Énoncé : Dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\), on considère les points \(C(-3;2)\), \(D(1;4)\), \(E(6;3)\) et le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). On souhaite effectuer différentes opérations vectorielles pour mieux comprendre les relations entre ces éléments géométriques.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{CD}\) et \(\vec{DC}\). Que remarquez-vous ?
2. Effectuer l'addition vectorielle \(\vec{u} + \vec{CD}\) et interpréter géométriquement le résultat.
3. Calculer le produit du vecteur \(\vec{u}\) par le scalaire 1,5, soit \(1,5\vec{u}\).
4. Déterminer d'abord les coordonnées du vecteur \(\vec{DE}\), puis calculer \(-3\vec{DE}\).

Énoncé : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère trois points \(M(-5;2)\), \(N(3;4)\) et \(P(6;-7)\). Ces trois points forment un triangle dont nous allons étudier les propriétés vectorielles. L'objectif est de manipuler les vecteurs formés par ces points et d'observer certaines relations remarquables.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{NM}\), \(\vec{PM}\) et \(\vec{PN}\). Détailler chaque étape du calcul.
2. Déterminer les vecteurs opposés de chacun des vecteurs précédents. Que représentent-ils géométriquement ?
3. Calculer l'expression vectorielle \(\vec{PN} + \vec{NM} - \vec{PM}\). Que pouvez-vous conclure sur le résultat obtenu ?

Énoncé : Dans un repère orthonormé, on considère trois vecteurs : \(\vec{u}\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\). L'objectif de cet exercice est d'effectuer diverses combinaisons linéaires de ces vecteurs et de visualiser géométriquement les résultats obtenus. Les combinaisons linéaires sont des outils fondamentaux en géométrie vectorielle.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs résultant des opérations \(\vec{u}+\vec{v}\) et \(\vec{u}-\vec{v}\). Interpréter géométriquement ces résultats.
2. Déterminer les coordonnées du vecteur \(3\vec{u}-2\vec{v}\). Que représente cette expression ?
3. Représenter graphiquement dans un repère les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(3\vec{u}-2\vec{v}\) pour vérifier vos calculs.

Énoncé : Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points B(-4;2), C(0;3) et D(1;-5). On cherche à déterminer les coordonnées d'un point E en utilisant une relation vectorielle spécifique. Ce type d'exercice permet de comprendre comment les vecteurs peuvent servir à localiser précisément des points dans le plan à partir de relations algébriques.

On souhaite déterminer les coordonnées du point E tel que la relation vectorielle suivante soit vérifiée :

\(\vec{BE} = 3\vec{BC} - 5\vec{CD}\)

Question : Calculer les coordonnées du point E en utilisant cette relation vectorielle. Détailler toutes les étapes du calcul.

Énoncé : Dans un repère orthonormé, on considère trois points \(E(-3;2)\), \(F(1;-2)\) et \(G(-1;-5)\). Ces trois points constituent trois sommets d'un parallélogramme EFGH. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur, ce qui se traduit par des relations vectorielles spécifiques entre ses sommets.

Dans un parallélogramme, les vecteurs représentant les côtés opposés sont égaux. Cette propriété fondamentale nous permet d'établir la relation : \(\vec{EF} = \vec{HG}\)

Question : Déterminer les coordonnées du point H pour que EFGH forme un parallélogramme. Proposer également une méthode alternative de résolution.

Énoncé :

Deux vecteurs sont dits colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que l'un est égal à \(k\) fois l'autre. Dans cet exercice, nous allons étudier la colinéarité de vecteurs en utilisant les relations de proportionnalité.

Résolvez les deux questions suivantes en démontrant rigoureusement la colinéarité des vecteurs :

1. Sachant que \(\vec{u} = 4\vec{v}\) et que \(\vec{v} = \frac{1}{2}\vec{w}\), démontrez que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont colinéaires et déterminez le coefficient de colinéarité.
2. Sachant que \(\vec{u} = 5\vec{v}\) et que \(\vec{v} = \frac{1}{3}\vec{w}\), démontrez que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont colinéaires et déterminez le coefficient de colinéarité.

