Série d'exercices n°1 sur les nombres et calculs numériques.
Nombres et calculs numériques
Exercice 1: Calcul combiné ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Maîtriser les priorités opératoires avec des puissances et quotients.
Énoncé :
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :
\[ A = \frac{3^2 \times 2^{-3} \times 5^2}{10^{-1} \times 3 \times \sqrt{16}} \]
1. Simplifier chaque terme
2. Calculer la valeur numérique
3. Vérifier avec la calculatrice
Objectif pédagogique : Gérer des expressions imbriquées avec puissances fractionnaires.
Énoncé :
Simplifier l'expression :
\[ B = \left( \frac{8^{\frac{1}{3}} \times 27^{-1}}{16^{\frac{1}{4}}} \right)^2 \times \sqrt{\frac{64}{9}} \]
1. Écrire tous les nombres sous forme de puissances de 2 ou 3
2. Appliquer les propriétés des puissances
3. Donner le résultat exact
Objectif pédagogique : Appliquer les calculs à un problème concret.
Énoncé :
Un cube a un volume de \( 125\sqrt{8} \) cm³.
1. Exprimer l'arête \( a \) sous forme \( k\sqrt{2} \)
2. Calculer la diagonale \( d \) de la face (exprimée avec \( \sqrt{2} \))
3. Déterminer la grande diagonale \( D \) (exprimée avec \( \sqrt{3} \))
4. Vérifier que \( \frac{D^3}{d^2 \times a} = 125 \)
Objectif pédagogique : Simplifier une expression combinant toutes les notions.
Énoncé :
Simplifier au maximum :
\[ C = \frac{(2^{\frac{3}{2}})^{-1} \times \sqrt{27} \times 16^{\frac{1}{4}}}{9^{-\frac{1}{2}} \times \left( \frac{\sqrt{8}}{2} \right)^2} \]
1. Tout exprimer en puissances de 2 et 3
2. Simplifier chaque composante
3. Donner la forme la plus réduite
Étape 3 : Forme radicale
\[ C = \frac{3^{\frac{5}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{(\sqrt{3})^5}{(\sqrt{2})^3} = \frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{6}}{4} \]
Exercice 5: Validation de compétences ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Vérifier la maîtrise complète des notions.
Énoncé :
Soit \( x = \frac{\sqrt{12} \times 27^{\frac{1}{3}}}{6^{-1}} \) et \( y = \frac{8^{\frac{2}{3}} \times 25^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{18}} \)
1. Simplifier \( x \) et \( y \) sous forme \( a\sqrt{b} \)
2. Calculer \( \frac{x}{y} \) sous forme fractionnaire
3. Donner la valeur décimale approchée à \( 10^{-3} \) près
4. Vérifier que \( x^2 + y^2 = \frac{3888}{25} \)
Question 4 :
\( x^2 = 3888 \), \( y^2 = \frac{8}{225} \)
\( x^2 + y^2 = 3888 + \frac{8}{225} = \frac{874800 + 8}{225} = \frac{874808}{225} \) L'énoncé semble contenir une erreur, la vérification exacte donne ce résultat.
Application des Concepts d'Entiers en Informatique
Exercice 1: Multiples de 15 ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Comprendre les propriétés de divisibilité et les implications logiques.
Énoncé :
1. Démontrer que si un entier est multiple de 15, alors il est aussi multiple de 3 et de 5.
2. La réciproque semble-t-elle vraie ?
Correction détaillée :
1. Si un entier est multiple de 15, alors il est de la forme \(15 \times k\). Or, \(15 = 3 \times 5\), donc \(15 \times k = 3 \times (5 \times k)\) ⇒ multiple de 3 et de 5.
2. Non, la réciproque n’est pas toujours vraie. Exemple : 6 est multiple de 3 et pas de 5 ⇒ pas multiple de 15.
Exercice 2: Divisibilité par 7 ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Appliquer des critères de divisibilité et utiliser des raisonnements algébriques.
Énoncé :
1. 35 et 6 300 sont-ils divisibles par 7 ? Justifier.
2. En utilisant la question 1., démontrer que 6 335 est divisible par 7.
3. Démontrer que si x et y sont divisibles par 7, alors x + y l’est aussi.
4. Écrire 6 349 147 comme somme de multiples de 7 pour conclure qu’il est divisible par 7.
Correction détaillée :
1. \(35 = 7 \times 5\) ⇒ divisible par 7 ; \(6300 \div 7 = 900\) ⇒ divisible aussi.
2. \(6335 = 6300 + 35\) ⇒ somme de deux multiples de 7 ⇒ divisible par 7.
3. \(x = 7a, y = 7b\) ⇒ \(x + y = 7a + 7b = 7(a + b)\) ⇒ multiple de 7.
4. \(6\,349\,147 = 7 \times 905000 + 7 \times 10000 + 7 \times 100 + 7 \times 47\) ⇒ somme de multiples de 7 ⇒ divisible par 7.
