1. Calculer \(f(2)\) pour la fonction f définie par : \(f(x) = 3 x^2 – 4 x + 1\). 2. \(h\) est définie par \(h(x) = (2x – 6)(2x + 1)\). Calculer \(h(3)\).
1. Calcul de \(f(2)\) pour la fonction \(f\) définie par : \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\). La valeur de \(f(2)\) est obtenue en remplaçant \(x\) par \(2\) dans l'expression de \(f(x)\) : \(f(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1\) \(= 3 \times 4 - 8 + 1\) \(= 12 - 8 + 1\) \(= 5\)
Ainsi, \(f(2) = 5\).
2. \(h\) est définie par \(h(x) = (2x - 6)(2x + 1)\). Calcul de \(h(3)\). Pour trouver \(h(3)\), on substitue \(x\) par \(3\) dans \(h(x)\) : \(h(3) = (2 \times 3 - 6)(2 \times 3 + 1)\) \(= (6 - 6)(6 + 1)\) \(= (0)(7)\) \(= 0\)
Donc, \(h(3) = 0\).
Exercice 2: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On donne \(f(3) = 5\). Déterminer les coordonnées d’un point appartenant à la courbe représentative de la fonction \(f\).
On donne \(f(3) = 5\). Déterminer les coordonnées d’un point appartenant à la courbe représentative de la fonction \(f\).
Pour trouver les coordonnées d'un point sur la courbe représentative de \(f\), nous utilisons la valeur \(x = 3\) et \(y = 5\) puisque \(f(3) = 5\).
Ainsi, les coordonnées du point sont \((3, 5)\).
Exercice 3: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) vérifie \(f(1) = 4\) et \(f(–1) = –3\). La fonction \(f\) est-elle impaire ?
Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) vérifie \(f(1) = 4\) et \(f(-1) = -3\). Verifions si la fonction \(f\) est impaire:
Pour qu'une fonction soit impaire, elle doit satisfaire la condition suivante : \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x\) dans son domaine.
Vérifions si cette condition est remplie pour la fonction \(f\) : \(f(-1) = -3 \neq -f(1) = -(-4) = 4\)
Puisque \(f(-1) \neq -f(1)\), la fonction \(f\) n'est pas impaire.
Exercice 4: ★ ★ ☆ ☆ ☆
Voici un tableau de valeurs de la fonction \(m\). Par la fonction \(m\), donner : a) l’image de –5. b) un antécédent de –1.
L'image de -5 par la fonction \(m\) est 4 et un antécédent de –1 par \(m\) est 2.
Exercice 5: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère la fonction carré \( h : x \mapsto x^2 \). Déterminer par \( h \) les images de \( 2 \), \(-6\) et \( 100 \).
Les images par \( h \) sont les suivantes : \( h(2) = 2^2 = 4 \) \( h(-6) = (-6)^2 = 36 \) \( h(100) = 100^2 = 10000 \)
Exercice 6: ★ ★ ☆ ☆ ☆
On considère la fonction inverse \( i : x \mapsto \frac{1}{x} \). Déterminer les éventuels antécédents par \( i \) de \( 100 \), \(-1\) et \( 0,2 \).
Les antécédents par \( i \) sont les suivants : \( i(x) = 100 \implies \frac{1}{x} = 100 \implies x = \frac{1}{100} \) \( i(x) = -1 \implies \frac{1}{x} = -1 \implies x = -1 \) \( i(x) = 0,2 \implies \frac{1}{x} = 0,2 \implies x = \frac{1}{0,2} = 5 \)
Exercice 7: ★ ★ ★ ☆ ☆
Soit la fonction \( f \) définie sur \(\mathbb{R}\) par \( f(x) = 3x^2 + 7x \).
Calculer les images des nombres suivants. a) \( 2 \) b) \( -3 \) c) \( 0 \) d) \( 5 \)
Donc, les antécédents de \( 0 \) par \( f \) sont : \(x = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad x = \frac{1}{5} \)
Exercice 9: ★ ★ ★ ☆ ☆
On considère la fonction \( f \) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \frac{4x + 2}{1 + x^2} \) 1. A-t-on \( f(3) = 1 \) ? 2. Les images de \( 2 \) et de \( 0 \) par \( f \) sont-elles égales ? 3. Déterminer l’image de \( \frac{1}{2} \) par \( f \). 4. Déterminer les antécédents de \( 0 \) par \( f \).