Énoncé :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, nous considérons trois points \(K(-3;3)\), \(L(3;-6)\), et \(M(2;0)\). Pour déterminer si ces points sont alignés, nous utiliserons la méthode du déterminant de deux vecteurs.

Rappel : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires, ce qui équivaut à dire que leur déterminant est nul.

Travail à effectuer :

1. Calculez les coordonnées des vecteurs \(\vec{KL}\) et \(\vec{KM}\).
2. Calculez le déterminant de ces deux vecteurs.
3. En déduire si le point K appartient à la droite (LM).

Énoncé :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, nous considérons quatre points : \(E(-32;33)\), \(F(113;-7)\), \(G(62;-40)\), et \(H(-28;-15)\). Ces points définissent deux droites : \((EF)\) et \((GH)\).

Deux droites dans le plan peuvent être soit parallèles (même coefficient directeur), soit sécantes (coefficients directeurs différents). Nous allons déterminer la nature de ces deux droites en calculant leurs coefficients directeurs respectifs.

Question : Les droites (EF) et (GH) sont-elles sécantes ou parallèles ? Justifiez votre réponse par le calcul.

Énoncé :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, nous considérons trois points \(P(-3;-1)\), \(N(0;1)\), et \(R(3;3)\). Nous souhaitons déterminer si ces trois points sont alignés.

Il existe plusieurs méthodes pour vérifier l'alignement de trois points. Nous utiliserons deux approches différentes : la méthode du déterminant et la méthode des coefficients directeurs.

Question : Les points \(P\), \(N\) et \(R\) sont-ils alignés ? Utilisez deux méthodes différentes pour justifier votre réponse.

Énoncé :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, nous considérons quatre points : \(A(-3;1)\), \(B(1;3)\), \(C(1;-4)\), et \(D(7;-1)\). Ces quatre points définissent plusieurs droites, et nous souhaitons étudier les relations de parallélisme entre elles.

Rappel : Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, ce qui équivaut à dire que le déterminant de ces vecteurs directeurs est nul.

Travail à effectuer :

1. Placez les quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sur une figure (voir ci-dessus).
2. Étudiez le parallélisme des droites suivantes en calculant les déterminants des vecteurs directeurs correspondants :
   a) Les droites \((AB)\) et \((CD)\)
   b) Les droites \((AC)\) et \((BD)\)

Énoncé : Soit A, B et C trois points distincts du plan. Dans cet exercice, nous allons construire de nouveaux points en utilisant les relations vectorielles. La figure ci-dessous présente la configuration initiale avec les points A et B sur une ligne horizontale, et le point C placé plus bas.

1. Construire le point D tel que \(\vec{AB} = \vec{CD}\). Expliquer votre méthode de construction.
2. Construire le point E tel que \(\vec{AB} = \vec{EC}\). Justifier la position du point E.
3. Que peut-on dire du rôle du point C dans ces deux constructions ? Analyser sa position par rapport aux autres points.

Énoncé : Soit ABCD un parallélogramme de centre O. Dans cette figure, nous allons étudier les propriétés des symétriques de certains points et démontrer plusieurs relations vectorielles importantes. Le parallélogramme est représenté avec son centre O, et nous définissons I comme le milieu du segment [OC].

1. Construire le parallélogramme ABCD et placer son centre O. Construire le point I, milieu du segment [OC].
2. Construire A', le symétrique du point A par rapport au point D, puis O', le symétrique du point O par rapport au point B.
3. Démontrer les relations vectorielles suivantes :
   1. \(\vec{A'C} = \vec{DB}\)
   2. \(\vec{DB} = \vec{OO'}\)
   3. Le point I est le milieu du segment [A'O']

Énoncé : La relation de Chasles est une propriété fondamentale des vecteurs qui permet de décomposer un vecteur en une somme de vecteurs intermédiaires. Pour tout triplet de points A, B, C, nous avons : \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\). Dans cet exercice, vous devez compléter plusieurs égalités vectorielles en appliquant cette relation.

Instructions : Complétez les égalités vectorielles suivantes en utilisant la relation de Chasles. Pour chaque cas, identifiez les points intermédiaires appropriés.

