À chaque étape, chaque triangle existant est divisé en 4 triangles égaux, et le triangle central est retiré. On passe ainsi de 1 à 3, puis à 9 triangles.
\[ \text{Nombre de triangles à l'étape } n: u_n = 3^n \]
Visualisation des étapes
Étape 0
Étape 1
Étape 2
Propriétés mathématiques
Suite géométrique : Chaque terme est le triple du précédent
Relation de récurrence : uₙ₊₁ = 3 × uₙ
Formule explicite : uₙ = u₀ × 3ⁿ = 3ⁿ
Tableau des valeurs
Étape (n)
uₙ
0
1
1
3
2
9
3
27
3ⁿ
Croissance exponentielle
Figure 1 : Évolution du nombre de triangles
2. Analyse et démonstration
Démonstration par récurrence
Initialisation : Pour n=0, u₀=1=3⁰. La propriété est vraie au rang initial.
Fonction associée : \( f \) telle que \( u_n = f(n) \)
Étudier \( f'(x) \) sur \( \mathbb{R}^+ \), puis conclure
Exemple : \( u_n = \frac{n^2}{n+1} \)
\( f(x) = \frac{x^2}{x+1} \), \( f'(x) = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} > 0 \) pour \( x > 0 \)
Donc \( (u_n) \) est croissante pour \( n \geq 1 \).
🎯 Comportement asymptotique
Convergence : \( \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \in \mathbb{R} \) La suite tend vers une valeur finie
Divergence : \( \lim_{n \to +\infty} u_n = \pm\infty \) La suite tend vers l'infini
Pas de limite : oscillations Ex: \( u_n = (-1)^n \)
📌 Théorèmes fondamentaux
Théorème des gendarmes (ou d'encadrement)
Si \( \forall n \in \mathbb{N}, v_n \leq u_n \leq w_n \) et \( \lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell \),
alors \( \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \)
Suite monotone bornée
• Toute suite croissante majorée converge
• Toute suite décroissante minorée converge
• Toute suite monotone non bornée diverge vers \( \pm\infty \)
Opérations sur les limites
Si \( \lim u_n = \ell \) et \( \lim v_n = \ell' \), alors :
5. Conclusion : \( (u_n) \) est croissante, majorée par 2, donc convergente vers 2.
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Déterminez le 10ème terme de la suite arithmétique dont le premier terme est 5 et la raison est 3.
Un terme d'une suite arithmétique se calcule avec la formule :
\( T_n = a + (n - 1) \cdot r \).
Avec \( a = 5 \), \( r = 3 \) et \( n = 10 \) :
\( T_{10} = 5 + (10 - 1) \cdot 3 = 5 + 27 = 32 \).
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Calculez le 5ème terme de la suite géométrique dont le premier terme est 2 et la raison est 4.
Un terme d'une suite géométrique se calcule avec la formule :
\( T_n = a \cdot r^{(n - 1)} \).
Avec \( a = 2 \), \( r = 4 \) et \( n = 5 \) :
\( T_5 = 2 \cdot 4^{(5 - 1)} = 2 \cdot 256 = 512 \).
Exercice 3: ★ ★ ★ ☆ ☆
Calculez la somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique dont le premier terme est 1 et la raison est 2.
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par :
\( S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1) \cdot r) \).
Avec \( a = 1 \), \( r = 2 \) et \( n = 10 \) :
\( S = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 1 + (10 - 1) \cdot 2) = 5 \cdot (2 + 18) = 5 \cdot 20 = 100 \).
Exercice 4: ★ ★ ★ ★ ★
Calculez la somme des 6 premiers termes de la suite géométrique dont le premier terme est 3 et la raison est 2.
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique est donnée par :
\( S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \).
Avec \( a = 3 \), \( r = 2 \) et \( n = 6 \) :
\( S = 3 \cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 64}{-1} = 3 \frac{-63}{-1} = 189 \).
Exercice 5: ★ ★ ★ ☆ ☆
Déterminez si 15 est un terme de la suite arithmétique dont le premier terme est 2 et la raison est 3.
Pour qu'un nombre soit un terme d'une suite arithmétique, il doit être de la forme :
\( T_n = a + (n - 1) \cdot r \).
Nous devons résoudre l'équation : \( 15 = 2 + (n - 1) \cdot 3 \).
Cela donne : \( 13 = (n - 1) \cdot 3 \), donc \( n - 1 = \frac{13}{3} \), ce qui n'est pas un entier.
Ainsi, 15 n'est pas un terme de la suite.
