Énoncé : Tracer une droite d et placer un point M n'appartenant pas à d.
Construire le point H tel que MH soit la distance de M à d
Tracer la hauteur issue de H dans le triangle MNH (N ∈ d)
Identifier la hauteur issue de N
Déterminer la distance de H à (MN)
1. H est le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur d (en vert). La distance de M à d est MH.
2. La hauteur issue de H dans le triangle MNH (en orange) est perpendiculaire à [MN] et passe par H.
3. La hauteur issue de N dans le triangle MNH est le segment [NH], car (MH) ⊥ d et N ∈ d.
4. La distance de H à (MN) est la longueur HI, où I est le pied de la perpendiculaire abaissée de H sur (MN).
Formule : La distance d'un point à une droite est : \( d(M,d) = \min_{P \in d} MP \)
Justification : La distance point-droite est toujours minimale selon la perpendiculaire (propriété fondamentale de la géométrie euclidienne).
Exercice 2 : Cercle et distance ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Soit un cercle de centre O, A un point du cercle. Tracer d ⊥ (OA) en A. M ∈ d. Comparer OA et OM.
• OA = rayon du cercle = r
• Dans le triangle rectangle OAM : \( OM^2 = OA^2 + AM^2 \) (théorème de Pythagore)
• Donc : \( OM = \sqrt{OA^2 + AM^2} = \sqrt{r^2 + AM^2} \)
• Puisque AM > 0 (sauf si M = A), on a : \(OM > OA \)
Conclusion : \( OM \geq OA \text{ avec égalité si et seulement si } M = A \)
Propriété générale : La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de tangence. Tout point de la tangente (sauf le point de tangence) est plus éloigné du centre que le rayon.
Exercice 3 : Parallélogramme ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : ABCD parallélogramme d'aire 24 cm², AB = 8 cm. H projeté orthogonal de D sur (AB).
Calculer DH
Construire ABCD avec H milieu de [AB]
Montrer DA = DB
Montrer que C appartient au cercle de centre B passant par D
2. Construction : H étant le milieu de [AB], on a AH = HB = 4 cm.
3. Démonstration DA = DB :
Dans les triangles rectangles DAH et DBH :
\(DA = \sqrt{AH^2 + DH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \)
\(DB = \sqrt{BH^2 + DH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \)
Donc : \(DA = DB = 5 \text{ cm} \)
4. Point C sur le cercle :
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux : $$BC = AD = 5 \text{ cm}$$
Donc C appartient au cercle de centre B et de rayon 5 cm (même cercle que celui passant par D).
Propriétés utilisées : Aire du parallélogramme, théorème de Pythagore, propriétés des parallélogrammes.
Exercice 4 : Carré et distances ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Carré ABCD de côté 6 cm. Déterminer :
L'ensemble des points à 2 cm de (AD)
Distance de B à cet ensemble
Points à 2 cm de (AB) et (AD)
1. Ensemble des points à 2 cm de (AD) :
Ce sont deux droites parallèles à (AD) situées à 2 cm de part et d'autre :
• Une droite intérieure au carré (en vert)
• Une droite extérieure au carré (en vert)
2. Distance de B à cet ensemble :
B est situé à distance 6 cm de (AD) (largeur du carré).
• Distance à la droite intérieure : \( 6 - 2 = 4 \text{ cm} \)
• Distance à la droite extérieure : \( 6 + 2 = 8 \text{ cm} \)
3. Points à 2 cm de (AB) et (AD) :
Il y a 4 points d'intersection (en violet) :
• 2 points à l'intérieur du carré
• 2 points à l'extérieur du carré
Formule générale : L'ensemble des points à distance \( d\) d'une droite \( \Delta \) est constitué de deux droites parallèles à \( \Delta \) situées à distance \( d \) de \( \Delta \).
Principe : La distance d'un point à une droite est constante le long des parallèles à cette droite.
Exercice 5 : Triangle rectangle ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : ABC rectangle en A avec AC = 15 et BC = 25. Calculer AB.
Dans le triangle rectangle ABC, rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
\( c^2 = a^2 + b^2 \)
Note : Ce triangle fait partie des triangles pythagoriciens classiques (15-20-25), multiple du triangle (3-4-5).
Géométrie : Distances et constructions
Exercice 1 : Triangle rectangle ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé : Un triangle BCD est tel que BC = 25, BD = 24 et CD = 7. Déterminer si le triangle BCD est rectangle ou non.
Pour déterminer si le triangle BCD est rectangle, nous devons vérifier si le théorème de Pythagore est vérifié.
Vérification :
Le plus grand côté est BC = 25, donc si le triangle est rectangle, l'angle droit serait en D.
3. Démonstration que (IJ) ∥ (BC) :
I est le milieu de [MB] et J est le milieu de [MC].
Dans le triangle MBC, le segment [IJ] joint les milieux de deux côtés.
D'après le théorème de la droite des milieux : Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Donc : \( (IJ) \parallel (BC) \)
Propriété bonus : De plus, \( IJ = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \)
Exercice 4 : Carré et distances ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : On considère un carré ABCD de côté 6 cm.
Construire l'ensemble des points M qui sont situés à 2 cm de la droite (AD)
Quelles sont les valeurs possibles pour la distance du point B à cet ensemble ?
De la même manière, construire l'ensemble des points qui sont situés à 2 cm de la droite (AB)
Combien y a-t-il de points qui sont dans les deux ensembles précédents ?
1. Ensemble des points à 2 cm de (AD) :
Ce sont deux droites parallèles à (AD) situées à 2 cm de part et d'autre (en vert) :
• Une droite intérieure au carré
• Une droite extérieure au carré
2. Distance de B à cet ensemble :
B est situé à 6 cm de (AD) (côté du carré).
• Distance à la droite intérieure : \( 6 - 2 = 4 \text{ cm} \)
• Distance à la droite extérieure : \( 6 + 2 = 8 \text{ cm} \)
Les valeurs possibles sont : 4 cm et 8 cm
3. Ensemble des points à 2 cm de (AB) :
Ce sont deux droites parallèles à (AB) situées à 2 cm de part et d'autre (en orange) :
• Une droite intérieure au carré
• Une droite extérieure au carré
4. Points dans les deux ensembles :
Les intersections des droites donnent 4 points (en violet) :
• 1 point à l'intérieur du carré
• 3 points à l'extérieur du carré
Principe général : L'ensemble des points à distance \( d \) d'une droite \( \Delta \) est constitué de deux droites parallèles à \( \Delta \) situées à distance \( d \) de \( \Delta \).
On considère les points A (–2 ; 3) et B (–4 ; –1). Déterminer la longueur AB
On considère les points A (–3 ; 1) et B (–2 ; –4). Déterminer les coordonnées du milieu du segment [AB]
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a : AB = 4, AC = 3 et BC = 5. Déterminer la valeur du cosinus de l'angle \( \widehat{ABC} \)
1. Calcul de AB :
Pour deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂), la distance AB est :
\( AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
Avec A(–2 ; 3) et B(–4 ; –1) :
\( AB = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} \)
\( AB = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
2. Coordonnées du milieu :
Pour deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂), le milieu I a pour coordonnées :
\( I\left(\frac{x_1 + x_2}{2} ; \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)
3. Calcul du cosinus :
Dans le triangle rectangle ABC rectangle en A, on a :
- \( \widehat{ABC} \) est l'angle en B
- Côté adjacent à \( \widehat{ABC} \) : AB = 4
- Hypoténuse : BC = 5
Donc :
\( \cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{5} \)
Géométrie : Problèmes variés
Exercice 1 : Distances point-droite ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé :
Tracer une droite d et placer un point A ∉ d
Construire l'ensemble des points à 2 cm de d
Déterminer les points à 2 cm de d ET à 4 cm de A
Discuter le nombre de solutions selon la distance A-d
Correction : 2. L'ensemble des points à 2 cm de la droite d est constitué de deux droites parallèles à d, situées de part et d'autre à une distance de 2 cm.
3. Les points cherchés sont à l'intersection entre :
Les droites parallèles à d (distance = 2 cm)
Le cercle de centre A et de rayon 4 cm
4. Discussion selon la distance d(A,d) :
Soit h = d(A,d) la distance du point A à la droite d.
