Une variable aléatoire réelle X est une fonction mesurable qui associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel unique. Cette fonction permet de quantifier les résultats d'une expérience probabiliste en les transformant en valeurs numériques exploitables mathématiquement.
\(X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}\)
La loi de probabilité de X décrit complètement le comportement probabiliste de la variable. Elle est caractérisée par l'ensemble des couples \((x_i, p_i)\) où \(x_i\) sont les valeurs possibles et \(p_i = P(X = x_i)\) leurs probabilités respectives.
ℹ️ Condition fondamentale : \(\sum_{i} p_i = 1\) et \(p_i \geq 0\) pour tout i
Exemple : Lancer de deux dés
Considérons X = "somme des faces obtenues". Cette variable illustre parfaitement la transformation d'un résultat qualitatif (deux faces de dés) en une valeur numérique (leur somme).
✓ Valeurs possibles
X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
✓ Probabilité maximale
\(P(X=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
La distribution est symétrique autour de 7, avec une probabilité décroissante vers les extrêmes. Ceci illustre un phénomène fréquent : les valeurs centrales sont plus probables que les valeurs extrêmes.
Caractéristiques Principales
Les paramètres numériques d'une variable aléatoire permettent de résumer ses propriétés essentielles en quelques valeurs caractéristiques.
Espérance Mathématique
L'espérance représente la valeur moyenne pondérée par les probabilités :
\(E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i\)
Exemple concret : Pour un jeu où on gagne 10€ avec probabilité 0,3 et on perd 5€ avec probabilité 0,7 :
\(E(X) = 10 \times 0,3 + (-5) \times 0,7 = 3 - 3,5 = -0,5\)€ En moyenne, on perd 0,5€ par partie.
Variance & Écart-type
La variance mesure la dispersion autour de l'espérance :
\(V(X) = E[(X-E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2\)
L'écart-type est plus intuitif car il a la même unité que X :
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
Propriétés Fondamentales
Ces propriétés sont cruciales pour les calculs et les transformations de variables :
1
Linéarité de l'espérance : \(E(aX + b) = aE(X) + b\)
2
Transformation de la variance : \(V(aX + b) = a^2V(X)\)
3
Écart-type transformé : \(\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)\)
Note : La constante b disparaît dans la variance car elle ne change pas la dispersion, seulement la position.
Application Complète
Calculons les caractéristiques de la variable X suivante :
Une variable aléatoire transforme les résultats d'une expérience en nombres réels, permettant l'application des outils mathématiques.
⚡
Paramètres
L'espérance donne la tendance centrale, la variance mesure la dispersion. Ces deux paramètres résument l'essentiel du comportement de X.
🔄
Transformations
Les propriétés de linéarité permettent de calculer facilement les caractéristiques de aX + b à partir de celles de X.
Variables aléatoires réelles
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque résultat le carré du nombre obtenu.
1. Déterminez la loi de probabilité de X.
2. Calculez E(X) et V(X).
3. Calculez l'écart-type σ(X).
1. X prend les valeurs : 1, 4, 9, 16, 25, 36
Chaque valeur a la probabilité 1/6
Loi de X : P(X = 1) = P(X = 4) = P(X = 9) = P(X = 16) = P(X = 25) = P(X = 36) = 1/6
Un jeu consiste à lancer une pièce équilibrée trois fois de suite. On gagne 5€ par "Face" obtenu et on perd 2€ par "Pile" obtenu. Soit X la variable aléatoire représentant le gain algébrique.
1. Déterminez toutes les valeurs possibles de X.
2. Établissez la loi de probabilité de X.
3. Calculez l'espérance de gain E(X). Le jeu est-il équitable ?
4. Calculez la variance V(X).
1. Avec 3 lancers, on peut avoir :
• 0 Face, 3 Piles : gain = 0×5 - 3×2 = -6€
• 1 Face, 2 Piles : gain = 1×5 - 2×2 = 1€
• 2 Faces, 1 Pile : gain = 2×5 - 1×2 = 8€
• 3 Faces, 0 Pile : gain = 3×5 - 0×2 = 15€
X ∈ {-6, 1, 8, 15}
Dans une loterie, on peut gagner 1000€ avec une probabilité de 0,001, 100€ avec une probabilité de 0,01, 10€ avec une probabilité de 0,1, et on ne gagne rien dans les autres cas. Le billet coûte 5€.