4. Déterminer les antécédents de \( 0 \) par \( f \). Résolvons \( f(x) = 0 \) : \(\frac{4x + 2}{1 + x^2} = 0 \) Cela implique que le numérateur doit être zéro : \(4x + 2 = 0 \) \(4x = -2 \) \(x = -\frac{1}{2} \)
Donc, l'antécédent de \( 0 \) par \( f \) est : \(x = -\frac{1}{2} \)
Exercice 10: ★ ★ ★ ☆ ☆
Voici la courbe représentative d’une fonction \( f \) définie sur \(\mathbb{R}\). Par lecture graphique, déterminer : a) l’image de \(-1\) par \( f \). b) l’image de \( 0 \) par \( f \). c) le (ou les) antécédent(s) de \( 1 \) par \( f \). d) le (ou les) antécédent(s) de \( 3 \) par \( f \).
a) \( f(-1) = 1.5 \).
b) les images de \( 0 \) par \( f \) est \(1.5\).
c) les antécédents éventuels de \( 1 \) par \( f \) est \(1.5\).
d) les antécédents éventuels de \(3\) par \( f \) est \(0\).
Fonctions : Images et antécédents
Exercice 1 : Images et appartenance ★ ☆ ☆ ☆ ☆
Énoncé : On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 + 5\) et \(𝒞_f\) sa courbe représentative dans un repère.
a) Calculer l'image de \(10\) par \(f\).
b) Le point \(A(10 ; 1005)\) appartient-il à \(𝒞_f\) ?
Calculer l'ordonnée du point B d'abscisse \(-2\) qui appartient à \(𝒞_f\).
2. Ordonnée de B : \(f(4) = 3×16 + 6 = 54\) → \(B(4 ; 54)\)
3. On résout \(3x^2 + 6 = 33\) → \(3x^2 = 27\) → \(x^2 = 9\) → \(x = 3\) ou \(x = -3\)
Donc deux points : \((3 ; 33)\) et \((-3 ; 33)\)
Fonctions : Analyse complète
Exercice 1 : Analyse globale d'une fonction rationnelle ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = \frac{3x^2 - 1}{x^2 - 4} \).
Déterminer l'ensemble de définition \( D_f \) de la fonction \( f \).
Étudier la parité de \( f \) et interpréter graphiquement le résultat.
Déterminer les antécédents éventuels de 0 et de 2 par \( f \).
Tracer l'allure de la courbe représentative en indiquant les éléments caractéristiques.
Correction détaillée :
1. Ensemble de définition :
Le dénominateur doit être non nul : \( x^2 - 4 ≠ 0 \)
On résout \( x^2 = 4 \) donc \( x = 2 \) ou \( x = -2 \) Conclusion : \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\} \) ou \( ]-∞;-2[ ∪ ]-2;2[ ∪ ]2;+∞[ \)
2. Parité :
Calculons \( f(-x) = \frac{3(-x)^2 - 1}{(-x)^2 - 4} = \frac{3x^2 - 1}{x^2 - 4} = f(x) \)
La fonction est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
4. Allure graphique :
• Asymptotes verticales en \( x = -2 \) et \( x = 2 \)
• Asymptote horizontale \( y = 3 \) en ±∞
• Symétrie par rapport à l'axe (Oy)
• Points remarquables : \( (0; \frac{1}{4}) \) et \( (±\frac{\sqrt{3}}{3}; 0) \)
Exercice 2 : Fonction racine et valeur absolue ★ ★ ★ ☆ ☆
Déterminer précisément \( D_g \) en justifiant chaque condition.
Étudier la parité (justifier soigneusement votre réponse).
Résoudre \( g(x) = 1 \) (on donnera des valeurs exactes).
Comparer \( g(3) \) et \( g(-3) \). Que constate-t-on ?