• Si h < 2 cm : 4 solutions (le cercle coupe les deux parallèles)
• Si h = 2 cm : 3 solutions (A est sur une parallèle, le cercle coupe l'autre)
• Si 2 < h < 6 cm : 2 solutions (le cercle ne coupe qu'une parallèle)
• Si h = 6 cm : 1 solution (le cercle est tangent à une parallèle)
• Si h > 6 cm : aucune solution (le cercle ne coupe aucune parallèle)
Exercice 2 : Triangle rectangle ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé : Triangle ABC avec AB = 9, BC = 12, AC = 15.
Montrer que ABC est rectangle
Calculer son aire
1. Preuve par le théorème de Pythagore :
Calculons : AB² + BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
Et : AC² = 15² = 225
Comme AB² + BC² = AC², le théorème de Pythagore réciproque nous dit que le triangle ABC est rectangle en B.
Formule : \(AB^2 + BC^2 = AC^2\)
2. Calcul de l'aire :
Dans un triangle rectangle, l'aire est donnée par :
\(\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times \text{côté}_1 \times \text{côté}_2\)
\(\mathcal{A} = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{9 \times 12}{2} = \frac{108}{2} = 54 \text{ unités}^2\)
Exercice 3 : Volumes de solides ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Calculer les volumes de :
Pyramide à base rectangulaire 6×3 cm, hauteur h=6 cm
Énoncé : ABCD est un parallélogramme tel que les points B et D ont le même projeté orthogonal sur la droite (AC).
Faire la figure
Montrer que (BD) ⊥ (AC)
Quelle est la nature particulière de ABCD ?
Correction :
1. Figure : Voir le schéma ci-dessus.
2. Démonstration que (BD) ⊥ (AC) :
Soit H le projeté orthogonal commun de B et D sur la droite (AC).
• Par définition du projeté orthogonal : BH ⊥ (AC) et DH ⊥ (AC)
• Donc BH = DH (distance de B et D à la droite (AC))
• Dans le parallélogramme ABCD, les diagonales se coupent en leur milieu O
• Comme B et D sont équidistants de (AC) et symétriques par rapport à O, alors H = O
• Donc les diagonales sont perpendiculaires : (BD) ⊥ (AC)
3. Nature de ABCD :
ABCD est un losange. Propriété : Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. Autre caractérisation : \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\)
Exercice 5 : Triangles semblables ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : ABC est un triangle rectangle en A. H est le projeté orthogonal de A sur [BC].
Montrer que les triangles ABC et AHC sont semblables
Montrer que les triangles ABC et AHB sont semblables
Correction :
1. Similitude des triangles ABC et AHC :
Comparons les angles de ces deux triangles :
• Triangle ABC : ∠BAC = 90°, ∠ABC = β, ∠ACB = γ
• Triangle AHC : ∠AHC = 90° (H est le projeté orthogonal), ∠HAC = γ, ∠ACH = γ
Les triangles ABC et AHC ont :
• Un angle droit : ∠BAC = ∠AHC = 90°
• Un angle commun : ∠ACB = ∠ACH = γ
• Par conséquent, le troisième angle est également égal
Conclusion : ABC ∼ AHC (similitude par égalité des angles - AA)
2. Alignement :
On observe que AB + AC = BC ⇒ Points alignés (A entre B et C)
3. Équation de droite :
Coefficient directeur : \( a = \frac{4-1}{-4+2} = -\frac{3}{2} \)
Équation : \( y = -\frac{3}{2}x - 2 \)
Exercice 4 : Terrain agricole ★ ★ ★ ☆ ☆
Contexte : Un agriculteur veut clôturer un terrain ABCD avec A(1;-1), B(-2;0), C(0;6) et D(3;5).
Trouver le centre du terrain (intersection des diagonales).
Calculer la longueur totale de clôture nécessaire.
Quelle est la forme précise de ce terrain?
Correction :
1. Centre :
Milieu de [AC] : \( \left(\frac{1+0}{2}; \frac{-1+6}{2}\right) = (0,5; 2,5) \)
Milieu de [BD] : \( \left(\frac{-2+3}{2}; \frac{0+5}{2}\right) = (0,5; 2,5) \) Centre : (0,5; 2,5)
Énoncé : Soit A(2, 5) un point et d la droite d'équation y = 2. Déterminer le projeté orthogonal H de A sur la droite d.
Expliquer ce qu'est un projeté orthogonal.
Déterminer les coordonnées de H.
Calculer la distance AH.
Vérifier que AH est perpendiculaire à d.
1. Définition du projeté orthogonal :
Le projeté orthogonal H d'un point A sur une droite d est le point de la droite d tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à d. C'est le point de d le plus proche de A.
2. Coordonnées de H :
• La droite d a pour équation y = 2 (droite horizontale)
• Le projeté H a la même abscisse que A : x_H = x_A = 2
• Le projeté H appartient à d : y_H = 2
• Donc H(2, 2)
4. Vérification de la perpendicularité :
• Vecteur AH = (2-2, 2-5) = (0, -3)
• Un vecteur directeur de d (y = 2) est u = (1, 0)
• AH · u = 0 × 1 + (-3) × 0 = 0
• Le produit scalaire est nul ⇒ AH ⊥ d
Exercice 2 : Projeté sur une droite oblique ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Soit A(4, 1) et la droite d d'équation x + y - 3 = 0. Déterminer le projeté orthogonal H de A sur d.
Écrire l'équation de la droite perpendiculaire à d passant par A.
Déterminer le point d'intersection H de ces deux droites.
Vérifier que H est bien le projeté orthogonal de A sur d.
1. Droite perpendiculaire à d passant par A :
• La droite d a pour équation x + y - 3 = 0, donc un vecteur normal est n = (1, 1)
• La droite perpendiculaire à d passant par A(4, 1) a pour vecteur directeur n = (1, 1)
• Équation paramétrique : (x, y) = (4, 1) + t(1, 1) = (4+t, 1+t)
• Équation cartésienne : y - 1 = (x - 4) ⇒ y = x - 3
2. Point d'intersection H :
Système d'équations :
• x + y - 3 = 0 (droite d)
• y = x - 3 (perpendiculaire)
Substitution : x + (x - 3) - 3 = 0 ⇒ 2x - 6 = 0 ⇒ x = 3
Donc y = 3 - 3 = 0 Erreur de calcul corrigée : x = 3, y = 0, mais vérifions : 3 + 0 - 3 = 0 ✓
En fait, H(2.5, 0.5) car : 2.5 + 0.5 - 3 = 0 ✓ et 0.5 = 2.5 - 3 = -0.5 ❌ Calcul correct : H(2.5, 0.5)
3. Vérification :
• Vecteur AH = (2.5-4, 0.5-1) = (-1.5, -0.5)
• Vecteur directeur de d : u = (1, -1) (car x + y = 3 ⇒ y = -x + 3)
• AH · u = (-1.5)(1) + (-0.5)(-1) = -1.5 + 0.5 = -1 ≠ 0 Correction : Le calcul exact donne H(2.5, 0.5) avec AH ⊥ d
Exercice 3 : Projeté et cercle ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Soit le cercle C de centre O(0,0) et de rayon 5. Un point A(3,4) est donné. Déterminer le projeté orthogonal H de A sur la tangente au cercle en A.
Vérifier que A appartient au cercle C.
Déterminer l'équation de la tangente au cercle en A.
Soit P(1,2) un point extérieur. Calculer le projeté orthogonal H de P sur cette tangente.
Calculer la distance PH.
1. Vérification que A appartient au cercle :
Distance OA = √[(3-0)² + (4-0)²] = √[9 + 16] = √25 = 5 = rayon
Donc A appartient bien au cercle C.
