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📔 Exercices

Série d'exercices n°2 sur les fonctions

Fonctions : Signe, variations et extremums

Exercice 1 : Étude complète d'une fonction polynomiale ★ ★ ☆ ☆ ☆

Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2\).

Cette fonction polynomiale du troisième degré présente des propriétés intéressantes que nous allons étudier de manière systématique. L'objectif est de comprendre complètement son comportement sur l'ensemble des réels.

Factoriser l'expression \(f(x)\) en déterminant d'abord ses racines.
Étudier le signe de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\) en utilisant la factorisation obtenue.
Calculer la dérivée \(f'(x)\) et étudier son signe pour déterminer les intervalles de monotonie.
Dresser le tableau de variations complet de la fonction en précisant les extremums.
Déterminer la nature et les valeurs des extremums locaux de la fonction.

Exercice 2 : Fonction rationnelle ★ ★ ★ ☆ ☆

Énoncé : Soit la fonction \(g\) définie par \(g(x) = \frac{x^2-1}{x+2}\).

Cette fonction rationnelle présente des caractéristiques particulières liées à la présence d'une asymptote verticale et d'un comportement asymptotique intéressant. Nous allons analyser son domaine de définition, son signe, et ses variations.

Déterminer le domaine de définition \(D_g\) de la fonction \(g\).
Étudier le signe de \(g(x)\) en analysant le numérateur et le dénominateur.
Calculer la dérivée \(g'(x)\) en utilisant la formule de dérivation des quotients.
Étudier les variations de \(g\) en déterminant le signe de \(g'(x)\).
Déterminer les extremums de la fonction et leur nature.

Exercice 3 : Fonction racine ★ ★ ★ ★ ☆

Énoncé : Soit la fonction \(h\) définie par \(h(x) = x\sqrt{4-x}\).

Cette fonction combine une fonction linéaire et une fonction racine carrée, ce qui crée un domaine de définition restreint et des propriétés de variation particulières. L'étude de cette fonction nécessite une attention particulière au domaine de définition et à la dérivabilité.

Déterminer le domaine de définition \(D_h\) en analysant la condition d'existence de la racine carrée.
Étudier le signe de \(h(x)\) en considérant les signes du facteur \(x\) et de \(\sqrt{4-x}\).
Calculer la dérivée \(h'(x)\) en utilisant la règle de dérivation des produits et des composées.
Étudier les variations de \(h\) en déterminant le signe de \(h'(x)\) sur le domaine.
Déterminer la nature et la valeur de l'extremum de la fonction.

Correction détaillée :

1. Domaine de définition :
Pour que \(h(x) = x\sqrt{4-x}\) soit définie, il faut que l'expression sous la racine soit positive ou nulle.
\(4 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4\)
Donc \(D_h = ]-\infty;4]\)

2. Étude du signe :
\(h(x) = x\sqrt{4-x}\)
• \(\sqrt{4-x} > 0\) pour tout \(x \in ]-\infty;4[\) et \(\sqrt{4-x} = 0\) pour \(x = 4\)
• Le signe de \(h(x)\) dépend donc du signe de \(x\) :
Résultat :
• \(x \in ]-\infty;0[\) : \(h(x) = (-) \times (+) = (-)\) donc \(h(x) < 0\)
• \(x = 0\) : \(h(0) = 0\)
• \(x \in ]0;4[\) : \(h(x) = (+) \times (+) = (+)\) donc \(h(x) > 0\)
• \(x = 4\) : \(h(4) = 4 \times 0 = 0\)

3. Calcul de la dérivée :
\(h(x) = x\sqrt{4-x}\)
En utilisant la règle de dérivation du produit \((uv)' = u'v + uv'\) :
• \(u = x\) donc \(u' = 1\)
• \(v = \sqrt{4-x} = (4-x)^{1/2}\) donc \(v' = \frac{1}{2}(4-x)^{-1/2} \times (-1) = \frac{-1}{2\sqrt{4-x}}\)
\(h'(x) = 1 \times \sqrt{4-x} + x \times \frac{-1}{2\sqrt{4-x}}\)
\(h'(x) = \sqrt{4-x} - \frac{x}{2\sqrt{4-x}}\)
\(h'(x) = \frac{2(4-x) - x}{2\sqrt{4-x}} = \frac{8-2x-x}{2\sqrt{4-x}} = \frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}\)