Correction détaillée :
1. Ensemble de définition :
Deux conditions :
• \( |x| - 2 ≥ 0 \) ⇒ \( |x| ≥ 2 \) ⇒ \( x ≤ -2 \) ou \( x ≥ 2 \)
• \( x - 1 ≠ 0 \) ⇒ \( x ≠ 1 \) (déjà exclu par la première condition) Conclusion : \( D_g = ]-∞;-2] ∪ [2;+∞[ \)
2. Parité :
Pour \( x ∈ D_g \), calculons \( g(-x) = \sqrt{| -x | - 2} + \frac{1}{-x-1} = \sqrt{|x| - 2} - \frac{1}{x+1} \)
On n'a ni \( g(-x) = g(x) \) ni \( g(-x) = -g(x) \) Conclusion : La fonction n'est ni paire ni impaire (domaine non symétrique déjà révélateur)
3. Résolution de \( g(x) = 1 \) :
\( \sqrt{|x| - 2} = 1 - \frac{1}{x-1} \)
Posons \( x ≥ 2 \) (par symétrie) : \( \sqrt{x - 2} = \frac{x-2}{x-1} \)
En élevant au carré : \( x - 2 = \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \)
Solutions : \( x = 2 \) ou \( (x-1)^2 = x-2 \) ⇒ \( x^2 - 3x + 3 = 0 \) (Δ < 0) Solution unique : \( x = 2 \) (vérifiée dans l'équation initiale)
Par symétrie, \( x = -2 \) est aussi solution
4. Comparaison :
\( g(3) = \sqrt{1} + \frac{1}{2} = 1.5 \)
\( g(-3) = \sqrt{1} + \frac{1}{-4} = 0.75 \)
La fonction n'est pas paire (valeurs différentes), ce qui confirme le résultat du 2.
Exercice 3 : Fonction définie par morceaux ★ ★ ★ ★ ☆
Déterminer \( D_h \) et étudier la continuité en \( x = 1 \).
Étudier la parité et la périodicité de \( h \).
Déterminer le nombre de solutions de \( h(x) = k \) selon les valeurs de \( k \).
Tracer soigneusement la courbe avec ses éléments remarquables.
Correction détaillée :
1. Domaine et continuité :
• \( D_h = \mathbb{R} \) (aucune restriction)
• En \( x = 1 \) :
- \( h(1) = 1^2 - 1 = 0 \)
- \( \lim_{x→1^-} h(x) = 0 \)
- \( \lim_{x→1^+} h(x) = 2 \) Conclusion : Discontinuité de première espèce (saut) en \( x = 1 \)
2. Parité et périodicité :
• \( h(-0.5) = (-0.5)^2 - 1 = -0.75 \) et \( h(0.5) = (0.5)^2 - 1 = -0.75 \)
Mais \( h(-2) = 3 \) et \( h(2) = 1 \) ⇒ ni paire ni impaire
• Aucune période évidente ⇒ non périodique
3. Solutions de \( h(x) = k \) : Cas 1 : \( x ≤ 1 \) ⇒ \( x^2 - 1 = k \) ⇒ \( x = ±\sqrt{k + 1} \) (si \( k ≥ -1 \)) Cas 2 : \( x > 1 \) ⇒ \( \frac{2}{x} = k \) ⇒ \( x = \frac{2}{k} \) (si \( k > 0 \) et \( \frac{2}{k} > 1 \) ⇒ \( 0 < k < 2 \)) Synthèse :
- Pour \( k < -1 \) : aucune solution
- Pour \( -1 ≤ k < 0 \) : deux solutions (cas 1)
- Pour \( 0 ≤ k < 2 \) : trois solutions (2 du cas 1 + 1 du cas 2)
- Pour \( k = 2 \) : deux solutions
- Pour \( k > 2 \) : une solution (cas 1)
4. Courbe :
• Parabole pour \( x ≤ 1 \) avec sommet en (0;-1)
• Hyperbole pour \( x > 1 \)
• Saut de discontinuité en \( x = 1 \)
• Point remarquable : (0;-1) et (√2;0)
Exercice 4 : Fonction rationnelle avec valeur absolue ★ ★ ★ ★ ☆
Énoncé : Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = \frac{|x^2 - 4|}{x - 1} \).
Déterminer l'ensemble de définition \( D_f \) de la fonction.
Étudier la parité de \( f \) (justifier méthodiquement).
Résoudre \( f(x) = 3 \) (on donnera les valeurs exactes).
Étudier la dérivabilité en \( x = 2 \) et interpréter graphiquement.
Tracer l'allure de la courbe en indiquant les éléments caractéristiques.