1. \(\vec{IB} = \vec{IA} + \vec{A...}\)
2. \(\vec{HF} = \vec{HG} + \vec{G...}\)
3. \(\vec{DA} + \vec{CB} = \vec{D...}\) (en passant par un point intermédiaire)
4. \(\vec{EF} + \vec{FE} = \vec{...}\)
5. \(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{C...}\) (pour un point M quelconque)
6. \(\vec{FE} + \vec{...} = \vec{0}\) (relation d'opposés)

Énoncé : Dans un repère orthonormé (O; \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)), on considère les points A(1;2), B(-2;5) et C(-3;-3). Le calcul des coordonnées des vecteurs s'effectue en soustrayant les coordonnées du point d'origine de celles du point d'arrivée. Rappel : pour un vecteur \(\vec{MN}\), on a \(\vec{MN}\begin{pmatrix} x_N - x_M \\ y_N - y_M \end{pmatrix}\).

Questions :

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) et représenter ce vecteur sur la figure.
2. Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{CA}\) et l'interpréter géométriquement.
3. Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{BC}\) et vérifier la relation de Chasles avec les vecteurs précédents.
4. Vérifier que \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\) (propriété du triangle).

Énoncé : Dans un repère orthonormé, on considère les points A(3;5), B(2;-1), C(-2;-4) et D(-1;2). Pour déterminer la nature d'un quadrilatère, nous devons étudier les relations entre ses côtés opposés. Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur, ce qui se traduit par l'égalité des vecteurs représentant ces côtés.

Questions :

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{DC}\). Que peut-on en déduire ?
2. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{BC}\) et \(\vec{AD}\). Confirmer votre conclusion.
3. Quelle est la nature exacte du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.
4. Calculer les coordonnées du centre de ce quadrilatère (intersection des diagonales).

Énoncé : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère trois points E(2 ; -1), F(-3 ; 4) et G(1 ; 4). On souhaite déterminer les coordonnées du point H pour que le quadrilatère EFGH soit un parallélogramme. Rappelons qu'un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur, ce qui se traduit vectoriellement par l'égalité de certains vecteurs.

Énoncé : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on donne deux points A(3 ; -4) et B(-1 ; 2). On cherche à déterminer les coordonnées du point C tel que le vecteur \(\vec{AC}\) soit égal à \(-2\vec{AB}\). Cette relation indique que C est l'image de A par une homothétie de centre A et de rapport -2, appliquée au point B.

Énoncé : Soit trois points M(-4 ; 2), N(0 ; 3) et P(1 ; -5) dans un repère orthonormé. On souhaite déterminer les coordonnées du point Q défini par la relation vectorielle \(\vec{MQ} = -3\vec{MN} + \vec{PN}\). Cette expression représente une combinaison linéaire de vecteurs, technique fondamentale en géométrie vectorielle pour exprimer la position d'un point en fonction d'autres points de référence.

Énoncé : Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction, c'est-à-dire si l'un est un multiple scalaire de l'autre. Pour déterminer si deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\) sont colinéaires, on calcule leur déterminant : \(det(\vec{u},\vec{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1\). Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul.

Pour chaque paire de vecteurs suivante :

1. Calculer le déterminant des deux vecteurs
2. Déterminer s'ils sont colinéaires
3. Si oui, trouver le coefficient de colinéarité k tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\)

Énoncé : Considérons quatre points dans le plan : D(-3 ; -1), E(-4 ; 2), F(2 ; -2) et G(1 ; 1). Cet exercice propose une analyse complète des relations vectorielles entre ces points. L'objectif est de calculer différents vecteurs, d'étudier leurs propriétés de colinéarité et de comprendre les relations géométriques qui peuvent exister entre eux.

Énoncé : Le parallélisme de deux droites peut être vérifié à l'aide du déterminant de leurs vecteurs directeurs. Dans chacune des trois situations ci‑après, on dispose de deux droites (AB) et (CD) repérées par les coordonnées de leurs extrémités dans un repère orthonormé.

Méthode :

• Commencez par déterminer les vecteurs directeurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) en calculant les différences de coordonnées.

• Calculez ensuite le déterminant \(\Delta = x_{AB} \cdot y_{CD} - y_{AB} \cdot x_{CD}\).

