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📔 Variations des fonctions

Variations et courbes représentatives de fonctions

1. Introduction aux variations de fonctions

L'étude des variations d'une fonction révèle la façon dont cette fonction évolue : croît-elle, décroît-elle, ou reste-t-elle constante ? Cette analyse est cruciale pour comprendre le comportement global d'une fonction et résoudre des problèmes concrets dans de nombreux domaines scientifiques et techniques.

Définitions fondamentales

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(x_1, x_2 \in I\) avec \(x_1 < x_2\) :

  • ✅ Fonction croissante : \(f(x_1) \leq f(x_2)\)
  • ✅ Fonction strictement croissante : \(f(x_1) < f(x_2)\)
  • ✅ Fonction décroissante : \(f(x_1) \geq f(x_2)\)
  • ✅ Fonction strictement décroissante : \(f(x_1) > f(x_2)\)
Applications pratiques
  • 🔹 Physique : Étude des trajectoires, vitesses et accélérations
  • 🔹 Économie : Maximisation des profits et minimisation des coûts
  • 🔹 Biologie : Modélisation de la croissance des populations
  • 🔹 Ingénierie : Optimisation des systèmes et des performances
x y f croissante g décroissante Point de croisement 0

Figure 1 : Comparaison entre fonction croissante et décroissante

2. Lien entre dérivée et variations
📚 Théorème fondamental

La dérivée d'une fonction en un point donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Plus fondamentalement, le signe de la dérivée détermine les variations de la fonction.

Théorème : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\)
  • Si \(f'(x) > 0\) sur \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\)
  • Si \(f'(x) < 0\) sur \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\)
  • Si \(f'(x) = 0\) sur \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\)
Interprétation géométrique :
  • \(f'(x) > 0\) : tangente de pente positive (monte)
  • \(f'(x) < 0\) : tangente de pente négative (descend)
  • \(f'(x) = 0\) : tangente horizontale
x y f'(x) > 0 f'(x) = 0 f'(x) < 0 Croissante Extremum Décroissante

Figure 2 : Relation entre signe de la dérivée et tangentes

3. Extremums locaux et globaux - Points critiques
Définitions fondamentales
Extremum local :
Un point \(a\) est un extremum local de \(f\) s'il existe un voisinage \(V\) de \(a\) tel que pour tout \(x \in V\) :
  • Maximum local : \(f(x) \leq f(a)\)
    ✦ C'est comme le sommet d'une colline : autour de ce point, toutes les valeurs de la fonction sont plus basses.
  • Minimum local : \(f(x) \geq f(a)\)
    ✦ C'est comme le fond d'une petite vallée : autour de ce point, toutes les valeurs de la fonction sont plus hautes.

En clair : Un extremum local est un point où la fonction atteint une valeur plus grande ou plus petite que toutes ses voisines immédiates.

Extremum global :
Un point \(a\) est un extremum global de \(f\) sur son domaine \(D\) si pour tout \(x \in D\) :
  • Maximum global : \(f(x) \leq f(a)\)
    ✦ C'est le point le plus haut de toute la fonction, comme le sommet de l'Everest par rapport à toutes les montagnes du monde.
  • Minimum global : \(f(x) \geq f(a)\)
    ✦ C'est le point le plus bas de toute la fonction, comme le fond de la fosse des Mariannes par rapport à tous les océans.

En clair : Un extremum global est le point où la fonction atteint sa valeur la plus grande ou la plus petite sur tout son domaine de définition.

Relation importante :
Tout extremum global est aussi un extremum local, mais la réciproque est fausse.
Condition nécessaire d'existence :
Si \(f\) admet un extremum local en \(a\) et si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f'(a) = 0\).
Condition suffisante (test de la dérivée première) :
Si \(f'(a) = 0\) et si \(f'\) change de signe en \(a\), alors :
  • \(f'\) passe de \((+)\) à \((-)\) : maximum local
  • \(f'\) passe de \((-)\) à \((+)\) : minimum local
Test de la dérivée seconde :
Si \(f'(a) = 0\) et \(f''(a)\) existe, alors :
  • Si \(f''(a) > 0\) : minimum local
  • Si \(f''(a) < 0\) : maximum local
  • Si \(f''(a) = 0\) : test non concluant
Points critiques :
Les points où \(f'(x) = 0\) sont appelés points critiques. Ils peuvent être :
  • Des extremums locaux
  • Des points d'inflexion à tangente horizontale