Exercice 1: ★ ★ ★ ★ ☆
Considérez la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = \frac{1}{n} \). Répondez aux questions suivantes :
1. Quel est le sens de variation de la suite \( (u_n) \) ?
2. Quelle est la limite de la suite \( (u_n) \) lorsque \( n \) tend vers l'infini ?
1. Pour étudier le sens de variation, on observe que \( u_{n+1} = \frac{1}{n+1} \) et \( u_n = \frac{1}{n} \). On a :
\( u_{n+1} < u_n \) car \( n < n+1 \).
Donc, la suite \( (u_n) \) est décroissante.
2. Pour la limite, on calcule :
\( \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \).
Ainsi, la limite de la suite est 0.
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ★
La suite \( (v_n) \) est définie par \( v_n = 2n - 5 \). Répondez aux questions suivantes :
1. Quel est le sens de variation de la suite \( (v_n) \) ?
2. Quelle est la limite de la suite \( (v_n) \) lorsque \( n \) tend vers l'infini ?
1. On a \( v_{n+1} = 2(n+1) - 5 = 2n - 3 \) donc :
\( v_{n+1} > v_n \).
La suite \( (v_n) \) est croissante.
2. Pour la limite, on calcule :
\( \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (2n - 5) = \infty \).
La limite de la suite est donc \( +\infty \).
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ☆
La suite \( (w_n) \) est définie par \( w_n = \frac{3n^2 + 2}{n^2 + 1} \). Répondez aux questions suivantes :
1. Quel est le sens de variation de la suite \( (w_n) \) ?
2. Quelle est la limite de la suite \( (w_n) \) lorsque \( n \) tend vers l'infini ?
1. Pour le sens de variation, calculons \( w_{n+1} \) et \( w_n \) :
On peut montrer que \( w_{n+1} > w_n \) en étudiant la différence :
\( w_{n+1} - w_n \) est positive pour \( n \geq 1 \).
Donc, la suite est croissante.
2. Pour la limite, on calcule :
\( \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{3 + 0}{1 + 0} = 3 \).
La limite de la suite est 3.
Exercice 4: ★ ★ ★ ★ ★
Considérez la suite \( (z_n) \) définie par \( z_n = \frac{(-1)^n}{n} \). Répondez aux questions suivantes :
1. Quel est le sens de variation de la suite \( (z_n) \) ?
2. Quelle est la limite de la suite \( (z_n) \) lorsque \( n \) tend vers l'infini ?
1. La suite alterne entre des valeurs positives et négatives. Pour \( n \) pair, \( z_n > 0 \) et pour \( n \) impair, \( z_n < 0 \).
Donc, la suite ne possède pas de sens de variation strict.
2. Pour la limite, on calcule :
\( \lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0 \) car les termes décroissent vers 0.
La limite de la suite est 0.
Exercice 5: ★ ★ ★ ☆ ☆
La suite \( (u_n) \) est définie par \( u_n = \frac{n^2 + 1}{2n + 1} \). Répondez aux questions suivantes :
1. Quel est le sens de variation de la suite \( (u_n) \) ?
2. Quelle est la limite de la suite \( (u_n) \) lorsque \( n \) tend vers l'infini ?
1. Pour le sens de variation, on peut montrer que \( u_{n+1} > u_n \). En effet, la différence \( u_{n+1} - u_n \) est positive pour \( n \geq 1 \).
Donc, la suite est croissante.
2. Pour la limite, on calcule :
\( \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{0} = \frac{1}{2} \).
La limite de la suite est \( \frac{1}{2} \).
Sens de variation et Limite d'une suite
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Considérons la suite définie par \( u_n = \frac{n}{n + 1} \) pour \( n \in \mathbb{N} \).
1. Déterminez le sens de variation de la suite \( (u_n) \).
2. Calculez la limite de la suite \( (u_n) \) lorsque \( n \) tend vers l'infini.
1. Pour étudier le sens de variation, nous calculons \( u_{n+1} - u_n \) :
\[
u_{n+1} = \frac{n+1}{n+2}
\]
\[
u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)}
\]
Comme \( n \) est positif, \( u_{n+1} - u_n > 0 \). Donc, la suite \( (u_n) \) est croissante.
2. Pour la limite, nous avons :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1.
\]
Ainsi, la limite de la suite est 1.
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Soit la suite définie par \( v_n = \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n} \) pour \( n \in \mathbb{N}^* \).
1. Étudiez le sens de variation de la suite \( (v_n) \).
2. Calculez la limite de la suite \( (v_n) \) lorsque \( n \) tend vers l'infini.
1. Pour le sens de variation, nous observons que \( v_n \) varie entre \( \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \) et \( \frac{1}{n} - \frac{1}{n} \). Ainsi, la suite oscille autour de \( \frac{1}{n} \).
2. Calculons la limite :
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + (-1)^n}{n} = 0.
\]
La limite de la suite est donc 0.
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Considérons la suite définie par \( w_n = n^2 - 3n + 2 \).