• Concluez : si \(\Delta = 0\), les droites sont parallèles (leurs vecteurs directeurs sont colinéaires) ; sinon, elles sont sécantes.

Énoncé : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires. Cette propriété peut être vérifiée en calculant le déterminant de ces deux vecteurs.

Méthode : Pour chacun des triplets de points suivants, déterminez s'ils sont alignés en utilisant le critère du déterminant.

• Calculez les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) (ou \(\vec{DE}\) et \(\vec{DF}\), etc.)

• Calculez le déterminant \(\Delta = x_{AB} \cdot y_{AC} - y_{AB} \cdot x_{AC}\)

• Si \(\Delta = 0\), les points sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.

Énoncé : Déterminer si un point appartient à une droite est un problème fondamental en géométrie analytique. Plusieurs méthodes peuvent être utilisées selon la nature de la droite.

Méthodes possibles :

• Méthode 1 (déterminant) : Un point C appartient à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.

• Méthode 2 (équation cartésienne) : Établir l'équation cartésienne de la droite (AB) et vérifier si les coordonnées de C satisfont cette équation.

Pour chaque configuration ci-dessous, déterminez si le point C appartient à la droite (AB) en utilisant la méthode la plus appropriée.

Énoncé : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. Pour chaque paire de vecteurs donnée ci-dessous, vous devez calculer le déterminant de ces deux vecteurs, puis déterminer s'ils sont colinéaires ou non. Dans le cas où ils sont colinéaires, vous préciserez la valeur du coefficient réel \( k \) tel que \( \vec{v} = k\vec{u} \).

Rappel : Pour deux vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix} \), le déterminant est \( \det(\vec{u},\vec{v}) = x_1y_2 - x_2y_1 \).

Énoncé : Dans un repère orthonormé du plan, on considère quatre points dont les coordonnées sont données sous forme fractionnaire. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire si le déterminant de ces vecteurs directeurs est nul.

Soient les points suivants :
\( A\left(-\frac{1}{3};0\right) \), \( B\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right) \), \( C\left(\frac{4}{3};-1\right) \) et \( D\left(0;\frac{2}{3}\right) \).

Questions :
1. Placez ces quatre points sur le repère orthonormé ci-dessous en vous aidant du quadrillage.
2. Déterminez si les droites suivantes sont parallèles en justifiant votre réponse par le calcul :
   (a) Les droites (AB) et (CD)
   (b) Les droites (BC) et (AD)

Énoncé : Soit ABC un triangle quelconque dans le plan. Le but de cet exercice est de construire précisément trois points D, E et F définis par des relations vectorielles spécifiques. Ces constructions permettront d'illustrer les propriétés fondamentales des vecteurs et leur application en géométrie.

On considère les trois points suivants :

• Le point D tel que \(\vec{AD} = 3\vec{BA}\) (relation vectorielle 1)
• Le point E tel que \(\vec{AE} = \vec{AB} - 3\vec{CA}\) (relation vectorielle 2)
• Le point F tel que \(3\vec{FC} - 2\vec{FB} = \vec{0}\) (relation vectorielle 3)

Questions :

1. Construire précisément les points D, E et F en expliquant votre démarche géométrique pour chaque construction.
2. Exprimer chaque point en fonction des points de base A, B et C sous forme de combinaison linéaire.
3. Vérifier que le point F est bien le barycentre de B et C avec les coefficients appropriés.

Énoncé : Soit EFGH un parallélogramme de centre O. Ce centre O est l'intersection des diagonales du parallélogramme et possède des propriétés remarquables que nous allons explorer. Dans cet exercice, nous allons construire deux nouveaux points S et T à partir de relations vectorielles impliquant les sommets du parallélogramme.

On considère les points S et T définis par les relations vectorielles suivantes :

• \(\vec{OT} = \vec{OE} + \vec{OF}\)
• \(\vec{OS} = \vec{OG} + \vec{OH}\)

Questions :

1. Construire géométriquement les points S et T en utilisant les relations vectorielles données. Expliquer la méthode de construction.
2. Démontrer algébriquement que \(\vec{OT} + \vec{OS} = \vec{0}\). Quelle propriété géométrique fondamentale pouvez-vous en déduire ?
3. Calculer la longueur ST en fonction des côtés du parallélogramme EFGH.
4. Montrer que le quadrilatère STGH est un parallélogramme.

