📢 Définition :
Un nombre b est un diviseur de a (ou a est un multiple de b) s'il existe un entier k tel que :
\[
a = k \times b
\]
Nombres premiers : Entiers naturels ≥ 2 ayant exactement deux diviseurs.
Propriété clé : Tout entier ≥ 2 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.
Objectif pédagogique : Appliquer les notions dans un problème concret.
Énoncé :
Un jardinier veut planter des rosiers en rangées régulières.
Il a entre 110 et 130 rosiers. En les comptant par 2, 3 ou 5, il en reste toujours 1.
Combien a-t-il de rosiers ?
Solution :
Soit N le nombre de rosiers :
• N-1 est divisible par 2, 3 et 5 ⇒ N-1 multiple de PPCM(2,3,5)=30
• Entre 110 et 130 : 120 et 150 sont multiples de 30
• Donc N-1=120 ⇒ N=121 Vérification : 121÷2=60r1, 121÷3=40r1, 121÷5=24r1
Exercice 5: Cryptographie basique ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Découvrir une application des nombres premiers.
Énoncé :
Le chiffrement RSA utilise des nombres premiers p et q.
Si p=13 et q=17 :
1. Calculer n = p×q
2. Calculer φ(n) = (p-1)(q-1)
Question 3 :
7,2×10⁴ = 72 000 (décalage de 4 rangs vers la droite)
Exercice 5: Problème contextuel ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Appliquer les puissances à une situation concrète.
Énoncé :
Une bactérie se divise en deux toutes les heures.
1. Combien y aura-t-il de bactéries après 6 heures à partir d'une seule bactérie ?
2. En combien de temps aura-t-on au moins 1024 bactéries ?
Question 1 :
Nombre de bactéries = 2⁶ = 64 bactéries
Question 2 :
2ⁿ = 1024 ⇒ 2ⁿ = 2¹⁰ ⇒ n = 10 heures Méthode : On reconnaît que 1024 est une puissance de 2
Racines carrées
Exercice 1: Calculs de base ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Calculer des racines carrées simples.
Question 1 :
\(\sqrt{25} = 5\) car \(5^2 = 25\). La racine carrée de 25 est le nombre positif qui, élevé au carré, donne 25.
Question 2 :
\(\sqrt{0} = 0\) car \(0^2 = 0\). Zéro est le seul nombre dont la racine carrée est lui-même.
Question 3 :
\(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\) car \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\). La racine carrée d'une fraction est la fraction des racines carrées.
Exercice 2: Simplification ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Simplifier des expressions contenant des racines carrées.
Question 1 :
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\). On a décomposé 50 en 25×2 pour faire apparaître un carré parfait.
Question 2 :
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). Ici, 36 est le plus grand carré parfait divisant 72.
Question 3 :
\(2\sqrt{12} + 3\sqrt{27} = 2\sqrt{4 \times 3} + 3\sqrt{9 \times 3} = 2 \times 2\sqrt{3} + 3 \times 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 13\sqrt{3}\). On simplifie chaque terme avant de les combiner.
Exercice 3: Équations avec racines ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Résoudre des équations simples contenant des racines carrées.
Question 1 :
\(\sqrt{x} = 5\) ⇒ on élève au carré les deux membres : \(x = 5^2 = 25\). La solution est \(x = 25\).
Question 2 :
\(2\sqrt{x} - 3 = 7\) ⇒ on isole la racine : \(2\sqrt{x} = 10\) ⇒ \(\sqrt{x} = 5\) ⇒ \(x = 25\). La solution est \(x = 25\).
Question 3 :
\(\sqrt{x + 4} = 3\) ⇒ on élève au carré : \(x + 4 = 9\) ⇒ \(x = 5\). On vérifie que \(5 + 4 = 9\) ≥ 0, donc la solution est valide.
Exercice 4: Application géométrique ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Utiliser les racines carrées dans un contexte géométrique.