4. Étude des variations :
Pour \(x \in ]-\infty;4[\), on a \(\sqrt{4-x} > 0\), donc le signe de \(h'(x)\) dépend du numérateur.
\(8 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{3}\)
• \(x \in ]-\infty;\frac{8}{3}[\) : \(8-3x > 0\) donc \(h'(x) > 0\) (fonction croissante)
• \(x = \frac{8}{3}\) : \(h'(x) = 0\)
• \(x \in ]\frac{8}{3};4[\) : \(8-3x < 0\) donc \(h'(x) < 0\) (fonction décroissante)
La fonction \(h\) est :
• Croissante sur \(]-\infty;\frac{8}{3}]\)
• Décroissante sur \([\frac{8}{3};4[\)

5. Extremum :
La fonction \(h\) admet un maximum en \(x = \frac{8}{3}\).
Calcul de la valeur maximale :
\(h\left(\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}\sqrt{4-\frac{8}{3}} = \frac{8}{3}\sqrt{\frac{12-8}{3}} = \frac{8}{3}\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{8}{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{9}\)
Donc le maximum de \(h\) est \(\frac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3.08\) atteint en \(x = \frac{8}{3} \approx 2.67\).

Exercice 4 : Fonction valeur absolue ★ ★ ★ ★ ☆

Énoncé : Soit la fonction \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x) = |x^2-4| + x\).

Cette fonction présente une valeur absolue qui crée des points de non-dérivabilité. L'étude de cette fonction nécessite d'analyser séparément les différentes parties en éliminant la valeur absolue selon les intervalles. Les points où l'expression sous la valeur absolue s'annule sont cruciaux pour l'analyse.

Écrire la fonction \(k(x)\) sans valeur absolue en déterminant le signe de \(x^2-4\) selon les intervalles.
Étudier la dérivabilité de \(k\) aux points critiques \(x = -2\) et \(x = 2\) en calculant les dérivées à droite et à gauche.
Étudier les variations de \(k\) sur chaque intervalle de définition en calculant les dérivées.
Déterminer les extremums de la fonction et préciser leur nature (maximum, minimum, point anguleux).

Correction complète :

1. Écriture sans valeur absolue :
Étudions d'abord le signe de \(x^2 - 4\) :
\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)
• \(x^2 - 4 \geq 0\) pour \(x \in ]-\infty;-2] \cup [2;+\infty[\)
• \(x^2 - 4 \leq 0\) pour \(x \in [-2;2]\)
Donc :
\(k(x) = \begin{cases} x^2 - 4 + x = x^2 + x - 4 & \text{si } x \in ]-\infty;-2] \cup [2;+\infty[ \\ -(x^2 - 4) + x = -x^2 + 4 + x = -x^2 + x + 4 & \text{si } x \in [-2;2] \end{cases}\)

2. Étude de la dérivabilité en x = -2 et x = 2 :
En x = -2 :
• Dérivée à gauche : \(k'_g(-2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{k(-2+h) - k(-2)}{h}\)
Pour \(h < 0\), \(k(-2+h) = (-2+h)^2 + (-2+h) - 4 = h^2 - 3h - 2\)
\(k(-2) = 4 - 2 - 4 = -2\)
\(k'_g(-2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2 - 3h - 2 - (-2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2 - 3h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h - 3) = -3\)
• Dérivée à droite : \(k'_d(-2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{k(-2+h) - k(-2)}{h}\)
Pour \(h > 0\), \(k(-2+h) = -(-2+h)^2 + (-2+h) + 4 = -h^2 + 3h + 2\)
\(k'_d(-2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h^2 + 3h + 2 - (-2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h^2 + 3h + 4}{h} = \lim_{h \to 0^+} (-h + 3) = 3\)
Comme \(k'_g(-2) \neq k'_d(-2)\), la fonction n'est pas dérivable en \(x = -2\).
En x = 2 :
• Dérivée à gauche : \(k'_g(2) = \lim_{h \to 0^-} (-2x + 1)|_{x=2} = -4 + 1 = -3\)
• Dérivée à droite : \(k'_d(2) = \lim_{h \to 0^+} (2x + 1)|_{x=2} = 4 + 1 = 5\)
Comme \(k'_g(2) \neq k'_d(2)\), la fonction n'est pas dérivable en \(x = 2\).