Exercice 3: Carré pair ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Introduire le raisonnement contraposé en arithmétique.
Énoncé :
Démontrer que si \(a^2\) est pair, alors \(a\) est pair.
Correction détaillée :
Raisonnement par contraposée : supposons que \(a\) est impair ⇒ \(a = 2k + 1\).
Alors \(a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\) ⇒ impair.
Donc si \(a^2\) est pair, \(a\) ne peut pas être impair ⇒ \(a\) est pair.
Exercice 4: Produit de deux entiers consécutifs ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Savoir identifier une propriété universelle sur les entiers.
Énoncé :
Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.
Correction détaillée :
Soient \(n\) et \(n+1\) deux entiers consécutifs. Si \(n\) est pair, le produit l’est. Si \(n\) est impair, alors \(n+1\) est pair. Dans tous les cas, l’un des deux facteurs est pair ⇒ produit pair.
Exercice 5: Multiples de 18 ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Utiliser la décomposition d’un nombre pour comprendre ses multiples.
Énoncé :
1. Donner une écriture littérale des multiples de 18.
2. Démontrer que si un entier est multiple de 18, alors il est aussi multiple de 3 et de 6.
3. La réciproque est-elle vraie ? Justifier.
Correction détaillée :
1. Un multiple de 18 est un entier de la forme \(18k\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).
2. \(18 = 3 \times 6\) ⇒ tout multiple de 18 est multiple de 3 et de 6.
3. Non, la réciproque n’est pas vraie. Exemple : 12 est multiple de 3 et de 6 mais pas de 18.
Application des Concepts d'Entiers en Informatique
Exercice 6: Démonstration de divisibilité ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Renforcer les compétences de démonstration par implication directe.
Énoncé :
Démontrer que si un entier \(n\) est divisible par 6 et par 4, alors il est divisible par 12.
Démonstration détaillée :
Supposons que \(n\) est divisible par 6 ⇒ \(n = 6a\), et divisible par 4 ⇒ \(n = 4b\).
Cela signifie que \(n\) est un multiple commun de 4 et 6. Or, le plus petit commun multiple de 4 et 6 est 12.
Donc \(n\) est un multiple de 12. Autrement dit, \(12 \mid n\).
On peut aussi écrire : si \(n = 12k\), alors \(n\) est divisible à la fois par 4 (\(12 = 3 \times 4\)) et par 6 (\(12 = 2 \times 6\)), ce qui confirme la réciproque.
Objectif pédagogique : Étudier les propriétés de parité sur une expression composée.
Énoncé :
Soit \(n \in \mathbb{Z}\). Démontrer que l'expression \(n(n+1)(n+2)\) est toujours divisible par 2.
Démonstration complète :
L'expression \(n(n+1)(n+2)\) est le produit de trois entiers consécutifs.
Parmi ces trois entiers, il y a toujours au moins un nombre pair.
En effet, la parité alterne : pair, impair, pair, etc.
Donc un des facteurs est pair ⇒ le produit est pair ⇒ divisible par 2.
C’est une application directe de la propriété : tout produit d’au moins un facteur pair est pair.
Exercice 8: Somme de chiffres et divisibilité par 9 ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Savoir utiliser un critère de divisibilité classique pour raisonner sur les grands nombres.
Énoncé :
Démontrer que si la somme des chiffres d’un entier \(n\) est divisible par 9, alors \(n\) est divisible par 9.
Preuve formelle :
Écrivons \(n = a_k10^k + a_{k-1}10^{k-1} + \ldots + a_0\), avec \(a_i\) les chiffres décimaux de \(n\).
On remarque que \(10^k \equiv 1 \mod 9\) pour tout \(k\), donc \(n \equiv a_k + a_{k-1} + \ldots + a_0 \mod 9\).
Donc \(n\) est congru à la somme de ses chiffres modulo 9.
Si cette somme est divisible par 9, alors \(n \equiv 0 \mod 9\), donc \(n\) est divisible par 9.
Exercice 9: Divisibilité et factorisation ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Maîtriser la factorisation pour prouver une propriété de divisibilité.
Énoncé :
Prouver que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(n^3 - n\) est divisible par 6.
Démonstration détaillée :
Factorisons : \(n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)\).
Il s'agit du produit de trois entiers consécutifs. Donc :
• L’un est pair ⇒ divisible par 2
• L’un est divisible par 3 (car parmi 3 entiers consécutifs, il y en a un divisible par 3)
Donc le produit est divisible par \(2 \times 3 = 6\).
Ainsi, \(n^3 - n\) est divisible par 6 pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Objectif pédagogique : Combiner des techniques algébriques et arithmétiques.
Énoncé :
Montrer que pour tout entier \(n\), l'expression \(n^5 - n\) est divisible par 30.
Preuve complète :
Factorisons : \(n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)\).
Observons les facteurs :
• Trois entiers consécutifs \(n - 1, n, n + 1\) ⇒ divisible par 2 et 3
• Si \(n\) est pair, \(n(n^2 + 1)\) est pair.
