Utiliser le calcul littéral pour résoudre ou démontrer
1. Développement et factorisation
Développement : Transformation d'un produit en somme algébrique. Exemple fondamental :
\[ a(b + c) = ab + ac \]
➔ Application : \( 3(x + 2) = 3x + 6 \)
Factorisation : Transformation inverse qui met en évidence un facteur commun. Méthode : Identifier le facteur présent dans tous les termes. Exemple :
\[ x^2 + 5x = x(x + 5) \]
Astuce : Le facteur commun est souvent visible dans le premier terme.
2. Identités remarquables
Formules clés à mémoriser :
Carré d'une somme :
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Application : \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)
Carré d'une différence :
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Application : \( (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \)
Produit de somme et différence :
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Application : \( (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16 \)
Attention aux erreurs fréquentes :
• \( (a + b)^2 \neq a^2 + b^2 \) (oubli du double produit)
• \( (a - b)^2 \neq a^2 - b^2 \)
3. Équations du premier degré
Méthode de résolution :
Isoler les termes contenant l'inconnue
Simplifier chaque membre
Diviser par le coefficient
Exemple détaillé :
\[ \begin{align*}
2x + 3 &= 7 \\
2x &= 7 - 3 \quad \text{(soustraction de 3)} \\
2x &= 4 \\
x &= \frac{4}{2} \quad \text{(division par 2)} \\
x &= 2
\end{align*} \]
Cas particuliers :
Équation sans solution : \( 3x + 2 = 3x - 5 \)
Équation toujours vraie : \( 4(x + 1) = 4x + 4 \)
4. Inéquations du premier degré
Règles essentielles :
On peut ajouter/soustraire un même nombre aux deux membres
On peut multiplier/diviser par un nombre positif sans changer le sens
Si on multiplie/divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité
Exemple 1 :
\[ \begin{align*}
3x - 5 &< 1 \\
3x &< 6 \\
x &< 2
\end{align*} \]
Exemple 2 (avec coefficient négatif) :
\[ \begin{align*}
-2x &\geq 8 \\
x &\leq -4 \quad \text{(division par -2 → inversion)}
\end{align*} \]
5. Mise en pratique : problèmes du premier degré
Méthodologie :
Identifier l'inconnue et la nommer (généralement \( x \))
Traduire l'énoncé en équation
Résoudre l'équation
Vérifier la solution dans le contexte du problème
Problème concret : Énoncé : Des amis donnent 14€ chacun pour un cadeau. Six amis supplémentaires se joignent au groupe, et la contribution passe alors à 10€ par personne. Combien y avait-il d'amis initialement ?
Solution :
Soit \( x \) le nombre initial d'amis.
Montant total constant : \( 14x = 10(x + 6) \)
\[ \begin{align*}
14x &= 10x + 60 \\
4x &= 60 \\
x &= 15
\end{align*} \]
Vérification : \( 15 \times 14 = 210 \) et \( 21 \times 10 = 210 \) ✓
6. Synthèse et applications
Points clés à retenir :
• Le développement et la factorisation sont des transformations inverses
• Les identités remarquables permettent des calculs rapides
• La résolution d'équations/inéquations suit une méthode systématique
• Les problèmes concrets se modélisent avec des équations
Pour aller plus loin :
Équations produits : \( (x + 2)(3x - 1) = 0 \)
Équations avec dénominateurs
Applications géométriques (calculs de périmètres, aires)
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Développez l'expression \( 3(x + 4) \).
Pour développer l'expression \( 3(x + 4) \), nous allons utiliser la distributivité. Cela signifie que nous allons multiplier chaque terme à l'intérieur des parenthèses par 3.
Ainsi, nous avons :
• \( 3 \times x = 3x \)
• \( 3 \times 4 = 12 \)
En additionnant ces deux résultats, nous obtenons :
\( 3(x + 4) = 3x + 12 \).
Cette technique est essentielle pour simplifier les expressions algébriques.
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Factorisez l'expression \( 6x + 12 \).
Pour factoriser l'expression \( 6x + 12 \), nous cherchons un facteur commun à chaque terme. Ici, le nombre 6 est le facteur commun.
Nous pouvons écrire :
\( 6x + 12 = 6(x) + 6(2) = 6(x + 2) \).
La factorisation permet de simplifier les calculs et de rendre les expressions plus faciles à manipuler dans les équations.
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Développez l'expression \( (x + 3)(x + 2) \).
Pour développer le produit \( (x + 3)(x + 2) \), nous appliquons la méthode de développement des binômes. Cela implique de multiplier chaque terme du premier binôme par chaque terme du second binôme.
Voici les étapes :
1. \( x \times x = x^2 \)
2. \( x \times 2 = 2x \)
3. \( 3 \times x = 3x \)
4. \( 3 \times 2 = 6 \)
En combinant tous ces résultats, nous avons :
\( x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6 \).
