📢 Définition : Un vecteur \(\vec{u}\) est directeur d'une droite (d) si toute représentation de \(\vec{u}\) est parallèle à (d).
Propriétés importantes :
1️⃣ Tout vecteur colinéaire à \(\vec{u}\) est aussi directeur (ex: \(2\vec{u}), (-\vec{u}), \frac{1}{3}\vec{u}\)
2️⃣ Si \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) ∈ (d), alors (\overrightarrow{AB}) est un vecteur directeur
3️⃣ Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs (tous colinéaires entre eux)
2. Équations de droites
Équation cartésienne :
(ax + by + c = 0)
Vecteur directeur : \(\vec{u}(-b;a)\) Exemple : Pour (3x - 2y + 1 = 0)
\(\vec{u}(-(-2);3) = \vec{u}(2;3)\)
Équation réduite :
(y = mx + p)
m : coefficient directeur (pente) p : ordonnée à l'origine Vecteur directeur : \(\vec{u}(1;m)\)
🔄 Passage d'une forme à l'autre :
Cartésienne → Réduite :
(ax + by + c = 0) (avec (b \neq 0))
(by = -ax - c)
\(y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\)
Réduite → Cartésienne :
(y = mx + p)
(y - mx - p = 0)
(-mx + y - p = 0)
3. Positions relatives de deux droites
Méthode analytique :
Avec équations réduites :
\(\begin{cases}
y = m_1x + p_1 \\
y = m_2x + p_2
\end{cases}\)
1️⃣ Sécantes : \(m_1 \neq m_2\)
2️⃣ Parallèles : \(m_1 = m_2\) et \(p_1 \neq p_2\)
1️⃣ Droites verticales : Équation (x = k) (pas de forme réduite possible)
2️⃣ Coefficient directeur vs ordonnée à l'origine : Dans \(y = mx + p\), (m) est la pente, (p) l'ordonnée à l'origine
3️⃣ Division par zéro : Vérifier que (x_B \neq x_A) avant de calculer \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\)
4️⃣ Solutions de système : Toujours vérifier si le système a une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions
5️⃣ Vérification : Toujours substituer les solutions trouvées dans les équations originales
Exemple de système sans solution :
\(\begin{cases}
y = 2x + 1 \\
y = 2x + 3
\end{cases}\)
Les droites sont parallèles distinctes (même pente, ordonnées différentes) → Pas de solution
Droites et systèmes d'équations
Exercice 1: Vecteurs directeurs et équations de droites ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Déterminer des vecteurs directeurs et différentes équations de droites.
Énoncé :
Soit la droite \( d \) passant par \( A(1; 2) \) et de vecteur directeur \( \vec{u}(3; -1) \).
1. Donner une équation cartésienne de \( d \)
2. Déterminer son équation réduite
3. Tracer la droite dans un repère
Question 1 :
Méthode : Un point \( M(x; y) \) appartient à \( d \) si \( \vec{AM} \) et \( \vec{u} \) sont colinéaires.
\( \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{-1} \) ⇒ \( -x + 1 = 3y - 6 \) ⇒ \( x + 3y - 7 = 0 \)
Question 2 :
À partir de l'équation cartésienne : \( 3y = -x + 7 \) ⇒ \( y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \)
Question 3 :
Tracé :
- Point connu \( A(1; 2) \)
- Coefficient directeur \( -\frac{1}{3} \) (on se déplace de 3 unités horizontalement et -1 verticalement)
Objectif pédagogique : Déterminer le point d'intersection de deux droites.
Énoncé :
Dans un repère, on donne :
- La droite \( d_1 \) passant par \( A(1; 1) \) et \( B(3; 5) \)
- La droite \( d_2 \) d'équation \( y = -x + 6 \)
1. Déterminer une équation de \( d_1 \)
2. Trouver leur point d'intersection
3. Vérifier que ce point appartient bien aux deux droites
Objectif pédagogique : Modéliser une situation économique par un système.
Énoncé :
Une entreprise produit deux articles A et B :
- Pour A : coût fixe 100€, coût variable 5€ par unité
- Pour B : coût fixe 150€, coût variable 3€ par unité
Le coût total est de 600€ pour 70 unités produites.
1. Mettre en équation ce problème
2. Résoudre le système pour trouver les quantités produites
3. Interpréter géométriquement
Question 1 :
Soit \( x \) le nombre d'articles A et \( y \) le nombre d'articles B.
\( \begin{cases} x + y = 70 \\ 5x + 3y + 100 + 150 = 600 \end{cases} \) ⇒ \( \begin{cases} x + y = 70 \\ 5x + 3y = 350 \end{cases} \)
Question 2 :
Par substitution : \( y = 70 - x \)
\( 5x + 3(70 - x) = 350 \) ⇒ \( 2x + 210 = 350 \) ⇒ \( x = 70 \)
Puis \( y = 0 \) Solution : 70 articles A et 0 article B
Éducation