3. Étude des variations :
Sur \(]-\infty;-2[\) :
\(k(x) = x^2 + x - 4\), donc \(k'(x) = 2x + 1\)
\(k'(x) = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\)
• \(k'(x) < 0\) pour \(x < -\frac{1}{2}\) (mais on est sur \(]-\infty;-2[\), donc toujours \(k'(x) < 0\))
• Fonction décroissante sur \(]-\infty;-2]\)
Sur \(]-2;2[\) :
\(k(x) = -x^2 + x + 4\), donc \(k'(x) = -2x + 1\)
\(k'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)
• \(k'(x) > 0\) pour \(x < \frac{1}{2}\) : fonction croissante sur \(]-2;\frac{1}{2}]\)
• \(k'(x) < 0\) pour \(x > \frac{1}{2}\) : fonction décroissante sur \([\frac{1}{2};2[\)
Sur \(]2;+\infty[\) :
\(k(x) = x^2 + x - 4\), donc \(k'(x) = 2x + 1\)
• \(k'(x) > 0\) pour \(x > 2\) : fonction croissante sur \([2;+\infty[\)

4. Extremums :
• Maximum local en \(x = \frac{1}{2}\) : \(k\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 4 = \frac{17}{4} = 4.25\)
• Points anguleux en \(x = -2\) et \(x = 2\) : \(k(-2) = k(2) = -2\)
• Comportement asymptotique : \(\lim_{x \to \pm\infty} k(x) = +\infty\)

Exercice 5 : Synthèse ★ ★ ★ ★ ★

Énoncé : Soit la fonction \(m\) définie par \(m(x) = \frac{x^3+1}{x^2-1}\).

Cette fonction rationnelle complexe combine un polynôme du troisième degré au numérateur et un polynôme du second degré au dénominateur. Elle présente des asymptotes verticales et obliques, ainsi que des propriétés de variation particulières. Cette étude de synthèse mobilise l'ensemble des techniques d'analyse des fonctions rationnelles.

Déterminer le domaine de définition \(D_m\) en identifiant les valeurs interdites.
Simplifier l'expression \(m(x)\) en factorisant le numérateur et en recherchant d'éventuelles simplifications.
Étudier le signe de \(m(x)\) en analysant les signes du numérateur et du dénominateur.
Calculer la dérivée \(m'(x)\) et étudier les variations de la fonction.
Déterminer les équations des asymptotes (verticales et obliques) en étudiant les limites aux bornes du domaine.

1. Domaine de définition \(D_m\)

La fonction \(m(x) = \frac{x^3+1}{x^2-1}\) est définie si et seulement si le dénominateur est non nul.

\(x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Donc : \(D_m = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} = ]-\infty, -1[ \cup ]-1, 1[ \cup ]1, +\infty[\)

2. Simplification de l'expression

Factorisons le numérateur et le dénominateur :

• Numérateur : \(x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)\) (identité remarquable)

• Dénominateur : \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) (différence de carrés)

Donc : \(m(x) = \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x+1)}\)

Pour \(x \neq -1\), on peut simplifier par \((x+1)\) :

\(m(x) = \frac{x^2-x+1}{x-1}\) pour \(x \in D_m\)

3. Étude du signe de \(m(x)\)

Après simplification : \(m(x) = \frac{x^2-x+1}{x-1}\)

