1. Calcul de \(f(2)\) pour la fonction \(f\) définie par : \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\).
La valeur de \(f(2)\) est obtenue en remplaçant \(x\) par \(2\) dans l'expression de \(f(x)\) :
\(f(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1\)
\(= 3 \times 4 - 8 + 1\)
\(= 12 - 8 + 1\)
\(= 5\)

Ainsi, \(f(2) = 5\).

2. \(h\) est définie par \(h(x) = (2x - 6)(2x + 1)\). Calcul de \(h(3)\).
Pour trouver \(h(3)\), on substitue \(x\) par \(3\) dans \(h(x)\) :
\(h(3) = (2 \times 3 - 6)(2 \times 3 + 1)\)
\(= (6 - 6)(6 + 1)\)
\(= (0)(7)\)
\(= 0\)

Donc, \(h(3) = 0\).

On donne \(f(3) = 5\). Déterminer les coordonnées d’un point appartenant à la courbe représentative de la fonction \(f\).

Pour trouver les coordonnées d'un point sur la courbe représentative de \(f\), nous utilisons la valeur \(x = 3\) et \(y = 5\) puisque \(f(3) = 5\).

Ainsi, les coordonnées du point sont \((3, 5)\).

Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) vérifie \(f(1) = 4\) et \(f(-1) = -3\). Verifions si la fonction \(f\) est impaire:

Pour qu'une fonction soit impaire, elle doit satisfaire la condition suivante : \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x\) dans son domaine.

Vérifions si cette condition est remplie pour la fonction \(f\) :
\(f(-1) = -3 \neq -f(1) = -(-4) = 4\)

Puisque \(f(-1) \neq -f(1)\), la fonction \(f\) n'est pas impaire.

L'image de -5 par la fonction \(m\) est 4 et un antécédent de –1 par \(m\) est 2.

Les images par \( h \) sont les suivantes :
\( h(2) = 2^2 = 4 \)
\( h(-6) = (-6)^2 = 36 \)
\( h(100) = 100^2 = 10000 \)

Les antécédents par \( i \) sont les suivants :
\( i(x) = 100 \implies \frac{1}{x} = 100 \implies x = \frac{1}{100} \)
\( i(x) = -1 \implies \frac{1}{x} = -1 \implies x = -1 \)
\( i(x) = 0,2 \implies \frac{1}{x} = 0,2 \implies x = \frac{1}{0,2} = 5 \)

Les images par \( f \) sont les suivantes :
\( a) \, f(2) = 3(2)^2 + 7(2) = 3 \cdot 4 + 14 = 12 + 14 = 26 \)
\( b) \, f(-3) = 3(-3)^2 + 7(-3) = 3 \cdot 9 - 21 = 27 - 21 = 6 \)
\( c) \, f(0) = 3(0)^2 + 7(0) = 0 + 0 = 0 \)
\( d) \, f(5) = 3(5)^2 + 7(5) = 3 \cdot 25 + 35 = 75 + 35 = 110 \)

Pour trouver les antécédents de \( 0 \) par \( f \), nous devons résoudre l'équation :
\(f(x) = 0 \)
\((3 - 2x)(5x - 1) = 0 \)

Cela signifie que :
\(3 - 2x = 0 \quad \text{ou} \quad 5x - 1 = 0 \)

Résolvons chaque équation séparément :
\(3 - 2x = 0 \)
\(2x = 3 \)
\(x = \frac{3}{2} \)

\(5x - 1 = 0 \)
\(5x = 1 \)
\(x = \frac{1}{5} \)

Donc, les antécédents de \( 0 \) par \( f \) sont :
\(x = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad x = \frac{1}{5} \)

1. A-t-on \( f(3) = 1 \) ?
   Calculons \( f(3) \) :
   \(f(3) = \frac{4(3) + 2}{1 + 3^2} = \frac{12 + 2}{1 + 9} = \frac{14}{10} = 1.4 \)
   Donc, \( f(3) \neq 1 \).

2. Les images de \( 2 \) et de \( 0 \) par \( f \) sont-elles égales ?
   
   Calculons \( f(2) \) et \( f(0) \) :
   \(f(2) = \frac{4(2) + 2}{1 + 2^2} = \frac{8 + 2}{1 + 4} = \frac{10}{5} = 2 \)
   \(f(0) = \frac{4(0) + 2}{1 + 0^2} = \frac{2}{1} = 2 \)
   Donc, \( f(2) = f(0) = 2 \).

3. Déterminer l’image de \( \frac{1}{2} \) par \( f \).
   Calculons \( f\left(\frac{1}{2}\right) \) :
   \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4\left(\frac{1}{2}\right) + 2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{2 + 2}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{1.25} = \frac{4}{\frac{5}{4}} = 3.2 \)

4. Déterminer les antécédents de \( 0 \) par \( f \).
   Résolvons \( f(x) = 0 \) :
   \(\frac{4x + 2}{1 + x^2} = 0 \)
   Cela implique que le numérateur doit être zéro :
   \(4x + 2 = 0 \)
   \(4x = -2 \)
   \(x = -\frac{1}{2} \)
   
   Donc, l'antécédent de \( 0 \) par \( f \) est :
   \(x = -\frac{1}{2} \)

a) \( f(-1) = 1.5 \).
b) les images de \( 0 \) par \( f \) est \(1.5\).
c) les antécédents éventuels de \( 1 \) par \( f \) est \(1.5\).
d) les antécédents éventuels de \(3\) par \( f \) est \(0\).