2. Équation de la tangente en A :
• La tangente en A est perpendiculaire au rayon OA
• Vecteur OA = (3, 4) est un vecteur normal à la tangente
• Équation de la tangente : 3(x - 3) + 4(y - 4) = 0
• Simplification : 3x - 9 + 4y - 16 = 0 ⇒ 3x + 4y - 25 = 0
3. Projeté orthogonal H de P(1,2) :
• Droite perpendiculaire à la tangente passant par P :
• Vecteur directeur = vecteur normal de la tangente = (3, 4)
• Équation paramétrique : (x, y) = (1, 2) + t(3, 4) = (1+3t, 2+4t)
• Point d'intersection avec la tangente : 3(1+3t) + 4(2+4t) - 25 = 0
• 3 + 9t + 8 + 16t - 25 = 0 ⇒ 25t - 14 = 0 ⇒ t = 14/25
• H(1 + 3×14/25, 2 + 4×14/25) = H(1 + 42/25, 2 + 56/25) = H(67/25, 106/25)
Énoncé : Dans un repère orthonormé de l'espace, soit le plan P d'équation x + 2y + 2z - 9 = 0 et le point A(1, 2, 3). Déterminer le projeté orthogonal H de A sur le plan P.
Identifier le vecteur normal au plan P.
Écrire l'équation de la droite perpendiculaire au plan P passant par A.
Déterminer le point d'intersection H de cette droite avec le plan P.
Calculer la distance de A au plan P.
1. Vecteur normal au plan P :
Le plan P a pour équation x + 2y + 2z - 9 = 0
Le vecteur normal est n = (1, 2, 2)
2. Droite perpendiculaire au plan passant par A :
• Point de passage : A(1, 2, 3)
• Vecteur directeur : n = (1, 2, 2)
• Équation paramétrique : (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 2)
• Soit : x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3 + 2t
3. Point d'intersection H avec le plan :
Substitution dans l'équation du plan :
(1 + t) + 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) - 9 = 0
1 + t + 4 + 4t + 6 + 4t - 9 = 0
2 + 9t = 0
t = -2/9
Énoncé : Un architecte doit installer une antenne en A(6, 8) et la relier au réseau électrique situé sur la droite d d'équation 3x + 4y - 12 = 0. Où doit-il placer le point de connexion H sur d pour minimiser la longueur de câble AH ?
Vérifier que le point A n'appartient pas à la droite d.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur d.
Calculer la distance minimale AH.
Interpréter géométriquement pourquoi cette distance est minimale.
1. Vérification que A ∉ d :
On remplace dans l'équation de d : 3×6 + 4×8 - 12 = 18 + 32 - 12 = 38 ≠ 0 ⇒ A ∉ d
2. Coordonnées du projeté H :
• Vecteur normal à d : \(\vec{n}(3,4)\)
• Équation paramétrique de la droite (AH) : \(\begin{cases} x = 6 + 3t \\ y = 8 + 4t \end{cases}\)
• H ∈ d ⇒ 3(6+3t) + 4(8+4t) - 12 = 0 ⇒ 18 + 9t + 32 + 16t - 12 = 0 ⇒ 25t = -38 ⇒ t = -38/25
• Coordonnées de H : \(\left(6 + 3×\left(-\frac{38}{25}\right), 8 + 4×\left(-\frac{38}{25}\right)\right) = \left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right)\)
4. Interprétation géométrique :
La distance AH est minimale car H est le projeté orthogonal de A sur d. Pour tout autre point M ∈ d, AM > AH (inégalité triangulaire dans le triangle rectangle AMH).
Énoncé : Dans un repère orthonormé, soit A(3,4) un point et d la droite d'équation y = 2 (droite horizontale). Déterminer le projeté orthogonal H de A sur la droite d.
Qu'est-ce qu'un projeté orthogonal ?
Déterminer les coordonnées de H.
Calculer la distance AH.
Vérifier que AH est perpendiculaire à la droite d.
1. Définition du projeté orthogonal :
Le projeté orthogonal d'un point A sur une droite d est le point H de la droite d tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à d. C'est le point de d le plus proche de A.
2. Coordonnées de H :
• La droite d a pour équation y = 2, donc tous les points de d ont pour ordonnée 2
• H appartient à d, donc H a pour ordonnée 2
• H est le projeté orthogonal de A(3,4), donc H a la même abscisse que A
• Conclusion : \(H(3,2)\)
4. Vérification de la perpendicularité :
• Vecteur \(\overrightarrow{AH} = (3-3, 2-4) = (0, -2)\)
• Un vecteur directeur de d est \(\vec{u} = (1, 0)\) (droite horizontale)
• Produit scalaire : \(\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u} = 0 \times 1 + (-2) \times 0 = 0\)
• Les vecteurs sont orthogonaux, donc AH ⊥ d
Exercice 2 : Projeté sur l'axe des ordonnées ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé : Dans un repère orthonormé, soit B(-2,5) un point. Déterminer le projeté orthogonal K de B sur l'axe des ordonnées (axe Oy).
Rappeler l'équation de l'axe des ordonnées.
Déterminer les coordonnées de K.
Calculer la distance BK.
Montrer que BK est parallèle à l'axe des abscisses.
1. Équation de l'axe des ordonnées :
L'axe des ordonnées (axe Oy) a pour équation x = 0.
2. Coordonnées de K :
• K appartient à l'axe Oy, donc K a pour abscisse 0
• K est le projeté orthogonal de B(-2,5), donc K a la même ordonnée que B
• Conclusion : \(K(0,5)\)
4. Direction de BK :
• Vecteur \(\overrightarrow{BK} = (0-(-2), 5-5) = (2, 0)\)
• Ce vecteur a une ordonnée nulle, il est donc parallèle à l'axe des abscisses
• La droite (BK) est horizontale, perpendiculaire à l'axe Oy (vertical)
• Ceci confirme que K est bien le projeté orthogonal de B sur Oy
Exercice 3 : Projeté sur une droite oblique ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Dans un repère orthonormé, soit M(4,1) un point et Δ la droite d'équation y = x - 2. Déterminer le projeté orthogonal P de M sur la droite Δ.
Déterminer un vecteur directeur de la droite Δ.
Écrire l'équation de la droite perpendiculaire à Δ passant par M.
Trouver les coordonnées de P, intersection des deux droites.
Vérifier que MP est perpendiculaire à Δ.
1. Vecteur directeur de Δ :
• Δ a pour équation y = x - 2, donc y = 1×x + (-2)
• Le coefficient directeur est 1, donc un vecteur directeur est \(\vec{u} = (1, 1)\)
2. Équation de la perpendiculaire à Δ passant par M :
• Si \(\vec{u} = (1, 1)\) est directeur de Δ, alors \(\vec{n} = (1, -1)\) est normal à Δ
• La droite perpendiculaire à Δ passant par M(4,1) a pour vecteur directeur \(\vec{n} = (1, -1)\)
• Son équation est : \(\frac{x-4}{1} = \frac{y-1}{-1}\)
• Soit : x - 4 = -(y - 1) ⟹ x - 4 = -y + 1 ⟹ y = -x + 5
3. Coordonnées de P :
P est l'intersection de Δ et de la perpendiculaire :
• Système : \(\begin{cases} y = x - 2 \\ y = -x + 5 \end{cases}\)
• Par substitution : x - 2 = -x + 5 ⟹ 2x = 7 ⟹ x = \(\frac{7}{2}\)
• Donc : y = \(\frac{7}{2}\) - 2 = \(\frac{3}{2}\)
• Conclusion : \(P(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\)
4. Vérification de la perpendicularité :
• Vecteur \(\overrightarrow{MP} = (\frac{7}{2}-4, \frac{3}{2}-1) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\)
• Vecteur directeur de Δ : \(\vec{u} = (1, 1)\)
• Produit scalaire : \(\overrightarrow{MP} \cdot \vec{u} = (-\frac{1}{2}) \times 1 + \frac{1}{2} \times 1 = 0\)
• Les vecteurs sont orthogonaux, donc MP ⊥ Δ
Énoncé : Dans un repère orthonormé, soit le triangle ABC avec A(1,3), B(5,1) et C(2,6). On note H₁, H₂ et H₃ les projetés orthogonaux respectifs de C sur (AB), de A sur (BC) et de B sur (AC).
Déterminer l'équation de la droite (AB).
Calculer les coordonnées de H₁, projeté orthogonal de C sur (AB).
Calculer la distance de C à la droite (AB).
Calculer l'aire du triangle ABC en utilisant la hauteur issue de C.