Énoncé : Soit ABC un triangle rectangle en A. Cette propriété d'angle droit va jouer un rôle important dans les calculs vectoriels et les propriétés géométriques que nous allons établir. À partir de ce triangle de base, nous construisons deux nouveaux points D et E selon des relations vectorielles précises.

Les points D et E sont définis par les relations suivantes :

• \(\vec{AD} = \vec{BA}\) (translation vectorielle)
• \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{CD}\) (composition de translations)

Questions :

1. Construire précisément les points D et E en expliquant votre démarche géométrique pour chaque construction.
2. Déterminer la nature exacte du quadrilatère BCDE en utilisant le calcul vectoriel. Justifier votre réponse.
3. Calculer les coordonnées de tous les points dans le repère orthonormé (A, \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\)).
4. Calculer l'aire du quadrilatère BCDE en fonction de l'aire du triangle ABC.

Énoncé : Cet exercice vous propose d'analyser de manière critique plusieurs affirmations concernant les relations vectorielles et les propriétés géométriques. Pour chaque affirmation, vous devez déterminer si elle est vraie ou fausse, puis fournir une justification rigoureuse. Cette démarche d'analyse critique est essentielle pour développer une compréhension approfondie des concepts vectoriels.

Pour chaque affirmation, vous devrez :

• Déterminer si l'affirmation est vraie ou fausse
• Justifier votre réponse par une démonstration rigoureuse ou fournir un contre-exemple précis
• Analyser la réciproque de chaque affirmation

Affirmations à analyser :

1. Si \(\vec{AB} = 3\vec{AC}\) alors les points A, B et C sont nécessairement alignés.
2. Si \(\vec{AB} = \frac{3}{4}\vec{CD}\) alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
3. Si ABCD est un parallélogramme alors \(\vec{DA} + \vec{DC} = \vec{DB}\).
4. Si ABCD est un trapèze alors il existe un réel k tel que \(\vec{AB} = k\vec{CD}\).

Partie 2 : Pour chaque affirmation, énoncez clairement sa réciproque et déterminez si cette réciproque est vraie ou fausse. Justifiez vos réponses.

Énoncé : Soit ABC un triangle non aplati (non dégénéré). Cette condition assure que les trois points A, B et C ne sont pas alignés, ce qui est essentiel pour la validité des constructions vectorielles que nous allons effectuer. L'objectif de cet exercice est d'étudier l'alignement de points construits à partir de relations vectorielles impliquant les sommets du triangle.

À partir du triangle ABC, nous définissons deux nouveaux points M et N par les relations vectorielles suivantes :

• \(\vec{AM} = \vec{AB} - 2\vec{AC}\)
• \(\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}\)

Questions :

1. Construire géométriquement les points M et N en utilisant les relations vectorielles données. Expliquer précisément la méthode de construction pour chaque point.
2. Démontrer que les vecteurs \(\vec{AM}\) et \(\vec{AN}\) sont colinéaires en trouvant un réel k tel que \(\vec{AM} = k\vec{AN}\).
3. Que peut-on en déduire pour les points A, M et N ? Justifier géométriquement cette conclusion.
4. Calculer le rapport \(\frac{AM}{AN}\) et déterminer la position relative des points sur la droite.
5. Exprimer les coordonnées de M et N dans le repère (A, \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\)).

Énoncé :

Dans le plan, nous allons étudier les propriétés d'alignement de points définis par des relations vectorielles. Soit ABC un triangle quelconque.

1. Construire un triangle ABC dans le plan.
2. Placer les points M, P et N selon les conditions vectorielles suivantes :
   1. Le point M est défini par la relation \(\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{BC}\)
   2. Le point P est défini par la relation \(\vec{MP} = 2\vec{MA}\)
   3. Le point N est défini par la relation \(\vec{MN} = 2\vec{MC}\)
3. Démontrer que \(\vec{PN} = 2\vec{PB}\). En déduire la nature géométrique de la relation entre les points P, N et B.

