1. Moyenne et indicateurs de position
📊 Moyenne arithmétique : Indicateur de tendance centrale qui représente la valeur "typique" d'une série
\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\)
où \(n\) est le nombre de valeurs
✓ Avantages :
- Utilise toutes les valeurs de la série
- Facilite les calculs statistiques
- Permet les comparaisons entre séries
⚠ Limites :
- Très sensible aux valeurs extrêmes
- Peut ne pas représenter la réalité
📍 Médiane : Valeur qui sépare la série ordonnée en deux parties égales
50% des valeurs ≤ Médiane ≤ 50% des valeurs
Calcul de la médiane :
- 1️⃣ Si \(n\) est impair : Médiane = valeur du milieu après tri
- 2️⃣ Si \(n\) est pair : Médiane = moyenne des deux valeurs centrales
2. Dispersion des données
📏 Écart-type (\(\sigma\)) : Mesure la dispersion des données autour de la moyenne
\(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\)
Plus \(\sigma\) est grand, plus les données sont dispersées
🔍 Règle empirique (loi normale) :
- ≈ 68% des données dans \([\bar{x} - \sigma ; \bar{x} + \sigma]\)
- ≈ 95% des données dans \([\bar{x} - 2\sigma ; \bar{x} + 2\sigma]\)
- ≈ 99.7% des données dans \([\bar{x} - 3\sigma ; \bar{x} + 3\sigma]\)
📊 Variance : Carré de l'écart-type
\(\text{Var}(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\)
La variance s'exprime dans l'unité au carré des données originales,
contrairement à l'écart-type qui conserve l'unité d'origine.
3. Quartiles et boîte à moustaches
📋 Les quartiles : Divisent les données ordonnées en 4 parties égales
- \(Q_1\) (1er quartile) : 25% des données ≤ \(Q_1\)
- \(Q_2\) (médiane) : 50% des données ≤ \(Q_2\)
- \(Q_3\) (3e quartile) : 75% des données ≤ \(Q_3\)
Écart interquartile (EI) :
\(\text{EI} = Q_3 - Q_1\)
Contient 50% des données centrales
🎯 Utilités de la boîte à moustaches :
- Détection des valeurs aberrantes : En dehors de \([Q_1 - 1,5\times\text{EI} ; Q_3 + 1,5\times\text{EI}]\)
- Comparaison de plusieurs séries sur un même graphique
- Analyse de la symétrie : Position de la médiane dans la boîte
- Vue d'ensemble rapide de la distribution
4. Méthodologie d'analyse statistique
🔄 Démarche complète d'analyse :
1️⃣ Collecte et tri
- Ordonner les données (croissant)
- Vérifier la cohérence
- Identifier les valeurs manquantes
2️⃣ Calculs de base
- Moyenne, médiane, mode
- Quartiles (\(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\))
- Minimum, maximum
3️⃣ Dispersion
- Écart-type (\(\sigma\)) et variance (\(\sigma^2\))
- Écart interquartile (EI)
- Étendue (\(\text{Max} - \text{Min}\))
4️⃣ Représentation
- Histogramme
- Boîte à moustaches
- Diagramme en bâtons
5️⃣ Interprétation
- Analyse des résultats
- Comparaisons
- Conclusions
5. Comparaison et interprétation des indicateurs
📊 Distribution symétrique :
Caractéristiques :
- Moyenne ≈ Médiane
- Répartition équilibrée
- Écart-type modéré
- \(Q_2\) au centre de la boîte
📈 Distribution asymétrique :
Caractéristiques :
- Moyenne ≠ Médiane
- Queue étalée d'un côté
- Écart-type plus élevé
- Présence de valeurs extrêmes
⚠️ Pièges fréquents à éviter :
❌ Erreurs de calcul :
- Confondre moyenne et médiane
- Oublier de trier avant les quartiles
- Mauvais calcul de l'écart-type (\(\sigma\))
- Erreur dans la formule de variance (\(\sigma^2\))
❌ Erreurs d'interprétation :
- Interpréter \(\sigma\) sans contexte
- Ignorer les valeurs aberrantes
- Utiliser la moyenne sur données asymétriques
