📢 Définition : Une fonction \( f \) associe à chaque élément \( x \) d'un ensemble de départ (ensemble de définition \( D_f \)) exactement un élément \( y \) d'un ensemble d'arrivée.
Vocabulaire essentiel :
Image : \( y = f(x) \) est l'image de \( x \) par \( f \)
Antécédent : \( x \) est un antécédent de \( y \) par \( f \)
Ensemble de définition : \( D_f \) contient tous les \( x \) pour lesquels \( f(x) \) existe
Ensemble image : Toutes les valeurs \( f(x) \) possibles
💡 Point clé : À chaque \( x \) correspond exactement une image \( f(x) \), mais plusieurs \( x \) peuvent avoir la même image.
2. Courbe représentative
Définition : La courbe \( C_f \) d'une fonction \( f \) est l'ensemble des points \( M(x; f(x)) \) dans un repère orthonormé.
📖 Lecture d'une image :
On part de \( x \) sur l'axe des abscisses
On trace une verticale jusqu'à \( C_f \)
On trace une horizontale jusqu'à l'axe des ordonnées
On lit \( f(x) \) sur l'ordonnée
📖 Lecture d'un antécédent :
On part de \( y \) sur l'axe des ordonnées
On trace une horizontale jusqu'à \( C_f \)
On trace une verticale jusqu'à l'axe des abscisses
Le tableau de variations résume le comportement d'une fonction :
x
-∞
a
b
+∞
f(x)
M
m
💡 Lecture du tableau :
f est croissante sur ]-∞; a[
f admet un maximum M en x = a
f est décroissante sur ]a; b[
f admet un minimum m en x = b
7. Résolution graphique d'équations et d'inéquations
🎯 Résoudre f(x) = k :
Tracer la droite y = k
Chercher les intersections avec Cf
Lire les abscisses des points d'intersection
🎯 Résoudre f(x) > k :
Tracer la droite y = k
Chercher où Cf est au-dessus de la droite
Lire les intervalles correspondants
⚠️ Pièges fréquents à éviter :
Image vs Antécédent : Bien distinguer "f(3) = 5" (3 a pour image 5) et "f(x) = 3" (chercher les antécédents de 3)
Ensemble de définition : Toujours vérifier que les valeurs sont dans Df avant de calculer
Parité : Vérifier d'abord que Df est symétrique par rapport à 0
Lecture graphique : Bien partir du bon axe selon ce qu'on cherche
Variations : Ne pas confondre croissance locale et globale
Inéquations : Attention au sens des inégalités avec les intervalles
✅ Méthodes de travail :
Pour étudier une fonction : 1) Déterminer Df, 2) Étudier la parité, 3) Étudier les variations, 4) Tracer la courbe
Pour résoudre graphiquement : Toujours faire un schéma clair avec les éléments importants
Pour les calculs algébriques : Vérifier la cohérence avec le graphique
Généralités sur les fonctions
Exercice 1: Lecture graphique ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Savoir lire et interpréter une courbe représentative.
Énoncé :
Soit la courbe représentative d'une fonction \( f \) :
1. Déterminer \( f(0) \), \( f(2) \) et \( f(-1) \)
2. Quelles sont les solutions de \( f(x) = 1 \) ?
3. Quel est le signe de \( f(x) \) sur \([-2; 3]\) ?
Correction :
Question 1 :
• \( f(0) = 2 \) (la courbe passe par le point (0;2))
• \( f(2) ≈ 0 \) (intersection avec l'axe des abscisses)
• \( f(-1) ≈ 3 \) (valeur estimée sur le graphique)
Question 2 :
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection avec la droite \( y = 1 \).
Graphiquement : \( x ≈ -1,5 \) et \( x ≈ 0,5 \)
Question 3 :
• Positive sur \([-2; 0[\) et \(]2; 3]\)
• Nulle en \( x = 0 \) et \( x = 2 \)
• Négative sur \(]0; 2[\)
Exercice 2: Parité des fonctions ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Reconnaître et utiliser les fonctions paires et impaires.
Énoncé :
Étudier la parité des fonctions suivantes :
1. \( f(x) = x^4 - 3x^2 \)
2. \( g(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \)
3. \( h(x) = x^3 + 2x - 1 \)
4. Que peut-on dire de la symétrie de leurs courbes représentatives ?
Correction :
Question 1 :
\( f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2 = f(x) \) ⇒ fonction paire
Question 3 :
\( h(-x) = (-x)^3 + 2(-x) - 1 = -x^3 - 2x - 1 \)
Ni égal à \( h(x) \) ni à \( -h(x) \) ⇒ ni paire ni impaire
Question 4 :
• Fonction paire : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
• Fonction impaire : symétrie centrale par rapport à l'origine
Exercice 3: Fonctions de référence ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Maîtriser les propriétés des fonctions de référence.
Énoncé :
Pour chaque fonction, donner son ensemble de définition, ses variations et sa parité :
1. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
2. \( g(x) = \sqrt{x} \)
3. \( h(x) = x^3 \)
4. \( k(x) = |x| \)
Correction :
Question 1 :
• \( \mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* \) (définie partout sauf en 0)
• Décroissante sur \(]-\infty; 0[\) et \(]0; +\infty[\)
• Fonction impaire
Question 2 :
• \( \mathcal{D}_g = [0; +\infty[ \)
• Croissante sur son domaine
• Ni paire ni impaire
Question 3 :
• \( \mathcal{D}_h = \mathbb{R} \)
• Croissante sur \( \mathbb{R} \)
• Fonction impaire
Question 4 :
• \( \mathcal{D}_k = \mathbb{R} \)
• Décroissante sur \(]-\infty; 0]\), croissante sur \([0; +\infty[\)
• Fonction paire
Exercice 4: Modélisation physique ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Modéliser une situation concrète par une fonction.
Énoncé :
La hauteur \( h \) (en m) d'un projectile en fonction du temps \( t \) (en s) est donnée par :
\( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \) pour \( t \in [0; 4,1] \)
1. Calculer \( h(0) \) et interpréter
2. Déterminer le temps pour atteindre la hauteur maximale
3. Quelle est la hauteur maximale atteinte ?
4. Tracer l'allure de la courbe représentative
Correction :
Question 1 :
\( h(0) = 1 \) ⇒ Le projectile est lancé depuis une hauteur initiale de 1 m
Question 2 :
La fonction est quadratique, le maximum est atteint en \( t = -\frac{b}{2a} = \frac{20}{10} = 2 \) s
Question 4 :
Allure de la courbe : parabole tournée vers le bas, atteignant son maximum en (2;21), passant par (0;1) et (4,1;0)
Exercice 5: Analyse complète ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Synthétiser les connaissances sur les fonctions.
Énoncé :
Soit \( f \) définie par \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x} \).
1. Déterminer son ensemble de définition
2. Étudier sa parité
3. Simplifier l'expression de \( f(x) \)
4. Tracer son tableau de variations
5. Tracer l'allure de sa courbe représentative
Éducation