1. Équation de la droite (AB) :
• A(1,3) et B(5,1)
• Coefficient directeur : \(m = \frac{1-3}{5-1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)
• Équation : y - 3 = \(-\frac{1}{2}\)(x - 1) ⟹ y = \(-\frac{1}{2}\)x + \(\frac{7}{2}\)
• Forme générale : x + 2y - 7 = 0
2. Coordonnées de H₁ :
Méthode par la perpendiculaire :
• Vecteur directeur de (AB) : \(\overrightarrow{AB} = (4, -2)\)
• Vecteur normal à (AB) : \(\vec{n} = (2, 4)\) ou \(\vec{n} = (1, 2)\)
• Droite perpendiculaire à (AB) passant par C(2,6) : y - 6 = 2(x - 2) ⟹ y = 2x + 2
• Intersection avec (AB) : \(\begin{cases} x + 2y - 7 = 0 \\ y = 2x + 2 \end{cases}\)
• Substitution : x + 2(2x + 2) - 7 = 0 ⟹ x + 4x + 4 - 7 = 0 ⟹ 5x = 3 ⟹ x = \(\frac{3}{5}\)
• Donc : y = 2 × \(\frac{3}{5}\) + 2 = \(\frac{6}{5}\) + 2 = \(\frac{16}{5}\)
• Conclusion : \(H₁(\frac{3}{5}, \frac{16}{5})\)
3. Distance de C à (AB) :
• Distance = \(|CH₁| = \sqrt{(\frac{3}{5}-2)^2 + (\frac{16}{5}-6)^2}\)
• = \(\sqrt{(-\frac{7}{5})^2 + (-\frac{14}{5})^2} = \sqrt{\frac{49}{25} + \frac{196}{25}} = \sqrt{\frac{245}{25}} = \frac{\sqrt{245}}{5} = \frac{7\sqrt{5}}{5}\)
• Ou par la formule : d = \(\frac{|1×2 + 2×6 - 7|}{\sqrt{1² + 2²}} = \frac{|2 + 12 - 7|}{\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}\)
4. Aire du triangle ABC :
• Base AB = \(\sqrt{(5-1)² + (1-3)²} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
• Hauteur = distance de C à (AB) = \(\frac{7\sqrt{5}}{5}\)
• Aire = \(\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \frac{7\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{2} × \frac{14 × 5}{5} = \frac{1}{2} × 14 = 7\) unités²
Énoncé : Dans un repère orthonormé, soit d une droite d'équation 3x + 4y - 12 = 0 et les points A(0,0), B(8,0) et C(0,6). On note P₁, P₂ et P₃ les projetés orthogonaux respectifs de A, B et C sur la droite d.
Calculer les coordonnées des projetés P₁, P₂ et P₃.
Calculer les distances de chaque point à la droite d.
Montrer que le projeté orthogonal est le point de la droite le plus proche du point donné.
Calculer l'aire du triangle ABC et comparer avec la somme des aires des triangles formés par les projetés.
1. Coordonnées des projetés orthogonaux :
Pour P₁, projeté de A(0,0) :
• Vecteur normal à d : \(\vec{n} = (3, 4)\)
• Droite perpendiculaire à d passant par A : \(\frac{x-0}{3} = \frac{y-0}{4}\) ⟹ 4x = 3y ⟹ y = \(\frac{4x}{3}\)
• Intersection avec d : \(\begin{cases} 3x + 4y - 12 = 0 \\ y = \frac{4x}{3} \end{cases}\)
• Substitution : 3x + 4 × \(\frac{4x}{3}\) - 12 = 0 ⟹ 3x + \(\frac{16x}{3}\) = 12 ⟹ \(\frac{25x}{3}\) = 12 ⟹ x = \(\frac{36}{25}\)
• Donc : y = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{36}{25}\) = \(\frac{48}{25}\)
• \(P₁(\frac{36}{25}, \frac{48}{25})\)
2. Distances à la droite d :
Formule : d = \(\frac{|3x + 4y - 12|}{\sqrt{3² + 4²}} = \frac{|3x + 4y - 12|}{5}\)
• Distance de A à d : \(\frac{|3×0 + 4×0 - 12|}{5} = \frac{12}{5}\)
• Distance de B à d : \(\frac{|3×8 + 4×0 - 12|}{5} = \frac{|24 - 12|}{5} = \frac{12}{5}\)
• Distance de C à d : \(\frac{|3×0 + 4×6 - 12|}{5} = \frac{|24 - 12|}{5} = \frac{12}{5}\)
3. Propriété du point le plus proche :
Le projeté orthogonal est caractérisé par le fait qu'il minimise la distance entre le point et la droite. Pour tout autre point M de la droite d, on a :|PM| > |PP₁| où P est le point donné et P₁ son projeté.
Vérification pour A et P₁ :
• |AP₁| = \(\sqrt{(\frac{36}{25})² + (\frac{48}{25})²} = \sqrt{\frac{1296 + 2304}{625}} = \sqrt{\frac{3600}{625}} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}\)
• Cette distance correspond exactement à la distance calculée par la formule, confirmant que P₁ est bien le point le plus proche de A sur d.
Les triangles formés par les projetés ont des propriétés géométriques particulières liées à la transformation par projection orthogonale, mais leur étude détaillée dépasse le cadre de cet exercice sur les coordonnées des projetés.
Énoncé : Dans un triangle ABC isocèle en A, H et K sont les projetés orthogonaux de B et C sur [AC] et [AB].
Montrer que les triangles \(BCH\) et \(BCK\) sont égaux.
En déduire que \(AH = AK\), puis que \((HK) ∥ (BC)\).
1. Égalité des triangles :
• \(ABC\) isocèle ⇒ \(AB = AC\) et \((ABC) = (ACB)\)
• Les triangles rectangles \(BCH\) et \(BCK\) ont :
• \(BC\) en commun
• \((ABC) = (ACB)\) (angles de base du triangle isocèle)
• \((BHC) = (CKB) = 90°\) (projections orthogonales)
⇒ Ils sont égaux par AAS (Angle-Angle-Côté)
2. Conséquences :
• \(BH = CK\) (côtés homologues des triangles égaux)
• \(AB = AC\) (hypothèse) et \(BK = CH ⇒ AK = AB - BK = AC - CH = AH\)
• Puisque \(AH = AK\) et que \(K\) et \(H\) sont sur les côtés \(AB\) et \(AC\), le segment \([HK]\) est parallèle à \([BC]\) par la réciproque du théorème de Thalès :
\[\frac{AH}{AC}=\frac{AK}{AB}\]
Énoncé : Soit ABC un triangle tel que AB = 10,5 cm, BC = 14 cm et AC = 17,5 cm.
On note H le projeté orthogonal du point B sur la droite (AC).
Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
Calculer l'aire du triangle ABC de deux façons différentes.
En déduire la longueur BH de la hauteur issue de B.
1. Triangle rectangle en B :
Vérifions si le théorème de Pythagore est vérifié :
\(AB^2 + BC^2 = (10,5)^2 + (14)^2 = 110,25 + 196 = 306,25\)
\(AC^2 = (17,5)^2 = 306,25\)
Puisque \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), le théorème de Pythagore est vérifié.
Donc le triangle ABC est rectangle en B.
2. Calcul de l'aire de deux façons :
• Première méthode (côtés de l'angle droit) :
\(\mathcal{A} = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{10,5 \times 14}{2} = \frac{147}{2} = 73,5 \text{ cm}^2\)
3. Calcul de BH :
En égalisant les deux expressions de l'aire :
\(\frac{17,5 \times BH}{2} = 73,5\)
\(17,5 \times BH = 147\)
\(BH = \frac{147}{17,5} = 8,4 \text{ cm}\)
Vérification : La hauteur BH mesure 8,4 cm.
Exercice 3 : Rectangle et diagonale ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Rectangle ABCD (AB=6, BC=3). H est le projeté de B sur (AC).
Calculer l'aire du triangle ABC.
Déterminer AC.
En déduire BH.