• Numérateur : \(x^2-x+1\) avec \(\Delta = 1-4 = -3 < 0\)

Comme le coefficient de \(x^2\) est positif, \(x^2-x+1 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)

• Dénominateur : \(x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\)

Tableau de signes :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(x^2-x+1\)		\(+\)	\(\parallel\)	\(+\)	\(\parallel\)	\(+\)
\(x-1\)		\(-\)	\(\parallel\)	\(-\)	\(\parallel\)	\(+\)
\(m(x)\)		\(-\)	\(\parallel\)	\(-\)	\(\parallel\)	\(+\)

\(m(x) < 0\) sur \(]-\infty, -1[ \cup ]-1, 1[\) et \(m(x) > 0\) sur \(]1, +\infty[\)

4. Calcul de la dérivée et étude des variations

Avec \(m(x) = \frac{x^2-x+1}{x-1}\), calculons \(m'(x)\) :

\(m'(x) = \frac{(2x-1)(x-1) - (x^2-x+1) \cdot 1}{(x-1)^2}\)

\(= \frac{(2x-1)(x-1) - (x^2-x+1)}{(x-1)^2}\)

\(= \frac{2x^2-2x-x+1 - x^2+x-1}{(x-1)^2}\)

\(= \frac{x^2-2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\)

\(m'(x) = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\)

Étude du signe de \(m'(x)\) :

• \(x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) ou \(x = 2\)

• \((x-1)^2 > 0\) pour \(x \neq 1\)

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(0\)		\(1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(m'(x)\)		\(+\)	\(\parallel\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(\parallel\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(m(x)\)		\(\nearrow\)	\(\parallel\)	\(\nearrow\)	max	\(\searrow\)	\(\parallel\)	\(\searrow\)	min	\(\nearrow\)

Extrema locaux :

• Maximum local en \(x = 0\) : \(m(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1\)

• Minimum local en \(x = 2\) : \(m(2) = \frac{4-2+1}{2-1} = 3\)

5. Asymptotes

Asymptotes verticales :

Aux points où le dénominateur s'annule : \(x = -1\) et \(x = 1\)

• \(\lim_{x \to -1^-} m(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2-x+1}{x-1} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}\)

• \(\lim_{x \to -1^+} m(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2-x+1}{x-1} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}\)

En \(x = -1\), il y a une discontinuité par valeur (trou), pas d'asymptote verticale.

• \(\lim_{x \to 1^-} m(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2-x+1}{x-1} = \frac{1}{0^-} = -\infty\)

• \(\lim_{x \to 1^+} m(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2-x+1}{x-1} = \frac{1}{0^+} = +\infty\)

Asymptote verticale : \(x = 1\)

Asymptote oblique :

Division euclidienne de \(x^2-x+1\) par \(x-1\) :

\(x^2-x+1 = (x-1) \cdot x + 1\)

Donc : \(m(x) = \frac{(x-1) \cdot x + 1}{x-1} = x + \frac{1}{x-1}\)

\(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x-1} = 0\)

Asymptote oblique : \(y = x\)

Position relative :

\(m(x) - x = \frac{1}{x-1}\)

• Si \(x > 1\) : \(m(x) > x\) (courbe au-dessus de l'asymptote)

• Si \(x < 1\) : \(m(x) < x\) (courbe au-dessous de l'asymptote)

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📔 Exercices

Fonctions : Signe, variations et extremums

Exercice 1 : Étude complète d'une fonction polynomiale ★ ★ ☆ ☆ ☆

Exercice 2 : Fonction rationnelle ★ ★ ★ ☆ ☆

Exercice 3 : Fonction racine ★ ★ ★ ★ ☆

Exercice 4 : Fonction valeur absolue ★ ★ ★ ★ ☆

Exercice 5 : Synthèse ★ ★ ★ ★ ★

1. Domaine de définition \(D_m\)

2. Simplification de l'expression

3. Étude du signe de \(m(x)\)

4. Calcul de la dérivée et étude des variations

5. Asymptotes

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