extremum local

Figure 3 : Extremums locaux vs globaux et changements de variations

Méthode de recherche des extremums
Étape 1 : Déterminer le domaine de définition de \(f\)
Étape 2 : Calculer \(f'(x)\) et résoudre \(f'(x) = 0\)
Étape 3 : Étudier le signe de \(f'(x)\) ou calculer \(f''(x)\)
Étape 4 : Vérifier les bornes du domaine pour les extremums globaux
Exemple illustratif

Pour \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\) :

\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)\)
Points critiques : \(x = -1\) et \(x = 1\)
\(f''(x) = 6x\) donc :
  • \(f''(-1) = -6 < 0\) : maximum local
  • \(f''(1) = 6 > 0\) : minimum local

Ces extremums sont locaux mais pas globaux car \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\).

4. Tableau de variations

Le tableau de variations est un outil synthétique qui permet de visualiser en un coup d'œil toutes les propriétés importantes d'une fonction sur son domaine de définition.

Informations contenues
  • Domaine de définition et valeurs interdites
  • Signe de la dérivée sur chaque intervalle
  • Intervalles de monotonie (croissance/décroissance)
  • Extremums locaux et leurs valeurs
  • Limites aux bornes du domaine
  • Valeurs particulières (images importantes)
Méthode de construction
  1. Domaine de définition : Résoudre les contraintes (dénominateurs non nuls, arguments de logarithmes positifs, etc.)
  2. Dérivée : Calculer \(f'(x)\) et déterminer son domaine de définition
  3. Signe de \(f'\) : Résoudre \(f'(x) = 0\) et étudier le signe sur chaque intervalle
  4. Limites : Calculer les limites aux bornes du domaine
  5. Valeurs particulières : Calculer \(f(a)\) pour chaque point critique \(a\)
  6. Synthèse : Organiser toutes ces informations dans un tableau clair
Exemple : \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)

Domaine : \(\mathbb{R}\)    Dérivée : \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)

\(x\) \(-\infty\) \(0\) \(2\) \(+\infty\)
\(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(0\) \(+\)
Variations ↗ ↘ ↗ ↗
\(f(x)\) \(-\infty\) 2 -2 \(+\infty\)

Interprétation : La fonction est croissante sur \(]-\infty; 0]\), décroissante sur \([0; 2]\), puis croissante sur \([2; +\infty[\). Elle admet un maximum local en \(x = 0\) (valeur 2) et un minimum local en \(x = 2\) (valeur -2).