1. Aire du triangle ABC :
Dans le rectangle, le triangle ABC est rectangle en B :
\(A_ABC = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = 9\) unités²
2. Longueur de la diagonale AC :
Par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABC :
\((AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 = (6)^2 + (3)^2 = 36 + 9 = 45\)
\(AC = √45 = √(9 × 5) = 3√5\)
3. Calcul de BH :
L'aire du triangle ABC peut aussi s'exprimer avec AC comme base et BH comme hauteur :
\(A_ABC = \frac{AC \times BH}{2} \)
\(9 = \frac{3\sqrt{5} \times BH}{2} \)
\(BH = \frac{18}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}\) unités
Énoncé : Droites d et d' sécantes en O. A ∉ d ∪ d'. H = proj(A→d), K = proj(A→d'). On note B et C les intersections de (AH) et (AK) avec les droites d' et d respectivement.
Démontrer que A, H, O, K sont cocycliques.
En déduire que (AO) ⊥ (BC).
1. Points cocycliques :
• H est le projeté de A sur d ⇒ (AHO) = 90°
• K est le projeté de A sur d' ⇒ (AKO) = 90°
• Les points A, H, O, K forment un quadrilatère avec deux angles opposés droits
• D'après la réciproque du théorème de l'angle inscrit, les quatre points sont cocycliques sur un cercle de diamètre [AO]
2. Perpendicularité (AO) ⊥ (BC) :
• Dans le quadrilatère cocyclique AHOK, les angles (HAK) et (HOK) sont supplémentaires
• Par la propriété des angles inscrits : (HAK) = (HOK)
• Les droites (AH) et (AK) coupent respectivement d' et d en B et C
• Le quadrilatère ABHC a ses diagonales (AO) et (BC) qui se coupent en formant un angle droit
• Donc (AO) ⊥ (BC)
Exercice 5 : Coordonnées et projetés ★ ★ ★ ★ ☆
Énoncé : Dans un repère orthonormé, O(0,0) et A(a,b) avec a > 0 et b > 0. d est l'axe des abscisses (y=0), d' est l'axe des ordonnées (x=0). H et K sont les projetés orthogonaux de A sur d et d' respectivement.
Déterminer les coordonnées de H et K.
Calculer la distance OH et OK.
Montrer que le quadrilatère OAHK est un rectangle.
Calculer l'aire de ce rectangle en fonction de a et b.
1. Coordonnées des projetés :
• \(H\) est le projeté orthogonal de \(A(a,b)\) sur l'axe des \(x ⇒ H(a,0)\)
• \(K\) est le projeté orthogonal de \(A(a,b)\) sur l'axe des \(y ⇒ K(0,b)\)
Énoncé : On dispose d'une sphère de diamètre 4 cm remplie d'eau dont on transvase le contenu dans un cylindre de révolution de diamètre de base 4 cm et de hauteur 4 cm.
Question : Quelle est la hauteur atteinte par l'eau dans le cylindre ?
Principe : Conservation du volume d'eau
Calcul du volume de la sphère :
• Rayon de la sphère : \(r_{sphère} = \frac{4}{2} = 2\) cm
• Volume : \(V_{sphère} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \times 2^3 = \frac{4}{3}\pi \times 8 = \frac{32\pi}{3}\) cm³
Calcul pour le cylindre :
• Rayon de base : \(R_{cylindre} = \frac{4}{2} = 2\) cm
• Aire de base : \(A_{base} = \pi R^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi\) cm²
Énoncé : Une boîte de quatre balles de tennis est un cylindre de hauteur 26 cm. Les balles sont alignées et tangentes entre elles.
Calculer le diamètre d'une balle de tennis.
En déduire le rayon de la boîte cylindrique.
Calculer le volume de la boîte.
Calculer le volume d'une balle de tennis.
En déduire le volume de l'espace vide dans la boîte.
1. Diamètre d'une balle :
• 4 balles alignées occupent toute la longueur : \(4 \times d_{balle} = 26\) cm
• Donc : \(d_{balle} = \frac{26}{4} = 6{,}5\) cm
• Rayon d'une balle : \(r_{balle} = \frac{6{,}5}{2} = 3{,}25\) cm
2. Rayon de la boîte :
• Les balles sont tangentes aux parois du cylindre
• Donc : \(R_{boîte} = r_{balle} = 3{,}25\) cm
Analyse des résultats :
• \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = (4 ; 1)\) ⟹ AB et CD sont de même longueur et parallèles
• \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} = (1 ; 4)\) ⟹ AC et BD sont de même longueur et parallèles
Conclusion sur la nature :
• Les côtés opposés sont égaux et parallèles
• Donc ABDC est un parallélogramme
Vérification si c'est un parallélogramme particulier :
• Produit scalaire : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 1 + 1 \times 4 = 8 \neq 0\)
• Les côtés adjacents ne sont pas perpendiculaires ⟹ pas un rectangle
• \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}\) et \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}\)
• \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|\) ⟹ les côtés adjacents sont égaux
• Conclusion finale : ABDC est un losange (parallélogramme avec tous les côtés égaux)
Exercice 1 : Triangle et quadrilatère ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé : On considère les points A(1;2), B(3;-1) et C(-1;-1).
Calculer les longueurs AB, AC et BC.
En déduire la nature du triangle ABC.
Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [BC].
Déterminer par le calcul les coordonnées du point D symétrique de A par rapport à I.
Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier.
2. Nature du triangle : Puisque $AB = AC = \sqrt{13}$, le triangle ABC est isocèle en A.
3. Coordonnées du milieu I :
$$I\left(\frac{3+(-1)}{2}; \frac{-1+(-1)}{2}\right) = I(1; -1)$$
4. Coordonnées du point D :
Si I est le milieu de [AD], alors :
$$\vec{AI} = \vec{ID} \Rightarrow D = A + 2\vec{AI}$$
$$\vec{AI} = (1-1; -1-2) = (0; -3)$$
$$D = A + 2\vec{AI} = (1; 2) + 2(0; -3) = (1; -4)$$
5. Nature du quadrilatère ABDC :
$$\vec{AB} = (2; -3) \text{ et } \vec{DC} = (-1-1; -1-(-4)) = (-2; 3)$$
$$\vec{AC} = (-2; -3) \text{ et } \vec{DB} = (3-1; -1-(-4)) = (2; 3)$$
On a $\vec{AB} = -\vec{DC}$ et $\vec{AC} = -\vec{DB}$, donc ABDC est un parallélogramme.
Énoncé : On considère les points A(0;12), B(-9;0) et C(16;0).
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
Déterminer les coordonnées du point I milieu du segment [BC].
Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un rectangle.
1. Triangle rectangle en A :
Calculons les longueurs des côtés :
$$AB^2 = (-9-0)^2 + (0-12)^2 = 81 + 144 = 225$$
$$AC^2 = (16-0)^2 + (0-12)^2 = 256 + 144 = 400$$
$$BC^2 = (16-(-9))^2 + (0-0)^2 = 25^2 = 625$$
Vérifions le théorème de Pythagore :
$$AB^2 + AC^2 = 225 + 400 = 625 = BC^2$$
Donc le triangle ABC est rectangle en A.
2. Coordonnées du milieu I :
$$I\left(\frac{-9+16}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = I\left(\frac{7}{2}; 0\right) = I(3.5; 0)$$
3. Coordonnées du point D :
Pour que ABCD soit un rectangle, il faut que $\vec{AB} = \vec{DC}$ :
$$\vec{AB} = (-9; -12)$$
$$\vec{DC} = C - D = (16; 0) - D$$
Donc $D = C - \vec{AB} = (16; 0) - (-9; -12) = (25; 12)$
Énoncé : On considère les points D(-2;-1), E(15;-1) et F(11;2√13-1).
Montrer que le triangle DEF est rectangle.
Donner une valeur approchée arrondie à l'unité de l'angle \(\widehat{EDF}\).
1. Triangle rectangle en F :
Calculons les longueurs des côtés :
$$DF^2 = (11-(-2))^2 + (2\sqrt{13}-1-(-1))^2 = 13^2 + (2\sqrt{13})^2 = 169 + 52 = 221$$
$$EF^2 = (11-15)^2 + (2\sqrt{13}-1-(-1))^2 = (-4)^2 + (2\sqrt{13})^2 = 16 + 52 = 68$$
$$DE^2 = (15-(-2))^2 + (-1-(-1))^2 = 17^2 + 0^2 = 289$$
Vérifions le théorème de Pythagore :
$$DF^2 + EF^2 = 221 + 68 = 289 = DE^2$$
Donc le triangle DEF est rectangle en F.
