Objectif pédagogique : Associer une inégalité avec sa représentation graphique et sa notation d'intervalle.
Énoncé :
Représenter sur une droite graduée et décrire à l'aide d'un intervalle :
a) \(0 \leqslant x \leqslant 3\)
b) \(-2 < x < 1\)
c) \(x \leqslant 9\)
d) \(x > -3{,}5\)
a) Intervalle fermé : \([0;3]\) (bornes incluses)
b) Intervalle ouvert : \((-2;1)\) (bornes exclues)
c) Intervalle semi-ouvert à gauche : \((-\infty;9]\)
d) Intervalle semi-ouvert à droite : \((-3{,}5; +\infty[\)
Explications :
• Les crochets [ ] indiquent que la borne est incluse
• Les parenthèses ( ) indiquent que la borne est exclue
• \(-\infty\) et \(+\infty\) sont toujours exclus (d'où les parenthèses)
Les représentations graphiques montrent :
a) \(]1;6]\) : ouvert à gauche (cercle vide en 1), fermé à droite (cercle plein en 6)
b) \([-0{,}5;3{,}2]\) : fermé des deux côtés (cercles pleins)
c) \(]-\infty;2]\) : flèche vers la gauche (infini négatif), fermé à droite
d) \([0;+\infty[\) : fermé à gauche, flèche vers la droite (infini positif)
Énoncé : Déterminer \(I \cap J\) et \(I \cup J\) pour :
a) \([20; 25[\) et \([14; 21[\)
b) \(]-\infty; 7{,}5]\) et \([10; 22]\)
c) \(]-1; +\infty[\) et \(]-\infty; 1[\)
d) \(]0; 1]\) et \([0{,}5; 0{,}7]\)
Cas
Intersection \(I \cap J\)
Réunion \(I \cup J\)
a)
\([20; 21[\)
\([14; 25[\)
b)
\(\emptyset\) (disjoints)
\(]-\infty; 22]\)
c)
\(]-1; 1[\)
\(\mathbb{R}\) (tous réels)
d)
\([0{,}5; 0{,}7]\)
\(]0; 1]\)
Méthode :
1. Pour l'intersection : prendre les valeurs communes aux deux intervalles
2. Pour la réunion : prendre toutes les valeurs couvertes par au moins un intervalle
a) \([1{,}7; 3{,}5]\) (partie commune aux deux intervalles)
b) \(]-\infty; \pi[\) car \([-3\pi; \pi[\) contient déjà \(]-\infty; -\pi]\)
c) \(\{2\}\) (singleton, seul élément commun)
d) Ne peut pas être simplifié (union de deux intervalles disjoints)
Remarque : La simplification n'est possible que lorsqu'un intervalle est entièrement contenu dans l'autre ou lorsqu'il y a une intersection non vide.
Illustration visuelle des intervalles :
Encadrements & Résolution d'Inéquations
Exercice 1 : Encadrement d'expressions ★ ☆ ☆ ☆ ☆
Énoncé : Soit \( x \in [2;4] \). Encadrer :
a) \( x - 10 \)
b) \( 1{,}5x \)
c) \( x + 15 \)
d) \( -4x \)
a) \( x - 10 \) Méthode : La soustraction conserve l'ordre des inégalités.
On soustrait 10 aux trois membres :
\( 2 - 10 \leqslant x - 10 \leqslant 4 - 10 \) ➔ \( -8 \leqslant x - 10 \leqslant -6 \)
b) \( 1{,}5x \) Méthode : La multiplication par un positif conserve l'ordre.
On multiplie par 1,5 :
\( 2 \times 1{,}5 \leqslant 1{,}5x \leqslant 4 \times 1{,}5 \) ➔ \( 3 \leqslant 1{,}5x \leqslant 6 \)
c) \( x + 15 \) Astuce : L'addition est la transformation la plus simple.
\( 2 + 15 \leqslant x + 15 \leqslant 4 + 15 \) ➔ \( 17 \leqslant x + 15 \leqslant 19 \)
d) \( -4x \) Attention : La multiplication par un négatif inverse l'ordre !