5. Méthode complète d'étude d'une fonction
Étape Description Outils/Méthodes Exemple
1. Domaine de définition Déterminer l'ensemble des x où f(x) existe Dénominateur ≠ 0, log positif, racine carrée ≥ 0 \(f(x)=\frac{1}{x-2}\) : \(D_f = \mathbb{R}\backslash\{2\}\)
2. Parité/Périodicité Simplifier l'étude si possible f(-x) = f(x) (paire) ou f(-x) = -f(x) (impaire) \(f(x)=x^2\) est paire car \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\)
3. Intersections avec les axes Déterminer les points d'intersection avec Ox et Oy Résoudre f(x) = 0 et calculer f(0) \(f(x) = x^2 - 4\) : Ox en (±2, 0), Oy en (0, -4)
4. Dérivabilité Calculer f'(x) et domaine de dérivabilité Formules de dérivation, points critiques \(f(x)=\sqrt{x}\) : dérivable sur \(]0;+\infty[\), \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
5. Signe de f'(x) Étudier le signe de la dérivée Tableau de signes, résolution d'inéquations \(f'(x)=2x\) : négatif sur \(]-\infty;0[\), positif sur \(]0;+\infty[\)
6. Tableau de variations Synthétiser les informations Flèches de variation, valeurs clés, extremums x f'(x) f(x) -∞ α +∞ - 0 + β
7. Limites et asymptotes Comportement aux bornes du domaine Calcul de limites, comparaisons \(f(x)=\frac{1}{x}\) : asymptote horizontale y=0 en \(\pm\infty\), verticale x=0
8. Axes de symétrie Rechercher un éventuel axe de symétrie Vérifier si \(f(a+h) = f(a-h)\) pour tout h \(f(x)=x^2\) admet l'axe x=0 comme axe de symétrie
9. Centre de symétrie Rechercher un éventuel centre de symétrie Vérifier si \(f(a+h) + f(a-h) = 2f(a)\) \(f(x)=\frac{1}{x}\) admet O(0,0) comme centre de symétrie
10. Concavité et inflexion Étudier la dérivée seconde f''(x) • \(f''(x) > 0\) : fonction convexe (∪)
• \(f''(x) < 0\) : fonction concave (∩)
• \(f''(x) = 0\) et changement de signe : point d'inflexion 		\(f(x)=x^3\) : \(f''(x)=6x\), point d'inflexion en (0,0)
11. Points particuliers Calculer images des points clés Extremums, intersections avec axes, points remarquables \(f(0)=0\) (intersection Oy), \(f(1)=1\) (point remarquable)
12. Tracé de la courbe Représentation graphique complète Points clés, comportement asymptotique, tangentes x y
💡 Conseils pratiques
  • ✔️ Toujours commencer par déterminer le domaine de définition
  • ✔️ Vérifier les symétries avant de faire des calculs complexes
  • ✔️ Pour les fonctions rationnelles, factoriser numérateur et dénominateur
  • ✔️ Penser aux valeurs remarquables (0, 1, -1, etc.) pour le calcul d'images
  • ✔️ Utiliser des couleurs différentes pour les asymptotes sur le graphique
  • ✔️ La dérivée seconde renseigne sur la concavité : f''(x) > 0 ⟹ fonction convexe
  • ✔️ Un point d'inflexion correspond à un changement de concavité (f''(x) = 0)
📢 Formules importantes
Parité :
• Fonction paire : \(f(-x) = f(x)\)
• Fonction impaire : \(f(-x) = -f(x)\)
Axe de symétrie :
Droite \(x = a\) tel que :
\(f(a+h) = f(a-h)\) pour tout h
Centre de symétrie :
Point \(I(a,b)\) tel que :
\(f(a+h) + f(a-h) = 2b\)
Concavité :
• \(f''(x) > 0\) : fonction convexe (∪)
• \(f''(x) < 0\) : fonction concave (∩)
• \(f''(x) = 0\) et changement de signe : inflexion
Asymptotes :
• Verticale : \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\)
• Horizontale : \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\)
• Oblique : \(y = ax + b\) avec \(a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\)
Point d'inflexion :
Point où \(f''(x) = 0\) et \(f''\) change de signe
Tangente traverse la courbe en ce point
6. Conclusion et applications

L'étude des variations et des courbes représentatives de fonctions constitue une compétence fondamentale en analyse mathématique. Cette méthode systématique permet de comprendre le comportement global d'une fonction et de visualiser ses propriétés essentielles.

Domaines d'application
  • ✦ Optimisation : Trouver des extremums pour maximiser ou minimiser des grandeurs
  • ✦ Physique : Étude de trajectoires, vitesses, accélérations
  • ✦ Économie : Analyse de coûts, profits, élasticités
  • ✦ Biologie : Modélisation de croissance, réactions chimiques
  • ✦ Ingénierie : Conception de systèmes, analyse de stabilité

© 2024 - MadaMasterClass - Cours sur les variations et courbes de fonctions

Niveau terminale et première année universitaire

Exercice 1: Étude de variations (★ ★ ★ ☆ ☆)

Soit la fonction \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \).
1. Calculer sa dérivée \( f'(x) \)
2. Déterminer les valeurs critiques
3. Dresser le tableau de variations complet

  1. Calcul de la dérivée :
    Pour trouver la dérivée de f(x), on applique les règles de dérivation terme à terme : \[ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \] \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \] Explication : La dérivée de x³ est 3x², la dérivée de -6x² est -12x, et la dérivée de 9x est 9.

