📢 Définition : Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :

• 1️⃣ Une direction (ligne droite support)
• 2️⃣ Un sens (orientation sur la droite)
• 3️⃣ Une norme (longueur ou intensité)

Notation : \(\overrightarrow{AB}\) ou \(\vec{u}\)

Vecteur nul : \(\vec{0}\) (norme nulle, pas de direction ni de sens défini)

Propriétés importantes :

• \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\)
• \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\)
• \(k(l\vec{u}) = (kl)\vec{u}\)
• \((k + l)\vec{u} = k\vec{u} + l\vec{u}\)

Base et repère : Un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) est défini par :

• 1️⃣ Une origine O (point de référence)
• 2️⃣ Deux vecteurs non colinéaires \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) (vecteurs de base)

Coordonnées d'un vecteur : \[ \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x\vec{i} + y\vec{j} \]

Exemple : Si \(\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\), alors \(\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j}\)

Colinéarité : Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe \(k \in \mathbb{R}\) tel que : \[ \vec{v} = k \cdot \vec{u} \text{ ou } \vec{u} = k \cdot \vec{v} \] Colinéaires Non colinéaires Critère de colinéarité par les coordonnées : Si \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\), alors : \[ \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \Leftrightarrow xy' - x'y = 0 \]

Note : Cette expression s'appelle le déterminant des deux vecteurs.

Applications géométriques importantes :

• Alignement de points : A, B, C alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires
• Parallélisme de droites : (AB) ∥ (CD) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) colinéaires
• Point milieu : M milieu de [AB] ⇔ \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ⇔ \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\)

Calculs avec les coordonnées :

⚠️ Erreurs fréquentes à éviter :

• 1️⃣ Confondre vecteurs et coordonnées (un vecteur n'est pas réduit à ses coordonnées)
• 2️⃣ Oublier que \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (attention au sens !)
• 3️⃣ Mal appliquer la règle du parallélogramme (bien placer les vecteurs)
• 4️⃣ Négliger le cas particulier du vecteur nul dans les démonstrations
• 5️⃣ Confondre "parallèles" et "colinéaires" (les droites sont parallèles, les vecteurs sont colinéaires)
• 6️⃣ Erreur de calcul dans le déterminant : c'est \(xy' - x'y\), pas \(xx' - yy'\)

Objectif pédagogique : Maîtriser les translations et les opérations fondamentales sur les vecteurs.

Énoncé :
Soient les points \( A(1;2) \), \( B(3;5) \) et \( C(-1;1) \).
1. Déterminer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \)
2. Construire le point \( D \) tel que \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \)
3. Calculer \( 2\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \)
4. Quelle est la nature du quadrilatère \( ABDC \) ?

Objectif pédagogique : Utiliser les coordonnées dans un repère et vérifier la colinéarité.

Énoncé :
Dans un repère orthonormé, on donne :
\( \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \), \( \vec{v} \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} \), \( \vec{w} \begin{pmatrix} 3 \\ k \end{pmatrix} \)
1. Montrer que \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires
2. Déterminer \( k \) pour que \( \vec{u} \) et \( \vec{w} \) soient colinéaires
3. Les vecteurs \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) et \( \vec{w} \) peuvent-ils former une base du plan ?

Objectif pédagogique : Combiner plusieurs notions dans un problème complexe.

Énoncé :
Soit \( ABC \) un triangle et \( I \) le milieu de \( [BC] \).
1. Exprimer \( \overrightarrow{AI} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \)
2. Soit \( J \) le point tel que \( \overrightarrow{AJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI} \). Montrer que \( J \) est le centre de gravité
3. Déterminer les coordonnées de \( J \) dans le repère \( (A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \)
4. Que représente \( \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} + \overrightarrow{JC} \) ?

Objectif pédagogique : Résoudre un problème de construction géométrique.

Énoncé :
On considère un parallélogramme \( ABCD \) et les points \( I \), \( J \) définis par :
\( \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \)
1. Exprimer \( \overrightarrow{IJ} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AD} \)
2. Montrer que \( I \), \( J \) et \( D \) sont alignés
3. Quelle fraction de l'aire de \( ABCD \) représente l'aire de \( AIJ \) ?

Objectif pédagogique : Appliquer les vecteurs à un problème de forces.

Énoncé :
Un objet est soumis à trois forces :
\( \vec{F_1} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} N \), \( \vec{F_2} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} N \), \( \vec{F_3} \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix} N \)
1. Calculer la résultante \( \vec{R} \) des forces
2. Déterminer \( k \) pour que \( \vec{R} \) soit verticale
3. Trouver \( k \) pour que les forces soient équilibrées
4. Interpréter géométriquement