On multiplie par -4 (donc on inverse ⩽ et ⩾) :
\( 2 \times (-4) \geqslant -4x \geqslant 4 \times (-4) \) ➔ \( -8 \geqslant -4x \geqslant -16 \)
On réécrit proprement : \( -16 \leqslant -4x \leqslant -8 \)
Étape 2 : Analyse du signe
• Si \( x - 4 > 0 \) (c'est-à-dire \( x > 4 \)) : \( 5 + 2x > x + 9 \)
• Si \( x - 4 = 0 \) (c'est-à-dire \( x = 4 \)) : \( 5 + 2x = x + 9 \)
• Si \( x - 4 < 0 \) (c'est-à-dire \( x < 4 \)) : \( 5 + 2x < x + 9 \)
Conclusion :
Pour x ∈ ]-∞; 4[, 5 + 2x < x + 9
Pour x = 4, égalité
Pour x ∈ ]4; +∞[, 5 + 2x > x + 9
Exercice 2 : Comparaison avec fraction ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé : Comparer \( 9 + \frac{1}{2}x \) et 1 pour tout nombre réel x.
Méthode : On résout \( 9 + \frac{1}{2}x ⋚ 1\)
Étape 1 : Isoler le terme en x
\( \frac{1}{2}x \leqslant 1 - 9 \)
\( \frac{1}{2}x \leqslant -8 \)
Étape 2 : Résolution
On multiplie par 2 (positif → conserve l'ordre) :
\( x \leqslant -16 \)
Conclusion :
• Si \(x ≤ -16 : 9 + \frac{1}{2} x ≤ 1\)
• Si \(x > -16 : 9 + \frac{1}{2} x > 1\)
Exercice 3 : Modélisation géométrique ★ ★ ★ ☆ ☆
Énoncé : Yanis veut délimiter une parcelle rectangulaire où la longueur est 5m plus grande que la largeur, avec un maximum de 120m de bordures. Trouver les largeurs possibles.
Étape 1 : Modélisation
• Soit L = largeur (en mètres)
• Longueur = L + 5
• Périmètre = 2×(largeur + longueur) ≤ 120
\( 2(L + (L + 5)) \leqslant 120 \)
Énoncé : Déterminer l'ensemble (sous forme d'intervalle) des réels x vérifiant :
a) \( |x - 10| \leqslant 1 \)
b) \( |x - 2{,}5| \leqslant 0{,}2 \)
c) \( \left|x - \frac{1}{2}\right| \leqslant \frac{5}{2} \)
Correction détaillée :
a) Analysons \( |x - 10| \leqslant 1 \) :
La valeur absolue représente la distance entre x et 10 sur la droite numérique. L'inégalité nous dit que cette distance doit être inférieure ou égale à 1. Traduction mathématique :
Cela équivaut à dire que x se situe entre \( 10 - 1 \) et \( 10 + 1 \), c'est-à-dire :
\( -1 \leqslant x - 10 \leqslant 1 \)
En ajoutant 10 à tous les membres :
\( 9 \leqslant x \leqslant 11 \) Solution : L'ensemble solution est l'intervalle fermé \([9;11]\).
b) Pour \( |x - 2{,}5| \leqslant 0{,}2 \) :
Ici, x doit être à moins de 0,2 unités de 2,5. Démarche :
Cela se traduit par : \( -0{,}2 \leqslant x - 2{,}5 \leqslant 0{,}2 \)
En résolvant : \( 2{,}3 \leqslant x \leqslant 2{,}7 \) Solution : L'intervalle précis est \([2{,}3;2{,}7]\). Remarque : On observe que l'intervalle est symétrique autour de 2,5.
c) Considérons \( \left|x - \frac{1}{2}\right| \leqslant \frac{5}{2} \) :
La distance entre x et 0,5 ne doit pas dépasser 2,5. Résolution étape par étape :
1. \( -\frac{5}{2} \leqslant x - \frac{1}{2} \leqslant \frac{5}{2} \)
2. On ajoute 1/2 partout :
\( -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \)
3. Simplification : \( -2 \leqslant x \leqslant 3 \) Solution finale : \([-2;3]\)
Méthode générale :
Pour \( |x - a| \leqslant b \) (avec b > 0) :
• L'intervalle solution est toujours \([a - b; a + b]\)
• a est le centre de l'intervalle
• b est le rayon (demi-longueur de l'intervalle)
Énoncé : Écrire une inégalité vérifiée par x utilisant une valeur absolue :
a) \( x ∈ [-4; 5] \)
b) \( x ∈ [0; 1{,}1] \)
c) \( x ∈ \left[\frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right] \)
Correction pédagogique :
Rappel important :
Tout intervalle [a;b] peut s'exprimer sous forme de valeur absolue :
\( |x - c| \leqslant r \) où :
• c = centre = \( \frac{a + b}{2} \)
• r = rayon = \( \frac{b - a}{2} \)
a) Intervalle [-4;5] : Étape 1 : Calcul du centre
\( c = \frac{-4 + 5}{2} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \) Étape 2 : Calcul du rayon
\( r = \frac{5 - (-4)}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \) Étape 3 : Formulation
L'inégalité devient : \( |x - 0{,}5| \leqslant 4{,}5 \) Vérification :
Si on développe, on retrouve bien \( -4 \leqslant x \leqslant 5 \).
