Compréhension et utilisation de la notion de fonction
1. Introduction aux fonctions
Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble (appelé domaine) exactement un élément d'un autre ensemble (appelé codomaine). Les fonctions sont fondamentales en mathématiques et permettent de modéliser des situations variées dans la vie quotidienne et dans diverses disciplines scientifiques.
2. Vocabulaire des fonctions et notations
1️⃣ Domaine : Ensemble des valeurs d'entrée \( x \) pour lesquelles la fonction est définie.
2️⃣ Codomaine : Ensemble des valeurs de sortie \( f(x) \) que peut prendre la fonction.
3️⃣ Notation : Une fonction est souvent notée \( f(x) \), où \( f \) représente la fonction et \( x \) représente une valeur du domaine.
4️⃣ Image : La valeur de sortie \( f(x) \) pour une valeur donnée du domaine. Par exemple, si \( f(2) = 5 \), alors 5 est l'image de 2.
5️⃣ Antécédent : Une valeur du domaine qui correspond à une image donnée. Par exemple, si \( f(x) = 3 \), alors \( x = 1 \) est un antécédent de 3 si \( f(1) = 3 \).
3. Définir une fonction avec un graphique
Un graphique est une représentation visuelle d'une fonction. Les valeurs du domaine sont généralement placées sur l'axe des abscisses (x), tandis que les valeurs du codomaine sont placées sur l'axe des ordonnées (y).
Par exemple, pour la fonction \( f(x) = x^2 \), le graphique montre comment chaque valeur de \( x \) est reliée à la valeur correspondante de \( f(x) \), formant une parabole.
4. Définir une fonction avec une formule
Une fonction peut être définie par une formule mathématique. Par exemple, la fonction linéaire :
\[
f(x) = 3x + 2
\]
Pour utiliser cette fonction, on substitue une valeur de \( x \) :
• Si \( x = 1 \), alors \( f(1) = 3(1) + 2 = 5 \).
• Si \( x = 2 \), alors \( f(2) = 3(2) + 2 = 8 \).
On peut également définir des fonctions quadratiques, exponentielles ou d'autres types selon les besoins.
5. Conclusion
Comprendre la notion de fonction est essentiel pour résoudre des problèmes mathématiques et appliquer ces concepts dans divers domaines. Les fonctions sont des outils puissants pour modéliser des relations et des changements, et elles jouent un rôle clé dans l'analyse et la compréhension des phénomènes.
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Considérez la fonction \( f(x) = 2x + 3 \). Trouvez l'image de \( x = 4 \) et déterminez l'antécédent de \( 11 \).
Pour trouver l'image de \( x = 4 \) :
\( f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 \)
L'image de \( x = 4 \) est donc \( 11 \).
Pour trouver l'antécédent de \( 11 \) :
\( 11 = 2x + 3 \)
\( 8 = 2x \)
\( x = 4 \)
L'antécédent de \( 11 \) est donc \( 4 \).
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Une enquête a été réalisée sur les âges de 5 étudiants. Les résultats sont dans le tableau suivant :
Étudiant
Âge
A
20
B
22
C
21
D
23
E
19
Quelle est l'image de l'étudiant B ? Trouvez l'antécédent de l'âge 21.
L'image de l'étudiant B est son âge, qui est \( 22 \).
Pour trouver l'antécédent de l'âge \( 21 \) :
L'étudiant C a \( 21 \) ans.
L'antécédent de \( 21 \) est donc l'étudiant C.
Exercice 3: ★ ★ ★ ☆ ☆
La fonction \( g(x) = x^2 - 4 \) est définie pour \( x \) dans \( \mathbb{R} \). Trouvez l'image de \( x = -3 \) et déterminez les antécédents de \( 5 \).
Pour trouver l'image de \( x = -3 \) :
\( g(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \)
L'image de \( -3 \) est donc \( 5 \).
Pour trouver les antécédents de \( 5 \) :
\( 5 = x^2 - 4 \)
\( x^2 = 9 \)
\( x = 3 \text{ ou } x = -3 \)
Les antécédents de \( 5 \) sont donc \( 3 \) et \( -3 \).
Exercice 4: ★ ★ ★ ★ ★
Un magasin propose une réduction de 20% sur tous ses produits. Si le prix original d'un produit est de \( 50 \) euros, quelle est l'image de ce produit après la réduction ? Trouvez également l'antécédent du prix de \( 30 \) euros après réduction.
Pour déterminer l'image après la réduction :
Prix après réduction = \( 50 - 0.20 \times 50 = 50 - 10 = 40 \) euros.
L'image du produit après réduction est donc \( 40 \) euros.
Pour trouver l'antécédent du prix de \( 30 \) euros après réduction :
\( 30 = x - 0.20x \)
\( 30 = 0.80x \)
\( x = \frac{30}{0.80} = 37.50 \) euros.
L'antécédent du prix de \( 30 \) euros après réduction est donc \( 37.50 \) euros.
Exercice 5: ★ ★ ★ ☆ ☆
La fonction \( h(x) = \frac{1}{x} \) est définie pour \( x \neq 0 \). Trouvez l'image de \( x = 2 \) et déterminez les antécédents de \( \frac{1}{2} \).
Pour trouver l'image de \( x = 2 \) :
\( h(2) = \frac{1}{2} \)
L'image de \( 2 \) est donc \( \frac{1}{2} \).
Pour trouver les antécédents de \( \frac{1}{2} \) :
\( \frac{1}{2} = \frac{1}{x} \)
\( x = 2 \)
L'antécédent de \( \frac{1}{2} \) est donc \( 2 \).