1. Déterminez le sens de variation de la suite \( (w_n) \).
2. Calculez la limite de la suite \( (w_n) \) lorsque \( n \) tend vers l'infini.
1. Pour étudier le sens de variation, nous calculons la dérivée :
\[
w'(n) = 2n - 3.
\]
La dérivée est positive pour \( n > 1.5 \), donc \( (w_n) \) est croissante pour \( n \geq 2 \).
2. La limite est :
\[
\lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 - 3n + 2) = \infty.
\]
La limite de la suite est donc \( \infty \).
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit la suite définie par \( z_n = \frac{3^n}{n!} \).
1. Étudiez le sens de variation de la suite \( (z_n) \).
2. Calculez la limite de la suite \( (z_n) \) lorsque \( n \) tend vers l'infini.
1. Pour le sens de variation, nous calculons :
\[
\frac{z_{n+1}}{z_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}.
\]
Pour \( n \geq 3 \), \( \frac{z_{n+1}}{z_n} < 1 \), donc \( (z_n) \) est décroissante.
2. La limite est :
\[
\lim_{n \to \infty} z_n = 0.
\]
La limite de la suite est donc 0.
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ★
Considérons la suite définie par \( a_n = \ln(n+1) - \ln(n) \).
1. Étudiez le sens de variation de la suite \( (a_n) \).
2. Calculez la limite de la suite \( (a_n) \) lorsque \( n \) tend vers l'infini.
1. Pour le sens de variation, nous avons :
\[
a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right).
\]
Comme \( \ln(x) \) est croissante, \( a_n \) est positif et décroissant.
2. Pour la limite :
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = 0.
\]
La limite de la suite est donc 0.
Sens de variation et Limite d'une suite
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Un investisseur place 1000€ dans un compte d'épargne qui rapporte 5% d'intérêt par an. La valeur de l'investissement après \( n \) années est donnée par \( V_n = 1000 \times (1 + 0.05)^n \).
1. Déterminez le sens de variation de la suite \( (V_n) \).
2. Calculez la limite de la valeur de l'investissement lorsque \( n \) tend vers l'infini.
1. La suite \( (V_n) \) est exponentielle et croissante, car \( V_{n+1} = V_n \times 1.05 \).
2. La limite est :
\[
\lim_{n \to \infty} V_n = \infty.
\]
La valeur de l'investissement augmente sans limite.
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Une population de bactéries double chaque heure. Si la population initiale est de 100 bactéries, la population après \( n \) heures est donnée par \( P_n = 100 \times 2^n \).
1. Étudiez le sens de variation de la suite \( (P_n) \).
2. Calculez la limite de la population lorsque \( n \) tend vers l'infini.
1. La suite \( (P_n) \) est croissante car chaque heure la population double.
2. La limite est :
\[
\lim_{n \to \infty} P_n = \infty.
\]
La population de bactéries croît sans limite.
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Un coureur parcourt une distance de 10 km. Il commence par courir 1 km le premier jour, puis augmente sa distance de 0.5 km chaque jour. La distance parcourue le \( n \)-ième jour est donnée par \( D_n = 1 + 0.5(n - 1) \).
1. Déterminez le sens de variation de la suite \( (D_n) \).
2. Calculez la limite de la distance parcourue lorsque \( n \) tend vers l'infini.
1. La suite \( (D_n) \) est croissante car chaque jour le coureur ajoute 0.5 km.
2. La limite est :
\[
\lim_{n \to \infty} D_n = \infty.
\]
La distance parcourue augmente indéfiniment.
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Un architecte prévoit de construire un gratte-ciel. Chaque étage mesure 3 mètres de hauteur. La hauteur totale après \( n \) étages est donnée par \( H_n = 3n \).
1. Étudiez le sens de variation de la suite \( (H_n) \).
2. Calculez la limite de la hauteur lorsque \( n \) tend vers l'infini.
1. La suite \( (H_n) \) est croissante car chaque étage ajoute 3 mètres à la hauteur.
2. La limite est :
\[
\lim_{n \to \infty} H_n = \infty.
\]
La hauteur du gratte-ciel augmente sans limite.
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ★
Une personne commence à économiser 100€ le premier mois et augmente son épargne de 10€ chaque mois. La somme totale après \( n \) mois est donnée par \( S_n = 100n + 10\frac{n(n-1)}{2} \).
1. Déterminez le sens de variation de la suite \( (S_n) \).
2. Calculez la limite de la somme totale lorsque \( n \) tend vers l'infini.
1. La suite \( (S_n) \) est croissante car chaque mois, la personne ajoute une somme supérieure à celle du mois précédent.
2. La limite est :
\[
\lim_{n \to \infty} S_n = \infty.
\]
La somme totale d'épargne augmente sans limite.
Éducation