Correction détaillée :
1. Ensemble de définition :
Le dénominateur doit être non nul : \( x - 1 ≠ 0 \) ⇒ \( x ≠ 1 \) Conclusion : \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \)
2. Parité :
Calculons \( f(-x) = \frac{|(-x)^2 - 4|}{-x - 1} = \frac{|x^2 - 4|}{-x - 1} \)
On n'a ni \( f(-x) = f(x) \) ni \( f(-x) = -f(x) \) Conclusion : La fonction n'est ni paire ni impaire (asymétrie du dénominateur)
3. Résolution de \( f(x) = 3 \) :
Deux cas à considérer selon \( x^2 - 4 \) : Cas 1 : \( x ∈ ]-∞;-2] ∪ [2;+∞[ \)
\( \frac{x^2 - 4}{x - 1} = 3 \) ⇒ \( x^2 - 3x - 1 = 0 \)
Solutions : \( x = \frac{3 ± \sqrt{13}}{2} \) (seule \( \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \) valide) Cas 2 : \( x ∈ ]-2;2[ \)
\( \frac{-x^2 + 4}{x - 1} = 3 \) ⇒ \( x^2 + 3x - 7 = 0 \)
Solution valide : \( x = \frac{-3 + \sqrt{37}}{2} \)
3. Solutions de \( f(x) = k \) :
• Analyse des extrema :
- \( f(0) = 2 \) (max)
- \( f(2) = -2 \) (min)
• Cas :
- \( k > 2 \) ou \( k < -2 \) : 1 solution
- \( k = 2 \) ou \( k = -2 \) : 2 solutions
- \( -2 < k < 2 \) : 3 solutions
4. Limites et convexité :
• \( \lim_{x→+∞} f(x) = +∞ \) et \( \lim_{x→-∞} f(x) = -∞ \)
• \( f''(x) = 6x - 6 \) ⇒ convexe quand \( x > 1 \), concave quand \( x < 1 \)
• Point d'inflexion en \( x = 1 \)
5. Tangente au point d'inflexion :
• \( f(1) = 0 \)
• \( f'(1) = -3 \)
• Équation : \( y = -3(x - 1) + 0 \) ⇒ \( y = -3x + 3 \)
6. Courbe :
• Maximum en \( (0;2) \), minimum en \( (2;-2) \)
• Point d'inflexion en \( (1;0) \)
• Tangente horizontale en \( x = 0 \) et \( x = 2 \)
• Comportement cubique en ±∞
Fonctions : Résolutions graphiques et algébriques
Exercice 1 : Fonction affine et interprétation graphique ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé : Soit la fonction f définie par f(x) = 2x - 3. On note 𝒞 sa courbe représentative.
Résoudre algébriquement f(x) = 0. Que représente graphiquement cette solution ?
Déterminer le point d'intersection de 𝒞 avec la droite d'équation y = -x + 5.
Tracer 𝒞 et les éléments trouvés dans un repère orthonormé (unité : 1cm).
Correction détaillée :
1. Résolution de f(x) = 0 :
2x - 3 = 0 ⇒ x = 1,5 Interprétation : Ceci représente l'abscisse du point d'intersection de 𝒞 avec l'axe des abscisses (1,5; 0).
2. Résolution de f(x) ≥ 1 :
2x - 3 ≥ 1 ⇒ 2x ≥ 4 ⇒ x ≥ 2 Interprétation : Tous les points de 𝒞 situés au-dessus de la droite horizontale y=1 correspondent aux abscisses x ≥ 2.
3. Intersection avec y = -x + 5 :
On résout 2x - 3 = -x + 5 ⇒ 3x = 8 ⇒ x ≈ 2,67
y = -2,67 + 5 ≈ 2,33 Solution : Le point (8/3; 7/3) ou environ (2,67; 2,33)
4. Tracé :
• 𝒞 passe par (0;-3) et (2;1)
• Point d'intersection avec axe x : (1,5;0)
• Zone hachurée pour x ≥ 2
• Point d'intersection des deux droites marqué clairement
Exercice 2 : Fonction carré et inéquations ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Soit la fonction g définie par g(x) = x² - 4x + 3. On note 𝒞 sa courbe.
Factoriser g(x) et résoudre g(x) = 0. Interpréter graphiquement.
Résoudre l'inéquation g(x) < 3. Donner une interprétation visuelle.
Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole 𝒞.
Résoudre graphiquement (puis algébriquement) g(x) = x - 1.
