La probabilité est une mesure qui quantifie la chance qu'un événement se produise. Elle est exprimée par un nombre entre 0 et 1, où 0 signifie que l'événement ne se produira jamais et 1 signifie qu'il se produira certainement.
2. Probabilité d’un événement
La probabilité d’un événement \( A \) se calcule en utilisant la formule suivante :
Formule :
\[ P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas possibles}} \]
Par exemple, si on lance un dé, la probabilité d'obtenir un 4 est :
\(P(4) = \frac{1}{6}\)
car il y a un cas favorable (obtenir un 4) sur six cas possibles (les faces du dé).
3. Événements particuliers
Les événements peuvent être classés en plusieurs catégories :
1️⃣ Événements impossibles : Leur probabilité est 0, par exemple, tirer un as d'un paquet de cartes de cœur uniquement.
2️⃣ Événements certains : Leur probabilité est 1, comme tirer une carte d'un paquet de 52 cartes.
3️⃣ Événements complémentaires : La somme des probabilités de deux événements complémentaires est toujours 1, par exemple, la probabilité de tirer un roi ou non.
4. Expériences à deux épreuves
Lorsqu'on effectue deux épreuves, la probabilité d'événements peut être calculée en utilisant les règles de multiplication ou d'addition.
1️⃣ Événements indépendants : Si deux événements \( A \) et \( B \) sont indépendants, la probabilité que les deux se produisent est :
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
\]
2️⃣ Événements dépendants : Si le second événement dépend du premier, la probabilité est :
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)
\]
où \( P(B|A) \) est la probabilité de \( B \) sachant que \( A \) s'est produit.
5. Conclusion
Comprendre les probabilités est essentiel pour analyser des situations incertaines et prendre des décisions éclairées. À travers ce cours, nous avons exploré les bases des probabilités, les événements particuliers et les expériences à deux épreuves.
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans un sac, il y a 3 billes rouges, 2 billes bleues et 5 billes vertes. Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge ?
Pour calculer la probabilité de tirer une bille rouge :
Étape 1 : Compter le nombre de cas favorables
Nombre de billes rouges = 3.
Étape 2 : Compter le nombre total de cas possibles
Total des billes = 3 (rouges) + 2 (bleues) + 5 (vertes) = 10.
Étape 3 : Calculer la probabilité
\[
P(\text{Rouge}) = \frac{\text{Nombre de billes rouges}}{\text{Total des billes}} = \frac{3}{10} = 0,3
\]
La probabilité de tirer une bille rouge est donc 0,3.
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Un dé est lancé. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Pour déterminer la probabilité d'obtenir un nombre pair sur un dé :
Étape 1 : Identifier les cas favorables
Les nombres pairs sur un dé sont 2, 4, 6. Donc, il y a 3 cas favorables.
Étape 2 : Identifier le nombre total de cas possibles
Total des faces du dé = 6.
Étape 3 : Calculer la probabilité
\[
P(\text{Pair}) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Total des cas possibles}} = \frac{3}{6} = 0,5
\]
La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc 0,5.
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules jaunes et 2 boules vertes. Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune ?
Pour calculer la probabilité de tirer une boule jaune :
Étape 1 : Compter le nombre de cas favorables
Nombre de boules jaunes = 3.
Étape 2 : Compter le nombre total de cas possibles
Total des boules = 4 (rouges) + 3 (jaunes) + 2 (vertes) = 9.
Étape 3 : Calculer la probabilité
\[
P(\text{Jaune}) = \frac{\text{Nombre de boules jaunes}}{\text{Total des boules}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\]
La probabilité de tirer une boule jaune est donc \(\frac{1}{3}\).
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles. Quelle est la probabilité de choisir une fille au hasard ?
Pour déterminer la probabilité de choisir une fille :
Étape 1 : Compter le nombre de cas favorables
Nombre de filles = 18.
Étape 2 : Compter le nombre total de cas possibles
Total des élèves = 30.