• \(n^5 - n\) est toujours divisible par 5 (cas à tester modulo 5, ou factorisation cyclique)
Conclusion : divisible par 2, 3 et 5 ⇒ divisible par \(2 \times 3 \times 5 = 30\).
Approfondissement : Simplification de Radicaux Complexes
Exercice 1 : Radicaux volumineux ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Maîtriser la décomposition de grands radicands pour extraire les facteurs carrés.
Énoncé :
Écrire chacune des racines sous la forme \(a\sqrt{b}\) où \(a,b\in\mathbb{Z}\) et \(b\) est sans facteur carré :
• \(A=\sqrt{72}\) • \(B=\sqrt{147}\) • \(C=\sqrt{192}\)
Correction détaillée :
Étape de méthode commune : factoriser le radicand pour isoler les puissances de 2.
Objectif pédagogique : Réunir des radicaux similaires pour les exprimer sous une forme unique.
Énoncé :
Mettre chaque expression sous la forme \(a\sqrt{b}\) (un seul radical à la fin) :
1. \(E = \sqrt{32}+\sqrt{288}\)
2. \(F = \sqrt{200}-\sqrt{32}\)
Analyse pas à pas :
1. \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) et \(\sqrt{288}=12\sqrt{2}\) ⇒ \(E=4\sqrt{2}+12\sqrt{2}=16\sqrt{2}\)
2. \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\) et \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) ⇒ \(F=10\sqrt{2}-4\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)
Approfondissement : Divisibilité, PGCD et Parité
Exercice 1 : Bouquets de fleurs ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Utiliser le concept de plus grand diviseur commun pour résoudre un problème concret.
Énoncé :
Un fleuriste dispose de \(30\) tulipes et \(24\) muscaris. Il veut composer des bouquets contenant le même nombre de tulipes et le même nombre de muscaris, en utilisant toutes ses fleurs.
1. Expliquer pourquoi le nombre de bouquets doit être un diviseur commun à \(30\) et \(24\).
2. Déterminer les diviseurs de \(30\) et de \(24\).
3. Combien de bouquets peut‑il réaliser au maximum ? Quelle est alors la composition de chaque bouquet ?
Correction détaillée :
1. Justification :
Si l’on réalise \(k\) bouquets, chaque bouquet contiendra \(\dfrac{30}{k}\) tulipes et \(\dfrac{24}{k}\) muscaris. Pour que ces quotients soient des entiers, \(k\) doit diviser simultanément \(30\) et \(24\).
2. Diviseurs :
\(30 = 1,2,3,5,6,10,15,30\) ; \(24 = 1,2,3,4,6,8,12,24\).
Les diviseurs communs sont \(1,2,3,6\).
3. Nombre maximal de bouquets :
Le plus grand diviseur commun est \(\operatorname{pgcd}(30,24)=6\). On peut donc réaliser \(6\) bouquets.
Composition d’un bouquet : \(\dfrac{30}{6}=5\) tulipes et \(\dfrac{24}{6}=4\) muscaris.
Exercice 2 : Distribution de jetons ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Appliquer le PGCD pour déterminer le nombre possible de joueurs.
Énoncé :
On doit répartir entre les joueurs \(180\) jetons noirs et \(120\) jetons blancs. Chaque joueur reçoit le même nombre de jetons noirs et le même nombre de jetons blancs.
1. Peut‑il y avoir vingt joueurs ? neuf joueurs ?
2. Combien peut‑il y avoir de joueurs ? Donner toutes les possibilités.
Solution exhaustive :
On cherche les diviseurs communs de \(180\) et \(120\).
• \(\operatorname{pgcd}(180,120)=60\).
• Les diviseurs de \(60\) sont \(1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\).
1. Cas particuliers :
• \(20\) joueurs : oui, car \(20\mid60\).
Chaque joueur reçoit \(\dfrac{180}{20}=9\) jetons noirs et \(\dfrac{120}{20}=6\) jetons blancs.
• \(9\) joueurs : non, car \(9\nmid60\).
2. Toutes les possibilités :
Le nombre de joueurs peut être n’importe quel diviseur de \(60\) : \(1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\).
Exemple pour \(30\) joueurs : \(\dfrac{180}{30}=6\) noirs et \(\dfrac{120}{30}=4\) blancs chacun.
Exercice 3 : Multiples consécutifs de 7 ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Résoudre une équation linéaire à l’aide d’une modélisation par multiples.
Énoncé :
La somme de quatre multiples consécutifs de \(7\) est égale à \(406\). Quels sont ces quatre entiers ?
Démarche pas à pas :
Notons les quatre entiers \(7k,7(k+1),7(k+2),7(k+3)\).
Leur somme vaut \(7k+7(k+1)+7(k+2)+7(k+3)=28k+42\).
On a donc \(28k+42=406\) ⇒ \(28k=364\) ⇒ \(k=13\).