Conseil pratique :
Pour vérifier votre résultat, choisissez une valeur aux bornes de l'intervalle et testez-la dans votre inégalité avec valeur absolue.
Énoncé : Démontrer que \( \sqrt{a^2} = |a| \) en distinguant a > 0 et a < 0.
Démonstration complète :
Comprendre l'énoncé :
Nous devons prouver que la racine carrée du carré d'un nombre est égale à sa valeur absolue. Cette propriété est fondamentale en mathématiques.
1er cas : a est positif (a ≥ 0)
• Si a ≥ 0, alors |a| = a (définition de la valeur absolue)
• Calculons \( \sqrt{a^2} \) :
- Le carré d'un nombre est toujours positif
- La racine carrée d'un nombre positif est sa valeur positive
- Donc \( \sqrt{a^2} = a \)
• Conclusion : \( \sqrt{a^2} = |a| \) car les deux valent a
2ème cas : a est négatif (a < 0)
• Si a < 0, alors |a| = -a (car la valeur absolue rend positif)
• Calculons \( \sqrt{a^2} \) :
- Exemple : si a = -3, a² = 9 et \( \sqrt{9} = 3 = -(-3) \)
- En général : \( \sqrt{a^2} = -a \) (résultat positif)
• Conclusion : \( \sqrt{a^2} = |a| \) car les deux valent -a
Synthèse :
Nous avons couvert tous les cas possibles (a positif et a négatif). Dans les deux situations, l'égalité est vérifiée. Ainsi, pour tout réel a :
\( \sqrt{a^2} = |a| \)
Application visuelle :
Considérons a = 2 et a = -2 :
• \( \sqrt{2^2} = \sqrt{4} = 2 = |2| \)
• \( \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 = |-2| \)
Les deux exemples confirment notre démonstration générale.
Exercice 4 : Équation linéaire à deux inconnues ★ ★ ★ ☆ ☆
1. Vérification pour (1;-1) :
Remplaçons x par 1 et y par -1 dans l'équation :
\( 4(1) - 2(-1) = 4 + 2 = 6 \)
Le résultat correspond au second membre (6), donc (1;-1) est bien solution.
3. Trouver y pour (4;y) solution : Méthode : Substituer x = 4 dans l'équation et résoudre pour y :
\( 4(4) - 2y = 6 \)
\( 16 - 2y = 6 \)
\( -2y = -10 \)
\( y = 5 \) Solution : Le couple solution est (4;5)
4. Expression de y en fonction de x : Résolution pas à pas :
1. Équation de départ : \( 4x - 2y = 6 \)
2. Isolons le terme en y : \( -2y = 6 - 4x \)
3. Multiplions par -1 : \( 2y = 4x - 6 \)
4. Divisons par 2 : \( y = 2x - 3 \) Formule finale : \( y = 2x - 3 \) Vérification : Si x=1, y=-1 (retrouve bien notre première solution)
Exercice 5 : Inéquations linéaires ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé : On considère les inéquations \( 4x + 6 \geqslant 0 \) et \( -2x + 11 \geqslant 0 \).
(-1,5) est-il solution des deux inéquations ?
Proposer un autre nombre solution commun
Résoudre ces inéquations
Trouver un nombre solution de la première mais pas de la seconde
Correction détaillée :
1. Test pour x = -1,5 : Première inéquation :
\( 4(-1,5) + 6 = -6 + 6 = 0 \geqslant 0 \) → Vrai Deuxième inéquation :
\( -2(-1,5) + 11 = 3 + 11 = 14 \geqslant 0 \) → Vrai Conclusion : -1,5 est solution des deux inéquations.