Le développement permet d'exprimer un produit sous forme de somme, ce qui est souvent utile pour résoudre des équations.
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Factorisez l'expression \( x^2 + 5x + 6 \).
Pour factoriser l'expression \( x^2 + 5x + 6 \), nous devons trouver deux nombres qui se multiplient pour donner 6 et s'additionnent pour donner 5. Ces nombres sont 2 et 3.
Nous écrivons alors :
\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \).
La factorisation est une technique essentielle qui simplifie les expressions et facilite la résolution d'équations en les ramenant à des produits de facteurs.
Solution :
Nous utilisons l'identité :
\[
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
\]
Ici, \( a = x \) et \( b = 4 \).
En appliquant la formule, nous avons :
\[
(x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16
\]
Ainsi, \( (x - 4)(x + 4) = x^2 - 16 \).
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Développez l'expression \( (3x + 2)(3x - 2) \) en utilisant une identité remarquable.
Solution :
Nous utilisons l'identité :
\[
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
\]
Ici, \( a = 3x \) et \( b = 2 \).
En appliquant la formule, nous avons :
\[
(3x + 2)(3x - 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4
\]
Ainsi, \( (3x + 2)(3x - 2) = 9x^2 - 4 \).
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ☆
Factorisez l'expression \( x^2 - 25 \) en utilisant une identité remarquable.
Solution :
Nous reconnaissons que \( x^2 - 25 \) est de la forme \( a^2 - b^2 \), où \( a = x \) et \( b = 5 \).
En utilisant l'identité :
\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]
Nous avons :
\[
x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)
\]
Ainsi, \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \).
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Résoudre l'équation \( 2x + 3 = 11 \).
Solution :
Pour résoudre l'équation \( 2x + 3 = 11 \), suivez ces étapes :
1. Soustrayez 3 des deux côtés :
\( 2x + 3 - 3 = 11 - 3 \)
Ce qui donne :
\( 2x = 8 \)
2. Ensuite, divisez par 2 :
\( x = \frac{8}{2} = 4 \)
Ainsi, la solution est \( x = 4 \).
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Résoudre l'équation \( 5x - 7 = 3x + 9 \).
Solution :
Pour résoudre \( 5x - 7 = 3x + 9 \), suivez ces étapes :
1. Soustrayez \( 3x \) des deux côtés :
\( 5x - 3x - 7 = 9 \)
Ce qui donne :
\( 2x - 7 = 9 \)
2. Ajoutez 7 aux deux côtés :
\( 2x = 9 + 7 = 16 \)
3. Divisez par 2 :
\( x = \frac{16}{2} = 8 \)
Ainsi, la solution est \( x = 8 \).
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Résoudre l'équation \( 4(x - 2) = 3x + 6 \).
Solution :
Pour résoudre \( 4(x - 2) = 3x + 6 \), suivez ces étapes :
1. Développez le côté gauche :
\( 4x - 8 = 3x + 6 \)
2. Soustrayez \( 3x \) des deux côtés :
\( 4x - 3x - 8 = 6 \)
Ce qui donne :
\( x - 8 = 6 \)
3. Ajoutez 8 aux deux côtés :
\( x = 6 + 8 = 14 \)
Ainsi, la solution est \( x = 14 \).
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Résoudre l'équation \( 7 - 2x = 3x + 1 \).
Solution :
Pour résoudre \( 7 - 2x = 3x + 1 \), suivez ces étapes :
1. Ajoutez \( 2x \) des deux côtés :
\( 7 = 5x + 1 \)
2. Soustrayez 1 des deux côtés :
\( 7 - 1 = 5x \)
Ce qui donne :
\( 6 = 5x \)
3. Divisez par 5 :
\( x = \frac{6}{5} = 1.2 \)
Ainsi, la solution est \( x = 1.2 \).
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ☆
Résoudre l'équation \( 3(x + 4) = 2x + 18 \).
Solution :
Pour résoudre \( 3(x + 4) = 2x + 18 \), suivez ces étapes :
1. Développez le côté gauche :
\( 3x + 12 = 2x + 18 \)
2. Soustrayez \( 2x \) des deux côtés :
\( 3x - 2x + 12 = 18 \)
Ce qui donne :
\( x + 12 = 18 \)
3. Soustrayez 12 des deux côtés :
\( x = 18 - 12 = 6 \)
Ainsi, la solution est \( x = 6 \).
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Résolvez l'inéquation \( 2x - 5 < 3 \).
Solution :
Pour résoudre l'inéquation \( 2x - 5 < 3 \), nous allons d'abord isoler \( x \) :
Ajoutons 5 des deux côtés :
\[
2x < 3 + 5
\]
\[
2x < 8
\]
Ensuite, divisons par 2 :
\[
x < \frac{8}{2}
\]
\[
x < 4
\]
La solution est donc \( x < 4 \).
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Résolvez l'inéquation \( 3x + 2 \geq 11 \).