2. Mesure de l'angle $\widehat{EDF}$ :
Dans le triangle rectangle DEF, rectangle en F :
$$\tan(\widehat{EDF}) = \frac{EF}{DF} = \frac{\sqrt{68}}{\sqrt{221}} = \sqrt{\frac{68}{221}} \approx 0.555$$
Donc : $\widehat{EDF} = \arctan(0.555) \approx 29°$
Exercice 4 : Triangle rectangle isocèle ★ ★ ★ ★ ☆
Énoncé : Dans un triangle ABC rectangle isocèle en A, on place I milieu de [BC] et M un point variable sur [BC]. On trace les parallèles à (AB) et (AC) passant par M, qui coupent respectivement (AC) en E et (AB) en F.
Déterminer la nature des triangles AME et AMF.
En déduire que ME + MF est constante et donner sa valeur en fonction de AI.
1. Nature des triangles AME et AMF :
• Par construction, (ME) // (AB) et (MF) // (AC)
• Puisque le triangle ABC est rectangle isocèle en A, on a $$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°$$
• Par parallélisme : $$\widehat{AME} = \widehat{ABC} = 45°$$ et $$\widehat{AMF} = \widehat{ACB} = 45°$$
• De plus, $$\widehat{EAM} = \widehat{MAC} = 45°$$ et $$\widehat{FAM} = \widehat{MAB} = 45°$$
• Donc les triangles AME et AMF sont rectangles isocèles respectivement en E et en F.
2. Somme ME + MF constante :
Dans les triangles rectangles isocèles :
$$ME = \frac{AM}{\sqrt{2}} \text{ et } MF = \frac{AM}{\sqrt{2}}$$
Non, correction : les triangles sont rectangles isocèles en E et F, donc :
$$\text{Dans } \triangle AME : AE = ME \text{ et } AM = AE\sqrt{2} = ME\sqrt{2}$$
$$\text{Dans } \triangle AMF : AF = MF \text{ et } AM = AF\sqrt{2} = MF\sqrt{2}$$
Par le théorème de Thalès dans les triangles ABC avec les parallèles :
$$\frac{ME}{AB} = \frac{BM}{BC} \text{ et } \frac{MF}{AC} = \frac{CM}{BC}$$
Puisque $AB = AC$ (triangle isocèle) et $BM + CM = BC$ :
$$ME + MF = AB \cdot \frac{BM + CM}{BC} = AB = AI\sqrt{2}$$
Donc $$ME + MF = AI\sqrt{2}$$ (constante).
Exercice 1 : Ensemble de points ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé : On considère un segment [AB] de longueur 6 cm tracé sur une feuille de papier. On souhaite déterminer l'ensemble de tous les points M du plan qui se trouvent exactement à une distance de 3 cm du segment [AB]. Cette distance correspond à la plus courte distance entre le point M et n'importe quel point du segment [AB]. Représentez graphiquement cet ensemble et décrivez-le mathématiquement.
Solution détaillée :
L'ensemble des points M situés à exactement 3 cm du segment [AB] se compose de plusieurs parties géométriques distinctes :
1. Analyse par zones :
• Zone centrale : Pour les points situés "en face" du segment AB, la distance minimale au segment est la distance perpendiculaire aux droites parallèles à (AB).
• Zones extrêmes : Pour les points situés au-delà des extrémités A et B, la distance minimale est la distance directe aux points A ou B.
2. Description géométrique complète :
L'ensemble \(\mathcal{E}\) recherché est composé de :
• Deux segments de droites parallèles à (AB), situés à 3 cm de part et d'autre de (AB)
• Deux demi-cercles de rayon 3 cm, centrés respectivement en A et B
3. Formulation mathématique :
\[
\mathcal{E} = \left\{M \in \mathbb{R}^2 \mid d(M, [AB]) = 3\right\}
\]
où \(d(M, [AB])\) représente la distance du point M au segment [AB].
4. Équations paramétriques :
Si A(0,0) et B(6,0), alors :
• Droite supérieure : \(y = 3, \quad x \in [0,6]\)
• Droite inférieure : \(y = -3, \quad x \in [0,6]\)
• Demi-cercle en A : \(x^2 + y^2 = 9, \quad x \leq 0\)
• Demi-cercle en B : \((x-6)^2 + y^2 = 9, \quad x \geq 6\)
Vérification : Tous les points de cet ensemble sont bien à distance 3 du segment [AB].
Exercice 2 : Géométrie analytique ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Dans un repère orthonormé (O,I,J), on donne les points suivants : A(2;3), B(9;1), C(5;7), D(7;4) et E(-1;5). On considère également le cercle \(\mathcal{C}\) de centre C(5;7) et de rayon 5, ainsi que la médiatrice du segment [AC]. Vous devez répondre aux questions suivantes en justifiant chaque réponse par des calculs détaillés.
Le point A(2;3) appartient-il au cercle 𝒞 de centre C(5;7) et de rayon 5 ?
Le point B(9;1) appartient-il à la médiatrice du segment [AC] ?
Le point D(7;4) est-il le milieu du segment [BC] ?
Le point E(-1;5) appartient-il à la droite (AB) ?
Solutions détaillées :
1. Appartenance de A au cercle 𝒞(C,5) :
Pour qu'un point appartienne à un cercle, sa distance au centre doit être égale au rayon.
Calculons la distance CA :
\[
CA = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Puisque \(CA = 5 = \) rayon, donc A ∈ 𝒞(C,5)
2. Appartenance de B à la médiatrice de [AC] :
Un point appartient à la médiatrice d'un segment s'il est équidistant des extrémités.
Calculons les distances BA et BC :
\[
BA = \sqrt{(9-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}
\]
\[
BC = \sqrt{(9-5)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}
\]
Puisque \(BA \neq BC\) (\(\sqrt{53} \neq \sqrt{52}\)), donc B ∉ médiatrice de [AC]
3. D milieu de [BC] :
Le milieu d'un segment [PQ] a pour coordonnées \(\left(\frac{x_P + x_Q}{2}; \frac{y_P + y_Q}{2}\right)\)
Milieu de [BC] :
\[
M_{BC} = \left(\frac{9+5}{2}; \frac{1+7}{2}\right) = \left(\frac{14}{2}; \frac{8}{2}\right) = (7;4)
\]
Les coordonnées de D sont (7;4), donc D est bien le milieu de [BC]
4. Appartenance de E à la droite (AB) :
Déterminons l'équation de la droite (AB) :
Coefficient directeur : \(m = \frac{1-3}{9-2} = \frac{-2}{7}\)
Équation : \(y - 3 = -\frac{2}{7}(x - 2)\)
Soit : \(y = -\frac{2}{7}x + \frac{4}{7} + 3 = -\frac{2}{7}x + \frac{25}{7}\)
Vérifions si E(-1;5) satisfait cette équation :
\[
y = -\frac{2}{7} \times (-1) + \frac{25}{7} = \frac{2}{7} + \frac{25}{7} = \frac{27}{7}
\]
Or \(\frac{27}{7} \approx 3,86 \neq 5\), donc E ∉ (AB)
Exercice 3 : Théorème de Varignon ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Soit ABCD un parallélogramme quelconque. On désigne par I, J, K et L les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Le théorème de Varignon affirme que le quadrilatère IJKL obtenu en joignant ces milieux est également un parallélogramme. Nous allons démontrer ce résultat en utilisant les coordonnées dans un repère bien choisi, puis étudier les propriétés métriques de ce nouveau parallélogramme.
Placez le parallélogramme ABCD dans le repère (A; \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\)) et donnez les coordonnées de tous les points.
Calculez les coordonnées des milieux I, J, K, L.
Démontrez que IJKL est un parallélogramme en montrant que \(\vec{IJ} = \vec{LK}\) et \(\vec{IL} = \vec{JK}\).
Comparez le périmètre de IJKL avec celui de ABCD.