Énoncé :
Un carré a une aire de 98 cm².
1. Quelle est la longueur de son côté ?
2. Quelle est la longueur exacte de sa diagonale ? Rappel : La diagonale d'un carré de côté \(c\) vaut \(c\sqrt{2}\)
Question 1 :
Soit \(c\) la longueur du côté. L'aire du carré est \(c^2 = 98\).
Donc \(c = \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}\) cm.
La longueur exacte du côté est \(7\sqrt{2}\) cm.
Question 2 :
La diagonale \(d\) vaut \(d = c\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 7 \times 2 = 14\) cm.
On remarque que le résultat est un nombre entier malgré la présence de racines carrées dans le calcul.
Exercice 5: Application physique ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Appliquer les racines carrées à un problème de physique.
Énoncé :
La période \(T\) (en secondes) d'un pendule simple est donnée par :
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]
où \(L\) est la longueur du pendule (en m) et \(g = 9,8\) m/s².
1. Calculer \(T\) pour \(L = 4,9\) m
2. Déterminer \(L\) pour que \(T = 2\) s
Question 1 :
On remplace les valeurs dans la formule :
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{4,9}{9,8}} = 2\pi\sqrt{0,5} = 2\pi \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2} \text{ s} \]
La période est donc \(\pi\sqrt{2}\) secondes (environ 4,44 s).
Question 2 :
On part de \(2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}\). On simplifie par 2 :
\[ 1 = \pi\sqrt{\frac{L}{9,8}} \]
On isole la racine : \(\sqrt{\frac{L}{9,8}} = \frac{1}{\pi}\)
On élève au carré : \(\frac{L}{9,8} = \frac{1}{\pi^2}\)
Finalement : \(L = \frac{9,8}{\pi^2} \approx 0,993\) m
La longueur nécessaire est d'environ 99,3 cm pour une période de 2 secondes.
Ensembles de nombres
Exercice 1: Classement simple ★ ★ ☆ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Reconnaître les différents ensembles de nombres.
Énoncé :
Pour chaque nombre, indiquez à quel(s) ensemble(s) \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) ou \(\mathbb{R}\) il appartient :
1. \(5\)
2. \(-3\)
3. \(\frac{2}{3}\)
4. \(0,25\)
Question 1 :
\(5\) appartient à \(\mathbb{N}\) (entier naturel), \(\mathbb{Z}\) (entier relatif), \(\mathbb{D}\) (décimal), \(\mathbb{Q}\) (rationnel) et \(\mathbb{R}\) (réel).
Question 2 :
\(-3\) appartient à \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\) mais pas à \(\mathbb{N}\) car négatif.
Question 3 :
\(\frac{2}{3}\) appartient à \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\) mais pas aux autres car ce n'est pas un nombre décimal (son écriture décimale est infinie périodique).
Question 4 :
\(0,25\) appartient à \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\) car c'est un décimal (peut s'écrire \(\frac{1}{4}\)).
Exercice 2: Appartenance et inclusion ★ ★ ★ ☆ ☆
Objectif pédagogique : Comprendre les relations entre ensembles.
Énoncé :
1. Compléter : \(\mathbb{N}\) ... \(\mathbb{Z}\) ... \(\mathbb{D}\) ... \(\mathbb{Q}\) ... \(\mathbb{R}\)
2. Donner un exemple de nombre réel n'appartenant pas à \(\mathbb{Q}\)
3. Vrai ou faux : Tous les entiers relatifs sont des décimaux
Question 1 :
La chaîne d'inclusions est : \(\mathbb{N}\) ⊂ \(\mathbb{Z}\) ⊂ \(\mathbb{D}\) ⊂ \(\mathbb{Q}\) ⊂ \(\mathbb{R}\). Explication : Les entiers naturels sont inclus dans les relatifs, eux-mêmes inclus dans les décimaux, etc.