Énoncé :

Dans cet exercice, nous allons étudier les transformations géométriques et leurs propriétés. Soit DEF un triangle quelconque dans le plan.

Le point H est défini comme étant le symétrique du point D par rapport au point F. Le point G est défini par la relation vectorielle \(\vec{DG} = \vec{DE} + \vec{DF}\).

1. Construire une figure représentant le triangle DEF ainsi que les points G et H selon les conditions données.
2. Démontrer que le triangle FGH est l'image du triangle DEF par une translation. Préciser le vecteur de cette translation en justifiant votre réponse.

Énoncé :

Dans cet exercice, nous allons découvrir une propriété remarquable des quadrilatères quelconques. Soit ABCD un quadrilatère quelconque dans le plan.

On désigne par I, J, K et L les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].

1. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique ou par construction géométrique, conjecturer la nature du quadrilatère IJKL formé par les milieux des côtés.
2. Démontrer que \(\vec{IJ} = \frac{1}{2}\vec{AC}\) en utilisant les propriétés des milieux.
3. Exprimer de manière similaire le vecteur \(\vec{LK}\) en fonction du vecteur \(\vec{AC}\).
4. En déduire la nature exacte du quadrilatère IJKL et énoncer le théorème correspondant.

Énoncé :

Dans cet exercice, nous travaillerons dans un repère orthonormé du plan. Nous allons étudier les propriétés géométriques de points définis par des relations vectorielles.

1. Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), placer les points V(-1; -1.5), A(-2; 0) et T(5; 0).
2. Placer le point E tel que \(\vec{VA} = \frac{2}{3}\vec{VE}\). Calculer les coordonnées de E.
3. Placer le point U tel que le vecteur \(\vec{TU}\) ait pour coordonnées \(\begin{pmatrix} -2 \\ 0.5 \end{pmatrix}\). En déduire les coordonnées de U.
4. Étudier la position relative des droites (OU) et (ET). Ces droites sont-elles parallèles, sécantes ou confondues ? Justifier votre réponse.

Énoncé :

Dans cet exercice, nous allons étudier les propriétés géométriques de points définis par des relations vectorielles dans un repère orthonormé. Soit les points A(-1; 3), B(1; 6), C(2; 4) et D(-2; -2).

1. Calculer les coordonnées des points K, L et M définis par les relations vectorielles suivantes :
   • K est défini par \(\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AD}\)
   • L est défini par \(\vec{LC} = \frac{1}{2}\vec{BC}\)
   • M est défini par \(\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{0}\) (M est le milieu de [AC])
2. Étudier le parallélisme des droites (AB) et (DC). Les droites (AB) et (DC) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse par le calcul.
3. Démontrer que les points K, L et M sont alignés en utilisant le calcul vectoriel.
4. Construire une figure précise pour contrôler et visualiser vos résultats.

Énoncé : On donne les points A(6 ; 3), B(-3 ; 0), C(5 ; 4) et D(-1 ; 1).

1. Montrer que les droites (OA) et (BC) sont parallèles.
2. Les points B, C et D sont-ils alignés ?
3. Déterminer y pour que le point M(25 ; y) appartienne à la droite (AB).

Énoncé : Le plan est muni d'une base. A, B et C sont trois points tels que pour tout point M : 2MA - 3MB + MC = 0

1. Montrer que A, B et C sont alignés.
2. Représenter ces points.

Énoncé : Soit ABC un triangle et a un réel. Points définis par :

• AM = a·AB
• AS = (2/5)AC
• BT = (3/7)BC

Trouver a pour que S, T et M soient alignés.

Énoncé : Soit A(7;3), B(1;-1), C(9;-3). D et E milieux de [AB] et [AC]. Symétrie centrale de centre A transforme D en D' et E en E'.

1. Calculer coordonnées de E, D et vecteur ED
2. Déduire coordonnées de E'D'
3. Comparer BC et E'D'

Énoncé : Soit ABC non alignés. Homothétie de centre C et rapport -1/3 transforme A en A' et B en B'.

1. Construire la figure
2. Donner les égalités vectorielles
3. Montrer que (AB) ∥ (A'B')