Solution :
Pour résoudre l'inéquation \( 3x + 2 \geq 11 \), nous isolons \( x \) :
Soustrayons 2 des deux côtés :
\[
3x \geq 11 - 2
\]
\[
3x \geq 9
\]
Ensuite, divisons par 3 :
\[
x \geq \frac{9}{3}
\]
\[
x \geq 3
\]
La solution est donc \( x \geq 3 \).
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Résolvez l'inéquation \( -4x + 1 < 3 \).
Solution :
Pour résoudre l'inéquation \( -4x + 1 < 3 \), nous isolons \( x \) :
Soustrayons 1 des deux côtés :
\[
-4x < 3 - 1
\]
\[
-4x < 2
\]
Divisons par -4. N'oubliez pas d'inverser le sens de l'inégalité :
\[
x > \frac{2}{-4}
\]
\[
x > -\frac{1}{2}
\]
La solution est donc \( x > -\frac{1}{2} \).
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Résolvez l'inéquation \( 5 - x \leq 2 \).
Solution :
Pour résoudre l'inéquation \( 5 - x \leq 2 \), nous isolons \( x \) :
Soustrayons 5 des deux côtés :
\[
-x \leq 2 - 5
\]
\[
-x \leq -3
\]
Divisons par -1. N'oubliez pas d'inverser le sens de l'inégalité :
\[
x \geq 3
\]
La solution est donc \( x \geq 3 \).
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ☆
Résolvez l'inéquation \( 2(x - 1) > 3 \).
Solution :
Pour résoudre l'inéquation \( 2(x - 1) > 3 \), nous procédons comme suit :
Développons l'expression :
\[
2x - 2 > 3
\]
Ajoutons 2 des deux côtés :
\[
2x > 3 + 2
\]
\[
2x > 5
\]
Divisons par 2 :
\[
x > \frac{5}{2}
\]
\[
x > 2.5
\]
La solution est donc \( x > 2.5 \).
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Des amis donnent 10 € chacun pour acheter un cadeau. Si 5 amis se joignent au groupe et qu'ils doivent maintenant donner 8 € chacun, combien d'amis y avait-il au départ ?
Solution :
Soit \( x \) le nombre d'amis au départ.
Au départ, le total collecté est \( 10x \).
Après l'arrivée de 5 amis, le nombre total d'amis devient \( x + 5 \) et chacun doit donner 8 €. Donc, le total est \( 8(x + 5) \).
Nous avons l'équation :
\[
10x = 8(x + 5)
\]
Développons et résolvons :
\[
10x = 8x + 40 \implies 10x - 8x = 40 \implies 2x = 40 \implies x = 20
\]
Il y avait donc 20 amis au départ.
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Un rectangle a une longueur de 3 m de plus que sa largeur. Si la largeur est \( x \) mètres, et que l'aire du rectangle est 40 m², quelle est la largeur ?
Solution :
Soit \( x \) la largeur. La longueur est donc \( x + 3 \).
L'aire du rectangle est donnée par :
\[
x(x + 3) = 40
\]
Développons :
\[
x^2 + 3x - 40 = 0
\]
Pour résoudre cette équation, nous pouvons factoriser :
\[
(x + 8)(x - 5) = 0
\]
Les solutions sont :
\[
x + 8 = 0 \implies x = -8 \quad \text{(non valide)}
\]
\[
x - 5 = 0 \implies x = 5
\]
La largeur est donc de 5 mètres.
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Le prix d'un livre est réduit de 20 %. Si le prix d'origine est \( 25 \) €, quel est le nouveau prix ?
Solution :
Le prix d'origine est \( 25 \) €. La réduction est de \( 20\% \) de \( 25 \) €.
Calculons la réduction :
\[
\text{Réduction} = 0,20 \times 25 = 5 \: euros
\]
Le nouveau prix est donc :
\[
25 - 5 = 20 \: euros
\]
Le nouveau prix du livre est de 20 €.
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Un train parcourt 120 km en \( t \) heures. Si sa vitesse est de 60 km/h, combien de temps le train met-il pour faire ce trajet ?
Solution :
La formule de la vitesse est :
\[
\text{Vitesse} = \frac{\text{Distance}}{\text{Temps}}
\]
Nous avons :
\[
60 = \frac{120}{t}
\]
Pour trouver \( t \), multiplions par \( t \) et réarrangeons :
\[
60t = 120 \implies t = \frac{120}{60} = 2
\]
Le train met donc 2 heures pour faire ce trajet.
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ☆
Une personne a \( x \) euros. Elle dépense 15 € et lui reste 25 €. Combien avait-elle au départ ?
Solution :
Soit \( x \) le montant initial. Après avoir dépensé 15 €, il lui reste 25 € :
\[
x - 15 = 25
\]
Pour résoudre, ajoutons 15 des deux côtés :
\[
x = 25 + 15 = 40
\]
La personne avait donc 40 € au départ.
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