Question 2 :
\(\sqrt{2}\) ou \(\pi\) sont des réels non rationnels (irrationnels). Justification : On ne peut pas les écrire sous forme de fraction de deux entiers.
Question 3 :
Vrai. Tout entier relatif \(a\) peut s'écrire \(a = \frac{a}{1}\) (rationnel) et aussi \(a,0\) (décimal).
Exercice 3: Encadrements et densité ★ ★ ★ ★ ☆
Objectif pédagogique : Utiliser la densité des rationnels et réels.
Énoncé :
1. Trouver 3 rationnels strictement compris entre \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{2}\)
2. Montrer qu'il existe une infinité de décimaux entre \(2,45\) et \(2,46\)
3. Pourquoi dit-on que \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) ?
Question 1 :
On peut trouver par exemple :
- \(\frac{5}{12}\) (car \(\frac{1}{3} ≈ 0,333 < 0,416 < 0,5\))
- \(\frac{7}{15}\) ≈ 0,466...
- \(\frac{9}{20}\) = 0,45 Méthode : On peut faire la moyenne des deux nombres : \(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{12}\)
Question 2 :
Entre \(2,45\) et \(2,46\) il y a par exemple : \(2,451\); \(2,452\); ...; \(2,459\) et aussi \(2,4511\); \(2,4512\) etc. Explication : On peut toujours ajouter un chiffre décimal supplémentaire.
Question 3 :
\(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) car entre deux réels quelconques, aussi proches soient-ils, on peut toujours trouver un rationnel. Cela découle de la propriété démontrée à la question 1.
Exercice 4: Problème historique ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Relier les ensembles à leur découverte historique.
Énoncé :
Les pythagoriciens croyaient que tout nombre était rationnel. La diagonale d'un carré de côté 1 mesure \(\sqrt{2}\).
1. Montrer que \(\sqrt{2}\) ne peut pas s'écrire \(\frac{p}{q}\) avec \(p,q\) entiers
2. Pourquoi cette découverte a-t-elle bouleversé les mathématiques grecques ?
Indice : Supposer \(\sqrt{2}\) rationnel et aboutir à une contradiction.
Question 1 :
Par l'absurde, supposons \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) (fraction irréductible).
Alors \(2 = \frac{p^2}{q^2}\) ⇒ \(p^2 = 2q^2\) ⇒ \(p^2\) pair ⇒ \(p\) pair.
Soit \(p = 2k\) : \(4k^2 = 2q^2\) ⇒ \(q^2 = 2k^2\) ⇒ \(q\) pair aussi.
Contradiction car \(\frac{p}{q}\) serait réductible. Donc \(\sqrt{2}\) ∉ \(\mathbb{Q}\).
Question 2 :
Cette découverte a montré que les nombres irrationnels existent, invalidant la théorie pythagoricienne. Elle a conduit à développer une théorie plus complète des nombres réels.
Exercice 5: Application économique ★ ★ ★ ★ ★
Objectif pédagogique : Appliquer les ensembles à des situations concrètes.
Énoncé :
Dans un pays, les prix avant taxe sont des décimaux (multiples de 0,01). La TVA est de 20%.
1. Un article coûte 12,99€ HT. Calculer son prix TTC.
2. Le prix TTC est-il toujours décimal ? Justifier.
3. Comment choisir les prix HT pour que les prix TTC soient décimaux ?
Question 1 :
Prix TTC = \(12,99 \times 1,20 = 15,588\)€. En pratique, on arrondit à 15,59€.
Question 2 :
Non, car \(1,2 = \frac{6}{5}\). Seuls les prix HT multiples de 5 centimes (0,05€) donneront des TTC décimaux exacts. Exemple : \(1,25 \times 1,2 = 1,50\) (décimal) mais \(1,26 \times 1,2 = 1,512\) (non décimal).
Question 3 :
Il faut que le prix HT soit un multiple de 0,05€ (5 centimes), car \(1,2 \times 0,05 = 0,06\) conserve le caractère décimal.
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