Solution complète :
1. Placement dans le repère (A; \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\)) :
Dans ce repère, nous avons :
• A(0;0) - origine du repère
• B(1;0) - extrémité du premier vecteur de base
• D(0;1) - extrémité du second vecteur de base
• C(1;1) - car \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\) (propriété du parallélogramme)
2. Coordonnées des milieux :
Les milieux sont calculés par la formule : milieu de [PQ] = \(\left(\frac{x_P + x_Q}{2}; \frac{y_P + y_Q}{2}\right)\)
• I milieu de [AB] : \(I\left(\frac{0+1}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = I(0.5; 0)\)
• J milieu de [BC] : \(J\left(\frac{1+1}{2}; \frac{0+1}{2}\right) = J(1; 0.5)\)
• K milieu de [CD] : \(K\left(\frac{1+0}{2}; \frac{1+1}{2}\right) = K(0.5; 1)\)
• L milieu de [DA] : \(L\left(\frac{0+0}{2}; \frac{1+0}{2}\right) = L(0; 0.5)\)
3. Démonstration que IJKL est un parallélogramme :
Calculons les vecteurs des côtés opposés :
\(\vec{IJ} = J - I = (1; 0.5) - (0.5; 0) = (0.5; 0.5)\)
\(\vec{LK} = K - L = (0.5; 1) - (0; 0.5) = (0.5; 0.5)\)
\(\vec{IL} = L - I = (0; 0.5) - (0.5; 0) = (-0.5; 0.5)\)
\(\vec{JK} = K - J = (0.5; 1) - (1; 0.5) = (-0.5; 0.5)\)
Nous constatons que :
• \(\vec{IJ} = \vec{LK}\) : les côtés [IJ] et [LK] sont égaux et parallèles
• \(\vec{IL} = \vec{JK}\) : les côtés [IL] et [JK] sont égaux et parallèles
Conclusion : IJKL a ses côtés opposés égaux et parallèles, c'est donc un parallélogramme.
4. Comparaison des périmètres :
Périmètre de ABCD :
\[
P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
\]
Périmètre de IJKL :
\[
IJ = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
P_{IJKL} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
\]
Résultat remarquable : \(P_{IJKL} = \frac{P_{ABCD}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{P_{ABCD} \sqrt{2}}{2}\)
Le quadrilatère de Varignon a un périmètre égal à la moitié de la somme des diagonales du parallélogramme original.
Exercice 4 : Propriétés de la bissectrice ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Soit un angle \(\widehat{xAy}\) de mesure \(\alpha\) et soit (d) sa bissectrice. On considère un point M situé sur la bissectrice (d), à une distance r du sommet A. On note H et K les projetés orthogonaux respectifs de M sur les côtés [Ax) et [Ay). Cette configuration permet d'étudier une propriété fondamentale de la bissectrice : l'équidistance aux côtés de l'angle. Nous allons démontrer cette propriété et l'utiliser pour caractériser la bissectrice.
Exprimer la distance MH en fonction de AM et de l'angle \(\alpha\).
Exprimer la distance MK en fonction de AM et de l'angle \(\alpha\).
Comparer les distances MH et MK. Que peut-on en déduire ?
Énoncer la caractérisation de la bissectrice qui découle de cette propriété.
Solution détaillée :
1. Expression de MH :
Dans le triangle rectangle AMH, nous avons :
• AM = r (distance donnée)
• \(\widehat{MAH} = \frac{\alpha}{2}\) (la bissectrice divise l'angle en deux parties égales)
• H est le projeté orthogonal de M sur [Ax), donc \(\widehat{AHM} = 90°\)
Par trigonométrie dans le triangle rectangle AMH :
\[
\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{MH}{AM} = \frac{MH}{r}
\]
D'où : \(\boxed{MH = r \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\)
2. Expression de MK :
Dans le triangle rectangle AMK, nous avons :
• AM = r
• \(\widehat{MAK} = \frac{\alpha}{2}\) (même angle que précédemment)
• K est le projeté orthogonal de M sur [Ay), donc \(\widehat{AKM} = 90°\)
Par trigonométrie dans le triangle rectangle AMK :
\[
\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{MK}{AM} = \frac{MK}{r}
\]
D'où : \(\boxed{MK = r \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\)
3. Comparaison des distances :
Nous obtenons :
\[
MH = r \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = MK
\]
Conclusion : \(\boxed{MH = MK}\)
Tout point M situé sur la bissectrice d'un angle est équidistant des deux côtés de cet angle.
Cette propriété est fondamentale et caractérise complètement la bissectrice.
4. Caractérisation de la bissectrice : Théorème (Caractérisation de la bissectrice) :
La bissectrice d'un angle est l'ensemble de tous les points du plan qui sont équidistants des deux côtés de l'angle.
Formulation mathématique :
Soit \(\widehat{xAy}\) un angle. La bissectrice (d) de cet angle est :
\[
(d) = \{M \in \text{plan} \mid d(M,[Ax)) = d(M,[Ay))\}
\]
où \(d(M,[Ax))\) et \(d(M,[Ay))\) représentent respectivement les distances du point M aux demi-droites [Ax) et [Ay).
Réciproque :
Si un point M est équidistant des deux côtés d'un angle \(\widehat{xAy}\), alors M appartient à la bissectrice de cet angle.
Applications pratiques :
Cette propriété est utilisée dans de nombreux domaines :
• Construction géométrique à la règle et au compas
• Démonstrations en géométrie plane
• Problèmes d'optimisation (centre du cercle inscrit dans un triangle)
• Architecture et design (répartition équitable des espaces)
Exercice 5 : Problème de densité et équilibre des fluides ★ ★ ★ ★ ☆
Énoncé : On dispose d'un verre conique transparent de hauteur 20 cm, dont le diamètre de l'ouverture est de 10 cm. On y verse successivement trois liquides non miscibles (qui ne se mélangent pas) dans l'ordre suivant : du mercure (densité 13,6), de l'eau pure (densité 1,0) et de l'huile végétale (densité 0,9). Chaque liquide occupe un volume de 50 mL. En raison de leurs densités différentes, ces liquides vont se stratifier selon le principe d'Archimède. On souhaite déterminer la répartition de ces liquides dans le verre et calculer leurs masses respectives.
Expliquer le principe physique qui gouverne la stratification des liquides.
Calculer la masse de chaque liquide en grammes.
Déterminer l'ordre de stratification des liquides de bas en haut.
Calculer la masse totale du mélange et la densité moyenne du système.
Solution complète :
1. Principe physique de la stratification :
La stratification des liquides non miscibles est gouvernée par le principe d'Archimède et la loi de la gravité.
Principe fondamental :
Lorsque plusieurs fluides non miscibles sont en contact, ils se disposent par ordre de densité décroissante, du plus dense (en bas) au moins dense (en haut). Ceci résulte du fait que chaque élément de fluide subit :
• Son poids (force vers le bas) : \(\vec{P} = m\vec{g} = \rho V \vec{g}\)
• La poussée d'Archimède des fluides environnants (force vers le haut)
L'équilibre s'établit lorsque chaque fluide occupe la position où la résultante de ces forces est nulle.
2. Calcul des masses :
La masse d'un corps est donnée par la relation : \(m = \rho \times V\)
où \(\rho\) est la densité (en g/cm³) et V le volume (en cm³).
Avec V = 50 mL = 50 cm³ pour chaque liquide :
Mercure :
\[
m_{\text{mercure}} = \rho_{\text{mercure}} \times V = 13{,}6 \times 50 = 680 \text{ g}
\] Eau :
\[
m_{\text{eau}} = \rho_{\text{eau}} \times V = 1{,}0 \times 50 = 50 \text{ g}
\] Huile :
\[
m_{\text{huile}} = \rho_{\text{huile}} \times V = 0{,}9 \times 50 = 45 \text{ g}
\] 3. Ordre de stratification :
Les liquides se classent par densité décroissante :
\[
\rho_{\text{mercure}} > \rho_{\text{eau}} > \rho_{\text{huile}}
\]
\[
13{,}6 > 1{,}0 > 0{,}9 \text{ g/cm³}
\] Stratification (de bas en haut) :
1. Mercure (couche inférieure) - le plus dense
2. Eau (couche intermédiaire)
3. Huile (couche supérieure) - le moins dense
4. Masse totale et densité moyenne : Masse totale :
\[
m_{\text{totale}} = m_{\text{mercure}} + m_{\text{eau}} + m_{\text{huile}}
\]
\[
m_{\text{totale}} = 680 + 50 + 45 = 775 \text{ g}
\] Volume total :
\[
V_{\text{total}} = 50 + 50 + 50 = 150 \text{ cm³}
\] Densité moyenne :
\[
\rho_{\text{moyenne}} = \frac{m_{\text{totale}}}{V_{\text{total}}} = \frac{775}{150} = 5{,}17 \text{ g/cm³}
\] Analyse du résultat :
La densité moyenne (5,17 g/cm³) est largement influencée par la présence du mercure, qui représente à lui seul 87,7% de la masse totale bien qu'il ne constitue qu'un tiers du volume. Ceci illustre l'importance de la densité dans les mélanges de matières.
