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📔 Identités remarquables, calculs algébriques et équations

Exploration des identités remarquables, calculs algébriques et équations.

1. Calcul algébrique et identités remarquables

📢 Les 3 identités fondamentales :

a² ab ab b² a + b a + b (a + b)² = a² + 2ab + b² a² -ab -ab b² a - b a - b (a - b)² = a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a² - b²
Les 3 identités clés :
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b)(a - b) = a² - b² (Différence de carrés)
🔍 Application pratique : Développer (2x + 3)²
(2x + 3)² = (2x)² + 2 × (2x) × 3 + 3²
           = 4x² + 12x + 9
2. Factorisation et méthodes
Expression développée étape 1 Recherche du facteur commun étape 2 Forme factorisée 6x² + 9x = 3x(2x + 3) facteur commun: 3x
🎯 Techniques de factorisation :
1. Facteur commun : ax + ay = a(x + y)
2. Groupement : ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)
3. Identités remarquables : Reconnaître a² - b² ou a² ± 2ab + b²
📝 Exemple détaillé :
Factoriser : 9x² - 16
• Reconnaître : 9x² - 16 = (3x)² - 4²
• Appliquer a² - b² = (a - b)(a + b)
• Résultat : (3x - 4)(3x + 4)
💡 Astuce : Toujours vérifier en développant le résultat !
3. Résolution d'équations
3x + 6 = 18 Étape 1 : Soustraire 6 des deux côtés 3x = 12 Étape 2 : Diviser par 3 x = 4
🔧 Méthodologie par type d'équation :
1. Équations du 1er degré : Isoler la variable
5x - 7 = 3x + 1
5x - 3x = 1 + 7
2x = 8
x = 4
2. Équations produits : Si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0
(2x - 6)(x + 5) = 0
Donc : 2x - 6 = 0 ou x + 5 = 0
x = 3 ou x = -5
3. Équations du 2nd degré : x² = a ⇒ x = ±√a
x² = 25
x = 5 ou x = -5
4. Techniques avancées et compléments
🔄 Double distributivité :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
ac ad bc bd
Exemple : (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
🚀 Identités avancées :
Somme/Différence de cubes :
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Exemple : 8x³ - 1 = (2x)³ - 1³ = (2x - 1)(4x² + 2x + 1)
⚠️ Erreurs fréquentes à éviter :
× (a + b)² ≠ a² + b² (oubli du terme 2ab)
× √(a² + b²) ≠ a + b (confusion avec les identités)
× Division par zéro dans les équations
× (a - b)² ≠ a² - b² (oubli du terme -2ab)
✓ Vérification : Toujours substituer la solution trouvée dans l'équation originale !
🎯 Conseil de mémorisation :
Pour retenir les identités, visualisez les aires des carrés et rectangles !
Le carré de côté (a + b) contient un carré a², un carré b², et deux rectangles ab.
Identités remarquables, calculs algébriques et équations
Exercice 1: Développement avec identités remarquables ★ ★ ☆ ☆ ☆

Objectif pédagogique : Maîtriser les trois identités remarquables.

Énoncé :
Développer en utilisant les identités remarquables :
1. \( (x + 3)^2 \)
2. \( (2x - 5)^2 \)
3. \( (x + 4)(x - 4) \)

Correction :

Question 1 :
\( (x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \)
Formule utilisée : \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Question 2 :
\( (2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25 \)
Formule utilisée : \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Question 3 :
\( (x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16 \)
Formule utilisée : \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)

Exercice 2: Factorisation ★ ★ ★ ☆ ☆

Objectif pédagogique : Factoriser en utilisant les identités remarquables.

Énoncé :
Factoriser les expressions suivantes :
1. \( x^2 + 10x + 25 \)
2. \( 9x^2 - 12x + 4 \)
3. \( 16 - (x + 1)^2 \)

Correction :

Question 1 :
\( x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \)
Reconnaissance : \( a^2 + 2ab + b^2 \) avec \( a = x \) et \( b = 5 \)

Question 2 :
\( 9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2 \)
Reconnaissance : \( (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 \)

Question 3 :
\( 16 - (x + 1)^2 = [4 + (x + 1)][4 - (x + 1)] = (x + 5)(3 - x) \)
Formule utilisée : Différence de deux carrés \( a^2 - b^2 \)

Exercice 3: Résolution d'équations ★ ★ ★ ★ ☆

Objectif pédagogique : Résoudre des équations du second degré.

Énoncé :
Résoudre les équations suivantes :
1. \( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
2. \( 4x^2 - 9 = 0 \)
3. \( (x - 2)^2 = 3x^2 + 4 \)

Correction :

Question 1 :
\( x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 \) ⇒ \( x = 3 \) (racine double)

Question 2 :
\( 4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3) = 0 \) ⇒ \( x = \frac{3}{2} \) ou \( x = -\frac{3}{2} \)

Question 3 :
Développement : \( x^2 - 4x + 4 = 3x^2 + 4 \) ⇒ \( -2x^2 - 4x = 0 \) ⇒ \( -2x(x + 2) = 0 \)
Solutions : \( x = 0 \) ou \( x = -2 \)

Exercice 4: Problème géométrique ★ ★ ★ ★ ★

Objectif pédagogique : Appliquer le calcul algébrique à un problème concret.

Énoncé :
Un carré a son côté augmenté de 3 cm. Son aire augmente alors de 51 cm².
1. Mettre en équation ce problème
2. Trouver la longueur du côté initial
3. Vérifier la solution

Correction :

Question 1 :
Soit \( x \) le côté initial (en cm).
Nouvelle aire : \( (x + 3)^2 \)
Équation : \( (x + 3)^2 - x^2 = 51 \)

Question 2 :
Développement : \( x^2 + 6x + 9 - x^2 = 51 \) ⇒ \( 6x + 9 = 51 \) ⇒ \( 6x = 42 \) ⇒ \( x = 7 \) cm

Question 3 :
Vérification : \( (7 + 3)^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51 \) cm² ✓

Exercice 5: Problème économique ★ ★ ★ ★ ★

Objectif pédagogique : Modéliser une situation économique.

Énoncé :
Une entreprise vend des produits à 20€ pièce. Le coût total de production est \( C(x) = x^2 + 10x + 100 \) où \( x \) est le nombre de produits.
1. Exprimer le bénéfice \( B(x) \)
2. Pour quelles quantités l'entreprise est-elle rentable ?
3. Quel est le bénéfice maximal possible ?

Correction :

Question 1 :
\( B(x) = 20x - (x^2 + 10x + 100) = -x^2 + 10x - 100 \)

Question 2 :
Résoudre \( -x^2 + 10x - 100 > 0 \) ⇒ \( x^2 - 10x + 100 < 0 \)
Discriminant : \( Δ = (-10)^2 - 4 \times 1 \times 100 = -300 < 0 \) ⇒ Pas de solution réelle.
Conclusion : L'entreprise n'est jamais rentable avec ce modèle.

Question 3 :
Le bénéfice maximal est atteint en \( x = -\frac{b}{2a} = 5 \) unités.
\( B(5) = -25 + 50 - 100 = -75 \)€ (perte minimale)

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