Les quatre entiers sont donc : \(7\times13=91\), \(98\), \(105\) et \(112\).
Objectif pédagogique : Manipuler des écritures littérales pour établir une divisibilité.
Énoncé :
On veut démontrer que la somme de deux entiers naturels impairs consécutifs est un multiple de \(4\).
1. Combien faut‑il ajouter à un entier impair pour obtenir l’entier impair suivant ?
2. Donner les écritures littérales de deux entiers naturelles impairs consécutifs.
3. Montrer que leur somme peut s’écrire \(4m\) (\(m\in\mathbb{N}\)), puis conclure.
Preuve complète :
1. Il faut ajouter \(2\) pour passer d’un impair à l’impair suivant.
2. Soit \(n\) impair, on l’écrit \(n=2k+1\). L’entier impair suivant est \(n+2=2k+3\).
3. Somme : \((2k+1)+(2k+3)=4k+4=4(k+1)\).
Comme \(k+1\in\mathbb{N}\), la somme est divisible par \(4\).
Ainsi, la somme de deux impairs consécutifs est toujours un multiple de \(4\).
Exercice 5 : Divisibilités relatives à des puissances ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Utiliser des identités remarquables et la factorisation pour prouver des divisibilités.
Énoncé :
Soit \(n\in\mathbb{N}\).
1. Démontrer que si \(n\) est impair alors \(8\) divise \(n^2-1\).
2. Le nombre \(1+3^n\) est‑il toujours pair ?
3. Démontrer que \(2^n+2^{n+1}\) est divisible par \(3\).
Analyse détaillée :
1. Divisibilité par 8 :
Si \(n\) est impair, écrit sous la forme \(n=2k+1\). Alors :
\(n^2-1=(2k+1)^2-1=4k(k+1)\).
Or \(k(k+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs ⇒ l’un est pair ⇒ \(k(k+1)=2m\).
Donc \(n^2-1=4\times2m=8m\), divisible par \(8\).
2. Parité de \(1+3^n\) :
Pour tout \(n\), \(3^n\) est impair (puissance d’un impair). Ainsi \(1+3^n\) est la somme de deux nombres impairs ⇒ résultat pair.
3. Divisibilité par 3 :
\(2^n+2^{n+1}=2^n(1+2)=3\times2^n\), qui est clairement multiple de \(3\).
Objectif pédagogique : Convertir un pourcentage en volume réel et raisonner sur des parts complémentaires.
Énoncé :
L’air est constitué principalement d’azote (\(78{,}6\,\%\)) et d’oxygène (\(20{,}9\,\%\)).
Une salle de classe a un volume de \(125\,\text{m}^3\). Calculer le volume, en \(\text{m}^3\), de chacun des gaz présents dans cette salle.
Correction détaillée :
La part d’azote se calcule en appliquant directement le pourcentage :
\(V_{\text{N}_2}=125\times0{,}786=98{,}25\,\text{m}^3\).
De même, la part d’oxygène vaut :
\(V_{\text{O}_2}=125\times0{,}209=26{,}125\,\text{m}^3\).
La somme \(98{,}25+26{,}125=124{,}375\,\text{m}^3\) n’atteint pas le volume total ; la différence (\(0{,}625\,\text{m}^3\)) représente les autres gaz (argon, CO\(_2\), etc.). Ainsi, la classe contient environ \(98{,}25\,\text{m}^3\) d’azote et \(26{,}125\,\text{m}^3\) d’oxygène.
Exercice 2 : Homothéties d’un rectangle ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Comprendre l’effet d’un agrandissement différencié sur les grandeurs d’aire et de périmètre.
Énoncé :
La longueur et la largeur d’un rectangle sont multipliées respectivement par \(\frac{7}{5}\) et \(\frac{2}{3}\).
1. Par quel nombre l’aire initiale est‑elle multipliée ?
2. Sachant que \(L=7\,\text{cm}\) et \(\ell=4\,\text{cm}\), par quelle fraction le périmètre est‑il multiplié ?
Solution complète :
1. Effet sur l’aire
L’aire initiale vaut \(A_0=L\times\ell\). Après transformation : \(A_1=\bigl(L\times\tfrac75\bigr)\times\bigl(\ell\times\tfrac23\bigr)=A_0\times\frac75\times\frac23\).
Le facteur multiplicatif est donc \(\frac{14}{15}\). L’aire diminue légèrement car ce facteur est inférieur à 1.
2. Effet sur le périmètre
Nouveau périmètre : \(P_1=2\bigl(L\times\tfrac75+\ell\times\tfrac23\bigr)\).
Valeurs numériques : \(L_1=7\times\tfrac75=\tfrac{49}{5}\,\text{cm}\) et \(\ell_1=4\times\tfrac23=\tfrac{8}{3}\,\text{cm}\).
Ainsi \(P_1=2\left(\tfrac{49}{5}+\tfrac{8}{3}\right)=\tfrac{374}{15}\,\text{cm}\).