2. Autre solution commune :
Choisissons x = 0 (toujours un bon test) :
\( 0 + 6 \geqslant 0 \) → Vrai
\( 0 + 11 \geqslant 0 \) → Vrai Solution valide : 0 est également solution des deux.
4. Solution partielle :
Cherchons x solution de la première mais pas de la seconde :
• Doit vérifier \( x \geqslant -1{,}5 \) ET \( x > 5{,}5 \)
• Par exemple x = 6 :
- Première : \( 24 + 6 = 30 \geqslant 0 \) → Vrai
- Seconde : \( -12 + 11 = -1 \ngeqslant 0 \) → Faux Réponse : 6 convient parfaitement.
Énoncé : On considère l'expression \( A = |x - 2{,}5| \).
Que vaut A si on remplace x :
a) par \( 5 \) ?
b) par \( -7 \) ?
A-t-on \( |x - 2{,}5| = x + 2{,}5 \) pour tout réel \( x \) ? Justifier.
Compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule la distance entre \( x \) et \( 2{,}5 \)
x = float(input("Saisir x:"))
if x >= ... :
distance = ...
else:
distance = ...
print(distance)
Correction détaillée :
1. Calcul de \( A \) : a) Pour \( x = 5 \) :
\( A = |5 - 2{,}5| = |2{,}5| = 2{,}5 \) Interprétation : 5 est à 2,5 unités de 2,5 sur la droite numérique.
b) Pour \( x = -7 \) :
\( A = |-7 - 2{,}5| = |-9{,}5| = 9{,}5 \) Interprétation : -7 est à 9,5 unités de 2,5 (dans l'autre direction).
2. Analyse de l'égalité :
L'égalité \( |x - 2{,}5| = x + 2{,}5 \) n'est pas toujours vraie. Preuve par l'absurde :
• Test avec \( x = 0 \) : \( |0-2{,}5| = 2{,}5 \neq 0+2{,}5 = 2{,}5 \) → Égalité vérifiée
• Test avec \( x = -1 \) : \( |-1-2{,}5| = 3{,}5 \neq -1+2{,}5 = 1{,}5 \) → Égalité fausse Conclusion : L'égalité n'est vraie que lorsque \( x \geq 2{,}5 \).
3. Algorithme complété :
x = float(input("Saisir x:"))
if x >= 2.5:
distance = x - 2.5
else:
distance = 2.5 - x
print(distance)
Explications :
• Si \( x \geq 2{,}5 \), la distance est \( x - 2{,}5 \)
• Sinon, c'est \( 2{,}5 - x \) (pour obtenir un résultat positif)
• La fonction abs() pourrait aussi être utilisée directement
On considère l'algorithme incomplet pour résoudre \( ax + b < c \) :
Saisir a
Saisir b
Saisir c
solut ⟵ (c-b)/a
Si a < 0
Afficher "S=]solut;+infini["
sinon
Afficher ...
Fin si
a) Exécuter avec \( a = -5 \), \( b = 9 \), \( c = 104 \)
b) Compléter l'algorithme
Écrire un algorithme pour \( ax + b < cx + d \)
Correction guidée :
1. a) Exécution avec \( a=-5 \), \( b=9 \), \( c=104 \) :
• \( \text{solut} = \frac{104-9}{-5} = \frac{95}{-5} = -19 \)
• Comme \( a < 0 \), l'algorithme affiche "S=]-19;+infini[" Vérification : \( -5x + 9 < 104 \Leftrightarrow -5x < 95 \Leftrightarrow x > -19 \) (on inverse car \( a<0 \))
1. b) Algorithme complété :
Saisir a
Saisir b
Saisir c
solut ← (c-b)/a
Si a < 0
Afficher "S=]" + solut + ";+infini["
sinon
Afficher "S=]-infini;" + solut + "["
Fin si
Explications :
• Quand \( a > 0 \), le sens de l'inégalité reste < donc solution à gauche
• Formatage de chaîne pour une sortie lisible
2. Algorithme pour \( ax + b < cx + d \) :
Saisir a, b, c, d
Si a == c
Si b < d
Afficher "S=ℝ"
Sinon
Afficher "S=∅"
Fin si
Sinon
coeff ← a - c
solut ← (d - b)/coeff
Si coeff < 0
Afficher "S=]" + solut + ";+infini["
Sinon
Afficher "S=]-infini;" + solut + "["
Fin si
Fin si
Cas particuliers :
• Si \( a = c \) : comparaison des termes constants
• Sinon : résolution normale avec gestion du signe
Exercice 3 : Somme d'inégalités ★ ★ ☆ ☆ ☆
Énoncé : Démontrer que si \( a < b \) et \( c < d \) alors \( a + c < b + d \).