Étape 3 : Calculer la probabilité
\[
P(\text{Fille}) = \frac{\text{Nombre de filles}}{\text{Total des élèves}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}
\]
La probabilité de choisir une fille est donc \(\frac{3}{5}\).
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ☆
Un paquet de cartes contient 52 cartes, dont 12 sont des cœurs. Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?
Pour calculer la probabilité de tirer un cœur :
Étape 1 : Compter le nombre de cas favorables
Nombre de cœurs = 12.
Étape 2 : Compter le nombre total de cas possibles
Total des cartes = 52.
Étape 3 : Calculer la probabilité
\[
P(\text{Cœur}) = \frac{\text{Nombre de cœurs}}{\text{Total des cartes}} = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}
\]
La probabilité de tirer un cœur est donc \(\frac{3}{13}\).
Exercice 1: ★ ★ ★ ☆ ☆
Un dé est lancé. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair ?
Pour déterminer la probabilité d'obtenir un nombre impair :
Étape 1 : Identifier les cas favorables
Les nombres impairs sur un dé sont 1, 3, 5. Donc, il y a 3 cas favorables.
Étape 2 : Identifier le nombre total de cas possibles
Total des faces du dé = 6.
Étape 3 : Calculer la probabilité
\[
P(\text{Impair}) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Total des cas possibles}} = \frac{3}{6} = 0,5
\]
La probabilité d'obtenir un nombre impair est donc 0,5.
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ☆
Dans un paquet de 52 cartes, quelle est la probabilité de tirer un roi ?
Pour calculer la probabilité de tirer un roi :
Étape 1 : Compter le nombre de cas favorables
Nombre de rois = 4.
Étape 2 : Compter le nombre total de cas possibles
Total des cartes = 52.
Étape 3 : Calculer la probabilité
\[
P(\text{Roi}) = \frac{\text{Nombre de rois}}{\text{Total des cartes}} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
\]
La probabilité de tirer un roi est donc \(\frac{1}{13}\).
Exercice 3: ★ ★ ★ ★ ★
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. Quelle est la probabilité de tirer une boule qui n'est pas rouge ?
Pour calculer la probabilité de tirer une boule qui n'est pas rouge :
Étape 1 : Compter le nombre de cas favorables
Nombre de boules non rouges = 3 (vertes).
Étape 2 : Compter le nombre total de cas possibles
Total des boules = 5 (rouges) + 3 (vertes) = 8.
Étape 3 : Calculer la probabilité
\[
P(\text{Non rouge}) = \frac{\text{Nombre de boules non rouges}}{\text{Total des boules}} = \frac{3}{8}
\]
La probabilité de tirer une boule qui n'est pas rouge est donc \(\frac{3}{8}\).
Exercice 4: ★ ★ ★ ☆ ☆
Dans une classe de 30 élèves, 15 sont des filles. Quelle est la probabilité de choisir un garçon ?
Pour déterminer la probabilité de choisir un garçon :
Étape 1 : Compter le nombre de cas favorables
Nombre de garçons = 30 - 15 = 15.
Étape 2 : Compter le nombre total de cas possibles
Total des élèves = 30.
Étape 3 : Calculer la probabilité
\[
P(\text{Garçon}) = \frac{\text{Nombre de garçons}}{\text{Total des élèves}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}
\]
La probabilité de choisir un garçon est donc \(\frac{1}{2}\).
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ☆
Un sac contient 4 pommes, 3 oranges et 2 bananes. Quelle est la probabilité de tirer une orange ?
Pour calculer la probabilité de tirer une orange :
Étape 1 : Compter le nombre de cas favorables
Nombre d'oranges = 3.
Étape 2 : Compter le nombre total de cas possibles
Total des fruits = 4 (pommes) + 3 (oranges) + 2 (bananes) = 9.
Étape 3 : Calculer la probabilité
\[
P(\text{Orange}) = \frac{\text{Nombre d'oranges}}{\text{Total des fruits}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\]
La probabilité de tirer une orange est donc \(\frac{1}{3}\).