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
On a représenté une fonction \( f \) sur le graphique ci-dessous.
a. Compléter à l’aide du tracé en rouge :
l’antécédent de 3 est ______ ;
3 est l’image de ______ ;
f(______) = ______.
Pour \( x = 1 \), on lit que \( f(1) = 3 \) sur le graphique.
Ainsi, l'antécédent de \( 3 \) est \( 1 \) et \( 3 \) est l'image de \( 1 \).
Donc, les réponses sont :
• l’antécédent de 3 est 1 ;
• 3 est l’image de 1 ;
• f(1) = 3.
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
On a représenté une fonction \( g \) sur le graphique ci-dessous.
a. Compléter à l’aide du tracé en rouge :
l’antécédent de 4 est ______ ;
4 est l’image de ______ ;
g(______) = ______.
Pour \( x = 2 \), on observe sur le graphique que \( g(2) = 4 \).
Donc, les réponses sont :
• l’antécédent de 4 est 2 ;
• 4 est l’image de 2 ;
• g(2) = 4.
Exercice 3: ★ ★ ★ ☆ ☆
On a représenté une fonction \( h \) sur le graphique ci-dessous.
a. Compléter à l’aide du tracé en rouge :
l’antécédent de 5 est ______ ;
5 est l’image de ______ ;
h(______) = ______.
Pour \( x = 3 \), le graphique indique que \( h(3) = 5 \).
Donc, les réponses sont :
• l’antécédent de 5 est 3 ;
• 5 est l’image de 3 ;
• h(3) = 5.
Exercice 4: ★ ★ ★ ★ ★
On a représenté une fonction \( k \) sur le graphique ci-dessous.
a. Compléter à l’aide du tracé en rouge :
l’antécédent de 2 est ______ ;
2 est l’image de ______ ;
k(______) = ______.
Pour \( x = 0 \), le graphique montre que \( k(0) = 2 \).
Donc, les réponses sont :
• l’antécédent de 2 est 0 ;
• 2 est l’image de 0 ;
• k(0) = 2.
Exercice 5: ★ ★ ★ ☆ ☆
On a représenté une fonction \( m \) sur le graphique ci-dessous.
a. Compléter à l’aide du tracé en rouge :
l’antécédent de 6 est ______ ;
6 est l’image de ______ ;
m(______) = ______.
Pour \( x = 4 \), le graphique indique que \( m(4) = 6 \).
Donc, les réponses sont :
• l’antécédent de 6 est 4 ;
• 6 est l’image de 4 ;
• m(4) = 6.
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Considérez la fonction \( f \) définie par \( f(x) = 3x + 2 \).
a. Calculez \( f(4) \) et \( f(-1) \).
b. Trouvez les antécédents de \( 14 \) et \( -1 \).
Recherche des antécédents :
Pour \( f(x) = 14 \) :
\( 3x + 2 = 14 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4 \)
Pour \( f(x) = -1 \) :
\( 3x + 2 = -1 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \)
Les antécédents sont donc \( 4 \) pour \( 14 \) et \( -1 \) pour \( -1 \).
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
La fonction \( g \) est définie par \( g(x) = x^2 - 5x + 6 \).
a. Trouvez les valeurs de \( g(3) \) et \( g(0) \).
b. Trouvez les antécédents de \( 0 \) et \( 6 \).
Recherche des antécédents :
Pour \( g(x) = 0 \) :
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
Factorisation : \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
\( x = 2 \) ou \( x = 3 \)
Pour \( g(x) = 6 \) :
\( x^2 - 5x + 6 = 6 \Rightarrow x^2 - 5x = 0 \)
\( x(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0 \) ou \( x = 5 \)
Les antécédents sont donc \( 2 \) et \( 3 \) pour \( 0 \), et \( 0 \) et \( 5 \) pour \( 6 \).
Exercice 3: ★ ★ ★ ☆ ☆
Considérons la fonction \( h \) définie par \( h(x) = \frac{1}{2}x + 4 \).
a. Calculez \( h(2) \) et \( h(-4) \).
b. Trouvez les antécédents de \( 5 \) et \( 2 \).
Recherche des antécédents :
Pour \( h(x) = 5 \) :
\( \frac{1}{2}x + 4 = 5 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 1 \Rightarrow x = 2 \)
Pour \( h(x) = 2 \) :
\( \frac{1}{2}x + 4 = 2 \Rightarrow \frac{1}{2}x = -2 \Rightarrow x = -4 \)
Les antécédents sont donc \( 2 \) pour \( 5 \) et \( -4 \) pour \( 2 \).
Exercice 4: ★ ★ ★ ★ ★
La fonction \( k \) est définie par \( k(x) = 2x^2 - 3x + 1 \).
a. Calculez \( k(1) \) et \( k(3) \).
b. Trouvez les antécédents de \( 0 \) et \( 10 \).
Recherche des antécédents :
Pour \( k(x) = 0 \) :
\( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \)
Factorisation : \( (2x - 1)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \) ou \( x = 1 \)
Pour \( k(x) = 10 \) :
\( 2x^2 - 3x + 1 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 9 = 0 \)
Utilisons la formule quadratique :
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 2 \times (-9)}}{2 \times 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{4} \)
\( x = \frac{3 \pm 9}{4} \Rightarrow x = 3 \) ou \( x = -1.5 \)
Les antécédents sont donc \( \frac{1}{2} \) et \( 1 \) pour \( 0 \), et \( -1.5 \) et \( 3 \) pour \( 10 \).
Exercice 5: ★ ★ ★ ☆ ☆
On a une fonction \( m \) définie par \( m(x) = \sqrt{x + 4} \).
a. Trouvez \( m(0) \) et \( m(5) \).
b. Trouvez les antécédents de \( 2 \) et \( 3 \).
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