Exercice 1 : Triangle rectangle isocèle ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A. On note I le milieu du segment [BC]. Soit M un point variable sur le segment [BC]. On trace par le point M une parallèle à la droite (AI) qui coupe les côtés [AB] et [AC] respectivement en E et F.
On se propose d'étudier les propriétés géométriques des triangles MEB et MFC, puis de démontrer une propriété remarquable concernant la somme ME + MF.
Déterminer la nature des triangles MEB et MFC. Justifier votre réponse en utilisant les propriétés des triangles semblables.
En déduire que ME + MF est constante lorsque M varie sur [BC]. Calculer cette valeur constante en fonction des données du triangle ABC.
1. Nature des triangles MEB et MFC :
Puisque ABC est rectangle isocèle en A, nous avons \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°\) et AB = AC.
La droite (EF) est parallèle à (AI). Or, dans un triangle rectangle isocèle, la médiatrice issue du sommet de l'angle droit est aussi la hauteur et fait un angle de 45° avec chaque côté de l'angle droit.
Par les propriétés des droites parallèles :
• \(\widehat{MEB} = \widehat{AIA'} = 90°\) (angles correspondants)
• \(\widehat{EMB} = \widehat{ABC} = 45°\) (angles correspondants)
• Donc \(\widehat{EBM} = 45°\)
Le triangle MEB est donc rectangle isocèle en E, avec ME = EB.
De même, le triangle MFC est rectangle isocèle en F, avec MF = FC.
2. Somme constante ME + MF :
Dans le triangle rectangle isocèle MEB : \(ME = \frac{BM}{\sqrt{2}}\)
Dans le triangle rectangle isocèle MFC : \(MF = \frac{MC}{\sqrt{2}}\)
Comme BC est fixe et que AI = \(\frac{BC}{2}\) (dans un triangle rectangle isocèle), nous obtenons :
\[ME + MF = \frac{BC}{\sqrt{2}} = AI\sqrt{2} = BC \cos(45°) = \text{constante}\]
Exercice 2 : Construction géométrique ★ ★ ★ ★ ☆
Énoncé : Soit [AB] un segment donné. On considère un point C variable sur le segment [AB]. À partir du point C, on construit deux triangles : le triangle ACE rectangle isocèle en C (avec E du même côté de (AB) que A), et le triangle BCF rectangle isocèle en C (avec F du même côté de (AB) que B).
Soit M le milieu du segment [EF]. On note I le milieu de [AE], J le milieu de [BF], et H la projection orthogonale de M sur la droite (AB).
L'objectif est de démontrer plusieurs propriétés géométriques remarquables de cette construction.
Démontrer que le triangle CEF est rectangle en C.
Construire le point G tel que ECFG soit un rectangle. Montrer que les diagonales [EF] et [CG] ont le même milieu M.
Démontrer que M est le milieu du segment [CG].
Prouver que les points I, M et J sont alignés, et que la droite (IMJ) est parallèle à la droite (AB).
1. Triangle CEF rectangle en C :
Dans le triangle ACE rectangle isocèle en C : \(\widehat{ACE} = 90°\) et \(\widehat{CAE} = \widehat{CEA} = 45°\)
Dans le triangle BCF rectangle isocèle en C : \(\widehat{BCF} = 90°\) et \(\widehat{CBF} = \widehat{CFB} = 45°\)
Correction : \(\widehat{ECF} = 90°\) car les triangles ACE et BCF sont de part et d'autre de C.
2. Rectangle ECFG et milieu M :
Pour construire G : \(\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CF}\)
Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu.
Donc M, milieu de [EF], est aussi milieu de [CG].
3. M milieu de [CG] :
Par construction du rectangle ECFG, M est le centre du rectangle, donc milieu des deux diagonales [EF] et [CG].
4. Alignement I, M, J :
I est le milieu de [AE], J est le milieu de [BF].
Dans le trapèze AEFB, la droite joignant les milieux des côtés non parallèles est parallèle aux bases.
Donc (IMJ) est parallèle à (AB).
Par le théorème des milieux appliqué successivement, I, M et J sont alignés.
Exercice 3 : Géométrie analytique ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé : Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points suivants : A(2 ; 3), B(13 ; 1), C(5 ; 7), D(4 ; -1) et J(0 ; 3).
On s'intéresse aux propriétés géométriques de ces points : appartenance à un cercle, position par rapport à une médiatrice, et nature d'un triangle.
Le point A appartient-il au cercle C de centre C et de rayon 5 ? Justifier par le calcul.
Le point B appartient-il à la médiatrice du segment [OJ] ? Expliquer votre démarche.
Déterminer la nature du triangle JAD en calculant les longueurs de ses côtés.
1. Appartenance de A au cercle C(C,5) :
Pour que A appartienne au cercle de centre C et de rayon 5, il faut que CA = 5.
Donc CA = 5, par conséquent A appartient au cercle C(C,5).
2. Appartenance de B à la médiatrice de [OJ] :
La médiatrice du segment [OJ] est l'ensemble des points équidistants de O et J.
O(0 ; 0) et J(0 ; 3), donc la médiatrice est la droite d'équation \(y = \frac{3}{2}\).
Le point B(13 ; 1) a pour ordonnée 1.
Comme \(1 \neq \frac{3}{2}\), B n'appartient pas à la médiatrice de [OJ].
Vérifions si le triangle est rectangle en utilisant le théorème de Pythagore :
\[JA^2 + AD^2 = 4 + 20 = 24\]
\[JD^2 = 32\]
Comme \(JA^2 + AD^2 \neq JD^2\), le triangle JAD n'est pas rectangle.
Les trois côtés sont de longueurs différentes, donc le triangle JAD est scalène.
Exercice 4 : Rectangle analytique ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Dans un repère orthonormé, on considère trois points A(-2 ; 1), B(-1 ; 4) et C(5 ; 2). On souhaite étudier les propriétés géométriques du triangle ABC, puis déterminer un quatrième point D tel que ABCD forme un rectangle.
Cette étude permettra de réviser les calculs de distances, la caractérisation des triangles rectangles, et la construction de rectangles dans un repère.
Calculer les longueurs AB, AC et BC. Donner les résultats sous forme exacte.
Déterminer la nature du triangle ABC en justifiant votre réponse.
Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AC].
Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un rectangle.
Vérifier que ABCD est bien un rectangle en calculant les longueurs des diagonales.
Pour que ABCD soit un rectangle, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) doivent être égaux :
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\]
Énoncé : Dans un repère orthonormé, on donne trois points A(-2 ; -1), B(-4 ; 3) et C(2 ; 6). On souhaite étudier les propriétés du triangle ABC, construire un rectangle ayant ABC comme trois de ses sommets, puis calculer des éléments métriques comme l'aire et la hauteur.
Cette étude combine géométrie analytique, calculs vectoriels et propriétés métriques des triangles.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle. Préciser en quel sommet.
Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un rectangle.
Calculer l'aire du triangle ABC de deux façons différentes.
En déduire la longueur BH, où H est le pied de la hauteur issue de B dans le triangle ABC.
Comme \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont orthogonaux.
Donc le triangle ABC est rectangle en B.
2. Coordonnées du point D :
Pour que ABCD soit un rectangle, nous devons avoir \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) :
Si D(x ; y), alors :
\[\overrightarrow{DC} = (2-x ; 6-y)\]
Éducation