Comparer \( a + c \) et \( b + c \)
Comparer \( b + c \) et \( b + d \)
Conclusion
Démonstration rigoureuse :
1. Comparaison \( a + c \) et \( b + c \) :
On sait que \( a < b \) (hypothèse de départ).
En ajoutant \( c \) aux deux membres (l'addition conserve l'ordre) :
\( a + c < b + c \)
2. Comparaison \( b + c \) et \( b + d \) :
On sait que \( c < d \) (seconde hypothèse).
En ajoutant \( b \) aux deux membres :
\( b + c < b + d \)
3. Conclusion par transitivité :
Nous avons :
\( a + c < b + c < b + d \)
Par transitivité de l'inégalité (\( < \) est transitive) :
\( \mathbf{a + c < b + d} \)
Énoncé : Pour \( a,b,c,d \) réels strictement positifs avec \( a < b \) et \( c < d \) :
Comparer \( ac \) et \( bc \)
Comparer \( bc \) et \( bd \)
Conclusion et propriété
Cette propriété est-elle toujours vraie ?
Correction méthodique :
1. Comparaison \( ac \) et \( bc \) :
On a \( a < b \) et \( c > 0 \) (strictement positif).
En multipliant par \( c > 0 \) (conservation de l'inégalité) :
\( ac < bc \)
2. Comparaison \( bc \) et \( bd \) :
On a \( c < d \) et \( b > 0 \).
En multipliant par \( b > 0 \) :
\( bc < bd \)
3. Conclusion :
Par transitivité :
\( ac < bc < bd \Rightarrow \mathbf{ac < bd} \)
Propriété énoncée :
Pour \( a,b,c,d > 0 \) :
Si \( a < b \) et \( c < d \) alors \( ac < bd \) En clair : On peut multiplier membre à membre des inégalités entre nombres strictement positifs.
4. Contre-exemple général :
Non, la propriété n'est pas toujours vraie si les nombres ne sont pas positifs. Exemple : \( a=-2 \), \( b=-1 \), \( c=-3 \), \( d=-2 \)
On a bien \( a < b \) et \( c < d \) mais \( ac=6 > bd=2 \) Conclusion : La positivité est essentielle pour cette propriété.
3. Solution du système :
Intersection des deux solutions : \( ]24; 29{,}08] \) Vérification graphique :
\( x \) doit être strictement supérieur à 24 et inférieur ou égal à 29,08.
4. Entiers naturels pairs :
Les entiers pairs dans \( ]24; 29{,}08] \) sont :
\( 26, 28 \)
(24 est exclu car \( x \) doit être \( >24 \), 30 est \( >29{,}08 \))
Démontrer que si deux réels ont même carré, alors ils sont égaux ou opposés
Démontrer que deux réels positifs sont égaux ssi leurs carrés sont égaux
Démonstrations complètes :
1. Même carré ⇒ égaux ou opposés :
Soit \( a, b \in \mathbb{R} \) tels que \( a^2 = b^2 \).
On a : \( a^2 - b^2 = 0 \) ⇒ \( (a - b)(a + b) = 0 \)
Donc soit \( a - b = 0 \) ⇒ \( a = b \)
Soit \( a + b = 0 \) ⇒ \( a = -b \) Conclusion : \( a = b \) ou \( a = -b \)
2. Équivalence pour réels positifs : Sens direct : Si \( a = b \) alors clairement \( a^2 = b^2 \) Réciproque : Si \( a^2 = b^2 \) avec \( a, b \geq 0 \)
D'après 1), on a \( a = b \) ou \( a = -b \)
Mais \( a, b \geq 0 \), donc \( a = -b \) impliquerait \( a = b = 0 \)
Dans tous les cas, \( a = b \) Conclusion : Pour \( a, b \geq 0 \), \( a = b \Leftrightarrow a^2 = b^2 \)
Problèmes contextuels et Fonctions
Exercice 1 : Croissance d'entreprise ★ ★ ☆ ☆ ☆
Contexte : La startup TechGrowth a vu ses effectifs passer de 150 à 216 employés en deux ans avec un taux de croissance annuel constant.