Tracer 𝒞 avec tous les éléments caractéristiques.
Correction détaillée :
1. Factorisation et racines :
g(x) = (x - 1)(x - 3)
Solutions : x = 1 et x = 3 Interprétation : La parabole coupe l'axe des abscisses en (1,0) et (3,0).
2. Inéquation g(x) < 3 :
x² - 4x < 0 ⇒ x(x - 4) < 0 ⇒ x ∈ ]0;4[ Interprétation : Partie de la parabole sous la droite y=3 entre x=0 et x=4.
3. Sommet de la parabole :
α = -b/2a = 2
g(2) = -1 ⇒ Sommet en (2,-1)
4. Résolution de g(x) = x - 1 :
Graphiquement : intersections vers x≈1,3 et x≈3,7
Algébriquement : x² - 5x + 4 = 0 ⇒ x = (5±√9)/2 ⇒ x=1 et x=4
Points d'intersection : (1,0) et (4,3)
5. Tracé :
• Parabole passant par (1,0), (3,0) avec sommet (2,-1)
• Droite y=x-1 coupant 𝒞 en deux points
• Zone entre x=0 et x=4 sous y=3 hachurée
Exercice 3 : Fonction homographique ★ ★ ★ ★ ☆
Énoncé : Soit h(x) = (2x + 1)/(x - 1). On note ℋ sa courbe.
Déterminer le domaine de définition de h.
Résoudre h(x) = 2. Interpréter graphiquement.
Résoudre l'inéquation h(x) ≥ 1. Donner la solution sous forme d'intervalle.
Déterminer les asymptotes à ℋ et les tracer.
Étudier la position relative de ℋ par rapport à la droite y = 2.
Tracer ℋ avec ses éléments caractéristiques.
Correction détaillée :
1. Domaine de définition :
x - 1 ≠ 0 ⇒ D_h = ℝ \ {1}
2. Résolution de h(x) = 2 :
(2x + 1)/(x - 1) = 2 ⇒ 2x + 1 = 2x - 2 ⇒ 1 = -2 ⇒ Impossible Interprétation : La droite y=2 est asymptote à ℋ (pas d'intersection).
5. Tracé :
• Parabole "brisée" aux points d'abscisse 0 et 3
• Points anguleux marqués en (0,-1) et (3,-1)
• Zones sous l'axe des x clairement indiquées
Exercice 5 : Synthèse sur fonction polynomiale ★ ★ ★ ★ ★
Énoncé : Soit m(x) = x³ - 2x² - x + 2. On note ℳ sa courbe.
Déterminer les points d'intersection de ℳ avec la droite y = -x + 2.
Étudier les variations de m et dresser son tableau de variation.
Déterminer le nombre de solutions de m(x) = k selon les valeurs de k.
Tracer ℳ avec tous ses éléments caractéristiques dans un repère.
Correction détaillée :
1. Factorisation :
m(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)
Solutions de m(x)=0 : x = -1, x = 1 et x = 2
2. Inéquation m(x) ≥ 0 :
Tableau de signes :
• x ∈ [-1;1] ∪ [2;+∞[ ⇒ m(x) ≥ 0 Interprétation : Parties de la courbe au-dessus de l'axe des x sur ces intervalles.
3. Intersection avec y = -x + 2 :
x³ - 2x² = 0 ⇒ x²(x - 2) = 0 ⇒ x = 0 (double) ou x = 2
Points : (0,2) (tangence) et (2,0)
4. Variations :
m'(x) = 3x² - 4x - 1
Racines : x = (4±√28)/6 ≈ -0,215 et 1,549
Tableau :
• Croissante sur ]-∞;-0,215] et [1,549;+∞[
• Décroissante sur [-0,215;1,549]
5. Solutions de m(x) = k :
Selon la position de k par rapport aux extremums locaux :
• k < m(1,549) ≈ -0,63 : 1 solution
• k = m(1,549) : 2 solutions
• m(1,549) < k < m(-0,215) ≈ 2,11 : 3 solutions
• k = m(-0,215) : 2 solutions
• k > m(-0,215) : 1 solution
6. Tracé :
• Passage par (-1,0), (1,0) et (2,0)
• Maximum local vers (-0,215;2,11)
• Minimum local vers (1,549;-0,63)
• Point de tangence en (0,2) avec y=-x+2
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