1. Soit X la variable aléatoire représentant le gain net (gain - coût du billet). Déterminez la loi de X.
2. Calculez l'espérance du gain net E(X).
3. Calculez la variance V(X) et l'écart-type σ(X).
4. Si Y représente le gain brut (avant déduction du coût), exprimez X en fonction de Y et vérifiez les propriétés E(X) = E(Y) - 5 et V(X) = V(Y).
Une variable aléatoire X suit la loi de probabilité donnée dans le tableau suivant :
X
-1
0
2
3
P(X)
0,2
a
0,3
0,1
1. Déterminez la valeur de a.
2. Calculez E(X), V(X) et σ(X).
3. Soit Y = 2X + 1. Calculez E(Y), V(Y) et σ(Y) en utilisant les propriétés des transformations affines.
1. La somme des probabilités doit égaler 1 :
0,2 + a + 0,3 + 0,1 = 1
0,6 + a = 1
a = 0,4
Un archer tire des flèches sur une cible. Il peut marquer 10 points (centre), 5 points (deuxième cercle), 1 point (troisième cercle) ou 0 point (manqué). Les probabilités sont respectivement 0,1, 0,2, 0,4 et 0,3. Il tire 3 flèches et on s'intéresse au score total X.
1. Quelle est l'espérance et la variance du score d'une flèche ?
2. En admettant que les tirs sont indépendants, calculez E(X) et V(X) pour le score total des 3 flèches.
3. Calculez la probabilité que le score total soit exactement 6 points.
4. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 15 points ?
4. Pour au moins 15 points, les combinaisons incluent :
• (10,5,0) et permutations : P = 0,1 × 0,2 × 0,3 × 6 = 0,036
• (10,10,0) et permutations : P = 0,1 × 0,1 × 0,3 × 3 = 0,009
• (10,5,1) et permutations : P = 0,1 × 0,2 × 0,4 × 6 = 0,048
• (10,5,5) et permutations : P = 0,1 × 0,2 × 0,2 × 3 = 0,012
• (10,10,1) et permutations : P = 0,1 × 0,1 × 0,4 × 3 = 0,012
• (10,10,5) et permutations : P = 0,1 × 0,1 × 0,2 × 3 = 0,006
• (10,10,10) : P = 0,1³ = 0,001
P(X ≥ 15) ≈ 0,124
Interprétation de l'espérance et de l'écart-type
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Un vendeur de voitures gagne une commission qui suit la loi de probabilité suivante :
Commission (€)
200
500
800
1200
Probabilité
0,4
0,3
0,2
0,1
1. Calculez l'espérance E(X) et l'écart-type σ(X).
2. Interprétez concrètement ces deux valeurs dans le contexte du problème.
3. Si le vendeur travaille 12 mois, quelle sera approximativement sa commission totale annuelle ?
2. Interprétation :
• E(X) = 510€ : En moyenne, le vendeur gagne 510€ de commission par mois. C'est son revenu mensuel moyen attendu sur le long terme.
• σ(X) ≈ 321€ : La commission varie typiquement d'environ 321€ autour de la moyenne. Cela indique une variabilité importante des revenus mensuels (de 189€ à 831€ environ dans 68% des cas).
3. Commission annuelle :
Commission totale attendue = 12 × 510€ = 6120€
L'écart-type annuel = √12 × 321€ ≈ 1111€
Le vendeur peut s'attendre à gagner environ 6120€ ± 1111€ par an.