Calculer le pourcentage global d'augmentation sur les deux ans.
En déduire le taux de croissance annuel moyen t% (arrondi à 0,1%).
Si ce taux se maintient, combien d'employés comptera l'entreprise dans 5 ans?
Après combien d'années l'effectif dépassera-t-il 300 employés?
2. Taux annuel t :
On résout \( 150 \times (1 + \frac{t}{100})^2 = 216 \)
\( (1 + \frac{t}{100})^2 = 1,44 \)
\( 1 + \frac{t}{100} = 1,2 \) (car t > 0)
\( t = 20\% \)
3. Projection à 5 ans :
\( 150 \times 1,2^5 \approx 150 \times 2,488 = 373 \) employés
4. Seuil des 300 employés :
On résout \( 150 \times 1,2^n > 300 \)
\( 1,2^n > 2 \)
\( n > \frac{\ln(2)}{\ln(1,2)} \approx 3,8 \) ans
Donc après 4 ans.
Exercice 2 : Optimisation de production ★ ★ ☆ ☆ ☆
Contexte : Une usine modélise son coût de production journalier (en milliers d'euros) par \( C(x) = 3(x - 3)^2 + 5 \) où x est la quantité produite (en tonnes).
Vérifier que \( C(x) = 3x^2 - 18x + 32 \).
Calculer le coût pour :
a) 2 tonnes produites
b) Aucune production (x=0)
Déterminer la quantité minimale à produire pour que le coût ne dépasse pas 10 000€.
Calculer le coût pour une production de \( 3 + \sqrt{5} \) tonnes.
3. Signe :
Sur [0;4], \( (x - 2)^2 \geq 0 \) et \( x + 1 > 0 \) → Déformation toujours positive
4. Tension max :
D'après l'étude, la poutre résiste jusqu'à 4kN sans rupture critique.
Applications mathématiques concrètes
Exercice 1 : Géométrie pratique ★ ☆ ☆ ☆ ☆
Contexte : Un ingénieur doit concevoir des plaques circulaires pour un projet industriel. L'aire 𝒮 d'un disque de rayon r est donnée par \( \mathcal{S} = \pi r^2 \).
Exprimer le rayon r en fonction de l'aire 𝒮.
Calculer le rayon nécessaire pour une plaque de 25 cm² de surface.
Si on double l'aire, comment évolue le rayon?
Correction détaillée :
1. Expression du rayon :
\( \mathcal{S} = \pi r^2 \) ⇒ \( r^2 = \frac{\mathcal{S}}{\pi} \) ⇒ \( r = \sqrt{\frac{\mathcal{S}}{\pi}} \) Remarque : On ne conserve que la solution positive car un rayon est toujours positif.
2. Application numérique :
Pour \( \mathcal{S} = 25 \) cm² :
\( r = \sqrt{\frac{25}{\pi}} = \frac{5}{\sqrt{\pi}} \) cm (forme exacte)
Valeur approchée : \( r \approx 2,82 \) cm (soit 28,2 mm)
3. Évolution du rayon :
Si \( \mathcal{S}' = 2\mathcal{S} \), alors \( r' = \sqrt{2} \times r \) ≈ 1,414 × r Conclusion : Le rayon est multiplié par √2 quand l'aire double.
Exercice 2 : Optimisation d'emballage ★ ★ ☆ ☆ ☆
Contexte : Une entreprise fabrique des boîtes rectangulaires de longueur L, largeur ℓ et hauteur h. Le volume est noté 𝒱 et l'aire totale 𝒜.
Exprimer h en fonction des autres dimensions et du volume 𝒱.
Exprimer h en fonction des autres dimensions et de l'aire 𝒜.
Application : Pour L = 10 cm, ℓ = 5 cm et 𝒱 = 200 cm³, calculer h.
Correction détaillée :
1. Volume :
\( \mathcal{V} = L \times \ell \times h \) ⇒ \( h = \frac{\mathcal{V}}{L \times \ell} \)
2. Aire totale :
\( \mathcal{A} = 2(L\ell + Lh + \ell h) \)
En résolvant pour h : \( h = \frac{\mathcal{A} - 2L\ell}{2(L + \ell)} \)
Éducation