  2. Valeurs critiques :
    Les valeurs critiques sont les solutions de \( f'(x) = 0 \) : \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] On simplifie d'abord l'équation en divisant par 3 : \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] On calcule le discriminant : \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×3 = 16 - 12 = 4 \] Les solutions sont : \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Donc deux valeurs critiques : \[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] Explication : Les valeurs critiques sont les points où la pente de la tangente est nulle (extrema possibles).

  3. Tableau de variations :
    Pour construire le tableau, on étudie le signe de f'(x) :
    • f'(x) est un polynôme du second degré qui s'annule en x=1 et x=3
    • Le coefficient de x² est positif (3), donc la parabole est "tournée vers le haut"
    • Ainsi f'(x) > 0 à l'extérieur des racines et f'(x) < 0 entre les racines
    \[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{max} & \searrow & \text{min} & \nearrow & \end{array} \] Interprétation :
    • Avant x=1, f'(x) > 0 donc f est croissante (↗)
    • Entre x=1 et x=3, f'(x) < 0 donc f est décroissante (↘)
    • Après x=3, f'(x) > 0 donc f est à nouveau croissante (↗)
    On calcule les valeurs aux points critiques : \[ f(1) = 1 - 6 + 9 = 4 \quad \text{(maximum local)} \] \[ f(3) = 27 - 54 + 27 = 0 \quad \text{(minimum local)} \]

Exercice 2: Extremum d'une fonction rationnelle (★ ★ ★ ★ ☆)

Soit \( g(x) = \frac{x^2 + 4}{x} \).
1. Déterminer son domaine de définition
2. Calculer sa dérivée
3. Étudier ses extremums locaux

  1. Domaine : \( \mathbb{R}^* \) (définie pour \( x \neq 0 \))
  2. Dérivée : \[ g'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 4)}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} \]
  3. Extremums : \[ g'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \]
    • En \( x = 2 \): \( g'(x) \) passe de - à + ⇒ minimum local (\( g(2) = 4 \))
    • En \( x = -2 \): \( g'(x) \) passe de + à - ⇒ maximum local (\( g(-2) = -4 \))

Exercice 3: Fonction exponentielle (★ ★ ★ ★ ☆)

Soit \( h(x) = e^{-x^2} \).
1. Calculer \( h'(x) \)
2. Étudier le sens de variation sur \( \mathbb{R} \)
3. Déterminer les extremums éventuels

  1. Dérivée : \[ h'(x) = -2xe^{-x^2} \]
  2. Signe de \( h'(x) \):
    • Pour \( x < 0 \): \( h'(x) > 0 \) ⇒ \( h \) croissante
    • Pour \( x > 0 \): \( h'(x) < 0 \) ⇒ \( h \) décroissante
  3. Extremum : \[ h'(0) = 0 \text{ avec changement de signe + à -} \] ⇒ Maximum global en \( (0,1) \)

Exercice 4: Problème concret (★ ★ ★ ★ ★)

Un terrain rectangulaire de périmètre 100 m doit avoir une aire maximale.
1. Exprimer l'aire \( A(x) \) en fonction de la largeur \( x \)
2. Trouver les dimensions donnant l'aire maximale

  1. Soit \( x \) la largeur, \( y \) la longueur : \[ 2x + 2y = 100 \Rightarrow y = 50 - x \] \[ A(x) = x(50 - x) = 50x - x^2 \]
  2. Optimisation : \[ A'(x) = 50 - 2x \] \[ A'(x) = 0 \Rightarrow x = 25 \] \[ A''(x) = -2 < 0 \Rightarrow \text{maximum en } x = 25 \] Dimensions optimales : 25 m × 25 m (carré)

Exercice 5: Fonction trigonométrique (★ ★ ★ ★ ★)

Soit \( k(x) = \sin(x) + \cos(x) \) sur \( [0,\pi] \).
1. Calculer \( k'(x) \)
2. Déterminer les variations
3. Trouver les extremums absolus