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Deux machines A et B produisent des pièces. Le nombre de pièces défectueuses par lot de 100 suit les lois suivantes :
• Machine A : E(X_A) = 3, σ(X_A) = 1,5
• Machine B : E(X_B) = 2, σ(X_B) = 3
1. Comparez la qualité moyenne des deux machines.
2. Comparez la régularité de production des deux machines.
3. Si vous deviez choisir une machine pour une production en série, laquelle choisiriez-vous ? Justifiez.
4. Calculez le coefficient de variation pour chaque machine et interprétez.
1. Qualité moyenne :
• Machine A : En moyenne 3 pièces défectueuses par lot
• Machine B : En moyenne 2 pièces défectueuses par lot Conclusion : La machine B a une meilleure qualité moyenne (moins de défauts).
2. Régularité de production :
• Machine A : σ = 1,5 → faible variabilité, production régulière
• Machine B : σ = 3 → forte variabilité, production irrégulière Conclusion : La machine A est plus régulière et prévisible.
3. Choix de machine : Pour une production en série : Je choisirais la machine A. Justification : Bien qu'elle ait légèrement plus de défauts en moyenne, sa régularité est cruciale pour la planification et le contrôle qualité. La variabilité élevée de B rend la production imprévisible.
4. Coefficient de variation :
• Machine A : CV_A = σ/E(X) = 1,5/3 = 0,5 = 50%
• Machine B : CV_B = σ/E(X) = 3/2 = 1,5 = 150% Interprétation : La machine B présente une variabilité relative 3 fois plus importante que A. Cela confirme que A est plus stable relativement à son niveau moyen de défauts.
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Une compagnie d'assurance étudie les sinistres automobiles. Le montant des réparations X (en milliers d'euros) suit la loi :
Montant (k€)
0,5
2
5
10
20
Probabilité
0,6
0,25
0,1
0,04
0,01
1. Calculez E(X) et σ(X).
2. Interprétez ces valeurs pour la compagnie d'assurance.
3. Si la compagnie veut constituer une réserve pour couvrir 95% des sinistres, quel montant doit-elle prévoir par sinistre ?
4. Comparez cette situation avec une autre compagnie où E(Y) = 3 k€ et σ(Y) = 1 k€.
2. Interprétation pour l'assurance :
• E(X) = 1,9k€ : Coût moyen par sinistre. C'est la base pour calculer les primes d'assurance.
• σ(X) = 2,84k€ : Forte variabilité des coûts. L'écart-type est plus élevé que la moyenne, indiquant des sinistres très variables (beaucoup de petits sinistres et quelques gros).
3. Réserve pour 95% des sinistres :
En utilisant l'approximation E(X) + 2σ(X) ≈ 1,9 + 2 × 2,84 = 7,58k€ Interprétation : Une réserve de 7,6k€ par sinistre devrait couvrir environ 95% des cas.
4. Comparaison avec l'autre compagnie :
• Compagnie actuelle : E(X) = 1,9k€, σ(X) = 2,84k€, CV = 149%
• Autre compagnie : E(Y) = 3k€, σ(Y) = 1k€, CV = 33% Analyse : L'autre compagnie a des sinistres plus coûteux en moyenne mais beaucoup plus prévisibles. Notre compagnie a des coûts moyens plus faibles mais un risque de variabilité beaucoup plus élevé.
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Un restaurant étudie le temps d'attente des clients (en minutes). Les données donnent :
• Lundi : E(X) = 8 min, σ(X) = 2 min
• Vendredi : E(Y) = 12 min, σ(Y) = 6 min
1. Comparez la satisfaction client entre ces deux jours.
2. Quel jour présente le service le plus régulier ?
3. Si le restaurant veut garantir un temps d'attente maximal à 95% de ses clients, quelle limite doit-il afficher pour chaque jour ?
4. Le restaurant envisage d'embaucher un serveur supplémentaire le vendredi, ce qui réduirait les temps de 30%. Calculez les nouveaux paramètres et commentez.
1. Satisfaction client :
• Lundi : Temps d'attente moyen de 8 minutes → satisfaction élevée
• Vendredi : Temps d'attente moyen de 12 minutes → satisfaction plus faible Conclusion : Les clients sont plus satisfaits le lundi grâce à un service plus rapide.
2. Régularité du service :
• Lundi : σ = 2 min → service très régulier et prévisible
• Vendredi : σ = 6 min → service irrégulier avec de fortes variations Conclusion : Le lundi présente un service beaucoup plus régulier.