Périmètre initial : \(P_0=2(7+4)=22\,\text{cm}\).
Le facteur multiplicatif est \(\dfrac{P_1}{P_0}=\dfrac{374/15}{22}=\dfrac{17}{15}\).
Le périmètre augmente donc de \(\tfrac{17}{15}\) (environ +13 %).
Objectif pédagogique : Additionner des fractions en progression géométrique.
Énoncé :
Anne‑Cécile mange successivement \(\tfrac12\), \(\tfrac14\), \(\tfrac18\), \(\tfrac{1}{16}\) et \(\tfrac{1}{32}\) de gâteau lors de cinq visites.
Quelle fraction d’un gâteau entier a‑t‑elle consommée au total ?
Explication détaillée :
Les parts forment la suite \(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18,\tfrac{1}{16},\tfrac{1}{32}\), soit une série géométrique de raison \(\tfrac12\).
On les met au même dénominateur : \(\tfrac{16}{32}+\tfrac{8}{32}+\tfrac{4}{32}+\tfrac{2}{32}+\tfrac{1}{32}=\tfrac{31}{32}\).
Anne‑Cécile a donc mangé \(\tfrac{31}{32}\) de gâteau, soit 96,875 % d’un gâteau complet : il ne reste qu’un trente‑deuxième.
Exercice 4 : À l’échelle atomique ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Relier la mole, la constante d’Avogadro et la masse d’une particule.
Énoncé :
Une mole de carbone (\(6{,}02\times10^{23}\) atomes) a une masse de \(12\,\text{g}\). Quelle est la masse d’un atome de carbone ?
Calcul commenté :
La masse d’un atome est la masse totale divisée par le nombre d’atomes :
\(m_{\text{C}}=\dfrac{12\,\text{g}}{6{,}02\times10^{23}}\approx1{,}993\times10^{-23}\,\text{g}\).
En kilogrammes, cela fait \(1{,}993\times10^{-26}\,\text{kg}\).
Ce résultat illustre l’extrême légèreté d’un atome comparé aux échelles macroscopiques.
Exercice 5 : Cycle des unités d’une puissance ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Mettre en évidence la périodicité du chiffre des unités pour une puissance entière.
Énoncé :
1. Quel est le chiffre des unités de \(13^1\), \(13^2\), \(13^3\), \(13^4\) et \(13^5\) ?
2. En déduire le chiffre des unités de \(13^{2000}\).
Raisonnement détaillé :
On observe seulement la dernière décimale : elle dépend du cycle des puissances de \(3\) (car \(13\equiv3\,\text{mod }10\)).
• \(3^1=3\) → unité \(3\).
• \(3^2=9\) → unité \(9\).
• \(3^3=27\) → unité \(7\).
• \(3^4=81\) → unité \(1\).
• \(3^5=243\) → unité \(3\).
Le motif \(3,9,7,1\) se répète tous les quatre exposants.
Comme \(2000\equiv0\,(\text{mod }4)\), on tombe sur la quatrième position du cycle, donc le chiffre des unités de \(13^{2000}\) est \(1\).
Divisibilité, Nombres Premiers & Applications
Exercice 1 : Plus petit diviseur premier ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Réinvestir la définition d’un diviseur premier pour démontrer une propriété de transitivité de la divisibilité.
Énoncé :
Soit \(n\) un entier non premier et \(d\) le plus petit diviseur premier de \(n\). On suppose qu’il existe un entier \(d'\) qui divise \(d\). Démontrer que \(d'\) divise également \(n\).
Démonstration :
Étant donné que \(d'\mid d\), il existe un entier \(k\) tel que \(d=d'k\). Comme \(d\mid n\), on a \(n=dq\) pour un certain entier \(q\).
En combinant les deux égalités, \(n=dq=(d'k)q=d'(kq)\).
Le produit \(kq\) étant entier, on conclut que \(d'\mid n\).
Ainsi, tout diviseur de \(d\) divise \(n\), ce qui montre la transitivité recherchée.
Objectif pédagogique : Utiliser l’absurde et un encadrement à l’aide de la racine carrée pour caractériser le plus petit diviseur.
Énoncé :
Soit \(n\) un entier non premier. On note \(d\) le plus petit diviseur strict de \(n\) (\(d\neq1\)).
1. Expliquer pourquoi \(d\neq n\).
2. Montrer que \(d\) est premier (raisonnement par l’absurde + Ex. 1).
3. Démontrer que \(d<\sqrt{n}\).
Correction détaillée :
1. Si le seul diviseur strict était \(n\) lui‑même, alors \(n\) n’aurait que \(1\) et \(n\) pour diviseurs ⇒ \(n\) serait premier, contradiction.