  1. Dérivée : \[ k'(x) = \cos(x) - \sin(x) \]
  2. Points critiques : \[ \cos(x) = \sin(x) \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} \]
    • Sur \( [0,\frac{\pi}{4}] \): \( k'(x) > 0 \) ⇒ croissante
    • Sur \( [\frac{\pi}{4},\pi] \): \( k'(x) < 0 \) ⇒ décroissante
  3. Extremums : \[ k(0) = 1, \quad k(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}, \quad k(\pi) = -1 \] Maximum absolu : \( \sqrt{2} \) en \( x = \frac{\pi}{4} \) Minimum absolu : \( -1 \) en \( x = \pi \)

Exercice 6: Croissance bactérienne (★ ★ ★ ☆ ☆)

Une population bactérienne suit la loi \( N(t) = 1000e^{0.02t} \) où t est en heures.
1. Calculer le taux de croissance instantané à t = 10h
2. Déterminer quand la population croît à un taux de 50 bactéries/heure

  1. Dérivée : \( N'(t) = 1000×0.02e^{0.02t} = 20e^{0.02t} \) \[ N'(10) = 20e^{0.2} ≈ 24.43 \text{ bact/h} \]
  2. Résoudre \( 20e^{0.02t} = 50 \) \[ e^{0.02t} = 2.5 ⇒ t = \frac{\ln(2.5)}{0.02} ≈ 45.81 \text{ h} \]

Exercice 7: Trajectoire de projectile (★ ★ ★ ★ ☆)

La hauteur d'un projectile est \( h(t) = -5t^2 + 40t + 1.5 \) (mètres).
1. Trouver le temps pour atteindre la hauteur maximale
2. Calculer la vitesse instantanée à t = 3s

  1. Dérivée : \( h'(t) = -10t + 40 \) Maximum quand \( h'(t) = 0 \): \[ -10t + 40 = 0 ⇒ t = 4 \text{ s} \]
  2. Vitesse à t=3s : \[ h'(3) = -10×3 + 40 = 10 \text{ m/s} \]

Exercice 8: Économie - Coût marginal (★ ★ ★ ★ ☆)

Le coût de production est \( C(q) = 0.1q^3 - 2q^2 + 15q + 100 \) (q en unités).
1. Calculer le coût marginal \( C'(q) \)
2. Déterminer la quantité minimisant le coût marginal

  1. Coût marginal : \[ C'(q) = 0.3q^2 - 4q + 15 \]
  2. Minimum de \( C' \) : \[ C''(q) = 0.6q - 4 = 0 ⇒ q = \frac{4}{0.6} ≈ 6.67 \text{ unités} \]

Exercice 9: Médecine - Diffusion médicamenteuse (★ ★ ★ ★ ★)

La concentration sanguine d'un médicament suit \( C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4} \) (mg/L).
1. Trouver le pic de concentration
2. Déterminer quand la concentration décroît à un taux de 2 mg/L par heure

  1. Dérivée : \( C'(t) = \frac{50(t^2+4) - 50t(2t)}{(t^2+4)^2} = \frac{-50t^2 + 200}{(t^2+4)^2} \) Maximum quand \( C'(t) = 0 \): \[ -50t^2 + 200 = 0 ⇒ t = 2 \text{ h} \] \[ C(2) = \frac{100}{8} = 12.5 \text{ mg/L} \]
  2. Résoudre \( C'(t) = -2 \): \[ \frac{-50t^2 + 200}{(t^2+4)^2} = -2 ⇒ t ≈ 3.07 \text{ h} \]

Exercice 10: Physique - Refroidissement (★ ★ ★ ★ ★)

Un objet refroidit selon \( T(t) = 20 + 80e^{-0.1t} \) (°C).
1. Calculer le taux de refroidissement à t = 5 min
2. Déterminer quand le taux vaut -2°C/min

  1. Dérivée : \( T'(t) = 80×(-0.1)e^{-0.1t} = -8e^{-0.1t} \) \[ T'(5) = -8e^{-0.5} ≈ -4.85 \text{ °C/min} \]
  2. Résoudre \( -8e^{-0.1t} = -2 \) \[ e^{-0.1t} = 0.25 ⇒ t = \frac{\ln(0.25)}{-0.1} ≈ 13.86 \text{ min} \]

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