3. Temps d'attente garanti à 95% :
En utilisant E(X) + 2σ(X) :
• Lundi : 8 + 2 × 2 = 12 minutes
• Vendredi : 12 + 2 × 6 = 24 minutes Affichage recommandé : "Temps d'attente max : 12 min (lundi), 24 min (vendredi)"
4. Avec un serveur supplémentaire le vendredi :
Réduction de 30% → multiplication par 0,7
• Nouveau E(Y) = 12 × 0,7 = 8,4 min
• Nouveau σ(Y) = 6 × 0,7 = 4,2 min
• Nouveau temps garanti : 8,4 + 2 × 4,2 = 16,8 min Commentaire : L'embauche améliore significativement le temps moyen (proche du lundi) mais la variabilité reste élevée. Le service vendredi resterait moins prévisible qu'en début de semaine.
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ★
Deux investissements financiers A et B ont les rendements annuels suivants :
• Investissement A : E(R_A) = 6%, σ(R_A) = 8%
• Investissement B : E(R_B) = 10%, σ(R_B) = 20%
1. Comparez la rentabilité et le risque de ces investissements.
2. Calculez le ratio de Sharpe (rendement/risque) pour chaque investissement et interprétez.
3. Un investisseur prudent souhaite limiter ses pertes potentielles à 5% maximum. Quel investissement lui conseillez-vous ?
4. Si on combine 60% de A et 40% de B dans un portefeuille (en supposant l'indépendance), calculez les caractéristiques du portefeuille et commentez l'effet de diversification.
1. Rentabilité et risque :
• Investissement A : Rentabilité modérée (6%) avec risque faible (8%)
• Investissement B : Rentabilité élevée (10%) avec risque élevé (20%) Principe : Plus le rendement espéré est élevé, plus le risque est important.
2. Ratio de Sharpe :
• Ratio A = E(R_A)/σ(R_A) = 6%/8% = 0,75
• Ratio B = E(R_B)/σ(R_B) = 10%/20% = 0,50 Interprétation : A offre un meilleur rendement par unité de risque (0,75 contre 0,50). A est plus efficace risk-adjusted.
3. Conseil pour investisseur prudent :
Pertes potentielles (approximation) : E(R) - 2σ(R)
• Investissement A : 6% - 2 × 8% = -10% (perte max ≈ 10%)
• Investissement B : 10% - 2 × 20% = -30% (perte max ≈ 30%) Recommandation : Aucun des deux ne respecte la contrainte de 5% de perte maximum. Cependant, A est beaucoup moins risqué et se rapproche davantage de l'objectif.
4. Portefeuille mixte (60% A + 40% B) :
• E(Portefeuille) = 0,6 × 6% + 0,4 × 10% = 3,6% + 4% = 7,6%
• σ(Portefeuille) = √[(0,6)² × (8%)² + (0,4)² × (20%)²] = √[23,04 + 64] = √87,04 ≈ 9,33%
• Ratio de Sharpe = 7,6%/9,33% ≈ 0,81 Effet de diversification : Le portefeuille offre un rendement intermédiaire (7,6%) avec un risque réduit par rapport à B seul, et un meilleur ratio de Sharpe que chaque investissement pris séparément. La diversification améliore l'efficacité risk-return.
Variables Aléatoires - Mémento Première S
1. Définition
Variable aléatoire : Application qui associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel.
Notation : \(X\) (lettre majuscule)
Valeurs prises : \(x_1, x_2, ..., x_n\)
Exemple : Lancer d'un dé, \(X\) = "nombre obtenu"
\(X\) peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6
2. Loi de probabilité
La loi de probabilité de \(X\) donne la probabilité de chaque valeur :
\(P(X = x_i) = p_i\)
Propriétés :
• \(0 \leq p_i \leq 1\) pour tout \(i\)
• \(\sum_{i=1}^{n} p_i = 1\)
3. Espérance mathématique
Définition : Valeur moyenne que prend la variable aléatoire
Éducation