2. Supposons \(d\) non premier. Alors il possède un diviseur premier \(d'\) avec \(1
3. Écrivons \(n=dq\). Comme \(d\) est le plus petit diviseur \(>1\), on a \(d\le q\). Supposons \(d\ge\sqrt{n}\). Alors \(q=\dfrac{n}{d}\le\dfrac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\). D’où \(d\le q\le\sqrt{n}\le d\). Cette double inégalité impose \(d=q=\sqrt{n}\) et donc \(n=d^2\). Mais alors \(q=d\) ne serait pas supérieur ou égal à \(d\) mais égal, ce qui contredit l’hypothèse « non premier » (car \(n=d^2\) aurait justement \(d\) comme seul petit diviseur). On conclut par contradiction que \(d<\sqrt{n}\).
Exercice 3 : Crible d’Ératosthène ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Mettre en œuvre pas à pas l’algorithme du crible sur un petit intervalle.
Énoncé :
On veut déterminer tous les nombres premiers strictement inférieurs à \(100\) grâce au crible d’Ératosthène.
1. Téléchargez la grille des entiers de 1 à 100.
2. Rayez tous les multiples de \(2\) puis ceux de \(3\).
3. Expliquer pourquoi il est inutile de rayer les multiples de \(4\).
4. Indiquer le plus petit entier encore non rayé et rayer ses multiples.
5. Répéter jusqu’à \(\sqrt{100}\) et lister les nombres premiers obtenus.
Résolution guidée :
• Après avoir rayé les multiples de \(2\) puis de \(3\), il reste des candidats impairs non multiples de \(3\).
• Les multiples de \(4\) sont déjà éliminés en tant que multiples de \(2\), d’où l’inutilité du passage supplémentaire.
• Le plus petit entier encore visible est \(5\) : on raye alors tous ses multiples \(>5\).
• On continue avec \(7\), puis \(11\). On peut s’arrêter à \(\lfloor\sqrt{100}\rfloor=10\) car, au‑delà, les multiples ont déjà un facteur plus petit.
Liste finale des nombres premiers \(<100\) :
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 – 43 – 47 – 53 – 59 – 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 – 97.
Il y a donc 25 nombres premiers strictement inférieurs à 100.
Exercice 4 : Escaliers et congruences ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Résoudre un problème concret à l’aide d’un système de congruences.
Énoncé :
Un escalier compte entre \(130\) et \(150\) marches. Pris \(3\) par \(3\), l’escalier se termine exactement ; pris \(4\) par \(4\), il reste une marche. Trouver le nombre exact de marches.
Solution pas à pas :
Soit \(m\) le nombre de marches. Les conditions donnent le système
\(\begin{cases}m\equiv0\pmod3\\m\equiv1\pmod4\end{cases}\).
L’ensemble des solutions se trouve en cherchant les entiers \(\equiv1\pmod4\) dans l’intervalle et testant leur divisibilité par \(3\).
Les candidats sont \(133,137,141,145,149\). Parmi eux, seul \(141\) est divisible par \(3\).
Objectif pédagogique : Exploiter la périodicité d’un développement décimal rationnel.
Énoncé :
Déterminer la \(314^{e}\) décimale de la fraction \(\dfrac{253}{7}\).
Démarche succincte :
On écrit \(\dfrac{253}{7}=36+\dfrac{1}{7}=36,142857\,142857\,\ldots\) (période de longueur \(6\)).
Pour trouver la \(314^{e}\) décimale, on calcule \(314\mod6=2\).
La deuxième décimale de la période \(142857\) est \(4\).
Objectif pédagogique : Exploiter une formule à paramètres multiples, convertir les unités et raisonner sur des arrondis par excès.
Énoncé :
Un tonnelier fabrique un foudre dont le volume est modélisé par :
\[V=\pi\,L\left[\frac{d}{2}+\frac{2}{3}\Bigl(\frac{D}{2}-\frac{d}{2}\Bigr)\right]^2\]
où :
– \(L\) est la longueur (en mètres) ; – \(d\) est le petit diamètre (en m) ; – \(D\) est le grand diamètre (en m).
1. Calculer le volume exact puis donner sa valeur approchée à \(0{,}001\,\text{m}^3\) par excès, et en litres à l’unité supérieure, pour :
\(L=1{,}60\,\text{m},\;d=0{,}85\,\text{m},\;D=1{,}34\,\text{m}.\)
2. Un viticulteur embouteille son vin rouge en bouteilles de 75 cL. Combien de bouteilles pleines pourra‑t‑il remplir ?
Correction détaillée :
1. Calcul du volume
On traite d’abord la parenthèse :
\(\dfrac{d}{2}=0{,}425\,\text{m}\) ; \(\dfrac{D}{2}=0{,}67\,\text{m}\) ;
Différence : \(0{,}245\,\text{m}\) → \(\dfrac23\times0{,}245=0{,}163\,\overline{3}\,\text{m}\).
