• \(|x| \geq 0\) et \(|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
• \(|x \times y| = |x| \times |y|\)
• Inégalité triangulaire : \(|x + y| \leq |x| + |y|\)

Objectif pédagogique : Maîtriser les notations d'intervalles et leur représentation graphique.

Énoncé :
1. Représenter sur une droite graduée et décrire à l'aide d'un intervalle l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que : \(0 \leqslant x \leqslant 3\)
2. Donner l'intervalle correspondant à la représentation suivante :

Objectif pédagogique : Effectuer des opérations sur les intervalles.

Énoncé :
Soient \(A = ]-∞; 4[\) et \(B = [1; 5]\).
1. Déterminer \(A \cap B\) et le représenter.
2. Déterminer \(A \cup B\) et le représenter.
3. Déterminer \(A \setminus B\) (différence de A par B)

Objectif pédagogique : Traduire des inégalités en intervalles et inversement.

Énoncé :
1. Donner l'intervalle correspondant à : \(x < -1\) ou \(x \geq 2\)
2. Donner les inégalités correspondant à l'intervalle \(]-3; 0]\)
3. Résoudre et représenter : \(2 \leqslant x + 1 < 5\)

Objectif pédagogique : Utiliser les intervalles pour décrire des contraintes physiques.

Énoncé :
La tension \(U\) (en volts) d'un circuit électrique doit satisfaire : \(220 \pm 10\%\)
1. Traduire cette condition sous forme d'inégalité
2. Donner l'intervalle correspondant
3. Représenter graphiquement cet intervalle

Objectif pédagogique : Appliquer les intervalles à des problèmes de gestion.

Énoncé :
Un magasin propose une réduction selon le montant \(x\) (en €) des achats :
- 5% si \(50 \leqslant x < 100\)
- 10% si \(100 \leqslant x < 200\)
- 15% si \(x \geqslant 200\)
1. Donner les intervalles correspondant à chaque taux
2. Représenter graphiquement ces intervalles sur une même droite
3. Un client achète pour 150€. Quel taux s'applique ?

Objectif pédagogique : Comprendre les propriétés des inégalités.

Énoncé :
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres tels que \(2 \leq a \leq 5\) et \(-1 \leq b \leq 3\).
1. Donner un encadrement de \(a + b\)
2. Que devient cet encadrement si on ajoute 3 à \(a\) ?
3. Peut-on encadrer \(a - b\) ? Si oui, le faire.

Objectif pédagogique : Résoudre des inéquations du premier degré.

Énoncé :
Résoudre et représenter les solutions sur une droite graduée :
1. \(3x - 5 \leq x + 3\)
2. \(2(1 - x) > 4\)
3. \(\frac{x + 1}{2} \geq \frac{2x - 3}{4}\)

Objectif pédagogique : Modéliser un problème géométrique par une inéquation.

Énoncé :
Un rectangle a une longueur \(L = x + 3\) et une largeur \(l = x - 1\) (en cm).
1. Exprimer son périmètre \(P\) en fonction de \(x\)
2. Pour quelles valeurs de \(x\) l'aire est-elle strictement inférieure à 15 cm² ?
3. La largeur doit être positive. Quelle condition cela impose-t-il sur \(x\) ?

Objectif pédagogique : Utiliser les inéquations pour résoudre un problème économique.

Énoncé :
Une entreprise produit des objets à un coût unitaire de 5€. Chaque objet est vendu 12€.
Les coûts fixes s'élèvent à 1500€.
1. Exprimer le bénéfice \(B\) en fonction du nombre \(x\) d'objets vendus
2. À partir de combien d'objets vendus l'entreprise est-elle rentable ?
3. L'entreprise a une capacité maximale de 300 objets. Quel est son bénéfice maximal ?

Objectif pédagogique : Combiner plusieurs compétences sur les inégalités.

Énoncé :
On considère les inéquations :
(I) \( \frac{2x - 1}{3} \leq x + 2 \)
(II) \( 3 - x \geq 0 \)
1. Résoudre (I) et (II) séparément
2. Représenter les solutions sur une même droite graduée
3. Déterminer les solutions satisfaisant simultanément (I) et (II)

Objectif pédagogique : Maîtriser le calcul de valeurs absolues.

Énoncé :
Calculer :
1. \( |5| \) et \( |-3| \)
2. \( |\sqrt{2} - 2| \)
3. \( |π - 3| \) (sachant que π ≈ 3,14)

Objectif pédagogique : Lier valeur absolue et distance sur la droite numérique.

Énoncé :
1. Donner la distance entre -2 et 3 en utilisant la valeur absolue
2. Trouver tous les réels \( x \) tels que \( |x - 1| = 4 \)
3. Représenter graphiquement \( |x + 2| ≤ 3 \)

Objectif pédagogique : Explorer le lien entre valeur absolue et racine carrée.

Énoncé :
1. Calculer \( \sqrt{(-3)^2} \) et \( (\sqrt{3})^2 \)
2. Comparer \( \sqrt{x^2} \) et \( |x| \) pour \( x ∈ \mathbb{R} \)
3. Simplifier \( \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} \)

Objectif pédagogique : Utiliser la valeur absolue pour modéliser une situation physique.

Énoncé :
La température \( T \) d'un réfrigérateur doit être maintenue à \( 4°C \pm 2°C \).
1. Exprimer cette condition avec une valeur absolue
2. Donner l'intervalle de température acceptable
3. Le réfrigérateur affiche \( 6,5°C \). Est-ce acceptable ?

Objectif pédagogique : Résoudre des problèmes combinant plusieurs concepts.

Énoncé :
1. Résoudre \( |2x - 1| = |x + 3| \)
2. Montrer que \( \sqrt{x^2 + 2x + 1} = |x + 1| \)
3. Application : Un capteur de mouvement détecte les objets à moins de 2 mètres. Modéliser avec une valeur absolue si le capteur est en position \( x = 1 \).