 \) ait un coefficient directeur de 5.
4. Intersection avec les axes
   1. Pour \( m = 2 \), déterminer les points d'intersection avec l'axe des ordonnées.
   2. Montrer que pour tout \( m \), la courbe coupe l'axe des abscisses en au moins un point.

On considère la fonction \( g \) définie sur ℝ\{-1} par \( g(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{x + 1} \).

1. Forme simplifiée
   1. Montrer que \( g(x) = x + 1 + \frac{2}{x + 1} \).
   2. En déduire \( \lim_{x \to -1} g(x) \) (sans justification rigoureuse).
2. Dérivée et variations
   1. Calculer \( g'(x) \) sous forme factorisée.
   2. Dresser le tableau de variations complet de \( g \).
3. Tangentes particulières
   1. Déterminer les points où la tangente est parallèle à la droite \( y = x \).
   2. Montrer qu'il existe deux tangentes passant par le point \( A(0; 4) \).
4. Extremums et symétrie
   1. Déterminer les extremums locaux de \( g \).
   2. Étudier la symétrie de la courbe représentative de \( g \).

Question 1

Soit \( f(x) = \cos(x^2) \). La dérivée de \( f \) est :

• a) \( -\sin(x^2) \)
• b) \( -2x\sin(x^2) \)
• c) \( -\cos(x)\cdot2x \)
• d) \( 2x\cos(x^2) \)

Question 2

Un mobile se déplace selon \( s(t) = t^2e^{-t} \). La vitesse du mobile au temps \( t = 1 \) est :

• a) \( 2e^{-1} \)
• b) \( e^{-1} \)
• c) \( e^{-1}(2 - 1) \)
• d) \( e^{-1}(2 - t) \)

Question 3

Le domaine de définition de \( f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x + 3}} \) est :

• a) \( [-1, 1] \setminus \{-3\} \)
• b) \( ]-\infty, -1] \cup [1, +\infty[ \setminus \{-3\} \)
• c) \( \mathbb{R} \setminus \{-3\} \)
• d) \( ]-\infty, -3[ \cup ]-3, +\infty[ \)

Question 4

La fonction \( f(x) = x^2\sin(x) \) est :

• a) Paire
• b) Impaire
• c) Ni paire ni impaire
• d) Constante

Question 5

L’axe de symétrie de la fonction \( f(x) = -3x^2 + 12x - 7 \) est :

• a) \( x = 1 \)
• b) \( x = 2 \)
• c) \( x = 3 \)
• d) \( x = -2 \)

Question 6

La fonction \( f(x) = |x^2 - 2x| \) est non dérivable en :

• a) \( x = 0 \)
• b) \( x = 1 \) uniquement
• c) \( x = 0 \) et \( x = 2 \)
• d) \( x = 0 \), \( x = 1 \) et \( x = 2 \)

Question 7

La fonction \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) a combien de racines réelles ?

• a) 1
• b) 2
• c) 3
• d) Aucune

Question 8

Une boîte sans couvercle a une base carrée de côté \( x \) et une hauteur \( h \). Si le volume est \( V(x) = x^2(10 - x) \), la valeur de \( x \) qui maximise le volume est :

• a) \( x = \frac{10}{3} \)
• b) \( x = 2 \)
• c) \( x = 5 \)
• d) \( x = \sqrt{10} \)

Question 9

La fonction \( f(x) = \cos(x) + \sin(2x) \) est périodique de période :

• a) \( 2\pi \)
• b) \( \pi \)
• c) \( \frac{\pi}{2} \)
• d) \( 4\pi \)

Question 10

La courbe de \( f \) admet le point \( (2, 3) \) comme centre de symétrie si :

• a) \( f(2 + h) = f(2 - h) \)
• b) \( f(2 + h) + f(2 - h) = 6 \)
• c) \( f(h) + f(-h) = 3 \)
• d) \( f(2 + h) + f(2 - h) = 2f(2) \)

Question 11

Soit \( f(x) = x^3 \). Quelle affirmation est correcte ?

• a) \( f \) a un maximum en 0
• b) \( f \) a un minimum en 0
• c) \( f \) a un point critique en 0 mais pas d’extremum
• d) \( f \) est constante

Question 12

Un objet de masse constante a une vitesse donnée par \( v(t) = \frac{t^2}{t+1} \). Si l'énergie cinétique est \( E(t) = \frac{1}{2}mv(t)^2 \), le signe de \( E'(t) \) à \( t = 1 \) est :

• a) Positif
• b) Négatif
• c) Nul
• d) Impossible à déterminer sans la masse

On considère la fonction \( f \) définie sur ℝ par \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 \).

1. Calcul de dérivée
   1. Calculer \( f'(x) \) pour tout réel \( x \).
   2. Résoudre dans ℝ l'équation \( f'(x) = 0 \).
2. Variations de la fonction
   1. Dresser le tableau de variations complet de \( f \) sur ℝ.
   2. Déterminer les extremums locaux de la fonction.
3. Étude des tangentes
   1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
   2. Le point \( A(0; 4) \) appartient-il à cette tangente ? Justifier.
4. Problème géométrique
   1. Montrer que la courbe admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.
   2. Déterminer l'abscisse du point où la tangente a un coefficient directeur égal à 7.

Soit la fonction \( g \) définie sur ℝ par \( g(x) = x^3 + kx^2 + x - 2 \) où \( k \) est un réel.

1. Dérivée et variations
   1. Exprimer \( g'(x) \) en fonction de \( k \) et \( x \).
   2. Pour \( k = 3 \), résoudre \( g'(x) = 0 \) et dresser le tableau de variations.
2. Tangentes particulières
   1. Pour \( k = 1 \), montrer que la tangente au point d'abscisse -1 passe par \( B(0; -4) \).
   2. Déterminer la valeur de \( k \) pour que la tangente en \( x = 0 \) soit horizontale.
3. Problème d'appartenance
   1. Pour \( k = 2 \), le point \( C(-2; -12) \) appartient-il à la tangente au point d'abscisse 1 ?
   2. Déterminer les valeurs de \( k \) pour lesquelles la fonction \( g \) admet deux extremums locaux.

Barème indicatif :

• QCM : 0,5 point par question (6 points)
• Exercice 1 : 7 points
• Exercice 2 : 7 points