- Comparer des écarts-types d'unités différentes
❌ Erreurs de représentation :
- Mauvaise échelle sur les graphiques
- Boîte à moustaches mal construite
- Confusion entre histogramme et diagramme
❌ Erreurs méthodologiques :
- Données non représentatives
- Taille d'échantillon insuffisante
- Généralisation abusive
6. Exercices types et applications
🎯 Exemple concret d'analyse complète :
📊 Données : Notes d'une classe en mathématiques
8, 10, 12, 12, 14, 15, 16, 16, 18, 20
📈 Calculs :
- Moyenne : \(\bar{x} = \frac{141}{10} = 14,1\)
- Médiane : \(\frac{14+15}{2} = 14,5\)
- \(Q_1\) : 12 | \(Q_3\) : 16
- EI : \(16-12 = 4\)
- \(\sigma\) : ≈ 3,2
🔍 Analyse :
- Distribution quasi-symétrique
- Moyenne ≈ Médiane
- Pas de valeurs aberrantes
- Écart-type modéré
- Résultats homogènes
💡 Conseils pratiques :
🎯 Choix des indicateurs :
- Distribution symétrique : Moyenne + Écart-type
- Distribution asymétrique : Médiane + Quartiles
- Avec valeurs aberrantes : Médiane + EI
📊 Représentation graphique :
- Données quantitatives : Histogramme
- Comparaison de séries : Boîtes à moustaches
- Évolution temporelle : Courbe
🔍 Analyse critique :
- Toujours contextualiser les résultats
- Vérifier la cohérence des calculs
- Questionner la représentativité
✅ Synthèse - Points clés à retenir :
🎯 Indicateurs de position :
• Moyenne : sensible aux extrêmes
• Médiane : résistante aux extrêmes
• Quartiles : divisions en quarts
📏 Indicateurs de dispersion :
• Écart-type (\(\sigma\)) : dispersion autour de \(\bar{x}\)
• EI : dispersion des 50% centraux
• Variance (\(\sigma^2\)) : carré de l'écart-type
📊 Méthode d'analyse :
1. Trier et nettoyer les données
2. Calculer les indicateurs
3. Représenter graphiquement
4. Interpréter dans le contexte
🔍 Vigilance :
• Vérifier les calculs
• Détecter les valeurs aberrantes
• Adapter l'analyse au contexte
1. Moyenne et indicateurs de position
📢 Moyenne arithmétique : Indicateur de tendance centrale
\[
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
\]
Avantage : Tient compte de toutes les valeurs
Limite : Sensible aux valeurs extrêmes
2. Dispersion des données
Écart-type (σ) : Mesure la dispersion autour de la moyenne
\[
\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}
\]
Interprétation :
- σ faible → Données regroupées autour de la moyenne
- σ élevé → Données très dispersées
- Environ 68% des données dans [\(\bar{x}\)-σ; \(\bar{x}\)+σ] (si distribution normale)
3. Quartiles et boîte à moustaches
Quartiles : Divisent les données ordonnées en 4 parties égales
- Q1 : 25% des données ≤ Q1
- Q2 = Médiane : 50% des données
- Q3 : 75% des données ≤ Q3
\[
\text{Écart interquartile} = Q3 - Q1
\]
Utilité :
- Repérer les valeurs atypiques (en dehors de [Q1-1,5×EI; Q3+1,5×EI])
- Comparer des distributions
- Analyser la symétrie des données
4. Méthodes d'analyse
Processus complet :
- Ordonner les données
- Calculer les indicateurs de position (moyenne, médiane)
- Calculer les indicateurs de dispersion (écart-type, EI)
- Représenter graphiquement (histogramme, boîte à moustaches)
- Interpréter et comparer
5. Comparaison des indicateurs
Cas symétrique :
Écart-type modéré
Cas asymétrique :
Écart-type élevé
⚠️ Pièges fréquents :
- Confondre moyenne et médiane
- Oublier d'ordonner les données avant de calculer les quartiles
- Interpréter un écart-type sans référence
- Négliger les valeurs aberrantes dans l'analyse
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