Somme : \(0{,}425+0{,}163\,\overline{3}=0{,}588\,\overline{3}\,\text{m}.\)
Carré : \(0{,}588\,\overline{3}^2\approx0{,}346\,138.\)
Volume exact : \(V=\pi\times1{,}60\times0{,}346\,138\approx1{,}7402\,\text{m}^3.\) Arrondi par excès à \(0{,}001\,\text{m}^3\) : \(V_{\text{exc}}=1{,}741\,\text{m}^3.\)
Conversion : \(1\,\text{m}^3=1000\,\text{L}\) ⇒ \(V_{\text{exc}}=1741\,\text{L}.\)
2. Nombre de bouteilles
Chaque bouteille fait \(75\,\text{cL}=0{,}75\,\text{L}.\)
Nombre maximal (partie entière) : \(\left\lfloor\dfrac{1741}{0{,}75}\right\rfloor=2321\). Le viticulteur pourra donc remplir 2321 bouteilles de 75 cL.
Exercice 2 : Triangle radical ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Appliquer Pythagore avec des longueurs irrationnelles et gérer précision & unités.
Énoncé :
Dans le triangle rectangle \(EDF\) (rectangle en \(F\)), on a :\(ED=5\sqrt{2}\,\text{cm}\) et \(DF=3\sqrt{2}\,\text{cm}.\)
1. Déterminer la valeur exacte de \(EF\).
2. Donner la valeur exacte du périmètre de \(\triangle EDF\), puis son arrondi au millimètre près.
(Le schéma ci‑dessous rappelle la configuration :)
Solution complète :
1. Par Pythagore : \(EF^2=ED^2+DF^2=(5\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2=50+18=68\).
Donc \(EF=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\,\text{cm}.\)
2. Périmètre exact : \(P=ED+DF+EF=5\sqrt2+3\sqrt2+2\sqrt{17}=8\sqrt2+2\sqrt{17}\,\text{cm}.\)
Valeur numérique : \(\sqrt2\approx1{,}4142\) ⇒ \(8\sqrt2\approx11{,}314\,\text{cm}\).
\(\sqrt{17}\approx4{,}1231\) ⇒ \(2\sqrt{17}\approx8{,}246\,\text{cm}\).
Ainsi \(P\approx19{,}560\,\text{cm}\). Arrondi au millimètre : \(19{,}560\,\text{cm}=195{,}60\,\text{mm}\) → \(196\,\text{mm}\) (au mm près).
Exercice 3 : Périmètre et aire d’un rectangle irrationnel ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Réviser la simplification des racines avant calcul géométrique.
Énoncé :
On considère un rectangle de longueur \(\sqrt{75}\,\text{cm}\) et de largeur \(\sqrt{48}\,\text{cm}.\)
1. Déterminer son périmètre exact sous la forme \(a\sqrt{b}\).
2. Calculer son aire exacte sous forme simplifiée.
2. \(\dfrac{4}{26}=\dfrac{2}{13}.\) Donc \(H=\dfrac{11}{13}+\dfrac{2}{13}=1.\)
Le nombre \(1\) appartient simultanément à \(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.\)
Objectif pédagogique : Combiner soustraction de fractions et étude de périodicité décimale.
Énoncé :
Soit \(M=\dfrac{20755}{9488}-\dfrac{3}{8}.\)
1. Écrire \(M\) sous forme d’une fraction irréductible en détaillant les calculs.
2. Le nombre \(M\) est‑il décimal ? Est‑il rationnel ? Justifier.
Solution complète :
1. Mise au même dénominateur :
\(\dfrac{3}{8}=\dfrac{3\times1186}{8\times1186}=\dfrac{3558}{9488}.\)
\(M=\dfrac{20755-3558}{9488}=\dfrac{17197}{9488}.\) Or \(\gcd(17197,9488)=1\), donc la fraction est déjà irréductible.
Une simplification alternative donne \(M=\dfrac{29}{16}\) (en divisant numérateur et dénominateur par 592).
2. Le dénominateur \(16=2^4\) est une puissance de 2, donc \(M\) possède un développement décimal fini : \(M=1,8125\). Il est évidemment rationnel puisque c’est une fraction d’entiers.
Géométrie du Cube & Raisonnements Fondamentaux
Exercice 1 : Diagonale d’une face ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Utiliser le théorème de Pythagore dans le plan pour calculer une diagonale de face.
Énoncé :
On considère le cube \(ABCDEFGH\) d’arête \(4\,\text{cm}\) représenté ci‑dessous.
1. Calculer la valeur exacte de la diagonale \(GD\).
2. Exprimer le résultat sous la forme \(a\sqrt2\) avec \(a\in\mathbb N\).
Correction détaillée :
La diagonale \(GD\) se situe sur la face latérale \(DCGH\). Cette face est un carré de côté \(4\,\text{cm}\).
Par le théorème de Pythagore dans le plan :
\[GD=\sqrt{DC^2+CG^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2 \,\text{cm}.\]
Ainsi, la valeur exacte est \(4\sqrt2\,\text{cm}.\)
Exercice 2 : Triangle spatial BDG ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Combiner distances, périmètre et aire d’un triangle spatial.
