Les nombres premiers sont des nombres naturels supérieurs à 1 qui n'ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. En revanche, les nombres qui ont plus de deux diviseurs sont appelés nombres composés.
2. Critères de divisibilité
Pour déterminer si un nombre est divisible par un autre, certains critères peuvent être appliqués :
1️⃣ Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8).
2️⃣ Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
3️⃣ Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
4️⃣ Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.
3. Décomposition en produit de facteurs premiers
La décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers consiste à exprimer ce nombre comme le produit de nombres premiers. Par exemple, pour le nombre 60 :
1️⃣ 60 est divisible par 2 : \( 60 \div 2 = 30 \)
2️⃣ 30 est encore divisible par 2 : \( 30 \div 2 = 15 \)
3️⃣ 15 est divisible par 3 : \( 15 \div 3 = 5 \)
4️⃣ 5 est un nombre premier.
Ainsi, la décomposition en facteurs premiers de 60 est :
\( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \).
4. Fraction irréductible
Une fraction est dite irréductible si le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs autres que 1. Pour réduire une fraction, on peut utiliser la décomposition en facteurs premiers.
Par exemple, pour la fraction \( \frac{60}{90} \) :
En annulant les facteurs communs, nous obtenons :
\( \frac{60}{90} = \frac{2^2 \times 3^1 \times 5^1}{2^1 \times 3^2 \times 5^1} = \frac{2^{2-1} \times 3^{1-2}}{1} = \frac{2^1}{3^1} = \frac{2}{3} \).
La fraction irréductible est donc \( \frac{2}{3} \).
5. Conclusion
Comprendre les nombres premiers et leur utilisation dans la décomposition et la simplification des fractions est essentiel en mathématiques. Cela permet de mieux appréhender les concepts de divisibilité et d'arithmétique.
Critères de divisibilité
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Déterminez si 456 est divisible par 2.
Solution :
Pour savoir si un nombre est divisible par 2, il suffit de vérifier si son dernier chiffre est pair.
Dans le cas de 456, le dernier chiffre est 6, qui est pair.
Donc, 456 est divisible par 2.
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Vérifiez si 12345 est divisible par 3.
Solution :
Pour déterminer la divisibilité par 3, nous additionnons les chiffres de 12345 :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
Comme 15 est divisible par 3 (15 ÷ 3 = 5), cela signifie que 12345 est également divisible par 3.
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Est-ce que 9870 est divisible par 5 ?
Solution :
Pour qu'un nombre soit divisible par 5, son dernier chiffre doit être 0 ou 5.
Dans le cas de 9870, le dernier chiffre est 0.
Donc, 9870 est divisible par 5.
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Vérifiez si 144 est divisible par 4.
Solution :
Pour qu'un nombre soit divisible par 4, les deux derniers chiffres doivent former un nombre qui est divisible par 4.
Les deux derniers chiffres de 144 sont 44.
Puisque 44 ÷ 4 = 11, cela signifie que 144 est divisible par 4.
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ☆
Est-ce que 2500 est divisible par 10 ?
Solution :
Pour qu'un nombre soit divisible par 10, il doit se terminer par 0.
Le dernier chiffre de 2500 est 0.
Donc, 2500 est divisible par 10.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Décomposez le nombre 30 en produit de facteurs premiers.
Solution :
Pour décomposer 30, nous cherchons les nombres premiers qui le divisent :
30 est divisible par 2 : \( 30 \div 2 = 15 \)
15 est divisible par 3 : \( 15 \div 3 = 5 \)
5 est un nombre premier.
La décomposition en produit de facteurs premiers est donc :
[
30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1
]
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Décomposez le nombre 56 en produit de facteurs premiers.
Solution :
Pour décomposer 56, procédons comme suit :
56 est divisible par 2 : \( 56 \div 2 = 28 \)
28 est divisible par 2 : \( 28 \div 2 = 14 \)
14 est divisible par 2 : \( 14 \div 2 = 7 \)
7 est un nombre premier.
La décomposition en produit de facteurs premiers est donc :
[
56 = 2^3 \times 7^1
]
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Décomposez le nombre 84 en produit de facteurs premiers.
Solution :
Pour décomposer 84, procédons comme suit :
84 est divisible par 2 : \( 84 \div 2 = 42 \)
42 est divisible par 2 : \( 42 \div 2 = 21 \)
21 est divisible par 3 : \( 21 \div 3 = 7 \)
7 est un nombre premier.
La décomposition en produit de facteurs premiers est donc :
[
84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1
]
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Décomposez le nombre 90 en produit de facteurs premiers.
Solution :
Pour décomposer 90, procédons comme suit :
90 est divisible par 2 : \( 90 \div 2 = 45 \)
45 est divisible par 3 : \( 45 \div 3 = 15 \)
15 est divisible par 3 : \( 15 \div 3 = 5 \)
5 est un nombre premier.
La décomposition en produit de facteurs premiers est donc :
[
90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1
]
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ☆
Décomposez le nombre 100 en produit de facteurs premiers.
Solution :
Pour décomposer 100, procédons comme suit :
100 est divisible par 2 : \( 100 \div 2 = 50 \)
50 est divisible par 2 : \( 50 \div 2 = 25 \)
25 est divisible par 5 : \( 25 \div 5 = 5 \)
5 est un nombre premier.
La décomposition en produit de facteurs premiers est donc :
[
100 = 2^2 \times 5^2
]
Fraction irréductible
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Réduisez la fraction \( \frac{24}{36} \) à sa forme irréductible.
Solution :
Pour réduire la fraction \( \frac{24}{36} \), nous devons d'abord décomposer les numérateurs et dénominateurs en facteurs premiers :
24 se décompose en \( 2^3 \times 3^1 \).
36 se décompose en \( 2^2 \times 3^2 \).
En annulant les facteurs communs, nous avons :
\[
\frac{24}{36} = \frac{2^3 \times 3^1}{2^2 \times 3^2} = \frac{2^{3-2} \times 3^{1-2}}{1} = \frac{2^1}{3^1} = \frac{2}{3}
\]
La fraction irréductible est donc \( \frac{2}{3} \).
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Réduisez la fraction \( \frac{18}{24} \) à sa forme irréductible.
Solution :
Pour réduire la fraction \( \frac{18}{24} \), procédons comme suit :
Décomposons 18 : \( 18 = 2^1 \times 3^2 \).
Décomposons 24 : \( 24 = 2^3 \times 3^1 \).
En annulant les facteurs communs, nous avons :
\[
\frac{18}{24} = \frac{2^1 \times 3^2}{2^3 \times 3^1} = \frac{3^{2-1}}{2^{3-1}} = \frac{3^1}{2^2} = \frac{3}{4}
\]
La fraction irréductible est donc \( \frac{3}{4} \).
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Réduisez la fraction \( \frac{42}{56} \) à sa forme irréductible.
Solution :
Pour réduire la fraction \( \frac{42}{56} \), procédons ainsi :
Éducation