Exercice 1: ★ ★ ★ ★ ☆
Un dé est lancé puis une pièce est tirée. Quelle est la probabilité d'obtenir un 4 sur le dé et une face sur la pièce ?
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la règle de multiplication pour les événements indépendants :
Étape 1 : Calculer la probabilité d'obtenir un 4 sur le dé
Il y a 1 cas favorable (obtenir un 4) sur 6 cas possibles.
\[ P(4) = \frac{1}{6} \]
Étape 2 : Calculer la probabilité d'obtenir une face sur la pièce
Il y a 1 cas favorable (face) sur 2 cas possibles.
\[ P(\text{Face}) = \frac{1}{2} \]
Étape 3 : Calculer la probabilité conjointe
Les événements sont indépendants :
\[ P(4 \text{ et Face}) = P(4) \times P(\text{Face}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \]
La probabilité d'obtenir un 4 sur le dé et une face sur la pièce est donc \(\frac{1}{12}\).
Exercice 2: ★ ★ ★ ★ ★
Un sac contient 3 billes rouges et 2 billes bleues. On tire une bille, puis on remet la bille avant de tirer à nouveau. Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge deux fois de suite ?
Nous allons utiliser la règle de multiplication pour les événements indépendants :
Étape 1 : Calculer la probabilité de tirer une bille rouge au premier tirage
Il y a 3 billes rouges sur un total de 5 billes.
\[ P(\text{Rouge}) = \frac{3}{5} \]
Étape 2 : Calculer la probabilité de tirer une bille rouge au deuxième tirage
Comme la bille est remise, la probabilité reste la même.
\[ P(\text{Rouge}) = \frac{3}{5} \]
La probabilité de tirer une bille rouge deux fois de suite est donc \(\frac{9}{25}\).
Exercice 3: ★ ★ ★ ☆ ☆
On lance un dé et on tire une carte d'un paquet de 52 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 sur le dé et un cœur ?
Pour résoudre ce problème, nous allons calculer les probabilités séparément et les multiplier :
Étape 1 : Calculer la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 sur le dé
Les nombres supérieurs à 4 sont 5 et 6, soit 2 cas favorables.
\[ P(\text{Supérieur à 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Étape 2 : Calculer la probabilité de tirer un cœur
Il y a 13 cœurs dans un paquet de 52 cartes.
\[ P(\text{Cœur}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \]
Étape 3 : Calculer la probabilité conjointe
\[ P(\text{Supérieur à 4 et Cœur}) = P(\text{Supérieur à 4}) \times P(\text{Cœur}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \]
La probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 sur le dé et un cœur est donc \(\frac{1}{12}\).
Exercice 4: ★ ★ ★ ★ ☆
Une boîte contient 6 chocolats noirs et 4 chocolats au lait. On tire un chocolat, puis on remet le chocolat avant de tirer à nouveau. Quelle est la probabilité de tirer un chocolat noir deux fois de suite ?
Nous allons utiliser la règle de multiplication pour les événements indépendants :
Étape 1 : Calculer la probabilité de tirer un chocolat noir au premier tirage
Il y a 6 chocolats noirs sur un total de 10.
\[ P(\text{Noir}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Étape 2 : Calculer la probabilité de tirer un chocolat noir au deuxième tirage
Comme le chocolat est remis, la probabilité reste la même.
\[ P(\text{Noir}) = \frac{3}{5} \]
La probabilité de tirer un chocolat noir deux fois de suite est donc \(\frac{9}{25}\).
Exercice 5: ★ ★ ★ ★ ★
Un étudiant doit passer un examen de mathématiques et un examen de sciences. La probabilité de réussir l'examen de mathématiques est de 0,7 et la probabilité de réussir l'examen de sciences est de 0,8. Quelle est la probabilité de réussir les deux examens ?
Nous allons utiliser la règle de multiplication pour les événements indépendants :
Étape 1 : Noter les probabilités
P(Math) = 0,7 et P(Sci) = 0,8.
Éducation