Énoncé :
En reprenant le même cube, on s’intéresse au triangle \(BDG\).
1. Calculer la longueur \(BG\).
2. Déterminer le périmètre exact de \(\triangle BDG\).
3. Calculer l’aire exacte de ce triangle, puis donner une valeur arrondie au centième.
Solution pas à pas :
1. Longueur de \(BG\)
Les points \(B\) et \(G\) sont opposés dans le cube (diagonale de l’espace).
\[BG=4\sqrt3\,\text{cm}\] (application de Pythagore dans l’espace).
2. Périmètre du triangle
On a déjà \(BD=4\sqrt2\) (diagonale de face) et \(DG=4\sqrt2\) (Ex. 1).
Périmètre \(P=BG+BD+DG=4\sqrt3+8\sqrt2\,\text{cm}.\)
3. Aire
On utilise la formule de Héron ou, plus élégant, on considère \(BD\) et \(DG\) comme côtés égaux formant un angle droit (le triangle DBG est rectangle en \(D\)).
Aire \(\mathscr A=\dfrac{BD\times DG}{2}=\dfrac{(4\sqrt2)^2}{2}=\dfrac{32}{2}=16\,\text{cm}^2.\)
(Valeur exacte).
En décimal : \(16,00\,\text{cm}^2\) (aucun arrondi nécessaire).
Exercice 3 : Vers l’irrationalité de \(\sqrt2\) ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Initier la preuve par l’absurde.
Énoncé :
Supposons \(\sqrt2=\dfrac{p}{q}\) avec \(p,q\in\mathbb Z, q\neq0\), la fraction étant irréductible.
1. Montrer que \(2q^2=p^2\).
2. En déduire que \(p^2\) est pair et donc \(p\) est pair.
Preuve :
1. On élève l’égalité au carré : \(2=\dfrac{p^2}{q^2}\) ⇒ \(2q^2=p^2\).
2. Le membre de gauche est un multiple de \(2\) ⇒ \(p^2\) est pair, d’où \(p\) est pair (car le carré d’un impair reste impair).
Exercice 4 : Aboutissement de la contradiction ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Boucler la preuve de l’irrationalité par contradiction sur la parité.
Énoncé :
Sachant que \(p\) est pair, écrivons \(p=2p'\).
1. Calculer \(q^2\) dans l’égalité \(2q^2=p^2\) et déduire la parité de \(q\).
2. Conclure sur la possibilité d’avoir une fraction irréductible pour \(\sqrt2\).
Démonstration :
En remplaçant \(p\) par \(2p'\) dans \(2q^2=p^2\) on obtient \(2q^2=4p'^2\) ⇒ \(q^2=2p'^2\).
Cela montre que \(q^2\) est pair, donc \(q\) est aussi pair.
Mais alors \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs ⇒ la fraction \(\dfrac{p}{q}\) n’était pas irréductible. Contradiction. On conclut que \(\sqrt2\) ne peut pas être rationnel.
Exercice 5 : L’argument d’Euclide ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Comprendre la preuve classique de l’infinité des nombres premiers.
Énoncé :
Supposons l’ensemble des nombres premiers fini : \(E=\{2,5,7,\ldots,p\}\). Définissons \(P=2\times5\times7\times\dots\times p+1\).
1. Montrer que \(P\) n’est pas premier.
2. Écrire \(P\) comme produit \(kq\) avec \(q\) premier.
3. Montrer que \(q\notin E\).
4. Conclure sur la cardinalité de l’ensemble des nombres premiers.
Preuve synthétique :
1. \(P>p\) donc il admet au moins un diviseur premier \(q\le P\).
2. Factorisation : \(P=kq\) par le théorème fondamental de l’arithmétique.
3. Si \(q\) appartenait à \(E\), il diviserait le produit \(2\cdot5\cdot7\cdots p\) donc \(P-1\). Mais alors \(q\mid(P-(2\cdot5\cdots p))=1\), impossible. Ainsi \(q\) est un nouveau nombre premier hors de \(E\).
4. On contredit l’hypothèse que \(E\) est fini ; il existe donc une infinité de nombres premiers.
Exercices Bilan : Arithmétique et Ensembles de Nombres
Exercice 1 : Multiples et diviseurs ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé :
Déterminer tous les diviseurs de 72.
Trouver le plus petit multiple commun (PPCM) de 24 et 36.
3. Irrationalité de √6 :
Par l'absurde : si \( \sqrt{6} = \frac{p}{q} \) irréductible ⇒ 6q² = p²
⇒ p² divisible par 6 ⇒ p divisible par 6 ⇒ Contredit l'irréductibilité
4. Entiers n :
Test pour n = 0, ±1, ±2 :
• n=0 : 5 (premier)
• n=±1 : 6 (non premier)
• n=±2 : 9 (non premier)
Pour |n|≥3, n²+5 ≥14 et divisible par 1, lui-même, etc. Solution : n = 0
Éducation
